复数乘除运算

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复数的三角形式及乘除运算

复数的三角形式及乘除运算复数是由实数和虚数组成的数，可以用复数平面上的点表示。

复数的三角式是指将复数表示为一个模长和一个幅角的形式。

复数的乘法和除法可以用三角形式来表示，即用模长和幅角来进行运算。

假设我们有一个复数z = a + bi，其中a和b都是实数，i是虚数单位。

1.复数的三角式在复数平面上，可以将复数z表示为一个与实轴的夹角θ（幅角）和点到原点的距离r（模长）的形式。

模长r可以通过使用勾股定理来计算：r=√(a^2+b^2)。

这个距离表示复数z到原点的距离。

幅角θ可以通过tanθ = b/a 来计算。

这个角度表示实轴与复数z 的连线之间的夹角。

将复数z表示为三角形式：z = r(cosθ + isinθ)。

其中cosθ表示x轴方向上的分量，sinθ表示y轴方向上的分量。

2.复数的乘法复数乘法的规则是，将两个复数的模长相乘，幅角相加。

设有两个复数z1 = r1(cosθ1 + isinθ1)和z2 = r2(cosθ2 + isinθ2)。

乘法运算的结果为：z1 * z2 = (r1 * r2) * (cos(θ1 + θ2) + isin(θ1 + θ2))角相加。

例如，计算(1+i)*(2+i)：首先将两个复数转换为三角形式：z1 = √(1^2 + 1^2) * (cos 45° + isin 45°) = √2 * (cos 45° + isin 45°)z2 = √(2^2 + 1^2) * (cos 63.4° + isin 63.4°) = √5 * (cos 63.4° + isin 63.4°)然后进行乘法运算：z1 * z2 = (√2 * √5) * (cos (45° + 63.4°) + isin (45° + 63.4°))= √10 * (cos 108.4° + isin 108.4°)所以，(1 + i) * (2 + i) = √10 * (cos 108.4° + isin108.4°)。

复数三角形式的四则运算公式

复数三角形式的四则运算公式一、复数的加法：复数的加法运算是指将两个复数相加。

设有两个复数a+bi和c+di，其中a、b、c、d都是实数，i是虚数单位，则它们的和为：(a+bi)+(c+di) = (a+c)+(b+d)i二、复数的减法：复数的减法运算是指将一个复数减去另一个复数。

设有两个复数a+bi和c+di，其中a、b、c、d都是实数，i是虚数单位，则它们的差为：(a+bi)-(c+di) = (a-c)+(b-d)i三、复数的乘法：复数的乘法运算是指将两个复数相乘。

设有两个复数a+bi和c+di，其中a、b、c、d都是实数，i是虚数单位，则它们的积为：(a+bi)(c+di) = (ac-bd)+(ad+bc)i四、复数的除法：复数的除法运算是指将一个复数除以另一个复数。

设有两个复数a+bi和c+di，其中a、b、c、d都是实数，i是虚数单位，则它们的商为：(a+bi)/(c+di) = [(ac+bd)/(c^2+d^2)] + [(bc-ad)/(c^2+d^2)]i以上是复数的四则运算公式，通过这些公式可以对复数进行加减乘除的运算。

