线性代数第三章向量与向量空间
线性代数第三章总结
第三章 几何空间一、 向量的运算1. 向量的数量积（1） 在仿射坐标系123{;,,}O e e e 中给定两个向量123(,,)x x x α=，123(y ,,)y y β=，则112323(,,)y x x x A y y αβ⎛⎫ ⎪⋅= ⎪ ⎪⎝⎭，其中111213212223313233e e e e e e A e e e e e e e e e e e e ⋅⋅⋅⎛⎫ ⎪=⋅⋅⋅ ⎪ ⎪⋅⋅⋅⎝⎭. （2） 在直角坐标系{;,,}O i j k 中给定两个向量123(,,)x x x α=，123(y ,,)y y β=，则131233213(,,)i i i y x x x I y x y y αβ=⎛⎫ ⎪⋅== ⎪ ⎪⎝⎭∑ ∙ =0αβαβ⊥⇔⋅2. 向量的向量积在直角坐标系{;,,}O i j k 中给定两个向量123(,,)x x x α=，123(y ,,)y y β=，则123123i jk x x x y y y αβ⨯=. ∙ //=0αβαβ⇔⨯3. 向量的混合积在直角坐标系{;,,}O i j k 中给定两个向量123(,,)x x x α=，123(y ,,)y y β=，123(,,)z z z γ=则123123123(,,)x x x y y y z z z αβγ=. ∙ (,,)0αβγαβγ⇔=，，共面例：（1）设=αβγδ⨯⨯， =αγβδ⨯⨯，证明αδ-，βγ-共线.（2）设0αββγγα⨯+⨯+⨯=，证明αβγ，，共面.（3）证明()()βγααγβγ⋅-⋅⊥.证明：（1）因为()()αδβγ-⨯-=αβαγδβδγ⨯-⨯-⨯+⨯=αβγδαγ⨯-⨯-⨯+0βδ⨯=，所以αδ-，βγ-共线.(2)因为()αβγ=，，()αβγ⨯⋅=()βγγ-⨯⋅()γαγ-⨯⋅=()βγγ-，，()γαγ-，，0=，所以αβγ，，共面.（3） 因为(()βγα⋅())αγβγ-⋅⋅=()βγ⋅()αγ⋅()αγ-⋅()βγ⋅0=，所以()βγα⋅()αγβ-⋅γ⊥.二、 位置关系的判断1. 两个向量的共线；三个向量的共面.2. 两条直线异面，共面（相交、平行、重合）3. 两个平面相交、平行、重合4. 直线与平面相交、平行、直线在平面上.三、距离和垂线（在右手直角坐标系中讨论）1. 点到直线的距离，垂线方程垂线方程：设直线过已知点0000,,)P x y z （方向向量为0()X Y Z υ=，，，求过111(,,)P x y z 点直线的垂线方程。
同济大学线性代数教案第三章向量空间与线性方程组解的结构
线性代数教学教案第三章 向量组及其线性组合授课序号01,n a 组成的有序数组称为2n a ⎪⎪⎪⎭维向量写成),,n a个分量，其中T,…来表示,n a 是复数时，维复向量，当12,,,n a a a 是实数时，本书所讨论的向量都是实向量0⎪⎪⎪⎭或()0,0,,00=.2n a ⎪⎪⎪⎭称为向量2n a ⎪⎪⎪⎭的负向量，记为α. 向量的运算：由于向量可看成行矩阵或列矩阵，因此我们可用矩阵的运算来定义向量的运算，也就是：122,n n a a b ⎛⎫⎛⎪ ⎪=⎪ ⎪⎪ ⎪⎭⎝⎭β，k ∈，则有1122n n a b a b a b +⎛⎫ ⎪+ ⎪= ⎪ ⎪+⎝⎭β； （2）2n k ka ⎪⎪⎪⎭α；我们称这两种运算为向量的线性运算)1221122,,n n n n b ba a ab a b a b b ⎛⎫⎪ ⎪=+++ ⎪ ⎪⎝⎭；()111212212221212,,,n n n n n n n n a b a b a b a b a ba b b b b a a b a b a b ⎛⎫⎪⎪ ⎪=⎪ ⎪⎪⎪⎭⎝⎭. 二、向量组及其线性组合：：由若干个维数相同的向量构成的集合，称为向量组． ：给定n 维向量组,,,n ααα，对于任意一组数,,,n k k k ，表达式+n n k k α,n α和一个,n k ，使得++n n k =βα，,,n α线性表示，或者说向量β是向量组,n α的一个线性组合量组12,,,n ααα（唯一）线性表分必要条件是+n n x =α有（唯一）解.三、向量组的等价：由向量组B 线性表示：,,m αα是m ,,s β是s 维向量组成的向量组. 中每一个向量,)s β均可由向量组,m α线性表,s β可由向量组:A 12,,,m ααα线性表示.A 与向量组可以相互线性表示，则称向量组A 与向量组2,,,m αα与向量组:B 2,,,s βββ. 令矩阵),m A α，),s β，则向量组B 可由向量组线性表示的充分必要条件是矩阵方程=B向量组A 与向量组等价的充分必要条件是矩阵方程=BY A四、主要例题：1211222221122n n n n m m mn n ma x a x a x a x a xb +++++=中第()121,2,,i i i mi a ai n a ⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭α，维列向量2m b ⎪⎪⎪⎭， n n x β+=α12122212n n m m mn a a a a a ⎫⎪⎪⎪⎪⎭，将矩阵A 与列向量组和行向量组对应2100010,,,001n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭e e ，将任一向量2n a ⎪⎪⎪⎭由12,,n e e e 线性表示536⎫⎪⎪⎪-⎭及向量组123101,2,11⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭βββ，试问α能否由12,ββ123-⎫⎛⎫⎛⎫授课序号02,m α，如果存在一组不全为零的数,m k ，使得m m k +α，则称向量组,m α线性相关．