第一章 解析函数
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《复变函数》第1章
2013-7-12 《复变函数》(第四版) 第3页
(3) 除法: z1 x1 iy1 ( x1 iy1 )( x2 iy 2 ) z ( x2 iy 2 )( x2 iy 2 ) z 2 x2 iy2 x1 x2 y1 y 2 x2 y1 x1 y 2 i 2 2 2 2 x2 y 2 x2 y 2 复数的运算满足交换律、结合律和分配律. (4) 共轭复数性质 z1 z1 i) z1 z 2 z1 z 2 , z1 z 2 z1 z 2 , ; z2 z2 ii) z z ; 2 2 iii) z z Re( z ) Im( z ) ; iv) z z 2 Re( z ) , z z 2 i Im( z ) .
3 1 5 . zz 2 2 2
2
2
2013-7-12
《复变函数》(第四版)
第6页
§2 复数的几何意义
1. 复平面, 复数的其它表示法 (1) z = x + iy ↔ 点( x, y ) ( 几何表示法 ) (2) z = x + iy ↔ 向量OP ( 向量表示法 )
2
辐角: Arg z
( z 0 ) 无穷多个, 相差2kπ . y tan( Arg z ) x 辐角主值: 0 arg z 0 k = 0, ±1, ±2, …… Arg z arg z 2k 当z = 0时, | z | = 0 , 而辐角不确定.
2013-7-12 《复变函数》(第四版) 第8页
, y x | z |
y Arg z的主值arg z (z 0)可由Arc tan x 的主值 y arc tan x 来确定: y arctan x x 0， — 在第一、四象限 2 x 0， 0 y arg z y 0 — — 二象限 y arctan x x 0， 0 — — 二象限 x 0， 0 y arctan y 其中 (图示) x 2 2 3 arg z . 例: z = －3 + 3i 2 4 4 (或 arg z arctan( 1) arctan 1 4
(3) 除法: z1 x1 iy1 ( x1 iy1 )( x2 iy 2 ) z ( x2 iy 2 )( x2 iy 2 ) z 2 x2 iy2 x1 x2 y1 y 2 x2 y1 x1 y 2 i 2 2 2 2 x2 y 2 x2 y 2 复数的运算满足交换律、结合律和分配律. (4) 共轭复数性质 z1 z1 i) z1 z 2 z1 z 2 , z1 z 2 z1 z 2 , ; z2 z2 ii) z z ; 2 2 iii) z z Re( z ) Im( z ) ; iv) z z 2 Re( z ) , z z 2 i Im( z ) .
3 1 5 . zz 2 2 2
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《复变函数》(第四版)
第6页
§2 复数的几何意义
1. 复平面, 复数的其它表示法 (1) z = x + iy ↔ 点( x, y ) ( 几何表示法 ) (2) z = x + iy ↔ 向量OP ( 向量表示法 )
2
辐角: Arg z
( z 0 ) 无穷多个, 相差2kπ . y tan( Arg z ) x 辐角主值: 0 arg z 0 k = 0, ±1, ±2, …… Arg z arg z 2k 当z = 0时, | z | = 0 , 而辐角不确定.
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, y x | z |
y Arg z的主值arg z (z 0)可由Arc tan x 的主值 y arc tan x 来确定: y arctan x x 0， — 在第一、四象限 2 x 0， 0 y arg z y 0 — — 二象限 y arctan x x 0， 0 — — 二象限 x 0， 0 y arctan y 其中 (图示) x 2 2 3 arg z . 例: z = －3 + 3i 2 4 4 (或 arg z arctan( 1) arctan 1 4
第一章 复变函数和解析函数解析
f (z) u(x, y) iv(x, y) u(,) iv(,) 在z点可导 C-R条件
u x u
v y
v
或
u
1
u
1
v
v
y x
是可导的必要条件.
2020/10/24
第一章 复变函数和解析函数
16
据导数定义，沿实轴和虚轴的比值极限都存在且相等，即
z x, lim f lim u(x x, y) iv(x x, y) u(x, y) iv(x, y)
z0的邻域： z z0 （是任意小的正数）
内点z0：z0及邻域 E 点集 E外点z0：z0及邻域 E
边界点z0：z0的邻域中z有0 E也有 E的点
2020/10/24
第一章 复变函数和解析函数
10
(开)区域Bba))具全有由连内通点性组成— B内任两点都可由内点组 成的折线连起来
闭区域B ：区域B连同其境界线构成的点集
单连通：境线只有一线 区域的连通阶数 多连通：境界线在两条 及以上
境界线正向约定：沿正向前进，区域始终在左手一侧
2020/10/24
第一章 复变函数和解析函数
11
2)复变函数： 存在一个点集E，zE有一个或多个w对应，
则称w为z的函数
w=f(z) (zE)，z称为宗量.
