第二章 数理逻辑
离散数学-第一部分 数理逻辑-第二章 命题逻辑等值演算
名称
M0 M1 M2 M3
20
实例
由三个命题变项 p, q, r 形成的极小项与极大项.
极小项
公式
成真赋值 名称
p q r 0 0 0 m0
p q r 0 0 1 m1
p q r 0 1 0 m2
p q r 0 1 1 m3
p q r 1 0 0 m4
p q r 1 0 1 m5
p q r 1 1 0 m6
p(qr) (pq) r p(qr) 不与 (pq) r 等值
2
等值式例题
例1 判断下列各组公式是否等值: (1) p(qr) 与 (pq) r
p q r qr p(qr) pq (pq)r
000 1
1
001 1
1
010 0
1
011 1
1
100 1
1
101 1
1Hale Waihona Puke 110 00111 1
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
1
0
1
1
结论: p(qr) (pq) r
3
等值式例题
(2) p(qr) 与 (pq) r
p q r qr p(qr)
000 1
1
001 1
1
010 0
1
011 1
1
100 1
1
101 1
1
110 0
0
111 1
1
pq (pq)r
1
0
1
1
1
0
1
1
0
1
0
高一数学现代数学阅读附答案
高一数学现代数学阅读附答案可以的，下面是你所要求的文档：在这份文档中，我们将提供高一数学现代数学的阅读材料，并附上答案供参考。
以下是各个章节的内容介绍和相关的练题和答案。
第一章：集合论本章将介绍集合论的基本概念和运算方法。
通过研究本章，学生将深入了解集合的逻辑关系和基本运算。
以下是练题和答案：1. 什么是集合的并集运算？试举例说明。
答案：集合A和集合B的并集，表示为A∪B，是包含了A和B中所有元素的集合。
例如，A = {1, 2, 3}，B = {3, 4, 5}，则A∪B = {1, 2, 3, 4, 5}。
2. 什么是集合的交集运算？给出一个具体的例子。
答案：集合A和集合B的交集，表示为A∩B，是包含了同时属于A和B的元素的集合。
例如，A = {1, 2, 3}，B = {3, 4, 5}，则A∩B = {3}。
第二章：数理逻辑本章将介绍数理逻辑的基本原理和运算规则。
通过研究本章，学生将掌握数理逻辑中的命题、联结词和推理规则。
以下是练题和答案：1. 什么是命题逻辑中的合取运算？举一个具体的例子。
答案：命题逻辑中的合取运算，也称为逻辑与运算，表示为∧。
它要求两个命题同时为真时结果为真，其他情况均为假。
例如，对于命题P：“今天是星期一”和命题Q：“天气晴朗”，当P和Q同时成立时，P∧Q为真。
2. 什么是命题逻辑中的析取运算？给出一个具体的例子。
答案：命题逻辑中的析取运算，也称为逻辑或运算，表示为∨。
它要求两个命题至少有一个为真时结果为真，其他情况均为假。
例如，对于命题P：“今天是星期一”和命题Q：“天气晴朗”，当P和Q中只要有一个成立时，P∨Q为真。
第三章：概率论本章将介绍概率论的基本概念和计算方法。
通过研究本章，学生将能够理解概率的定义、计算概率的方法和概率与事件的关系。
以下是练题和答案：1. 什么是事件的概率？如何计算事件的概率？答案：事件的概率是指该事件发生的可能性。
计算事件的概率可以通过计算有利结果的数量与总可能结果的数量之比来得到。
初二数学数理逻辑的基本概念与应用
初二数学数理逻辑的基本概念与应用数理逻辑是数学的一个重要分支，它研究的是关于命题、推理和证明的基本规律。
初中数学教育中，数理逻辑的学习有助于培养学生的逻辑思维能力，提高解决问题的能力。
本文将介绍初二数学数理逻辑的基本概念与应用。
一、命题与命题的逻辑连接词命题是陈述性句子，其内容可以被判定为真或假。
在数理逻辑中常用字母P、Q、R等表示命题。
命题的逻辑连接词有与、或、非、蕴含、等价等。
其中，与表示同时满足两个命题，或表示满足其中之一或两者均满足，非表示取反，蕴含表示若命题A成立，则命题B也必定成立，等价表示两个命题具有相同的真值。
二、真值表与命题的逻辑运算真值表是用来表示不同情况下命题的真假取值的表格。
对于n个命题，其真值表一共有2^n行。
通过真值表可以清晰地展示命题之间的逻辑运算关系。
在数理逻辑中，通过运用真值表可以判断命题之间的逻辑等价性，从而简化问题的求解。
三、充分条件与必要条件充分条件与必要条件是描述命题之间关系的重要概念。
如果命题A成立是命题B成立的条件，那么称A是B的充分条件，B是A的必要条件。
例如，命题A：某人是男性；命题B：某人能上军校。
那么，A是B的充分条件，B是A的必要条件。
数理逻辑中，通过充分条件与必要条件可以进行逆否、逆否命题的推理。
四、命题的推理与证明命题的推理是数理逻辑中的核心内容，它通过合理的推理关系来得出新的命题。
常见的推理方法包括：直接推理、间接推理、归谬法等。
证明是数学中重要的思维方式，通过逻辑推理和严密的论证来验证数学命题的正确性。
