2019-2020年高三数学大一轮复习 2.6对数与对数函数教案理新人教A版

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2019-2020年高中数学必修一《对数函数》教案

2019-2020年高中数学必修一《对数函数》教案教学目标：1．通过具体实例，直观了解对数函数模型所刻画的数量关系，初步理解对数函数的概念，体会对数函数的一类重要的函数模型。

2．了解指数函数y=a x(a>o,a≠1)与指数函数y=㏒a x(a>o,a≠1) 互为反函数。

教学重点：初步理解对数函数的概念，了解指数函数与对数函数的关系。

教学难点：指数函数与对数函数互为反函数的理解。

教学设计：一、问题提出1．在§1正整数函数中，细胞分裂的问题得到细胞分裂个数y与分裂次数x的函数关系是？（y=2x）2．若以个细胞经过多次分裂大约可以得到一万个细胞或十万个细胞，即分裂次数x和细胞个数y之间的关系，可以写成。

X=log 2y3．对于一般的指数函数y=a x(a>o,a≠1)中的两个变量，能不能把y当作自变量，使得x是y的函数？二、分析理解1．指数函数y=a x(a>o,a≠1)对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与它对应，当x1≠x2时，y1≠y2,指数函数的反映了数集R与数集﹛y│y＞0﹜之间的一一对应关系。

由此可见对于任意的y∈（0，+∞）,在R一数x满足y=a x，即把y当作自变量，那么x就是y有§4可以知道这个函数就是x=㏒a y (a>o,a≠1)函数x=㏒a y叫做对数函数，(a>o,a≠1)，自变量y＞0。

习惯上，自变量x用表示，所以这个函数就写成y=㏒a x(a>o,a≠1)2．对数函数把函数y=㏒a x(a>o,a≠1)叫做对数函数，a叫做对数函数的底数。

（1）常用对数函数：y=㏒10x=lgx（2）自然对数函数：y=㏒e x=㏑x3．例题讲解，巩固概念。

例1计算（1）计算对数函数y=㏒2x对应于x取1、2、4时的函数值。

（2）计算常用对数函数y= lgx，对应于1、10、100、0.1时的函数值。

解：略。

三、指数函数与对数函数的关系1．问题：我们知道，对数函数与指数函数是刻画的是同一对变量x、y之间的关系，那么我们如何区别呢？（1）学生思考，讨论。

高中数学高三一轮第二章第6课时对数与对数函数(教案)

1。

对数的概念如果a（a>0,a≠1）的b次幂等于N,即a b＝N,那么数b 叫作以a为底N的对数，记作log a N＝b，其中__a__叫作对数的底数,__N__叫作真数。

2。

对数的性质与运算法则（1）对数的运算法则如果a〉0且a≠1,M〉0，N〉0，那么①log a（MN)＝log a M＋log a N；②log a错误!a M－log a N；③log a M n＝n log a M（n∈R）；④log am M n＝错误!log a M(m，n∈R,且m≠0).（2）对数的性质①a log a N＝__N__;②log a a N ＝__N__(a>0且a≠1）。

(3)对数的重要公式①换底公式：log b N＝错误!(a，b均大于零且不等于1）；②log a b＝1log b a，推广log ab·log b c·log c d＝log a d。

3.对数函数的图像与性质a>10〈a〈1图像性质(1)定义域：(0，＋∞)（2)值域：R （3）过定点(1,0)，即x＝1时，y＝0（4)当x>1时,y>0当0〈x<1时，y<0（5）当x〉1时，y〈0当0〈x〈1时，y>04.反函数指数函数y＝a x与对数函数y＝log a x互为反函数，它们的图像关于直线__y＝x__对称.【思考辨析】判断下面结论是否正确（请在括号中打“√”或“×")(1)若MN〉0，则log a（MN）＝log a M＋log a N.（×)（2)log a x·log a y＝log a（x＋y).（×）3x都是对数函数。

( ×) (3）函数y＝log2x及y＝log13(4）对数函数y＝log a x（a>0，且a≠1)在(0，＋∞)上是增函数。

( ×）（5）函数y＝ln错误!与y＝ln（1＋x）－ln(1－x)的定义域相同.（√）（6)对数函数y＝log a x(a>0且a≠1)的图像过定点（1,0）,且过点（a，1），错误!,函数图像只在第一、四象限。

