初三数学旋转相似讲义
2019教育年中考复习专题课件旋转相似专题讲解与训练共18张PPT数学
相关知点：①相似；②三角形的两边之和 大于第三边；③点到直线之间的距离垂线 段最短；④点到圆上点共线有最值。
具体方法：第一步：找主动点的轨迹 ；第 二步：找从动点与主动点的关系；第三步： 找主动点的起点和终点；第四步：通过相 似确定从动点的轨迹，第五步：根据轨迹 确定讲解与训练
初中数学有一类动态问题叫做主从联动，这类问题应该说 是网红问题，好多优秀老师都在研究它，原因是它在很多 名校模考的时候经常出现，有的老师叫他瓜豆原理，也有 的老师叫他旋转相似，我感觉这类问题在解答的时候需要 有轨迹思想，就是先要明确主动点的轨迹，然后要搞清楚 主动点和从动点的关系，进而确定从动点的轨迹来解决问 题，但在解答问题时，要符合解不超纲的原则，所以最后 解决问题还是用到了旋转相似的知识，也就是动态手拉手 模型.
初三数学中考复习专题课件：探旋转相似型的解法
04
旋转相似型的易错点与 难点解析
识别旋转相似型的常见误区
01
02
03
误区一
将非相似图形误认为是相 似图形。
误区二
在旋转过程中，忽视角度 变化导致图形不相似。
误区三
混淆相似与全等图形的性 质。
利用旋转性质证明相似的难点解析
难点一
理解旋转的性质，特别是 旋转中心、角度和方向。
难点二
掌握如何利用旋转性质来 证明两个三角形相似。
难点三
理解旋转过程中，哪些性 质会发生变化，哪些保持 不变。
利用相似性质求解问题的常见错误
通过练习和掌握旋转相似型的解法，可以培养学生的几何直觉和空间思维能力。
02
旋转相似型的解题方法
识别旋转相似型
总结词
识别旋转相似型是解决这类问题的第一步，需要观察图形是否可以通过旋转而 相互重合。
详细描述
在解决旋转相似型问题时，首先需要观察图形，判断是否存在通过旋转某个图 形而使其与另一个图形重合的可能性。这通常涉及到对图形形状、角度和边的 长度等特征的识别。
利用旋转性质证明相似
总结词
利用旋转性质来证明两个三角形相似是解决这类问题的关键 步骤。
详细描述
在确认了可以通过旋转使两个图形重合后，需要利用旋转的 性质来证明这两个三角形相似。这通常涉及到找到两个三角 形之间的对应角或对应边成比例，从而证明它们相似。
利用相似性质求解问题
总结词
利用相似三角形的性质来求解问题是最终的目标。
第23章旋转第1课时 旋转的概念及性质-人教版九年级数学上册讲义(机构专用)
人教版九年级数学上册讲义第二十三章旋转第1课时旋转的概念及性质知识要点旋转1、定义把一个图形绕某一点O转动一个角度的图形变换叫做旋转，其中O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角。
2、性质（1）对应点到旋转中心的距离相等。
（2）对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角。
旋转特殊角度旋转60°得等边三角形。
旋转90°得等腰直角三角形。
旋转任意角度得等腰三角形。
对应练习1.如图，ΔABC 是等腰三角形，∠BAC = 36°，D 是BC 上一点，ΔABD 经过旋转后到达ΔACE 的位置，(1) 旋转中心是哪一点？(2)旋转了多少度？(3) 如果M 是AB 的中点，那么经过上述旋转后，点M 转到了什么位置？2.如图，是ΔAOB 绕点O 按逆时针方向旋转45°所得的．点B 的对应点是点_____ 线段OB 的对应线段是线段______ 线段AB 的对应线段是线段______∠A 的对应角是______ ∠B 的对应角是______ 旋转中心是点______ 旋转的角度是______3.如图是由正方形ABCD 旋转而成．（1）旋转中心是__________（2）旋转的角度是_________ （3）若正方形的边长是1，则C ’D =_________4.ΔA'OB '是ΔAOB 绕点O按逆时针方向旋转得到的. 已知∠AOB =20°，∠A'OB =24°，AB =3，OA =5则A'B '=____，OA' =____，旋转角=______.5.如图，ΔABC绕A 逆时针旋转使得C 点落在BC 边上的F 处，则对于结论：①AC =AF；②∠FAB =∠EAB；③EF =BC；④∠EAB =∠FAC，其中正确的结论是______________6.如图E 是正方形ABCD 内一点，将ΔABE 绕点B 顺时针方向旋转到ΔCBF，其中EB =3cm，则BF =_____cm ，∠EBF =______．7.如图将RtΔABC 绕C 点逆时针旋转30°后，点B 落在B ′，点A落在A’点位置，若A’C ⊥ AB，求∠B ’A’C 的度数．8．如图，将△ABC绕点A顺时针旋转60°得到△AED，若线段AB＝5，则BE的长度为．9．如图，将Rt△ABC绕直角顶点C顺时针旋转90°，得到△A'B'C'，连接AA′，若∠1＝25°，则∠BAA'的度数是．课后作业1．如图，将△ABC绕点A逆时针旋转一定角度，得到△ADE，此时点C恰好在线段DE上，若∠B=40°，∠CAE=60°，则∠DAC的度数为()• A.15° B.20° C.25° D.30°2．如图，在△ABD中，AD＝BD，将△ABD绕点A逆时针旋转得到△ACE，使点C落在直线BD上．（1）求证：AE∥BC；（2）连接DE，判断四边形ABDE的形状，并说明理由．3．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，△DCE是△ABC绕着点C顺时针方向旋转得到的，此时B、C、E在同一直线上.（1）旋转角的大小；（2）若AB＝10，AC＝8，求BE的长.4．如图，点E是正方形ABCD内的一点，连接AE、BE、CE．若AE=1，BE=2，CE=3，则∠AEB= 度．5．如图，P是等边三角形ABC内一点将△ACP绕点A顺时针旋转60°得到△ABQ，连接BP，若PA=2，PB=4，PC=2√3，则四边形APBQ的面积为．6．如图所示，点D是等边△ABC内一点，DA＝15，DB＝19，DC＝21，将△ABD绕点A逆时针旋转到△ACE的位置，当点E 在BD的延长线上时.求（1）∠BDA的度数；（2）△DEC的周长.7．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△A′B′C，M、M′分别是AB、A′B′的中点，若AC＝8，BC＝6，则线段MM′的长为 .8．如图，在等边△ABC中，点D为△ABC内的一点，∠ADB=120°，∠ADC=90°，将△ABD绕点A逆时针旋转60°得△ACE，连接DE．(1)求证：AD=DE；(2)求∠DCE的度数；(3)若BD=1，求AD、CD的长．9．正方形ABCD与正方形DEFG按如图1放置，点A、D、G在同一条直线上，点E在CD边上，AD=3，DE= √2，连接AE、CG．(1)线段AE与CG的关系为；(2)将正方形DEFG绕点D顺时针旋转一个锐角后，如图2，请问(1)中的结论是否仍然成立？请说明理由．长．对应练习答案1.答案：（1）A；（2）36°；（3）AC 的中点．2.B’，OB’，A'B '，∠A’，∠B '，O，45°3.A，45°，4.3,5，44°5.①③④6.答案：3，90°．7.答案：60°．8.解答：解：∵△ABC绕点A顺时针旋转60°得到△AED，∴AB＝AE，∠BAE＝60°，∴△AEB是等边三角形，∴BE＝AB，课后作业答案1.解答：解：由旋转的性质得：△ADE≌△ABC，∴∠D=∠B=40°，AE=AC，∵∠CAE=60°，∴△ACE是等边三角形，∴∠ACE=∠E=60°，∴∠DAE=180°-∠E-∠D=80DU=(180°-∠CAE)=(180°-60°)=80°，∴∠DAC=∠DAE-∠CAE=80°-60°=20°；故选：B．2.解答：证明：（1）由旋转性质得∠BAD＝∠CAE，AB＝AC，∵AD＝BD，∴∠B＝∠BAD，∵AB＝AC，∴∠B＝∠DCA；∴∠CAE＝∠DCA，∴AE∥BC.（2）四边形ABDE是平行四边形，理由如下：由旋转性质得AD＝AE，∵AD＝BD，∴AE＝BD，又∵AE∥BC，∴四边形ABDE是平行四边形．3.解答：解：（1）∵△DCE是△ABC绕着点C顺时针方向旋转得到的，此时点B、C、E在同一直线上，∴∠ACE＝90°，即旋转角为90°，（2）在Rt△ABC中，∵AB＝10，AC＝8，∴BC＝＝6，∵△ABC绕着点C旋转得到△DCE，∴CE＝CA＝8，∴BE＝BC+CE＝6+8＝144.解答：解：连接EE′∵△ABE绕点B顺时针旋转90°到△CBE′∴∠EBE′是直角，∴△EBE′是直角三角形，∵△ABE与△CE′B全等∴BE=BE′=2，∠AEB=BE′C∴∠BEE′=∠BE′E=45°，∵EE′2=22+22=8，AE=CE′=1，EC=3，∴EC2=E′C2+EE′2，∴△EE′C是直角三角形，∴∠EE′C=90°，∴∠AEB=135°．故答案为：135．5.解答：解：如图，连接PQ．∵△ACP绕点A顺时针旋转60°得到△ABQ，∴AP=AQ=2，PC=BQ=2√3，∠PAQ=60°，∴△PAQ是等边三角形，∴PQ=PA=2，∵PB=4，∴PB2=BQ2+PQ2，∴∠PQB=90°，∴S四边形APBQ=S△PBQ+S△APQ=•PQ•QB+•PA2=×2×2√3+×4=3√3，故答案为3√3．6.解答：解：（1）∵△ABC为等边三角形，∴∠BAC＝60°，AB＝AC，∵△ABD绕点A逆时针旋转到△ACE的位置，点E在BD的延长线上，∴AD＝AE，CE＝DB＝19，∠DAE＝∠BAC＝60°，∴△ADE为等边三角形，∴∠ADE＝60°，DE＝AD＝15，∴∠BDA＝120°；（2）△DEC的周长＝DE+DC+CE＝15+21+19＝55.7.解答：连接CM，CM′，∵AC=8，BC=6，∴AB= =10，∵M是AB的中点，∴CM= AB=5，∵Rt△ABC绕点C顺时针旋转90°得到Rt△A′B′C，∴∠A′CM′=∠ACM∵∠ACM+∠MCB=90°，∴∠MCB+∠BCM′=90°，又∵CM=C′M′，∴△CMM′是等腰直角三角形，∴MM′=CM=5 ，故答案为：5 ．8.解答：(1)证明：∵将△ABD绕点A逆时针旋转60°得△ACE∴△ABD≌△ACE，∠BAC＝∠DAE，∴AD＝AE，BD＝CE，∠AEC＝∠ADB＝120°，∵△ABC为等边三角形∴∠BAC＝60°∴∠DAE＝60°∴△ADE为等边三角形，∴AD＝DE，(2)∠ADC＝90°，∠AEC＝120°，∠DAE＝60°∴∠DCE＝360°﹣∠ADC﹣∠AEC﹣∠DAE＝90°，(3)∵△ADE为等边三角形∴∠ADE＝60°∴∠CDE＝∠ADC﹣∠ADE＝30°又∵∠DCE＝90°∴DE＝2CE＝2BD＝2，∴AD＝DE＝2在Rt△DCE中，．9.解答：解：(1)线段AE与CG的关系为：AE＝CG，AE⊥CG，理由如下：如图1，延长AE交CG于点H，∵四边形ABCD和四边形DGFE是正方形，∴AD＝CD，ED＝GD，∠ADE＝∠CDG＝90°，∴△ADE≌△CDG(SAS)，∴AE＝CG，∠EAD＝∠GCD，∵∠EAD+∠AED＝90°，∠AED＝∠CEH，∴∠GCD+∠CEH＝90°，∴∠CHE＝90°，即AE⊥CG，故答案为：AE＝CG，AE⊥CG；(2)结论仍然成立，理由如下：如图2，设AE与CG交于点H，∵四边形ABCD和四边形DGFE是正方形，∴AD＝CD，ED＝GD，∠ADC＝∠EDG＝90°，∴∠ADC+∠CDE＝∠EDG+∠CDE，即∠ADE＝∠CDG，∴△ADE≌△CDG(SAS)，∴AE＝CG，∠EAD＝∠GCD，∵∠EAD+∠APD＝90°，∠APD＝∠CPH，∴∠GCD+∠CPH＝90°，∴∠CHP＝90°，即AE⊥CG，∴AE＝CG，AE⊥CG，∴①中的结论仍然成立；。