初二数学中常见的证明方法有直接证明、间接证明、反证法等。
五、数理逻辑在数学问题中的应用数理逻辑在数学问题中有广泛的应用，通过运用数理逻辑，能够解决一些复杂的问题。
数理逻辑的应用包括：1. 排列组合问题：通过运用命题的逻辑运算，可以得出不同条件下的排列组合问题的解答方法，如“有6本不同的书放入两个箱子中，计算放法的总数”。
2. 方程与不等式的解：通过分析命题的充分条件和必要条件，可以得出方程与不等式的解集，如“解方程2x-5=9”。
数理逻辑 第二章 算法、整数和矩阵 整数和除法
三、素数
如果整数不能被小于或等于其平方根的 素数整除，它就是素数。
例5：证明101是素数。
解：不超过101的平方根的素数有2，3，5， 7。因为101不能被这些数整除，所以101是 素数。
三、素数
由于每个整数都有素因子分解，如何求 解整数n的素因子分解？
从最小的素数2开始，从小到大用一个个素 数去除n；
最常用的产生伪随机数的过程称为线性同 余法
xn+1=(axn+c) mod m P120
九、密码学
最重要的同余应用之一涉及研究信息保 密的密码学
解为 a p1a1 p2a2 pnan
b p1b1 p2b2 pnbn
每个指数都是非负整数，出现在a和b分解中的所有素数都包 含在两个分解之中，必要时以0为指数出现
gcd(a,b)
p p min(a1,b1) min(a2,b2)
1
2
p min( an ,bn ) n
五、最大公约数
证明：P116 例14：已知120和500的素因子分解分别
定理7：令m为正整数，若a≡b(mod m)， c≡d(mod m)，那么a+c≡b+d(mod m)以及 ac≡bd(mod m)。
证明：P118
例18：由于7≡2(mod 5)和11≡1(mod 5)， 从定理7知： 18≡3(mod 5) 77≡2(mod 5)
八、同余应用
可以用同余为计算机分配内存地址 例19：散列（哈希）函数 散列就是无需查找，直接用元素的查找
数理逻辑
Mathematical Logic
第二章 算法、整数和矩阵
Chapter 2 Algorithm、Integer and Matrix
二章命题逻辑的等值和推理演算
定理2.5.5 若AB永真, 必有B*A*永真 定理2.5.6 A与A－同永真, 同可满足
A与A*同永真, 同可满足 注意： “A与B同永真, 同可满足”的意思
是： A永真可推出B永真,反之亦然。
2.6 范式(命题的统一形式)
n 个命题变项所能组成的具有不同真值表的命题公式仅有
2 个, 2n
然而与任何一个命题公式等值而形式不同的命题公式可以
2.2 等值公式 (真值表验证，Venn图理解)
2.2.1 基本的等值公式(特别注意蓝色字) 1. 双重否定律 P = P 2. 结合律 (P∨Q) ∨R = P∨(Q∨R) (P∧Q) ∧R = P∧(Q∧R) (P Q) R = P (Q R)
3. 交换律 P∨Q = Q∨P P∧Q = Q∧P
2.4.1 命题联结词的个数
要解决本节提出的第一个问题，首先要把n 个命题变项构造出的无限多个合式公式分 类。
将等值的公式视为同一类，从中选一个作 代表称之为真值函项。对一个真值函项， 或者说对于该类合式公式，就可定义一个 联结词与之对应。
例：一元联结词是联结一个命题变项(如 P)的。P有真假2种值，因此P(自变量)上 可定义4种一元联结词(真值函项、函数)： 真值表见图。
2.1.2 等值定理
定理2.1.1 对公式A和B, A = B的充分必要 条件是A B是重言式。 即任意解释下，A和B都有相同的真值。
证明：定理中的两部分都与上一行等同。
❖ “＝”作为逻辑关系符是一种 等价关系
A = B是表示公式A与B的一种关系。这种关 系具有三个性质: 1. 自反性 A = A。 2. 对称性 若A = B则B = A。 3. 传递性 若A = B, B = C则A = C。 这三条性质体现了“＝”的实质含义。
数理逻辑-大纲
数理逻辑一、说明(一) 课程性质《数理逻辑》是数学与应用数学专业的方向选修课。
数理逻辑又称符号逻辑、理论逻辑，是数学的一个分支，它是采用数学的方法来研究推理的形式结构和推理规律的数学学科，数理逻辑研究的中心问题是推理。
所谓数学方法就是指数学采用的一般方法，包括使用符号和公式，已有的数学成果和方法，特别是使用形式的公理方法。
用数学的方法研究逻辑的系统思想一般追溯到莱布尼茨，他认为经典的传统逻辑必须改造和发展，使之更为精确和便于演算。
总的来说，数理逻辑就是精确化、数学化的形式逻辑，它是现代计算机技术的基础。
(二) 教学目的本课程的教学应使得学生熟练掌握有关命题逻辑、一阶谓词逻辑的基本知识，理解并能初步运用形式化的逻辑推理和数学证明，训练学生的逻辑思维方式，提高其数学解题能力。
(三) 教学内容及学时数本课程主要讲授命题逻辑的基本概念，命题逻辑的等值和推理演算，谓词逻辑的基本概念，谓词逻辑的等值和推理理论等内容，共计30学时。