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§2.6 对数与对数函数2014高考会这样考 1.考查对数函数的图象、性质；2.对数方程或不等式的求解；3.考查和对数函数有关的复合函数．复习备考要这样做 1.注意函数定义域的限制以及底数和1的大小关系对函数性质的影响；2.熟练掌握对数函数的图象、性质，搞清复合函数的结构以及和对数函数的关系． 1．对数的概念如果a x＝N (a >0且a ≠1)，那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记作x ＝log a N ，其中__a __叫做对数的底数，__N __叫做真数． 2．对数的性质与运算法则(1)对数的运算法则如果a >0且a ≠1，M >0，N >0，那么①log a (MN )＝log a M ＋log a N ；②log a MN ＝log a M －log a N ；③log a M n＝n log a M (n ∈R )；④log am M n＝nmlog a M .(2)对数的性质①a log a N ＝__N __；②log a a N＝__N __(a >0且a ≠1)． (3)对数的重要公式①换底公式：log b N ＝log a Nlog a b (a ，b 均大于零且不等于1)；②log a b ＝1log b a，推广log a b ·log b c ·log c d ＝log a d .3．对数函数的图象与性质a>10<a<1图象性质(1)定义域：(0，＋∞)(2)值域：R(3)过定点(1,0)，即x＝1时，y＝0(4)当x>1时，y>0当0<x<1时，y<0(5)当x>1时，y<0当0<x<1时，y>0(6)在(0，＋∞)上是增函数(7)在(0，＋∞)上是减函数指数函数y＝a x与对数函数y＝log a x互为反函数，它们的图象关于直线__y＝x__对称．[难点正本疑点清源]1．对数值取正、负值的规律当a>1且b>1或0<a<且0<b<1时，log a b>0；当a>1且0<b<1或0<a<1且b>1时，log a b<0.2．对数函数的定义域及单调性对数函数y＝log a x的定义域应为{x|x>0}．对数函数的单调性和a的值有关，因而，在研究对数函数的单调性时，要按0<a<1和a>1进行分类讨论．3．关于对数值的大小比较(1)化同底后利用函数的单调性；(2)作差或作商法；(3)利用中间量(0或1)；(4)化同真数后利用图象比较．1． (2011·江苏)函数f (x )＝log 5(2x ＋1)的单调增区间是__________．答案⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞ 解析函数f (x )的定义域为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞，令t ＝2x ＋1 (t >0)．因为y ＝log 5t 在t ∈(0，＋∞)上为增函数，t ＝2x ＋1在⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞上为增函数，所以函数y ＝log 5(2x ＋1)的单调增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞.2．函数y ＝log a (x ＋3)－1 (a >0且a ≠1)的图象恒过点A ，若点A 在直线mx ＋ny ＋1＝0上(其中mn >0)，则1m ＋2n的最小值为________．答案 8解析 y ＝log a (x ＋3)－1 (a >0且a ≠1)的图象恒过点A (－2，－1)，A (－2，－1)在直线mx ＋ny ＋1＝0上，即2m ＋n ＝1.∴1m ＋2n＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ＋2n (2m ＋n )＝4＋n m ＋4mn≥4＋24＝8，当且仅当4m 2＝n 2时取等号． 3．(2012·安徽)(log 29)·(log 34)等于( )A.14B.12 C ．2 D ．4答案 D解析方法一原式＝lg 9lg 2·lg 4lg 3＝2lg 3·2lg 2lg 2·lg 3＝4.方法二原式＝2log 23·log 24log 23＝2×2＝4.4． (2012·重庆)已知a ＝log 23＋log 23，b ＝log 29－log 23，c ＝log 32，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a ＝b <cB ．a ＝b >cC ．a b >c 答案 B解析 ∵a ＝log 23＋log 23＝log 233，b ＝log 29－log 23＝log 233，∴a ＝b .又∵函数y ＝log a x (a >1)为增函数，∴a ＝log 233>log 22＝1，c ＝log 32<log 33＝1，∴a ＝b >c . 5． (2011·安徽)若点(a ，b )在y ＝lg x 图象上，a ≠1，则下列点也在此图象上的是 ( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，b B ．(10a,1－b ) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫10a ，b ＋1 D ．(a 2,2b )答案 D解析由点(a ，b )在y ＝lg x 图象上，知b ＝lg a . 对于A ，点⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，b ，当x ＝1a 时，y ＝lg 1a＝－lg a ＝－b ≠b ，∴不在图象上．对于B ，点(10a,1－b )，当x ＝10a 时，y ＝lg(10a )＝lg 10＋lg a ＝1＋b ≠1－b ，∴不在图象上．对于C ，点⎝ ⎛⎭⎪⎫10a ，b ＋1，当x ＝10a 时，y ＝lg 10a＝1－lg a ＝1－b ≠b ＋1，∴不在图象上．对于D ，点(a 2,2b )，当x ＝a 2时，y ＝lg a 2＝2lg a ＝2b ， ∴该点在此图象上. 题型一对数式的运算例1 计算下列各式：(1)lg 25＋lg 2·lg 50＋(lg 2)2； (2)lg 32－lg 9＋1·lg 27＋lg 8－lg 1 000lg 0.3·lg 1.2；(3)(log 32＋log 92)·(log 43＋log 83)．思维启迪：(1)lg 2·lg 50没有办法直接化简，可考虑提取公因数lg 2.(2)将根号下配成完全平方的形式，开根号．(3)利用换底公式，是本题的切入口．解 (1)原式＝(lg 2)2＋(1＋lg 5)lg 2＋lg 52＝(lg 2＋lg 5＋1)lg 2＋2lg 5＝(1＋1)lg 2＋2lg 5 ＝2(lg 2＋lg 5)＝2.(2)原式＝lg 32－2lg 3＋1·⎝ ⎛⎭⎪⎫32lg 3＋3lg 2－32lg 3－1·lg 3＋2lg 2－1＝1－lg 3·32lg 3＋2lg 2－1lg 3－1·lg 3＋2lg 2－1＝－32.(3)原式＝⎝⎛⎭⎪⎫lg 2lg 3＋lg 2lg 9·⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 3lg 4＋lg 3lg 8 ＝⎝⎛⎭⎪⎫lg 2lg 3＋lg 22lg 3·⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 32lg 2＋lg 33lg 2 ＝3lg 22lg 3·5lg 36lg 2＝54. 探究提高 (1)在对数运算中，先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后再运用对数运算法则化简合并，在运算中要注意化同底或指数与对数互化．(2)熟练地运用对数的三个运算性质并配以代数式的恒等变形是对数计算、化简、证明常用的技巧．求值：(1)log 89log 23；(2)(lg 5)2＋lg 50·lg 2；(3)12lg 3249－43lg 8＋lg 245.解 (1)原式＝log 2332log 23＝23.(2)原式＝(lg 5)2＋lg(10×5)lg 105＝(lg 5)2＋(1＋lg 5)(1－lg 5) ＝(lg 5)2＋1－(lg 5)2＝1.(3)原式＝lg 427－lg 4＋lg(75)＝lg 42×757×4＝lg 10＝12.题型二对数函数的图象与性质例2 已知f (x )是定义在(－∞，＋∞)上的偶函数，且在(－∞，0]上是增函数，设a ＝f (log 47)，b ＝f (log 123)，c ＝f (0.2－0.6)，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．c <a <bB ．c 532＝2>log 49，又f (x )是定义在(－∞，＋∞)上的偶函数，且在(－∞， 0]上是增函数，故f (x )在[0，＋∞)上是单调递减的，∴f (0.2－0.6)<f (log 123)<f (log 47)，即c <b <a .探究提高 (1)函数的单调性是函数最重要的性质，可以用来比较函数值的大小，解不等式等；(2)函数图象可以直观表示函数的所有关系，充分利用函数图象解题也体现了数形结合的思想．(1)(2012·天津)已知a ＝21.2，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－0.8，c ＝2log 52，则a ，b ，c 的大小关系为 ( )A ．c 0且a ≠1)的图象过两点(－1，0)和(0,1)，则a ＝________，b ＝________.答案 2 2解析 f (x )的图象过两点(－1,0)和(0,1)．则f (－1)＝log a (－1＋b )＝0且f (0)＝log a (0＋b )＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧b －1＝1b ＝a，即⎩⎪⎨⎪⎧b ＝2a ＝2.题型三对数函数的综合应用例3 已知函数f (x )＝log a (3－ax )．(1)当x ∈[0,2]时，函数f (x )恒有意义，求实数a 的取值范围；(2)是否存在这样的实数a ，使得函数f (x )在区间[1,2]上为减函数，并且最大值为1？如果存在，试求出a 的值；如果不存在，请说明理由．思维启迪：f (x )恒有意义转化为“恒成立”问题，分离实数a 来解决；探究a 是否存在，可从单调性入手．解 (1)∵a >0且a ≠1，设y ＝3－ax ，则y ＝3－ax 为减函数，x ∈[0,2]时，t 最小值为3－2a ，当x ∈[0,2]，f (x )恒有意义，即x ∈[0,2]时，3－ax >0恒成立．∴3－2a >0.∴a <32又a >0且a ≠1，∴a >∈(0,1)∪⎝⎛⎭⎪⎫1，32.(2)t ＝3－ax ，∵a >0，∴函数t (x )为减函数， ∵f (x )在区间[1,2]上为减函数， ∴y ＝log a t 为增函数，∴a >1，x ∈[1,2]时，t (x )最小值为3－2a ，f (x )最大值为f (1)＝log a (3－a )，∴⎩⎪⎨⎪⎧3－2a >0log a 3－a＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧a <32a ＝32，故不存在．探究提高解决对数函数综合问题的方法无论讨论函数的性质，还是利用函数的性质(1)要分清函数的底数a ∈(0,1)，还是a ∈(1，＋∞)； (2)确定函数的定义域，无论研究函数的什么性质或利用函数的某个性质，都要在其定义域上进行；(3)如果需将函数解析式变形，一定要保证其等价性，否则结论错误．已知f (x )＝log 4(4x－1)．(1)求f (x )的定义域； (2)讨论f (x )的单调性； (3)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上的值域．解 (1)由4x－1>0，得x >0. ∴f (x )的定义域为{x |x >0}．(2)设0<x 1<x 2，则0<4x 1－1<4x 2－1，∴log 4(4x 1－1)<log 4(4x 2－1)，∴f (x 1)<f (x 2)．故f (x )＝log 4(4x－1)在(0，＋∞)上为增函数． (3)∵f (x )在(0，＋∞)上为增函数，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝log 4⎝ ⎛⎭⎪⎫412－1＝0， f (2)＝log 4(42－1)＝log 415.∴f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上的值域为[0，log 415]．4.数形结合思想在对数函数中的应用典例：(12分)已知函数f (x )＝log a (a x－1) (a >0且a ≠1)．求证：(1)函数f (x )的图象总在y 轴的一侧； (2)函数f (x )图象上任意两点连线的斜率都大于0.审题视角 (1)要证明f (x )的图象总在y 轴的一侧，说明f (x )的自变量只能在(0，＋∞)或(－∞，0)内取值．(2)可以在f (x )上任取两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，证明k ＝y 2－y 1x 2－x 1>0即可．规范解答证明 (1)由a x－1>0，得a x>1，[1分]∴当a >1时，x >0，即函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，此时函数f (x )的图象总在y 轴的右侧；[3分]当0<a <1时，x <0，即函数f (x )的定义域为(－∞，0)，此时函数f (x )的图象总在y 轴的左侧．[5分] ∴函数f (x )的图象总在y 轴的一侧．[6分](2)设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)是函数f (x )图象上的任意两点，且x 1<x 2，则直线AB 的斜率k＝y 1－y 2x 1－x 2.[7分] y 1－y 2＝log a (ax 1－1)－log a (ax 2－1)＝log a ax 1－1ax 2－1，[8分]当a >1时，由(1)知0<x 1<x 2，∴1<ax 1<ax 2， ∴0<ax 1－1<ax 2－1.∴0<ax 1－1ax 2－1<1，∴y 1－y 2<0.又x 1－x 2<0，∴k >0.[9分]当0<a <1时，由(1)知x 1<x 2<0，∴ax 1>ax 2>1， ∴ax 1－1>ax 2－1>0.[10分]∴ax 1－1ax 2－1>1，∴y 1－y 2<0.又x 1－x 2<0，∴k >0.∴函数f (x )图象上任意两点连线的斜率都大于0.[12分] 温馨提醒说到数形结合思想，我们想到是更多的以“形”助“数”来解决问题．事实上，本题是以“数”来说明“形”的问题，同样体现着数形结合的思想．本题的易错点：①找不到证明问题的切入口．如第(1)问，不知道求其定义域．②不能正确进行分类讨论．若对数或指数的底数中含有参数，一般要进行分类讨论. 方法与技巧1．指数式a b＝N 与对数式log a N ＝b 的关系以及这两种形式的互化是对数运算法则的关键．2．多个对数函数图象比较底数大小的问题，可通过图象与直线y ＝1交点的横坐标进行判定．3．注意对数恒等式、对数换底公式及等式log am b n＝n m·log a b ，log a b＝1log b a 在解题中的灵活应用．失误与防范1．在运算性质log a M n＝n log a M 中，要特别注意条件，在无M ＞0的条件下应为log a M n＝n log a |M |(n ∈N *，且n 为偶数)．2．指数函数y ＝a x(a >0，且a ≠1)与对数函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)互为反函数，应从概念、图象和性质三个方面理解它们之间的联系与区别．3．解决与对数函数有关的问题时需注意两点(1)务必先研究函数的定义域； (2)注意对数底数的取值范围.(时间：60分钟) A 组专项基础训练一、选择题(每小题5分，共20分)1．已知x ＝ln π，y ＝log 52，z ＝e －12，则( )A ．x <y <zB ．z <x <yC ．z <y <xD ．y <z <x 答案 D解析 ∵x ＝ln π>ln e ，∴x >1. ∵y ＝log 52<log 55，∴0<y <12.∵z ＝e －12＝1e >14＝12，∴12<z <1.综上可得，y <z <x .2．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x >0，log 12－x ，x <0，若f (a )>f (－a )，则实数a 的取值范围是 ( )A ．(－1,0)∪(0,1)B ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)C ．(－1,0)∪(1，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(0,1) 答案 C解析 f (a )>f (－a )⇒⎩⎪⎨⎪⎧a >0log 2a >log 12a 或⎩⎪⎨⎪⎧a <0log 12－a >log 2－a ⇒⎩⎪⎨⎪⎧a >0a >1或⎩⎪⎨⎪⎧a <0－1<a⇒a >1或－1<a <0.3．函数f (x )＝log a (ax －3)在[1,3]上单调递增，则a 的取值范围是 ( )A ．(1，＋∞)B ．(0,1)C.⎝⎛⎭⎪⎫0，13 D ．(3，＋∞)答案 D解析由于a >0，且a ≠1，∴u ＝ax －3为增函数， ∴若函数f (x )为增函数，则f (x )＝log a u 必为增函数，因此a >1.又y ＝ax －3在[1,3]上恒为正， ∴a －3>0，即a >3，故选D.4．设函数f (x )定义在实数集上，f (2－x )＝f (x )，且当x ≥1时，f (x )＝ln x ，则有( )A ．f (13)<f (2)<f (12)B ．f (12)<f (2)<f (13)C ．f (12)<f (13)<f (2)D ．f (2)<f (12)<f (13)答案 C解析由f (2－x )＝f (x )知f (x )的图象关于直线x ＝2－x ＋x2＝1对称，又当x ≥1时，f (x )＝ln x ，所以离对称轴x ＝1距离大的x 的函数值大，∵|2－1|>|13－1|>|12－1|，∴f (12)<f (13)<f (2)．二、填空题(每小题5分，共15分)5． (2012·江苏)函数f (x )＝1－2log 6x 的定义域为________．答案 (0，6]解析要使函数f (x )＝1－2log 6x 有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧x >0，1－2log 6x ≥0.解得0<x ≤ 6.6．若f (x )＝ax －12，且f (lg a )＝10，则a ＝__________.答案 10或1010解析 f (lg a )＝a lg a －12＝10，∴lg(a lg a －12)＝lg 10＝12，∴2lg 2a －lg a －1＝0，∴lg a ＝1或lg a ＝－12，∴a ＝10或a ＝1010.7．已知集合A ＝{x |log 2x ≤2}，B ＝(－∞，a )，若A ⊆B ，则实数a 的取值范围是(c ，＋∞)，其中c ＝________. 答案 4解析 ∵A ＝(0,4]，又A ⊆B ，∴a >4. 即实数a 的取值范围是(4，＋∞)，∴c ＝4. 三、解答题(共25分)8． (12分)已知函数f (x )＝log a x ＋bx －b(a >0，b >0，a ≠1)．(1)求f (x )的定义域；(2)讨论f (x )的奇偶性．解 (1)使f (x )有意义，则x ＋bx －b>0，∵b >0，∴x >b 或x <－b ，∴f (x )的定义域为{x |x >b 或x <－b }． (2)由(1)知f (x )的定义域关于原点对称，∵f (－x )＝log a －x ＋b －x －b ＝log a x －bx ＋b ＝log a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋b x －b －1 ＝－log a x ＋bx －b＝－f (x )．∴f (x )为奇函数．9． (13分)若函数y ＝lg(3－4x ＋x 2)的定义域为M .当x ∈M 时，求f (x )＝2x ＋2－3×4x 的最值及相应的x 的值．解 ∵y ＝lg(3－4x ＋x 2)，∴3－4x ＋x 2>0，解得x <1或x >3，∴M ＝{x |x <1或x >3}，f (x )＝2x ＋2－3×4x ＝4×2x －3×(2x )2.令2x＝t ，∵x <1或x >3，∴t >8或0<t <2. ∴f (t )＝4t －3t2＝－3⎝⎛⎭⎪⎫t －232＋43(t >8或0<t <2)．由二次函数的性质可知，当0<t <2时，f (t )∈⎝⎛⎦⎥⎤－4，43，当t >8时，f (t )∈(－∞，－160)，当2x＝t ＝23，即x ＝log 223时，f (x )max ＝43.综上可知，当x ＝log 223时，f (x )取到最大值43，无最小值．B 组专项能力提升一、选择题(每小题5分，共15分) 1．设f (x )＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫21－x ＋a 是奇函数，则使f (x )<0的x 的取值范围是 ( )A ．(－1,0)B ．(0,1)C ．(－∞，0)D ．(－∞，0)∪(1，＋∞)答案 A解析由f (x )是奇函数可得a ＝－1， ∴f (x )＝lg 1＋x1－x ，定义域为(－1,1)．由f (x )<0，可得0<1＋x1－x<1，∴－1<x <0.2．已知函数f (x )＝||lg x ，若a ≠b ，且f (a )＝f (b )，则a ＋b 的取值范围是 ( )A ．(1，＋∞) B.[)1，＋∞ C ．(2，＋∞) D.[)2，＋∞答案 C解析如图，由f (a )＝f (b )，得||lg a ＝||lg b .设0＜a ＜b ，则lg a ＋lg b ＝0. ∴ab ＝1，∴a ＋b ＞2ab ＝2.3． (2012·青岛模拟)已知函数f (x )＝a x＋log a x (a >0，a ≠1)在[1,2]上的最大值与最小值之和为log a 2＋6，则a 的值为( )A.12B.14 C ．2 D ．4答案 C解析当x >0时，函数y ＝a x，y ＝log a x 的单调性相同，因此函数f (x )＝a x＋log a x 是(0，＋∞)上的单调函数，f (x )在[1,2]上的最大值与最小值之和为f (1)＋f (2)＝a 2＋a ＋log a 2，由题意得a 2＋a ＋log a 2＝6＋log a 2.即a 2＋a －6＝0，解得a ＝2或a ＝－3(舍去)．二、填空题(每小题4分，共12分)4．函数f (x )＝log 12(x 2－2x －3)的单调递增区间是__________．答案 (－∞，－1)解析设t ＝x 2－2x －3，则y ＝log 12t .由t >0解得x <－1或x >3，故函数的定义域为(－∞，－1)∪(3，＋∞)．又t ＝x 2－2x －3＝(x －1)2－4在(－∞，1)上为减函数，在(1，＋∞)上为增函数．而函数y ＝log 12t 为关于t 的减函数，所以，函数f (x )的单调增区间为(－∞，－1)．5． (2012·南京质检)若log 2a 1＋a21＋a <0，则a 的取值范围是____________．答案⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 解析当2a >1时，∵log 2a 1＋a 21＋a <0＝log 2a 1，∴1＋a 21＋a <1.∵1＋a >0，∴1＋a 2<1＋a ，∴a 2－a <0，∴0<a <1，∴12<a <1.当0<2a <1时，∵log 2a 1＋a21＋a <0＝log 2a 1，∴1＋a 21＋a >1.∵1＋a >0，∴1＋a 2>1＋a ，∴a 2－a >0，∴a <0或a >1，此时不合题意．综上所述，a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1.6．设函数f (x )＝log a x (a >0，且a ≠1)，若f (x 1x 2…x 2 015)＝8，则f (x 21)＋f (x 22)＋…＋f (x 22 015)＝________.答案 16解析 f (x 1x 2…x 2 015)＝log a (x 1x 2…x 2 015)＝8，f (x 21)＋f (x 22)＋…＋f (x 22 015)＝log a x 21＋log a x 22＋…＋log a x 22 015＝log a (x 1x 2…x 2 015)2＝2log a (x 1x 2…x 2 015)＝16. 三、解答题(13分)7．已知函数f (x )＝－x ＋log 21－x 1＋x.(1)求f ⎝⎛⎭⎪⎫12 014＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12 014的值； (2)当x ∈(－a ，a ]，其中a ∈(0,1)，a 是常数时，函数f (x )是否存在最小值？若存在，求出f (x )的最小值；若不存在，请说明理由．解 (1)由f (x )＋f (－x )＝log 21－x 1＋x ＋log 21＋x1－x＝log 21＝0.∴f ⎝⎛⎭⎪⎫12 014＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12 014＝0. (2)f (x )的定义域为(－1,1)， ∵f (x )＝－x ＋log 2(－1＋2x ＋1)，当x 1<x 2且x 1，x 2∈(－1,1)时，f (x )为减函数， ∴当a ∈(0,1)，x ∈(－a ，a ]时f (x )单调递减， ∴当x ＝a 时，f (x )min ＝－a ＋log 21－a1＋a.。