初中数学中的形的旋转对称与相似
初中数学中的形的旋转对称与相似形的旋转对称是数学中的一个重要概念，它在初中数学学习中占有重要地位。
与之相关的还有形的相似性质。
下面我们将对初中数学中的形的旋转对称与相似进行探讨。
一、形的旋转对称形的旋转对称是指平面上的一个图形，它可以绕着中心旋转180度或360度后，与原来的图形完全重合。
在二维平面上，我们可以通过旋转、平移、镜像这三种变换来实现图形的旋转对称。
以一个正方形为例，我们可以将它绕着中心点旋转180度后发现，得到的图形与原来的正方形完全一样。
这就是形的旋转对称，也可以说这个正方形自身就具有旋转对称的性质。
二、形的相似性质形的相似是指两个图形形状相似，但大小可能不同。
在初中数学中，我们经常使用比例关系来判断两个图形是否相似。
例如，当两个三角形的对应边的长度比例相等时，这两个三角形就是相似的。
相似的图形之间具有一些特殊的性质。
比如，相似图形的对应角相等，相似三角形的高线、角平分线也相似，并且它们的比例等于对应边的比例。
三、旋转对称与相似性质的联系虽然旋转对称和相似性质看起来有些不同，但它们之间存在一定的联系。
事实上，旋转对称的图形也可以是相似的，而相似的图形也可以具有旋转对称的性质。
例如，一个正六边形具有旋转对称性质，它可以绕着中心点旋转60度后再次与原来的图形重合。
同时，我们可以发现这个正六边形也具有相似性质，因为它的六个边的长度比例相等。
这说明旋转对称和相似性质在某些情况下可以同时存在。
四、应用举例旋转对称和相似性质在实际应用中有着广泛的应用。
例如，在建筑设计中，很多建筑物的设计就采用了旋转对称和相似的元素，使整个建筑具有美感和协调性。
另一个例子是地图的绘制。
当我们绘制一个城市的地图时，我们通常采用相似的比例尺来缩小地图的规模，同时也要保持地图的旋转对称性，使得地图更加逼真和易于阅读。
总结起来，形的旋转对称与相似是初中数学中的重要概念。
旋转对称是指图形绕着中心点旋转180度或360度后与原来的图形重合；相似性质是指形状相似但大小可能不同的图形。
有关旋转相似知识点总结
有关旋转相似知识点总结一、旋转相似的定义旋转相似是指两个图形之间通过旋转而得到的相似图形。
在几何学中，相似图形是指形状相同但大小不同的两个图形。
旋转相似是通过以一个点为中心、一个角度为旋转角的旋转变换，把一个图形变成另一个相似图形的过程。
二、旋转相似的性质1. 旋转相似的两个图形具有相同的形状，只是大小不同。
2. 旋转相似的两个图形之间的角度是相等的，只是大小不同。
3. 旋转相似的两个图形之间的长度比例是相等的。
三、旋转相似的判定条件判定两个图形是否通过旋转相似变换而得到的可以通过以下条件来判定：1. 两个图形之间的形状相同，只是大小不同；2. 两个图形之间的角度相等，即对应的顶点和边的角度相等；3. 两个图形之间的长度比例相等；4. 两个图形之间的对应边平行。
四、旋转相似的应用旋转相似在几何的计算和解决问题中有着重要的应用，以下是旋转相似的几个典型应用场景：1. 直角三角形的旋转相似在直角三角形中，通过旋转相似的变换，可以得到很多相似的三角形，从而方便我们计算和解决几何问题。
2. 图形的旋转相似在图形的计算和解决问题中，通过旋转相似的变换可以得到相似的图形，从而方便我们计算和解决问题。
3. 旋转相似的直角坐标系应用在直角坐标系中，通过旋转相似的变换可以对图形进行变换和计算。
五、旋转相似的例题以下是几个关于旋转相似的例题：例题1：已知ΔABC与ΔA’B’C’是旋转相似，有AB=3，BC=4，\angle B=120^\circ, A’B’=2, B’C’=3, 求AC的长。
解析：通过已知条件，可以计算出A’B’C’的长度和角度。
然后求出AC的长。
例题2：已知图中ABCD是一个正方形，O是AB的中点，求图形ABCD经过旋转相似变换得到的图形A'B'C'D'。
解析：ABCD经过旋转相似变换得到的图形A'B'C'D'，其中A'O=A'B'，AO=MC，即A'O+AO=AM。
中考数学复习 瓜豆原理 ——旋转相似之主动从动
旋转相似之主动从动(瓜豆原理)例题1、如图等腰Rt△ABC,AB=AC=2,点E是半径为1的圆C上的一动点，连接AE,过点A 向左侧作AD⊥AE，且使得AE=AD。
其中点D是因E动而动，所以我们称点E为主动点，点D为从动点。
(1)问随着主动点E的运动，求从动点D的运动路径长？(2)连接CD,求CD的最大值与最小值(3)△ABC与△ADE是我们之前学过的旋转相似，那么请问：主动点E和圆心C这两点在旋转相似中我们称他们的位置关系是。
例题2、如图半径为1的圆C，圆外有一定点A,且AC=2,圆C上有一动点E,连接AE,以A 为直角顶点向左侧作等腰直角△EAD.(1)求点D的运动路径长。
(2)求CD的最大与最小值。
定义：①把主动点所在的圆心称之为：主心②把“动而形不变”的三角形中的三个顶点中的定点称之为旋转中心(公共顶点)。
总结：作主动与从动类型题目步骤：以“主动点”和“主心”为旋转同位点，将“动而形不变”的三角形绕“旋转中心”进行放大旋转，使得“主动点”与“主心”重合(即：使得同位点重合)，从而构建旋转相似的两个三角形，之后就可以利用旋转相似得到”从动点”的运动轨迹了。
变式1、在△ABC中,BC=2,AC=1,以AB为边作等腰直角△ABD(B为直角顶点,C、D两点在直线AB的两侧).当∠C变化时，求线段CD长的最大值为多少?变式2、在平面直角坐标系中,点A的坐标为(2,0),点B的坐标为(5,0)，点P为线段AB外一动点，且PA=2，以PB为边作等边∠PBM，则线段AM的长最大值为___.变式3、已知：PA=2，PB=4，以AB为一边作正方形ABCD，使P、D两点落在直线AB 的两侧.(1)如图，当∠APB=45°时，求AB及PD的长；(2)当∠APB变化，且其它条件不变时，求PD的最大值及相应∠APB的大小、正方形ABCD的面积．变式4、△ABC 中，AB ＝4，AC ＝2，以 BC 为边在△ABC 外作正方形 BCDE ，BD 、CE交于点 O ，则线段 AO 的最大值为 ．P D CB A P DCBA例题3、如图，点O在线段AB上，OA=1,OB=3，以O为圆心，OA为半径作圆O，点M 在圆O上运动，连接MB，以MB为腰作等腰Rt△ABC，使∠MBC=90°，M，B，C三点按逆时针顺序排列，连接AC，则AC长的取值范围是_____.变式1、如图，P是圆O上一个动点，A是圆O外的的一个定点，且AO=4，连接AP，作AQ⊥AP，且AQ=AP。
中考数学专题复习《旋转与位似》知识点梳理及典例讲解课件
边长为1；②所拼的图形不得与原图形相同；③四边形的各顶
点都在格点上）.
第6题图
解：如图：
第6题图
7.（2023·福建）如图1，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，
D是AB边上不与A，B重合的一个定点.AO⊥BC于点O，交CD
于点E.DF是由线段DC绕点D顺时针旋转90°得到的，FD，CA
正方形
对角线交点
圆
圆心
正2n边形（n为正整数）
中心
注意点
①常见的既是轴对称又是中心对称的图形：菱形、矩形、正方
形、正六边形、圆等；
②旋转是一种全等变换，旋转改变的是图形的位置，图形的大
小关系不发生改变，所以在解答有关旋转的问题时，要注意挖
掘相等线段、角，因此特殊三角形性质的运用、锐角三角函数
建立的边角关系起着关键的作用.
旋转角为∠AOA'或∠BOB'；
②直线AB和直线A'B'所在直线相交所成的锐角为∠C，则∠C＝
∠AOA'＝∠BOB'；
③△AOA'∽△BOB'且△AOA'，△BOB'为等腰三角形；
④其中点A，C，O，A'四点共圆，点B，C，O，B'四点共圆.
图形的中心对称
1.中心对称与中心对称图形
中心对称图形
把一个图形绕某一点旋转
区别
中心对称
中心对称图形是指具有特 中心对称是指两个全等图
殊形状的一个图形
形之间的位置关系
中心对称图形可分割为关于某点成中心对称的两部
联系
分；若把成中心对称的两个图形看作一个整体，则它
2020年中考专题复习：旋转相似(手拉手模型)课件
提升拓展
（2017诸暨模拟考试16题）如图，点P为线段AB外一动点 ，PA=1，AB=2，以P为直角顶点作等腰Rt MPB( MPB的三 个顶点按顺时针排列P、M、B).则线段AM的长的最大值为多少？
M
A B
P
融会贯通
例2、在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6,AB=10, 点E是AB边上一点，∠ECF=90°，∠CEF=∠B，当
75
△AEF的面积为 8 时，求线段BE的长。
总结经验
1.见共顶点的两个相似三角形，想到手拉 手模型 2.相似必成双 3.结合两对相似导边导角解决问题
融会贯通
练习2、如图⊙O的直径为5，在⊙O上位于直径AB的两侧有定点C 和动点P。已知BC:CA=4:3，点P在半圆弧AB上运动，过点C作CP 的垂线CD，交PB的延长线于点D。 （1）求证：AC:PC=BC:CD. （2）点P运动到弧AB的中点时，求BD的长。 （3）当点P运动到什么位置时，△PCD的面积最大? 求最大面积？
中考专题复习
——旋转相似（手拉手模型）
慧眼识图
ABC ∽ ADE AB AC, AD AE
A
ABC ADE
C E
A
E D
B
C
B
D
A
ABC ADE AB AC, AD AE
C
E
A
B D
B
D E ABC∽ADE
深化模型
手拉手模型的特点：
1.两个相似三角形共顶点旋转形成的图形 2.产生新的一对相似 3.拉手的三角形等腰⇒产生的三角形全等 4.拉手的三角形全等⇒产生的三角形等腰 5.拉手的三角形全等且等腰⇒产生的三角形等腰且全等 6.拉手的三角形相似⇒产生的三角形相似
初三数学中考复习专题课件：探旋转相似型的解法
作EH ⊥AB
H
可证△HEF ∽ △AEG
∴ EF：GE = HE：AE
= HE：BE
=
旋转相似中 存在双重相似的应用
例2、已知△ABC中，∠C=90°AB=9，
，
把△ABC 绕着点C旋转，使得点A落在点A’，点B落
在点B’．若点A’在边AB上，则点B、B’的距离____．
简析：
C
由题可知AA’,BB’是旋转中的对
F （2015学年上学期期末第16题） 如图，△ABC，△EFG均是边长为4的 等边三角形，点D是边BC、EF的中点， 直线AG、FC相交于点M．当△EFG绕 点D旋转时，∠AMC=（ ）线段BM长 的最大值是（ ）
旋转相似中两个点的运动轨迹有共性
常见的，一个图形绕一定点旋转时， 则图像上任一点都在作圆弧运动。
谢谢观赏
You made my day!