序号内容学时数（30 ）课堂学时数实践学时数1 命题逻辑的基本概念 6 02 命题逻辑的等值和推理演算7 33 谓词逻辑的基本概念 6 04 谓词逻辑的等值和推理理论 6 2合计25 5 (四) 教学方式数理逻辑是一门理论性课程，主要采用讲授法、研究探索法授课，讲授数理逻辑的内容时建议采用多媒体教学。
(五) 考核要求1. 考核的方式及成绩评定本课程的考核方式一般采用笔试，成绩评定100分制，其中平时成绩占50%，期末考试成绩占50%，其中平时成按数学系课堂“五个环节”评分细则进行评定。
2. 考题设计(1) 考题设计原则：考题要全面，符合大纲要求，同时要做到体现重点，题量适度，难度适中，题量和难度的梯度按照教学的三个不同层次，并能够反映出数理逻辑的思想方法、解决基本问题能力的知识点来安排，不过分强调综合。
(2) 考题难度比例：基础知识（或基本概念）约35%、根据学生实际水平确定中等难度知识点约50%，稍有难度知识点15%范围以内。
第2篇数理逻辑ch3命题逻辑
条件词“如果……，那么……”
双条件词“当且仅当”
(1)否定（negation ）
定义3-2.1 设P为一命题，P的否定是一 个新命题，记作“┐P”。若P为T， ┐P为F； 若P为F， ┐P为T。联结词“ ┐ ”表示自然 语言中的“并非”（not ）。 表3-2.1 否定词“┐”的意义
p
命题称为复合命题（compositive
propositions or compound statements） （自然语言中的复句）。
命题的符号化（标示符）： 可以用以下两种形式将命题符号化： .用（带下标的）大写字母； 例如：P：今天下雨。 .用数字。 例如：[12]：今天下雨。 上例中的“P”和“[12]”称为命题标示 符。 命题常元（proposition constants）
E14 E15 E16 E17 E18 E19 E20 E21 E22 E23 E24 E25
A→B┐A∨B A B (A→B)∧(B→A) A∨tt 1律 A∧tA A∨fA 0律 A∧ff A∨┐At 排中律 A∧┐Af 矛盾律 ┐tf, ┐ft 否定律 A∧B→CA→(B→C) A→B ┐B→┐A 逆否律 (A→B)∧(A→┐B) ┐A
关于等价式和蕴涵式的性质： （1）AB当且仅当 AB （2）AB当且仅当 A→B
（3）若AB，则BA （4）若AB，BC，则AC （5）若AB，则┐B┐A （6）若AB，BC，则AC （7）若AB，AA„，BB‟，则A„B‟ （8）若AB，CB，则A∨CB （9）若AB，AC，则AB∧C
定义3-4.2„ （ 等价公式的另一种定义）当命题 公式AB为重言式时，称A逻辑等价于B，记为 A B，它又称为逻辑等价式
（logically equivalent
离散数学之数理逻辑2
离散数学之数理逻辑2第一篇数理逻辑数理逻辑是应用数学方法引进一套符号系统来研究思维的形式结构和规律的学科，它起源于公元十七世纪。
十九世纪英国的德·摩根和乔治·布尔发展了逻辑代数，二十世纪三十年代数理逻辑进入了成熟时期，基本内容（命题逻辑和谓词逻辑）有了明确的理论基础，成为数学的一个重要分支，同时也是电子元件设计和性质分析的工具。
冯·诺意曼，图灵，克林，…等人研究了逻辑与计算的关系。
基于理论研究和实践，随着1946年第一台通用电子数字计算机的诞生和近代科学的发展，计算技术中提出了大量的逻辑问题，逻辑程序设计语言的研制，更促进了数理逻辑的发展。
除古典二值（真，假）逻辑外，还研究了多值逻辑、模态逻辑、概率逻辑、模糊逻辑、非单调逻辑等。
不仅有演绎逻辑，也还有归纳逻辑。
计算机科学中还专门研究计算逻辑、程序逻辑、时序逻辑等。
现代数理逻辑分为四论：证明论，递归论（它们与形式语言语法有关），模型论，公理化集合论（它们与形式语言的语义有关）。
第1-1章命题逻辑学习要求: 掌握命题，命题公式，重言式，等价式，蕴涵式等基本概念，能利用逻辑联结词或真值表，等价式与蕴涵式进行命题演算和推理；学习范式时与集合的范式进行对比。
表述客观世界的各种现象，表述人们的思想，表述各门学科的规则、理论等，除使用自然语言（这常常是上有歧异性的）外，还要使用一些特定的术语、符号、规律等“对象语言”，这些是所研究学科的一种特殊的形式化语言，研究思维结构与规律的逻辑学也有其对象语言。
本章就是讨论逻辑学中的对象语言—命题及其演算，它相当于自然语言中的语句。
§1-1-1 命题逻辑联结词与真值表一、命题的基本概念首先我们从下面的例子加以分析。
例1-1-1.1人总是要死的。
例1-1-1.2苏格拉底是人。
例1-1-1.3苏格拉底是要死的。
例1-1-1.4中国人民是勤劳和勇敢的。
例1-1-1.5鸵鸟是鸟。
例1-1-1.6 1是质（素）数。
02-面向计算机的数理逻辑(ch2-1)
2022/3/22
10
定义：“→”如果……则…… （条件） 利用真值联结词→将原子命题a，b组成复合命题“如果a
则b”记作a→b，它们的真假值之间的关系 定义如下：
a→b 假 当且仅当 a真且b假 即：a b a→b
TT T