线性无关：若当且仅当0m k ==时，才有112m m k k k ++=0ααα,m α线性无关.m 个n 维向量构成的向量组12,,,m ααα线性相关的充分必要条件是齐次线性方程组1122m m k k k +++=0ααα有非零解；线性无关的充分必要条件是上述齐次线性方程组只有零解0m k k k ===(,m m α线性相关的充分必要条件是存在某一个向量(1j ≤α2线性相关的充分必要条件是它们的分量对应成比例是向量组A 的部分组线性无关，则其部分组,m α是m 个,m α线性无关，而向量组,,m αβ线性相关，则向量,m α线性表示，且表示式是唯一的如果向量组1,,s ααα可由向量组,t β线性表示，并且s >,s α线性如果向量组12,,,s ααα可由向量组2,,t β线性表示，并且向量组,s α线性无关，则2,,s α与向量组,t β均线性无关，并且这两个向量组等价，则s t =.2322,2⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪α，存在一组不全为零的数20,,,001n ⎪ ⎪ ⎪==⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎭⎝⎭⎝⎭e e ，对任意一组数12120001001n n n n k k k k k k k ⎛⎫⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+=+++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭e ，0n k ==时，才有1122n n k k k +++=0e e e ，所以向量组1,,n e e e 线性无关证明：任一含有零向量的向量组必定线性相关.221,11⎫⎛⎫⎛⎫⎪ =⎪ ⎪ -⎭⎝α，判断向量组12,,αα授课序号03,r α满足条件：）向量组1,,r ααα线性无关；）对于A 中任意的向量β，向量组,,r αβ线性相关，则称向量组12,,r ααα为向量组的一个极大线性无关组，简称极大无关组向量组A 的任意一个极大无关组所含向量的个数，称为这个向量组的秩，记为等价的向量组有相同的秩二、矩阵秩的概念及求法：rB ，则RA B ,n α为列构作矩阵),,n α，对矩阵的阶梯数给出矩阵的秩，从而给出向量组1,,n ααα的秩),n β，,n α与向量组,n β有相同的线性相关性，从而可以根据向量组,n β的极大无关组给出向量组12,,,n ααα的极大无关组，并给出不属于极大无关组的向量由极大无关组线性表示的表示20,,,001n ⎪ ⎪ ⎪==⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎭⎝⎭⎝⎭e e 线性无关，所以该向量组的极大无关组就是它3145,1227⎫⎛⎫⎪ ⎪=⎪ ⎪⎪ ⎪⎭⎝⎭α，向量1α与2α的分量不对应成比例，。
线性代数课件6第三章向量空间
线性代数课件6第三章向量空间第三章向量空间3.13.23.33.4n维向量概念及其线性运算线性相关与线性无关向量组的秩向量空间3.1n维向量概念及其线性运算3.1.1n维向量及其线性运算3.1.2向量的线性组合3.1.1n维向量及其线性运算定义3.1.1由n个数a1,a2,……,an组成的有序数组(a1,a2,……,an)称为一个n维向量，数ai称为该向量的第i个分量i=1,2,…,n向量的维数指的是向量中分量的个数.向量写成一行(a1,a2,……,an)列向量写成一行(a1,a2,……,an)T列向量写成一列a1a2.an行向量用小写的黑体字母:α,β,某,y,…表示向量用带下标的白体字母:ai,bi,某i,yi,…表示向量1行、列不同不等：1,22次序不同不等：1,22,1n维向量——矩阵定义一个n维行向量a1,a2,,an.可以定义为一个1n的矩阵b1b2一个n维列向量bn.可以定义为一个n1的矩阵既然向量是一个特殊的矩阵则：1.向量相等=矩阵相等2.零向量=零矩阵3.负向量=负矩阵4.向量运算=矩阵运算a1,a2,,ana1,a2,,an几个定义(1)定义3.1.2所有分量都是0的n维向量称为n维0向量记作：0=(0,0,…,0).向量α=(a1,a2,…,an)的所有分量都取相反数组成的向量，称为α负向量-α=(-a1,-a2,…,-an)如果n维向量α=(a1,a2,…,an)与n维向量β=(b1,b2,…,bn)的对应分量都相等，即ai=bi,(i=1,2,…,n)则称向量α与β相等，记作α=β定义3.1.3几个定义(2)定义3.1.4(向量的加法)设n维向量α=(a1,a2,…,an),β=(b1,b2,…,bn),则α与β的和是向量α+βα+β=(a1+b1,a2+b2,…,an+bn);α与β的差是向量α-βα-β=α+(-β)=(a1-b1,a2-b2,…,an-bn)定义3.1.5(数与向量的乘法)设α=(a1,a2,…,an)是n维向量，k为一个数,则数k与α的乘积称为数乘向量，简称数乘，记作kα,并且kα=(ka1,ka2,…,kan).约定：kα=αk.线性运算律设α,β,γ都是n维向量，k,l是数，则(1)α+β=β+α;(加法交换律)(2)(α+β)+γ=α+(β+γ);(加法结合律)(3)α+0=α;(4)α+(-α)=0;(5)1某α=α;(6)k(α+β)=kα+kβ;(数乘分配律)(7)(k+l)α=kα+lα;(数乘分配律)(8)(kl)α=k(lα).(数乘向量结合律)例1设α=(2,1,3),β=(-1,3,6),γ=(2,-1,4).求向量2α+3β-γ.解2α+3β-γ=2(2,1,3)+3(-1,3,6)-(2,-1,4)=(4,2,6)+(-3,9,18)-(2,-1,4)=(-1,12,20).例2设α=(1,0,-2,3),β=(4,-1,-2,3),求满足2α+3β+3γ=0向量γ.解γ=-1/3(2α+β)=-1/3[2(1,0,-2,3)+(4,-1,-2,3)]=-1/3[(2,0,-4,6)+(4,-1,-2,3)]=-1/3(6,-1,-6,9)=(-2,1/3,2,-3).练习习题3.1P862.(2)答案P184解某=3α-β=3(2,0,1)-(3,1,-1)=(6,0,3)-(3,1,-1)=(3,-1,4).3.1.2向量的线性组合1.向量的线性组合2.向量的线性表出关系的几何解释3.线性组合的——矩阵表示法4.表出系数的求法1.向量的线性组合定义3.1.6设α1,α2,…,αm是一组n维向量，k1,k2,…,km是一组常数，则称k1α1+k2α2+…+kmαm为的一个线性组合.