2020/10/24
第一章 复变函数和解析函数
❖ z的共轭复数z*或
2020/10/24
第一章 复变函数和解析函数
4
❖ 1.2复平面与复矢量 ❖ 复平面——横轴为实轴，纵轴为虚轴的平面
一个复数复平面上的一个点→复矢量
2020/10/24
第一章 复变函数和解析函数
5
1.3三角及指数式
u x u
v y
v
或
u
1
u
1
v
v
y x
是可导的必要条件.
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第一章 复变函数和解析函数
16
据导数定义，沿实轴和虚轴的比值极限都存在且相等，即
z x, lim f lim u(x x, y) iv(x x, y) u(x, y) iv(x, y)
z0的邻域： z z0 （是任意小的正数）
内点z0：z0及邻域 E 点集 E外点z0：z0及邻域 E
边界点z0：z0的邻域中z有0 E也有 E的点
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第一章 复变函数和解析函数
10
(开)区域Bba))具全有由连内通点性组成— B内任两点都可由内点组 成的折线连起来
闭区域B ：区域B连同其境界线构成的点集
单连通：境线只有一线 区域的连通阶数 多连通：境界线在两条 及以上
境界线正向约定：沿正向前进，区域始终在左手一侧
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第一章 复变函数和解析函数
11
2)复变函数： 存在一个点集E，zE有一个或多个w对应，
则称w为z的函数
w=f(z) (zE)，z称为宗量.
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第一章 复变函数和解析函数
❖ z的共轭复数z*或
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第一章 复变函数和解析函数
4
❖ 1.2复平面与复矢量 ❖ 复平面——横轴为实轴，纵轴为虚轴的平面
一个复数复平面上的一个点→复矢量
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第一章 复变函数和解析函数
5
1.3三角及指数式
数学物理方法第一章解析函数1.4初等函数
1.4 初等解析函数
二、初等多值函数
例1 讨论
w ( z a)( z b) 的支点
y
za
1
1.4 初等解析函数
答：支点为a,b
a oΒιβλιοθήκη z z b2b
x
思考： 函数 w 3 z 2 4 z 2 1 是几值函数？ 有何支点？
答：6值，支点
1,2,
二、初等多值函数
2.对数函数
（1）定义
若z
1.4 初等解析函数
主值支： ln z ln z i arg z , 0 arg z 2
ew
则
w Lnz
（2）多值性的体现 z的幅角和w的虚部的对应关系 （3）支点 0 , （4）单值分枝 Lnz ln z i(arg z 2k ) , k 0,1,2,
Q( z) 0
1.4 初等解析函数
一、初等单值函数
1. 幂函数（图）
w z
3
一、初等单值函数
2.指数函数 （1）定义
1.4 初等解析函数
w e z e x iy e x (cos y i sin y)
复平面
z1 z2 z1 z 2
（2）解析区域
z
（3）与实函数相同的性质
（5）支割线 （6）黎曼面 （7）解析性 （8）性质 连接 0 , 割开z平面的线 无穷多叶 每一单值支均解析
Ln( z1 z2 ) Lnz1 Lnz2 Ln( z1 z2 ) Lnz1 Lnz2
二、初等多值函数
2.对数函数（图） 问：
1.4 初等解析函数
Lnz Lnz ？ 2Lnz N Ln( z z )？ Lnz Lnz ？ 0 N
人教A版必修1 第一章 PPT素材：函数解析式求法——代入法与换元法
典型例题
【思路点拨】 已知函数是分段函数，分段函数在各段上的对应关系“各段各异”， 因此要对x+3分类讨论.
(2)当x+3<-1，即x <-4时， (3)当x+3>1，即x > -2时， 【解题技巧】 由分段函数f (x)解析式求复合函数f[g(x)]解析式时，首 先需要根据f(x)中对x的分段，替换为对g(x)的分段，然后再逐段求解.
典型例题
【解题技巧】 换元后要注意新元 t 的取值范围，函数定义域不可忽视！
典型例题
归纳总结
1.代入法就是将括号内整体代换已知函数关系中的x，本质上相当于变量 替换.对于分段函数的解析式，要根据原来对x的分段，转化为对括号内整 体的分段，再逐段求解 ；
2. 换元法就是将括号内整体设为一个变量t，然后将x用t表示出来，接下 来进行代换；
函数解析式求法——代入法与换元法
巧用“逆向思维”解决运动学问题
1
典型例题
典型例题
典型例题
方法技巧
代入法求解析式 ①方法：已知f(x)解析式，求复合函数解析式f[g(x)]，相当于将括号内g(x)整
体代替x. ②记忆口诀：函数变量是个筐，代数式都可以ห้องสมุดไป่ตู้(变量替换).
例如对于：f(x)=ax2+bx+c，则f(□)=a□2+b□+c.
3.对于具体函数来说，函数的对应关系式是用t表示还是用x表示没有关系， 只是习惯上自变量用x表示；
4.换元后要注意新元 t 的取值范围，函数定义域不可忽视.