TF F
FT T
FF T 其中a→b称为a与b蕴涵式，a称为该蕴涵式的前件，b 称为该蕴涵式的后件。（也可以称a为前提，b为结论） 基本逻辑关系：b是a的必要条件，或a是b的充分条件。 Note：从逻辑学角度讲，与自然语言的“如果a则b”， “只要a就b”，“a仅当b”， “只有b才a” 等词汇相当。
即： a b a∨b TT T
TF T
FT T
FF F a∨b称为a与b的析取式，a，b为析取项。
2022/3/22
若 有来生╰只为你动心回忆丶回忆里的微笑。轻描丶淡写的幸福。爱琴海边的独唱，只属于你一切不再遥远。如果还囿下辈子心
、似命顾惜- 遥望法国浪漫都市≈谁惊艳了岁月俄为迩暖手“〕、╰聆听世界每个角度寻找、那份专属的幸福┛墨尔本街道旳第三 道阳光ヾ█我们会思念很久很久∞巴黎铁塔下の那抹阳光零纪年〃微蓝一抹淡笑那一抹笑.释怀了所有最美的痕迹叫回忆那年樱花赏 那 抹斜阳.我们的记忆今世、我陪你白发苍苍那一年、我们一起爱过谁把阳光剪成窗纸贴在心口你是我沿途最美的风景﹌你的温柔 颠覆我的灵魂︶ㄣ巴黎铁塔下的仰望、一抹夏凉、卡农的旋律ろ我们一起背靠背看星星-七月丶我在繁花中想你飘落的黄叶、柠檬 树 下的阳光。记住、你永远是我的唯一下一站思念还想念那年你的温柔ミ小世界里存在你的身影▲尽一生思念、想你从今、以后 浅怀感伤。流年乱了浮生穿过眼瞳的那明媚阳光ゝ路灯下↘你清澈的眼眸~樱花树下那属于我们的回忆想你//只因为你是我的全部朝 朝暮暮、只记得你的暖戒不掉丶对你的依赖没有你的世界/我不要眼泪告诉我你很幸福、你是我左心房的风景。゜漠颜╮你，我从
第2章 数理逻辑2.1
2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 谓词与量词 谓词公式与真假性 谓词公式间的逻辑等价关系 谓词公式间的逻辑蕴涵关系 谓词演算的形式推理
谓词逻辑引言 所有的人都是要死的。 苏格拉底是人， 所以苏格拉底是要死的。
2.1
谓词与量词
2.1.1 谓词与个体 2.1.2 量词 2.1.3 谓词符号化
2.1.3 谓词符号化
在谓词符号化之前我们先解决关于个体域统一的问题。 将“每个人都有一张桌子。”命题符号化。如果不考虑个体域的统一，可将 该命题写成如下形式 xyD(x,y) 其中，D(e1,e2)表示e1有e2。个体变元x的个体域是人的集合，y的个体域是桌 子的集合。也就是说x和y的个体域是不同的。这样一来，同一个谓词涉及到两 个不同的个体域，这种形式对符号化描述是不方便的。因此希望找到一种方法， 将所有的个体域统一起来组成一个理想的个体域，即全总个体域。并将谓词中 不同个体变元的个体域通过谓词的形式在符号化的命题中直接表现出来。这样， 在符号化以后就不必考虑不同个体域对个体变元的作用了。称具有个体域转化 功能的谓词为特性谓词。 可根据如下方式将个体域转化成特性谓词。 1) 对全称量词而言，应将特性谓词作为蕴涵前件出现在该量词的辖域中。 2) 对存在量词而言，应将特性谓词作为合取项出现在该量词的辖域中。 如在上面的例子中，若将个体域人的集合转换成特性谓词M(e):e是人，将个 体域桌子的集合转化成特性谓词T(e):e是桌子。那么便得到下述形式的符号化 结果 x(M(x) y(T(y) D(x,y)))
2.1.1 谓词与个体
在命题演算中，命题之间的关系是通过命题的真假值来反映的。 也就是说，对于两个原子命题来说，关心的只是它们的真假值是否 相同。 例如，对于命题“小张是学生”与“小李是学生”，就命题演算 的观点而言，它们要么完全一样(即真假值相同)，要么完全不同(即 真假值不同)。至于其它方面的性质，这里无法进行表示。然而根据 常识可以知道，这两个命题的陈述部分是相同的，只是陈述的对象 不同。又例如，对于命题“小张是学生”与“小张跑步”来说，它 们的陈述部分虽然不同，但它们的陈述对象是相同的。 因此，为了进一步研究命题之间的逻辑关系，必须将命题的陈述 部分与所陈述的对象进行分离， • 将命题的陈述部分称为谓词， • 将命题的陈述对象称为个体。
离散数学-第二章命题逻辑
设A( P1，P2，…,Pn )是一个命题公式，
P1，P2，…,Pn是出现于其中的全部命题变元，对P1， P2，…,Pn分别指定一个真值,称为对P1，P2，…,Pn公式A 的一组真值指派。
列出命题公式A在P1，P2，…,Pn的所有2n种真值指 派下对应的真值，这样的表称为A的真值表。
16
例3
值表。
例12 用符号形式表示下列命题。
（1） （2） 如果明天早上下雨或下雪，那么我不去学校 如果明天早上不下雨且不下雪，那么我去学校。
（3）
（4）
如果明天早上不是雨夹雪，那么我去学校。
只有当明天早上不下雨且不下雪时，我才去学校。 解 令P：明天早上下雨； Q：明天早上下雪； R：我去学校。 （1）（P∨Q）→ ¬ R； （2）（¬ ∧¬ P Q）→R； （3）¬ (P∧Q）→R （4）R→（¬ ∧¬ Q） P
4
例4
2．合取“∧” 定义2.2.2