我们，还在路上……
2
证 M、D、F、G四点共圆：
连DM，由MADC四点共圆可知∠ DMC= ∠ DAC
F
又∠ DAC= ∠ DGF ∴ ∠ DMC= ∠ DGF，得证.
旋转相似中 存在两组四点共圆的应用
A D
M
G
C
1
2
A DLeabharlann Rt△ADC≌ Rt △GDF， ∠ ADC=∠ GDF=90， 求∠ AMC的度数
M
G
C
F
旋转相似中两个点的运动轨迹有共性
四边形ABCD,AEFG都是正方形，点E为BC边 上一点，求证：点G一定落在直线CD上。
y
若AB=BC=2，
试描述点F的运动轨迹。
x
像这样的点E在作直线运动的旋转相似变换中，则其他 的对应点也都沿着各自的一条直线运动。
初中数学复习几何模型专题讲解21---旋转型相似模型
初中数学复习几何模型专题讲解专题21 旋转型相似模型一、单选题1．如图，正方形ABCD 中，点F 是BC 边上一点，连接AF ，以AF 为对角线作正方形AEFG ，边FG 与正方形ABCD 的对角线AC 相交于点H ，连接DG ．以下四个结论：①EAB GAD ∠=∠；②AFC AGD ∆∆∽；③22AE AH AC =⋅；④DG AC ⊥．其中正确的个数为（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】D【分析】 ①四边形AEFG 和四边形ABCD 均为正方形，∠EAB 、∠GAD 与∠BAG 的和均为90°，即可证明∠EAB 与∠GAD 相等；②由题意易得AD=DC ，AG=FG ，进而可得AC AF AD AG=，∠DAG=∠CAF ，然后问题可证；③由四边形AEFG 和四边形ABCD 均为正方形，可求证△HAF ∽△FAC ，则有AF AC AH AF=，然后根据等量关系可求解；④由②及题意知∠ADG=∠ACF=45°，则问题可求证． 【详解】解：①∵四边形AEFG 和四边形ABCD 均为正方形∴∠EAG=∠BAD=90°又∵∠EAB=90°-∠BAG ，∠GAD=90°-∠BAG ∴∠EAB=∠GAD∴①正确②∵四边形AEFG 和四边形ABCD 均为正方形∴AD=DC ，AG=FG∴AD ，AG∴AC AD =AF AG=即AC AF AD AG = 又∵∠DAG+∠GAC=∠FAC+∠GAC∴∠DAG=∠CAF∴AFC AGD ∆∆∽∴②正确③∵四边形AEFG 和四边形ABCD 均为正方形，AF 、AC 为对角线∴∠AFH=∠ACF=45°又∵∠FAH=∠CAF∴△HAF ∽△FAC ∴AF AC AH AF= 即2·AF AC AH =又∵AE∴22AE AH AC =⋅∴③正确④由②知AFC AGD ∆∆∽又∵四边形ABCD 为正方形， AC 为对角线∴∠ADG=∠ACF=45°∴DG 在正方形另外一条对角线上∴DG ⊥AC∴④正确故选：D ．【点睛】本题主要考查相似三角形的判定与性质综合运用，同时利用到正方形相关性质，解题关键在于找到需要的相似三角形进而证明．二、解答题2．如图，四边形ABCD 和四边形AEFG 都是正方形，C ，F ，G 三点在一直线上，连接AF 并延长交边CD 于点M ．（1）求证：△MFC ∽△MCA ；（2）求证△ACF ∽△ABE ；（3）若DM =1，CM =2，求正方形AEFG 的边长．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3． 【分析】 （1）由正方形的性质得45ACD AFG ∠=∠=︒，进而根据对顶角的性质得CFM ACM ∠=∠，再结合公共角，根据相似三角形的判定得结论；（2）根据正方形的性质得AF AC AE AB=，再证明其夹角相等，便可证明ACF ABE ∽△△； （3）由已知条件求得正方形ABCD 的边长，进而由勾股定理求得AM 的长度，再由MFC MCA △∽△，求得FM ，进而求得正方形AEFG 的对角线长，便可求得其边长．【详解】解：（1）四边形ABCD 是正方形，四边形AEFG 是正方形，45ACD AFG ∴∠=∠=︒，CFM AFG ∠=∠，CFM ACM ∴∠=∠，CMF AMC ∠=∠，MFC MCA ∴△∽△；（2）四边形ABCD 是正方形，90ABC ∴∠=︒，45BAC ∠=︒，AC ∴=，同理可得AF =，∴AFACAE AB ==45EAF BAC ∠=∠=︒，CAF BAE ∴∠=∠，ACF ABE ∴△∽△；（3）1DM =，2CM =，123AD CD ∴==+=，AM ∴=MFC MCA △∽△， ∴CM FMAM CM =2FM=，FM ∴=，5AF AM FM ∴=-=，∴AG即正方形AEFG ． 【点睛】 本题主要考查了正方形的性质，相似三角形的性质与判定，勾股定理，关键是掌握相似模型及证明方法和正方形性质．3．如图，在Rt ABC ∆中，∠AC8=90°，∠BAC=a ，点D 在边AC 上（不与点A 、C 重合）连接BD ，点K 为线段BD 的中点，过点D 作DE AB ⊥于点E ，连结CK ，EK ，CE ，将△ADE 绕点A 顺时针旋转一定的角度（旋转角小于90度)(1)如图1．若a=45︒，则BCK ∆的形状为__________________；(2)在（1)的条件下，若将图1中的三角形ADE 绕点A 旋转，使得D ，E ，B 三点共线，点K 为线段BD 的中点，如图2所示，求证：2BE AE CK -=；(3)若三角形ADE 绕点A 旋转至图3位置时，使得D ，E ，B 三点共线，点K 仍为线段BD 的中点，请你直接写出BE ，AE ，CK 三者之间的数量关系（用含a 的三角函数表示）【答案】（1）等腰直角三角形；（2）见解析；（3）BE-AE=2CK ；【分析】（1）利用直角三角形斜边中线的性质及等腰直角三角形的性质证明EK=KC ，∠EKC =90°即可； （2）在BD 上截取BG=DE ，连接CG ，设AC 交BF 于Q ，结合等腰直角三角形的性质利用SAS 可证△AEC≌△BGC，由全等三角形对应边、对应角相等的性质易证△ECG是等腰直角三角形，由直角三角形斜边中线的性质可得CK=EK=KG，等量代换可得结论.（3）在BD上截取BG=DE，连接CG，设AC交BE于Q，根据等角的余角相等可得∠CAE=∠CBG，由tanα的表示可得BC BGAC AE，易证△CAE∽△CBG，由直角三角形斜边中线的性质等量代换可得结论.【详解】（1）等腰直角三角形；理由：如图1中，∵∠A=45°，∠ACB=90°，∴∠A=∠CBA=45°，∴CA=CB，∵DE⊥AB，∴∠DEB=90°，∵DK=KB，∴EK=KB=DK= 12 BD，∴∠KEB=∠KBE，∴∠EKD=∠KBE+∠KEB=2∠KBE，∵∠DCB=90°，DK=KB，∴CK=KB=KD= 12 BD，∴∠KCB=∠KBC，EK=KC，∴∠DKC=∠KBC+∠KCB=2∠KBC，∴∠EKC=∠EKD+∠DKC=2（∠KBE+∠KBC）=2∠ABC=90°，∴△ECK是等腰直角三角形．（2）证明：如图2中，在BD上截取BG=DE，连接CG，设AC交BF于Q．∵∠α=45°，DE⊥AE，∴∠AED=90°，∠DAE=45°，∴△ADE是等腰直角三角形，∴DE=AE=BG，∵∠1+∠3=∠2+∠4=90°，∠1=∠2，∴∠3=∠4，∵AC=BC，∴△AEC≌△BGC（SAS），∴CE=CG，∠5=∠BCG，∴∠ECG=∠ACB=90°，∴△ECG是等腰直角三角形，∵KD=KB，DE=BG，∴KE=KG，∴CK=EK=KG，∴BE－AE= BE－BG=EG=EK＋KG =2CK．（3）解：结论：BE-AE•tanα=2CK．理由：如图3中，在BD上截取BG=DE，连接CG，设AC交BE于Q．∵DE⊥AE，∠ACB=90°，∴∠CAE+∠EQA=90°,∠CBG+∠CQB=90°∵∠EQA=∠CQB，∴∠CAE=∠CBG，在Rt△ACB中，tanα=BC AC，在Rt △ADE 中，tanα=E DE AE BG A ， ∴=BC BG AC AE， DE=AE·tanα ∴△CAE ∽△CBG ，∴∠ACE=∠BCG ，∴∠ECG=∠ACB=90°，∵KD=KB ，DE=BG ，∴KE=KG ，∴EG=2CK ，∵BE －BG=EG=2CK ，∴BE －DE=2CK ，∴BE －AE•tanα=2CK ．【点睛】本题考查了等腰直角三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、锐角三角函数等，灵活的利用等腰直角三角形的判定和性质是解题的关键.4．（问题发现）（1）如图1，在Rt △ABC 中，AB ＝AC ，D 为BC 边上一点（不与点B 、C 重合）将线段AD 绕点A 顺时针旋转90°得到AE ，连结EC ，则线段BD 与CE 的数量关系是 ，位置关系是 ；（探究证明）（2）如图2，在Rt △ABC 和Rt △ADE 中，AB ＝AC ，AD ＝AE ，将△ADE 绕点A 旋转，当点C ，D ，E 在同一直线时，BD 与CE 具有怎样的位置关系，并说明理由；（拓展延伸）（3）如图3，在Rt△BCD中，∠BCD＝90°，BC＝2CD＝4，将△ACD绕顺时针旋转，点C对应点E，设旋转角∠CAE为α（0°＜α＜360°），当点C，D，E在同一直线时，画出图形，并求出线段BE的长度．【答案】（1）BD＝CE，BD⊥CE；（2）BD⊥CE，理由见解析；（3）画出图形见解析，线段BE的长度为125．【分析】（1）由题意易得AD=AE，∠CAE=∠BAD，从而可证△ABD≌△ACE，然后根据三角形全等的性质可求解；（2）连接BD，由题意易得∠BAD=∠CAE，进而可证△BAD≌△CAE，最后根据三角形全等的性质及角的等量关系可求证；（3）如图，过A作AF⊥EC，由题意可知Rt△ABC∽Rt△AED，∠BAC＝∠EAD＝90°，然后根据相似三角形的性质及题意易证△BAE∽△CAD，最后根据勾股定理及等积法进行求解即可．【详解】解：（1）在Rt△ABC中，AB＝AC，∴∠B＝∠ACB＝45°，∵∠BAC＝∠DAE＝90°，∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，即∠BAD＝∠CAE，在△BAD和△CAE中，AB ACBAD CAEAD AE=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴BD＝CE，∠B＝∠ACE＝45°，∵∠ACB＝45°，∴∠BCE＝45°+45°＝90°，故答案为：BD＝CE，BD⊥CE；（2）BD⊥CE，理由：如图2，连接BD，∵在Rt△ABC和Rt△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠AEC＝45°，∵∠CAB＝∠DAE＝90°，∴∠BAD＝∠CAE，∵AC＝AB，AE＝AD，∴△CEA≌△BDA（SAS），∴∠BDA＝∠AEC＝45°，∴∠BDE＝∠ADB+∠ADE＝90°，∴BD⊥CE；（3）如图3，过A作AF⊥EC，由题意可知Rt△ABC∽Rt△AED，∠BAC＝∠EAD＝90°，∴AB AC AE AD =，即AB AE AC AD=， ∵∠BAC ＝∠EAD ＝90°，∴∠BAE ＝∠CAD ，∴△BAE ∽△CAD ，∴∠ABE ＝∠ACD ，∵∠BEC ＝180°﹣（∠CBE +∠BCE ）＝180°﹣（∠CBA +∠ABE +∠BCE ）＝180°﹣（∠CBA +∠ACD +∠BCE ）＝90°，∴BE ⊥CE ，在Rt △BCD 中，BC ＝2CD ＝4，∴BD ==∵AC ⊥BD ，∴S △BCD ＝12AC •BD ＝12BC •AC ，∴AC ＝AE AD ，∴AF =45，CE ＝2CF ＝165=，∴BE 125==． 