再见
典型例题
代入原式得： f(t)=(t+1)2+(t+1)=t2+3t+2 ∴f(x)=x2+3x+2 【点评】 求函数解析式的关键在于弄清对于x而言，“f”是怎 样的对应法则，至于选择什么符号表示自变量没有关系.
第一章 复变函数解析
lim lim f (z)
f (z z) f (z)
z0 z
z0
z
df 或f ' (z)
dz
由于复变函数中导数定义与实变函数的导数定
义相同,故实变函数中导数公式可应用到复变函数
情况.例如: d z n nz n1 , d e z e z ,
dz
dz
d sin z cos z, d cos z sin z
dz
dz
复合函数 d F () dF d
dz
d dz
1.复变函数可导的充要条件：
当f(z)满足(ⅰ).函数f(z)的实部u(x,y)和虚部v(x,y)的
偏导数
u , u , v , v x y x y
存在且连续.
(ⅱ)满足C-R 条件
u v x y u v (1) y x
(1)式为直角坐标形式. 极坐标形式：
由上式可看出加法满足交换律与结合律.
当定义了 –z 时,减法也自然有了.
(b)乘法 :z1z2=(x1x2-y1y2)+i( x1y2+x2y1) (4)
(c)除法:
z1 x1x2 y1 y2 i x2 y1 x1 y2
z2
x22
y
2 2
对乘除法用指数形式运算方便.
z1z2=ρ1ρ
2e
n z n e n
其中k=0,1,2…..n-1
共有n个根,为z*=x-iy=ρe –iφ .. zz*= ρ2
(三)无限远点: 对复变数z=x+iy, 当ρ→∞时就是z趋于无 穷运点.引入复数球,使复数球的s极与复数平面的原点 相切,这时对于复数平面上的任意一点A,它与复数球的 N极以直线相联与复数球面交于面上一点A′ ,这样就建 立了复数平面上的点与复数球面上点之间的一一对应 关系.当A不管以什么方式趋于无穷大时,其对应的A′都 趋于N极,因此可把平面上无限远看成一点.
人教版高一数学必修一第一章知识点解析函数及其表示
人教版高一数学必修一第一章知识点解析函数及其表示考点一、映射的概念1.了解对应大千世界的对应共分四类，分别是：单对单多对一一对多多对多2.映射：设A和B是两个非空集合，如果按照某种对应关系f，对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都存在的一个氧化物y与之对应，那么，就称对应f：A→B为集合A到集合B的一个映射(mapping).映射是特殊的对应，简称“对一”的对应。
包括：一对一多对一考点二、函数的概念1.函数：设A和B是两个非空的数集，定出如果按照某种确定的对应关系f，对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都存在确定的数y与之对应，那么，就称对应f：A→B为集合A到集合B的一个函数。
记作y=f(x),xA.其中x叫自变量，x的取值范围A叫函数的定义域;与x的值相对应的y的值函数值，函数值的集合叫做并集函数的值域。
函数是特殊的态射，是非空数集A到非空数集B的映射。
2.函数的三要素：定义域、值域、对应关系。
这是判断两个函数是否为同一函数的依据。
3.区间的概念：设a,bR,且a<b.我们规定：<p="".我们规定：①(a,b)={xa<x<b}②[a,b]={xa≤x≤b}③[a,b)={xa≤x<b}④(a,b]={x a<x≤b}⑤(a,+∞)={xx;a}⑥[a,+∞)={xx≥a}⑦(-∞,b)={xx<b}⑧(-∞,b]={xx≤b}⑨(-∞,+∞)=r<p=""}⑧(-∞,b]={xx≤b}⑨(-∞,+∞)=r考点三、函数的表示方法1.函数的三种表示方法列表法图象法导出法考点四、不求定义域的几种情况①若f(x)是整式，则函数的定义域是实数集为R;②若f(x)是分式，则函数的定义域是使分母不等于0的实数集;③若f(x)是二次根式，则函数的定义域是使根号内的式子大于或等于0的实数集合;④若f(x)是对数函数，真数应大于零。
数学物理方法第一章习题指导(胡嗣柱版)
第一章 复变函数和解析函数1.1 下列各式在复平面z 上表示什么? (1) 2Im 4z =解:()()2222z x iy x iy x y i xy =++=-+ ,2Im 24z xy ∴==,则2xy =, 为双曲线.(2) 1Re 2z=解:2211x iy z x iy x y -==++ ,221Re 2x z x y ∴==+,22102x y x +-=,该方程表示圆心在1(,0)4半径为14的圆，但1z 要求0z ≠，故1Re 2z=为该圆除去点(0,0).(3) Re 1z z +≤解:由题Re 1z z x +=+≤,即1x ≤-,可得212y x ≤-,它表示如图所示的抛物线及内部阴影部分.(4)221z z +=- =()()22222414x y x y ++=-+，整理得22(2)4x y -+=，可见原式表示圆心在（-2, 0）半径为2得圆。