设P和Q是两个命题，则P和Q的合取 是一个复合命题，记作“P ∧ Q”（读作“P且Q”）。
当且仅当命题P和Q均取值为真时，P ∧ Q才取值为真。
P 0 0 1 1 Q 0 1 0 1 P∧Q 0 0 0 1
例5
设P：我们去看电影。Q：房间里有十张桌子。则
P ∧ Q表示“我们去看电影并且房间里有十张桌子。”
5
3. 析取“∨” 定义2.2.3
设P和Q是两个命题，则P和Q的析取是一个复 合命题，记作“P∨Q”（读作“P或Q”）。
当且仅当P和Q至少有一个取值为真时，P∨Q取值为真。
P
0 0 1 1 Q 0 1 0 1 P∨Q 0 1 1 1
例6 设命题P：他可能是100米赛跑冠军；
Q：他可能是400米赛跑冠军。
大学数学数理逻辑
大学数学数理逻辑数理逻辑是大学数学中的一门重要学科，它研究命题、论证和推理的规律和方法。
数理逻辑在数学、计算机科学、哲学等领域有着广泛的应用。
本文将从数理逻辑的基本概念、命题逻辑和谓词逻辑等方面进行论述，以帮助读者更好地理解和应用数理逻辑。
一、数理逻辑的概念和基本原理数理逻辑，又称形式逻辑，是一种通过形式化的符号系统来研究命题、论证和推理的学科。
它主要关注推理的正确性和有效性，旨在分析命题之间的逻辑关系，并通过推理规则来推断新的结论。
数理逻辑的基本原理包括命题、谓词、量词和推理规则等。
命题是陈述句，可以为真或者假，其真值可以通过逻辑运算进行组合。
谓词是对对象进行描述的函数，通过给定一个或多个对象来判断一个命题的真值。
量词用来量化命题中的变量，包括全称量词和存在量词。
推理规则是根据数理逻辑的规则进行合乎逻辑的推理步骤，如假言推理、略化推理等。
二、命题逻辑命题逻辑是数理逻辑的一个重要分支，它研究命题之间的逻辑关系。
命题逻辑主要包括命题的联结词、真值表和等价演算等。
1. 命题的联结词命题的联结词包括合取（∧）、析取（∨）、蕴含（→）和否定（¬）等，分别表示与、或、蕴含和非的关系。
通过这些联结词，可以对多个命题进行逻辑运算，得到一个新的命题。
2. 真值表真值表是用来列出所有可能的取值情况，并给出联结词的运算结果。
通过真值表，可以判断联结词的真值和命题之间的逻辑关系。
3. 等价演算等价演算是通过代换规则和等价关系，将逻辑表达式转化为等价的形式。
常用的等价演算规则包括分配律、德摩根律等，它们使得逻辑表达式的推导更加简化和便捷。
三、谓词逻辑谓词逻辑是数理逻辑的另一个重要分支，它引入了谓词和量词的概念，用于更精确地描述和推理命题。
谓词逻辑主要包括谓词符号、量词和量词的运用等。
1. 谓词符号谓词符号是用来描述对象的属性或者关系的符号，它通常代表一个函数，通过给定一个或多个参数来判断命题的真值。
谓词符号包括等于（=）、大于（>）等，通过它们可以对对象进行进一步的描述和区分。
《数理逻辑》第二章
马琦 2010.9.4 maqi08@学习逻辑的目的之一：对推理过程的分析。
前一章：将语句 语句和论证 语句 论证抽象到形式，并且对 论证 一个有效的论证 有效的论证给出了直觉的定义。
有效的论证 本章：引进形式演绎系统 形式演绎系统的概念，本质上是 形式演绎系统 抽象过程的继续，从中概括出证明 证明的概念。
证明形式系统符号字母表 合式公式：符号有穷串的集合 合式公式 公理：某些合式公式的集合 公理 演绎规则：可推出一个合式公式作为 演绎规则 合式公式有穷集的直接后承。
根据以上四点，就可以从公理出发， 使用推理规则依次完成演绎的过程。
系统元素（ 元素（项） 运算符号字母表： 符号字母表 ~,→,( , ) , p1, p2, p3,… 合式公式（ 合式公式（wf.）的集合。
用下述三条归纳规则确定此集合 的集合 （i）对每一 i ≥ 1， pi是wf.。
（ii）若 A 和 B 是wf. ，则 (~ A)和 (A→B)是wf.。
（iii）所有的 wf. 是由（i）和（ii）产生的。
公理。
存在无穷多条公理，而借助于三条公理可以把所有的公理都指出来。
公理 对任意的wf. A,B,C,…，以下的 wf. 是L的公理： （L1）( A → (B→A) )。
（L2）( (A→(B→C)) → ((A→B)→(A→C)) )。
（L3）(((~A) →(~B)) → (B→A) )。
演绎规则。
分离规则（ MP）：从 A 和 (A→B ) ，得出 B 是一个直接后承， 演绎规则 这里 A 和 B 是 L 的任意 wf. 。
定义 2.2 在 L 中的一个证明是 wf. 的一个序列 A1,…,An，使得对每一 i (1≤i≤n), Ai 或者是 L 的 公理，或者是序列中在前的两个项，例如 Aj 和 Ak (j<i,k<i)，用演绎规则 MP 而得到 的一个直接后承。
这样的一个证明将称为 L 中 An 的证明 证明，而 An 称为 L 的定理 定理。
离散数学-数理逻辑
表示所有个体都满足某个条件的量词，例如“所有的苹果都是水果”。
04
范式理论
范式的定义与分类
范式（Paradigm）是指某一学科领 域中，被广泛接受和认可的观念、理 论、方法或标准。在数理逻辑中，范 式主要指逻辑公式的一种标准形式， 用于简化逻辑推理过程和提高推理的 可靠性。