在实际问题中，复数的四则运算常常用于电路分析、信号处理、傅里叶变换等领域。

例如，在电路分析中，当电路中存在交流信号时，可以将信号表示为复数形式，利用复数的四则运算可以方便地进行电路参数计算和信号处理。

在信号处理中，复数的四则运算常用于频域分析，例如傅里叶变换。

通过将时域信号转换为频域信号，可以对信号的频谱进行分析和处理，从而实现滤波、频谱显示等功能。

总结起来，复数的四则运算是数学中一个重要的概念和工具，它在实际问题中具有广泛的应用。

通过掌握复数的加减乘除运算规则，可以更好地理解和应用复数，提高数学和工程领域的解决问题的能力。

复数的乘除法

ac bd bc ad (a+bi) c+di = 2 2 i 2 2 c d c d
这种方法叫做公式法
复数相除的另一种解法.
②利用分母实数化：
a bi (a bi)(c di) [ac bi (di)] (bc ad )i c di (c di)(c di) c2 d 2
三、复数的除法运算规则：
①设复数a+bi (a，b∈R)，除以c+di(c，d∈R)，其商为x+yi (x，y∈R)，即(a+bi)÷(c+di)=x+yi ∵(x+yi)(c+di)=(cx－dy)+(dx+cy)i. ∴(cx－dy)+(dx+cy)i=a+bi. 由复数相等定义可知解这个方程组，得于是有
(ac bd ) (bc ad )i ac bd bc ad 2 2 i 2 2 2 2 c d c d c d
这种方法叫做分母实数化法给分子分母同乘以分母的共轭复数
例2计算
(1 2iBiblioteka (3 4i)1 2i 解： (1 2i ) (3 4i) 3 4i
(1 2i)(3 4i) 3 8 6i 4i 5 10i 1 2 i 2 2 (3 4i)(3 4i) 3 4 25 5 5
除法：先把两个复数相除写成分数形式，然后把分子与分母都乘以分母的共轭复数，使分母“实数化”，最后再化简，这种方法叫做分母实数化法。
5.求1 i i i .... i
2 3
2008
______
注意: i 4n 1, i 4n1 i, i 4n2 1, i 4n3 i

复数的三角形式与乘除运算

复数的三角形式与乘除运算复数是由一个实部和一个虚部组成的数，可以表示为 a + bi 的形式，其中 a 和 b 分别表示实部和虚部。

复数的三角形式是指将复数表示为模长和辐角的形式。

一、复数的三角形式1.模长（绝对值）：复数的模长表示复数到原点的距离，可以用勾股定理求得。

模长的公式为，z，=√(a²+b²)。

2. 辐角：复数的辐角表示复数与正实轴之间的夹角，可以用反正切函数求得。

辐角的公式为 arg(z) = arctan(b/a)。

以复数 3 + 4i 为例，它的模长为，z，= √(3² +4²) = √(9 + 16) = √25 = 5，辐角为 arg(z) = arctan(4/3)。

所以这个复数的三角形式可以表示为 5 * cos(arctan(4/3)) + 5 * sin(arctan(4/3)) * i。

二、复数的乘法复数的乘法可以根据分配律进行展开计算，具体步骤如下：1.将两个复数的实部和虚部分别相乘，得到两个部分的结果。

2.对两个部分的结果进行合并，实部与实部相减，虚部与虚部相加，得到最终的结果。

举例说明：设有两个复数z1=a1+b1i和z2=a2+b2i，它们的乘法运算为：z1*z2=(a1+b1i)*(a2+b2i)根据分配律，可以展开计算：z1*z2=a1*a2+a1*b2i+b1i*a2+b1i*b2i再合并结果：z1*z2=a1*a2-b1*b2+(a1*b2+b1*a2)i可以看出，复数的乘法运算结果也是一个复数，实部和虚部分别由原复数的四个部分相乘得到。

三、复数的除法复数的除法可以通过乘以倒数的方式来实现。

具体步骤如下：1.将除数和被除数都转换为三角形式。

2.将除数的模长取倒数，辐角取相反数，得到除数的倒数。

3.将两个复数的倒数相乘，得到最终的结果。

举例说明：设有两个复数z1=a1+b1i和z2=a2+b2i，它们的除法运算为：z=z1/z2首先将z1和z2转换为三角形式：z1 = r1 * cos(θ1) + r1 * sin(θ1) * iz2 = r2 * cos(θ2) + r2 * sin(θ2) * i然后计算除数的倒数：1/z2 = 1/r2 * cos(-θ2) + 1/r2 * sin(-θ2) * i最后将除数的倒数乘以被除数，得到最终结果：z=z1*(1/z2)= (r1 * cos(θ1) + r1 * sin(θ1) * i) * (1/r2 * cos(-θ2) +1/r2 * sin(-θ2) * i)= (r1 * 1/r2) * cos(θ1 - θ2) + (r1 * 1/r2) * sin(θ1 - θ2) * i可以看出，复数的除法运算结果也是一个复数，实部和虚部分别由原复数的模长和辐角相除得到。