高三数学大一轮复习对数与对数函数学案理新人教A版

学案8 对数与对数函数导学目标： 1.理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化为自然对数或常用对数，了解对数在简化运算中的作用.2.理解对数函数的概念，理解对数函数的单调性与函数图象通过的特殊点，知道指数函数y＝a x与对数函数y＝log a x互为反函数(a>0，a≠1)，体会对数函数是一类重要的函数模型．自主梳理1．对数的定义如果________________，那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记作__________，其中____叫做对数的底数，______叫做真数．2．对数的性质与运算法则 (1)对数的性质(a>0且a ≠1)①Na a log ＝____； ②1log a ＝____；③Na a log ＝____；④a a log ＝____.(2)对数的重要公式①换底公式：log b N ＝________________(a ，b 均大于零且不等于1)； ②b a log ＝ab log 1，推广d c b c b a log log log ••＝________.(3)对数的运算法则如果a>0且a ≠1，M>0，N>0，那么①log a (MN)＝___________________________；②log a MN ＝______________________；③log a M n＝__________(n ∈R )； ④na M m log ＝n mlog a M . 34.反函数指数函数y ＝a x与对数函数____________互为反函数，它们的图象关于直线______对称．自我检测1．(2010·四川)2log 510＋log 50.25的值为( )A ．0B ．1C ．2D ．42．(2010·辽宁)设2a ＝5b＝m ，且1a ＋1b＝2，则m 的值为( ) A.10B ．10C ．20D ．100 3．(2009·辽宁)已知函数f (x )满足：当x ≥4时，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x；当x <4时，f (x )＝f (x＋1)．则f (2＋log 23)的值为 ( )A.124B.112C.18D.384．(2010·安庆模拟)定义在R 上的偶函数f (x )在[0，＋∞)上递增，f (13)＝0，则满足)(log 81x f >0的x 的取值范围是 ( )A ．(0，＋∞)B ．(0，12)∪(2，＋∞)C ．(0，18)∪(12，2)D ．(0，12)5．(2011·台州期末)已知0<a <b <1<c ，m ＝log a c ，n ＝log b c ，则m 与n 的大小关系是______.探究点一对数式的化简与求值例1计算：(1))32(log 32--；(2)12lg 3249－43lg 8＋lg 245； (3)已知2lg x －y2＝lg x ＋lg y ，求yx )223(log -.变式迁移1 计算：(1)log 2748＋log 212－12log 242－1；(2)(lg 2)2＋lg 2·lg 50＋lg 25.探究点二含对数式的大小比较例2 (1)比较下列各组数的大小．①log 323与log 565；②log 1.10.7与log 1.20.7.(2)已知log 12b <log 12a <log 12c ，比较2b,2a,2c的大小关系．变式迁移2 (1)(2009·全国Ⅱ)设a ＝log 3π，b ＝log 23，c ＝log 32，则( )A ．a >b >cB ．a >c >bC ．b >a >cD ．b >c >a(2)设a ，b ，c 均为正数，且2a＝a 21log ，(12)b ＝b 21log ，(12)c ＝log 2c ，则( )A ．a 0且a ≠1)，如果对于任意的x ∈[13，2]都有|f (x )|≤1成立，试求a 的取值范围．变式迁移3 (2010·全国Ⅰ)已知函数f (x )＝|lg x |，若0<a 0，a≠1)．(1)解关于x的不等式：log a(1－a x)>f(1)；(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)(x 1≠x 2)是f (x )图象上的两点，求证：直线AB 的斜率小于0.【答题模板】(1)解 ∵f (x )＝log a (1－a x)，∴f (1)＝log a (1－a )．∴1－a >0.∴0<a <1.∴不等式可化为log a (1－a x)>log a (1－a )．∴⎩⎪⎨⎪⎧1－a x>0，1－a x<1－a .，即⎩⎪⎨⎪⎧a x<1，a x>a .∴0<x <1.∴不等式的解集为(0,1)．[4分](2)证明设x 1<x 2，则f (x 2)－f (x 1)＝)1(log 2x a a -－)1(log 1x a a -＝1211log x x a aa --. ∵1－a x>0，∴a x<1.∴a >1时，f (x )的定义域为(－∞，0)；[6分] 0<a <1时，f (x )的定义域为(0，＋∞)．当0<a <1时，∵x 2>x 1>0，∴2x a <1xa .∴1211x x a a -->1.∴1211log x x a aa --<0. ∴f (x 2)<f (x 1)，即y 2<y 1.同理可证，当a >1时，也有y 2<y 1.[10分]综上：y 2<y 1，即y 2－y 1<0.∴k AB ＝y 2－y 1x 2－x 1<0.∴直线AB 的斜率小于0.[12分] 【突破思维障碍】解决含参数的对数问题，不可忽视对底数a 的分类讨论，即a >1或0<a <1，其次要看定义域，如果将函数变换，务必保证等价性．1．求解与对数函数有关的复合函数的单调性的步骤： (1)确定定义域；(2)弄清函数是由哪些基本初等函数复合而成的，将复合函数分解成基本初等函数y ＝f (u )，u ＝g (x )；(3)分别确定这两个函数的单调区间；(4)若这两个函数同增或同减，则y ＝f (g (x ))为增函数，若一增一减，则y ＝f (g (x ))为减函数，即“同增异减”．2．用对数函数的性质比较大小(1)同底数的两个对数值的大小比较例如，比较log a f (x )与log a g (x )的大小，其中a >0且a ≠1.①若a >1，则log a f (x )>log a g (x )⇔f (x )>g (x )>0. ②若0<a <1，则log a f (x )>log a g (x )⇔0<f (x )<g (x )． (2)同真数的对数值大小关系如图：图象在x 轴上方的部分自左向右底逐渐增大，即0<c <d <1<a 0且a ≠1)等价于f (x )＝g (x )，但要注意验根．对于log a f (x )>log a g (x )等价于0<a <1时，⎪⎩⎪⎨⎧<>>);()(,0)(,0)(x g x f x g x f a >1时，⎪⎩⎪⎨⎧>>>).()(,0)(,0)(x g x f x g x f(2)形如F (log a x )＝0、F (log a x )>0或F (log a x )<0，一般采用换元法求解．(满分：75分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．(2010·北京市丰台区高三一调)设M ＝{y |y ＝(12)x，x ∈[0，＋∞)}，N ＝{y |y ＝log 2x ，x ∈(0,1]}，则集合M ∪N 等于 ( )A ．(－∞，0)∪[1，＋∞)B ．[0，＋∞)C ．(－∞，1]D ．(－∞，0)∪(0,1)2．(2010·全国Ⅰ)设a ＝log 32，b ＝ln 2，c ＝5－12，则( )A ．a 0，log 12(－x )，x <0，若f (a )>f (－a )，则实数a 的取值范围是( )A ．(－1,0)∪(0,1)B ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)C ．(－1,0)∪(1，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(0,1) 4．(2011·济南模拟)设函数f (x )定义在实数集上，f (2－x )＝f (x )，且当x ≥1时，f (x )＝ln x ，则有 ( )A ．f (13)<f (2)<f (12)B ．f (12)<f (2)<f (13)C ．f (12)<f (13)<f (2)D ．f (2)<f (12)<f (13)5．(2011·青岛模拟)已知函数f (x )＝a x＋log a x (a >0，a ≠1)在[1,2]上的最大值与最小值之和为log a 2＋6，则a 的值为 ( )A.12B.14 C ．2 D ．46．2lg 5＋23lg 8＋lg 5·lg 20＋lg 22＝________.7．(2011·湖南师大附中检测)已知函数f (x )＝lg ax ＋a －2x在区间[1,2]上是增函数，则实数a 的取值范围是____________．8．已知f (3x )＝4x log 23＋233，则f (2)＋f (4)＋f (8)＋…＋f (28)＝________. 三、解答题(共38分)9．(12分)已知f (x )＝2＋log 3x ，x ∈[1,9]，求y ＝[f (x )]2＋f (x 2)的最大值及y 取最大值时x 的值．10．(12分)(2011·北京东城1月检测)已知函数f (x )＝log a (x ＋1)－log a (1－x )，a >0且a ≠1.(1)求f (x )的定义域；(2)判断f (x )的奇偶性并予以证明；(3)若a >1时，求使f (x )>0的x 的解集．11．(14分)(2011·郑州模拟)已知函数f (x )＝lg(a x －b x)(a >1>b >0)． (1)求y ＝f (x )的定义域；(2)在函数y ＝f (x )的图象上是否存在不同的两点，使得过这两点的直线平行于x 轴； (3)当a ，b 满足什么条件时，f (x )在(1，＋∞)上恒取正值．答案自主梳理1．a x＝N(a >0，且a ≠1) x ＝log a N a N 2.(1)①N ②0 ③N ④1 (2)①log a N log a b②log a d (3)①log a M ＋log a N ②log a M －log a N ③nlog a M 3.(1)(0，＋∞) (2)R (3)(1,0) 1 0 (4)y >0 y <0 (5)y <0 y >0 (6)增 (7)减 4.y ＝log a x y ＝x自我检测 1．C 2.A3．A [因为3<2＋log 23<4，故f (2＋log 23)＝f (2＋log 23＋1)＝f (3＋log 23)．又3＋log 23>4，故f (3＋log 23)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫123＋log23＝⎝ ⎛⎭⎪⎫123·13＝124.]4．B [由题意可得：f (x )＝f (－x )＝f (|x |)，f (|log 18x |)>f (13)，f (x )在[0，＋∞)上递增，于是|log 18x |>13，解得x 的取值范围是(0，12)∪(2，＋∞)．]5．m >n解析 ∵m <0，n <0，∵m n＝log a c ·log c b ＝log a b <log a a ＝1，∴m >n . 课堂活动区例1 解题导引在对数运算中，先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后再运用对数运算法则化简合并，在运算中要注意化同底和指数与对数互化．解 (1)方法一利用对数定义求值：设)32(log )32(-+＝x ，则(2＋3)x ＝2－3＝12＋3＝(2＋3)－1，∴x ＝－1.方法二利用对数的运算性质求解：)32(log )32(-+＝)32(1log )32(++＝1)32()32(log -++＝－1. (2)原式＝12(lg 32－lg 49)－43lg 812＋12lg 245＝12(5lg 2－2lg 7)－43×32lg 2＋12(2lg 7＋lg 5)＝52lg 2－lg 7－2lg 2＋lg 7＋12lg 5 ＝12lg 2＋12lg 5 ＝12lg (2×5)＝12lg 10＝12. (3)由已知得lg(x －y 2)2＝lg xy ，∴(x －y 2)2＝xy ，即x 2－6xy ＋y 2＝0.∴(x y)2－6(x y )＋1＝0.∴x y＝3±2 2.∵⎩⎪⎨⎪⎧x －y >0，x >0，y >0，∴xy >1，∴x y＝3＋22，∴log (3－22)xy＝log (3－22)(3＋22)＝log3－2213－22＝－1.变式迁移1 解 (1)原式＝log 2748＋log 212－log 242－log 22＝log 27×1248×42×2＝log 2122＝log 22－32＝－32.(2)原式＝lg 2·(lg 2＋lg 50)＋lg 25 ＝21g 2＋lg 25＝lg 100＝2.例2 解题导引比较对数式的大小或证明等式问题是对数中常见题型，解决此类问题的方法很多，①当底数相同时，可直接利用对数函数的单调性比较；②若底数不同，真数相同，可转化为同底(利用换底公式)或利用对数函数图象，数形结合解得；③若不同底，不同真数，则可利用中间量进行比较．解 (1)①∵log 323<log 31＝0，而log 565>log 51＝0，∴log 323<log 565.②方法一 ∵0<0.7<1,1.1<1.2， ∴0>log 0.71.1>log 0.71.2.∴1log 0.71.1<1log 0.71.2，由换底公式可得log 1.10.7<log 1.20.7.方法二作出y ＝log 1.1x 与y ＝log 1.2x 的图象，如图所示，两图象与x ＝0.7相交可知log 1.10.7<log 1.20.7.(2)∵y ＝log 12x 为减函数，且log 12b <log 12a <log 12c ，∴b >a >c .而y ＝2x 是增函数，∴2b >2a >2c.变式迁移2 (1)A [a ＝log 3π>1，b ＝12log 23，则12b >c .](2)A [∵a ，b ，c 均为正，∴log 12a ＝2a>1，log 12b ＝(12)b ∈(0,1)，log 2c ＝(12)c∈(0,1)．∴0<a <12，12<b <1,1<c <2.故a <b <c .]例3 解题导引本题属于函数恒成立问题，即对于x ∈[13，2]时，|f (x )|恒小于等于1，恒成立问题一般有两种思路：一是利用图象转化为最值问题；二是利用单调性转化为最值问题．由于本题底数a 为参数，需对a 分类讨论．解 ∵f (x )＝log a x ，则y ＝|f (x )|的图象如右图．由图示，可使x ∈[13，2]时恒有|f (x )|≤1，只需|f (13)|≤1，即－1≤log a 13≤1，即log a a －1≤log a 13≤log a a ，亦当a >1时，得a －1≤13≤a ，即a ≥3；当0<a <1时，得a －1≥13≥a ，得0<a ≤13.综上所述，a 的取值范围是(0，13]∪[3，＋∞)．变式迁移3 C[画出函数f (x )＝|lg x |的图象如图所示．∵0<a 1，∴lg a <0，lg b >0.由f (a )＝f (b )，∴－lg a ＝lg b ，ab ＝1.∴b ＝1a ，∴a ＋2b ＝a ＋2a，又0<a <1，函数t ＝a ＋2a在(0,1)上是减函数，∴a ＋2a >1＋21＝3，即a ＋2b >3.]课后练习区1．C [∵x ≥0，∴y ＝(12)x∈(0,1]，∴M ＝(0,1]．当0<x ≤1时，y ＝log 2x ∈(－∞，0]，即N ＝(－∞，0]． ∴M ∪N ＝(－∞，1]．]2．C [∵1a ＝log 23>1，1b＝log 2e>1，log 23>log 2e.∴1a >1b>1，∴0<a log 33＝12，∴a >12.b ＝ln 2>ln e ＝12，∴b >12.c ＝5－12＝15<12，∴c <a 0时，f (a )＝log 2a ，f (－a )＝a 21log ，f (a )>f (－a )，即log 2a >a 21log ＝log 21a，∴a >1a，解得a >1.②当a <0时，f (a )＝)(log 21a -，f (－a )＝log 2(－a )，f (a )>f (－a )，即)(log 21a ->log 2(－a )＝a-1log 21， ∴－a <1－a，解得－1<a <0，由①②得－1<a <0或a >1.]4．C [由f (2－x )＝f (x )知f (x )的图象关于直线x ＝2－x ＋x2＝1对称，又当x ≥1时，f (x )＝ln x ，所以离对称轴x ＝1距离大的x 的函数值大，∵|2－1|>|13－1|>|12－1|，∴f (12)<f (13)<f (2)．]5．C [当x >0时，函数a x ，log a x 的单调性相同，因此函数f (x )＝a x＋log a x 是(0，＋∞)上的单调函数，f (x )在[1,2]上的最大值与最小值之和为f (1)＋f (2)＝a 2＋a ＋log a 2，由题意得a 2＋a ＋log a 2＝6＋log a 2.即a 2＋a －6＝0，解得a ＝2或a ＝－3(舍去)．]6．3 7．(1,2)解析因为f (x )＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋a －2x 在区间[1,2]上是增函数，所以g (x )＝a ＋a －2x在区间[1,2]上是增函数，且g (1)>0，于是a －2<0，且2a －2>0，即1<a <2. 8．2 008解析令3x＝t ，f (t )＝4log 2t ＋233，∴f (2)＋f (4)＋f (8)＋…＋f (28)＝4×(1＋2＋…＋8)＋8×233＝4×36＋1 864＝2 008.9．解 ∵f (x )＝2＋log 3x ，∴y ＝[f (x )]2＋f (x 2)＝(2＋log 3x )2＋2＋log 3x 2＝log 23x ＋6log 3x ＋6＝(log 3x ＋3)2－3.……(4分)∵函数f (x )的定义域为[1,9]，∴要使函数y ＝[f (x )]2＋f (x 2)有意义，必须⎩⎪⎨⎪⎧1≤x 2≤9，1≤x ≤9，∴1≤x ≤3，∴0≤log 3x ≤1，(8分)∴6≤(log 3x ＋3)2－3≤13.当log 3x ＝1，即x ＝3时，y max ＝13.∴当x ＝3时，函数y ＝[f (x )]2＋f (x 2)取最大值13.………………………………………(12分)10．解 (1)f (x )＝log a (x ＋1)－log a (1－x )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1>0，1－x >0，解得－1<x <1.故所求函数f (x )的定义域为{x |－1<x <1}．………………………………………………(4分)(2)由(1)知f (x )的定义域为{x |－1<x <1}，且f (－x )＝log a (－x ＋1)－log a (1＋x ) ＝－[log a (x ＋1)－log a (1－x )]＝－f (x )，故f (x )为奇函数．………………………………………………………………(8分)(3)因为当a >1时，f (x )在定义域{x |－1<x <1}内是增函数，所以f (x )>0⇔x ＋11－x>1.解得0<x <1.所以使f (x )>0的x 的解集是{x |0<x <1}．…………………………………(12分)11．解 (1)由a x－b x>0，得(a b)x>1，且a >1>b >0，得a b>1，所以x >0，即f (x )的定义域为(0，＋∞)．…………………………………………………………………………………………(4分)(2)任取x 1>x 2>0，a >1>b >0，则1x a >2xa >0，21x x b b<，所以11x x b a ->22x x b a ->0，即)lg(11xxb a ->)lg(22xx b a -．故f (x 1)>f (x 2)．所以f (x )在(0，＋∞)上为增函数．………………………………………………………(8分)假设函数y ＝f (x )的图象上存在不同的两点A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，使直线平行于x 轴，则x 1≠x 2，y 1＝y 2，这与f (x )是增函数矛盾．故函数y ＝f (x )的图象上不存在不同的两点使过两点的直线平行于x 轴．…………(10分)(3)因为f (x )是增函数，所以当x ∈(1，＋∞)时，f (x )>f (1)．这样只需f (1)＝lg(a －b )≥0，即当a ≥b ＋1时，f (x )在(1，＋∞)上恒取正值．……………………………………………(14分)。