【点睛】本题主要考查全等三角形的性质与判定及相似三角形的性质与判定，关键是根据题意得到三角形的全等，然后利用全等三角形的性质得到相似三角形，进而求解．5．（1）尝试探究：如图①，在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，30A ∠=︒，点E 、F 分别是边BC 、AC 上的点，且EF ∥AB ． ①AF BE的值为_________；②直线AF 与直线BE 的位置关系为__________；（2）类比延伸：如图②，若将图①中的CEF ∆绕点C 顺时针旋转，连接AF ，BE ，则在旋转的过程中，请判断AF BE的值及直线AF 与直线BE 的位置关系，并说明理由； （3）拓展运用：若3BC =，2CE =，在旋转过程中，当,,B E F 三点在同一直线上时，请直接写出此时线段AF 的长．【答案】（1）②AF BE ⊥；（2）AF BE=AF BE ⊥，证明见解析；（3）AF =-或AF =【分析】（1）①由锐角三角函数可得AC ，CF ，可得AF ＝AC−CF BC−CE ），BE＝BC−CE ，即可求AF BE=； ②由垂直的定义可得AF ⊥BE ；（2）由题意可证△ACF ∽△BCE ，可得AF AC BE BC==∠FAC ＝∠CBE ，由余角的性质可证AF ⊥BE ；（3）分两种情况讨论，由旋转的性质和勾股定理可求AF 的长．【详解】解：（1）∵90ACB ∠=︒，30A ∠=︒，∴tan BC A AC ∠==，∴AC =，∵EF AB ∥，∴30CFE A ∠=∠=︒，∴tan CE CFE CF ∠==，∴CF =，∴)AF AC CF BC CE =-=-，BE BC CE =-，∴AF BE=， ∵90ACB ∠=︒，∴AF BE ⊥，AF BE ⊥；（2）AF BE=，AF BE ⊥ 如图，连接AF ，延长BE 交AF 于G ，交AC 于点H ，∵旋转，∴BCE ACF ∠=∠，∵AC =，CF =∴AC CF BC CE==BCE ACF ∠=∠， ∴ACF BCE ∆∆∽，∴AF AC BE BC==FAC CBE ∠=∠，∵90CBE BHC ∠+∠=︒，∴90FAC AHG ∠+∠=︒，∴AF BE ⊥；（3）①如图，过点C 作CG AF ⊥交AF 的延长线于点G ，∵AC =，CF =，3BC =，2CE =，∴AC =CF =∵30CFE ∠=︒，90FCE ∠=︒，∴60FEC ∠=︒，且,,B E F 三点在同一直线上，∴120CEB ∠=︒，∵旋转，∴120AFC BEC ∠=∠=︒，∴60CFG ∠=︒，且CG AF ⊥，∴12GF CF ==，3CG ==，∴AG ===，∴AF AG FG =-=；②如图，过点C 作CG AF ⊥于点G ，∵AC =，CF =，3BC =，2CE =，∴AC =CF =∵30CFE ∠=︒，90FCE ∠=︒，∴60FEC ∠=︒，∵旋转，∴60AFC BEC ∠=∠=︒，且CG AF ⊥，∴12GF CF ==，3CG ==，∴AG ==∴AF AG GF =+=．【点睛】本题是相似综合题，考查了平行线的性质，直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，熟练运用这些性质进行推理是本题的关键．6．△ABE 内接于⊙O ，C 在劣弧AB 上，连CO 交AB 于D ，连BO ，∠COB ＝∠E ．（1）如图1，求证：CO ⊥AB ；（2）如图2，BO 平分∠ABE ，求证：AB ＝BE ；（3）如图3，在(2)条件下，点P在OC延长线上，连PB，ET⊥AB于T，∠P＝2∠AET，ET＝18，OP＝25，求⊙O半径的长．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）⊙O半径的长是【分析】（1）连接CE、OA，根据圆周角定理可得∠CEB=12COB，根据∠COB＝∠AEB可得∠COA=∠COB，根据等腰三角形“三线合一”的性质即可得结论；（2）过点O作OF⊥BE于F，根据角平分线的性质可得OD=OF，根据垂径定理可得BD=12AB，BF=12BE，根据勾股定理可得BD=BF，进而可得结论；（3）根据等腰三角形的性质可得∠AEB=∠EAB，根据直角三角形两锐角互余的性质可得∠DBO=∠AET，根据∠P＝2∠AET可得∠P=∠ABE，进而可得∠POB=∠PBO，即可证明OP=PB，由∠ETB=∠PDB=90°可证明△BET∽△PBD，根据相似三角形的性质可求出BD的长，进而根据勾股定理即可求出PD的长，根据线段的和差关系可得OD的长，利用勾股定理求出OB的长即可得答案．【详解】（1）如图，连接CE、OA，∵∠COB和∠CEB分别是BC所对的圆心角和圆周角，∴∠CEB=12 COB，∵∠COB＝∠AEB，∴∠CEB=12∠AEB，∴∠COA=∠COB，∵OA=OB，∴OC⊥AB．（2）如图，过点O作OF⊥BE于F，∵OB平分∠ABE，OD⊥AB，OF⊥BE，∴OD=OF，BD=12AB，BF=12BE，∵∴BD=BF，∴AB=BE．（3）∵AB=BE，∴∠AEB=∠EAB，∵∠COB=∠AEB，∴∠COB=∠BAE，∵ET⊥AB，OC⊥AB，∴∠BAE+∠AET=∠COB+∠DBO，∴∠DBO=∠AET，∵OB 平分∠ABE ，∴∠ABE=2∠DBO=2∠AET ，∵∠P=2∠AET ，∴∠P=∠ABE ，∴∠AEB=∠OBO ，∵∠AEB=∠EAB ，∴∠POB=∠PBO ，∴OP=PB ，∵∠ETB=∠PDB=90°，∴△BET ∽△PBD ， ∴2BD PB OP OP ET BE AB BD===， ∵ET=18，OP=25，∴2BD 2=18×25，解得：BD=15，（负值舍去）∴=20，∴OD=OP-PD=5，∴⊙O 半径的长是【点睛】本题考查圆周角定理、垂径定理、相似三角形的判定与性质及勾股定理，在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半；垂直于弦的直径平分弦，并且平分这条弦所对的两条弧；如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角分别对应相等，那么这两个三角形相似；熟练掌握相关定理是解题关键．7．矩形ABCD 中，6,8AB BC ==，点,M N 分别在边,BC AD 上，且3,2BM DN ==，连接MN 并延长，交CD 的延长线于点E ，点Q 为射线MN 上一动点，过点Q 作AQ 的垂线，交CD 于点P ．（1）特例发现，如图，若点P 恰好与点D 重合，填空：①DE =________；②QA 与QP 的等量关系为_________．（2）拓展探究如图，若点Q 在MN 的延长线上，QA 与QP 能否相等？若能，求出DP 的长；若不能，请说明理由．（3）思维延伸如图，点G 是线段CD 上异于点D 一点，连接AG ，过点G 作直线GI AG ⊥，交直线MN 于点I ，是否存在点G ，使,AG GI 相等？若存在，请直接写出DG 的长；若不存在，请说明理由．【答案】（1）①4； ②QA QP =；（2）QA 与QP 能够相等，理由详见解析；（3）（3）,AG GI 能够相等，43DG =【分析】（1）①根据END EMC ，利用对应边成比例列式求出ED 长；②过点Q 作//HG BC ，交AB 于点H ，交DC 于点G ，设QG x =，利用AHQ QGD ，对应边成比例列式求出x ，得到这两个三角形其实是全等的，所以QA QP =；（2）过点Q 作QF AB ⊥，交BA 的延长线于点F ，延长FQ 交CE 于点G ，构造“k ”字型全等三角形，设AF x =，再利用相似三角形的性质列式求解；（3）过点G 作GK AB ⊥于点K ，过点I 作IS KG ⊥，交KG 的延长线于点S ，延长AD 交IS 于点T ，同（2）构造“k ”字型全等三角形，DG y =，再利用相似三角形的性质列式求解．【详解】（1）①∵//ND MC ，∴END EMC ，∴ED ND EC MC=， 835MC BC BM =-=-=，6DC =，265ED ED =+，解得4ED =， 故答案是：4；②如图，过点Q 作//HG BC ，交AB 于点H ，交DC 于点G ，可得HG AB ⊥，HG DC ⊥，∴90AHQ QGD ∠=∠=︒，∵AQ QD ⊥，∴90AQH DQG ∠+∠=︒，∵90QAH AQH ∠+∠=︒，∴QAH DQG ∠=∠，∴AHQ QGD ，∴AH HQ QG GD=， 设QG x =，8HQ x =-，∵//QG MC ，∴EQG EMC ， ∴QG EG MC EC =，4510x DG +=，得24DG x =-， ∴24AH x =-， 根据AH HQ QG GD =，得24824x x x x --=-，解得4x =， ∴4AH HQ QG GD ====，∴AHQ QGD ≅，∴AQ QD QP ==，故答案是：QA QP =；（2）QA 与QP 能够相等，163PD =， 如图，过点Q 作QF AB ⊥，交BA 的延长线于点F ，延长FQ 交CE 于点G ，90,90,AQF PQG GPQ PQG AQF GPQ ∠+∠=︒∠+∠=︒∴∠=∠，又90,,,,AFQ PGQ AQ PQ FAQ GDP AF QG FQ PG ∠=∠=︒=∆≅∆∴==，设AF x =，则,,4QG x DG x EG x ===-，42,2EG ED x QG ND x -==∴=，解得43x =， 经检验，43x =是该分式方程的根， 42020204168,,333333FQ PG PD ∴=-=∴==-=；（3）,AG GI 能够相等，43DG =， 如图，过点G 作GK AB ⊥于点K ，过点I 作IS KG ⊥，交KG 的延长线于点S ，延长AD 交IS 于点T ，根据“k ”字型全等得,,8AKG GSI AK GS IS KG ∆≅∆∴===，设DG y =，则,8,2AK TS GS DT y IT y NT y ====∴=-=+，84tan ,22IT ED y INT NT ND y -∠==∴=+，解得43y =，故DG 的长为43．【点睛】本题考查“k ”字型全等三角形，相似三角形的性质和判定，解题的关键是作辅助线构造“k ”字型全等，再利用相似三角形对应边成比例列式求解．8．已知，ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝2α°，点D 为BC 边中点，连接AD ，点E 为线段AD 上一动点，把线段CE 绕点E 顺时针旋转2α°得到线段EF ，连接FG ，FD ．（1）如图1，当∠BAC ＝60°时，请直接写出BF AE的值； （2）如图2，当∠BAC ＝90°时，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请写出正确的结论，并说明理由；（3）如图3，当点E 在AD 上移动时，请直接写出点E 运动到什么位置时DF DC的值最小．最小值是多少？（用含α的三角函数表示）【答案】（1）1；（2）不成立，AE BF ＝2，理由见解析；（3）E 为AD 中点时，DF DC 的最小值 ＝sinα【分析】（1）取AC 的中点M ，连接EM ，BF ，可知△ABC 和△EFC 都是等边三角形，证明△ACE ≌△BCF （SAS ），可得结论．（2）连接BF ，证明△ACE ∽△BCF ，可得结论．