中考数学解题技巧7：“不离不弃”瓜豆原理模型

或许先描述的是动点P，但最终问题问的可以是另一点Q，当然P、 Q之间存在某种联系，从P点出发探讨Q点运动轨迹并求出最值，
为常规思路．
02.轨迹之圆篇
引例 1：如图，P 是圆 O 上一个动点，A 为定点，连接 AP，Q 为 AP 中点． 考虑：当点 P 在圆 O 上运动时，Q 点轨迹是？
A
Q
P
O
【分析】观察动图可知点 Q 轨迹是个圆，而我们还需确定的是此圆与圆 O 有什么关系？
y
P
M
O
C
O
A
B
x
【2016 武汉中考】如图，在等腰 Rt△ABC 中，AC=BC= 2 2 ，点 P 在以斜边 AB 为直径的 半圆上，M 为 PC 的中点，当半圆从点 A 运动至点 B 时，点 M 运动的路径长为________．
P A
M
C
B
【分析】考虑 C、M、P 共线及 M 是 CP 中点，可确定 M 点轨迹： 取 AB 中点 O，连接 CO 取 CO 中点 D，以 D 为圆心，DM 为半径作圆 D 分别交 AC、BC 于 E、F 两点，则弧 EF 即为 M 点轨迹．
y
PM C
O
A
B
x
【分析】M 点为主动点，C 点为从动点，B 点为定点．考虑 C 是 BM 中点，可知 C 点轨迹： 取 BP 中点 O，以 O 为圆心，OC 为半径作圆，即为点 C 轨迹．
y
PM OC
O
A
B
x
当 A、C、O 三点共线且点 C 在线段 OA 上时，AC 取到最小值，根据 B、P 坐标求 O，利 用两点间距离公式求得 OA，再减去 OC 即可．
Q
A
P
O
【分析】Q 点满足（1）∠PAQ=45°；（2）AP:AQ= 2 ：1，故 Q 点轨迹是个圆．
连接 AO，构造∠OAM=45°且 AO:AM= 2 ：1．M 点即为 Q 点轨迹圆圆心，此时任意时刻 均有△AOP∽△AMQ．即可确定点 Q 的轨迹圆．
Q
M
P
A
O
【练习】如图，点 P（3,4），圆 P 半径为 2，A（2.8,0），B（5.6,0），点 M 是圆 P 上的动点， 点 C 是 MB 的中点，则 AC 的最小值是_______．
中物理
中考数学解题秘籍
“不离不弃” 瓜豆原理模型
目录
01.瓜豆模型介绍 02. 轨迹之圆篇 03. 圆模型总结 04. 轨迹之线段篇 05.线段模型总结
01.瓜豆模型介绍
在辅助圆问题中，我们了解了求关于动点最值问题的方式之一— —求出动点轨迹，即可求出关于动点的最值．
今天继续讨论另一类动点引发的最值问题，在此类题目中，题目
考虑 AP⊥AQ，可得 Q 点轨迹圆圆心 M 满足 AM⊥AO； 考虑 AP=AQ，可得 Q 点轨迹圆圆心 M 满足 AM=AO，且可得半径 MQ=PO． 即可确定圆 M 位置，任意时刻均有△APO≌△AQM．
M Q
P
A
O
引例 3：如图，△APQ 是直角三角形，∠PAQ=90°且 AP=2AQ，当 P 在圆 O 运动时，Q 点轨 迹是？
Q M
【小结】可以理解 AQ 由AP 旋转得来，故圆 M 亦由圆 O旋转得来，旋转角度与缩放比例
P
均等于 AP 与 AQ 的位置和数量关系．
60°
A
O
【思考 2】如图，P 是圆 O 上一个动点，A 为定点，连接 AP，以 AP 为斜边作等腰直角△APQ． 考虑：当点 P 在圆 O 上运动时，如何作出 Q 点轨迹？
考虑到 Q 点始终为 AP 中点，连接 AO，取 AO 中点 M，则 M 点即为 Q 点轨迹圆圆心，半 径 MQ 是 OP 一半，任意时刻，均有△AMQ∽△AOP，QM:PO=AQ:AP=1:2．
P Q
A
M
O
【小结】确定 Q 点轨迹圆即确定其圆心与半径， 由 A、Q、P 始终共线可得：A、M、O 三点共线， 由 Q 为 AP 中点可得：AM=1/2AO． Q 点轨迹相当于是 P 点轨迹成比例缩放．
根据动点之间的相对位置关系分析圆心的相对位置关系； 根据动点之间的数量关系分析轨迹圆半径数量关系．
引例 2：如图，P 是圆 O 上一个动点，A 为定点，连接 AP，作 AQ⊥AP 且 AQ=AP． 考虑：当点 P 在圆 O 上运动时，Q 点轨迹是？
Q
A
P
O
【分析】Q 点轨迹是个圆，可理解为将 AP 绕点 A 逆时针旋转 90°得 AQ，故 Q 点轨迹与 P 点轨迹都是圆．接下来确定圆心与半径．
古人云：种瓜得瓜，种豆得豆．“种”圆得圆，“种”线得线，谓之“瓜豆原理”．
【思考 1】：如图，P 是圆 O 上一个动点，A 为定点，连接 AP，以 AP 为一边作等边△APQ． 考虑：当点 P 在圆 O 上运动时，Q 点轨迹是？
Q
A
P
O
【分析】 Q 点满足（1）∠PAQ=60°；（2）AP=AQ，故 Q 点轨迹是个圆： 考虑∠PAQ=60°，可得 Q 点轨迹圆圆心 M 满足∠MAO=60°； 考虑 AP=AQ，可得 Q 点轨迹圆圆心 M 满足 AM=AO，且可得半径 MQ=PO． 即可确定圆 M 位置，任意时刻均有△APO≌△AQM．
Q P
A
O
【分析】考虑 AP⊥AQ，可得 Q 点轨迹圆圆心 M 满足 AM⊥AO； 考虑 AP:AQ=2:1，可得 Q 点轨迹圆圆心 M 满足 AO:AM=2:1． 即可确定圆 M 位置，任意时刻均有△APO∽△AQM，且相似比为 2．
M
Q P
A
O
【03模.圆型模总型结总】结 为了便于区分动点 P、Q，可称点 P 为“主动点”，点 Q 为“从动点”．
此类问题的必要条件：两个定量 主动点、从动点与定点连线的夹角是定量（∠PAQ 是定值）； 主动点、从动点到定点的距离之比是定量（AP:AQ 是定值）．
Q
α A
Pห้องสมุดไป่ตู้O
Q M
α Aα
P O
【结论】（1）主、从动点与定点连线的夹角等于两圆心与定点连线的夹角： ∠PAQ=∠OAM ； （2）主、从动点与定点的距离之比等于两圆心到定点的距离之比： AP: AQ=AO: AM ，也等于两圆半径之比 ． 按以上两点即可确定从动点轨迹圆，Q 与 P 的关系相当于旋转+伸缩．
P
A
M
E
O
D
C
F
B
当然，若能理解 M 点与 P 点轨迹关系，可直接得到 M 点的轨迹长为 P 点轨迹长
一半，即可解决问题．
【2018 南通中考】如图，正方形 ABCD 中， AB 2 5 ，O 是 BC 边的中点，点 E