复数乘除法的计算方法

复数乘除法的计算方法一、复数乘除法的基础概念。

1.1 复数是什么呢？复数就像是数字世界里的“混血儿”，它由实部和虚部组成，一般写成a + bi的形式，其中a是实部，就像我们平常认识的实数一样实在；b是虚部，这个虚部啊，带着点神秘的色彩，i呢，它可是虚数单位，规定i^2=1。

这就好比是在实数的大舞台上，突然闯入了一个带着特殊规则的新角色。

1.2 复数乘法的意义。

复数乘法就像是一场特殊的“数字舞蹈”。

当我们把两个复数(a + bi)和c+di相乘的时候，可不是简单的对应部分相乘哦。

它就像一种组合拳，要按照特定的规则来打。

二、复数乘法的计算方法。

2.1 按照公式计算。

根据(a + bi)(c + di)=ac bd+(ad+bc)i这个公式来计算。

比如说(1 + 2i)(3 + 4i)，这里a = 1，b = 2，c = 3，d = 4。

那么按照公式，先计算ac bd，也就是1×3-2×4 = 3 8=-5；再计算ad + bc，就是1×4+2×3 = 4 + 6 = 10，所以结果就是-5+10i。

这就像在拼图，要把各个部分按照规则拼好才能得到完整的图案。

2.2 几何意义辅助理解。

复数乘法还有几何意义呢。

从几何角度看，复数乘法相当于对复数所对应的向量进行旋转和伸缩。

这就像是把一个箭头（向量）先拉长或者缩短，再转个方向，是不是很神奇？就好比是在一个平面上，指挥着向量这个小士兵按照特定的指令变换位置。

三、复数除法的计算方法。

3.1 先把除法变乘法。

复数除法可有点“绕圈子”，我们不能直接像实数除法那样做。

首先要把除法转化为乘法，这就叫“曲线救国”。

对于(a + bi)/(c+di)，我们要乘以它的共轭复数c di，也就是((a + bi)(c di))/((c + di)(c di))。

这就像在过河的时候，没有桥，我们要想办法搭个临时的桥（乘以共轭复数）才能过去。

3.2 计算过程。

复数代数形式的乘除运算

把满足(c+di)(x+yi) =a+bi (c+di≠0) 的复数 x+yi 叫做复数 a+bi 除以复数c+di的商,
(c di)( x yi) (cx dy) (dx cy)i ac bd x cx dy a 2 2 c d 解得 dx cy b bc ad y i 2 2 c d
4、一些常用的计算结果
①如果n∈N*有:i4n=1;i4n+1=i,i4n+2=-1;i4n+3=-i. (事实上可以把它推广到n∈Z.）
__ 1 3 3 2 2 ②设 i,则有: 1; ;1 0. 2 2
事实上, 与统称为1的立方虚根,而且对于,也有类似于上面的三个等式.
2
= (8 i )(1 3i )
= 8 24i i 3i
2
= 5 25 i
复数的乘法与多项式的乘法是类似的. 我们知道多项式的乘法用乘法公式可迅速展开运算, 类似地,复数的乘法也可大胆运用乘法公式来展开运算.
实数集R中正整数指数的运算律, 在复数集C中仍然成立.即对 z1,z2,z3∈C及m,n∈N*有:
分母实数化
复数代数形式的除法实质：分母实数化
例5.计算 (1 2i ) (3 4i )
1 2i (1 2i)(3 4i) 解: (1 2i ) (3 4i ) 3 4i (3 4i)(3 4i)
3 8 6 i 4 i 5 10 i 1 2 i 2 2 3 4 25 5 5
2
称为关于x的实系数一元二次方程
b b xx (实根) 2a 2a 2a