（3）连接BF ，取AC 的中点M ，连接EM ，易得∠ACE ＝∠BCF ，AC BC ＝EC CF ，证明△ACE ∽△BCF ，得出sinα＝EM AM 的最小值 ，则得出DF DC的最小值＝sinα． 【详解】（1）连接BF ，∵AB＝AC，∠BAC＝60°，∴△ABC为等边三角形，∵线段CE绕点E顺时针旋转60°得到线段EF，∴EC＝EF，∠CEF＝60°，∴△EFC都是等边三角形，∴AC＝BC，EC＝CF，∠ACB＝∠ECF＝60°，∴∠ACE＝∠BCF，∴△ACE≌△BCF（SAS），∴AE＝BF，∴BFAE＝1．（2）不成立，结论：AEBF＝2．证明：连接BF，∵AB＝AC，D是BC中点，∴AD⊥BC，∴∠ADC＝90°，∴∠BAC＝∠CEF＝90°，∴△ABC和△CEF为等腰直角三角形，∴∠ACB ＝∠ECF ＝45°，∴∠ACE ＝∠BCF ，∴AC BC ＝CE CF ＝2， ∴△ACE ∽△BCF ，∴∠CBF ＝∠CAE ＝α，∴AE BF ＝AC BC ＝2． （3）结论：当点E 为AD 的中点时，DF DC 的值最小，最小值为sinα． 连接BF ，取AC 的中点M ，连接EM ，∵AB=AC ，EC ＝EF ，∠BAC ＝∠FEC ＝2α，∴∠ACB ＝∠ECF ，∴△BAC ∽△FEC ，AC BC ＝EC CF， ∴∠ACE ＝∠BCF ，∴△ACE ∽△BCF ，∵D 为BC 的中点，M 为AC 的中点，∴DFEM＝BCAC＝22DCAM＝DCAM，∴DFDC＝EMAM，∵当E为AD中点时，又∵M为AC的中点，∴EM∥CD,∵CD⊥AD，∴EM⊥AD,此时，EMAM最小=sinα，∴DFDC的最小值＝sinα．【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了旋转变换的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，中位线定理，锐角三角函数等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题．9．如图，函数y＝﹣x2+bx+c的图象经过点A（m，0），B（0，n）两点，m，n分别是方程x2﹣2x﹣3＝0的两个实数根，且m＜n．（Ⅰ）求m，n的值以及函数的解析式；（Ⅱ）设抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴的另一个交点为C，抛物线的顶点为D，连接AB，BC，BD，CD．求证：△BCD∽△OBA；（Ⅲ）对于（Ⅰ）中所求的函数y＝﹣x2+bx+c，（1）当0≤x≤3时，求函数y的最大值和最小值；（2）设函数y在t≤x≤t+1内的最大值为p，最小值为q，若p﹣q＝3，求t的值．【答案】（I）m＝﹣1，n＝3，y＝﹣x2+2x+3；（II）见解析；（III）（1）y最大值＝4；y最小值＝0；（2）t＝﹣1或t＝2．【分析】（I）首先解方程求得A、B两点的坐标，然后利用待定系数法确定二次函数的解析式即可；（II）根据解方程直接写出点C的坐标，然后确定顶点D的坐标，根据两点的距离公式可得△BDC 三边的长，根据勾股定理的逆定理可得∠DBC=90°，根据边长可得△AOB和△DBC两直角边的比相等，则两直角三角形相似；（III）（1）确定抛物线的对称轴是x=1，根据增减性可知：x=1时，y有最大值，当x=3时，y有最小值；（2）分5种情况：①当函数y在t≤x≤t+1内的抛物线完全在对称轴的左侧；②当t+1=1时；③当函数y在t≤x≤t+1内的抛物线分别在对称轴的两侧；④当t=1时，⑤函数y在t≤x≤t+1内的抛物线完全在对称轴的右侧；分别根据增减性可解答．【详解】（I）∵m，n分别是方程x2﹣2x﹣3＝0的两个实数根，且m＜n，用因式分解法解方程：（x+1）（x﹣3）＝0，∴x1＝﹣1，x2＝3，∴m ＝﹣1，n ＝3，∴A （﹣1，0），B （0，3），把（﹣1，0），（0，3）代入得，103b c c --+=⎧⎨=⎩，解得23b c =⎧⎨=⎩，∴函数解析式为y ＝﹣x 2+2x +3．（ II ）证明：令y ＝﹣x 2+2x +3＝0，即x 2﹣2x ﹣3＝0，解得x 1＝﹣1，x 2＝3，∴抛物线y ＝﹣x 2+2x +3与x 轴的交点为A （﹣1，0），C （3，0），∴OA ＝1，OC ＝3，∴对称轴为1312x -+==，顶点D （1，﹣1+2+3），即D （1，4），∴BC ==BD ==，224225CD ，∵CD 2＝DB 2+CB 2，∴△BCD 是直角三角形，且∠DBC ＝90°，∴∠AOB ＝∠DBC ，在Rt △AOB 和Rt △DBC 中，AO BD ==，BO BC == ∴AO BO BD BC=， ∴△BCD ∽△OBA ；（ III ）抛物线y ＝﹣x 2+2x +3的对称轴为x ＝1，顶点为D （1，4），（1）在0≤x ≤3范围内，当x ＝1时，y 最大值＝4；当x ＝3时，y 最小值＝0；（2）①当函数y在t≤x≤t+1内的抛物线完全在对称轴的左侧，当x＝t时取得最小值q＝﹣t2+2t+3，最大值p＝﹣（t+1）2+2（t+1）+3，令p﹣q＝﹣（t+1）2+2（t+1）+3﹣（﹣t2+2t+3）＝3，即﹣2t+1＝3，解得t＝﹣1．②当t+1＝1时，此时p＝4，q＝3，不合题意，舍去；③当函数y在t≤x≤t+1内的抛物线分别在对称轴的两侧，此时p＝4，令p﹣q＝4﹣（﹣t2+2t+3）＝3，即t2﹣2t﹣2＝0解得：t1＝，t2＝1；或者p﹣q＝4﹣[﹣（t+1）2+2（t+1）+3]＝3，即t=；④当t＝1时，此时p＝4，q＝3，不合题意，舍去；⑤当函数y在t≤x≤t+1内的抛物线完全在对称轴的右侧，当x＝t时取得最大值p＝﹣t2+2t+3，最小值q＝﹣（t+1）2+2（t+1）+3，令p﹣q＝﹣t2+2t+3﹣[﹣（t+1）2+2（t+1）+3]＝3，解得t＝2．综上，t＝﹣1或t＝2．【点睛】本题是二次函数的综合题型，考查利用待定系数法求抛物线的解析式，抛物线的顶点公式，三角形相似的性质和判定，勾股定理的逆定理，最值问题等知识，解题时需注意运用分类讨论的思想解决问题．10．如图1，正方形ABCD的对角线AC，BD交于点O，将△COD绕点O逆时针旋转得到△EOF （旋转角为锐角），连AE，BF，DF，则AE=BF．（1）如图2，若（1）中的正方形为矩形，其他条件不变．①探究AE与BF的数量关系，并证明你的结论；②若BD=7，AE=DF的长；（2）如图3，若（1）中的正方形为平行四边形，其他条件不变，且BD=10，AC=6，AE=5，请直接写出DF的长．【答案】（1）①AE=BF；证明见解析；②（2）【分析】（1）①利用矩形的性质，旋转的性质得到∠BOF=∠AOE，证明△BOF≌△AOE可得结论，②利用矩形性质与旋转性质证明△BFD为直角三角形，从而可得答案，（2）利用平行四边形的性质与旋转的性质，证明△AOE∽△BOF，求解BF，再证明△BDF是直角三角形，从而可得答案．【详解】（1）①AE=BF，理由如下：证明：∵ABCD为矩形，∴AC=BD，OA=OB=OC=OD，∵△COD绕点O旋转得△EOF，∴OC=OE，OD=OF，∠COE=∠DOF∵∠BOD=∠AOC=180°∴∠BOD-∠DOF=∠AOC-∠COE即∠BOF=∠AOE∴△BOF≌△AOE（SAS），∴BF=AE②∵OB=OD=OF，∴∠BFD=90°∴△BFD为直角三角形，∴222BF DF BD+=，∵BF=AE∴DF==∵BD=7，AE=∴（2））∵四边形ABCD是平行四边形，∴OC=OA=12AC=3，OB=OD=12BD=5，∵将△COD绕点O按逆时针方向旋转得到△FOE，∴OC=OE，OD=OF，∠EOC=∠FOD∴OA=OE，OB=OF，∠EOA=∠FOB∴OA OEOB OF=，且∠EOA=∠FOB∴△AOE ∽△BOF ，∴ 3,5AE OA BF OB == 5,AE =25,3BF ∴= ∵OB=OF=OD∴△BDF 是直角三角形，∴222,BF DF BD +=DF ∴==【点睛】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，旋转的性质，相似三角形的判定和性质，证明△AOE ∽△BOF 是解本题的关键．11．定义：我们知道，四边形的一条对角线把这个四边形分成了两个三角形，如果这两个三角形相似（不全等），我们就把这条对角线叫做这个四边形的“相似对角线”．（1）如图1，在四边形ABCD 中，80ABC ∠=︒，140ADC ∠=︒，对角线BD 平分ABC ∠．求证：BD 是四边形ABCD 的“相似对角线”；（2）如图2，已知FH 是四边形EFGH 的“相似对角线”，30EFH HFG ∠=∠=︒．连接EG ，若EFG∆的面积为FH 的长．【答案】（1）见解析；（2）【分析】（1）根据所给的相似对角线的证明方法证明即可；（2）由题可证的FEH FHG ∆∆∽，得到FE FH FH FG=，过点E 作EQ FG ⊥，可得出EQ ，根据2FH FE FG =⋅即可求解；【详解】（1）证明：∵80ABC ∠=，BD 平分ABC ∠，∴40ABD DBC ∠=∠=，∴140A ADB ∠+∠=．∵140ADC ∠=，∴140BDC ADB ∠+∠=．A BDC ∠=∠，∴ABD DBC ∆∆∽∴BD 是四边形ABCD 的“相似对角线”．（2）∵FH 是四边形EFGH 的“相似对角线”，∴三角形EFH 与三角形HFG 相似．又EFH HFG ∠=∠，∴FEH FHG ∆∆∽， ∴FE FH FH FG=， ∴2FH FE FG =⋅．过点E 作EQ FG ⊥，垂足为Q ． 则3sin 60EQ FE FE =⨯=．∵12FG EQ ⨯=，∴12FG = ∴8FG FE ⋅=，∴28FH FE FG =⋅=，∴FH =．【点睛】本题主要考查了四边形综合知识点，涉及了相似三角形，解直角三角形等知识，准确分析并能灵活运用相关知识是解题的关键．12．如图1，在正方形ABCD 中，G 为线段BD 上一点，连接AG ，过G 作AG GE ⊥交BC 于E ，连接AE ．（1）求证：BG DG =；（2）如图2，4AB =，E 为BC 中点，P ，Q 分别为线段AB ，AE 上的动点，满足QE =，则在P ，Q 运动过程中，当以PQ 为对角线的正方形PRQS 的一边恰好落在ABE ∆的某一边上时，直接写出正方形PRQS 的面积．【答案】（1）证明见解析；（2）正方形PRQS的面积可以为：516，2049，1，14．【分析】（1）连接AC与BD相交于O，作GH⊥AB，GI⊥BC，证明△AGH≌△EGI可得AG=GE即△AGE为等腰直角三角形，再证明△ABE∽△AOG，可得2OG=，再结合正方形的性质可得2BD GD=+，从而可证明结论．（2）分正方形PRQS的一边恰好落在AE上，正方形PRQS的一边恰好落在AB上和正方形PRQS的一边恰好落在BE上三种情况讨论，画出对应图形，利用三角函数解直角三角形即可．