2019-2020年高中数学《对数函数》教案31 新人教A版必修1

2019-2020年高中数学《对数函数》教案31 新人教A 版必修1教学任务：（1）进一步理解对数函数的图象和性质；（2）熟练应用对数函数的图象和性质，解决一些综合问题；（3）通过例题和练习的讲解与演练，培养学生分析问题和解决问题的能力．教学重点：对数函数的图象和性质．教学难点：对对数函数的性质的综合运用．教学过程：一、回顾与总结1．函数x y x y x y lg ,log ,log 52===的图象如图所示，回答下列问题．（1）说明哪个函数对应于哪个图象，并解释为什么？（2）函数与且有什么关系？图象之间又有什么特殊的关系？（3）以x y x y x y lg ,log ,log 52===的图象为基础，在同一坐标系中画出x y x y x y 1015121log ,log ,log ===的图象．（4）已知函数x y x y x y x y a a a a 4321log ,log ,log ,log ====的图象，则底数之间的关系：．教○1 ○2 ○312 342．完成下表（对数函数且的图象和性质）3．根据对数函数的图象和性质填空．○1已知函数，则当时，；当时，；当时，；当时，．○1已知函数，则当时，；当时，；当时，；当时，；当时，．二、应用举例例1．比较大小：○1，且；○2，．解：（略）例2．已知恒为正数，求的取值范围．解：（略）[总结点评]：（由学生独立思考，师生共同归纳概括）．．例3．求函数的定义域及值域．解：（略）注意：函数值域的求法．例4．（1）函数在[2，4]上的最大值比最小值大1，求的值；（2）求函数的最小值．解：（略）注意：利用函数单调性求函数最值的方法，复合函数最值的求法．例5．（xx 年上海高考题）已知函数，求函数的定义域，并讨论它的奇偶性和单调性．解：（略）注意：判断函数奇偶性和单调性的方法，规范判断函数奇偶性和单调性的步骤．例6．求函数)54(log )(22.0++-=x x y x f 的单调区间．解：（略）注意：复合函数单调性的求法及规律：“同增异减”．练习：求函数的单调区间．三、作业布置考试卷一套2019-2020年高中数学《对数函数》教案32 新人教A版必修1教材分析：1、对数函数及其性质为必修内容，而且对数函数及其相关知识历来是高考的重点，既有中档题，又能和其它知识相结合、综合性较强、考查也比较深刻。

2019-2020年高中数学对数函数教案(I)新课标人教版必修1(B)

2019-2020年高中数学对数函数教案（I）新课标人教版必修1（B）教学目标：进一步理解对数函数的定义，掌握对数函数的图象和性质教学重点：掌握对数函数的图象和性质.教学过程：1、复习对数函数的概念2、例子：（一）求函数的定义域1. 已知函数的定义域是F,函数的定义域是N,确定集合F、N的关系？2 •求下列函数的定义域：（1）（2）（二）求函数的值域2• f(x) =log a x x [1,2]3 .4.求函数（1）（2）的值域（三）函数图象的应用的图象如图所示，那么a,b,c的大小关系是2.已知y =logm（二-3）：：：logn（黛「3）：：： 0 , m,n为不等于1的正数，则下列关系中正确的是（）（A）1<m<n （B）m< n<1 （C）1<m<n （D） * m<12. 画出下列函数的图象（1）（2）（四）函数的单调性1、求函数的单调递增区间。

2、求函数的单调递减区间（五）函数的奇偶性1、函数y =log2（x，x2•。

快R）的奇偶性为[]A.奇函数而非偶函数 B •偶函数而非奇函数C.非奇非偶函数 D •既奇且偶函数(五)综合1若定义在区间(一1, 0)内的函数满足,则a的取值范围( )课堂练习：略小结：本节课进一步复习了对数函数的定义、图象和性质课后作业：略教学目标：使学生掌握对数形式复合函数的单调性的判断及证明方法，掌握对数形式复合函数的奇偶性的判断及证明方法，培养学生的数学应用意识；认识事物之间的内在联系及相互转化，用联系的观点分析问题、解决问题.教学重点：函数单调性、奇偶性证明通法.教学难点：对数运算性质、对数函数性质的应用.教学过程：I .复习回顾［师］上一节课后，我要求大家预习函数单调性，奇偶性的证明方法，现在，我们进行一下回顾.1. 判断及证明函数单调性的基本步骤：假设一一作差一一变形一一判断说明：变形目的是为了易于判断；判断有两层含义：一是对差式正负的判断；二是对增减函数定义的判断.2. 判断及证明函数奇偶性的基本步骤：①考查函数定义域是否关于原点对称；②比较f( —X)与f(x)或者一f(x)的关系；③根据函数奇偶性定义得出结论.说明：考查函数定义域容易被学生忽视，应强调学生注意.［师］接下来，我们一起来看例题n.讲授新课［例1］判断下列函数的奇偶性：1 —X j 2(1) f(x)二lg 不(2) f(x)二ln( 一1+X —x)分析：首先要注意定义域的考查，然后严格按照奇偶性证明基本步骤进行.1 一x解：(1)由 > 0可得一1v x V11 + x所以函数的定义域为：(一1, 1)关于原点对称T「 1 + X 1 —X — 1 1 —X 「又f( 一X)= lg 1—X = lg (1 + X) =—lg 1+ X = —f(x)即 f ( —x) = —f (x)1 一x所以函数f(x)二|g苻x是奇函数评述：此题确定定义域即解简单分式不等式，函数解析式恒等变形需利用对数的运算性质，说明判断对数形式的复合函数的奇偶性，不能轻易直接下结论，而应注意对数式的恒等变形•解：(2)由1+x2—x > 0 可得x € R所以函数的定义域为R关于原点对称——2 ( 1+x2+ x) ( . 1+x2—x)又 f ( —x) = In( Q l+x + x) = In ----------- 寸〔+x2Y x-----------—In " ----- 2—一ln( ■ 1+x 一x) = 一f (x)1+x —x即 f ( —x) = —f (x)所以函数f(x) —ln( 1+x2—x)是奇函数评述：此题定义域的确定可能稍有困难，可以讲解此点，而函数解析式的变形用到了分子有理化的技巧，应要求学生掌握.［例2］(1)证明函数f(x) —log 2( x2+ 1)在(0，+x)上是增函数(2)问：函数f (x) —log 2(x2+ 1)在(一X，°)上是减函数还是增函数？分析：此题目的在于让学生熟悉函数单调性证明通法，同时熟悉上一节利用对数函数单调性比较同底数对数大小的方法.(1)证明：设X1, X2 € (0,+ X)，且X1 v X2则 f (xj — f (X2)—log 2(xj+1) —log 2(X22+1)2 2v X1 v X2 ••• X1 +1v X2 +1■/ 0又t y —log 2X在(0，+X)上是增函数.2 2.• log 2(x1 +1)v log 2( X2 +1) 即f(x»v f (X2)•函数f(x) —log 2(X +1)在(0，+X)上是增函数.(2)是减函数，证明可以仿照上述证明过程.评述：此题可引导学生总结函数f(x) —log 2(x2+1)的增减性与函数y= x2+1的增减性的关系，并可在课堂练习之后得出一般性的结论.［例3］求函数y —log (x2—2x —3)的单调区间.解：定义域x2—2x — 3 >0 解得x> 3或x v —1单调减区间是(3，+X)［例4］已知y —log a(2 —ax)在［0，1］上是x的减函数，求a的取值范围.解：••• a>0且a^ 1 •函数t —2—ax是减函数由y —log a(2 —ax)在［0，1］上x的减函数，知y= log a t是增函数，• a> 1由x — 1 时，2 —ax — 2 —a>0，得a v2• 1 v a v 2川.课堂练习(1)证明函数y —log ( x2+1)在(0，+X)上是减函数；(2)判断函数y —log ( x2+1)在(—X ,0 )上的增减性.证明：(1)设 O v X i V X 2，贝U2 2 X i + 1f(x i ) — f(X 2)= log ( X i +1) — log ( X 2+I) = logx^p ^ ■/ O v X i v X 2,.・. O v X i 2v X 22, X*|2+ 1而log X 是减函数二loa 2X 2十i••• f(X i ) — f (X 2) >0 即 f (X i ) >f (X 2)•••函数y = log ( X 2+1)在(0, +x )上是减函数(2)设 X i <X 2<0,贝U f(X i ) — f(X 2)= log ( xj+1) — log ( X 22+1)2 2■/ X i v X 2<0,.°. X i >X 2 >0 而函数y = log X 在(0, +x )上是减函数.•log ( x i 2+1)v log ( X 22+1) 即 f (X i ) v f (X 2)• y = log ( x +1)在(—x, 0)上是增函数.IV.课时小结［师］通过本节学习，大家能进一步熟悉对数函数的性质应用，并掌握证明函数单调性, 奇偶性的通法，提高数学应用的能力.V .课后作业(一) 课本 P 70 4, 5, 8(二) 补充1. 求y = log 0.3(x 2 — 2x)的单调递减区间.解：先求定义域：由x 2— 2x >0,得x(x — 2) >0• x v 0或x >2 •••函数y = log °.3t 是减函数故所求单调减区间即t = x 2— 2x 在定义域内的增区间.又t = x — 2x 的对称轴为x = 1•所求单调递减区间为(2, +x)2. 求函数y = log 2(x 2 — 4x)的单调递增区间解：先求定义域：由x 2— 4x >0得x(x — 4) >0• x v 0或x >4 又函数y = log 2t 是增函数故所求单调递增区间为t = x 2 — 4X 在定义域内的单调递增区间.■/ t = x 2 — 4x 的对称轴为x = 2•所求单调递增区间为：(4, +x)3. 已知y = log a (2 — a x )在］0, 1］上是x 的减函数，求a 的取值范围.解：••• a > 0且a ^ 1 当a > 1时，函数t = 2 — a x >0是减函数由y = log a (2 — a x )在］0, 1］上是x 的减函数，知y = log a t 是增函数，• a > 1 由 x €［0, 1］时，2 — a x >2 — a >0,得 a v 2, • 1v a v 2 当0<a<1时，函数t = 2 — a x >0是增函数由y = log a (2 — a x )在］0, 1］上 x 的减函数，知y = log a t 是减函数，• 0<a<1 由 x €［ 0, 1］时，2— a >2— 1>0, • 0<a<1综上述，0<a<1或1 v a v 2 X i 2+ 1 X i 2+ 1'X 22+ 1 vX i 2+ 1X i 2 + 1> logXT +1 二 logi 二 o。

高三数学一轮复习精品教案4：2.6 对数与对数函数教学设计

2.6 对数与对数函数★ 知识要点 1．对数的概念①定义：如果)1,0(≠>a a a 且的b 次幂等于N ，就是N a b=，那么数b 称以a 为底N 的对数，记作,log b N a =其中a 称对数的底，N 称真数。

1）以10为底的对数称常用对数，N 10log 记作N lg ；2）以无理数)71828.2( =e e 为底的对数称自然对数，N e log ，记作N ln ； ②基本性质：1）真数N 为正数（负数和零无对数）；2）01log =a ； 3）1log =a a ；4）对数恒等式：N aNa =log 。

③运算性质：如果,0,0,0,0>>≠>N M a a 则1）N M MN a a a log log )(log +=；2）N M NMa a a log log log -=； 3）∈=n M n Ma na (log log R ）。

④换底公式：),0,1,0,0,0(log log log >≠>≠>=N m m a a aNN m m a1）1log log =⋅a b b a ；2）b mnb a na m log log =。

2. 对数函数：①定义：函数)1,0(log ≠>=a a x y a 且称对数函数， 1）函数的定义域为),0(+∞；2）函数的值域为R ； 3）当10<<a 时函数为减函数，当1>a 时函数为增函数；4）对数函数x y a log =与指数函数)1,0(≠>=a a a y x且互为反函数。

②函数图像：1）对数函数的图象都经过点（0，1），且图象都在第一、四象限；2）对数函数都以y 轴为渐近线（当10<<a 时，图象向上无限接近y 轴；当1>a 时，图象向下无限接近y 轴）；4）对于相同的)1,0(≠>a a a 且，函数x y x y aa 1log log ==与的图象关于x 轴对称。

2019-2020年高三数学一轮复习对数与对数函数(学生)导学案新人教版

2019-2020年高三数学一轮复习对数与对数函数（学生）导学案新人教版一、学习目标：（1）对数函数性质及其应用。

（2）与对数函数有关的复合函数的性质二、自主学习：1. 已知函数（）与函数（），则f(x)、g(x)的值域是（） A ．都是 B ．都是 C ．分别是、 D ．分别是、2. 设，函数在区间上的最大值与最小值之差为，则（） A ． B ．2 C ． D ．43. 已知0log log ,10<<<<n m a a a ，则（）A.1＜n ＜mB. 1＜m ＜nC.m ＜n ＜1D. n ＜m ＜1 4．已知f （x ）=log ［3－（x －1）2］，单调减区间为：（1－，1］，值域为： 5．函数y =log （x －ax ＋3a ）在[2，＋∞）上是减函数，则a 的取值范围是（） A ．（－∞，4） B ．（－4，4] C ．（－∞，－4）∪[2，＋∞] D ．[－4，4]三、合作探究：例1．见《优化设计》P26例2变式训练：比较下列各组数的大小：（1）与（2）与（3）与小结与拓展：比较对数式的大小常用的有三种：（1）当底数相同时可直接利用对数函数的单调性比较；（2）当底数不同，真数相同时，可转化为同底或利用对数函数图像比较；（3）当底数不同，真数也不相同时，则可利用中间量比较例2．已知函数f(x)=log a x(a ＞0,a ≠1)，如果对于任意x ∈［3，+∞）都有|f(x)|≥1成立，试求a 的取值范围.变式训练：见《优化设计》例3例3：《优化设计》P26例5四、课堂总结：1．对数函数的定义：一般地，把函数叫做对数函数.3．同底的指数函数与对数函数互为反函数；五、检测巩固：同学们自行完成P25“真题在线”与P29“随堂练习”试题、上交《课时训练3.5》2019-2020年高三数学一轮复习导数及其应用第15课时导数概念及运算一、考纲要求三、考点梳理1、已知函数在处的导数为1,当时,, 则A= .2、已知函数在点处的切线为 y =2x -1,则函数在点处的切线方程为__________.3、某汽车启动阶段的路程函数为s(t)＝2t 3－5t 2(s 的单位为m ，t 的单位为s)，则t ＝2s 时，汽车瞬时速度为________．瞬时加速度为________. 4、若，则f′(0)=_______.5、过坐标原点作函数图像的切线,则切线斜率为____________.6、已知抛物线通过点(1,1),且在点处与直线相切,则的值为7、已知函数c b a c x b x a x x f ,,)()()(()(---=是两两不等的实数）则等于四、典例精讲例1、利用导数的定义求函数f(x)＝1x在x ＝1的导数：例2、求下列函数的导数：（1）（2）（3）y=tanx （4）y= 例3、已知曲线，（1）求曲线在点P （2,4）处的切线方程；（2）求曲线过点P （2,4）的切线方程；（3）求曲线的斜率为4的切线方程。

