巩固练习_定积分的简单应用(基础)125

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高考数学 2.12 定积分的概念与微积分基本定理、定积分的简单应用练习

高考数学 2.12 定积分的概念与微积分基本定理、定积分的简单应用练习

课时提升作业(十五)定积分的概念与微积分基本定理、定积分的简单应用(25分钟 50分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.(2014·陕西高考)定积分的值为( ) A.e+2B.e+1C.eD.e-1【解析】选C.=e.2.(2015·泉州模拟)直线y=2x+4与抛物线y=x2+1所围成封闭图形的面积是 ( )10163235A.B. C. D.3333 【解析】选 C.直线与抛物线在同一坐标系中的图象如图,则其围成的封闭图形的面积是31-⎰[(2x+4)-(x2+1)]dx=31-⎰(-x2+2x+3)dx=323132(x x 3x)133-++=-. 3.(2015·南昌模拟)已知函数f(x)=2 x ,2x 0,x 1,0x 2,⎧-≤≤⎨+<≤⎩则22-⎰f(x)dx 的值为( )A.43B.4C.6D.203【解析】选D.22-⎰f(x)dx=02-⎰x2dx+20⎰(x+1)dx3202118120x (x x)(0)(420).2032323=++=++⨯+-=-4.一质点运动时速度与时间的关系为v(t)=t2-t+2,质点做直线运动,则此质点在时间[1,2]内的位移为( )17141311A.B. C. D.6366【解析】选A.质点在时间[1,2]内的位移为21⎰(t2-t+2)dt=3221117(t t 2t)1326-+=. 5.由直线x+y-2=0,曲线y=x3以及x 轴围成的图形的面积为( )4553A. B. C. D.3464【解析】选D.由题意得3x y 20,y x ,+-=⎧⎨=⎩解得交点坐标是(1,1).故由直线x+y-2=0,曲线y =x3以及x 轴围成的图形的面积为1⎰x3dx+21⎰(2-x)dx=421211113x (2x x )0142424+-=+=. 【方法技巧】求平面几何图形面积的技巧求平面几何图形的面积,需根据几何图形的形状进行适当分割,然后通过分别求相应区间上的定积分求出各自的面积,再求和.二、填空题(每小题5分,共15分)6.已知t>0,若(2x-1)dx=6,则t 的值等于 .【解析】 (2x-1)dx=2xdx-1dx=22t t x xt t,-=-由t2-t=6得t=3或t=-2(舍去).答案:3【加固训练】设函数f(x)=ax2+b(a ≠0),若3⎰f(x)dx=3f(x0),则x0等于( ) A.±1B.2C.±3D.2【解析】选C.30⎰f(x)dx=30⎰(ax2+b)dx=331(ax bx)9a 3b 03+=+,所以9a+3b=3(a 20x +b),即20x =3,x0=±3,故选C.7.(2015·深圳模拟)由曲线y=sin x,y=cos x 与直线x=0,x=2π所围成的平面图形(图中的阴影部分)的面积是 .【解析】由图可得阴影部分面积S=240π⎰(cos x-sin x)dx=()2sin x cos x 4π+=2(2-1).答案:22-28.(2013·湖南高考)若x2dx=9,则常数T的值为.【解析】x2dx=33T11(x)T933==,所以T=3.答案:3三、解答题9.(10分)(2015·哈尔滨模拟)求由曲线y=x,直线y=x-2及y轴所围成的图形的面积.【解析】y=x与y=x-2以及y轴所围成的图形为如图所示的阴影部分,联立y x,y x2⎧=⎪⎨=-⎪⎩得交点坐标为(4,2),故所求面积为S=4⎰[x-(x-2)]dx=32242x16[x(2x)]323--=.【加固训练】设变力F(x)作用在质点M上,使M沿x轴正向从x=1运动到x=10,已知F(x)=x2+1且方向和x 轴正向相同,求变力F(x)对质点M所做的功.【解析】变力F(x)=x2+1使质点M沿x轴正向从x=1运动到x=10所做的功为W=101⎰F(x)dx=101⎰(x2+1)dx()3101(x x)342J.13=+=(20分钟40分)1.(5分)(2015·金华模拟)图中阴影部分的面积是()A.16B.18C.20D.22【解析】选B.由2y x4,y2x,=-⎧⎨=⎩得x2,y2=⎧⎨=-⎩或x8,y4,=⎧⎨=⎩则阴影部分的面积为S=222x⎰dx+82⎰(2x -x+4)dx3322228422211638 x(x x4x)18.0233233=+-+=+=2.(5分)若f(x)=()xf x4,x0,2cos 3tdt,x06->⎧⎪⎪π⎨+≤⎪⎪⎩⎰,则f(2 014)=.【解析】当x>0时,f(x)=f(x-4), 则f(x+4)=f(x),所以f(2 014)=f(2)=f(-2),又因为6π⎰cos 3tdt=11(sin 3t),633π=所以f(2 014)=f(-2)=2-2+13=712.答案:7 123.(5分)(2015·长沙模拟)如图,矩形OABC内的阴影部分是由曲线f(x)=sin x(x∈(0,π))及直线x=a(a∈(0,π))与x轴围成,向矩形OABC内随机投掷一点,若落在阴影部分的概率为14,则a的值是.【解题提示】利用定积分求出阴影部分面积,再利用几何概型求解.【解析】由已知S 矩形OABC=a ×6a =6,而阴影部分的面积为S=a0⎰sin xdx=(-cos x)a0 =1-cos a,依题意有OABCS11cos a 1,,S 464-==矩形即得:cos a=-12,又a ∈(0,π), 所以a=23π. 答案:23π4.(12分)汽车以54 km/h 的速度行驶,到某处需要减速停车,设汽车以等加速度-3 m/s2刹车,问从开始刹车到停车,汽车走了多远?【解析】由题意,得v0=54 km/h=15 m/s. 所以v(t)=v0+at=15-3t.令v(t)=0,得15-3t=0.解得t=5. 所以开始刹车5 s 后,汽车停车.所以汽车由刹车到停车所行驶的路程为s=5⎰v(t)dt=5⎰(15-3t )dt=253(15t t )02-=37.5(m).故汽车走了37.5 m. 5.(13分)(能力挑战题)如图所示,直线y=k x 分抛物线y=x-x2与x 轴所围图形为面积相等的两部分,求k 的值.【解析】抛物线y=x-x2与x 轴两交点的横坐标为 x1=0,x2=1,所以,抛物线与x 轴所围图形的面积S=10⎰(x-x2)dx=231x 11(x ).0236-= 由2y x x ,y kx,⎧=-⎨=⎩可得抛物线y=x-x2与y=kx 两交点的横坐标为x3=0,x4=1-k, 所以S 2=1k 0-⎰(x-x2-kx)dx()3231k 1k 11(x x )1k .0236--=-=-又知S=16,所以(1-k)3=12,于是3314k 1122==-. 【加固训练】曲线C:y=2x3-3x2-2x+1,点P(12,0),求过P 的切线l 与C 围成的图形的面积.【解析】设切点坐标为(x0,y0),y ′=6x2-6x-2, 则f ′(x0)=6x02-6x0-2,切线方程为y=(6x02-6x0-2)1(x )2-, 则y0=(6x02-6x0-2)01(x )2-, 即2x03-3x02-2x0+1=(6x02-6x0-2)·01(x )2-, 整理得x0(4x02-6x0+3)=0,解得x0=0,则切线方程为y=-2x+1.解方程组32y 2x 1,y 2x 3x 2x 1,=-+⎧⎨=--+⎩ 得x 0,y 1=⎧⎨=⎩或3x ,2y 2.⎧=⎪⎨⎪=-⎩ 由y=2x3-3x2-2x+1与y=-2x+1的图象可知S=32⎰[(-2x+1)-(2x3-3x2-2x+1)]dx=32⎰(-2x3+3x2)dx=2732.。

知识讲解_定积分的简单应用(基础)

知识讲解_定积分的简单应用(基础)

定积分的简单应用编稿:赵雷 审稿:李霞【学习目标】1.会用定积分求平面图形的面积。

2.会用定积分求变速直线运动的路程3.会用定积分求变力作功问题。

【要点梳理】要点一、应用定积分求曲边梯形的面积1. 如图,由三条直线x a =,x b =()a b <,x 轴(即直线()0y g x ==)及一条曲线()y f x =(()0f x ≥)围成的曲边梯形的面积:()[()()]b baaS f x dx f x g x dx ==-⎰⎰2.如图,由三条直线x a =,x b =()a b <,x 轴(即直线()0y g x ==)及一条曲线()y f x =(0)(≤x f )围成的曲边梯形的面积:()()[()()]bb baaaS f x dx f x dx g x f x dx ==-=-⎰⎰⎰3.由三条直线,(),x a x b a c b x ==<<轴及一条曲线()y f x =(不妨设在区间[,]a c 上()0f x ≤,在区间[,]c b 上()0f x ≥)围成的图形的面积:()caS f x dx =+⎰()bcf x dx ⎰=()c af x dx -⎰+()bcf x dx ⎰.4. 如图,由曲线11()y f x =22()y f x =12()()f x f x ≥及直线x a =,x b =()a b <围成图形的面积:1212[()()]()()b b baaaS f x f x dx f x dx f x dx =-=-⎰⎰⎰要点诠释:研究定积分在平面几何中的应用,其实质就是全面理解定积分的几何意义: ① 当平面图形的曲边在x 轴上方时,容易转化为定积分求其面积;② 当平面图形的一部分在x 轴下方时,其在x 轴下的部分对应的定积分为负值,应取其相反数(或绝对值);要点二、求由两条曲线围成的平面图形的面积的解题步骤(1)画出图形;(2)确定图形范围,通过解方程组求出交点的横坐标,定出积分上、下限; (3)确定被积函数,特别要注意分清被积函数的上、下位置; (4)写出平面图形面积的定积分表达式;(5)运用微积分基本定理计算定积分,求出平面图形的面积。