(5) 0arg4z i z i π-<<+ 解:原式为()()10arg14x i y x i y π+-<<++,对()()11x i y x i y +-++化简有：Oi-i复平面()()()()()()22222212111111x y i x x i y x i y x i y x i y x y x y ⎡⎤+--+--+⎡⎤⎡⎤+-⎣⎦⎣⎦⎣⎦==++++++ 原式即为()2222120arg 41x y i x x y π⎡⎤+--⎣⎦<<++， 满足条件()()222222222222101102020121211x y x y x y x x x y x y x xx y ⎧+->⎪++⎪⎧+->⎪-⎪⎪>⇒->⎨⎨++⎪⎪++>⎩⎪-⎪<+-⎪⎩ 即需满足0x <，并在圆2210x y +-=与222(1)x y ++=之外的区域。
数学物理方法第一章解析函数1.3微商及解析函数
一、微商及微分：
x 0 lim x 0 x i y y 0 x 1 lim x 0 x i y y 0
1.3 微商及解析函数
z z
f lim z 0 z
∴ f ( z) Re z， 在复平面处处不可导。
2 2
二、解析函数：
1.3 微商及解析函数
例 已知 v( x, y ) x y, 求解析函数 f ( z ) u iv
（1）用全微分法
u u v v du dx dy dx dy dx dy x y y x u d ( x y) c x y c
解析函数图例
1.3 微商及解析函数
1.3 微商及解析函数
1.3 微商及解析函数
小结 一、微商及微分：
1、微商： 2、微分：
1.3 微商及解析函数
Δf f ( z ) lim Δz 0 Δz dw f ( z )dz
3、 求导、微分法则： 4. 可导的必要条件 5.可导的充分条件：
问：(1)可否用这四个公式来判断函数是否可导？N (2)可否用求导公式判断函数是否可导？Y
二、解析函数：
1. 定义：
1.3 微商及解析函数
若w f(z) 在z 0 点及 N(z 0 , ε） 可导，则称 w f(z) 在z 0点解析。 若w f(z) 在区域内处处可导，则称 w f(z) 在区域内解析。
u v
1 v
1 u
一、微商及微分：
5.可导的充分条件：
1.3 微商及解析函数
(1) u x ,u y ;v x ,v y 均连续 (2) u,v 满足C R条件
第一章复变函数和解析函数
7
2020/4/7
• 莱昂哈德·保罗·欧拉（Leonhard Paul Euler，1707年4月15日－ 1783年9月18日）是一位瑞士数 学家和物理学家，近代数学先驱 之一，他一生大部分时间在俄罗 斯帝国和普鲁士度过。
• 欧拉在数学的多个领域，包括 微积分和图论都做出过重大发现。 他引进的许多数学术语和书写格 式，例如函数的记法"f(x)"，一直 沿用至今。此外，他还在力学、 光学和天文学等学科有突出的贡 献。
ln x
ln xei 2k
2020/4/7
ln x ln ei i2k ln x i 2ik
16
（4）复数的运算规则 (注:运用到实数特例时,能够与实数的运算规则相符)
设z1=x1+iy1和 z2=x2+iy2是两个复数
加减 z1 ± z2 =(x1+iy1) ± (x2 +i y2 )
所以可以用平面上的一个点（x,y）或一个矢量
表示，通常把横轴叫实轴，纵轴叫虚轴，而把这种
用来表示复数的平面叫复平面。 复数的矢量表示法
由图：
y
x cos
y
sin
x2 y2
arctan
y x
y
z
P(x,y)
那么复数（复矢量）可以表示为 o
xx
z = x iy = cos isin .
2020/4/7
5
2020/4/7
6
学习要求与内容提要
目的与要求：掌握复变函数的基本概念和复函数可导 必要条件、掌握解析函数的概念、函数 解析的充要条件、复势的概念。
教学重点： 柯西-黎曼条件、复变函数解析的充要条件；
教学难点： 柯西-黎曼条件与复变函数可导充要条件、 复变函数解析的充要条件
1. 解析函数
A. 课堂考勤10%：缺课一次扣1分。 B. 课后作业20%：缺交一次扣1分。
第一篇 复变函数论 第二篇 数学物理方程
第一章 复变函数及其导数
§1.1 复数及运算
§1.2 复变函数
§1.3 复变函数的导数
§1.4 解析函数 §1.5* 多值函数 §1.6* 平面标量场
§1.1 复数及运算
• （一）复数的概念：
x1 y2 x2 y1 2 y1 y2 4. 除法运算：两个复数相除 z1 x1x2 i 2 2 2
等于它们的模相除，幅角 相减； 5. 共轭运算：复数z=x+iy的 共轭复数为z*=x-iy
z2
x2 y2 x2 y2 r 1 cos(θ1 θ2) isin(θ1 θ2) r2 r1 exp[i(θ1 θ2)] r2
Argf '(z0)
w=f(z)