原创3：3.2.2复数的乘除运算

个复数叫做互为共轭复数
记法：复数 = + 的共轭复数记作
z
= −
z
口答：说出下列复数的共轭复数
⑴z=2+3
(2-3)
⑵z= -6
( 6)
⑶z= 3
(3)
注意：⑴当虚部不为0时的共轭复数称为共轭虚数
⑵实数的共轭复数是它本身
思考：若z1 ,z2是共轭复数，那么
⑴在复平面内，它们所对应的点有怎样的位置关系？
分母实数化
+ = +
2、复数乘法满足交换律、结合律的证明
设 = + , = + , = + .
(1)因为 ∙ = ( + )( + )
= ( − ) + ( + ),
(事实上可以把它推广到 ∈ .）
1
1 i
1 i
2
i;
i.
② (1 i ) 2i; i;
i
1 i
1 i
2复数的乘法与多项式的乘法是类似的，只是在运算过程中把
换成－1，然后实、虚部分别合并.
3 除法：先把除式写成分式的形式,再把分子与分母都乘以分母
的共轭复数,化简后写成代数形式(分母实数化).即
化简等.
z1 1 i , z 2 2 i
（2）已知
求

+

,
,
-4
∙
8+6

（3）
1 ± 2 = ±2
1
=−

1+
=
1−
1−
= −
1+

复数代数形式的乘除运算

课本P112： A组4、5、6；B组1。
下节复习结合
3.2.2
X
阅读课本P109页至P111页，回答问题：
【说明】
1.复数的乘法 (1)乘法法则：复数的乘法与多项式的乘法是类似的，但要注意结果中的 i2换成－1，并且把实部与虚部分
别合并．
(2)运算律：复数乘法仍满足乘法交换律、结合律和分配律．注意：乘法公式：正整数指数幂的运算律在复数集C中仍成立．
?
2 2 2 2 A = 2 a c + 2 b d ； B = a + b + c + d 。易 BA 。
练 2
(2008· 山东高考)设 z 的共轭复数是 z ，若 z＋
z z ＝4，z· z ＝8，则 z 等于( A．i B．－i
D
) C．± 1 D．± i
例3 求1＋i＋i2＋…＋i2011的值．拓展： G P 求和公式。答： 0.
例1.计算: （） 1 1 2i 3 4i 2 i ;
2 3 4i 3 4i ; 2 31 i ; 4 1 2i 3的复数相乘可按从左到右
的顺序运算或利用结合律运算，混合运算和实数的运算顺序一
2．复数的除法在进行复数除法运算时，通常先把(a＋bi)÷ (c＋di)写 a＋bi 成的形式，再把分子与分母都乘以分母的共轭复数 c＋di c－di，化简后可得结果，实际上就是将分母实数化，这与根式除法的分母“有理化”很类似．注意最后结果一般写成实部与虚部分开的形式．
3．共轭复数的性质 (1)实数的共轭复数仍是它本身，即 z＝ z ⇔z∈R. (2)z· z ＝|z|2＝| z |2.

复数的乘除运算

2.应用举例
计算
(3+4i)(-2-3i) 解：原式= -6-9i-8i-12i2 = -6-17i+12 = 6-17i
分析：类似两个多项式相乘，把i2换成-1
3.探究：
复数的乘法是否满足交换律，结合律以及乘法对加法的分配律？对任意复数z1=a+bi,z2=c+di,z3=m+ni 则z1·2=(a+bi)(c+di )=ac+adi+bci+bdi2 z =ac+adi+bci-bd =(ac-bd)+(ad+bc)i 而z2·1= (c+di )(a+bi)=ac+bci+adi+bdi2 z =(ac-bd)+(ad+bc)i ∴z1·2=z2·1 (交换律) z z
提示：这里分子分母都乘以分母的“实数化因式”（共轭复数）从而使分母“实数化”。 a bi (a bi )(c di ) 即： bi ) ( c di ) (a (c di )(c di ) c di
ac bd (bc ad )i ac bd bc ad 2 2 i 2 2 2 2 c d c d c d
5 10i 25 1 2 i 5 5
结果化简成代数形式
9.沙场练兵
计算:
⑴ (1-2i)(3+4i)(-2+i)
解: (7 + i)(3 - 4i) 2)(-2+i) (2)原式 = ⑴ 原式= (3+4i-6i-8i (3 + 4i)(3 - 4i) = (11-2i)(-2+i) 2 21 - 25i - 4i2 = -22+11i+4i-2i = = -20+15i 32 + 4 2 25 - 25i = 25