2019-2020年高中数学《对数函数》教案12 新人教A版必修1

2019-2020年高中数学《对数函数》教案12 新人教A版必修1教学目标：知识与技能理解指数函数与对数函数的依赖关系，了解反函数的概念，加深对函数的模型化思想的理解．过程与方法通过作图，体会两种函数的单调性的异同．情感、态度、价值观对体会指数函数与对数函数内在的对称统一．教学重点：重点难两种函数的内在联系，反函数的概念．难点反函数的概念．教学程序与环节设计：由函数的观点分析例题，引出反函数的概念．关联性角度试着给指数函数、对教学过程与操作设计：2019-2020年高中数学《对数函数》教案13 新人教A版必修1教材分析：1、对数函数及其性质为必修内容，而且对数函数及其相关知识历来是高考的重点，既有中档题，又能和其它知识相结合、综合性较强、考查也比较深刻。

2、对数函数是函数中一类重要的基本初等函数，它是在学生已经学过指数函数、对数与对数运算基础上引入的，是对上述知识的应用，也是对函数这一重要数学思想的进一步认识与理解。

3、对数函数是解决有关自然科学领域中实际问题的重要工具，是学生今后学习对数方程，对数不等式的基础。

4、对数函数及其性质的学习使学生的知识体系更加完整、系统，同时又是对数和函数知识的拓展与延伸。

5、本节课内容为反函数知识，应重视数学知识之间的内在联系，突出对数函数是现实世界中的重要数学模型。

教学设计：教学目标：知识与技能理解指数函数与对数函数的依赖关系，了解反函数的概念，加深对函数的模型化思想的理解．过程与方法通过作图，体会两种函数的单调性的异同．情感、态度、价值观对体会指数函数与对数函数内在的对称统一．教学重点：难两种函数的内在联系，反函数的概念．教学难点：反函数的概念．教学程序与环节设计：由函数的观点分析例题，引出反函数的概念．两种函数的内在联系，图象关系．关联性角度试着给指数函数、对教学过程与操作设计：附表1：巩固练习：1.求下列函数的反函数： y =(x ∈R )； y = (a ＞0,a ≠1,x ＞0)2．己知函数的图象过点（1，3）其反函数的图象过（2，0）点，求的表达式. 归纳小结，强化思想：本节课的目的要求是在学习了指数函数与对数函数后，以两个底数相同的指数函数与对数函数介绍反函数的概念，可以初步尝试求一个已知简单函数的反函数，但根据课程标准安排应不作过多强调。

2019-2020学年高考数学一轮复习-对数和对数函数教案

2019-2020学年高考数学一轮复习对数和对数函数教案教学内容学习指导即使感悟【学习目标】1、理解对数的概念及其运算性质。

2、理解对数函数的概念和性质。

并能利用对数函数的图像研究性质。

3、使学生形成“自主学习”与“合作学习”的良好习惯。

【学习重点】对数函数的图形和性质。

x【学习难点】对数函数的图像和性质及应用。

【回顾预习】一回顾知识： 1、对数(1)定义：一般地，如果a x ＝N (a ＞0，且a ≠1)，那么数x 叫做，记作，其中a 叫做对数的，N 叫做．（2）、几种常见对数对数形式特点记法一般对数以a (a ＞0，且a ≠1)为底的对数自然对数以为底的对数常用对数以为底的对数（3）对数的运算性质如果a ＞0，且a ≠1，M ＞0，N ＞0，那么①log a (MN )＝ ②nma log ＝； ③log a M n ＝ (n ∈R )；④nm b a log ＝ ⑤=n a a log ；⑥log a a N ＝ ⑦换底公式：=N M log 2、对数函数图像 1>a 10<<a定义域值域过定点单调性回顾知识3、对数函数y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1)和指数函数互为反函数，它们的图象在同一坐标系中关于直线对称．基础自测：1．以下等式(其中a ＞0，且a ≠1；x ＞y ＞0)：①log a 1＝0；②log a x ·log a y ＝log a (x ＋y )；③log a (x ＋y )＝log a x ＋log a y ；④log a a ＝1⑤()yaxa y x alog log log =-⑥()y x a yxa -=log log 其中正确命题的个数是 ( B ) A ．1 B ．2 C ．3D ．42．(2009年湖南卷)若log 2a ＜0，121>⎪⎭⎫⎝⎛b则 ( D )A ．a ＞1，b ＞0B ．a ＞1，b ＜0C ．0＜a ＜1，b ＞0D ．0＜a ＜1，b ＜03已知111222log log log b a c <<,则 ( A )A.222b a c >>B.222a b c >>C.222c b a >>D.222c a b>> 4、()2321log -=x y 函数的定义域是 ⎥⎦⎤⎝⎛1，32【自主合作探究】例1、计算：（1）222(lg 2)lg 2lg5(lg 2)lg 21++-+； =1（2）321lg5(lg8lg1000)(lg 2)lg lg 0.066++++. =1例2、已知函数1()log 1axf x x+=-(0,1)a a >≠(1)求()f x 的定义域; (2)讨论()f x 的单调性;(3)求使()0f x 的x 的取值范围.解析：（1）(1+x)/(1-x)>0 (x+1)/(x-1)<0 ∴-1<x<1定义域为(-1,1)（2）f(x)+f(-x)=loga[(1+x)/(1-x)+loga[(1-x)/(1+x)] =loga[(1+x)/(1-x)*(1-x)/(1+x)] =loga(1)=0 ∴f(-x)=-f(x) ∴f(x)是奇函数t=(1+x)/(1-x)=[2-(1-x)]/(1-x) =-1+2/(1-x)=x ∈(-1,1)时，x 增大，1-x 递减， 1/(1-x)递增，-1+1/(1-x)递增 ∴t=(1+x)/(1-x)是增函数当a>1时，y=logat 递增，f(x)=loga[(1+x)/(1-x)]是增函数当0<a<1时，y=logat 是减函数∴ f(x)=loga[(1+x)/(1-x)]是减函数例3、已知f (x )＝log 4(2x ＋3－x 2)，求： (1)求函数的定义域（2）求函数f (x )的单调区间；解：（1）∵∴-1＜x ＜3∴函数f （x ）的定义域为（-1，3）（2）函数f （x ）在（-1，1）上单调递增；函数f （x ）在（1,3）上单调递减。

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2019-2020学年高考数学一轮复习 2.6对数与对数函数学案学考考查重点 1.考查对数函数的图象、性质；2.对数方程或不等式的求解；3.考查和对数函数有关的复合函数．本节复习目标 1.注意函数定义域的限制以及底数和1的大小关系对函数性质的影响；2.熟练掌握对数函数的图象、性质，搞清复合函数的结构以及和对数函数的关系．1．对数的概念如果a x ＝N (a >0且a ≠1)，那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记作________，其中____ 叫做对数的底数，______叫做真数．2．对数的性质与运算法则(1)对数的运算法则如果a >0且a ≠1，M >0，N >0，那么①log a (MN )＝_________________；②log a M N＝________________；③log a M n ＝___________(n ∈R )；④log am M n ＝________________;(2)对数的性质①a log a N ＝__ __；②log a a N ＝__ __(a >0且a ≠1)．(3)对数的重要公式①换底公式：_ (a ，b 均大于零且不等于1)；②log a b ＝1log b a，推广log a b ·log b c ·log c d ＝log a d . 3．对数函数的图象与性质________4. 反函数指数函数y ＝a x 与对数函数y ＝log a x 互为反函数，它们的图象关于直线_____ __对称．1．函数f (x )＝log 5(2x ＋1)的单调增区间是__________．2．函数y ＝log a (x ＋3)－1 (a >0且a ≠1)的图象恒过点A ，若点A 在直线mx ＋ny ＋1＝0上(其中mn >0)，则1m ＋2n的最小值为________． 3． (log 29)·(log 34)等于（） A.14 B.12C ．2D ．4 4． (2012·重庆)已知a ＝log 23＋log 23，b ＝log 29－log 23，c ＝log 32，则a ，b ，c 的大小关系是（）A ．a ＝b <cB ．a ＝b >cC ．a b >c5．若点(a ，b )在y ＝lg x 图象上，a ≠1，则下列点也在此图象上的是 ( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，b B ．(10a,1－b ) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫10a ，b ＋1 D ．(a 2,2b )题型一对数式的运算例1 计算下列各式：(1)lg 25＋lg 2·lg 50＋(lg 2)2； (2)2－lg 9＋127＋lg 8－lg 1 000lg 0.3·lg 1.2；(3)(log 32＋log 92)·(log 43＋log 83)．变式训练1：求值：(1)log 89log 23； (2)(lg 5)2＋lg 50·lg 2. (3)12lg 3249－43lg 8＋lg 245题型二对数函数的图象与性质例2 已知f (x )是定义在(－∞，＋∞)上的偶函数，且在(－∞，0]上是增函数，设a ＝f (log 47)，b ＝f (log123)，c ＝f (0.2－0.6)，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．c <a <bB ．c 0且a ≠1)的图象过两点(－1，0)和(0,1)，则a ＝________，b ＝________.题型三对数函数的综合应用例3 已知函数f (x )＝log a (3－ax )．(1)当x ∈[0,2]时，函数f (x )恒有意义，求实数a 的取值范围；(2)是否存在这样的实数a ，使得函数f (x )在区间[1,2]上为减函数，并且最大值为1？如果存在，试求出a 的值；如果不存在，请说明理由．变式训练3：已知f (x )＝log 4(4x－1)． (1)求f (x )的定义域； (2)讨论f (x )的单调性； (3)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上的值域．。