df (z0 ) dz (t0 ) d dt t t0 dz dt
B. 保角映射：z平面上的两条相交的参 数曲线C1和C2，经过函数w=f(z)映射到 w平面上，则曲线f(C1)和f(C2)的夹角保 持不变。
C1 C2
C. 导数f '(z0)的模|f '(z0)|是经过w=f(z)映射后通过z0的 任何曲线在z0的伸缩率.
个极限值A。如果极限值不同，则函数不存在极限！
zz 2z z 2 例1. 求lim 的极限。 2 z 1 z 1
z 例2. 证明极限 lim 不存在。 z 0 z
•
（二）复变函数的连续性
1. 我们称函数w=f(z)在z=z0点连续，如果它满足
A. f(z0)存在； B. lim f(z)存在; C. lim f(z) f(z0).
第一篇 复变函数论 第二篇 数学物理方程
第一章 复变函数及其导数
§1.1 复数及运算
§1.2 复变函数
§1.3 复变函数的导数
§1.4 解析函数 §1.5* 多值函数 §1.6* 平面标量场
§1.1 复数及运算
• （一）复数的概念：
x1 y2 x2 y1 2 y1 y2 4. 除法运算：两个复数相除 z1 x1x2 i 2 2 2
等于它们的模相除，幅角 相减； 5. 共轭运算：复数z=x+iy的 共轭复数为z*=x-iy
z2
x2 y2 x2 y2 r 1 cos(θ1 θ2) isin(θ1 θ2) r2 r1 exp[i(θ1 θ2)] r2
Argf '(z0)
w=f(z)
df (z0 ) dz (t0 ) d dt t t0 dz dt
B. 保角映射：z平面上的两条相交的参 数曲线C1和C2，经过函数w=f(z)映射到 w平面上，则曲线f(C1)和f(C2)的夹角保 持不变。
C1 C2
C. 导数f '(z0)的模|f '(z0)|是经过w=f(z)映射后通过z0的 任何曲线在z0的伸缩率.
个极限值A。如果极限值不同，则函数不存在极限！
zz 2z z 2 例1. 求lim 的极限。 2 z 1 z 1
z 例2. 证明极限 lim 不存在。 z 0 z
•
（二）复变函数的连续性
1. 我们称函数w=f(z)在z=z0点连续，如果它满足
A. f(z0)存在； B. lim f(z)存在; C. lim f(z) f(z0).
《数学物理方法》第1章复变函数与解析函数
成绩：
平时考勤：5%； 平时作业：10%； 期中考试：15% (第一篇的教学考核成绩) 期终考试：70% (期末考试成绩)
本课程的考试均以闭卷方式进行 。
2021/1/14
4
教材与参考书
教材：汪德新，《数学物理方法》，第三版，科学出
版社，2006年8月
参考书：
［1］吴崇试，数学物理方法，北京大学出版社 2003-12-26出版
zz1 (x1iy1) (x1iy1)(x2iy2) z2 (x2iy2) (x2iy2)(x2iy2)
x1xx222
y1y2 y22
i
x2y1x1y2 x22 y22
同样，利用复数的指数表示式将更方便．
z
z1 z2
1ei1 2ei2
e 1 i(12)
2
35
（6）开方 复数的开方是乘方的逆运算。
为共轭复数。 常用z* 表示z的共扼复数。 (z* )* =z 例： z1=2+3i与z2=2-3i 称z1与z2互为共轭复数。
17
复数能不能比较大小?!
18
§1.1.2 复数的几何表示
复数可以用平面上的点来表示，称为复 数的平面表示法；
球面上的点来表示，称为球面表示法。
19
1. 复数平面表示法
利用复数的指数表示式计算复数的乘积，往往更为
方便 z z 1 z 2 1 e i 12 e i 2 12 e i( 1 2 )
两复数乘积的几何意义是将两复数的模相乘而辐角
相加．
30
（4）乘方 乘方可由乘法规则得到，用n个z相乘
zn nein
31
【例1.1.1-A】试证明棣莫弗(De Moivre)公式
9
平时考勤：5%； 平时作业：10%； 期中考试：15% (第一篇的教学考核成绩) 期终考试：70% (期末考试成绩)
本课程的考试均以闭卷方式进行 。
2021/1/14
4
教材与参考书
教材：汪德新，《数学物理方法》，第三版，科学出
版社，2006年8月
参考书：
［1］吴崇试，数学物理方法，北京大学出版社 2003-12-26出版
zz1 (x1iy1) (x1iy1)(x2iy2) z2 (x2iy2) (x2iy2)(x2iy2)
x1xx222
y1y2 y22
i
x2y1x1y2 x22 y22
同样，利用复数的指数表示式将更方便．
z
z1 z2
1ei1 2ei2
e 1 i(12)
2
35
（6）开方 复数的开方是乘方的逆运算。
为共轭复数。 常用z* 表示z的共扼复数。 (z* )* =z 例： z1=2+3i与z2=2-3i 称z1与z2互为共轭复数。
17
复数能不能比较大小?!
