第二章 数理逻辑

公式
• 公式的定义如下： (1) 每个原子公式是公式； ¬ (2) 若A是公式， A 则是公式； (3) 若A, B是公式，则(A→B)是公式； (4) 若A是公式，x是变元，则∀xA是公式。 • 若公式B在公式A中出现，则称B为A的子公式。
源自文库
约束出现
• 称变元x在公式∀x 中的出现为约束出现，并称 ∀x 该次出现的辖域为A。 • 如果变元x在公式A中的某次出现是在A的一个 子公式中的约束出现，则称x的该次出现为在A 中的约束出现。
谓词
• 论域的子集可看做从论域到集合{0,1}的函数， 称这样的函数为论域上的一元谓词。 学生的集合是人的集合的子集，是一个一元谓 词，用Ｓ表示，张华用a表示。“张华是学生” 可表示为Ｓ(a). • 从D2到集合{0,1}的函数，称为论域D上的二元 谓词。 • 从Dn到集合{0,1}的函数，称为论域D上的N元 谓词。
1 n 1 n
1 n 1 n
代入
• 设x1,…,xn是不同的变元，t1,…,tn是项，A是公式。 ⋯ A xt ,,⋯ ,,xt 和A中变元的约束出现次数 如果在公式 相同，则称t1,…,tn对于A中的x1,…,xn是可代入的。 否则称t1,…,tn对于A中的x1,…,xn是不可代入的。
1 n 1 n
赋值
• 从所有变元组成的集合到解释I的论域DI的函数 称为I中的赋值。
永真式
• 永真式 • 替换实例
永真式
• 设A是公式。 (1) 如果A在每个解释中为真，则称A为永真式， 也称A为逻辑有效的公式。 (2) 如果A在每个解释中为假，则称A为永假式， 也称为矛盾式，不可满足式。 (3) 如果有解释I和I中的赋值使I(A)(v)=1，则称A 为可满足式，并称解释I和赋值v满足A 。
替换实例
• 用谓词逻辑公式B1,…,Bn分别替换命题逻辑公式 A中命题变元p1,…,pn得到的谓词逻辑公式记 p ,⋯ , p 为 AB ,⋯ , B ，称为A的替换实例。 • 命题逻辑永真式的替换实例称为重言式。
1 n 1 n
等值演算
• 逻辑等价 • 常用等值模式
逻辑等价
• 如果对于每个解释I和解释I中每个赋值v，I(A) (v)=I(B)(v)，则称A和B等值，也称A和B逻辑等 价，记为A B。
自由出现
• 如果变元x在公式A中的某次出现不是约束出现， 则称该出现为在A中的自由出现。在公式A中有 自由出现的变元称为A的自由变元，在公式A中 有约束出现的变元称为A的约束变元。将A中自 由变元的集合记为Var(A)。
基项、语句与开公式
• 不出现变元的项称为基项。 • 没有自由变元的公式称为语句。 • 没有约束变元的公式称为开公式。
代换
• 若x1,…,xn是不同的变元，t1,…,tn是项，则{x1/t1,…, xn/tn}称为代换。若t是项， {x1/t1,…,xn/tn}是代换， 则t {x1/t1,…,xn/tn} 是用t1,…,tn分别同时代替t中t1,…, ⋯ t xt ,,⋯,,xt tn的所有出现得到的项，简记为 。若A是公式， {x1/t1,…,xn/tn}是代换，则 A {x1/t1,…,xn/tn}是用t1,…,tn分别同时代替A中的 x ,⋯, x x1,…,xn所有自由出现得到的公式，简记为 A t ,⋯ , t 。
常用等值模式
① ¬∀xA ⇔ ∃x¬A x ∀xA ⇔ ∀yAy ②
逻辑推论
• 满足与不可满足 • 逻辑推论
满足与不可满足
• 若解释I和I中赋值v满足公式集合Γ中的每个公 式，则称I和v满足Γ。若有解释I和I中赋值满 足Γ，则称Γ是可满足的，否则称Γ是不可满 足的。
逻辑推论
• 若满足公式集Γ的每个解释I和I中赋值v都满足 A，则称A是Γ的逻辑推论，记为Γ|=A。若Γ|= A不成立，记为Γ|≠A 。
解释和赋值
• 解释 • 赋值
解释
• 一个解释I由以下四部分组成。 (1) 指定一个非空集合DI ，称为I的论域。 (2) 对于每个常元a，指定DI中一个元素aI。 (3) 对于每个n元函数符号f，指定一个DI上的一个 n元运算fI。 (4) 对于每个n元谓词符号$P$，指定一个DI上的 一个n元谓词PI。
量词
• 量词：论域中某种性质个体的数量。 用∀x表示论域中每个元素。 用 ∃x表示论域中至少有一个元素。 • 量词的意义取决于论域。
特征谓词
• 对论域的一部分，即论域的真子集做全称判断 或存在判断，则需要引进一个一元谓词表示这 个子集，我们称这个一元谓词为特征谓词。 如果是全称判断，特征谓词后应该用蕴涵联结 词→；如果是存在判断，特征谓词后应该用合 取联结词∧。
第二章 数理逻辑
张玉平
第二章 谓词逻辑
• • • • • • 谓词和量词 项和公式 解释和赋值 永真式 等值演算 逻辑推论
谓词和量词
• 论域和个体 • 谓词 • 量词
论域和个体
• 论域： 研究对象组成一个非空集合，称这个非空集合 为论域。（例如：点、线、面、体组成了几何 学的论域，数论的论域是所有正整数组成的集 合。） 论域要求不能为空集。 • 个体： 论域中的元素称为个体。
项和公式
• • • • • • • • 项 原子公式 公式 约束出现 自由出现 基项、语句与开公式 代换 代入
项
• • • • 项的定义如下： (1) 个体变元是项； (2) 个体常元是项； (3) 若f是n元函数符号，t1,…,tn是项，则 f(t1,…, tn)是项。
原子公式
• 若P是n元谓词符号， t1,…,tn是项，则P(t1,…, tn) 是原子公式。 • 原子公式用于表示简单命题。 设f, g是一元函数符号，P是一元谓词符号，Q 是二元谓词符号，则Q(f(x),g(f(x)))，P(f(a))是原 子公式。