复数的乘除运算

复数的乘除运算是数学中基础的一部分，也是实际生活中经常会用到的概念。

复数是由实数部分和虚数部分构成的。

实数部分一般用字母a表示，虚数部分一般用字母b表示，虚数部分带有一个i，即√-1，其中√表示根号。

复数通常用z来表示，即z=a+bi。

复数的乘法是指两个复数相乘的运算，公式为：(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i，其中a、b、c、d都是实数。

举个例子，假设有两个复数，分别为z1=2+3i和z2=1+4i，求两个复数的乘积。

解法如下，将两个复数代入公式中，得到：z1z2=(2+3i)(1+4i)=(2×1-3×4)+(2×4+3×1)i=-10+11i因此，z1z2=-10+11i。

复数的除法是指两个复数相除的运算，公式为：z1/z2=(a1+ib1)/(a2+ib2)，其中a1、b1、a2、b2都是实数。

举个例子，假设有两个复数，分别为z1=2+3i和z2=1+4i，求两个复数的商。

解法如下，将两个复数代入公式中，并对分母有理化，得到：z1/z2=(2+3i)/(1+4i)=((2+3i)(1-4i))/((1+4i)(1-4i))=((2+3i-8i-12)/17=(-10-6i)/17因此，z1/z2=-10/17-6i/17。

需要注意的是，复数的除法并不满足乘法的交换律和结合律，因此在计算时需要格外小心。

同时，在除数为零的情况下，复数的除法也是不存在的。

总的来说，是数学中基础的一部分，它的应用非常广泛，涵盖了物理、工程、经济等多个领域，在实际生活中也有着广泛的应用。

对于学习数学的人来说，深刻理解是非常重要的。

复数的乘、除运算

A.－3＋2i
B.3＋2i
C.－2＋3i
D.2＋3i
解析：∵Δ＝36－4×13＝－16，
∴x＝－6±2 －16＝－3±2i. 答案：A
2.已知 a，b∈R，且 2＋ai，b＋i(i 是虚数单位)是实系数一元二次方程 x2＋px＋q＝0 的两个根，求 p，q 的值. 解：由根与系数的关系可得22＋＋aaii·＋b＋b＋i＝i＝q，－p，即pq＝＝－2b－2＋a＋b－2＋aa＋b1i，i，因为 p，q 均为实数，所以－ 2＋aa＋b＝10＝，0，解得ba＝＝2－，1，从而有pq＝＝－ 5. 4，
答案：6
4.复数 z＝i(1－2i)(i 是虚数单位)的实部为________. 解析：因为 z＝i(1－2i)＝2＋i，所以复数 z 的实部为 2. 答案：2
A.3＋5i
B.3－5i
()
C.－3＋5i
D.－3－5i
[解析] (1)31＋＋ii＝31＋＋ii11－－ii＝4－2 2i＝2－i. (2)∵z(2－i)＝11＋7i， ∴z＝112＋－7i i＝112＋－7ii22＋＋ii＝15＋5 25i＝3＋5i. [答案] (1)D (2)A
[对点练清]
2.复数乘法的运算律
对于任意 z1，z2，z3∈C，有交换律
z1z2＝___z_2_z_1 ___
结合律乘法对加法的分配律
(z1z2)z3＝___z1_(_z2_z_3_) _ z1(z2＋z3)＝_z_1z_2_＋__z_1z_3
3.复数的除法法则 (a＋bi)÷(c＋di) ＝acc2＋＋bdd2 ＋bcc2－＋add2 i(a，b，c，d∈R，且 c＋di≠0).
2.若复数 z＝a＋bi(a，b∈R)在复平面内对应的点在第四象限，则实数 a，b 应满足什么条件？