18
§1.1.2 复数的几何表示
复数可以用平面上的点来表示，称为复 数的平面表示法；
球面上的点来表示，称为球面表示法。
19
1. 复数平面表示法
利用复数的指数表示式计算复数的乘积，往往更为
方便 z z 1 z 2 1 e i 12 e i 2 12 e i( 1 2 )
两复数乘积的几何意义是将两复数的模相乘而辐角
相加．
30
（4）乘方 乘方可由乘法规则得到，用n个z相乘
zn nein
31
【例1.1.1-A】试证明棣莫弗(De Moivre)公式
9
解析函数
复数的模 r = z ，辐角 ϕ = Arg z 辐角主值 0 ≤ arg z < 2π
Arg z = arg z + 2kπ ,
3.指数表示 3.指数表示
k = 0(±1) ± ∞
e
iϕ
cosϕ + i sin ϕ iϕ z = re
4.几何表示的补充 4.几何表示的补充 定义无穷远点： 定义无穷远点： z = ∞和复平面上一点对应 全复平面： 全复平面： 引入该无穷远点的平面 有限复平面： 有限复平面： 不含无穷远点
y
虚轴
z( x, y)
z = x +i y ↔( x, y) ↔Oz
O
实轴
x
复平面
2.三角表示（极坐标系 (r,ϕ) ） 2.三角表示（ 三角表示
z = r(cosϕ + i sin ϕ)
x = r cosϕ , y = r sin ϕ
r = x2 + y2 ϕ = arctan y / x
②
③
具体步骤： 具体步骤：
扩充： 扩充：
① ②
引入新对象： 引入新对象：复数 引入新对象的运算： 引入新对象的运算： 代数运算、初等超越运算、极限、 代数运算、初等超越运算、极限、 微积分…… 微积分……
③
具体应用
内容安排： 内容安排：
第一、二、三章解决前两个问题 第一、 第四章留数定理探讨复变函数的应用 第五章讨论广义函数 普通点函数概念的扩充） （普通点函数概念的扩充）
y ① ∆z=∆x •z
② ∆z=i∆y o x
f (z + ∆z) − f (z) f ′(z) = lim ∆z→0 ∆z
②
u( x, y + ∆y) −u(x, y) = lim ∆y→0 i ∆y
复变函数
§ 1.1 复数及其运算
2
复数的几何表示 复数的几何表示对于了解复变函数理论中的 一些概念，例如多值函数、解析延拓等，很有帮助，其中一个 重要应用时——保角变换。 复数z=x+iy可以用平面上的点表示。在平上作一个直角坐标系， 取横轴OX为实轴，单位为1，纵轴OY为虚轴，单位为i。复数 全体与平面上的点都是一一对应的关系，这样的平面称为复平 面。 若引入极坐标变量（ρ，φ ）则 x= ρ cosφ y= ρsinφ 于是 z= ρcosφ +i ρsinφ （1） z=ρρeiφ （2） （1）、（2）式分别称为复数z的三角表示式和指数表示式。式中ρ 为复数z的模或绝对值。记作 ∣z∣=ρ=√(x² 实数（x,y）定义 为复数，通常表示为z=x+iy。式中i满足i2=1， 称为虚单位；而x和y都是实数，分别称为复 数z的实部和虚部，常记为： x=Rez;y=Im z。 虚部为零的复数就可以看做是实数，即 x+i0=x.实部为零的复数称为纯虚数。 两个复数相等指的是实部虚部分别相等， 即x1+iy1=x2+iy2必须且只需x1=x2;y1=y2. 复数x+iy和x-iy互称为共轭复数。
• §1.2 复变函数 • 1. 复变函数的概念 设E为复数平面的 一点集（复数的集合），若按一定的规 律，使E内每一个复数z都有一个或者多 个的w=u+iv(u,v为实数)与之对应，则称 w为z的复变函数，定义域为E，记作： w=f(z)，
• • • • • • • • • • • •
而φ为向量oz与x轴的夹角，称为复数z的辅角，记作 Arg z=φ; tanφ =y/x 任一复数z不等于零都有无穷多个辅角。以arg z表示其中在2ππ 范围内 变化的一个特定值，称之为辅角的主值，通常取 -π <arg z≦ π 于是 Arg z=arg z+2kπ(k=0; ±1; ±2…) 3 复数的运算法则 (1)两复数z1=x1+iy1及z2=x2+iy2相加(减),可将他们的实部与实部，虚部 与虚部分别相加（减），即 z1±z2=（x1±x2）+i（y1±y2） (2)两复数z1=x1+iy1及z2=x2+iy2相乘可按多项式乘法法则进行，只需将 结果中的i2换成-1，即 z1.z2=（x1x2-y1y2）+i（x1y2+x2y1） (3)两复数z1=x1+iy1及z2=x2+iy2相除，先写成分式形式，然后分子分母 同乘以分母的共轭复数，化简级 z1÷z2= （x1x2＋y1y2）/(x22+y22)+i(y1x2－x1y2)/(x22+y22)