常数k1,k2,…,km称为该线性组合的组合系数.若一个n维向量β可以表示成β=k1α1+k2α2+…+kmαm,则称β是α1,α2,…,αm的线性组合，或称β可用α1,α2,…,αm线性表出(线性表示).仍称k1,k2,…,km为该线性组合的组合系数，或表出系数显然，零向量可以用任意一组α1,α2,…,αm(同维向量)线性表出：0=0α1+0α2+…+0αm(k1=0,k2=0,…,km=0)零向量的平凡表出式表出系数全为0——必是0向量向量组若干同维数的向量组成的集合——向量组m个向量α1,α2,…,αm组成的向量组——记为R:α1,α2,…,αm或R={α1,α2,…,αm}例3:矩阵——向量组表示法Aaija11a21ai1am1a12a22ai2am2a1ja2jaijamjmna1na11,a12,,a1na2na21,a22,,a2nA的行向量组量m个n维行向ainai1,ai2,,ain(i1,2,,m)amnam1,am2,,amnAaijmna11a21ai1am1a12a22ai2am2a1ja2jaijamja1na2nainamnA的列向量组a1ja11a12a1na2ja21a22a2naijai1ai2ainaaaam1m2mnmjn个m维列向量(j1,2,,n)n维标准单位向量组Eaij100010nn01,0,01第i个分量为其余01,分量为00,1,,02i0,,0,1,0,,00i1,2,,n10,0,,1n。
线性代数课件 第三章——向量 3 向量组的秩、向量空间简介
, m
, m 线性无关； , m 线性表示.
ii) V中任意向量都可由 1 , 2 ,
§3 向量组的秩、向量空间简介
注.向量空间V的维数实际上就是向量组的秩.
dim L(1 , 2 , , m ) R{1 , 2 , , m }.
定理5：设V是向量空间，若dimV=r，则V中任意r+1
, m 线性
, s )是 L(1 , 2 ,
, m ) 的子空间.
பைடு நூலகம்
§3 向量组的秩、向量空间简介
2.基变换与坐标变换
定义4. 向量空间V的一个极大线性无关组称为V的一 个基，基所含向量的个数称为V的维数，记作dimV. 规定：零向量空间没有基，维数定义为0. 判别.设 1 , 2 , , m是V中m个向量,则 1 , 2 , 是V的一个基的充要条件是 i) 1 , 2 ,
向量都线性相关.
推论：设V是向量空间，若dimV=r，则V中任意r个
线性无关的向量组都是V的一个基.
§3 向量组的秩、向量空间简介
定义5. 若 1 , 2 , , m是向量空间V的一个基,则
V中任意向量 可唯一表示为
k1 k2 , m ) k m
k11 k2 2
第三章 向量
§1 n维向量的线性相关性 §2 线性相关性的结论、极大线性无关组 §3 向量组的秩、向量空间简介 §4 向量的内积
一、向量组的秩 二、向量空间简介
一、向量组的秩
定义1 向量组 1 , 2 , , m 的极大无关组所含向量
的个数，称为该向量组的秩，记作 R{1 , 2 , 规定：零向量组的秩为0.
4 (1,2, k ,6)T , 5 (1,1,2,4)T ， 求向量组1 , 2 , 3 , 4 , 5
线性代数教案-向量与向量空间
线性代数教学教案第3章 向量与向量空间授课序号01 教 学 基 本 指 标教学课题 第3章 第1节 维向量及其线性运算课的类型 新知识课 教学方法 讲授、课堂提问、讨论、启发、自学教学手段 黑板多媒体结合 教学重点 维向量的概念、向量的线性运算的性质教学难点 向量的线性运算的性质 参考教材 同济版《线性代数》作业布置 课后习题大纲要求 理解维向量的概念 教 学 基 本 内 容一． 维向量的概念1．维向量：由个数组成的有序数组称为维向量.2．称为维行向量，称为维列向量. 二．维向量的线性运算1．定义：（1）分量全为0的向量称为零向量；（2）对于，称为的负向量； （3）对于，，当且仅当时，称与相等；（4）对于，，称为与的和；（5）对于，，称为与的差； （6）对于，为实数，称为的数乘，记为.2．向量的线性运算的性质：对任意的维向量和数，有：n n n n n n n a a a ,,,21 n ),,,(21n a a a n 12⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦n a a a n n ()12T n αa ,a ,,a = ()12---Tn a ,a ,,a αT n a a a ),,,(21 =αT n b b b ),,,(21 =β),,2,1(n i b a i i ==αβT n a a a ),,,(21 =αT n b b b ),,,(21 =βT n n b a b a b a ),,,(2211+++ αβT n a a a ),,,(21 =αT n b b b ),,,(21 =β()1122---Tn n a b ,a b ,,a b αβT n a a a ),,,(21 =αk T n ka ka ka ),,,(21 ααk n γβα，，l k ,（1）;（2）;（3）;（4）;（5）;（6）;（7）；（8）.三．例题讲解例1． 某工厂两天的产量(单位:吨)按照产品顺序用向量表示,第一天为第二天为求两天各产品的产量和.αββα+=+)()(γβαγβα++=++αα=+00-αα=αα=⋅1αα)()(kl l k =βαβαk k k +=+)((k l )αk αl α+=+1(15,20,17,8),=T α2(16,22,18,9),=T α授课序号02 教 学 基 本 指 标教学课题 第3章 第2节 向量组的线性关系 课的类型 新知识课 教学方法 讲授、课堂提问、讨论、启发、自学 教学手段 黑板多媒体结合教学重点 线性组合与线性表示、向量组线性相关、线性无关的定义，向量组线性相关、线性无关的有关性质及判别法教学难点 有关线性相关、线性无关的证明 参考教材 同济版《线性代数》作业布置 课后习题大纲要求 1．理解向量的线性组合与线性表示。
线性代数第3章向量空间
表示, 又 m>n, 由表示不等式
r(Blm ) r( Aln ) n m 从而 B 必相关.