复数运算的基本法则

复数运算的基本法则复数是由实部和虚部组成的数，可以表示为a+bi的形式，其中a是实部，b是虚部，i是虚数单位。

复数运算是对复数的加减乘除以及其他常见操作的统称。

一、复数的加法法则两个复数相加的结果，实部与实部相加，虚部与虚部相加。

即：(a+bi) + (c+di) = (a+c) + (b+d)i二、复数的减法法则两个复数相减的结果，实部与实部相减，虚部与虚部相减。

即：(a+bi) - (c+di) = (a-c) + (b-d)i三、复数的乘法法则两个复数相乘的结果，使用分配律展开后并整理，得到以下公式：(a+bi)*(c+di) = (ac-bd) + (ad+bc)i四、复数的除法法则两个复数相除的结果，先将除数乘以其共轭复数，然后使用分数除法展开并整理，得到以下公式：(a+bi) / (c+di) = [(ac+bd)/(c^2+d^2)] + [(bc-ad)/(c^2+d^2)]i这些是复数运算的基本法则，可以用于计算复数的加减乘除等操作。

在实际应用中，复数运算广泛应用于工程学科、物理学科、电路分析等领域，具有重要的实际意义。

例如，在电路分析中，使用复数可以简化电路的计算和分析过程。

通过将电阻、电感、电容等元件的阻抗用复数表示，可以方便地进行相量运算，简化计算步骤，提高计算效率。

此外，复数还可以用于描述波动和振动现象。

在物理学中，复数形式的指数函数可以表示周期性运动，如正弦波和余弦波。

通过复数运算，可以方便地计算波的传播、幅度、相位等参数。

综上所述，复数运算的基本法则是进行复数加减乘除等操作的规则。

掌握了这些基本法则，可以更好地理解和应用复数，提高复数运算的准确性和有效性。

在实际应用中，复数运算扮演着重要的角色，对于解决工程和物理问题具有重要意义。

复数的运算

引言：复数的运算是数学中的重要概念之一，它涉及到复数的加减乘除以及其他运算规则。

在上一篇文章中，我们已经介绍了复数的加减法运算，本文将进一步探讨复数的乘法和除法运算，并对其进行详细阐述。

通过学习本文，读者将更深入地理解复数的运算规则，并能够熟练进行相关计算。

概述：复数的乘法和除法运算是在实数基础上对虚数单位i进行运算的结果。

通过乘法和除法运算，我们可以更灵活地处理复数，并应用于复杂的数学问题中。

本文将依次介绍复数的乘法和除法运算的基本规则，包括运算法则、运算性质以及应用实例等。

正文内容：一、复数乘法运算1.1乘法法则1.1.1乘法的定义1.1.2乘法的交换律1.1.3乘法的结合律1.1.4乘法的零元和幺元1.1.5乘法的分配律1.2乘法性质1.2.1乘法的逆元1.2.2乘法的平方1.2.3乘法的倒数1.2.4乘法的绝对值1.2.5乘法的应用实例二、复数除法运算2.1除法法则2.1.1除法的定义2.1.2除法的零除法2.1.3除法的结合律2.1.4除法的分配律2.1.5除法的可逆性2.2除法性质2.2.1除法的逆元2.2.2除法的倒数2.2.3除法的绝对值2.2.4除法的应用实例三、复数乘法与除法运算综合应用3.1解复数方程3.2求复数的倒数3.3求复数的幂3.4求复数的乘法逆元3.5求复数的绝对值3.6综合应用实例四、常见乘法与除法的错误和注意事项4.1乘法与除法计算中的常见错误4.1.1忘记交换律和结合律4.1.2遗忘乘法的特殊性质4.1.3忽略乘法的分配律4.2乘法与除法运算的注意事项4.2.1注意复数的特殊形式4.2.2注意分母为零的情况4.2.3注意复数运算的结果4.2.4注意保留有效数字总结：复数的乘法和除法运算是数学中的重要概念，通过本文的介绍，我们对复数乘法和除法运算有了更深入的认识。