VS
范式主要分为两类：自然范式和人工 范式。自然范式是指直接从语言和直 观中得出的逻辑形式，如命题逻辑中 的重写规则；人工范式则需要通过特 定的人工构造来获得，如集合论中的 形式化表述。
离散数学-数理逻辑
目录
• 引言 • 命题逻辑 • 谓词逻辑 • 范式理论 • 集合论基础 • 数理逻辑的实际应用
01
引言
数理逻辑的定义
01
数理逻辑是研究推理的数学分支 ，主要关注命题和推理的形式化 、符号化及其演绎关系。
02
它使用数学方法对推理过程进行 精确描述和证明，为计算机科学 、人工智能等领域提供理论基础 。
数理逻辑在其他领域的应用
法律
法律逻辑学运用数理逻辑的方法来分析法律推理 和法律论证。
经济学
数理逻辑用于经济学的决策理论、博弈论和信息 经济学等领域。
心理学
认知心理学中的思维过程和认知模型研究运用了 数理逻辑的概念和方法。
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范式在逻辑推理中的应用
范式在逻辑推理中具有重要的应用价值。通过使用范式，逻辑推理过程可以更加规范、准确和高效。例如，在人工智能领域 中，范式被广泛应用于知识表示、推理和问题求解等方面。通过将知识表示为范式形式，可以方便地进行逻辑推理和知识推 理，从而提高智能系统的性能和可靠性。
此外，范式还为逻辑推理提供了一种通用的语言和工具，促进了不同学科领域之间的交流和合作。通过学习和掌握范式理论 ，人们可以更好地理解和应用数理逻辑的基本原理和方法，从而更好地解决实际问题和开展科学研究。
离散数学基础-第二章-数理逻辑
g) 你获得这一职位表明你有最好的信誉。 h) 要成为美国公民，只要你生在美国就行了。 i) 除非下大雨，否则我是一定要出门的。 j) 要在服务器登录必须有一个有效的口令。
42
【定义】设P, Q是两个命题,复合命题“P当且仅 当Q” 称为P与Q的等价式，记做 P Q， 称为等 价联结词 。
是可兼或还是不可兼或。
▶若是可兼或，以及p, q不能同时为真的不可兼 或①，均可直接符号化为p∨q的形式。 ▶如果是不可兼或②，并且p与q可同时为真，就 应符号化为 (p∧┐q)∨(┐p∧q) 的形式。
31
【例】 将下列命题符号化。 (1)张三选修了英语课或者微积分课。 (2)今晚张三要么只看书要么只听音乐。 (3)a>0或a=0。
例：如果1+1=2，那么雪是白的。
37
4) 在数学和其他自然科学中， “如果p, 则q” 往往表达前件p为真，后件也为真的推理关 系；而在数理逻辑中，当前件p为假，不管 后件是真是假，规定 p→q都是真 (∵复合 命题p →q应有真值)。
例：校长宣布： 如果气温超过38℃，则全校停课。
38
关于“只有……, 才……”和“除非……, 否 则……”的符号化：
做 p → q， → 称为蕴涵联结词， p称为 前件， q称为后件。
“→ ”的读法：implies, if…then… （英）
蕴涵、如果…则… （中）
p→q的真值定义为：
p→q为假 iff p为真而q为
假
34
p→q的真值定义为： p→q为假 iff p为真而q为假
表2.4 p→q真值表
pq 00 01 10 11
(1) 相容或(可兼或)： 用它联结的命题具有相容性：命题可以同时为真， 如：张三会讲英语或日语。
目录数理逻辑
数论语句例子
2为质数 8>7且9为平方数 x为质数 x>7且y为平方数
特征函数
设A(x1，x2，…，xn)是一个含有n个变量的语句， f(x1，x2，…，xn)是一个数论函数，
若对于任何变元组均有： • A(x1，…，xn)为 真时，f(x1，…，xn)=0； • A(x1，…，xn)为 假时，f(x1，…，xn)=1。
rs(x,y) dv(x,y) lm(x,y)
指y 除x的余数，约定y=0时， rs(x,0)=x。
指x与y的最大公约数,约定xy=0 时,其值为x+y。
指x与y的最小公倍数,约定xy=0 时,其值为0。
Байду номын сангаас
本原函数
• I(x)函数值与自变量的值相同，称为幺函数。 • Imn(x1，…,xn，…，xm)= xn,即函数值与第n个自变元
的值相同，称为广义幺函数，也称为投影函数。 • O(x)=0即函数值永为0，称为零函数。 • S(x)=x+1，此函数为后继函数。
特别地，把广义幺函数、零函数和后继函数称 为本原函数，它们是构造函数的最基本单位。
常用的数论函数
• D(x)指x的前驱，称为前驱函数。
当x=0时，其值为0，x>0 时，其值为 x-1。
例1 (p56) x异于0且x为平方数
解：记A: x异于0. A的特征函数为: Nx
记B: x为平方数, B的特征函数为:
N2 x
x 2
于是，A B 的特征函数为：
max Nx, N2 x x 2
例 a=1或a=x
解：令C表示“a=1”， D表示“a=x”，
什么是计算 ？