-26-
(6) “短的无关, 则长的也无关.等价地… ” P101推论3
无穷多种表示, 并求所有表示方法.
解 记 A [1,2 ,3 ] 只需讨论 Ax 解的情况.
具体解方程组过程略。
0 时,方程组无解, 不能由 A 表示. 0 且 3时, 方程组有唯一解, 可由 A 唯一表示.
-12-
3 时, 方程组有无穷多解, 可由 A 无穷多种表示.
1
1 2
,
2
3 4
是无关的.
1
3
n r( Amn ) r(Bln ) n
1 , 2 也是无关的.
2
4
r(Bln ) n
1
再如：1
2 0 0
,
0
2
101,
0
3
9 0 1
.
-27-
(7)含有n个向量的n元向量组线性相关（无关）
由它构成的n阶矩阵的行列式 | A | 0 (| A | 0) 例4 t 取何值时,下列向量组线性相关 ? P101推论2
(用矩阵的秩) r( A) n
把向量组排成矩阵，如果矩阵的秩等于向量的个数就线性 无关，否则如果矩还阵是的转秩换小！于转向换量线的性个无数关就…线性相关。
-18-
例1
1
0
2
1 1,2 2,3 4,
1
5
7
问向量组 {1,2 ,3 } 和 {1,2 }的线性相关性?
线性代数—3.3 向量空间
一、向量空间的概念 二、向量空间的基和维数 三、基变换与过渡矩阵
一、向量空间的概念
例1 设 V 为平面上所有起点在定点 O 的向量的集合.
集合 V 具有如下性质: (1) 若 aV, bV, 则 a + bV;
B
a2 a
(2) 若 aV, kR, 则 kaV, 称 V 为平面向量空间.
a 可唯一地表示为 a k1a1 + L + krar
称 (k1, , kr) 为向量 a 在基 a1, , ar 下的坐标.
例4 验证 a1 (1,-1,0)T, a2 (0,1,3)T, a3 (2,1,8)T 为R3 的 一个基, 并求 b1 (5,0,12)T, b2 (9,-7,8)T, b3 (3,1,11)T 在这
O a1 A
uuur uuur a OA + OB k1a1 + k2a2
设 V 中两向量 a1, a2 线性无关, 即 a1, a2 不共线, 则
V {k1a1 + k2a2 | k1,k2 R} 称 V 为由向量组 a1, a2 生成的向量空间.
例2 设 n 元方程组 Ax 0 的解集为 S, 秩 R(A) r < n.
• L(A) 为向量空间V 的子空间的充要条件是 A V . • L(B) 为 L(A) 的子空间的充要条件是向量组 B 可由组 A 线性表示. • L(A) L(B) 的充要条件是向量组 A 与组 B 等价.
例3 由 a1 (1,1,0,0)T, a2 (1,0,1,1)T 所生成的空间记为V1, 而由 b1 (2,-1,3,3)T, b2 (0,1,-1,-1)T 所生成的空间记为V2.
(-1,-4,3), (13,8,-2), (1,1,1)
线性代数与空间解析几何 3-12.
4
一、几何向量的基本概念
向量： 既有大小又有方向的量. 向量表示： a 或 M1 M 2 以M1为起点， M2为终点的有向线段。 向量的模： 向量的大小. a 或 M 1 M 2
M2
M
1
0 单位向量： 模长为1的向量. a 或
零向量： 模长为0的向量. 0
M1 M 20
a 相等向量：大小相等且方向相同的向量. b 负向量：大小相等但方向相反的向量. a a a
0 量与数的乘积的规定， a || a || a
9
【例3.1 】
全为零的实数k、l、m使得 k l m 0
证明向量 、、 共面的充分必要条件是存在不
证明： 充分性
如何证明三个 向量共面呢？ 若有不全为0的实数k、l、m ，使得
k l m 0
k l m m
不妨设， m0 则
k l 是以 , 若 0, 0, 由向量加法的定义知， m m 为边的平行四边形的对角线， 因此、、共面。 若、、有一个为零， ，这三个向量共面是显然的。
2
本章主要研究以下几个问题：
1. 几何向量及其线性运算与分解； 2. n维向量及n维向量空间； 3. 向量组的线性相关与线性无关； 4. 向量的内积； 5. 几何向量的向量积与混合积； 6. 直线与平面.
3
第三章 向量与向量空间
第一节 几何向量 及其线性运算
几何向量的基本概念 几何向量的线性运算
第三章
向量与向量空间
1
在自然界中，常会遇到这样一类量，它们既有大小 又有方向。 例如：力、力矩、速度等，这类量称 为向量。
华中科技大学线性代数3-3
T T
T
1 0 ,1,1 , 2 1,1, 0 , 3 1, 2 ,1 .
T
(1 )求由基 1 , 2 , 3 到基
a1 1 a1 2 a1 n a a 22 a 2 n 21 C a n1 a n 2 a nn
1
其中
, 2 , , n 的过渡矩阵.
称为由基 1 , 2 , , n 到基
由
1
, 2 , , n 1 , 2 , , n C
a (2) 已知向量 ( a , b , c ) T 在 e 1 , e 2 , e 3 下的坐标为 X b , c 故向量 在 1 , 2 , 3 下的坐标为
1
Y C
1 1 1 X 0 1 1 0 0 1
( B AC )
可知C可逆，故有
( 1 , 2 , , n ) C
1
( 1 , 2 , , n ) ( BC
1
A)
其中C -1
称为由基
1 , 2 , , n
到基 1 , 2 , , n 的过渡矩阵.