学习复数的运算规则和性质，有助于我们更好地理解复数的数学特性，并能够灵活应用于实际问题中。

在进行复数乘法和除法的计算时，我们还需要注意一些常见错误和注意事项，以确保计算的准确性和有效性。

《复数的乘除运算》课件与练习

2
实数的值
【解】设方程的实数根为 = ，

则 32 − 2 − 1 + 22 + − 10 ⅈ = 0
∴

32 − 2
− 1 = 0,
22 + − 10 = 0,
解得 = 11 或 = −
71
5
将方程转化为等号两
边均为复数 + ⅈ(, ∈
) 的形式，确定两边复数
2
复数代数形式的乘方
实数集内的乘法、乘方的一些重要结论和运算法则在复数集内不一
定成立，如：
当 ∈ 时， 2 = ||2；当 ∈ 时， = 2 ∈ , 2 ∈ , 故 2 与 ||2 不
一定能比较大小
若 , ∈ ，则 2 + 2 = 0 ⇔ = = 0 ；若 1, 2 ∈ ，则 12 +
c＋di
[提醒]
在进行复数除法时，分子、分母同乘以分母的
共轭复数 c－di，化简后即得结果，这个过程实际上就是把
分母实数化，这与根式除法的分母“有理化”很类似．
小试牛刀
)
1．复数(3＋2i)i 等于(
B．－2＋3i
A．－2－3i
C．2－3i
D．2＋3i
答案 B
2. 已知复数 z＝2－i，则 z·z 的值为(
和实数一样，复数的乘方就是相同复数的乘积，比如： 3 表示3个相乘
2
复数乘方的运算律
根据复数乘法的运算律，实数范围内的正整数指数幂的运算律在复
数范围内仍然成立，即对任意 , 1, 2 ∈ , , ∈ ∗ ，有：
= +

=

4.复数的乘法与除法

已知|z|=1,求|z2+z+1|的最值的最值. 例7:已知已知求的最值解1:设z=x+yi(x,y∈R),则x2+y2=1,|x|≤1,|y|≤1. 设 ∈ 则故|z2+z+1|=|x2+2xyi-y2+x+yi+1| =|(x2-y2+x+1)+(2xy+y)i| =|(2x2+x)+(2x+1)yi| =|2x+1||x+yi|=|2x+1|. 所以,当所以当x=1时,|z2+z+1|最大值=3; 时当x=-1/2时,|z2+z+1|最小值=0. 时由于z 故若设z=x+yi(x,y∈R),则有解2:由于 z=|z|2=1,故若设由于故若设 ∈ 则有 |z2+z+1|=|z2+z+z z|=|z||z+1+z|=|2x+1|(以下同解以下同解1). 以下同解
∴ OB = OA + OC , 即 z B = z A + zC .
→ → →
y B
a ∴−2a + 3i = a + i + (−b + ai) 2 3 即− 2a + 3i = (a − b) + ai. 2
c
A x O
− 2a = a − b a = 2 3 . ∴ ⇒ b = 6 3= 2a
zC − 6 + 2i ∴ = = −2 + 2i . zA 2+ i
已知复数z满足是纯虚数,求例5:已知复数满足已知复数满足|z|=5且(3+4i)z是纯虚数求 z. 且是纯虚数解1:设z=a+bi(a,b∈R),则(3+4i)z=(3a-4b)+(4a+3b)i. 设 ∈ 则

复数乘除运算

z z zz a b
2
思考:
若z1 , z2是共轭复数，那么 ⑵ z 1· z2是一个怎样的数？
解：⑴作图
y
？
⑴在复平面内，它们所对应的点有怎样的位置关系？
y (a,b)
y
⑵令z1=a+bi,则z2=a-bi
(a,o)
x
(0,b) o
(0,-b)
o
x
x
则 z1 · z2=(a+bi)(a-bi)
z1 ( z2 z3 ) z1 z2 z1 z3 .
例题剖析：
例1 计算
(1 2i)(3 4i)(2 i)
解：原式= (11 2i)(2 i)
20 15i
复数的乘法与多项式的乘法是类似的. 多项式的乘法用乘法公式可迅速展开运算,
类似地,
复数的乘法也可大胆运用乘法公式来展开运算.
四
探究
1 2 3 4 5 6 7 8 n
例(1)求i , i , i ,i ,i ,i ,i ,i 的值；（2）由（1）推测i (n N )的值有何规律？并把这个规律用式子表示出来。 1 2 3 4 (1)i i; i 1; i i; i 1; （1）周期性（2）等比数 5 6 7 8 列求和 i i; i 1; i i; i 1
(ace bde adf bcf ) (ade bce acf bdf )i
z1 ( z2 z3 ) (a bi) (c di)(e fi)
(a bi)(ce df ) (ed cf )i
(ace bde adf bcf ) (ade bce acf bdf )i ( z1 z2 ) z3 z1 ( z2 z3 ) 结合侓