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当复数用三角表示法时有 , z r (cos i sin ) , z r 其中称为复数z的辐角, 记为 Argz 我们称满足 的辐角为z的辐角主值, 记作 arg z , 从而 Argz arg z 2k 设z x yi y x 0, y任意 arct an x , , x 0, y 0 arg z 2 y arct an x , x 0, y 0 , x 0, y0 arct an y 其中 2 2 x
i 3
z3 z1 1 3 i z 2 z1 2 2
在z1 z 2 z n r1r2 rn e i ( 1 2 n )中令z1 z 2 z n , 则我们可得到所谓的 的n次幂 z z n z1 z 2 z n r n (cosn i sin n )
边界点: 如果点P的任意小邻域点包含有 中点, 但P本身 D 不属于D 边界 : D的所有边界点的集合记为D. , 区域D连同它的边界一起称为 闭区域或闭域 . 有界集 : 设D是C上一个点集, 如果存在一个关于原 点的(足够大)领域N (0, k ), 使得D N (O, K ) 即D中点z都满足 z k , 称为有界集, 否则称为无界集 .
们以P为共同的边界 其中一个区域是有界的称为P的内部, 另一个区 , ,
介绍单连通区域与多连 通区域 单连通区域: 区域D内任意一条简单闭曲线 的内部仍在D内; 多连通区域: 不是单连通的区域 . 特别地, 领域N ( z0 , )是一个单连通域 去心邻域 N ( z0 , )是一个多 , 连通区域. 设函数 W f(z)的定义域是z平面上集合E , 其值域是W平面 上的集合M , 则M中的每个点W也反过来对应着 中一个(或 E 多个)点, 按函数定义, 在M上就确定了一个单值或多值) ( 函数定义, 称 为W f ( z )的反函数, 记为z f 1 ( w)或z ( w).
例设a是一给定复数 且 a 1, 则函数 , za W f ( z) 在复平面c上单叶 1 az (单值 单射) 例证明复平面上的直线 方程可以写成 a z az c, 其中a 0为复常数, c为实 常数.
2.2复变函数定义 定义2.1设E为一复数集, 若对E中每一复数, 有唯一确定的 复数W与之相对应, 则称在E上确定了一个单值函数 f ( z ), W z E; 若对E中每一个复数 有两个或两个以上包括无穷多 , ( 个)的复数W与之对应, 则称在E上确定了一个多值函数 W f ( z )(z E ).通常情况下 函数指单值函数 且定义域取复 , , 数值. z 1 例 : 函数W z , W z , W ( z 1)均为z的单值函数, 它们 z 1 都是复变复值函数 .
另外规定关于 的四则运算如下: (1) a a ( a ) ( 2) a a ( a ) (3) a a ( a 0) a ( 4) 0, ( a ) a a ( a 0) 0 0 但 ,0 , , 仍然是无意义的 . 0
n
)
其中k 0,1,2, , n 1 棣莫弗(De Moivre 公式 ) (cos i sin ) n cos n i sin n 例设z 2 2i, 求z 7 及3 z
例设z 2 2i, 求z 及 z
7 3
z 2 2i, 解 : z (2) 2 (2) 2 2 2 ; 2 3 arg z arctan , 2 4 4 3 3 z 2 2 (cos( ) i sin( )) 4 4 3 3 2k 2k 3 z 3 2 2 (cos( 4 ) i sin( 4 )),k 0,1,2 3 3 3 3 k 0时, z0 3 2 2 (cos( 4 ) i sin( 4 )) ; 3 3 3 3 2 2 k 1时, z1 3 2 2 (cos( 4 ) i sin( 4 )) : 3 3
x x(t ) 设x(t ), y (t )是两个连续的实变函数则方程组 , ( a t b) y y (t ) 表示一条平面曲线 称为连续曲线如果令z (t ) x(t ) iy (t ),则这曲 , . 线就可以用一个方程 z (t ), (a t b)来表示, 这就是平面曲线的 z 复数表示. 设P : z z (t ) (a t b)是一条连续曲线z (a )与z (b)分别称为P的 . 起点和终点 如果存t1 t 2 , 使得z (t1 ) z (t 2 ),则称点z (t1 )是曲线P的重 , 点, 没有重点的连续曲线称 为简单曲线或 约当闭曲线 简称围道. , Th2.1( JordanTheo )任一简单闭曲线 把复平面分成两个区域它 rem P , 域是无界的 称为P的外部.(叙而不证) , ( Jordan曲线, 如果简 ) 单曲线起点和终点重合即z (a) z (b),则称简单闭曲线或 ,
z1 Arg ( ) Argz2 Argz2 z2 例1.6试证明,以三个复数z1 , z 2 , z3为顶点构成的三角形为 等边三角形的充要条件 为 z1 z 2 z3 z1 z 2 z 2 z3 z3 z1
2 2 2
不妨设 z3 z1 ( z1 z 2 )e 平方后化简即得证 .