定理: 设向量空间V的一组基 1 , 2 , , n 到另一组基 r
(a , b, c )
T
在 1 , 2 , 3 下的坐标 .
1 1 1 ( 1 , 2 , 3 ) ( e 1 , e 2 , e 3 ) 0 1 1 , 0 0 1
由
1 1 1 e 1 , e 2 , e 3 到 1 , 2 , 3 的过渡阵为 C 0 1 1 ; 0 0 1
线性代数中的向量空间
线性代数中的向量空间线性代数是数学中的一个重要分支，研究的是向量和线性方程组的性质。
在线性代数中，向量空间是一个基本的概念，它在许多数学和科学领域中都有重要的应用。
本文将介绍关于向量空间的定义、性质以及应用。
一、向量空间的定义在线性代数中，向量空间是指由一组向量构成的集合，其中包含了向量加法和标量乘法两种运算，并满足以下八个性质：1. 零向量存在性：向量空间中存在一个特殊的向量，被称为零向量，记为0，它满足对于任意向量v，有v + 0 = v。
2. 向量加法封闭性：对于任意向量v和w，它们的和v + w也属于向量空间。
3. 向量加法结合律：对于任意向量u、v和w，有(u + v) + w = u + (v + w)。
4. 向量加法交换律：对于任意向量u和v，有u + v = v + u。
5. 标量乘法封闭性：对于任意标量k和向量v，k * v也属于向量空间。
6. 标量乘法结合律：对于任意标量k和l以及向量v，有(k * l) * v = k * (l * v)。
7. 向量与标量加法的分配律：对于任意标量k和向量v、w，有k * (v + w) = k * v + k * w。
8. 向量与标量乘法的分配律：对于任意标量k和l以及向量v，有(k + l) * v = k * v + l * v。
满足以上八个性质的集合即可称为向量空间。
二、向量空间的性质在向量空间中，还有一些重要的性质：1. 零向量的唯一性：向量空间中的零向量是唯一的，即任意向量空间中的零向量都相等。
2. 负向量的存在性：对于任意向量v，在向量空间中存在一个向量-u，使得v + (-u) = 0。
这里的-u被称为v的负向量。
3. 数乘的零乘性：对于任意标量k和向量v，在向量空间中，有0 * v = 0，其中0表示标量的零。
4. 数乘的单位元性：对于任意向量v，在向量空间中，有1 * v = v，其中1表示标量的单位元。
三、向量空间的应用向量空间的概念和性质在数学和科学中有广泛的应用。
线性代数第三章(一二节向量与线性相关性)
证明
必要性 设向量组 A: a1 , a2 , ... , am 线
性相关, 则有 m 个不全为零的实数 k1 , k2 , ... , km 使 k1a1 + k2a2 + ... + kmam = 0 . 因 k1 , k2 , ... , km 不全为 0 , 不妨设 k1 0 , 于是便 有
（9） 若a1 , a2 , ... , an是n维向量组，则 a1 , a2 , ... , an线性相关的充要条件是其 构造的行列式值为0. 若a1 , a2 , ... , an是n维向量组，则
a1 , a2 , ... , an线性无关的充要条件是其
构造的行列式值非0. （10） 若a1 , a2 , ... , am是n维向量组，且 m>n,则 a1 , a2 , ... , am线性相关。 特别地，n+1个n维向量必线性相关。
第 三 章 向量组的线性相关性与n 维向量空间
第一节
1. 向量的定义 定义1 n 个有次序的数 a1 , a2 , ... , an 所组成的
数组称为 n 维向量,其中第 i 个数 ai 称为第i 个分量，n称为向量的维数.
n维向量
n 维向量可写成一行, 也可写成一列. 分别
称为行向量和列向量, 也就是行矩阵和列矩阵。
引例1：非齐次线性方程组（Ⅰ）有解<=>
存在一组数x1, x2, ... , xn, 满足
x1a1 + x2a2 + ... + xnan = b。 引例2：齐次线性方程组（Ⅱ）有非零解<=> 存在一组不全为零的数x1, x2, ... , xn, 满足 x1a1 + x2a2 + ... + xnan = 0。 从这两个引例中我们可以提炼出向量组两个
线性代数--第三章向量线性关系秩
β
k1 l
α1
k2 l
α2
kr l
αr
若有: =k11+k22+ …+krr=l11+l22+ …+lrr
则有: 所以:
(k1 l1)1+(k2 l2)2+ …+(krl1)r=0 k1 l1=k2 l2= …=krl1=0
(1, 0, 0, 1)的线性相关性.
解 设 k11+k22+k33=0 , 即 (k1k3, k1+k2, 0,k2+k3)=(0,0,0,0)
k1 k1
k3 k2
0 0
k2 k3 0
解得: k1=k2=k3=0. 所以1, 2, 3线性无关.
例3 讨论向量组 1T=(1,1,2), 2T=(0,1, 1), 3T= (2, 3, 3)的线性相关性.
解 设 k11+k22+k33=0 , 即 k1(1+2)+k2(2+3)+k3(3+1)=0
就是
(k1+k3)1+(k1+k2)2+(k2+k3)3=0
所以
k1 +k3 k1 +k2
0 0
k2 k3 0
解得: k1=k2=k3=0
所以向量组1, 2, 3线性无关.
定理3.1 若向量组有一个部分组线性相关, 则此向量 组线性相关.