高三数学一轮复习优质教案6：2.6 对数与对数函数教学设计

2.6 对数与对数函数『知识能否忆起』1．对数的概念 (1)对数的定义：如果a x ＝N (a >0且a ≠1)，那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记作x ＝log a N ，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数．当a ＝10时叫常用对数．记作x ＝lg_N ，当a ＝e 时叫自然对数，记作x ＝ln_N .(2)对数的常用关系式(a ，b ，c ，d 均大于0且不等于1)： ①log a 1＝0. ②log a a ＝1.③对数恒等式：a log a N ＝N . ④换底公式：log a b ＝log c blog c a.推广log a b ＝1log b a ，log a b ·log b c ·log c d ＝log a d .(3)对数的运算法则：如果a >0，且a ≠1，M >0，N >0，那么： ①log a (M ·N )＝log a M ＋log a N ； ②log a MN ＝log a M －log a N ；③log a M n ＝n log a M (n ∈R)； ④log am M n ＝nm log a M .2．对数函数的概念(1)把y ＝log a x (a >0，a ≠1)叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是(0，＋∞)． (2)函数y ＝log a x (a >0，a ≠1)是指数函数y ＝a x 的反函数，函数y ＝a x 与y ＝log a x (a >0，a ≠1)的图象关于y ＝x 对称．3．对数函数的图象与性质 y ＝log a xa >10<a <1图象性质定义域：(0，＋∞)值域：R过点(1,0)，即x ＝1时，y ＝0当x >1时，y >0当0<x <1时，y <0当x >1时，y <0当0<x <1时，y >0在(0，＋∞)上是增函数在(0，＋∞)上是减函数『小题能否全取』1．设A ＝{y |y ＝log 2x ，x >1}，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫y |y ＝⎝⎛⎭⎫12x ，0<x <1，则A ∩B 为( ) A.⎝⎛⎭⎫0，12 B.⎝⎛⎭⎫12，＋∞ C.⎝⎛⎭⎫12，1D ．(0,2)2．函数y ＝log a (3x －2)(a >0，a ≠1)的图象经过定点A ，则A 点坐标是( ) A.⎝⎛⎭⎫0，23 B.⎝⎛⎭⎫23，0 C ．(1,0)D ．(0,1)3．函数y ＝lg |x |( )A ．是偶函数，在区间(－∞，0)上单调递增B ．是偶函数，在区间(－∞，0)上单调递减C ．是奇函数，在区间(0，＋∞)上单调递减D ．是奇函数，在区间(0，＋∞)上单调递增 4．(2012·江苏高考)函数f (x )＝1－2log 6x 的定义域为________．5．(2012·北京高考)已知函数f (x )＝lg x ，若f (ab )＝1，则f (a 2)＋f (b 2)＝________.考点一对数式的化简与求值典题导入『例1』求解下列各题．(1)12lg 3249－43lg 8＋lg 245＝________； (2)若2a ＝5b ＝m ，且1a ＋1b＝2，则m ＝________.由题悟法对数式的化简与求值的常用思路(1)先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后正用对数运算法则化简合并．(2)先将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算法则，转化为同底对数真数的积、商、幂再运算．以题试法1．化简：(1)lg 37＋lg 70－lg 3－lg 23－lg 9＋1；(2)⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 4－lg 60lg 3＋lg 53－45×2－11.考点二对数函数的图象及应用典题导入『例2』 (1)(2012·烟台调研)函数y ＝ln(1－x )的图象大致为( )(2)(2012·新课标全国卷)当0<x ≤12时，4x <log a x ，则a 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫0，22 B.⎝⎛⎭⎫22，1C ．(1，2)D ．(2，2)若本例(2)变为：若不等式(x －1)2<log a x 在x ∈(1,2)内恒成立，实数a 的取值范围为________．由题悟法1．对一些可通过平移、对称变换能作出其图象的对数型函数，在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时，常利用数形结合求解．2．一些对数型方程、不等式问题的求解，常转化为相应函数图象问题，利用数形结合法求解．以题试法2．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x，x ≤1，log 13x ，x >1，则y ＝f (1－x )的大致图象是( )考点三对数函数的性质及应用典题导入『例3』已知函数f (x )＝log 4(ax 2＋2x ＋3)． (1)若f (x )定义域为R ，求a 的取值范围； (2)若f (1)＝1，求f (x )的单调区间；(3)是否存在实数a ，使f (x )的最小值为0？若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由．由题悟法研究复合函数y ＝log a f (x )的单调性(最值)时，应先研究其定义域，分析复合的特点，结合函数u ＝f (x )及y ＝log a u 的单调性(最值)情况确定函数y ＝log a f (x )的单调性(最值)(其中a >0，且a ≠1)．以题试法3．已知f (x )＝log a (a x －1)(a >0且a ≠1)． (1)求f (x )的定义域； (2)判断函数f (x )的单调性．『典例』 (2012·大纲全国卷)已知x ＝ln π，y ＝log 52，z ＝e －12，则( )A ．x ＜y ＜zB ．z ＜x ＜yC ．z ＜y ＜xD ．y ＜z ＜x——————『高手招』——————————————————————————— 本题在比较三个数的大小时利用中间值，进行第一次比较时，中间值常选用的有0,1，由指数、对数式可知x >1,0<y <1，0<z <1，再进一步比较y 、z 的大小，其中对数log a N 的符号判定可简记为“同正异负”，即a 与N 同时大于1或同时大于0小于1，则log a N >0；反之，log a N <0.针对训练1．(2012·北京东城区综合练习)设a ＝log 123，b ＝⎝⎛⎭⎫130.3，c ＝ln π，则( ) A ．a b >c B ．a >c >b C ．b >a >cD ．b >c >a1．函数y ＝1－lgx ＋2的定义域为( ) A ．(0,8』 B ．(2,8』 C ．(－2,8』D ．『8，＋∞)2．(2012·安徽高考)(log 29)·(log 34)＝( ) A.14B.12 C ．2D ．43．若函数y ＝f (x )是函数y ＝a x (a ＞0，且a ≠1)的反函数，且f (2)＝1，则f (x )＝( ) A ．log 2x B.12x C ．log 12xD ．2x －24．(2011·天津高考)已知a ＝log 23.6，b ＝log 43.2，c ＝log 43.6，则( ) A ．a ＞b ＞c B ．a ＞c ＞b C ．b ＞a ＞cD ．c ＞a ＞b5．(2013·安徽名校模拟)函数y ＝log 2|x |x的大致图象是( )6．已知函数f (x )＝log 12|x －1|，则下列结论正确的是( )A ．f ⎝⎛⎭⎫－12<f (0)<f (3) B ．f (0)<f ⎝⎛⎭⎫－12<f (3)C ．f (3)<f ⎝⎛⎭⎫－12<f (0) D ．f (3)<f (0)<f ⎝⎛⎭⎫－12 7．(2012·长安一中质检)对任意的非零实数a ，b ，若a ⊗b ＝⎩⎨⎧b －1a，a 1)在区间『a,2a 』上的最大值与最小值之差为12，则a 等于________．10．计算下列各式． (1)lg 25＋lg 2·lg 50＋(lg 2)2； (2)lg 32－lg 9＋1·lg 27＋lg 8－lg 1 000lg 0.3·lg 1.2.11．说明函数y ＝log 2|x ＋1|的图象，可由函数y ＝log 2x 的图象经过怎样的变换而得到．并由图象指出函数的单调区间．12．若f (x )＝x 2－x ＋b ，且f (log 2a )＝b ，log 2f (a )＝2(a ≠1)． (1)求f (log 2x )的最小值及对应的x 值；(2)x 取何值时，f (log 2x )>f (1)，且log 2f (x )＜f (1)．1．(2012·山西四校联考)定义在R 上的函数f (x )满足f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 28－x ，x ≤0，f x －1－f x －2，x >0，则f (3)的值为( ) A ．1 B ．2 C ．－2D ．－32．已知f (x )是周期为2的奇函数，当0<x <1时，f (x )＝lg x ．设a ＝f ⎝⎛⎭⎫65，b ＝f ⎝⎛⎭⎫32，c ＝f ⎝⎛⎭⎫52，则( )A ．a 0且a ≠1)，满足对任意的x 1，x 2，当x 1<x 2≤a2时，f (x 1)－f (x 2)>0，求实数a 的取值范围．1．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 12x ，x >0，log 2－x ，x <0，若f (m )<f (－m )，则实数m 的取值范围是( )A ．(－1,0)∪(0,1)B ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)C ．(－1,0)∪(1，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(0,1)2．已知函数f (x )＝|lg x |，若0<a <b ，且f (a )＝f (b )，则2a ＋b 的取值范围是( ) A ．(22，＋∞) B ．『22，＋∞) C ．(3，＋∞)D ．『3，＋∞)3．化简：log 34273·log 5『412log 210－(33)23－7log 72』．4．(2012·上海徐汇二模)已知函数f (x )＝3－2log 2x ，g (x )＝log 2x . (1)当x ∈『1,4』时，求函数h (x )＝『f (x )＋1』·g (x )的值域；(2)如果对任意的x ∈『1,4』，不等式f (x 2)·f (x )>k ·g (x )恒成立，求实数k 的取值范围．答案『小题能否全取』1．『解析』选C ∵A ＝{y |y >0}，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫y |12<y <1，∴A ∩B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫y |12<y <1.2．『解析』选C 当x ＝1时y ＝0. 3．『解析』选B y ＝lg |x |是偶函数，由图象知在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增．4．『解析』由1－2log 6x ≥0，解得log 6x ≤12⇒0＜x ≤6，故所求定义域为(0， 6 』．『答案』(0， 6 』 5．『解析』由f (ab )＝1得ab ＝10，于是f (a 2)＋f (b 2)＝lg a 2＋lg b 2＝2(lg a ＋lg b )＝2lg(ab )＝2lg 10＝2.『答案』2典题导入『例1』『自主解答』 (1)12lg 3249－43lg 8＋lg 245＝12×(5lg 2－2lg 7)－43×32lg 2＋12(lg 5＋2lg 7) ＝52lg 2－lg 7－2lg 2＋12lg 5＋lg 7 ＝12lg 2＋12lg 5＝12lg(2×5)＝12. (2)由2a ＝5b ＝m 得a ＝log 2m ，b ＝log 5m ， ∴1a ＋1b ＝log m 2＋log m 5＝log m 10. ∵1a ＋1b＝2， ∴log m 10＝2，即m 2＝10. 解得m ＝10(∵m >0)．『答案』(1)12(2)10以题试法1．『答案』(1)原式＝lg 37×703－lg 23－2lg 3＋1＝lg 10－lg 3－12＝1－|lg 3－1|＝lg 3. (2)原式＝⎝⎛⎭⎫lg 4－lg 4＋lg 15lg 153－210×2－11＝⎝⎛⎭⎫－lg 15lg 153－2－1＝－32.典题导入『例2』『自主解答』 (1)由1－x >0，知x <1，排除选项A 、B ；设t ＝1－x (x <1)，因为t ＝1－x 为减函数，而y ＝ln t 为增函数，所以y ＝ln(1－x )为减函数，可排除D 选C.(2)法一：构造函数f (x )＝4x 和g (x )＝log a x ，当a >1时不满足条件，当0<a <1时，画出两个函数在⎝⎛⎦⎤0，12上的图象，可知，f ⎝⎛⎭⎫12<g ⎝⎛⎭⎫12，即2<log a 12，则a >22，所以a 的取值范围为⎝⎛⎭⎫22，1.法二：∵0<x ≤12，∴1<4x ≤2，∴log a x >4x >1，∴0<a <1，排除选项C ，D ；取a ＝12 ，x ＝12，则有412＝2，log 1212＝1，显然4x <log a x 不成立，排除选项A.『答案』 (1)C (2)B『解析』设f 1(x )＝(x －1)2，f 2(x )＝log a x ，要使当x ∈(1,2)时，不等式(x －1)2<log a x 恒成立，只需f 1(x )＝(x －1)2在(1,2)上的图象在f 2(x )＝log a x 图象的下方即可．当0<a <1时，显然不成立；当a >1时，如图，要使x ∈(1,2)时f 1(x )＝(x －1)2的图象在f 2(x )＝log a x 的图象下方，只需f 1(2)≤f 2(2)，即(2－1)2≤log a 2，又即log a 2≥1.所以1<a ≤2，即实数a 的取值范围是(1,2』．『答案』(1,2』以题试法2．『解析』选C 由题意可得f (1－x )＝⎩⎪⎨⎪⎧31－x，x ≥0，log 131－x ，x <0，因此当x ≥0时，y ＝f (1－x )为减函数，且y >0；当x <0时，y ＝f (1－x )为增函数，且y <0.典题导入『例3』『自主解答』 (1)因为f (x )的定义域为R ，所以ax 2＋2x ＋3>0对任意x ∈R 恒成立．显然a ＝0时不合题意，从而必有⎩⎪⎨⎪⎧ a >0，Δ<0，即⎩⎪⎨⎪⎧a >0，4－12a <0，解得a >13.即a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫13，＋∞. (2)因为f (1)＝1，所以log 4(a ＋5)＝1，因此a ＋5＝4，a ＝－1，这时f (x )＝log 4(－x 2＋2x ＋3)．由－x 2＋2x ＋3>0得－1<x <3，即函数定义域为(－1,3)．令g (x )＝－x 2＋2x ＋3.则g (x )在(－1,1)上单调递增，在(1,3)上单调递减．又y ＝log 4x 在(0，＋∞)上单调递增，所以f (x )的单调递增区间是(－1,1)，单调递减区间是(1,3)． (3)假设存在实数a 使f (x )的最小值为0，则h (x )＝ax 2＋2x ＋3应有最小值1，因此应有⎩⎪⎨⎪⎧a >0，3a －1a ＝1，解得a ＝12.故存在实数a ＝12使f (x )的最小值为0.以题试法3．『答案』(1)由a x －1>0得a x >1，当a >1时，x >0；当0<a <1时，x <0.∴当a >1时，f (x )的定义域为(0，＋∞)；当0<a <1时，f (x )的定义域为(－∞，0)．(2)当a >1时，设0<x 1<x 2，则1<ax 1<ax 2，故0<ax 1－1<ax 2－1，∴log a (ax 1－1)<log a (ax 2－1)．∴f (x 1)<f (x 2)．故当a >1时，f (x )在(0，＋∞)上是增函数．类似地，当0<a <1时，f (x )在(－∞，0)上为增函数．『典例』『巧思妙解』因为ln π＞ln e ＝1，log 52＜log 55＝1，所以x ＞y .故排除A 、B ；又因为log 52＜log 55＝12，e －12＝1e ＞12，所以z ＞y .故排除C. 『答案』 D针对训练1．『解析』选A a ＝log 123<log 121＝0,0ln e ＝1，故a ⎝⎛⎭⎫320＝1；因为sin 2 012π3＝sin ⎝⎛⎭⎫670π＋2π3＝sin 2π3＝32<1，函数y ＝ln x 为(0，＋∞)上的增函数，所以ln sin 2 012π3＝ln 32<ln 1＝0；因为1>12>13，而函数y ＝log 13x 为(0，＋∞)上的减函数，所以0＝log 131<c ＝log 1312<log 1313＝1.所以b <0<c <1<a ，故选B.1．『解析』选C 由题意可知，1－lg(x ＋2)≥0，整理得lg(x ＋2)≤lg 10，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2≤10，x ＋2>0，解得－2<x ≤8，故函数y ＝1－lgx ＋2的定义域为(－2,8』． 2．『解析』选D (log 29)·(log 34)＝lg 9lg 2×lg 4lg 3＝2lg 3lg 2×2lg 2lg 3＝4. 3．『解析』选A f (x )＝log a x ，∵f (2)＝1，∴log a 2＝1.∴a ＝2.∴f (x )＝log 2x .4．『解析』选B a ＝log 23.6＝log 43.62＝log 412.96，y ＝log 4x (x ＞0)是单调增函数，而3.2＜3.6＜12.96，∴a ＞c ＞b .5．『解析』选C 由于log 2|－x |－x＝－log 2|x |x ，所以函数y ＝log 2|x |x 是奇函数，其图象关于原点对称．当x >0时，对函数求导可知函数图象先增后减，结合选项可知选C.6．『解析』选C 依题意得f (3)＝log 122＝－1<0，log 122<f ⎝⎛⎭⎫－12＝log 1232<log 121，即－1<f ⎝⎛⎭⎫－12<0，又f (0)＝log 121＝0，因此有f (3)<f ⎝⎛⎭⎫－12<f (0)． 7．『解析』∵lg 10 000＝lg 104＝4，⎝⎛⎭⎫12－2＝4，∴lg 10 000⊗⎝⎛⎭⎫12－2＝4＋14＝54.『答案』548．『解析』令t ＝x 2－6x ＋17＝(x －3)2＋8≥8，y ＝log 12t 为减函数，所以有log 12t ≤log 128＝－3.『答案』(－∞，－3』9．『解析』∵a ＞1，∴f (x )＝log a x 在『a,2a 』上为增函数．∴log a 2a －log a a ＝12，解得a ＝4. 『答案』410．『答案』(1)原式＝(lg 2)2＋(1＋lg 5)lg 2＋lg 52＝(lg 2＋lg 5＋1)lg 2＋2lg 5＝(1＋1)lg 2＋2lg 5＝2(lg 2＋lg 5)＝2.(2)原式＝lg 32－2lg 3＋1·⎝⎛⎭⎫32lg 3＋3lg 2－32lg 3－1·lg 3＋2lg 2－1 ＝1－lg 3·32lg 3＋2lg 2－1lg 3－1·lg 3＋2lg 2－1＝－32. 11．『答案』作出函数y ＝log 2x 的图象，再作其关于y 轴对称的图形得到函数y ＝log 2|x |的图象，再将图象向左平移1个单位长度就得到函数y ＝log 2|x ＋1|的图象(如图所示)．由图知，函数y ＝log 2|x ＋1|的递减区间为(－∞，－1)，递增区间为(－1，＋∞)．12．『答案』(1)∵f (x )＝x 2－x ＋b ，∴f (log 2a )＝(log 2a )2－log 2a ＋b .由已知得(log 2a )2－log 2a ＋b ＝b ，∴log 2a (log 2a －1)＝0.∵a ≠1，∴log 2a ＝1，即a ＝2.又log 2f (a )＝2，∴f (a )＝4.∴a 2－a ＋b ＝4.∴b ＝4－a 2＋a ＝2.故f (x )＝x 2－x ＋2.从而f (log 2x )＝(log 2x )2－log 2x ＋2＝⎝⎛⎭⎫log 2x －122＋74. ∴当log 2x ＝12，即x ＝2时，f (log 2x )有最小值74. (2)由题意⎩⎪⎨⎪⎧log 2x 2－log 2x ＋2＞2，log 2x 2－x ＋2＜2 ⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＞2或0＜x ＜1，－1＜x ＜2⇒0＜x ＜1.1．『解析』选D 依题意得f (3)＝f (2)－f (1)＝『f (1)－f (0)』－f (1)＝－f (0)＝－log 28＝－3. 2．『解析』选D 已知f (x )是周期为2的奇函数，当0<x <1时，f (x )＝lg x ，则a ＝f ⎝⎛⎭⎫65＝f ⎝⎛⎭⎫－45＝－f ⎝⎛⎭⎫45＝－lg 45>0， b ＝f ⎝⎛⎭⎫32＝f ⎝⎛⎭⎫－12＝－f ⎝⎛⎭⎫12＝－lg 12>0， c ＝f ⎝⎛⎭⎫52＝f ⎝⎛⎭⎫12＝lg 12<0. 又因为lg 45>lg 12，所以0<－lg 45<－lg 12. 所以c <a 0，所以函数f (x )在⎝⎛⎦⎤－∞，a 2上单调递减．令t ＝x 2－ax ＋3，则二次函数t ＝x 2－ax ＋3的对称轴为x ＝a 2，其在⎝⎛⎦⎤－∞，a 2上单调递减．由复合函数的单调性，可知y ＝log a x 为单调增函数，故a >1.由对数函数的定义域，可知在区间⎝⎛⎦⎤－∞，a 2上，t >0恒成立，即x 2－ax ＋3>0在区间⎝⎛⎦⎤－∞，a 2上恒成立．而函数t ＝x 2－ax ＋3在区间⎝⎛⎦⎤－∞，a 2上的最小值为⎝⎛⎭⎫a 22－a ×a 2＋3＝3－a 24.故3－a 24>0，解得|a |<2 3.综上可得a 的取值范围是(1,23)．1．『解析』选C 当m >0时，f (m )<f (－m )⇒log 12m <log 2m ⇒m >1；当m <0时，f (m )<f (－m )⇒log 2(－m )<log 12(－m )⇒－1<m <0.所以，m 的取值范围是(－1,0)∪(1，＋∞)．2．『解析』选B 由于函数f (x )在区间(0,1』上单调递减，在区间『1，＋∞)上单调递增，当0<a 1，故f (a )＝|lg a |＝－lg a ，f (b )＝|lg b |＝lg b ．由f (a )＝f (b )，得－lg a ＝log b ，即lg(ab )＝0，故ab ＝1.则2a ＋b ≥22ab ＝22，当且仅当2a ＝b ，即a ＝22，b ＝2时取等号． 3．『答案』原式＝log 33343·log 5『2log 210－(332)23－7log 72』＝⎝⎛⎭⎫34log 33－log 33·log 5(10－3－2)＝⎝⎛⎭⎫34－1·log 55＝－14. 4．『答案』(1)h (x )＝(4－2log 2x )·log 2x ＝－2(log 2x －1)2＋2，因为x ∈『1,4』，所以log 2x ∈『0,2』．故函数h (x )的值域为『0,2』．(2)由f (x 2)·f (x )>k ·g (x )得(3－4log 2x )(3－log 2x )>k ·log 2x ，令t ＝log 2x ，因为x ∈『1,4』，所以t ＝log 2x ∈『0,2』，所以(3－4t )(3－t )>k ·t 对一切t ∈『0,2』恒成立，①当t ＝0时，k ∈R ；②当t ∈(0,2』时，k <3－4t3－t t 恒成立，即k <4t ＋9t －15恒成立，因为4t ＋9t ≥12，当且仅当4t ＝9t ，即t ＝32时取等号，所以4t ＋9t－15的最小值为－3，即k ∈(－∞，－3)．。