【详解】解：(1)连接AC与BD相交于O，作GH⊥AB，GI⊥BC，∴∠AHG=∠BIG=90°，∵四边形ABCD为正方形，∴∠ABE=90°，∠BAC=∠ABD=∠CBD=45°，∠AOG=90°,AB=,BD=2OD，∴HG=GI（角平分线上的点到角两端距离相等），∠HGI=360°-∠BHG-∠BIG-∠ABE=90°，∵∠AGH=∠AGE-∠HGE=90°-∠HGE，∠IGE=∠IGH-∠HGE=90°-∠HGE,∴∠AGH=∠IGE，在△AGH和△EGI中，∵AHG BIG HG GI AGH IGE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△AGH ≌△EGI （ASA ）∴AG=GE,∴△AGE 为等腰直角三角形，∠EAG=45°，∴∠BAE=45°-∠EAC=∠CAG,∵∠ABC=∠AOG,∴△ABE ∽△AOG ，∴BE AB OG AO==∴2OG =，∴2())2BD OG GD GD GD =+==+，∴2BG BD DG DG DG DG =-=+-=（2）∵四边形ABCD 为正方形，∴∠ABC=90°，BC=AB=4,∵E 为BC 中点，∴BE=2,AE ==∴1cos ,tan 52BE BAE BAE AB ∠==∠==, 设AP=x，则QE =①若正方形PRQS 的一边恰好落在AE 上，分两种情况如下图，若为正方形1111PR Q S ，则11cos AS AP BAE =⋅∠=，11111=A tan S Q PS S BAE x =⋅∠=，∴1111AE AS S Q Q E =++== 解得：54x =，22155())416S AS ===正； 若为正方形2222P R Q S ，则22cos AR AP BAE =⋅∠=，222tan P R AR BAE =⋅∠=∴22AE AR R E =+=+=解得：107x =，222220())49S P R x ===正； ②若正方形PRQS 的一边恰好落在AB 上，分两种情况如下图，若为正方形3333P R Q S ， 则33333331tan ,2R Q BAE R P R Q AR =∠==, ∴3322AR AP x ==,333R Q AP x ==，33cos AR AQ BAE==∠， 33AE AQ Q E =+==，解得1x =，2233()1S R Q x ===正；若为正方形4334P R Q S ， 则33343331tan ,2R Q BAE R P R Q AR =∠==， ∴342233AR AP x ==，3341133Q R AP x ==,33cos ARAQ x BAE ==∠ 则333AE AQ Q E x =+=+= 解得32x =，223311()()34S R Q x ===正． ③若正方形PRQS 的一边恰好落在BE 上，由QE =可知，Q 点和E 点不可能重合，若P 点和B 点重合，如下：此时AP=4，又2AS SQ SP==，∴184233AS =⨯⨯=，AQ AS ==，33QE ==≠,故舍去．综上所述：正方形PRQS 的面积可以为：516，2049，1，14． 【点睛】 本题考查正方形的性质，相似三角形的性质和判定，解直角三角形．（1）中能正确作出辅助线，构造相似三角形是解题关键；（2）中能分类讨论，画出对应图形是解题关键．13．如图（1），在矩形ABCD 中，8,6AB AD ==，点,E F 分别是边,DC DA 的中点，四边形DFGE 为矩形，连接BG ．（1）问题发现在图（1）中，CE BG =_________； （2）拓展探究将图（1）中的矩形DFGE 绕点D 旋转一周，在旋转过程中，CE BG的大小有无变化？请仅就图（2）的情形给出证明；（3）问题解决当矩形DFGE 旋转至,,B G E 三点共线时，请直接写出线段CE 的长．【答案】（1）45；（2）CE BG 的大小无变化，证明见解析；（3）125CE =或125【分析】（1延长FG 交BC 于点H ，可根据题意分别求出CE ，BG 的长，即可求CE BG 的值； （2）连接BD DG ，，先由勾股定理计算DG 的值，再计算45DE DG =，最后根据相似三角形的判定与性质解题即可；（3）采用分类讨论法解题，一种是点E 在线段BG 上，另一种是点E 在BG 的延长线上，据此分别求解即可.【详解】（1）解：延长FG 交BC 于点H ，则3490CH BH GH EC GHB ====∠=︒，，， 5BG ∴=，45CE BG ∴=， 故答案为：45（2）CE BG的大小无变化. 证明：如图（1），连接,BD DG ，由题意可知：1EDG ∠=∠，∴122EDG ∠+∠=∠+∠，即CDE BDG ∠=∠，在矩形ABCD 中，8,6CD BC ==，∴10BD ==， ∴45CD BD =， 在矩形DFGE 中，4,3DE GE ==，∴5DG ==， ∴45DE DG =， ∴CD DE BD DG=， ∴CDEBDG ∆∆， ∴45CE DE BG DG ==；（3）CE =如图（2），图（3）：如图（2），当点E 在线段BG 上，由（2）知，CDE BDG ∆∆，45CE BG =，在Rt BDE 中104DB DE ==，，，BE ∴==3BG ∴= 45CE BG = 45=125CE ∴=； 当点E 在BG 的延长线上时，由（2）知，CDE BDG ∆∆，45CE BG =，在Rt BDE 中104DB DE ==，，BE ∴==3BG ∴= 45CE BG = 45=125CE ∴=综上所述，125CE =或125 【点睛】本题考查勾股定理、相似三角形的判定与性质等知识，其中涉及分类讨论思想，综合性较强，有一定难度，熟练并灵活运用知识是解题的关键.14．如图，四边形ABCD 和四边形AEFG 都是正方形，C ，F ，G 三点在一直线上，连接AF 并延长交边CD 于点M ．（1）求证：△MFC∽△MCA；（2）求CFBE的值，（3）若DM＝1，CM＝2，求正方形AEFG的边长．【答案】（1）见解析；（2（3．【分析】（1）由正方形的性质得∠ACD=∠AFG=45°，进而根据对顶角的性质得∠CFM=∠ACM，再结合公共角，根据相似三角形的判定得结论；（2）根据正方形的性质得AF ACAE AB，再证明其夹角相等，便可证明△ACF∽△ABE，由相似三角形的性质得出结果；（3）由已知条件求得正方形ABCD的边长，进而由勾股定理求得AM的长度，再由△MFC∽△MCA，求得FM，进而求得正方形AEFG的对角线长，便可求得其边长．【详解】（1）∵四边形ABCD是正方形，四边形AEFG是正方形，∴∠ACD=∠AFG=45°，∵∠CFM=∠AFG，∴∠CFM=∠ACM=45°，∵∠CMF=∠AMC，∴△MFC∽△MCA；（2）∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC =90°，∠BAC =45°，∴AC AB ，同理可得AF ，∴AF AC AE AB== ∵∠EAF =∠BAC =45°，∴∠CAF+∠CAE =∠BAE+∠CAE =45°，∴∠CAF =∠BAE ，∴△ACF ∽△ABE ，∴CF AC BE AB== （3）∵DM =1，CM =2，∴AD =CD =1+2=3，∴AM ，∵△MFC ∽△MCA ， ∴CM FMAM CM=2FM =，∴FM ，∴AF =AM ﹣FM ，∴AG 2=AF ，即正方形AEFG ． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，相似三角形的性质与判定，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，关键是综合应用这些知识解决问题．15．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D是BC边上的中点，点P是AC边上的一个动点，延长DP 到点E，使∠CAE＝∠CDE，作∠DCG＝∠ACE，其中G点在DE上．（1）如图1，若∠B＝45°，则AEDG＝；（2）如图2，若∠DCG＝30°，54AEDG=，求：DGCABCSS∆∆＝；（3）如图3，若∠ABC＝60°，延长CG至点M，使得MG＝GC，连接AM，BM．在点P运动的过程中，探究：当CPAC的值为多少时，线段AM与DM的长度之和取得最小值？【答案】（1；（2；（3）当CPAC=时，线段AM与DM的长度之和取得最小值．【分析】（1）如图1，根据△ABC是等腰直角三角形，得，由点D是BC边上的中点，可知2CD= AC，得AC与CD的比，证明△DCG∽△ACE，列比例式可得结论；（2）如图2，连接AD，同理得△DCG∽△ACE，可得54AE ACDG DC==，设AB=AC=5k，BD=CD=4k，则AD=3k，由此即可解决问题；（3）如图3中，由题意，当A，M，D共线时，AM+DM的值最小．想办法证明∠GDM=∠GDC=45°，设CH=a，则PC=2a，，推出AC=2CD=2（），由此即可解决问题．【详解】解：（1）如图1，∵AB ＝AC ．∠B ＝45°，∴△ABC 是等腰直角三角形，∵BC AC ，又∵点D 是BC 边上的中点，∴BC ＝2CD ，∴2CD ，∴ACCD ，∵∠CAE ＝∠CDE ，∠DCG ＝∠ACE ，∴△DCG ∽△ACE ，∴AEACDG DC；（2）如图2．连接AD ，∵∠CAE ＝∠CDE ．∠ECA ＝∠GCD ，∴△DCG ∽△ACE ，∴AE AC DG DC =＝54， 又∵AB ＝AC ，点D 是BC 边上的中点，∴BD ＝DC ，AD ⊥BC ，设AB ＝AC ＝5k ．BD ＝DC ＝4k ，由勾股定理可得AD ＝3k ，∵∠ECA ＝∠GCD ，∴∠ACD ＝∠ECG ∵AC EC CD CG= ∴AC CD EC CG = ∴△ADC ∽△EGC ，∴∠ADC ＝∠EGC ＝90°可得EG ⊥GC ，又∵D ，G ，E 三点共线，∴∠DGC ＝90°，又∵∠DCG ＝30°，可得DG ＝2k ，GC ＝，∴S △DGC ＝12×2k×＝k 2， S △ABC ＝12×8k×3k ＝12k 2， ∴DGC ABC S S＝6；故答案为：6； （3）如图3，当A ，M ．D 三点共线时，AM+DM 的值最小，连接EM，取AC的中点O，连接OE，OD．作PH⊥CD于点H，∵AB＝AC，∠ABC＝60°，∴△ABC是等边三角形，又∵BC＝AC．∠ACB＝60°，∴∠DAC＝∠HPC＝30°，∵BD＝CD，AC＝BC，∴AC＝2CD，∵∠CAE＝∠CDE，∠ECA＝∠GCD，∴△DCG∽△ACE，∴12 CD CGAC CE==，∴EC＝2CG，又∵CG＝MG，∴MC＝CE，又∵∠ACD＝60°，∴∠MCE＝60°，∴△MCE是等边三角形，又∵O是中点，∴DC＝CO，∠ECO＝∠MCD，MC＝CE，∴△MDC≌△EOC（SAS），∴OE＝DM，又∵∠CDE＝∠CAE，∴A，D，C，E四点共圆，∴∠ADC+∠AEC＝180°，∴∠AEC＝90°，∴AO＝OC，∴EO＝OC＝CD＝MD，又∵CG＝GM，CD＝DM，∴∠GDM＝∠GDC＝45°，∠PDH＝∠DPH＝45°，∴PH＝DH，设CH＝a，则PC＝2a，PH＝DH，∴AC＝2CD＝2（），∴12CPAC==．【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，正确寻找相似三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题．16．如图1所示，矩形ABCD中，点E，F分别为边AB，AD的中点，将△AEF绕点A逆时针旋转α（0°＜α≤360°），直线BE，DF相交于点P．。
几何形的旋转与相似
几何形的旋转与相似几何形的旋转与相似是几何学中的基本概念，它们在许多数学问题和实际应用中都起着重要的作用。
本文将介绍几何形的旋转和相似的定义、性质以及常见的应用。
1. 旋转旋转是指围绕某一点进行旋转操作，使得原有的图形按照一定的角度和方向进行移动。
我们可以通过几何运算的方式来描述旋转变换。
设有一点O为旋转中心，角度为θ，若点P相对于点O的旋转变换后的位置为P'，则P'可以通过以下公式计算得到：x' = x * cosθ - y * sinθy' = x * sinθ + y * cosθ其中(x, y)为点P的坐标，(x', y')为点P'的坐标。