前面加长向量组的概念中只加了一个分量, 而且加在
了最后一个分量. 也可以加多个分量, 分量也可以加在任
(完整)自考线性代数第三章向量空间习题
第三章 向量空间一、单项选择题1．设A ，B 分别为m ×n 和m ×k 矩阵，向量组（I ）是由A 的列向量构成的向量组，向量组（Ⅱ）是由(A ,B ）的列向量构成的向量组，则必有( )A ．若(I ）线性无关，则（Ⅱ）线性无关B ．若（I)线性无关，则（Ⅱ）线性相关C ．若（Ⅱ)线性无关，则（I ）线性无关D ．若（Ⅱ)线性无关，则（I ）线性相关2．设4321,,,αααα是一个4维向量组,若已知4α可以表为321,,ααα的线性组合,且表示法惟一,则向量组4321,,,αααα的秩为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．43．设向量组4321,,,αααα线性相关,则向量组中（ )A ．必有一个向量可以表为其余向量的线性组合B ．必有两个向量可以表为其余向量的线性组合C ．必有三个向量可以表为其余向量的线性组合D ．每一个向量都可以表为其余向量的线性组合4.设有向量组A ：α1，α2，α3，α4,其中α1,α2，α3线性无关，则( ）A 。
α1，α3线性无关 B.α1，α2，α3，α4线性无关C.α1，α2，α3，α4线性相关D.α2，α3，α4线性相关5．向量组)2(,,,21≥s s ααα 的秩不为零的充分必要条件是（ ）A ．s ααα,,,21 中没有线性相关的部分组B ．s ααα,,,21 中至少有一个非零向量C ．s ααα,,,21 全是非零向量D ．s ααα,,,21 全是零向量6.设α1,α2，α3，α4是4维列向量，矩阵A =（α1,α2，α3,α4）。
如果|A ｜=2，则|—2A |=（）A.-32B.-4C 。
4 D.327。
设α1,α2,α3，α4 是三维实向量，则（ )A. α1，α2，α3，α4一定线性无关B. α1一定可由α2，α3，α4线性表出C. α1，α2，α3，α4一定线性相关 D 。
α1，α2，α3一定线性无关8.向量组α1=（1，0，0)，α2=（1，1，0），α3=（1,1，1）的秩为（ ）A.1 B 。
线性代数简明教程(方小娟编 科学出版社)第三章、向量空间
1 2 1 0 1 = 2 − 1 − 0 1 3 1 1
定义3 向量组 α1,α2 ,⋯αm，如果该向量组对零向量 定义 只有平凡表示，也即对零向量的线性表示方法唯一， 只有平凡表示，也即对零向量的线性表示方法唯一， α1,α2 ,⋯αm 线性无关，否则，称其线性 则称向量组 线性无关，否则，称其线性 相关。 相关。 定义3 称为线性相关 线性相关的 定义 / 向量组 α1,α2 ,⋯αm 称为线性相关的，如果 存在一组不全为零的数k 存在一组不全为零的数 1,k2,…,km，使
是线性相关的， 是线性相关的，因为
α3 = 3α1 −α2
定理2 定理
线性无关， 设向量组 β1 , β2 ,⋯βt 线性无关，而向量组
线性相关， β1, β2 ,⋯, βt ,α 线性相关，则 α 能由向量组 β1 , β2 ,⋯, βt 线性表示，且表示式是唯一的。 线性表示，且表示式是唯一的。 线性相关， 证 由于β1 , β2 ,⋯, βt ,α 线性相关，就有不全为零的 数k1,k2,…, kt,k，使 ，
向量 称为 的数量乘积， 数乘， 的数量乘积 简称数乘 α 与k的数量乘积，简称数乘，记为 kα 。 称为零向量， 称为零向量，记为
(ka1,ka2,…,kan)T
(0,0 ⋯ 0)T 定义4 定义 分量全为零的向量
ϑ
= (0,0⋯ 0)T ϑ
α 与-1的数乘 (−1)α = (−a1 ,−a2 ,⋯,−an )T 定义5 定义 的数乘 的负向量， 称为 α 的负向量，记为 −α
即 =2ε1 − 5ε2 + 3ε3 + 0ε4 β
所以， 的线性组合， 所以，称 β 是ε1,ε2 ,ε3 ,ε4 的线性组合， 线性表示。 或 β 可以由 ε1,ε2 ,ε3 ,ε4 线性表示。
线性代数第三章 线性空间
组，通常称为矩阵 A 的列向量组；若对 A 按行进行
分块，即
A
1T
T 2
T m
其全体行向量构成一个含有 m 个 n 维行向量的向量
组，称为矩阵的行向量组．
并且，矩阵和含有有限个向量的有序向量组是一 一对应的．
定义5 设 ,1,2, ,s Rn， s 1． 如果存在数
k R，则
1）称向量 与 相等，记作 ，如果 与
对应的分量均相等，即 ai bi , i 1, 2, , n;
2）称向量
(a1 b1, a2 b2 , , an bn )T 为向量 与 的和，并记 ；
3）称向量
k (ka1, ka2 , , kan )T
a11 a2 2 an n ;
另外，零向量 0 是任何向量组的线性组合．
定义7 设 I :1,2 , ,s 和 II : 1, 2, , t 是两个向 量组． 如果向量组 I 中的每一个向量 i ( i 1, 2, , s )
均可以由向量组 II : 1, 2, , t 线性表出，则称向量 组 I 可以由向量组 II 线性表出．
k1, k2 , , ks R ，使得 k11 k22 kss ,
则称向量 是向量组 I :1,2, ,s 的一个线性组合， 或者说，向量 可以由向量组 I :1,2, ,s 线性表 出（或线性表示）．此时，k1, k2 , , ks 相应地被称 为组合系数或者表出系数．
在本书中，如果没有特别说明，我们涉及的向量 均指分量为实数的列向量，即列形式的实向量．
将所有 n 维实向量的全体记为 Rn，即
线性代数3a
线性代数
第3章 向量空间
3.2 向量的线性相关性
定理3.2.2 设
s 个 n 维向量
a1s a2 s , s , ans
a11 a12 a a22 21 1 , 2 , a n1 an 2
(1) 得
( 2)
特别注意( 2 )中未知量个数 s ，方程式个数 n , 向量方程式( 1 )有解和 线性方程组（ 2 ）有解是一回事，
因而有定理 3.2.1。
线性代数
第3章 向量空间
3.2 向量的线性相关性
例1 判断下列向量 能否由向量组 1 , 2 , 3 线性表示,若能,试 写出它的一种表达式,其中
行向量 列向量
n 维向量的第 i
个分量.
a1, a2 , , an
a1 a2 a1 , a2 , an
, an
T
线性代数
第3章
向量空间
3.1
n维向量
定义3.1.2
向量的分量都是零的向量称为零向量,记为
0 0,0,
1 3 5 5 ,1 1 1 3 1 ,
2 2 3 7 4 ,3 0 1 1 2 .