北师版高中数学选修2-2课后习题版 第四章 §3 定积分的简单应用

北师版高中数学选修2-2课后习题版 第四章 §3 定积分的简单应用

第四章DISIZHANG定积分§3定积分的简单应用课后篇巩固提升A组1.设f(x)在区间[a,b]上连续,则曲线f(x)与直线x=a,x=b,y=0围成的图形的面积为( )A.∫ba f(x)dx B.|∫f(x)badx|C.∫ba|f(x)|dx D.以上都不对f(x)在区间[a,b]上满足f(x)<0时,∫baf(x)dx<0,排除A;当围成的图形同时存在于x轴上方与下方时,∫baf(x)dx是两图形面积之差,排除B;无论什么情况C都正确.2.下列各阴影部分的面积S不可以用S=∫ba[f(x)-g(x)]dx求出的是( )S=∫ba[f(x)-g(x)]dx的几何意义是求函数f(x)与g(x)之间的阴影部分的面积,必须注意f(x)的图像要在g(x)的图像上方,对照各选项可知,D项中的f(x)的图像不全在g(x)的图像上方.故选D.3.如图,由函数f(x)=e x-e的图像,直线x=2及x轴围成的阴影部分的面积等于( )A.e2-2e-1B.e2-2eC.e 2-e 2D.e2-2e+1S=∫21f(x)dx=∫21(e x-e)dx=(e x-e·x)|12=e2-2e.4.直线y=2x,x=1,x=2与x轴围成的平面图形绕x轴旋转一周得到一个圆台,则该圆台的体积为( )A.28π3B.32π C.4π3D.3πV=∫21π·(2x)2dx=π∫214x2dx=4π·13x3|12=4π3(8-1)=28π3.5.如图所示,在边长为1的正方形OABC中,任取一点P,则点P恰好取自阴影部分的概率为( )A.14B.15C.16D.17{y=√x,y=x,得O(0,0),B(1,1).则S阴影=∫1(√x-x)dx=(23x 32-x 22)|01=23−12=16.故所求概率为S 阴影S 正方形=161=16.6.曲线y=cos x (π2≤x ≤3π2)与x 轴围成的平面图形的面积为 .解析由图可知,曲线y=cosx (π2≤x ≤3π2)与x 轴围成的平面图形的面积S=∫3π2π2cos xdx=-sin xπ23π2=(-sin3π2)−(-sin π2)=2.7.在同一坐标系中,作出曲线xy=1和直线y=x 以及直线y=3的图像如图所示,则阴影部分的面积为 . ∫113(3-1x )dx+∫31(3-x)dx=(3x-lnx)|131+(3x -12x 2)|13=3-(1-ln 13)+(9-12×32)−(3-12)=4-ln3.8.计算由y 2=x,y=x 2所围成图形的面积.,为了确定图形的范围,先求出这两条曲线的交点的横坐标.解方程组{y 2=x ,y =x 2,得出交点的横坐标为x=0或x=1.因此,所求图形的面积S=∫10(√x -x2)dx,又因为(23x 32-13x 3)'=x 12-x 2,所以S=(23x 32-13x 3)|01=23−13=13.9.求由曲线y=x 2+4与直线y=5x,x=0,x=4所围成的平面图形的面积.,如图所示.所求平面图形为图中阴影部分.解方程组{y =x 2+4,y =5x ,得交点为A(1,5),B(4,20).故所求平面图形的面积S=∫1(x 2+4-5x)dx+∫41(5x-x 2-4)dx=(13x 3+4x -52x 2)|01+(52x 2-13x 3-4x)|14=13+4-52+52×42-13×43-4×4-52+13+4=193.10.求抛物线y 2=2x 与直线y=4-x 围成的平面图形的面积.{y 2=2x ,y =4-x得抛物线和直线的交点为(2,2)及(8,-4).方法一:选x 作为积分变量,由图可得S=S A 1+S A 2.在A 1部分:由于抛物线的上部分方程为y=√2x ,下部分方程为y=-√2x ,所以S A 1=∫2[√2x -(-√2x )]dx=2√2∫20x 12dx=2√2·23x 32|02=163.S A 2=∫82[4-x-(-√2x )]dx =(4x -12x 2+2√23x 32)|28=383.所以S=163+383=18.方法二:∵y 2=2x,∴x=12y 2. 由y=4-x.得x=4-y,∴S=∫2-4(4-y -12y 2)dy=(4y -12y 2-16y 3)|-42=18.B 组1.如图,已知曲线y=f(x)与直线y=0,x=-32,x=2围成的图形面积为S 1=1,S 2=3,S 3=32,则∫2-32f(x)dx 等于( )A.112B.12C.-12D.72∫2-32f(x)dx=∫-1-32f(x)dx+∫1-1f(x)dx+∫21f(x)dx=S 1-S 2+S 3=1-3+32=-12.2.设直线y=1与y 轴交于点A,与曲线y=x 3交于点B,O 为原点,记线段OA,AB 及曲线y=x 3围成的区域为Ω.在Ω内随机取一点P,已知点P 取在△OAB 内的概率等于23,则图中阴影部分的面积为( )A.13B.14C.15D.16{y =1,y =x 3,解得{x =1,y =1. 则曲边梯形OAB 的面积为∫1(1-x 3)dx=(x -14x 4) 01=1-14=34.∵在Ω内随机取一个点P,点P 取在△OAB 内的概率等于23, ∴点P 取在阴影部分的概率等于1-23=13,∴图中阴影部分的面积为34×13=14.故选B.3.如图所示,直线y=kx 分抛物线y=x-x 2与x 轴所围成图形为面积相等的两部分,则k 的值为 .y=x-x 2与x 轴两交点横坐标为0,1,∴抛物线与x 轴所围成图形的面积为S=∫1(x-x 2)dx=(x 22-x 33)|01=16,抛物线y=x-x 2与直线y=kx 的两交点横坐标为0,1-k.∴S 2=∫1-k0(x-x 2-kx)dx=(1-k2x 2-x33)|01-k =16(1-k)3.又∵S=16,∴(1-k)3=12.∴k=1-√123=1-√432. 1-√4324.由直线y=x 和曲线y=x 3(x≥0)所围成的平面图形,绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积为 .{y =x ,y =x 3(x ≥0),得{x =0,y =0,或{x =1,y =1.故所求体积V=∫1πx 2dx-∫10πx 6dx=π∫10x 2dx-π∫1x 6dx=π(13x 3|01-17x 7|01)=π(13-17)=4π21.5.已知函数f(x)=x 3-x 2+x+1,求其在点(1,2)处的切线与函数g(x)=x 2围成的图形的面积.(1,2)为曲线f(x)=x 3-x 2+x+1上的点,设过点(1,2)处的切线的斜率为k,则k=f'(1)=3×12-2×1+1=2,∴过点(1,2)处的切线方程为y-2=2(x-1),即y=2x.∴y=2x 与函数g(x)=x 2围成的图形如图.由{y =x 2,y =2x可得交点A(2,4). 又S △AOB =12×2×4=4,g(x)=x 2与直线x=2,x 轴围成的区域的面积S=∫20x 2dx=13x3|02=83,∴y=2x 与函数g(x)=x 2围成的图形的面积为S'=S △AOB -S=4-83=43.。

【高考数学】定积分的概念、基本定理及其简单应用1

【高考数学】定积分的概念、基本定理及其简单应用1

【高考数学】定积分的概念、基本定理及其简单应用1未命名一、单选题1.由曲线2y x = ,3y x =围成的封闭图形的面积为( ) A .13B .14C .112D .7122.由曲线y =直线2y x =-及y 轴所围成的平面图形的面积为( )A .6B .4C .103D .1633.若20sin a xdx π=⎰,则函数1()x f x ax e -=+的图象在1x =处的切线方程为( )A .20x y -=B .20x y +=C .20x y -=D .20x y +=4.二项式()()310mx m ->展开式的第二项的系数为-3,则22mx dx -⎰的值为( )A .3B .73C .83D .25.已知函数()())11001x x f x x ⎧+-≤≤=<≤,则()1-1x f x d ⎰的值为( ) A .1+2π B .1+24π C . 1+4π D .1+22π6.1(e )d x x x --=⎰A .11e --B .1-C .312e-+D .32-7.函数1()1x f x x +=-的图象在点(3,2)处的切线与函数2()2g x x =+的图象围成的封闭图形的面积为( ) A .1112B .3316C .3516D .125488.4片叶子由曲线2||y x =与曲线2||y x =围成,则每片叶子的面积为( )A.6B .13C .23D .439.若2,a ln =125b -=,201cos 2c xdx π=⎰,则,,a b c 的大小关系( )A .a b c <<B .b a c <<C .c b a <<D .b c a <<10.平面直角坐标系中,过坐标原点O 作曲线:x C y e =的切线l ,则曲线C 、直线l 与y 轴所围成的封闭图形的面积为( )A .112e - B .2e C .12e -D .32e -11.正方形的四个顶点 分别在抛物线 和 上,如图所示,若将一个质点随机投入正方形ABCD 中,则质点落在图中阴影区域的概率是 ( )A .B .C .D .12.曲线4y x=与直线5y x =-围成的平面图形的面积为( ) A .152B .154C .154ln 24- D .158ln 22- 13.曲线()22f x x =,()22g x x x =-以及直线14x =所围成封闭图形的面积为( )A .132B .116C .18 D .1414.曲线 , 和直线 围成的图形面积是( ) A . B .C .D .15.()22310xk dx +=⎰,则k =( )A .1B .2C .3D .416.若1201ln 2,5,sin 4a b c xdx π-===⎰,则a ,b ,c ,的大小关系( ) A .a b c <<B .b a c <<C .c b a <<D .b c a <<17.已知()6cos 1x t dx π-=⎰,则常数t 的值为( )A .3π-B .1π-C .32π-D .52π-18.已知函数()f x 满足()()4f x f x =-,()524f x dx =⎰,则()51f x d x -⎰等于( )A .0B .2C .8D .不确定19.函数()1f x x=与两条平行线x e =,4x =及x 轴围成的区域面积是( ) A .2ln21-+B .2ln 21-C .ln 2-D .ln 220.由曲线y =x 2和曲线y =( )A .13B .310C .14D .1521.在812x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭二项展开式中3x 的系数为m ,则()120x mx dx +=⎰( ) A .176B .206C .236D .26622.已知函数3,1()1,1x x f x x x⎧⎪=⎨≥⎪⎩<,(e 为自然对数的底数)的图象与直线x e =,x 轴围成的区域为E ,直线x e =与1y =围成的区域为F ,在区域F 内任取一点,则该点落在区域E 内的概率为( ) A .58eB .18eC .43eD .12e23.曲线21:C y x =,22:4C y x x =-以及直线:2l x =所围成封闭图形的面积为( )A .1B .3C .6D .824.已知曲线cos y x =,其中30,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,则该曲线与坐标轴围成的面积等于( )A .1B .2C .52D .325.曲线2sin (0)y x x π=≤≤与直线1y =围成的封闭图形的面积为( ) A.43π B.23π C.43π D.23π 26.在1100x y x y ==-=,,,围成的正方形中随机投掷10000个点,则落入曲线20x y -=,1y =和y 轴围成的区域的点的个数的估计值为( )A .5000B .6667C .7500D .785427.用S 表示图中阴影部分的面积,若有6个对面积S 的表示,如图所示,()caS f x dx =⎰①;()caS f x dx =⎰②;()c a S f x dx =⎰③;()()b ca bS f x dx f x dx =-⎰⎰④;()()c b baS f x dx f x dx =-⎰⎰⑤;()()b cabS f x dx f x dx =-⎰⎰⑥.则其中对面积S 的表示正确序号的个数为( )A .2B .3C .4D .528.如图,若在矩形OABC 中随机撒一粒豆子,则豆子落在图中阴影部分的概率为( )A .21π-B .2πC .22πD .221π-29.函数()2,? 0,2,x x f x x -≤=<≤,则()22f x dx -⎰的值为 ( ) A .6π+B .2π-C .2πD .830.4片叶子由曲线2||y x =与曲线2||y x =围成,则每片叶子的面积为()A .16B.6C .13D .2331.111d ex x ⎛⎫- ⎪⎝⎭⎰的值为( ) A .e 2-B .eC .e 1+D .e 1-32.已知412(1)x a x x ⎛⎫++- ⎪⎝⎭展开式中3x 项的系数为5,则0⎰=( ) A .2πB .πC .2πD .4π33.在4(1)(21)x x +-的展开式中,2x 项的系数为a ,则0(2)ax e x dx +⎰的值为( )A .1e +B .2e +C .23e +D .24e +34.1012x dx ⎫=⎪⎭⎰( ) A .14π+ B .12π+ C .124π+D .14π+35.已知,由抛物线2y x =、x 轴以及直线1x =所围成的曲边区域的面积为S.如图可以通过计算区域内多个等宽的矩形的面积总和来估算S.所谓“分之弥细,所失弥少”,这就是高中课本中的数列极限的思想.由此可以求出S 的值为( )A .12B .13C .14D .2536.计算2131dx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎰的值为( ) A .ln21+ B .2ln 21+ C .3ln23+D .3ln 21+37.设曲线cos y x =与x 轴、y 轴、直线6x π=围成的封闭图形的面积为b ,若()22ln 2g x x bx kx =--在[]1,+∞上的单调递减,则实数k 的取值范围是( )A .[)0,+∞B .()0,∞+C .[)1,+∞D .()1,+∞38.设[](]2,0,1,(){1,1,e x x f x x x∈=∈(其中为自然对数的底数),则0()ef x dx ⎰的值为( )A .43B .54C .65D .39.若ln 2a =,125b -=,201cos 2c xdx π=⎰,则a ,b ,c 的大小关系()A .a b c <<B .b a c <<C .c b a <<D .b c a <<40.定积分)232sin x x dx -+⎰的值是( )A .πB .2πC .2π+2cos2D .π+2cos241.如图所示,阴影部分的面积为()A .()41f x dx -⎰B .()41f x dx --⎰C .()()3413f x dx f x dx --⎰⎰D .()()4331f x dx f x dx --⎰⎰42.在平面直角坐标系中,由坐标轴和曲线3cos 02y x x π⎛⎫=≤≤⎪⎝⎭所围成的图形的面积为( ) A .2 B .52C .3D .443.已知()12201,log 3,cos6a x dxbc π=-==⎰,则,,a b c 的大小关系是()A .a b c <<B .c a b <<C .a c b <<D .b c a <<44.定积分()1214d x x x --=⎰( )A .0B .1-C .23-D .2-45.由曲线22y x x =+与直线y x =所围成的封闭图形的面积为( ) A .16B .13C .56D .2346.函数f x ()在区间[15]-, 上的图象如图所示,0()()xg x f t dt =⎰,则下列结论正确的是( )A .在区间04(,)上,g x ()先减后增且0g x <()B .在区间04(,)上,g x ()先减后增且0g x >()C .在区间04(,)上,g x ()递减且0g x >()D .在区间04(,)上,g x ()递减且0g x <() 47.若函数f (x)= +x ,则= A .B .C .D .48.已知225sin )a x dx -=⎰,且2am π=.则展开式212(1)m x x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭中x 的系数为( ) A .12B .-12C .4D .-449.设,则的展开式中的常数项为A .20B .-20C .120D .-120二、填空题50.设抛物线C :22(0)y px p =>,过抛物线的焦点且平行于y 轴的直线与抛物线围成的图形面积为6,则抛物线的方程为________.51.若曲线y =x m =,0y =所围成封闭图形的面积为2m ,则正实数m =______.52.由曲线3y x =(x ≥0)与它在1x =处切线以及x 轴所围成的图形的面积为___________.53.设函数2y nx n =-+和1122y x n =-+(*n N ∈,2n ≥)的图像与两坐标轴围成的封闭图形的面积为n S ,则lim n n S →∞=________ 54.定积分=⎰____________.55.若函数的图象如图所示,则图中的阴影部分的面积为 ;56.已知1a -=⎰,则61[(2)]2a x xπ+--展开式中的常数项为______.57.已知实数x ,y 满足不等式组2025020x y x y y --≤⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩,且z =2x -y 的最大值为a ,则1e a dx x ⎰=______.58.如图放置的边长为1的正方形 沿 轴滚动,点 恰好经过原点.设顶点 的轨迹方程式 ( ),则对函数 有下列判断: ①函数 是偶函数;②对任意的 ,都有 ; ③函数 在区间 上单调递减; ④.其中判断正确的序号是 .59.222(3)x sinx dx --=⎰______.60.由x 的正半轴、2y x =和4x =所围成的封闭图形的面积是______61.12xdx ⎰的值为________.62.0=⎰_________.63.(434sin x dx -⎰的值为__________.64.若04sin n xdx π=⎰,2⎛⎝nx 的展开式中常数项为________.65.如图,在平面直角坐标系xoy 中,将直线y 2x=与直线x =1及x 轴所围成的图形绕x 轴旋转一周得到一个圆锥,圆锥的体积V 圆锥1=⎰π(2x )2dx 310|1212x ππ==据此类比:将曲线y =x 2(x ≥0)与直线y =2及y 轴所围成的图形绕y 轴旋转一周得到一个旋转体,该旋转体的体积V =_____.66.若()12143a x dx --=⎰,则a =______. 67.直线x =0、直线y =e +1与曲线y =e x +1围成的图形的面积为_____. 68.(12x dx +=⎰________69.1||-1x e dx ⎰值为______.70.22sin )x dx -+=⎰___________71.已知数列{}n a 是公比120=⎰q x dx 的等比数列,且312a a a =⋅,则10a =________.72.33(sin cos x x dx -+=⎰______.73.设计一个随机试验,使一个事件的概率与某个未知数有关,然后通过重复试验,以频率估计概率,即可求得未知数的近似解,这种随机试验在数学上称为随机模拟法,也称为蒙特卡洛法。