旋转变换可以将图形绕某一中心进行旋转，保持图形的形状和大小不变。
在实际应用中，旋转变换常被用于计算机图像处理、航空航天等领域。
2. 相似相似是指两个图形在形状上相似，但大小可以不同。
具体而言，若两个图形的对应角度相等，则称它们为相似图形。
对于平面图形，我们可以通过比较它们的对应边长的比值来判断是否相似。
设有两个相似图形A和B，分别具有对应边长a和b，若它们的对应边长比值为k，则可以得到以下公式：k = a / b根据相似的定义，我们可以推导出相似图形之间的性质。
例如，相似三角形的对应角度相等，对应边长成比例，面积成比例等。
相似性是几何形变换中的重要概念，它在图像压缩、模型放大缩小等领域有着广泛的应用。
3. 应用案例几何形的旋转与相似在实际应用中有着广泛的应用。
以下是其中一些常见的应用案例：3.1 建筑设计在建筑设计中，旋转和相似变换被广泛运用于建筑物的设计和布局。
设计师可以利用旋转变换来调整建筑物的方向、空间布局等，以实现更好的设计效果。
同时，相似变换也被用于模型的缩放和变形，帮助设计师更好地进行建筑规划。
3.2 机器人技术在机器人技术中，旋转变换被用于控制和定位机器人的运动。
通过旋转变换，机器人可以精确地调整自身的方向和位置，实现更准确的目标定位和路径规划。
中考数学满分之路(四)—旋转全等与旋转相似
中考数学满分之路（四）——旋转全等与旋转相似一、旋转全等有公共顶角顶点且顶角相等的两个等腰三角形组成的图形中，必有全等三角形.旋转的性质 一个图形和它经过旋转所得的图形中，对应点到旋转中心的距离相等，任意一组对应点与旋转中心的连线所成的角都等于旋转角；对应线段相等，对应角相等. 如图，已知AB ＝AC ，AD ＝AE ，∠BAC ＝∠DAE . 求证：△ABD ≌△ACE . 证明：∵∠BAC ＝∠DAE ，∴∠BAC ＋∠CAD ＝∠DAE ＋∠CAD ，即∠BAD ＝∠CAE ， ∵AB ＝AC ，∠BAD ＝∠CAE ，AD ＝AE ， ∴△ABD ≌△ACE .如图，若△ABD ≌△ACE ，则AB ＝AC ，∠BAD ＝∠CAE （进而∠BAC ＝∠DAE ），AD ＝AE . 其中△ACE 可看作是由△ABD 绕点A 逆时针旋转∠BAC 得到的.所以，将一个三角形绕其一个顶点旋转一定角度（旋转角α满足α＜360°且α≠180°）后，会得到有公共顶角顶点且顶角相等的两个等腰三角形.EE1. 如图，点C 为线段AE 上一动点（不与A ，E 重合），在AE 同侧分别作正△ABC 和正△CDE ，AD 与BE 交于点O ，AD 与BC 交于点P ，BE 与CD 交于点Q ，连接PQ ，OC . 以下6个结论：①AD ＝BE ；②AP ＝BQ ；③DE ＝DP ；④∠AOB ＝60°；⑤PQ ∥AE ；⑥OC 平分∠AOE . 其中，恒成立的有______.（把你认为正确的结论的序号都填上）2. 如图所示，以Rt △ABC 的斜边BC 为一边在△ABC 同侧作正方形BCEF ，设正方形的中心为O ，连接AO ，如果AB ＝2，AO =tan ∠AOB 的值为______.3. 如图，已知点C 为线段BD 上一点（不与端点重合），△ABC ≌△CDE ，且∠ABC ＝∠CDE ＝90°，连接AE ，点M 为AE 的中点，连接MB ，MD . 请判断△BMD 的形状，并说明理由.二、旋转相似将一个三角形绕其一个顶点旋转一定角度（旋转角α满足α＜360°且α≠180°）并放大（或缩小），再连接对应点后会得到另一组相似三角形. （简述为：旋转相似一拖二） 如图，△ABC ∽△ADE ⇔△ABD ∽△ACE ，（可用SAS 判定相似）.圆中的旋转相似已知，△ABC 内接于⊙O ，AD 是BC 边上的高，AE 是直径. 求证：AB AC AD AE ⋅=⋅.已知，△ABC 内接于⊙O ，角平分线AD 的延长线交⊙O 于E. 求证：AB AC AD AE ⋅=⋅.进一步推导，2()AB AC AD AE AB AC AD AD DE AD AB AC AD DE AB AC BD DC ⋅=⋅⇒⋅=⋅+⇒=⋅−⋅=⋅−⋅. 即若AD 是△ABC 的角平分线，则2AD AB AC BD DC =⋅−⋅. （三角形的角平分线长公式）B4. 如图，已知AC为正方形ABCD的对角线，点P是平面内不与点A，B重合的任意一点，连接AP，将线段AP绕点P顺时针旋转90°得到线段PE，连接AE，BP，CE.（1）求证：△APE∽△ABC；（2）当线段BP与CE相交时，设交点为M，求BPCE的值以及∠BMC的度数；（3）若正方形ABCD的边长为3，AP＝1，当点P，C，E在同一直线上时，求线段BP的长.P备用图5. 如图，在Rt △ABC 中，90C ∠=，AD 平分BAC ∠交BC 于点D ，O 为AB 上一点，经过点A ，D 的⊙O 分别交AB ，AC 于点E ，F ，连接OF 交AD 于点G .（1）求证：BC 是⊙O 的切线；（2）设AB x =，AF y =，试用含x ，y 的代数式表示线段AD 的长； （3）若8BE =，5sin 13B =，求DG 的长.6. 已知锐角MBN ∠的余弦值为35，点C 在射线BN 上，25BC =，点A 在MBN ∠内部，且90BAC ∠=，BCA MBN ∠=∠，过点A 的直线DE 分别交射线BM ，射线BN 于点D ，E ，点F 在线段BE 上（点F 不与点B 重合），且EAF MBN ∠=∠.（1）如图1，当AF ⊥BN 时，求EF 的长；（2）如图2，当点E 在线段BC 上时，设BF x =，BD y =，求y 关于x 的函数解析式并写出函数的定义域；（3）连接DF ，当△ADF 与△ACE 相似时，请直接写出BD 的长.图1 图2 备用图三、旋转相似与旋转全等共锐角顶点的两个处于旋转位置的相似三角形组成的图形中，连接对应点后会得到另一组相似三角形；以该公共顶点为等腰三角形的顶角顶点可构造出有公共顶角顶点且顶角相等的两个等腰三角形，从而构造出全等三角形.EEE7. 如图，以△ABC的AB，AC边为斜边在△ABC外部作Rt△ABP和Rt△ACQ，且使∠ABP＝∠ACQ，M 是BC的中点，连接MP，MQ. 求证：PM＝QM且∠PMQ＝2∠ABP.P8. 已知：等边△ABC 中，CE 平分∠ACB ，D 为BC 边上一点，且DE ＝DC ，连接BE . （1）如图1，若BC =，4CE =，求BE 的长；（2）如图2，取BE 中点P ，连接AP 、PD 、AD ，求证：AP PD ⊥且AP ；（3）在（1）的条件下，将△CDE 绕点C 顺时针旋转，如图3，连接BE ，取BE 中点P ，连接AP 、AD ，当EC ∥AD 时，求AP 的长.图1图2图39. 如图 1，已知等腰Rt △ABC 中，E 为边AC 上一点，过E 点作EF ⊥AB 于F 点，以EF 为边作正方形EF AG ，且AC ＝4，EF ＝2（1）如图1，连接CF ，求线段CF 的长（2）将等腰Rt △ABC 绕A 点旋转至如图2的位置，连接BE ，M 点为BE 的中点，连接MC 、MF ，求MC 与MF 的关系（3）将△ABC 绕A 点旋转一周，请直接写出点M 在这个过程中的运动路径长为______.图1BC图2。
探旋转相似型的解法ppt课件
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6
旋转相似中 存在双重相似的应用
23．（12分）（2013•绍兴）在△ABC中，∠CAB=90°， AD⊥BC于点D，点E为AB的中点，EC与AD交于点G， 点F在BC上． （1）如图1，AC:AB=1:2，EF⊥CB，求证：EF=CD． （2）如图2，AC:AB=1： ，EF⊥CE，求EF：EG的值．
作EH ⊥AB
H
可证△HEF ∽ △AEG
∴ EF：GE = HE：AE
= HE：BE
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7
=
旋转相似中 存在双重相似的应用
例2、已知△ABC中，∠C=90°AB=9，
，
把△ABC 绕着点C旋转，使得点A落在点A’，点B落
在点B’．若点A’在边AB上，则点B、B’的距离____．
简析：
C
由题可知AA’,BB’是旋转中的对
应点连线段， ∠ ACA’ ，∠ BCB’
分别为所对旋转角。所以
△ACA‘∽△BCB’，可知AA’：
BB’=AC：BC=6：3√5，所以要
先求AA’的长。
求对应点连线段的长
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旋转相似中的存在两组四点共圆
例：如图， △ADC ∽ △GDF，A、C的对应点分别是G、
F。当△GDF绕点D旋转时，直线AG、CF交于点M，则
可证M、A、D、C四点共圆和M、D、F、G四点共圆。
证 M、A、D、C四点共圆：
由双重相似可知△ ADG ∽ △ CDF ,
A
∴ ∠ AGD= ∠ CFD
M
∴ ∠ AMC= ∠ AGD+ ∠ 1+ ∠ 2
= ∠ CFD+∠ 1+ ∠ 2
人教初三数学第23章旋转旋转基础知识及专项(word版含解析)
三、点绕点旋转90问题
此种问题通过构造两个直角三角形全等，然后利用对应直角边线段长度相等，从而求出对应点坐标。
示例：将点A(3,4)绕点P(1,1)逆时针旋转90，求点A的对应点A1的坐标。分析：旋转不改变图形线段长度及图形线段
的夹角。因此有PAPA1。由于旋转角为90，即APA190，因此我们可以就斜边PAPA1，以平行于坐标轴的线段构造两个直角三角形。专门明显，这两个直角三角形时
（2）对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；
（3）旋转前、后图形全等。
4、把一个图形绕着某一点旋转180，假如它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于
那个点对称或中心对称，那个点叫做对称中心。这两个图形的对称点叫做关于中心的对称点。
5、（1）关于中心对称的两个图形，对称点所连线段都通过对称中心，而且被对称中心平分；
上三角形时，同学能够考虑以下利用旋转来解题。
以下通过一些实例来关心同学们明白得如何利用等腰三角形的腰转动带动等腰三角形腰所在的三角形转动，从而构造全等三角形进而利用旋转知识解决相关问题。
结论3：对应点与旋转中心所构成的三角形均相似。如图，BAB1∽CAC1。
结论4：旋转前、后图形全等。如图，ABCAB1C1。
示例1：已知A(3,2)、O(0,0)，将线段OA绕点P旋转得到线段O1 A1，其中O1 (1,1)、A1 (3,4)，
O1为点O的对应点，A1为点A的对应点，求点P的坐标。
分析：旋转中心为对应点所连线段垂直平分线的交点，因此只要求出线段AA1和线段OO1的解析式，然后联赶忙可求出点P的坐标。
分析：既然直线l为线段AB的垂直平分线，因此直线l通过线段AB的中点，也即线段AB的
九年级数学上册旋转知识点
九年级数学上册旋转知识点在九年级数学上册中，旋转是一个重要的知识点，它涉及到几何图形旋转后的性质和变化。
在本文中，我们将深入探讨旋转的概念、旋转的性质以及如何运用旋转来解决问题。
一、旋转的概念旋转是一种几何运动，它将一个图形围绕一个点或一条线旋转一定角度后得到一个新的图形。
旋转可以分为顺时针旋转和逆时针旋转两种方式。
旋转的中心可以是任意一点，也可以是图形内部的一个点或多边形的中心。
二、旋转的性质1. 相似性：旋转不改变图形的形状和大小，只改变位置和方向。
旋转后的图形仍与原图相似。
2. 旋转角度：旋转角度是旋转的基本概念，它表示图形旋转的角度大小。
顺时针旋转角度为负值，逆时针旋转角度为正值。