2
函数W z , W Re z , W Argz都是复变实值函数 且前二者是 , 单值的, 后者是无穷多值的 .
Hale Waihona Puke 函数z z1 t ( z 2 z1 ), z1 , z 2是两个不同的固定复数 t , , 则是实变复值函数 . 由于给定了一个复数 x yi就相当于给定了两个实 x和y, z 数 反之亦然, 反以, 复变函数W和自变量z之间的关系W f ( z )也可写成 W u ( x, y ) iv( x, y ), 其u ( x, y ), v( x, y ))是二元实函数 . 例 : 设函数W z 2 , 试问它把z平面上的下列曲线或区 域分别变成W平 面上的什么曲线或区域 ? (1)以原点为中心 2为半径位于第I象限的圆弧; , (2)角形域0 arg z / 6; (3)双曲线x 2 y 2 1
0
特别地, 如果W f ( z )在E上单值, 且对于E中任两个不同
的点, 其像也是不同的 称W f ( z )在E上是一一的或单叶的 , (univalent ). 设函数 f(z )把集合E映成集合N , 而函数W g ( ) 又把集合N映成集合M , 则称将E映射成M的那个函数为 由f和g所复合成的复合函数 . 记W gf ( )或W g[ f ( z )] 如W ( z i) 2 可以看作是由 2 , 2 i复合而成. W
2 复变函数 2.1 点集与区域 所谓点集就是复平面上 某些点的集合 . N(z0 , ) {z | z - z 0 }, 其中 0, 称为z 0的 邻域. N(z 0 , ) {z | 0 z - z 0 }, 其中 0, 称为z 0的去心邻域 . 特别地, M ( M 0)称为无穷远点的邻域 . M 就表示无穷远点的去心 领域. 内点 : 设D是复平面C上的一个点集 z0是D内一点, 如果存 , 在z0的某一个邻域 使得这个邻域中的点都 , 包含于D, 则称 z 0 为D的内点 . 开集 : 如果D内每一点都是它的内点则称D为开集. , 连通 : 是指D中任何两点都可以用一 条完全属于D的折线 连接起来 . 区域 : 连通的开集称为区域 .
如果用复数指数形式则更简单 , 设z1 r1e , z1 z 2 r1r2 e 即设
i (1 2 ) i1
z 2 r2 e
i 2
上式可以推广至 个复数的乘积情形 n . z k rk e i k rk (cos k i sin k ) k 1,2, n 则z1 z 2 z n r1r2 rn ei (1 2 n ) 对于复数的除法同理可得 , z 2 r2 r2 i ( 2 1) [cos( 2 1 ) i sin( 2 1 )] e z1 r1 r1 r2 z2 由此, z1 r1
设复数z x yi, x, y R, 称x yi为复数z的共轭 复数, 记作z ,即z x yi, 共轭复数满足下列性质 :
(1) z1 z2 z1 z2 z1 z1 (2)z1 z2 z1 z2 , ( ) z2 z2 (3) z z (4)z z 2 Re ( z ) , z z 2iI m ( z ) z z [ Re ( z ) ]2 [ I m ( z )]2 1.2复数的表示法 代数表示法: x yi 向量表示法:向量OP 三角表示法: z r (cos i sin ) 指数表示法: z re i (欧拉公式: ei cos i sin )
1.3复球面与扩充复平面 当P N , 作为N的对称点, 我们引入一个无穷远点记为. , 于是球面上每一点都有 唯一的一个复数与之对 .称这样 应 的球面S为黎曼复球面简称复球面 . . 同时, 我们把包括无穷远点在 内的复平面称为扩充复 平面, 记为C * ,即C * C 对于复数而言, 实部, 虚部与辐角的概念均无 意义, 但其模 为无穷大,即 .
1.4复数的乘幂与方根 利用复数的三角表示法 来进行复数的乘积与商 运算是方便的 . 例如 : 则 设z1 r1 (cos1 i sin 1 ) z 2 r2 (cos 2 i sin 2 ) z1 z2 r1r2 (cos( 1 2 ) i sin(1 2 ) ) z1z 2 z1 z2 Arg (z1z 2 ) Argz1 Argz 2 (*)式应理解为两个集合的 相等 如果用辐角主值来表示我们有 , arg(z1z 2 ) arg z1 argz2 2k 其中k按 arg z1 , argz2的情况取0,1. (*) 于是, 我们得到