数学选修2-2定积分的简单应用练习题含答案

数学选修2-2定积分的简单应用练习题含答案

数学选修2-2定积分的简单应用练习题含答案学校:__________ 班级:__________ 姓名:__________ 考号:__________1. 曲线y=sin x与x轴在区间[0, 2π]上所围成阴影部分的面积为()A.−4B.−2C.2D.42. 由直线x=0,x=2,y=0和抛物线x=√1−y所围成的平面图形绕x轴旋转所得几何体的体积为()A.46 15πB.43π C.1615π D.83π3. 由直线x=1,x=2,y=0与抛物线y=x2所围成的曲边梯形的面积为()A.1 3B.53C.73D.1134. 由曲线y=x2+2与y=3x,x=0,x=1所围成的平面图形的面积为()A.5 6B.1C.53D.25. 曲线y=x2和y2=x所围成的平面图形绕x轴旋转一周后,所形成的旋转体的体积为()A.3π10B.π2C.π5D.7π106. 函数y=sin x,y=cos x在区间(π4,5π4)内围成图形的面积为()A.√2B.2√2C.3√2D.4√27. 一物体在力F(x)=3+e2x(x的单位:m,F的单位:N)的作用下,沿着与力F相同的方向,从x=0处运动到x=1处,力F(x)所做的功为()A.(3+e2)JB.(3+12e2)J C.(52+12e2)J D.(2+e2)J8. 由曲线y=√x,y=x−2及x轴所围成的封闭图形的面积是()A.4B.103C.163D.1549. 下列表示图中f(x)在区间[a, b]上的图象与x 轴围成的面积总和的式子中,正确的是( )A.∫f ba (x)dx B.|∫f ba (x)dx|C.∫f c 1a (x)dx +∫f c 2c 1(x)dx +∫f cc 2(x)dxD.∫f c 1a (x)dx −∫f c 2c 1(x)dx +∫f cc2(x)dx10. 直线y =x 与曲线y =√x 3围成的平面图形的面积是.( ) A.14 B.2 C.1D.1211. 设函数f(x)=ax 2+c(a ≠0),若∫f 10(x)dx =f(x 0),0≤x 0≤1,则x 0的值为________.12. y =cos x 与直线x =0,x =π及x 轴围成平面区域面积为________.13. 由曲线y =|x|,y =−|x|,x =2,x =−2合成的封闭图形绕y 轴旋转一周所得的旋转体的体积为V ,则V =________.14. 两曲线x −y =0,y =x 2−2x 所围成的图形的面积是________.15. 由曲线y =x 2和直线x =0,x =1,以及y =0所围成的图形面积是________. 16.若在平面直角坐标系xOy 中将直线y =x 2与直线x =1及x 轴所围成的图形绕x 轴旋转一周得到一个圆锥,则该圆锥的体积V 圆锥=∫π10(x 2)2dx =π12x 3|10=π12据此类比:将曲线y =x 2与直线y =9所围成的图形绕y 轴旋转一周得到一个旋转体,则该旋转体的体积V =________.17. 在直角坐标平面内,由直线x=1,x=2,y=0和曲线y=1所围成的平面区域的x面积是________.18. 在xOy平面上,将抛物线弧y=1−x2(0≤x≤1)、x轴、y轴围成的封闭图形记为D,如图中曲边三角形OAB及内部.记D绕y轴旋转一周而成的几何体为Ω,过点(0, y)(0≤y≤1)作Ω的水平截面,所得截面面积为(1−y)π,试构造一个平放的直三棱柱,利用祖暅原理得出Ω的体积值为________.19. 函数f(x)=x3−x2+x+1在点(1, 2)处的切线与函数g(x)=x2−x围成的图形的面积等于________.2ax2−a2x)dx,则f(a)的最大值为________.20. 已知f(a)=∫(1x2在第一象限内的交点为P.21. 已知曲线C1:y2=2x与C2:y=12(1)求曲线C2在点P处的切线方程;(2)求两条曲线所围成图形的面积S.22. 求由曲线y=x2+2与y=3x,x=0,x=2所围成的平面图形的面积.23. 已知曲线C:y=x2(x≥0),直线l为曲线C在点A(1, 1)处的切线.(1)求直线l的方程;(2)求直线l与曲线C以及x轴所围成的图形的面积.24. 如图一是火力发电厂烟囱示意图.它是双曲线绕其一条对称轴旋转一周形成的几何体,烟囱最细处的直径为10m,最下端的直径为12m,最细处离地面6m,烟囱高14m,试求该烟囱占有空间的大小.(精确到0.1m3)25.(1)已知复数z的共轭复数是z¯,且z⋅z¯−3iz=10,求z;1−3ix所围成的平面图形的面积.(2)求曲线y=√x与直线x+y=2,y=−1326.(1)已知(√x +2√x4)n 展开式的前三项系数成等差数列.求n .(2)如图所示,在一个边长为1的正方形AOBC 内,曲线y =x 2和曲线y =√x 围成一个叶形图(阴影部分),向正方形AOBC 内随机投一点(该点落在正方形AOBC 内任何一点是等可能的),求所投的点落在叶形图内部的概率.27. 求由下列给出的边界所围成的区域的面积: (1)y =sin x(π4≤x ≤π),x =π4,y =0;(2)y =x 2,y =2x 2,x =1;(3)y =x 2,y =√x .28. 求由y =4−x 2与直线y =2x −4所围成图形的面积.29. 已知曲线y =sin x 和直线x =0,x =π,及y =0所围成图形的面积为S 0. (1)求S 0.(2)求所围成图形绕ox 轴旋转所成旋转体的体积.30. 已知函数y =f(x)的图形如图所示,给出y =f(x)与x =10和x 轴所围成图形的面积估计值;要想得到误差不超过1的面积估计值,可以怎么做?31. 已知曲线C:y =√x 和直线:x −2y =0由C 与围成封闭图形记为M . (1)求M 的面积;(2)若M 绕x 轴旋转一周,求由M 围成的体积.32. 已知f(x)为一次函数,且f(x)=x ∫f 20(t)dt +1, (1)求函数f(x)的解析式;(2)若g(x)=x ⋅f(x),求曲线y =g(x)与x 轴所围成的区域绕x 轴旋转一周所得到的旋转体的体积.33. 已知圆锥的高为ℎ,底半径为r ,用我们计算抛物线下曲边梯形面积的思路,推导圆锥体积的计算公式. [提示:(1)用若干张平行于圆锥底面的平面把它切成n 块厚度相等的薄片;(2)用一系列圆柱的体积近似地代替对应的薄片,圆柱的高为ℎn ,底半径顺次为:rn ,2r n,3r n…,(n−1)r n,r ;(3)问题归结为计算和式V(n)=ℎn ×(12+22+...+n 2)×πr 2n 2,当n 越来越大时所趋向的值.].34. 求曲线y =√x(0≤x ≤4)上的一条切线,使此切线与直线x =0,x =4以及曲线y =√x 所围成的平面图形的面积最小.35. 过点(0, 1)作曲线L:y =ln x 的切线,切点为A .又L 与x 轴交于B 点,区城D 由L 、x 轴与直线AB 围成,求区域D 的面积及D 绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积.36. 求曲线y =2x −x 2,y =2x 2−4x 所围成图形的面积.37. 已知∫(103ax +1)(x +b)dx =0,a ,b ∈R ,试求ab 的取值范围.38. 求下列曲线所围成图形的面积:曲线y=cos x,x=π2,x=3π2,y=0.39. 求曲线y=sin x与直线x=−π2,x=5π4,y=0所围成的平面图形的面积.40. 如图,直线y=kx分抛物线y=x−x2与x轴所围图形为面积相等的两部分,求k的值.参考答案与试题解析数学选修2-2定积分的简单应用练习题含答案一、 选择题 (本题共计 10 小题 ,每题 3 分 ,共计30分 ) 1.【答案】 D【考点】定积分在求面积中的应用 【解析】由积分的几何意义可得,S =2∫sin π0xdx ,即可得出结论. 【解答】解:由积分的几何意义可得,S =2∫sin π0xdx =(−cos x)|0π=4. 故选:D . 2.【答案】 A【考点】用定积分求简单几何体的体积 【解析】由题意此几何体的体积可以看作是∫π20(1−x 2)2dx ,求出积分即得所求体积. 【解答】解:由题意几何体的体积; ∫π20(1−x 2)2dx=π(x −23x 3+15x 5)|02=π(2−23×23+15×25) =4615π 故选A . 3. 【答案】 C【考点】定积分在求面积中的应用 【解析】先根据题意画出区域,然后依据图形利用定积分表示出曲边梯形的面积,最后用定积分的定义求出所求即可. 【解答】解:直线x =1,x =2,y =0与抛物线y =x 2所围成的曲边梯形的面积为S =∫x 221dx =13x 3|12=83−13=73,故选:C .4.【答案】 A【考点】定积分的简单应用 【解析】因为所求区域均为曲边梯形,所以使用定积分方可求解,然后求出曲线y =x 2+2与y =3x 的交点坐标,然后利用定积分表示所围成的平面图形的面积,根据定积分的定义解之即可. 【解答】解:联立{y =x 2+2y =3x,解得x 1=1,x 2=2∴ S =∫(10x 2+2−3x)d x =[13X 3+2X −32X 2]01=56 故选:A 5.【答案】 A【考点】用定积分求简单几何体的体积 【解析】欲求曲线y =x 2和y 2=x 所围成的平面图形绕x 轴旋转一周后所形成的旋转体的体积,可利用定积分计算,即求出被积函数y =π(x −x 4)在0→1上的积分即可. 【解答】解:设旋转体的体积为V ,则v =∫π10(x −x 4)dx =π(12x 2−15x 5)|01=3π10.故旋转体的体积为:3π10. 故选A . 6. 【答案】 B【考点】定积分在求面积中的应用 【解析】根据定积分的几何意义,所求面积为S =∫(5π4π4sin x −cos x)dx ,然后利用公式求出sin x −cos x 的原函数F(x),算出F(5π4)−F(π4)的值,即为所求图形的面积. 【解答】解:根据题意,所求面积为S =∫(5π4π4sin x −cos x)dx =(−cos x −sin x +C)|π45π4 (其中C 为常数) ∴ S =(−cos 5π4−sin5π4+C)−(−cos π4−sin π4+C)=(√22+√22+C)−(−√22−√22+C)=2√2 故选B 7.【答案】 C【考点】定积分的简单应用 【解析】先根据题意建立关系式∫(103+e 2x )dx ,然后根据定积分的计算法则求出定积分的值即可. 【解答】解:根据题意可知F(x)所做的功为∫(103+e 2x )dx =(3x +12e 2x )|01=3+12e 2−12=52+12e 2故选C .8.【答案】 B【考点】定积分在求面积中的应用 【解析】根据定积分的几何意义,先求出积分的上下限,即可求出所围成的图形的面积 【解答】解:联立直线y =x −2,曲线y =√x 构成方程组,解得{x =4,y =2,联立直线y =x −2,y =0构成方程组,解得{x =2,y =0,如图所示:∴曲线y=√x,y=x−2及x轴所围成的封闭图形的面积S=∫√x40dx−∫(42x−2)dx=2x32|04 −(1x2−2x)|24=163−2=103.故选B.9.【答案】D【考点】定积分在求面积中的应用定积分定积分的简单应用【解析】先根据定积分的几何意义可知将区间[a, b]分成三段,然后利用上方曲线方程减下方的曲线方程,求积分即为面积,从而求出所求.【解答】解:根据定积分的几何意义可知将区间[a, b]分成三段利用上方曲线方程减下方的曲线方程,求积分即为面积S=∫fc1a (x)dx−∫fc2c1(x)dx+∫fcc2(x)dx故选:D10.【答案】D【考点】定积分在求面积中的应用【解析】先画出画出直线y=x与曲线y=√x3围成的平面图形,然后求出交点横坐标得到积分上下限,然后利用定积分表示出图形的面积,根据定积分的运算法则进行求解即可.【解答】解:画出直线y=x与曲线y=√x3围成的平面图形图形关于原点对称,交点的横坐标为−1,1∴直线y=x与曲线y=√x3围成的平面图形的面积是∫(1−1√x3−x)dx=2∫(1√x3−x)dx=2(34x43−12x2)|01=2(34−12−0)=12故选D .二、 填空题 (本题共计 10 小题 ,每题 3 分 ,共计30分 ) 11.【答案】 √33【考点】定积分的简单应用 【解析】求出定积分∫f 10(x)dx ,根据方程ax 02+c =∫f 10(x)dx 即可求解.【解答】解:∵ f(x)=ax 2+c(a ≠0),∴ f(x 0)=∫f 10(x)dx =[ax 33+cx]01=a3+c .又∵f(x 0)=ax 02+c .∴ x 02=13,∵ x 0∈[0, 1]∴ x 0=√33. 12.