数学公式知识：复数的加减乘除及其运算性质

数学公式知识：复数的加减乘除及其运算性质复数是数学中的一种扩展，它是有一个实数部分和一个虚数部分组成的数，形式上表示为a+bi，其中a和b分别为实数部分和虚数部分。

复数的加减乘除及其运算性质是数学中的一些基本概念，在代数学和几何学等许多领域中都有广泛的应用。

下面我们就来详细介绍一下复数的加减乘除及其运算性质。

一、复数的加减运算复数的加减运算是最基本的运算，其规则和普通数的加减法类似。

具体来说，对于两个复数z1和z2，其加法表示为：z1+z2=(a1+a2)+(b1+b2)i其中，a1和b1分别是z1的实部和虚部，a2和b2分别是z2的实部和虚部。

复数的减法也可以用类似的方法表示：z1-z2=(a1-a2)+(b1-b2)i二、复数的乘法运算和加减运算相比，复数的乘法运算更加复杂，但也更加有趣。

对于两个复数z1=a1+b1i和z2=a2+b2i，它们的积可表示为：z1z2=(a1a2-b1b2)+(a1b2+a2b1)i其中，a1a2和b1b2分别是两个复数的实部的乘积，而a1b2和a2b1则是两个复数的虚部的乘积。

可以看出，两个复数相乘，其实就是多项式的乘积。

三、复数的除法运算复数的除法运算也有其特殊的规则，其计算方法为：(z1/z2)=((a1a2+b1b2)/(a2^2+b2^2))+((a2b1-a1b2)/(a2^2+b2^2))i其中，分母的a2^2+b2^2表示了两个复数模的平方之和，而分子中的a1a2+b1b2则是两个复数的实部的乘积加上虚部的乘积。

四、复数的运算性质在实际应用中，复数的运算性质也是相当重要的，下面就简要介绍一下。

1.复数的加法和乘法都是可交换的，即z1+z2=z2+z1和z1z2=z2z1；2.复数的乘法满足结合律，即(z1z2)z3=z1(z2z3)；3.复数的乘法对加法有分配律，即z1(z2+z3)=z1z2+z1z3；4.对于所有复数z，存在一个唯一的复数0，使得z+0=0+z=z；5.对于所有复数z，存在一个唯一的复数1，使得z1×1=1×z1=z1；6.对于所有复数z，存在一个唯一的逆元-z，使得z+(-z)=(-z)+z=0；7.对于所有非零复数z，其逆元也有唯一一个，即1/z，使得z×(1/z)=1。

复数的乘法与除法

3 3
例6计算
( 1 3i ) 3 6 (1 i )
( 1 3i ) 3 解： (1 i ) 6
1 3 3 2 ( i) 2 2 3 ( 2i )
3
8 1 i. 3 8i i
4 例7 求复数 z，使 z 为实数，且 | z 2 | 2. z 解：设 z a bi , ( a , b R , a 2 b 2 0) 4 4 z a bi z a bi 4( a bi ) a bi 2 2 a b 4a 4b a 2 (b 2 )i 2 2 a b a b
(a+bi)(c-di) a+bi = c+di (c+di)(c-di) = (ac+bd)+(bc-ad)i c2+d2
= ac+bd + bc-ad i (c+di ≠0) c2+d2 c2+d2 因为c+di ≠0 即 c2+d2 ≠0， a+bi 所以商是唯一确定的复数. c+di
例3 计算: （1）（1+2i)(3-4i)
(4 3i )( 1 7i ) 例4：已知z ，求 z 2 i
(4 3i )( 1 7i ) 解： z 2 i
| 4 3i || 1 7i | | 2 i |
5 8 10 6 . 3 3
i的乘方规律
i i, i 1, i i i i, i 1
1 2 3 2 4
从而对任意
n N
4n2
，
4 n3
i
4 n 1
i, i
1, i
i , i