2019-2020年高中数学《对数函数》教案19 新人教A版必修1

2019-2020年高中数学《对数函数》教案19 新人教A 版必修1教学目标:(1)进一步理解对数函数的图象和性质；(2)熟练应用对数函数的图象和性质，解决一些综合问题；(3)通过例题和练习的讲解与演练，培养学生分析问题和解决问题的能力．教学重点: 对数函数的图象和性质．教学难点: 对数函数的性质的综合运用．教学过程: 一.知识回顾1.根据对数函数的图象和性质填空．(1)已知函数,则当时, ；当时, ；当时, ；当时, ．(2)已知函数，则当时, ；当时, ；当时, ；当时, ；当时，． 2.函数x y x y x y lg ,log ,log 52===的图象如图所示,回答下列问题． (1)说明哪个函数对应于哪个图象,并解释为什么？(2)函数与且有什么关系？图象之间又有什么特殊的关系？(3)以x y x y x y lg ,log ,log 52===的图象为基础,在同一坐标系中画出x y x y x y 1015121log ,log ,log ===的图象;○1 ○2 ○31234(4)已知函数x y x y x y x y a a a a 4321log ,log ,log ,log ====的图象,则底数之间的关系为 .二.数学应用例1.比较大小： (1) ，且； (2) ，．例2.已知恒为正数，求的取值范围．例3.求函数的定义域及值域．例4.(1)函数在[2，4]上的最大值比最小值大1，求的值；(2)求函数的最小值．例5.已知函数，求函数的定义域，并讨论它的奇偶性和单调性．例6.求函数)54(log )(22.0++-=x x y x f 的单调区间．练习:求函数的单调区间．三.作业布置2019-2020年高中数学《对数函数》教案2 新人教A版必修1教学目标：掌握对数函数的定义、图象和性质，会运用对数函数的定义域求函数的定义域，会利用单调性比较两个对数的大小.教学重点：掌握对数函数的定义、图象和性质.教学过程：1、习对数的概念2、分析对数函数的定义探究对数函数的图象、性质.R+R增函数（1，0）3、例子例1 求下列函数的定义域：(其中a>0,a≠1)(1)y=log a x2 (2)y=log a(4-x)练习1 求函数y=log a(9-x2)的定义域例2 比较下列各组数中两个值的大小：(1) log23.4 , log28.5 ⑵ log0.31.8 , log0.32.7⑶ log a5.1 , log a5.9 ( a＞0 , 且a≠1 ) 练习2: 比较下列各题中两个值的大小:⑴ log 106 log 108 ⑵ log 0.56 log 0.54 ⑶ log 0.10.5 log 0.10.6 ⑷ log 1.50.6 log 1.50.4 练习3：已知下列不等式，比较正数m ，n 的大小： (1) log 3 m < log 3 n (2) log 0.3 m > log 0.3 n (3) log a m < log a n (0<a<1) (4) log a m > log a n (a>1) 例3 填空题：(1)log 20.3____0 (2)log 0.75____ 0 (3)log 34____ 0 (4)log 0.60.5____ 0 思考：log a b>0时a 、b 的范围是____________, log a b<0时a 、b 的范围是____________。

高考数学第一轮复习对数与对数函数学案理-人教版高三全册数学学案

对数与对数函数一、知识梳理：（阅读教材必修1第62页—第76页）1、对数与对数的运算性质（1）、一般地，如果 (a>0,且) 那么数x叫做以a为底的对数，记做x= ,其中a叫做对数的底，叫做对数的真数。

（2）、以10为底的对数叫做常用对数，并把记为lgN, 以e为底的对数称为自然对数，并把记为lnN.（3）、根据对数的定义，可以得到对数与指数和关系：（4）、零和负数没有对数； =1； =0；=N（5）、对数的运算性质：如果，M>0,N>0 ，那么=+==n（n）换底公式：=对数恒等式：=N2、对数函数与对数函数的性质（1）、一般地，我们把函数f(x)=)叫做对函数，其中x是自变量，函数的定义域是（0，+。

（2）、对数函数的图象及性质图象的性质：①定义域②值域③单调性④奇偶性⑤周期性⑥特殊点⑦特殊线图象分a1 与a<1两种情况。

3、反函数：对数函数f(x)=)与指数函数f(x)=)互为反函数。

原函数的定义域是反函数的值域，原函数的值域是反函数的定义域。

互为反函数的图象在同一坐标系关于直线y=x 对称。

【关于反函数注意大纲的要求】二、题型探究探究一：对数的运算例1：【2015高考天津，理7改编】已知定义在R 上的函数记, b=, c=,则,,a b c 的大小关系为( )（A ）a b c << （B ）a c b << （C ）c a b << （D ）c b a << 【答案】C 【解析】：因为， b=, c=【考点定位】指数式、对数式的运算. 例2：【2014辽宁高考理第3题】已知132a -=，21211log ,log 33b c ==，则（） A ．a b c >> B ．a c b >> C ．c a b >> D ．c b a >>例3：【2015高考浙江，理12】若4log 3a =，则22aa-+= ．【答案】334.【考点定位】对数的计算探究二：对数函数及其性质例4：【2014江西高考理第2题】函数)ln()(2x x x f -=的定义域为（） A.)1,0( B. ]1,0[ C. ),1()0,(+∞-∞ D. ),1[]0,(+∞-∞例5：已知，若函数y=的定义域为R ，函数恒为正数，求实数a 的取值范围。

高考数学一轮复习第二章函数导数及其应用第六节对数与对数函数学案文含解析新人教A版

高考数学一轮复习第二章函数导数及其应用第六节对数与对数函数学案文含解析新人教A 版第六节对数对数函数2019考纲考题考情1．对数的概念 (1)对数的定义如果a x＝N (a ＞0，且a ≠1)，那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记作x ＝log a N ，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数。

(2)几种常见对数(1)对数的性质 ①alog aN＝N (a >0且a ≠1，N >0)。

②log a a N＝N (a ＞0，且a ≠1)。

(2)对数的重要公式①换底公式：log b N ＝log a Nlog a b (a ，b 均大于零，且不等于1，N >0)。

②log a b ＝1log b a，推广log a b ·log b c ·log c d ＝log a d 。

(3)对数的运算法则如果a ＞0，且a ≠1，M ＞0，N ＞0，那么 ①log a (MN )＝log a M ＋log a N 。

②log a M N＝log a M －log a N 。

③log a M n＝n log a M (n ∈R )。

④log am M n ＝n mlog a M (m ，n ∈R )。

3．对数函数的图象与性质4.y ＝a x与y ＝log a x (a ＞0，a ≠1)的关系指数函数y ＝a x与对数函数y ＝log a x 互为反函数，它们的图象关于直线y ＝x 对称。

1．指数与对数的等价关系：a x＝N ⇔x ＝log a N 。

2．换底公式的三个重要结论 (1)log a b ＝1log b a； (2)log am b n＝n mlog a b ；(3)log a b ·log b c ·log c d ＝log a d 。

3．对数函数的图象与底数大小的比较如图，作直线y ＝1，则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数。