【答案】2【考点】定积分在求面积中的应用 【解析】本题利用直接法求解,根据三角函数的对称性知,曲线y =cos x 与直线x =0,x =π所围成的平面区域的面积S 为:曲线y =cos x 与直线x =0,x =π2所围成的平面区域的面积的两倍,最后结合定积分计算面积即可. 【解答】解:根据对称性,得:曲线y =cos x 与直线x =0,x =π所围成的平面区域的面积S 为:曲线y =cos x 与直线x =0,x =π2所围成的平面区域的面积的两倍, ∴ S =2∫cos π20xdx =2 故答案为2.13.【答案】323π【考点】旋转体(圆柱、圆锥、圆台)用定积分求简单几何体的体积【解析】作出曲线围成的封闭图象,根据旋转得到旋转体的结构即可得到结论.【解答】解:曲线y=|x|,y=−|x|,x=2,x=−2合成的封闭图形绕y轴旋转一周所得的旋转体为底面半径为2,高为4的圆柱,去掉2个底面半径为2,高为2的圆锥,则对应的体积为π×42−2×13π×22×2=16π−16π3=323π,故答案为:323π14.【答案】92【考点】定积分在求面积中的应用【解析】先根据题意画出区域,然后依据图形得到积分上限为3,积分下限为0,从而利用定积分表示出曲边梯形的面积,最后用定积分的定义求出所求即可.【解答】解:先根据题意画出图形,得到积分上限为3,积分下限为0;两曲线x−y=0,y=x2−2x所围成的图形的面积是∫(33x−x2)dx而∫(303x−x2)dx=(32x2−13x3)|03=272−9=92∴曲边梯形的面积是92故答案为92.15. 【答案】13【考点】定积分在求面积中的应用 【解析】作出两个曲线的图象,求出它们的交点,由此可得所求面积为函数y =x 2在区间[0, 1]上的定积分的值,再用定积分计算公式加以运算即可得到本题答案. 【解答】解:∵ 曲线y =x 2和直线L:x =1的交点为A(1, 1),∴ 曲线C:y =x 2、直线L:x =1与x 轴所围成的图形面积为 S =∫x 210dx =13x 3|01=13.故答案为:13.16. 【答案】81π2【考点】用定积分求简单几何体的体积 【解析】根据类比推理,结合定积分的应用,即可求出旋转体的体积. 【解答】解:根据类比推理得体积V =∫π90(√y)2dy =∫π90ydy =12πy 2|09=81π2,故答案为:81π2.17.【答案】 ln 2【考点】定积分在求面积中的应用 【解析】先根据所围成图形的面积利用定积分表示出来,然后根据定积分的定义求出面积即可. 【解答】解:由题意,S =∫1x 21dx =ln x|12=ln 2.故答案为:ln 2. 18. 【答案】√34π 【考点】用定积分求简单几何体的体积 【解析】(1−y)π看作是把一个底面边长为1,高为π的直三棱柱平放得到的,根据祖暅原理,每个平行水平面的截面积相等,故它们的体积相等,即可得出结论. 【解答】解:(1−y)π看作是把一个底面边长为1,高为π的直三棱柱平放得到的, 根据祖暅原理,每个平行水平面的截面积相等,故它们的体积相等, 即Ω的体积为π⋅√34=√34π. 故答案为√34π. 19. 【答案】92【考点】定积分在求面积中的应用 【解析】求出函数的切线方程,利用积分的几何意义即可求出区域的面积. 【解答】解:函数的导数为f′(x)=3x 2−2x +1,则在(1, 2)处的切线斜率k =f′(1)=3−2+1=2, 则对应的切线方程为y −2=2(x −1),即y =2x , 由{y =x 2−x y =2x,解得x =3或x =0,则由积分的几何意义可得阴影部分的面积S =∫(302x −x 2+x)dx =(32x 2−13x 3)| 30 =92,故答案为:92.20. 【答案】29【考点】定积分的简单应用 【解析】先根据定积分的运算公式求出f(a)的解析式,然后利用二次函数的图象和性质即可求出f(a)的最大值. 【解答】解:f(a)=∫(102ax 2−a 2x)dx =(23ax 3−12a 2x 2)|01=23a −12a 2∴ 当a =23时,f(a)取最大值,最大值为29 故答案为:29三、 解答题 (本题共计 20 小题 ,每题 10 分 ,共计200分 ) 21.【答案】解:(1)∵ 交点为P(2,2),∴ 曲线C 2的导函数为:y ′=x ∴ 切点坐标为(2,2),故该点的切线方程为:2x −y −2=0. (2)两曲线交点坐标(0,0),(2,2), S ∈∫(√2x −12x 2)20dx =43.【考点】定积分在求面积中的应用利用导数研究曲线上某点切线方程 【解析】 此题暂无解析 【解答】解:(1)∵ 交点为P(2,2),∴ 曲线C 2的导函数为:y ′=x ∴ 切点坐标为(2,2),故该点的切线方程为:2x −y −2=0. (2)两曲线交点坐标(0,0),(2,2), S ∈∫(√2x −12x 2)20dx =43. 22. 【答案】解:联立{y =x 2+2y =3x,解得x 1=1,x 2=2∴ S =∫(10x 2+2−3x)d x +∫(213x −x 2−2)d x =[13X 3+2X −32X 2]01+[32X 2−13X 3−2X]12=1【考点】定积分的简单应用 【解析】因为所求区域均为曲边梯形,所以使用定积分方可求解. 【解答】解:联立{y =x 2+2y =3x,解得x 1=1,x 2=2∴ S =∫(10x 2+2−3x)d x +∫(213x −x 2−2)d x =[13X 3+2X −32X 2]01+[32X 2−13X 3−2X]12=1 23. 【答案】解:(1)由y′=2x ,则切线l 的斜率k =y′|x=1=2×1=2,切线l 的方程为y −1=2(x −1)即2x −y −1=0;(2)如图,所求的图形的面积s =∫x 2120dx +∫[112x 2−(2x −1)]dx =112.【考点】定积分在求面积中的应用利用导数研究曲线上某点切线方程【解析】(1)根据导数的几何意义即可求出切线方程;(2)根据定积分的几何意义即可求出所围成的图形的面积. 【解答】解:(1)由y′=2x ,则切线l 的斜率k =y′|x=1=2×1=2,切线l 的方程为y −1=2(x −1)即2x −y −1=0;(2)如图,所求的图形的面积s =∫x 2120dx +∫[112x 2−(2x −1)]dx =112.24.【答案】解:由题意,将烟囱横截面按照如图放置,建立坐标系如图,双曲线的短轴长为2A =10,并且过(−6, 6),所以双曲线方程为y 225−11x 225×36=1,所以V =π∫(8−611x 236+25)dx =1659.2m 3【考点】用定积分求简单几何体的体积 双曲线的特性【解析】由题意建立坐标系,得到如图的双曲线,烟囱最细处的直径为10m 即2a =10,最下端的直径为12m ,最细处离地面6m ,即双曲线经过(−6, 6),烟囱高14m ,即自变量范围为−6到8,由此利用定积分的值得到体积. 【解答】解:由题意,将烟囱横截面按照如图放置,建立坐标系如图,双曲线的短轴长为2A =10,并且过(−6, 6), 所以双曲线方程为y 225−11x 225×36=1,所以V =π∫(8−611x 236+25)dx =1659.2m 325.【答案】解:(1)设z =a +bi (a,b ∈R ), 则z ¯=a −bi ,∴ z ⋅z ¯−3iz =a 2+b 2+3b −3ai . 又∵ z ⋅z ¯−3iz =101−3i =1+3i , ∴ {a 2+b 2+3b =1,−3a =3,解得 {a =−1,b =0,或{a =−1,b =−3,∴ z =−1或z =−1−3i . (2)由{y =√x ,x +y =2,解得{x =1,y =1,即曲线y =√x 与直线x +y =2的交点坐标为(1,1), 同理可得,曲线y =√x 与直线y =−13x 的交点坐标为(0,0),直线x +y =2与直线y =−13x 的交点坐标为(3,−1),所以围成的平面图形的面积为: S =∫(√x +13x)10dx +∫(2−x +13x)31dx=(23x 32+16x 2)|01+(2x −13x 2)|13=136.【考点】 复数的运算 共轭复数复数代数形式的混合运算 定积分在求面积中的应用 【解析】 此题暂无解析 【解答】解:(1)设z =a +bi (a,b ∈R ), 则z ¯=a −bi ,∴ z ⋅z ¯−3iz =a 2+b 2+3b −3ai . 又∵ z ⋅z ¯−3iz =101−3i =1+3i , ∴ {a 2+b 2+3b =1,−3a =3,解得 {a =−1,b =0,或{a =−1,b =−3,∴ z =−1或z =−1−3i . (2)由{y =√x ,x +y =2,解得{x =1,y =1,即曲线y =√x 与直线x +y =2的交点坐标为(1,1), 同理可得,曲线y =√x 与直线y =−13x 的交点坐标为(0,0), 直线x +y =2与直线y =−13x 的交点坐标为(3,−1),所以围成的平面图形的面积为: S =∫(√x +13x)10dx +∫(2−x +13x)31dx=(23x 32+16x 2)|01+(2x −13x 2)|13=136.26. 【答案】解:(1)∵ (√x 2x4)n 展开式的前三项系数成等差数列,∴ C n 0+C n 2(12)2=2C n 1⋅12…∴ 1+n(n−1)2×14=n ,整理得n 2−9n +8=0,n 1=1(舍) n 2=8…(2)所投的点落在叶形图内记为事件A ,由几何概型的概率公式得: P(A)=叶形图面积AOBC 的面积=∫(10√x−x 2)dx1=(23x 32−13x 3)|01=13…【考点】二项式定理的应用定积分在求面积中的应用 等差数列的性质几何概型计算(与长度、角度、面积、体积有关的几何概型) 【解析】(1)由题意可得,C n 0+C n 2(12)2=2C n 1⋅12,解关于n 的方程即可;(2)由几何概型的概率公式可知,需求叶形图的面积,利用定积分∫(10√x −x 2)dx 可求叶形图的面积,从而使问题解决. 【解答】解:(1)∵ (√x 2√x4)n 展开式的前三项系数成等差数列,∴ C n 0+C n 2(12)2=2C n 1⋅12…∴1+n(n−1)2×14=n,整理得n2−9n+8=0,n1=1(舍)n2=8…(2)所投的点落在叶形图内记为事件A,由几何概型的概率公式得:P(A)=叶形图面积AOBC的面积=∫(1√x−x2)dx1=(23x32−13x3)|01=13…27.【答案】利用S=∫ππ4sin xdx=(−cos x)|π4π=1+√22.利用S=∫10(2x2−x2)dx=23x3|01−13x3|01=13.由于{y=x2y=√x,解得{x=0y=0或{x=1y=1,所以S=∫10(√x−x2)dx=23x32|01−13x3|01=23−13=13.【考点】定积分的简单应用【解析】首先求出被积函数的原函数,进一步利用定积分知识求出结果.【解答】利用S=∫ππ4sin xdx=(−cos x)|π4π=1+√22.利用S=∫10(2x2−x2)dx=23x3|01−13x3|01=13.由于{y=x2y=√x,解得{x=0y=0或{x=1y=1,所以S=∫10(√x−x2)dx=23x32|01−13x3|01=23−13=13.28.【答案】解:由y=4−x2与直线y=2x−4联立,可得交点(−4, −12),(2, 0),∴y=4−x2与直线y=2x−4所围成图形的面积S=∫(2−44−x2−2x+4)dx=(−13x3−x2+8x)|−42=36.【考点】定积分在求面积中的应用【解析】先联立方程,组成方程组,求得交点坐标,可得被积区间,再用定积分表示出y=4−x2与直线y=2x−4所围成图形的面积,即可求得结论.【解答】解:由y=4−x2与直线y=2x−4联立,可得交点(−4, −12),(2, 0),∴y=4−x2与直线y=2x−4所围成图形的面积S=∫(2−44−x2−2x+4)dx=(−13x 3−x 2+8x)|−42=36.29. 【答案】解:(1)S 0=∫sin π0xdx =[−cos x]0π=(−cos π)−(−cos 0)=1+1=2 (2)V =π∫sin 2π0xdx =π[x2−14sin 2x]0π=π(π2−14×0)=π22【考点】用定积分求简单几何体的体积 定积分在求面积中的应用【解析】(1)根据题意可知曲线y =sin x 和直线x =0,x =π,及y =0所围成图形的面积为S 0=∫sin π0xdx ,解之即可;(2)所围成图形绕ox 轴旋转所成旋转体的体积为V =π∫sin 2π0xdx ,根据定积分的定义解之即可. 【解答】解:(1)S 0=∫sin π0xdx =[−cos x]0π=(−cos π)−(−cos 0)=1+1=2 (2)V =π∫sin 2π0xdx=π[x 2−14sin 2x]0π=π(π2−14×0)=π2230.