首先指的就是数的加减乘除； 其次则为方程的求解、函数的微分积分等； 计算在本质上还包括定理的证明推导。 可以说，“计算”是一个无人不知无人不晓
【VIP专享】《数理逻辑》第二章
马琦 2010.9.4 maqi08@学习逻辑的目的之一：对推理过程的分析。
前一章：将语句和论证抽象到形式，并且对 一个有效的论证给出了直觉的定义。
本章：引进形式演绎系统的概念，本质上是 抽象过程的继续，从中概括出证明的概念。
形式系统符号字母表 合式公式：符号有穷串的集合 公理：某些合式公式的集合 演绎规则：可推出一个合式公式作为 合式公式有穷集的直接后承。
根据以上四点，就可以从公理出发， 使用推理规则依次完成演绎的过程。
系统元素（项） 运算符号字母表：~,→,( , ) , p1, p2, p3,… 合式公式（wf.）的集合。
用下述三条归纳规则确定此集合 （i）对每一 i ≥ 1， pi是wf.。
（ii）若 A 和 B 是wf. ，则 (~ A)和 (A→B)是wf.。
（iii）所有的 wf. 是由（i）和（ii）产生的。
公理。
存在无穷多条公理，而借助于三条公理可以把所有的公理都指出来。
对任意的wf. A,B,C,…，以下的 wf. 是L的公理：（L1）( A → (B→A) )。
（L2）( (A→(B→C)) → ((A→B)→(A→C)) )。
（L3）(((~A) →(~B)) → (B→A) )。
演绎规则。
分离规则（MP）：从 A 和 (A→B ) ，得出 B 是一个直接后承， 这里 A 和 B 是 L 的任意 wf. 。
定义 2.2 在 L 中的一个证明是 wf. 的一个序列 A1,…,An，使得对每一 i (1≤i≤n), Ai 或者是 L 的 公理，或者是序列中在前的两个项，例如 Aj 和 Ak (j<i,k<i)，用演绎规则 MP 而得到 的一个直接后承。
这样的一个证明将称为 L 中 An 的证明，而 An 称为 L 的定理。
例 2.4 下面的序列是 L 中的证明。
（1）(p1 →(p2→p1)) （2）(p1 →(p2→p1)) → ((p1→p2) → (p1→p1) ) ) （3）((p1→p2) → (p1→p1) ) 由此得出 ((p1→p2) → (p1→p1) ) 是 L 的定理。
第一二章数理逻辑
3、等价式的证明
1）真值表法 先分别列出A、B的真值表， 若A、B命题公式对应的真值
P
Q P →Q
1 0 1 0 1 0 1 0
┐P ∨Q
1 0 1 1
若要证明命题公式A、B等价， 1 1 0 0
表中的所有真值指派真值均
相同，即可证明 。
2）推导法 利用基本等值式，可以对命题公式中的某些子公式用与 其等价的命题公式进行等价代换，进而对原公式进行 变换，最终使两命题公式变换为相同的命题公式。
注：合取范式求法和析取范式求法相同。
例3 (┐P →R) ∨ (P ∧ ┐Q) (P ∨ R) ∨ (P ∧ ┐Q) (P ∨ R) ∨ (P ∧ ┐Q) ((P ∨ R) ∨ P) ∧((P ∨ R) ∨ ┐Q) (P ∨ R ∨ P) ∧(P ∨ R∨ ┐Q) (P ∨ R) ∧(P ∨ ┐Q ∨ R)
三、主析取范式
1、相关概念
1）小项（布尔合取）设命题公式为A(p1,p2…pn) ，n个命题变元不可 兼或其否定，并由合取联结词组成的符号串，即：每个命题变元 不能与其否定同时出现，但必须出现且仅出现一次。 2）小项（布尔合取）与合取式区别。 3）小项性质：所有小项的吸取为永真，任意不同两个小项的合取为 永假。 4）编码表示:m111 P ∧Q ∧R m101 P ∧ ┐ Q ∧R
4、应用
(1)等价式的证明，两个命题公式等价iff对于分量的任一组真值指派 对应的命题公式真值都相等。
(2)命题公式类型的判断
1）重言式（永真式）：在命题公式A(p1,p2…pn)中，对命题公式A 的所有命题变元赋值（2 n次赋值），命题公式的真值都为1，则 称公式为重言式。 2）矛盾式（永假式）：在命题公式A(p1,p2…pn)中，对命题公式A 的所有变元赋值（2 n次赋值），命题公式的真值都为0，则称公 式为矛盾式。 3）如果A(p1,p2…pn)不是矛盾式，则A称可满足式。 ⑶主范式的求取，推理证明等。
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解释和赋值
• 解释 • 赋值
解释
• 一个解释I由以下四部分组成。 (1) 指定一个非空集合DI ，称为I的论域。 (2) 对于每个常元a，指定DI中一个元素aI。 (3) 对于每个n元函数符号f，指定一个DI上的一个 n元运算fI。 (4) 对于每个n元谓词符号$P$，指定一个DI上的 一个n元谓词PI。
替换实例
• 用谓词逻辑公式B1,…,Bn分别替换命题逻辑公式 A中命题变元p1,…,pn得到的谓词逻辑公式记 p ,⋯ , p 为 AB ,⋯ , B ，称为A的替换实例。 • 命题逻辑永真式的替换实例称为重言式。
1 n 1 n
等值演算
• 逻辑等价 • 常用等值模式
逻辑等价