高三数学人教版A版数学(理)高考一轮复习教案：2.6 对数与对数函数 Word版含答案

第六节对数与对数函数对数与对数函数(1)理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用．(2)理解对数函数的概念；理解对数函数的单调性，掌握函数图象通过的特殊点．(3)知道对数函数是一类重要的函数模型．(4)了解指数函数y ＝a x 与对数函数y ＝log a x 互为反函数(a ＞0，且a ≠1)．知识点一对数及对数运算 1．对数的定义一般地，如果a x ＝N (a >0，且a ≠1)，那么数x 叫作以a 为底N 的对数，记作x ＝log a _N ，其中a 叫作对数的底数，N 叫作真数．2．对数的性质 (1)log a 1＝0，log a a ＝1. (2)a log a N ＝N ，log a a N ＝N . (3)负数和零没有对数． 3．对数的运算性质如果a >0，且a ≠1，M >0，N >0，那么 (1)log a (MN )＝log a M ＋log a N . (2)log aMN＝log a M －log a N . (3)log a M n ＝n log a M (n ∈R )．(4)换底公式log a b ＝log m blog m a (a >0且a ≠1，b >0，m >0，且m ≠1).必记结论1．指数式与对数式互化：a x ＝N ⇔x ＝log a N . 2．对数运算的一些结论：①log am b n ＝nm log a b .②log a b ·log b a ＝1.③log a b ·log b c ·log c d ＝log a d .易误提醒在运算性质log a M n ＝n log a M 中，易忽视M ＞0.[自测练习]1．(2015·临川一中模拟)计算⎝⎛⎭⎫lg 1125－lg 82÷4－12＝________.解析：本题考查指数和对数的运算性质．由题意知原式＝(lg 5－3－lg 23)2÷2－1＝(－3lg 5－3lg 2)2×2＝9×2＝18.答案：18 2．lg427－lg 823＋lg 75＝________. 解析：原式＝lg 4＋12lg 2－lg 7－23lg 8＋lg 7＋12lg 5＝2lg 2＋12(lg 2＋lg 5)－2lg 2＝12.答案：12知识点二对数函数定义、图象与性质定义函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)叫作对数函数图象a >10<a <1性质定义域：(0，＋∞)值域：R当x ＝1时，y ＝0，即过定点(1,0)当0<x <1时， y ∈(－∞，0)；当x >1时， y ∈(0，＋∞) 当0<x <1时， y ∈(0，＋∞)；当x >1时， y ∈(－∞，0) 在(0，＋∞)上为增函数在(0，＋∞)上为减函数易误提醒解决与对数函数有关的问题时易漏两点： (1)函数的定义域． (2)对数底数的取值范围．必记结论1．底数的大小决定了图象相对位置的高低；不论是a ＞1还是0＜a ＜1，在第一象限内，自左向右，图象对应的对数函数的底数逐渐变大．2．对数函数y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1)的图象过定点(1,0)，且过点(a,1)，⎝⎛⎭⎫1a ，－1，函数图象只在第一、四象限．[自测练习]3．已知a ＞0，a ≠1，函数y ＝a x 与y ＝log a (－x )的图象可能是( )解析：函数y ＝log a (－x )的图象与y ＝log a x 的图象关于y 轴对称，符合条件的只有B. 答案：B4．函数y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1)在[2,4]上的最大值与最小值的差是1，则a 的值为________．解析：(1)当a ＞1时，函数y ＝log a x 在[2,4]上是增函数，所以log a 4－log a 2＝1，即log a 42＝1，所以a ＝2. (2)当0＜a ＜1时，函数y ＝log a x 在[2,4]上是减函数，所以log a 2－log a 4＝1，即log a 24＝1，所以a ＝12.由(1)(2)知a ＝2或a ＝12.答案：2或12考点一对数式的化简与求值|1．(2015·内江三模)lg51 000－823＝( )A.235 B ．－175 C ．－185 D ．4 解析：lg 51 000－823＝lg 1035－(23)23＝35－4＝－175.答案：B2.(log 23)2－4log 23＋4＋log 2 13＝( )A ．2B ．2－2log 2 3C ．－2D ．2log 2 3－2解析：(log 23)2－4log 23＋4＝(log 23－2)2＝2－log 23，又log 213＝－log 23，两者相加即为B.答案：B3．(2015·高考浙江卷)若a ＝log 43，则2a ＋2－a ＝________. 解析：原式＝2log 4 3＋2－log 4 3＝3＋13＝433.答案：433对数运算的一般思路(1)首先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后正用对数运算性质化简合并．(2)将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算性质，转化为同底对数真数的积、商、幂的运算．考点二对数函数图象及应用|(1)(2016·福州模拟)函数y ＝lg |x －1|的图象是( )[解析] 因为y ＝lg |x －1|＝⎩⎪⎨⎪⎧lg (x －1)，x ＞1，lg (1－x )，x ＜1.当x ＝1时，函数无意义，故排除B 、D. 又当x ＝2或0时，y ＝0，所以A 项符合题意． [答案] A(2)当0＜x ≤12时，4x ＜log a x ，则a 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫0，22 B.⎝⎛⎭⎫22，1C ．(1，2)D ．(2，2)[解析] 法一：构造函数f (x )＝4x 和g (x )＝log a x ，当a ＞1时不满足条件，当0＜a ＜1时，画出两个函数在⎝⎛⎦⎤0，12上的图象，可知，f ⎝⎛⎭⎫12＜g ⎝⎛⎭⎫12，即2＜log a 12，则a ＞22，所以a 的取值范围为⎝⎛⎭⎫22，1.法二：∵0＜x ≤12，∴1＜4x ≤2，∴log a x ＞4x ＞1，∴0＜a ＜1，排除选项C ，D ；取a ＝12，x ＝12，则有412＝2，log 12 12＝1，显然4x ＜log a x 不成立，排除选项A.[答案] B应用对数型函数的图象可求解的两类问题(1)对一些可通过平移、对称变换作出其图象的对数型函数，在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时，常利用数形结合思想．(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解．1．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|lg x |，0＜x ≤10，－12x ＋6，x ＞10，若a ，b ，c 互不相等，且f (a )＝f (b )＝f (c )，则abc 的取值范围是( )A ．(1,10)B ．(5,6)C ．(10,12)D ．(20,24)解析：作出f (x )的大致图象，不妨设a ＜b ＜c ，因为a ，b ，c 互不相等，且f (a )＝f (b )＝f (c )，由函数的图象可知10＜c ＜12，且|lg a |＝|lg b |，因为a ≠b ，所以lg a ＝－lg b ，可得ab ＝1，所以abc ＝c ∈(10,12)．答案：C考点三对数函数性质及应用|已知函数f (x )＝log a (x ＋1)－log a (1－x )，a ＞0且a ≠1. (1)求f (x )的定义域；(2)判断f (x )的奇偶性并予以证明； (3)当a ＞1时，求使f (x )＞0的x 的解集． [解] (1)要使函数f (x )有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1＞0，1－x ＞0，解得－1＜x ＜1. 故所求函数f (x )的定义域为(－1,1)．(2)由(1)知f (x )的定义域为(－1,1)，且f (－x )＝log a (－x ＋1)－log a (1＋x ) ＝－[log a (x ＋1)－log a (1－x )]＝－f (x )，故f (x )为奇函数．(3)因为当a ＞1时，f (x )在定义域(－1,1)内是增函数，所以f (x )＞0⇔x ＋11－x ＞1，解得0＜x ＜1.所以使f (x )＞0的x 的解集是(0,1)．利用对数函数的性质研究对数型函数性质，要注意以下四点：一是定义域；二是底数与1的大小关系；三是如果需将函数解析式变形，一定确保其等价性；四是复合函数的构成，即它是由哪些基本初等函数复合而成的．2．已知函数f (x )＝log a (8－ax )(a ＞0，a ≠1)，若f (x )＞1在区间[1,2]上恒成立，求实数a 的取值范围．解：当a ＞1时，f (x )＝log a (8－ax )在[1,2]上是减函数，由f (x )＞1恒成立，则f (x )min ＝log a (8－2a )＞1，解之得1＜a ＜83.若0＜a ＜1时，f (x )在x ∈[1,2]上是增函数，由f (x )＞1恒成立，则f (x )min ＝log a (8－a )＞1，且8－2a ＞0，∴a ＞4，且a ＜4，故不存在．综上可知，实数a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫1，83. 5.插值法比较幂、对数大小【典例】 (1)设a ＝0.50.5，b ＝0.30.5，c ＝log 0.3 0.2，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．c ＜b ＜a B ．a ＜b ＜c C ．b ＜a ＜cD ．a ＜c ＜b(2)已知a ＝5log 23.4，b ＝5log 43.6，c ＝⎝⎛⎭⎫15log 30.3，则( ) A ．a ＞b ＞c B ．b ＞a ＞c C ．a ＞c ＞bD ．c ＞a ＞b(3)已知函数y ＝f (x )的图象关于y 轴对称，且当x ∈(－∞，0)时，f (x )＋xf ′(x )＜0成立，a ＝(20.2)·f (20.2)，b ＝(log π3)·f (log π3)，c ＝(log 39)·f (log 39)，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．b ＞a ＞cB ．c ＞a ＞bC ．c ＞b ＞aD ．a ＞c ＞b[思路点拨] (1)利用幂函数y ＝x 0.5和对数函数y ＝log 0.3x 的单调性，结合中间值比较a ，b ，c 的大小；(2)化成同底的指数式，只需比较log 23.4、log 43.6、－log 3 0.3＝log 3 103的大小即可，可以利用中间值或数形结合进行比较；(3)先判断函数φ(x )＝xf (x )的单调性，再根据20.2，log π3，log 39的大小关系求解． [解析] (1)根据幂函数y ＝x 0.5的单调性，可得0.30.5＜0.50.5＜10.5＝1，即b ＜a ＜1；根据对数函数y ＝log 0.3x 的单调性，可得log 0.30.2＞log 0.30.3＝1，即c ＞1. 所以b ＜a ＜c .(2)c ＝⎝⎛⎭⎫15log 3 0.3＝5－log 3 0.3＝5log 3 103. 法一：在同一坐标系中分别作出函数y ＝log 2 x ，y ＝log 3x ，y ＝log 4x 的图象，如图所示．由图象知： log 2 3.4＞log 3 103＞log 43.6. 法二：∵log 3 103＞log 33＝1，且103＜3.4， ∴log 3103＜log 3 3.4＜log 2 3.4. ∵log 4 3.6＜log 4 4＝1，log 3 103＞1， ∴log 4 3.6＜log 3 103. ∴log 2 3.4＞log 3103＞log 4 3.6. 由于y ＝5x 为增函数，∴5log 2 3.4＞5log 3103＞5log 4 3.6. 即5log 2 3.4＞⎝⎛⎭⎫15log 3 0.3＞5log 4 3.6，故a ＞c ＞b . (3)因为函数y ＝f (x )关于y 轴对称，所以函数y ＝xf (x )为奇函数．因为[xf (x )]′＝f (x )＋xf ′(x )，且当x ∈(－∞，0)时，[xf (x )]′＝f (x )＋xf ′(x )＜0，则函数y ＝xf (x )在(－∞，0)上单调递减；因为y ＝xf (x )为奇函数，所以当x ∈(0，＋∞)时，函数y ＝xf (x )单调递减．因为1＜20.2＜2,0＜log π3＜1，log 39＝2，所以0＜log π 3＜20.2＜log 3 9，所以b ＞a ＞c ，选A. [答案] (1)C (2)C (3)A[方法点评] (1)比较幂、对数的大小可以利用数形结合和引入中间量利用函数单调性两种方法．(2)解题时要根据实际情况来构造相应的函数，利用函数单调性进行比较，如果指数相同，而底数不同则构造幂函数，若底数相同而指数不同则构造指数函数，若引入中间量，一般选0或1.[跟踪练习] 设a ＞b ＞0，a ＋b ＝1且x ＝⎝⎛⎭⎫1a b ，y ＝log ⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ab ，z ＝log 1b a ，则x ，y ，z 的大小关系是( )A ．y ＜x ＜zB ．z ＜y ＜xC ．y ＜z ＜xD ．x ＜y ＜z解析：用中间量比较大小．由a ＞b ＞0，a ＋b ＝1，可得0＜b ＜12＜a ＜1，所以1b ＞2＞1a ＞1，所以x ＝⎝⎛⎭⎫1a b＞1，y ＝log ⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ab ＝log ⎝⎛⎭⎫1ab ab ＝－1,0＞z ＝log 1b a ＞log 1b b ＝－1，则y ＜z ＜x ，故选C.答案：CA 组考点能力演练1．函数f (x )＝log a |x |＋1(0＜a ＜1)的图象大致为( )解析：由函数f (x )的解析式可确定该函数为偶函数，图象关于y 轴对称．设g (x )＝log a |x |，先画出x ＞0时，g (x )的图象，然后根据g (x )的图象关于y 轴对称画出x ＜0时g (x )的图象，最后由函数g (x )的图象向上整体平移一个单位即得f (x )的图象，结合图象知选A.答案：A2．设a ＝30.5，b ＝0.53，c ＝log 0.5 3，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A ．b ＜c ＜a B ．b ＜a ＜c C ．c ＜b ＜aD ．c ＜a ＜b解析：因为a ＝30.5＞30＝1,0＜b ＝0.53＜0.50＝1，c ＝log 0.5 3＜log 0.5 1＝0，所以c ＜0＜b ＜1＜a ，故选C.答案：C3．(2015·郑州二检)若正数a ，b 满足2＋log 2a ＝3＋log 3b ＝log 6 (a ＋b )，则1a ＋1b 的值为( )A ．36B ．72C ．108D.172解析：设2＋log 2a ＝3＋log 3b ＝log 6(a ＋b )＝k ，可得a ＝2k －2，b ＝3k －3，a ＋b ＝6k ，所以1a ＋1b ＝a ＋b ab ＝6k 2k －23k －3＝108.所以选C. 答案：C4．(2015·长春质检)已知函数f (x )＝log a |x |在(0，＋∞)上单调递增，则( ) A ．f (3)＜f (－2)＜f (1) B ．f (1)＜f (－2)＜f (3) C ．f (－2)＜f (1)＜f (3) D ．f (3)＜f (1)＜f (－2)解析：因为f (x )＝log a |x |在(0，＋∞)上单调递增，所以a ＞1，f (1)＜f (2)＜f (3)．又函数f (x )＝log a |x |为偶函数，所以f (2)＝f (－2)，所以f (1)＜f (－2)＜f (3)．答案：B5．已知函数f (x )＝log 2 ⎝⎛⎭⎫21－x ＋t 是奇函数，则使f (x )＜0的x 的取值范围是( )A ．(－1,0)B ．(0,1)C ．(－∞，0)D ．(－∞，0)∪(1，＋∞)解析：由f (－x )＝－f (x )得log 2 ⎝⎛⎭⎫21＋x ＋t ＝－log 2 ⎝⎛⎭⎫21－x ＋t ，所以21＋x＋t ＝121－x ＋t ，整理得1－x 2＝(2＋t )2－t 2x 2，可得t 2＝1且(t ＋2)2＝1，所以t ＝－1，则f (x )＝log 21＋x1－x＜0，即⎩⎪⎨⎪⎧1＋x 1－x ＞01＋x 1－x ＜1，解得－1＜x ＜0.答案：A6．(2015·深圳一模)lg 2＋lg 5＋20＋⎝⎛⎭⎫5132×35＝________. 解析：lg 2＋lg 5＋20＋⎝⎛⎭⎫5132×35＝lg 10＋1＋523×513＝32＋5＝132. 答案：1327．若log a (a 2＋1)＜log a 2a ＜0，则实数a 的取值范围是________．解析：∵a 2＋1＞1，log a ()a 2＋1＜0，∴0＜a ＜1. 又log a 2a ＜0，∴2a ＞1，∴a ＞12.∴实数a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫12，1. 答案：⎝⎛⎭⎫12，18．(2015·成都摸底)关于函数f (x )＝lg x 2＋1x ，有下列结论：①函数f (x )的定义域是(0，＋∞)； ②函数f (x )是奇函数； ③函数f (x )的最小值为lg 2； ④当x ＞0时，函数f (x )是增函数．其中正确结论的序号是________(写出所有你认为正确的结论的序号)．解析：函数f (x )＝lg x 2＋1x 的定义域为(0，＋∞)，其为非奇非偶函数，即得①正确，②不正确；由f (x )＝lg x 2＋1x ＝lg ⎝⎛⎭⎫x ＋1x ≥lg ⎝⎛⎭⎫2 x ×1x ＝lg 2，得③正确；函数u ＝x ＋1x 在x ∈(0,1)时为减函数，在x ∈(1，＋∞)时为增函数，函数y ＝lg u 为增函数，所以函数f (x )在x ∈(0,1)时为减函数，在x ∈(1，＋∞)时为增函数，即得命题④不正确．故应填①③.答案：①③9．设f (x )＝log a (1＋x )＋log a (3－x )(a >0，a ≠1)，且f (1)＝2. (1)求a 的值及f (x )的定义域； (2)求f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，32上的最大值．解：(1)∵f (1)＝2，∴log a 4＝2(a >0，a ≠1)，∴a ＝2. 由⎩⎪⎨⎪⎧ 1＋x >0，3－x >0，得x ∈(－1,3)， ∴函数f (x )的定义域为(－1,3)．(2)f (x )＝log 2(1＋x )＋log 2(3－x )＝log 2(1＋x )(3－x )＝log 2[－(x －1)2＋4]，∴当x ∈(－1,1]时，f (x )是增函数；当x ∈(1,3)时，f (x )是减函数，∴函数f (x )在⎣⎡⎦⎤0，32上的最大值是f (1)＝log 24＝2. 10．已知f (x )＝log a x (a ＞0且a ≠1)，如果对于任意的x ∈⎣⎡⎦⎤13，2都有|f (x )|≤1成立，求a的取值范围．解：由已知f (x )＝log a x ，当0＜a ＜1时，⎪⎪⎪⎪f ⎝⎛⎭⎫13－|f (2)|＝log a 13＋log a 2＝log a 23＞0，当a ＞1时，⎪⎪⎪⎪f ⎝⎛⎭⎫13－|f (2)|＝－log a 13－log a 2＝－log a 23＞0，故⎪⎪⎪⎪f ⎝⎛⎭⎫13＞|f (2)|总成立．则y ＝|f (x )|的图象如图．要使x ∈⎣⎡⎦⎤13，2时恒有|f (x )|≤1，只需⎪⎪⎪⎪f ⎝⎛⎭⎫13≤1，即－1≤log a 13≤1，即log a a －1≤log a 13≤log a a ，当a ＞1时，得a －1≤13≤a ，即a ≥3；当0＜a ＜1时，得a －1≥13≥a ，得0＜a ≤13. 综上所述，a 的取值范围是⎝⎛⎦⎤0，13∪[3，＋∞)． B 组高考题型专练1．(2014·高考福建卷)若函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)的图象如图所示，则下列函数图象正确的是( )解析：由y ＝log a x 的图象可知log a 3＝1，所以a ＝3.对于选项A ：y ＝3－x ＝⎝⎛⎭⎫13x 为减函数，A 错误；对于选项B ：y ＝x 3，显然满足条件；对于选项C ：y ＝(－x )3＝－x 3在R 上为减函数，C 错误；对于选项D ：y ＝log 3(－x )，当x ＝－3时，y ＝1，D 错误．故选B.答案：B2．(2014·高考山东卷)已知函数y ＝log a (x ＋c )(a ，c 为常数，其中a ＞0，a ≠1)的图象如图，则下列结论成立的是( )A ．a ＞1，c ＞1B ．a ＞1,0＜c ＜1C ．0＜a ＜1，c ＞1D ．0＜a ＜1,0＜c ＜1解析：由题图可知，函数在定义域内为减函数，所以0＜a ＜1.又当x ＝0时，y ＞0，即log a c ＞0，所以0＜c ＜1.答案：D3.(2015·高考北京卷)如图，函数f (x )的图象为折线ACB ，则不等式f (x )≥log 2 (x ＋1)的解集是( ) A ．{x |－1＜x ≤0}B ．{x |－1≤x ≤1}C ．{x |－1＜x ≤1}D ．{x |－1＜x ≤2}解析：在平面直角坐标系中作出函数y ＝log 2(x ＋1)的图象如图所示．所以f (x )≥log 2 (x ＋1)的解集是{x |－1＜x ≤1}，所以选C. 答案：C4．(2015·高考浙江卷)log 222＝________，2log 2 3＋log 4 3＝________. 解析：log 222＝log 22－12＝－12，2log 2 3＋log 4 3＝232log 2 3＝2log 2 332＝27＝3 3. 答案：－123 3 5．(2015·高考北京卷)2－3,312，log 25三个数中最大的数是________．解析：因为2－3＝123＝18，312＝3≈1.732，而log 24＜log 25，即log 25＞2，所以三个数中最大的数是log 25.答案：log 25。