【答案】解:设f(x)=ax 3+bx 2+cx +d ,则f′(x)=3ax 2+2bx +c , 由图象可知{ f(0)=0f(1)=1f′(4)=0f′(7)=0,即{ d =0a +b +c =0c 3a =28−2b 3a =11,解得{ a =2137b =−33137c =168137d =0, ∴ f(x)=2137x 3−33137x 2+168137x . ∴ S =∫f 100(x)dx =(2137×x 44−33137×x 33+168137×x 22)|10≈17.5. 若要想得到误差不超过1的面积估计值,可使用分段函数求出f(x)的解析式,然后使用定积分求出面积. 【考点】定积分在求面积中的应用 【解析】设f(x)=ax 3+bx 2+cx +d ,利用待定系数法确定函数关系式,利用定积分求出面积估计值;若要误差小可分段求出f(x)的解析式,然后使用定积分求出面积. 【解答】解:设f(x)=ax 3+bx 2+cx +d ,则f′(x)=3ax 2+2bx +c ,由图象可知{ f(0)=0f(1)=1f′(4)=0f′(7)=0,即{ d =0a +b +c =0c 3a =28−2b 3a =11,解得{ a =2137b =−33137c =168137d =0, ∴ f(x)=2137x 3−33137x 2+168137x . ∴ S =∫f 100(x)dx=(2137×x 44−33137×x 33+168137×x 22)|10≈17.5. 若要想得到误差不超过1的面积估计值,可使用分段函数求出f(x)的解析式,然后使用定积分求出面积. 31. 【答案】解:(1)曲线C:y =√x 和直线:x −2y =0联立,可得交点坐标为(4, 2),则 S =∫(40√x −12x)dx =(23x 32−x 24)|04=43;(2)V =∫[40π(√x)2−π(x2)2]dx =π(x 22−x 312)|04=8π3.【考点】用定积分求简单几何体的体积 旋转体(圆柱、圆锥、圆台)【解析】(1)求得交点坐标,可得积分区间,即可求M 的面积; (2)旋转一周所得旋转体的体积应该用定积分来求.【解答】 解:(1)曲线C:y =√x 和直线:x −2y =0联立,可得交点坐标为(4, 2),则 S =∫(40√x −12x)dx =(23x 32−x 24)|04=43; (2)V =∫[40π(√x)2−π(x2)2]dx=π(x 22−x 312)|04=8π3.32.【答案】 解:(1)设f(x)=kx +b , ∵ f(x)=x ∫f 20(t)dt +1, ∴ kx +b =x •(kt 22+bt)|02+1,∴ kx +b =(2k +2b)x +1,∴ k =−2,b =1, ∴ f(x)=−2x +1,;2)g(x)=xf(x)=−2x 2+x , ∴ V =π∫[120xf(x)]2dx =π240. 【考点】用定积分求简单几何体的体积定积分【解析】(1)利用待定系数法,结合定积分的定义求函数f(x)的解析式;(2)求出g(x),应用定积分来求旋转体的体积.【解答】解:(1)设f(x)=kx+b,∵f(x)=x∫f2(t)dt+1,∴kx+b=x•(kt22+bt)|02+1,∴kx+b=(2k+2b)x+1,∴k=−2,b=1,∴f(x)=−2x+1,;2)g(x)=xf(x)=−2x2+x,∴V=π∫[120xf(x)]2dx=π240.33.【答案】解:(1)若干张平行于圆锥底面的平面把它切成n块厚度相等的薄片;(2)用一系列圆柱的体积近似地代替对应的薄片,圆柱的高为ℎn ,底半径顺次为:rn,2r n ,3rn…,(n−1)rn,r;(3)问题归结为计算和式V(n)=ℎn ×(12+22+...+n2)×πr2n2,当n越来越大时所趋向的值.(对V求极限V=limn→∞ℎn×(12+22+...+n2)×πr2n2=lim n→∞ℎn⋅16n(n+1)(2n+1)⋅πr2n2=ℎπr26limn→∞2n2+3n+1n2=πr2ℎ3=13S底ℎ故圆锥的体积等于13的圆柱体的体积【考点】用定积分求简单几何体的体积【解析】利用极限的定义进行分割、近似代换和求极限的方法,进行推到【解答】解:(1)若干张平行于圆锥底面的平面把它切成n块厚度相等的薄片;(2)用一系列圆柱的体积近似地代替对应的薄片,圆柱的高为ℎn ,底半径顺次为:rn,2r n ,3rn…,(n−1)rn,r;(3)问题归结为计算和式V(n)=ℎn ×(12+22+...+n2)×πr2n2,当n越来越大时所趋向的值.(对V求极限V=limn→∞ℎn×(12+22+...+n2)×πr2n2=lim n→∞ℎ⋅1n(n+1)(2n+1)⋅πr22=ℎπr26limn→∞2n2+3n+1n2=πr2ℎ3=13S底ℎ故圆锥的体积等于13的圆柱体的体积34.【答案】解:设(x0, y0)为曲线y=√x(0≤x≤4)上任一点,得曲线于该点处的切线方程为:y−y0=2√x −x0)即y=y02+2√x.得其与x=0,x=4的交点分别为(0,y02),(4,y02+2y0)于是由此切线与直线x=0,x=4以及曲线y=√x所围的平面图形面积为:S=∫(4 0y022x√x)dx=2y0+x−163=2√x0x−163应用均值不等式求得x0=2时,S取得最小值.即所求切线即为:y=22+√22.【考点】定积分在求面积中的应用【解析】先根据导数的几何意义求出曲线y=√x(0≤x≤4)上任一点处的切线方程,再求出积分的上下限,然后利用定积分表示出图形面积,最后利用定积分的定义进行求解即可.【解答】解:设(x0, y0)为曲线y=√x(0≤x≤4)上任一点,得曲线于该点处的切线方程为:y−y0=2x −x0)即y=y02+2x.得其与x=0,x=4的交点分别为(0,y02),(4,y02+2y0)于是由此切线与直线x=0,x=4以及曲线y=√x所围的平面图形面积为:S=∫(4 0y022√x√x)dx=2y0+√x−163=2√x0√x−163应用均值不等式求得x0=2时,S取得最小值.即所求切线即为:y=2√2+√22.35.【答案】解:设切线方程为y =kx +1,切点坐标为(a, b), 则{k =1aka +1=b ln a =b ,解得a =e 2,b =2,∴ 切线方程为y =1e 2x +1.将y =0代入y =1e 2x +1得x =−e 2,∴ B(−e 2, 0). ∴区域D 的面积为∫(e 2−e 21e 2x+1)dx −∫ln e 21xdx=x 22e 2+x|e 2−e 2−x(ln x −1)|e 21=2e 2+e 2=3e 2.区域D 绕x 轴旋转一周所得几何体体积为13⋅π⋅22⋅2e 2−π⋅∫(e 21ln x)2dx =8πe 23−π⋅x[(ln x)2−2ln x +2]|e 21=8πe 23−(2e 2−2)⋅π=2πe 23+2π.【考点】用定积分求简单几何体的体积 【解析】求出A 的坐标和切线方程,则所求面积和体积均可用两个定积分的差来表示. 【解答】解:设切线方程为y =kx +1,切点坐标为(a, b), 则{k =1aka +1=b ln a =b,解得a =e 2,b =2,∴ 切线方程为y =1e 2x +1.将y =0代入y =1e 2x +1得x =−e 2,∴ B(−e 2, 0). ∴区域D 的面积为∫(e 2−e 21e 2x+1)dx −∫ln e 21xdx=x 22e 2+x|e 2−e 2−x(ln x −1)|e 21=2e 2+e 2=3e 2.区域D 绕x 轴旋转一周所得几何体体积为13⋅π⋅22⋅2e 2−π⋅∫(e 21ln x)2dx=8πe 23−π⋅x[(ln x)2−2ln x +2]|e 21=8πe 23−(2e 2−2)⋅π=2πe 23+2π.36. 【答案】解:由{y =2x −x 2y =2x 2−4x ,得{x =0y =0或{x =2y =0, ∴ 所求图象的面积为:∫[20(2x −x 2)−(2x 2−4x)]dx =∫(206x −3x 2)dx =(3x 2−x 3)|02=3×22−23=12−8=4. 【考点】定积分在求面积中的应用 【解析】先求出两曲线的交点坐标,利用定积分的应用即可求出对应图形的面积. 【解答】解:由{y =2x −x 2y =2x 2−4x ,得{x =0y =0或{x =2y =0, ∴ 所求图象的面积为:∫[20(2x −x 2)−(2x 2−4x)]dx =∫(206x −3x 2)dx =(3x 2−x 3)|02=3×22−23=12−8=4. 37. 【答案】解:∫(103ax +1)(x +b)dx =∫[103ax 2+(3ab +1)x +b]dx=[ax 3+12(3ab +1)x 2+bx]|01 =a +12(3ab +1)+b =0即3ab +2(a +b)+1=0 设ab =t ∴ a +b =−3t+12则a ,b 为方程x 2+3t+12x +t =0两根△=(3t+1)24−4t ≥0∴ t ≤19或t ≥1∴ a ⋅b ∈(−∞, 19]∪[1, +∞) 【考点】定积分的简单应用 【解析】先根据定积分的运算法则建立a 与b 的等量关系,然后设ab =t 则a +b =−3t+12,再利用构造法构造a ,b 为方程x 2+3t+12x +t =0两根,然后利用判别式可求出a .b 的取值范围. 【解答】解:∫(103ax +1)(x +b)dx =∫[103ax 2+(3ab +1)x +b]dx=[ax 3+12(3ab +1)x 2+bx]|01 =a +12(3ab +1)+b =0即3ab +2(a +b)+1=0 设ab =t ∴ a +b =−3t+12则a ,b 为方程x 2+3t+12x +t =0两根△=(3t+1)24−4t ≥0∴ t ≤19或t ≥1∴ a ⋅b ∈(−∞, 19]∪[1, +∞) 38.【答案】解:根据对称性,得: 曲线y =cos x 与直线x =π2、x =3π2、y =0所围成的平面区域的面积S 为:曲线y =cos x与直线x =π2,x =π所围成的平面区域的面积的二倍, ∴ S =−2∫cos ππ2xdx =−2sin x =2.故曲线y =cos x 与直线x =π2、x =3π2、y =0所围成的面积为2.【考点】定积分在求面积中的应用 【解析】本题利用直接法求解,根据三角函数的对称性知,曲线y =cos x 与直线x =π2、x =3π2、y =0所围成的平面区域的面积S 为:曲线y =cos x 与直线x =π2,x =π所围成的平面区域的面积的二倍,最后结合定积分计算面积即可. 【解答】解:根据对称性,得: 曲线y =cos x 与直线x =π2、x =3π2、y =0所围成的平面区域的面积S 为:曲线y =cos x与直线x =π2,x =π所围成的平面区域的面积的二倍, ∴ S =−2∫cos ππ2xdx =−2sin x =2.故曲线y =cos x 与直线x =π2、x =3π2、y =0所围成的面积为2.39. 【答案】解:s =∫|5π4−π2sin x|dx =−∫sin 0−π2xdx+∫sin π0xdx−∫sin 5π4πxdx=cos x|−π20−cos x|0π+cos x|π5π4=1+2+(−√22+1)=4−√22. 【考点】定积分在求面积中的应用 【解析】求曲线y =sin x 与直线x =−π2,x =5π4,y =0所围成的平面图形的面积【解答】解:s =∫|5π4−π2sin x|dx =−∫sin 0−π2xdx+∫sin π0xdx−∫sin 5π4πxdx=cos x|−π20−cos x|0π+cos x|π5π4=1+2+(−√22+1)=4−√22. 40.【答案】 由 {y =kx y =x −x2 得 {x =1−k y =k −k 2 (0<k <1). 由题设得∫10−k[(x −x 2)−kx]dx =12∫(10x −x 2)dx 即∫10−k[(x −x 2)−kx]dx =12( 12x 2−13x 3)|01=112 ∴ (1−k)3=12 ∴ k =1−√432∴ 直线方程为y =(1−√432)x . 故k 的值为:k =1−√432.【考点】定积分的简单应用 【解析】先由 {y =kx y =x −x 2 得 {x =1−k y =k −k 2 ,根据直线y =kx 分抛物线y =x −x 2与x 轴所围成图形为面积相等的两个部分得∫10−k[(x −x 2)−kx]dx =12∫(10x −x 2)dx 下面利用定积分的计算公式即可求得k 值. 【解答】由 {y =kx y =x −x 2得 {x =1−k y =k −k 2 (0<k <1).由题设得∫10−k[(x −x 2)−kx]dx =12∫(10x −x 2)dx 即∫10−k[(x −x 2)−kx]dx =12( 12x 2−13x 3)|01=112试卷第31页,总31页 ∴ (1−k)3=12 ∴k =1−√432∴ 直线方程为y =(1−√432)x . 故k 的值为:k =1−√432.。