3. 旋转中心：旋转中心是旋转的参考点，图形围绕旋转中心旋转。
旋转中心可以是图形内部的一个点，也可以是任意一点。
4. 不变性：旋转不改变图形的面积、周长和内角和。
只要旋转角度相同，图形的这些性质不会发生改变。
三、旋转的应用1. 图形的旋转：可以通过旋转图形来找出图形的对称轴，以及解决一些与对称有关的问题。
例如，我们可以通过旋转一个正方形90度来发现它有4个对称轴，分别是水平轴、垂直轴和两条对角线。
这有助于我们更好地理解图形的对称性质。
2. 图形的判断：通过旋转图形，我们还可以判断一个图形是否与另一个图形相似。
例如，我们可以通过旋转一个三角形180度，使其与另一个三角形重叠。
如果两个三角形完全重合，那么它们就是相似的。
3. 问题的求解：在解决一些几何问题时，旋转可以帮助我们更好地理清思路和寻找解题方法。
例如，当我们需要计算一个图形的面积时，可以将图形旋转一定角度，使其变成一个更简单的图形，然后计算这个简单图形的面积，最后通过旋转角度计算出原图形的面积。
四、旋转的思维拓展1. 与平移和缩放的关系：旋转与平移和缩放是几何变换的三种基本变换，它们之间存在着一定的联系。
例如，通过不同的旋转角度和旋转中心，可以实现平移和缩放的效果。
2023中考数学---中考数学手拉手旋转相似模型
手拉手模型的特点
如下图所示，手拉手模型是由两个具有公共顶点的相似三角形（ △ABB'∽△ACC'），分别连接两个左手顶点（点B和点C）和右手顶点（点B'和 点C'）所组成的图形（左手拉左手，右手拉右手）。
手拉手模型的重要结论
证明:▲BAC全等于是以公共顶点为顶点
旋转到A、D、E三点共线的时候
等腰三角形时，得到旋转全等形
▲共顶点的两个三角形为等腰三角形
证明:▲BAC相似于▲B'AC'
结论2： 当两个三角形不是等腰三角
形时，得到旋转相似形
▲共顶点的两个三角形为相似的非等腰三角形
证明:∠BOB'=∠BAB'
结论3： 拉手两条线的夹角等于旋转
相似三角形的顶角。
共顶点等边三角形中的六大结论
初三数学旋转相似讲义
专题：旋转相似模型：手拉手相似模型，旋转相似成双对。
条件：CD∥AB（本质即为△OCD∽△OAB），将△OCD绕点O旋转到图1和图2的位置。
结论：⑴、△OCD∽△OAB △OAC∽△OBD。
即连接对应点所得的一对新三角形相似。
⑵、延长AC交BD于点E，则∠AEB=∠BOA（用蝴蝶形图证明）（能得到点A、O、E、B四点共圆）模型特例：共直角顶点的直角三角形相似当∠AOB=∠COD=90°时，除⑴、△OCD ∽△OAB ⇔ △OAC ∽△OBD⑵、延长AC 交BD 于点E ，则∠AEB=∠BOA=90°（用蝴蝶形图证明） 外，还有结论 ⑶、OAB OCD OAOBOC OD AC BD ∠=∠===tan tan ⑷、因为AC ⊥BD 于点E ，那么，若连AD 、BC ，则四边形ABCD 对角线互相垂直，则 ①BD AC S ABCD ⋅=21四边形 ②2222CD AB BC AD +=+DE O FE O BCA DAB FC例题讲解例1.已知△ABC 与△DEF 都是等腰三角形，AB 、EF 的中点均为O ，且顶角∠ACB=∠EDF. （1）如图1，若∠ACB=900,探究BF 与CD 间的数量关系； （2）如图2，若tan ∠ACB=43，求BF CD 的值；（3）如图3，若△ABC 中AC=BC=a ，将△DEF 绕点O 旋转，设直线CD 与直线BF 交于点H ，则BCH S ∆最大值为__________（用含a 的式子表示）。
分析：（1）连OC ，OD ，△OBF ≌ △OCD ，BF=CD（2）构造手拉手旋转相似。
可证△OBC ∽ △OFD, △ODC ∽ △OFBBF CD =OB OC =tan ACB ∠21问题转化为已知tan ∠ACB=43，求tan ACB ∠21的问题，必须熟悉等腰三角形中有关三角函数值的常见处理方法。
由右图提示可得tan ACB ∠21=31； （3）由（2）△OBC ∽ △OFD, △ODC ∽ △OFB ，蝴蝶形图易得∠CHB=∠COB=90°；又BC=a ，定边定角，点H 在以BC 为直径的圆上，易求()2max 412121a a a S BCH =⋅⋅=∆例2.如图１，已知在正方形ABCD 和正方形BEFG 中，①求证：AG ＝CE ；②求AGDF的值分析：①如图2，证CBE ABG △△≅，∴AG=CE ②如图2，连接BD ，BF ，DF ， 易证2==BEBFBC BD ，︒=∠=∠45FBE DBC ， CB E ∠=DB F ∠∴ ∴CBE DBF △△~ ∴2==BCBDCE DF CE =AG ∵ ∴2==CEDFAG DF 变式：如图3，正方形ABCD 和EFGH 中，O 为BC ，EF 中点(1)求证：AH=DG;(2)求CFAH的值。
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专题：旋转相似
模型：手拉手相似模型，旋转相似成双对。
条件：CD∥AB（本质即为△OCD∽△OAB），将△OCD绕点O旋转到图1和图2的位置。
结论： △OAC∽△OBDOCD∽△OAB 。
即连接对应点所得的一对新三角形相似。
⑴、△
⑵、延长AC交BD于点E，则∠AEB=∠BOA（用蝴蝶形图证明）（能得到点A、O、E、B四点共圆）
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模型特例：共直角顶点的直角三角形相似
当∠AOB=∠COD=90°时，除
?△OACOAB ∽△OBD
⑴、△OCD∽△⑵、延长AC交BD于点E，则∠AEB=∠BOA=90°（用蝴蝶形图证明）外，还有结论
BDODOB???tan?OCD?tan?OAB⑶、ACOCOA⑷、因为AC⊥BD于点E，那么，若连AD、BC，则四边形ABCD对角线互相垂直，则
1S?ACBD??ABCD四边形22222AD?BC?AB?CD?
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例题讲解
例1.已知△ABC与△DEF都是等腰三角形，AB、EF的中点均为O，且顶角∠ACB=∠EDF.
间的数量关系；探究BF与（1）如图1，若∠ACB=90,3BF 的值；，求）如图2，若tan∠ACB= 0CD
（2CD4S最大值，则BF交于点HDEF绕点O旋转，设直线CD与直线（3）如图3，若△
ABC中AC=BC=a ，将△BCH?为__________（用含a的式子表示）。
分析：
（1）连OC，OD，△OBF≌△OCD，BF=CD
B B
EE DOO FD FCAAC
（2）构造手拉手旋转相似。
可证△OBC∽△OFD, △ODC∽△OFB
1OBBF∠ACB = =tan CDOC231∠ACB的问题，必须，求问题转化为已知tan∠ACB=tan42熟悉等腰三角形中有关三角函数值的常见处理方法。
11ACB∠=由右图提示可得 tan；23（3）由（2）△OBC∽△OFD, △ODC∽△OFB，蝴蝶形图易得∠CHB=∠COB=90°；又BC=a ，定边定角，111??2???a?aaS为直径的圆上，易求点
H在以BC BCH?max422
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精品文档DF；?求的值?如图１，已知在正方形ABCD和正方形BEFG中，求证：AG＝CE例2.
AG
CBE△ABG?△AG=CE 分析：，∴2，证?如图，DF，BD ?如图2，连接，
BF BFBD2???FBE?45?DBC??易证，，BEBC ECBDB=F∠∴∠
CBE△△DBF~∴
BDDF2??∴BCCE CE=∵AG
DFDF??2∴AGCEAH的值。
变式：如图3，正方形ABCD和EFGH中，O 为BC，EF中点(1)求证：AH=DG;(2)求CF
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精品文档OG,OA,OH,OD, (1)连接分析：DOG~△△AOH易证：
DGAH??
1OBOE)(??,2 2EHAB,HEO△?ABO~
△,HOE??AOB??,AOH??BOE??OHOE,又? OAOB,△OAH?△
OBE~AOAH5???BOBE，△COF易证△BOE?,?CF?BEAH5??CF ADACACBDCEABCCEDCAEAE的长。
8＝∠＝30°，，求＝3，如图，∠例3.＝＝∠＝90°，∠＝∠A
C B
分析：D
，BE由基本图形易得连接E
3BEADACDBCE，∠∽△，可证△＝3
BAE°＝90BEABE10 作，由勾股定理求得＝在Rt△A
310AD则＝3
C
B
D
E
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精品文档00AB?23,BC?8,?ABC?60，?DAC?120，AD?AC,求练习1.如图，点ABDDBC内一点，是△得长。
BD=10. 分析：构造旋转相似，由基本图形可得出以下几种方法，求出
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ABCACBBCACFGACBCCFGC顺时针，、的中点，将△练习2．如图，在△分别为中，∠＝90°，绕点＝2、AFBGI.与直线交于点旋转，直线AFBG；⊥(1) 求证：2AI BI的值；当旋转角小于90°时，求 (2) CI ACACI面积的最大值，直接写出△若___________.
＝4(3)
分析：，定边定角得I轨迹为圆弧。
，又四点共圆可得∠、CI、BAIC=∠ABCAC=4、点轨迹，由）需分析出（3IA
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精品文档将4．＝2AD＝90°ABC和等腰Rt△ADE按图1方式放置，∠A＝，AD边与AB边重合，AB3练习．将等腰Rt△．的延长线交直线CE于点P绕点△ADEA逆时针旋转（旋转角不超过180°），BD ___________，位置关系是___________；，（1）如图2BD与CE的数量关系是BD时，求CP的长；（2）在旋转的过程中，当AD⊥的延长线上时，求点P所经过的路径的长．（3）当点D落在BA
B
B
D
D
C
C E
A A
E
图1
2
图
分析：B
BD⊥CE）（1BD＝CE
90°⊥（2）∵BD⊥CE，ADBD，∴∠ADP＝∠DPE＝D
ADPE为正方形AE，AD＝，∴四边形90°又∠DAE＝C
A
2 AD＝，∴2∵AB＝AD＝4PE＝P
E
223 AB＝＝AD＝∴CEBD2－
2
3CP＝2∴－OP、中点（3）取BCO，连接OA BD∵在旋转过程中，⊥CE，∴∠90°BPC＝12 OP ＝＝BC2∴2
为圆心、半径为O的一段圆弧22的运动路径是以∴点P C
P 即△ABC外接圆的一部分AOP则∠2＝∠ABP
易知点为圆心、半径为A在以D的半圆上运动2精品文档．
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当BP与半圆A相切于点D时，∠ABP最大，从而∠AOP最大
1AB，∴∠ABP＝30°，∴∠AOP＝60°∵AD＝2
即当△ADE从初始位置旋转60°时，点P沿圆弧从A点运动到∠AOP＝60°
当△ADE继续旋转，直至点D落在BA的延长线上时，∠ABP＝0°，∠AOP＝0°∴点P从∠AOP＝60°处又回到A点
＝2 所经过的路径的长为：∴点P×
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