例2 设
1 1 5 2 1 1 , 3 , 3 , 2 3 4 0 1 t 1
,s s 2 线性相关的充分必要条件
为其中有一个向量可由其余向量线性表示. 推论1 向量组 1,
,s s 2 线性无关的充分必要条件
是其中每一个向量都不能由其余向量线性表示.
线性代数与向量空间
线性代数与向量空间线性代数是数学中的一个重要分支，研究向量、向量组以及它们之间的线性关系和运算规律。
向量空间是线性代数的核心概念之一，在各个领域中都有广泛的应用。
本文将介绍线性代数的基本概念和向量空间的特点。
一、向量的定义与性质1.1 向量的定义向量是具有大小和方向的量，可以用箭头表示，箭头的长度表示向量的大小，箭头的方向表示向量的方向。
向量通常用字母加箭头表示，如→a。
1.2 向量的性质（1）向量加法：向量与向量相加，按照平行四边形法则进行。
（2）向量数量乘法：向量乘以一个实数，得到一个与原向量长度相似但方向可能相反的向量。
二、向量空间的定义与性质2.1 向量空间的定义向量空间是由一组向量组成的集合，满足以下条件：（1）向量空间中的任意两个向量的加法仍然在向量空间中。
（2）向量空间中的向量与实数的乘积仍然在向量空间中。
（3）向量空间中存在一个零向量，使得任意向量与零向量相加得到自身。
（4）向量空间中的任意向量都有一个相反向量。
2.2 向量空间的性质（1）向量空间中的向量加法满足交换律和结合律。
（2）向量空间中的标量与向量进行运算满足结合律和分配律。
（3）向量空间中的零向量是唯一的。
（4）向量空间中的每个向量都有唯一的相反向量。
三、向量空间的子空间及其性质3.1 子空间的定义子空间是向量空间中的一个子集，本身也是一个向量空间，满足以下条件：（1）子空间中的任意两个向量的加法仍然在子空间中。
（2）子空间中的向量与实数的乘积仍然在子空间中。
（3）子空间包含零向量。
3.2 子空间的性质（1）子空间是向量空间的一个子集，其中的向量运算和标量运算仍然满足向量空间的性质。
（2）子空间的维度小于等于原向量空间的维度。
（3）子空间中的向量组也是线性相关或线性无关的。
四、向量空间的基与维度4.1 基的定义基是指向量空间中的一个向量组，它可以通过线性组合来表示向量空间中的任意向量。
4.2 维度的定义维度是指向量空间的基中向量的个数，记作dim(V)。
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又 T 1 1 1
44 2
故AB
E E
T T
2 T T
1 2
E
例２ 设1 1 1 0T ，2 0 1 1T ，3 3 4 0T
3 1
求
, ,
1
2
3
2 1
11 .
解 31 22 3 1 2 3
1 0 3 0
31
0
22 3
1 2T .
3
1 0
V4 x x1 x2
xn T x1, x2, , xn R,且 xi 1
解 if a1 a2
an T V4有 ai 1
k 2,有 2ai 2 V4,
所以 V４不是一个向量空间.
例６ 设α,β 为两个已知的ｎ维向量试判断集合
V x , R 是否为向量空间.
解 if x1 1 1 , x2 2 2
kan
称为数ｋ与向量α的数量积.
向量的加法与数乘合称为向量的线性运算.
x1
3、转置
x2
T x1 x2
xn
4、乘法
xn
对于ｎ维行向量 T x1 x2
xn
x1
T
x2
x1
x2
xn 为ｎ阶方阵；
xn
T x1 x2
x1
xn
x2
为一阶方阵，即一个数.
2
1 1
1
4 0
1 2
1 0 3 4
1 2
4 4
3
1T .
1
1 0
1
1 1
1
4 0
41
四、向量组、矩阵、线性方程组
若干个同维数的列向量（或同维数的行向量）所 组成的集合叫做向量组．
记作： A : 1,2 , ,s .or. i
例如 对于一个 m 矩n 阵有ｎ个ｍ维列向量.
例５ 判别下列集合是否为向量空间.
V3 x x1 x2
xn T x1, x2, , xn R,且 xi 0
解 if V３, V３, 有 ai 0, bi 0
有 ai bi 0 V3
k R, k kai 0 k V3,
所以V3 是一个向量空间.
ain
T i
am1 am2 amn
T m
向量组 A : 1T ,2T ,
,
T为矩阵Ａ的行向量组．
m
反之，由有限个向量所组成的向量组可以构 成一个矩阵.
ｎ个ｍ维列向量.所组成的向量组 1,2 , ,n
构成一个 m n 矩阵. A 1 2
n
ｍ个ｎ维行向量.所组成的向量组
1T
,
T 2
至少有两组以上的数k1，k2，，kr， 使得等式()成立。 向量组1，2，，r线性无关： 只 存 在 唯 一 的 一 组 数k1，k2，，kr， 使 得 等 式()成 立 ， 即k1 k2 kr 0
① 对于一个向量组，不是线性相关就是线性无关．
② 单独一个向量线性相关当且仅当它是零向量． ③ 单独一个向量线性无关当且仅当它是非零向量．
A
a21
a22
am1
am1
a1n
a2n
amn
按行分块
A
1T
T 2
T m
ｍ个ｎ维行向量.
按列分块
A 1 2
n
其第ｉ个行向量记作
iT ai1 ai2
ain
ｎ个ｍ维列向量.
a1 j
其第ｊ个列向量记作
j
a2 j
amj
矩阵与向量的关系中 注意什么是向量的个 数、什么是向量的维 数，二者必须分清.