定积分的应用练习题

定积分的应用练习题

定积分的应用练习题一、题目概述定积分是微积分中的重要概念之一,具有广泛的应用。

本文将通过一系列应用练习题来加深对定积分的理解,并展示其实际应用的能力。

二、确定定积分的范围在解答具体的应用练习题之前,我们首先需要确定定积分的范围。

定积分的范围包括积分的上限和下限,决定了计算积分值的区域。

三、计算定积分的步骤计算定积分的基本步骤包括:确定积分函数、确定积分范围、求解不定积分、计算上下限、求解定积分。

四、应用练习题1:面积计算假设有一条曲线y = f(x),我们需要计算其与x轴和y轴所围成的面积。

通过定积分的方法,可以将面积计算问题转化为求解定积分的问题。

五、应用练习题2:弧长计算现在我们考虑一段曲线y = f(x)上的弧长计算问题。

通过将曲线在一定范围内进行微分,再进行积分运算,可以得到曲线的弧长。

六、应用练习题3:质量计算想象一下,在均匀分布的直线上,有一块密度为ρ的材料。

通过将材料切割成小块,可以将质量计算问题转化为求解定积分的问题。

七、应用练习题4:物体体积计算现在我们考虑一个三维空间中物体的体积计算问题。

通过将物体分割为无穷小的体积元,可以利用定积分的方法求解物体的体积。

八、应用练习题5:质心计算质心是描述物体平衡情况的一个重要概念。

对于连续分布的物体,可以通过定积分的方法计算其质心的位置。

九、应用练习题6:功的计算在物理学中,功是描述力对物体做功的量。

通过定积分的方法,可以将力的作用与位移的关系转化为定积分运算。

十、应用练习题7:概率密度函数的积分运算统计学中,概率密度函数是描述随机变量的概率分布的函数。

通过对概率密度函数进行积分运算,可以计算出某个随机变量落在某个区间内的概率。

十一、结论通过对一系列定积分的应用练习题的分析和求解,我们深入理解了定积分在不同领域的应用。

定积分作为一种强大的数学工具,可以帮助我们解决面积、弧长、质量、体积、质心、功和概率密度等问题,为我们理解和解决实际问题提供了有力的支持。

定积分的简单应用

定积分的简单应用

a
0
bx
y f1( x)
b
b
b
A4 a f2(x)dx a f1(x)dx a [ f2(x) f1(x)]dx
例 1 计算由两条抛物线 y2 x和 y x2所围成的
图形的面积.


y y

x x2

x

0及x

1
两曲线的交点 O(0,0) B(1,1)
的过程,求出了一些曲边梯形(由函数 y f ( x)
( f (x)≥0 )的图象和直线 x a , x b , x 轴围成的 平面图形)的面积.
并把它们浓缩成了一个结果:定积分( b f ( x)dx ) a