• 如果对于每个解释I和解释I中每个赋值v，I(A) (v)=I(B)(v)，则称A和B等值，也称A和B逻辑等 价，记为A B。
自由出现
• 如果变元x在公式A中的某次出现不是约束出现， 则称该出现为在A中的自由出现。在公式A中有 自由出现的变元称为A的自由变元，在公式A中 有约束出现的变元称为A的约束变元。将A中自 由变元的集合记为Var(A)。
基项、语句与开公式
• 不出现变元的项称为基项。 • 没有自由变元的公式称为语句。 • 没有约束变元的公式称为开公式。
代换
• 若x1,…,xn是不同的变元，t1,…,tn是项，则{x1/t1,…, xn/tn}称为代换。若t是项， {x1/t1,…,xn/tn}是代换， 则t {x1/t1,…,xn/tn} 是用t1,…,tn分别同时代替t中t1,…, ⋯ t xt ,,⋯,,xt tn的所有出现得到的项，简记为 。若A是公式， {x1/t1,…,xn/tn}是代换，则 A {x1/t1,…,xn/tn}是用t1,…,tn分别同时代替A中的 x ,⋯, x x1,…,xn所有自由出现得到的公式，简记为 A t ,⋯ , t 。
谓词
• 论域的子集可看做从论域到集合{0,1}的函数， 称这样的函数为论域上的一元谓词。 学生的集合是人的集合的子集，是一个一元谓 词，用Ｓ表示，张华用a表示。“张华是学生” 可表示为Ｓ(a). • 从D2到集合{0,1}的函数，称为论域D上的二元 谓词。 • 从Dn到集合{0,1}的函数，称为论域D上的N元 谓词。
常用等值模式
① ¬∀xA ⇔ ∃x¬A x ∀xA ⇔ ∀yAy ②
逻辑推论
• 满足与不可满足 • 逻辑推论
满足与不可满足
• 若解释I和I中赋值v满足公式集合Γ中的每个公 式，则称I和v满足Γ。若有解释I和I中赋值满 足Γ，则称Γ是可满足的，否则称Γ是不可满 足的。
逻辑推论足 A，则称A是Γ的逻辑推论，记为Γ|=A。若Γ|= A不成立，记为Γ|≠A 。
量词
• 量词：论域中某种性质个体的数量。 用∀x表示论域中每个元素。 用 ∃x表示论域中至少有一个元素。 • 量词的意义取决于论域。
特征谓词
• 对论域的一部分，即论域的真子集做全称判断 或存在判断，则需要引进一个一元谓词表示这 个子集，我们称这个一元谓词为特征谓词。 如果是全称判断，特征谓词后应该用蕴涵联结 词→；如果是存在判断，特征谓词后应该用合 取联结词∧。
赋值
• 从所有变元组成的集合到解释I的论域DI的函数 称为I中的赋值。
永真式
• 永真式 • 替换实例
永真式
• 设A是公式。 (1) 如果A在每个解释中为真，则称A为永真式， 也称A为逻辑有效的公式。 (2) 如果A在每个解释中为假，则称A为永假式， 也称为矛盾式，不可满足式。 (3) 如果有解释I和I中的赋值使I(A)(v)=1，则称A 为可满足式，并称解释I和赋值v满足A 。
项和公式
• • • • • • • • 项 原子公式 公式 约束出现 自由出现 基项、语句与开公式 代换 代入
项
• • • • 项的定义如下： (1) 个体变元是项； (2) 个体常元是项； (3) 若f是n元函数符号，t1,…,tn是项，则 f(t1,…, tn)是项。
原子公式
• 若P是n元谓词符号， t1,…,tn是项，则P(t1,…, tn) 是原子公式。 • 原子公式用于表示简单命题。 设f, g是一元函数符号，P是一元谓词符号，Q 是二元谓词符号，则Q(f(x),g(f(x)))，P(f(a))是原 子公式。
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代入
• 设x1,…,xn是不同的变元，t1,…,tn是项，A是公式。 ⋯ A xt ,,⋯ ,,xt 和A中变元的约束出现次数 如果在公式 相同，则称t1,…,tn对于A中的x1,…,xn是可代入的。 否则称t1,…,tn对于A中的x1,…,xn是不可代入的。
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公式
• 公式的定义如下： (1) 每个原子公式是公式； ¬ (2) 若A是公式， A 则是公式； (3) 若A, B是公式，则(A→B)是公式； (4) 若A是公式，x是变元，则∀xA是公式。 • 若公式B在公式A中出现，则称B为A的子公式。
约束出现
• 称变元x在公式∀x 中的出现为约束出现，并称 ∀x 该次出现的辖域为A。 • 如果变元x在公式A中的某次出现是在A的一个 子公式中的约束出现，则称x的该次出现为在A 中的约束出现。
第二章 数理逻辑
张玉平
第二章 谓词逻辑
• • • • • • 谓词和量词 项和公式 解释和赋值 永真式 等值演算 逻辑推论
谓词和量词
• 论域和个体 • 谓词 • 量词
论域和个体
• 论域： 研究对象组成一个非空集合，称这个非空集合 为论域。（例如：点、线、面、体组成了几何 学的论域，数论的论域是所有正整数组成的集 合。） 论域要求不能为空集。 • 个体： 论域中的元素称为个体。