线性无关（Linear Independent）.
进一步来理解向量组的线性相关与线性无关
考虑等式 k11 k22 krr 0 () 无 论 向 量 组1， 2，， r 是 线 性 相 关 还 是 线 性 无关 ，
当k1 k2 kr 0时，等式()总成立。 向 量 组1，2，，r线 性 相 关 ：
B : 1,2 , ,r , 线性相关，则α可由Ａ唯一线性表示.
证 设 k11 k22 krr k 0 ∵Ａ线性无关，
而B线性相关，即k1, k2,, kr , k不全为零，
∴ｋ≠０，（否则与Ａ线性无关矛盾）
即有 k11 k22 krr k
k1 k
1
k2 k
2
kr k
r
∴α可由Ａ线性表示.
二、向量的运算
1、加法 a1 a2
an , b1 b2
bn ,
规定 a1 b1 a2 b2
an bn
称为α与β的和向量.
( ) a1 b1 a2 b2
称为α与β的差向量.
an bn
2、数乘 a1 a2
an ,k R
规定 k k ka1 ka2
有解.
xm
定义Ⅲ 设两向量组 A : 1,2 , ,r，B : 1, 2 , , s . 若向量组Ａ中每一个向量皆可由向量组Ｂ线性表示，
则称向量组Ａ可以由向量组Ｂ线性表示.
即存在矩阵 K sr , Ar Bs K sr .
若两个向量组可以互相线性表示，则称这两向量组等价. 向量组之间的等价关系具有反身性、对称性、传递性.
即 Ax b
或 1 2
x1
n
x2
b
xn
方程组与增广矩阵(A b)的列向量组之间一一对应．
五、向量空间
1、定义 设Ｖ为ｎ维非空向量组，且满足 ①对加法封闭 if V , V V; ②对数乘封闭 if V , R V . 那么就称向量组Ｖ为向量空间（Vector Space）． 例３全体ｎ维向量的集合是一个向量空间,记作 Rn.
O 0 .or. O .or. 0.and. O
三、应用举例
例１
设ｎ维向量
1 2
0
0
1 2
，矩阵
A E T , B E 2 T ，其中Ｅ为设ｎ阶单位阵，
证明：AB E.
证明： AB (E T )(E 2T )
E T 2T 2(T ) (T )
E T 2T (T )
有 x1 x2 1 2 1 2 V
k R, kx1 k1 k1 V
所以V 是一个向量空间.
定义 由向量组 1,2 , ,r 的一切线性组合构成的集合 称为由1,2 , ,r 生成的向量空间，记为：
L 1,2, ,r x k11 k22 krr ki R
注 等价向量组生成相同的向量空间.
④ 一向量组中存在一个Ｏ向量，则一定线性相关．
⑤ 一个向量组中若部分向量线性相关，则整个向量 组也线性相关；一个向量组若线性无关，则它的任何 一个部分组都线性无关．
⑥ 两向量线性相关两向量对应成比例 ⑦ 两向量线性无关两向量不对应成比例 ⑧ 几何上：两向量线性相关两向量共线；
三向量线性相关三向量共面.
③ 向量组中每一向量都可由该向量组线性表示．
④ 任一ｎ维向量 a1 a2
an 都是单位向量组
1 1 0
0，2 0 1
0， ，
Байду номын сангаасn 0 0
1，
的一个线性组合．事实上，有 a11 a2 2 an n .
⑤ 向量β可由 A : 1,2 , ,m 线性表示，
即方程组 1 2
x1
m
x2
二、线性相关性的判断准则
定理 向量组线性无关齐次线性方程组只有零解； 定理 向量组线性相关齐次线性方程组有非零解.
推论 ｎ个ｎ维向量线性无关 aij 0.
推论 ｎ个ｎ维向量线性相关 aij 0.
定理 向量组线性无关其中任何一个向量都不能由
其余向量线性表示．
定理 向量组线性相关其中至少有一个向量可由其
第三章 向量与向量空间
一、ｎ维向量（Vector）
１、引入
确定小鸟的飞行状态，
需要以下若干个参数：
小鸟身体的质量ｍ 小鸟身体的仰角ψ
鸟翼的转角ψ
鸟翼的振动频率ｔ
小鸟身体的水平转角θ
小鸟重心在空间的位置参数 P( x, y, z)
还有… 所以，为确定小鸟的飞行状态，会产生一组有序数组
m t x y z
余向量线性表示．
证 设1，2，，r线性相关，则不全为零的数k1, k2 ,
, kr k11 kii krr 0 不妨设ki 0 k11 ki1 i1 ki1 i1 krr kii
i
k1 ki
1
ki 1 ki
i 1
ki1 ki
i1
kr ki
r
得证
定理 如果向量组 A 1,2 , ,r 线性无关，而向量组
２、定义 ｎ个数 a1,a2 , ,an 组成的有序数组
a1 a2
an
称为一个ｎ维向量，其中 ai 称为第 i 个分量（坐标）. ｎ维向量写成一行，称为行向量，也就是行矩阵，
一般记作 T , T , T .
如： T a1 a2
（Row Vector）
an
ｎ维向量写成一列，称为列向量，也就是列矩阵，
定义Ⅳ 设ｎ维向量组 A : 1,2 , ,r ，如果存在不全
为零的数k1，k2， , kr ，使得 k11 k22 krr 0, 则称向量组 A : 1,2 , ,r 线性相关（Linear Dependent）.
反之，若当且仅当 k1= k2= kr 0 ，才有
k11 k22 krr 0, 则称向量组 A : 1,2 , ,r
一般记作α,β,γ.
如：
a1
a2
an
（Column Vector）
注意 １、行向量和列向量总被看作是两个不同的向量； ２、行向量和列向量都按照矩阵的运算法则进行运算； ３、当没有明确说明时，都当作实的列向量. ３、几种特殊向量 1、元素是实数的向量称为实向量（Real Vector）.