(1) 2 sin2 x cos xdx 0

(2)0 sin mxdx
车在这 1 min 行驶的路程.
解:由速度──时间曲线可知:
3t (0≤ t ≤10)
v t 30 (10≤ t ≤40)
-1.5t 90(40≤ t ≤60)
∴汽车在这 1 min 行
驶的路程是:
10
40
60
s 3tdt 30dt (1.5t 90)dt =1350m
2.变力:物体在变力 F ( x) 的作用下做直线运动,并且物体沿
着与
F
(
x)
相同的方向从
b
x

a
移动到
x

b(a

b)
,那么变力
F ( x)所作的功 W= F ( x)dx a
F
y F( x)
Wi F( xi ) x
n

定积分的应用习题精品文档34页

定积分的应用习题精品文档34页
sa
1y2dx
dy
B.曲线弧为
x y
(t) (t)
o a x xdxb x
(t)
其 中 ( t)( ,t) 在 [,] 上 具 有 连 续 导 数
弧长
s
2(t)2(t)dt
C.曲线弧为 rr() ()
弧长
s
r2()r2()d
(4) 旋转体的侧面积 y
yf(x)
y f ( x ) 0 ,a x b
x (t)
y
(t
)
曲边梯形的面积 Att12(t)(t)dt
( 其 中 t 1 和 t 2 对 应 曲 线 起 点 与 终 点 的 参 数 值 )
在 [t1,t2]( 或 [t2,t1]) 上 x(t)具 有 连 续 导 数 , y (t)连 续 .
极坐标情形
r()
d
r1()
r2()
o
x
和 ;
( 3 ) 部 分 量 U i 的 近 似 值 可 表 示 为 f ( i ) x i ;
就 可 以 考 虑 用 定 积 分 来 表 达 这 个 量 U .
4、解题步骤
1 )根 据 问 题 的 具 体 情 况 , 选 取 一 个 变 量 例 如 x为 积 分 变 量 , 并 确 定 它 的 变 化 区 间 [a,b ];
2)设想把区间[a,b]分成n 个小区间,取其中任 一小区间并记为[x, xdx],求出相应于这小区
间的部分量U的近似值.如果U能近似地表 示为[a,b]上的一个连续函数在x处的值f (x)与 dx的乘积,就把f(x)dx称为量U的元素且记作 dU,即dU f(x)dx; 3) 以 所 求 量 U的 元 素 f(x)d为 x被 积 表 达 式 , 在

高中数学选修2-2同步练习题库:定积分的简单应用(填空题:容易)

高中数学选修2-2同步练习题库:定积分的简单应用(填空题:容易)

定积分的简单应用(填空题:容易)1、若,则实数的值是 .2、由曲线所围成的封闭图形的面积为________3、如图所示,在边长为1的正方形中任取一点,则点恰好取自阴影部分的概率为___________.4、已知,则函数的单调递减区间是______.5、定积分的值为.6、_____________.7、曲线与直线及所围成的封闭图形的面积为 .8、曲线与所围成的封闭图形的面积s=9、已知,则.10、曲线和曲线围成的图形面积是11、的值等于 .12、曲线与直线围成的封闭图形的面积是 .13、在平面直角坐标系内,由曲线所围成的封闭图形的面积为.14、二项式的展开式的第二项的系数为,则的值为.15、.16、由直线与曲线所围成的封闭图形的面积为______________.17、定积分.18、计算定积分:.19、已知函数,则。

20、= .21、计算= .22、计算:= .23、等于.24、________.25、定积分___________;26、=。

27、求曲线,所围成图形的面积.28、由曲线,直线所围图形面积S= .29、定积分= .30、定积分的值为____________.31、计算定积分(x2+sinx)dx=.32、求曲线y=,y=2-x,y=-x所围成图形的面积为_______。

33、已知二次函数y=f(x)的图象如图所示,则它与x轴所围图形的面积为________.34、dx + .35、曲线=x与y=围成的图形的面积为______________.36、=________________。

37、设.若曲线与直线所围成封闭图形的面积为,则______.38、一物体在力(单位:)的作用下沿与力相同的方向,从处运动到(单位:)处,则力做的功为焦.39、由直线,,曲线及轴所围成的图形的面积是.40、计算定积分 .41、已知求 .42、曲线与直线所围成的封闭图形的面积为.43、在的展开式中的常数项为p,则 .44、设=,则二项式展开式中含项的系数是。

定积分的简单应用

定积分的简单应用

第五讲 定积分的简单应用[知识梳理][知识盘点]1.定积分在几何中的应用(1)当[,]x a b ∈有()0f x >时,由直线,(),0x a x b a b y ==≠=和曲线()y f x =围成的曲边梯形的面积_______________.S =(2)当[,]x a b ∈有()0f x <时,由直线,(),0x a x b a b y ==≠=和曲线()y f x =围成的曲边梯形的面积_______________.S =(3)当[,]x a b ∈有()()0f x g x >>时,由直线,(),0x a x b a b y ==≠=和曲线(),()y f x y g x ==围成的曲边梯形的面积_______________.S =(4)若()f x 是偶函数,则()________aaf x dx -=⎰;若()f x 是奇函数,则()________.aaf x dx -=⎰2.定积分在物理中的应用(1)作变功直线运动的物体在时间区间[,]a b 上所经过的路程__________S =(2)在恒力F 的作用下,物体沿力F 的方向作直线运动,并且由x a =运动到()x b a b =<,则力F 对物体所做的功__________.W =(3)在恒力F 的作用下,物体沿与力F 的方向成α角的方向作直线运动,并且由x a =运动到()x b a b =<,则力F 对物体所做的功__________.W =(4)在变力()F F x =的作用下,物体沿力F 的方向作直线运动,并且由x a =运动到()x b a b =<,则力F 对物体所做的功__________.W =(5)在变力()F F x =的作用下,物体沿与力F 的方向成α角的方向作直线运动,并且由x a =运动到()x b a b =<,则力F 对物体所做的功__________.W =[特别提醒]1.研究定积分在平面几何中的应用,其实质就是全面理解定积分的几何意义,当平面图形的曲边在x 轴上方时,容易转化为定积分求其面积;当平面图形的一部分在x 轴下方时,其在x 轴下的部分对应的定积分为负值,应取其相反数(或绝对值);2.求含有曲边的平面图形的面积问题时,在平面几何中是很难解决的问题,而定积分为这类问题的求解提供了很好的解决方法,这充分显示了定积分的巨大作用;3.利用定积分解决简单的物理问题,关键是要结合物理学中的相关内容,将物理意义转化为用定积分解决.[基础闯关]1.已知曲线()y f x =在x 轴的下方,则由(),y f x =0,1y x ==-和3x =所围成的曲边梯形的面积S 可表示为( ) A .31()f x dx -⎰B .13()f x dx -⎰ C .13()f x dx -⎰ D .31()f x dx -⎰2.曲线3cos (0)2y x x π=≤≤与坐标轴围成的面积是 ( ) A.4 B.52C.3D.2 3.若)(x f 与)(x g 是],[b a 上的两条光滑曲线,则由这两条曲线及直线b x a x ==,所围图形的面积( ). A .⎰-badx x g x f )()( B .⎰-badx x g x f ))()((C .⎰-badx x f x g ))()(( D .⎰-badxx g x f ))()((4.由2y x =与曲线23y x =-所围成的图形的面积为( ) A. B.9- C .325 D .3535.一物体以初速度9.8 6.5/v t m s =+的速度自由下落,则下落后的第二个4s 内所经过的路程为 。

《定积分的简单应用》课件讲解学习

《定积分的简单应用》课件讲解学习

0
[解析] v=ddxt=(bt3)′=3bt2, 媒质阻力F阻=kv2=k(3bt2)2=9kb2t4,其中k为比例常
数,k>0.
当x=0时,t=0,当x=a时,t=ab13,
ds=vdt,故阻力做的功为W阻=
t
kv2·vdt=k
t
v3dt=k
t
0
0
0
(3bt2)3dt=277k3 a7b2.
• [点评] 本题常见的错误是在计算所做的功 时,误将W阻=∫t10F阻ds写为∫t10F阻dt.
(1)P从原点出发,当t=6时,求点P离开原点 的路程和位移;
(2)P从原点出发,经过时间t后又返回原点时 的t值.
• [解析] (1)由v(t)=8t-t2≥0得0≤t≤4, • 即当0≤t≤4时,P点向x轴正方向运动, • 当t>4时,P点向x轴负方向运动. • 故t=6时,点P离开原点的路程
对于已知运动规律求做功的问题,首先确定其运动速 度,进而由 ds=vdt 来确定做功的积分式 W=t Fvdt.
0
6.已知自由落体的速率v=gt,则落体从t= 0到tA=.13gt0t20所走的路程为B(.gt20 )
C.12gt20
D.16gt20
[答案] C
[解析] 如果变速直线运动的速度为v=v(t)(v(t)≥0),
那么从时刻t=a到t=b所经过的路程是bv(t)dt, a

=12gt2t00 =12g(t20-0)=12gt02.故应选C.
7.如果1N能拉长弹簧1cm,为了将弹簧拉 长6cm,所耗费的功为
()
A.0.18J
B.0.26J
C.0.12J
D.0.28J
[答案] A

定积分及其应用练习 带详细答案

定积分及其应用练习 带详细答案

定积分及其应用题一 题面:求由曲线2(2)y x =+与x 轴,直线4y x =-所围成的平面图形的面积. 答案:323.变式训练一题面:函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧x +2(-2≤x <0),2cos x ⎝ ⎛⎭⎪⎫0≤x ≤π2的图象与x 轴所围成的封闭图形的面积为( )A.52 B .2 C .3D .4答案:D. 详解:画出分段函数的图象,如图所示,则该图象与x 轴所围成的封闭图形的面积为12×2×2+∫π202cos x d x =2+2sin x |π20=4.变式训练二 题面:由直线y =2x 及曲线y =3-x 2围成的封闭图形的面积为( ) A .2 3 B .9-2 3 C.353D.323答案: 详解:注意到直线y =2x 与曲线y =3-x 2的交点A ,B 的坐标分别是(-3,-6),(1,2),因此结合图形可知,由直线y =2x 与曲线y =3-x 2围成的封闭图形的面积为⎠⎛-31(3-x 2-2x )d x =⎝ ⎛⎭⎪⎫3x -13x 3-x 2⎪⎪⎪1-3=3×1-13×13-12-⎣⎢⎡3×-3-13×-33]--32=323,选D.题二 题面:如图所示,在边长为1的正方形OABC 中任取一点P ,则点P 恰好取自阴影部分的概率为( ).A .14B .15C .16D .17变式训练一题面:函数f (x )=sin(ωx +φ)的导函数y =f ′(x )的部分图象如图所示,其中,P 为图象与y 轴的交点,A ,C 为图象与x 轴的两个交点,B 为图象的最低点.若在曲线段ABC 与x 轴所围成的区域内随机取一点,则该点在△ABC 内的概率为________. 答案:π4.详解:设A (x 0,0),则ωx 0+φ=π2,∴x 0=π2ω-φω. 又y =ωcos(ωx +φ)的周期为2πω, ∴|AC |=πω,C ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2ω-φω+πω,0.依题意曲线段ABC 与x 轴围成的面积为 S =-∫π2ω-φω+πωπ2ω-φωωcos(ωx +φ)d x =2. ∵|AC |=πω,|y B |=ω,∴S △ABC =π2. ∴满足条件的概率为π4.变式训练二 题面:(2012•福建)如图所示,在边长为1的正方形OABC 中任取一点P ,则点P 恰好取自阴影部分的概率为( )A .B .C .D .答案:C. 详解:根据题意,正方形OABC 的面积为1×1=1, 而阴影部分由函数y=x 与y=围成,其面积为∫01(﹣x )dx=(﹣)|01=,则正方形OABC 中任取一点P ,点P 取自阴影部分的概率为=; 故选C .金题精讲 题一 题面:(识图求积分,二星)已知二次函数y =f (x )的图象如图所示,则它与x 轴所围图形的面积为( ).A .2π5B .43C .32D .π2答案:变式训练一题面:如图求由两条曲线y =-x 2,y =-14x 2及直线y =-1所围成的图形的面积.答案:43. 详解:由⎩⎪⎨⎪⎧y =-x 2,y =-1,得交点A (-1,-1),B (1,-1).由⎩⎨⎧y =-14x2,y =-1,得交点C (-2,-1),D (2,-1).∴所求面积S =2⎣⎢⎡⎦⎥⎤∫10⎝ ⎛⎭⎪⎫-14x 2+x 2d x +⎠⎛12⎝ ⎛⎭⎪⎫-14x 2+1d x =43.变式训练二 题面:例1求在[0,2]π上,由x 轴及正弦曲线sin y x =围成的图形的面积. 答案:4. 详解:作出sin y x =在[0,2]π上的图象如右 sin y x =与x 轴交于0、π、2π,所 求积2200sin |sin |(cos )|(cos )|4s xdx xdx x x ππππππ=+=---=⎰⎰题二 题面:(作图求积分,四星)求曲线36y x x =-与曲线2y x =所围成的图形的面积. 交点的横坐标分别为2,0,3-,12112S =.变式训练一题面:求曲线2y x =,y x =及2y x =所围成的平面图形的面积. 答案:76. 详解:作出2y x =,y x =及2y x =的图如右 解方程组22y x y x=⎧⎨=⎩ 得24x y =⎧⎨=⎩0x y =⎧⎨=⎩ 解方程组2y x y x =⎧⎨=⎩得11x y =⎧⎨=⎩ 00x y =⎧⎨=⎩∴所求面积12201(2)(2)s x x dx x x dx =-+-⎰⎰ 12201(2)xdx x x dx =+-⎰⎰212320111|()|23x x x =+- 76=答:此平面图形的面积为76变式训练二 题面:求由抛物线28(0)y x y =>与直线6x y +=及0y =所围成图形的面积. 答案:403. 详解:作出28(0)y x y =>及6x y +=的图形如右:解方程组2860y x x y ⎧=⎨+-=⎩得24x y =⎧⎨=⎩解方程组600x y y +-=⎧⎨=⎩ 得60x y =⎧⎨=⎩∴所求图形的面积62(6)s x dx =+-⎰⎰32262022140|(6)|323x x x +-= 题三x题面: (1)由曲线y x =,直线2y x =-及y 轴所围成的图形的面积为_______.(2)由曲线2y x =与直线2y x =-所围成的封闭图形的面积为_______. 答案:(1)163;(2)92.变式训练一题面: 设f (x )=,函数图象与x 轴围成封闭区域的面积为( )A .B .C .D .答案:C.详解:根据题意作出函数的图象:根据定积分,得所围成的封闭区域的面积S=故选C变式训练二 题面:已知函数的图象与x 轴所围成图形的面积为( )A.1/2 B.1C.2D.3/2答案:D.详解:由题意图象与x轴所围成图形的面积为102(1)cosx dx xdxπ--++⎰⎰21021()|sin|2x x xπ-=-++112=+32=.故选D.题四题面:(导数与积分结合,二星)设函数()mf x x ax=+的导函数为()21f x x'=+,则21()f x dx-⎰的值等于______.答案:56.变式训练一题面:设函数f(x)=x m+ax的导函数f′(x)=2x+1,则⎠⎛12f(-x)d x的值等于()A.56B.12C.23D.16答案:A. 详解:由于f (x )=x m +ax 的导函数f ′(x )=2x +1,所以f (x )=x 2+x ,于是∫21f (-x )d x=∫21(x 2-x )d x =⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3-12x 2⎪⎪⎪21=56.变式训练二 题面:设函数f (x )=x m +ax 的导函数f ′(x )=2x +1,则⎠⎛12f (-x )d x 的值等于( )A.56B.12C.23D.16答案:A. 详解:由于f (x )=x m +ax 的导函数为f ′(x )=2x +1,所以f (x )=x 2+x ,于是⎠⎛12f (-x )d x =⎠⎛12 (x 2-x )d x =⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3-12x 221=56.题五 题面:(化简后求积分,四星)(1)求21sin 2xdx π-20sin cos x x dxπ=-⎰原式4204(cos sin )(sin cos )x x dx x x dx πππ=-+-⎰⎰22 2.=(2)440(sin cos )22x xdx π+⎰变式训练一题面:与定积分∫3π01-cos x d x 相等的是( ) A.2∫3π0sin x 2d x B.2∫3π0⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin x 2d x C.⎪⎪⎪⎪⎪⎪2∫3π0sin x 2d x D .以上结论都不对答案:B. 详解:∵1-cos x =2sin 2x2,∴∫3π01-cos x d x =∫3π02 ⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin x 2d x =2∫3π0⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin x 2d x .变式训练二题面:40cos xdx π=⎰________.答案:22.详解:因为40cos xdx π=⎰sin x ⎪⎪⎪⎪π40=sin π4=22,所以∫π40cos x d x =22. 题六 题面:(定积分的运用,三星)函数f (x )=sin(ωx +φ)的导函数y =f ′(x )的部分图象如图所示,其中,P 为图象与y 轴的交点,A ,C 为图象与x 轴的两个交点,B 为图象的最低点.(1)若φ=π6,点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫0,332,则ω=________;(2)若在曲线段ABC 与x 轴所围成的区域内随机取一点,则该点在△ABC 内的概率为________.[解析] (1)函数f (x )=sin(ωx +φ)求导得,f ′(x )=ωcos(ωx +φ),把φ=π6和点⎝⎛⎭⎫0,332代入得ωcos ⎝⎛⎭⎫0+π6=332解得ω=3.(2)取特殊情况,在(1)的条件下,导函数f ′(x )=3cos ⎝⎛⎭⎫3x +π6,求得A ⎝⎛⎭⎫π9,0, B ⎝⎛⎭⎫5π18,-3,C ⎝⎛⎭⎫4π9,0,故△ABC 的面积为S △ABC =12×3π9×3=π2,曲线段与x 轴所围成的区域的面积S =-⎪⎪⎪f (x ) 4π9π9=-sin ⎝⎛⎭⎫4π3+π6+sin ⎝⎛⎭⎫3π9+π6=2,所以该点在△ABC 内的概率为P =S △ABC S =π4. 同类题一题面:设y =f (x )是二次函数,方程f (x )=0有两个相等的实根,且f ′(x )=2x -2.(1)求y =f (x )的表达式;(2)求y =f (x )的图象与两坐标轴所围成图形的面积.答案:(1) f (x )=x 2-2x +1.(2) 13.详解:(1)设f (x )=ax 2+bx +c (a ≠0),则f ′(x )=2ax +b .又f ′(x )=2x -2,所以a =1,b =-2,即f (x )=x 2-2x +c .又方程f (x )=0有两个相等实根,所以Δ=4-4c =0,即c =1.故f (x )=x 2-2x +1.(2)依题意,所求面积为S =⎠⎛01(x 2-2x +1)d x =(13x 3-x 2+x )|10=13.同类题二题面:设y =f (x )是二次函数,方程f (x )=0有两个相等的实根,且f ′(x )=2x +2.(1)求y =f (x )的表达式;(2)求y =f (x )的图象与两坐标轴所围成图形的面积.(2)若直线x =-t (0<t <1=把y =f (x )的图象与两坐标轴所围成图形的面积二等分,求t 的值.答案:(1)f (x )=x 2+2x +1.(2)13. (3)t =1-321. 详解: (1)设f (x )=ax 2+bx +c ,则f ′(x )=2ax +b ,又已知f ′(x )=2x +2∴a =1,b =2.∴f (x )=x 2+2x +c又方程f (x )=0有两个相等实根,∴判别式Δ=4-4c =0,即c =1.故f (x )=x 2+2x +1.(2)依题意,有所求面积=31|)31()12(0123201=++=++--⎰x x x dx x x . (3)依题意,有x x x x x x t t d )12(d )12(2021++=++⎰⎰---, ∴023123|)31(|)31(t t x x x x x x ---++=++,-31t 3+t 2-t +31=31t 3-t 2+t ,2t 3-6t 2+6t -1=0,∴2(t -1)3=-1,于是t =1-321.思维拓展题一题面:(几何法求积分,四星)(1)计算0⎰,121sin x xdx -⎰;(2)求椭圆22221x y a b +=的面积.0044b S a ==⎰⎰,转化为圆的面积.同类题一题面:求定积分11dx -⎰的值. 答案:2π. 详解:11dx -⎰表示圆x 2+y 2=1在第一、二象限的上半圆的面积. 因为2S π=半圆,又在x 轴上方.所以11dx -⎰=2π.同类题二题面:20)ax dx -⎰的值是( ) A. 143π- B. 143π+ C. 123π- D. 12π- 答案:A.详解:积分所表示的几何意义是以(1,0)为圆心,1为半径第一象限内圆弧与抛物线y=x 2在第一象限的部分坐标轴围成的面积,故只需求出圆的面积乘以四分之一与抛物线在第一象限的部分与x 轴和直线x=1围成的图形的面积之差.即20)ax dx-⎰ 1231001|443x dx x ππ=-=-⎰ 143π=-.故答案选A。

(2021年整理)定积分的简单应用练习题

(2021年整理)定积分的简单应用练习题

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定积分的简单应用1、设235111111,,a dx b dx c dx x x x ===⎰⎰⎰,则下列关系式成立的是( ) A .235a b c << B .325b a c << C .523c a b << D .253a c b <<2、由曲线sin ,cos y x y x ==与直线0,2x x π==所围成的平面图形(图1中的阴影部分)的面积是( )A .1B .4πC .223D .222- 3、设函数na x x f )()(+=,其中()(),300,cos 6/20-==⎰f f xdx n π则()x f 的展开式中4x 的系数为( ) A 。

定积分的求解方法及其应用

定积分的求解方法及其应用

定积分的求解方法及其应用摘要:在数学分析这门课程里,定积分是最普遍而又重要的内容之一,同时也是数学研究中的重要工具,随着数学在生活中的广泛应用,定积分的相关解法和应用所蕴藏的巨大潜力越来越引起人们的关注.本论文从定积分的基本理论出发,系统阐述了牛顿莱布尼茨公式、换元法、分部积分法、凑微分法等几种常见的求解方法,并列举了相关的例子,更直观的了解求解定积分的方法的精髓.另外本文又介绍了定积分在数学、物理学和经济学当中的应用,实现了定积分在实际生活中的应用.通过这一系列的总结,可以进一步提升对定积分的认识,为以后的学习奠定了基础.关键词:定积分;求解方法;应用一、定积分的求解方法1.1 定积分概念定义1 不妨设在闭区间[m ,n ]中,不包含两个端点,共有1-k 个点,按照大小分别为m =0x <1x <2x <…<1-k x <k x =n ,这些点将闭区间[m ,n ]分割为大小不一的子区间,共有k 个,用i ∆表示这些子区间,即i ∆=[1-i x ,i x ],i =1,2, …,k 。

可以将k x x x ......,10点或[]n i xi x i i ......12,,1==∆-子区间视为分割了闭区间[m ,n ],令集合=A {0x ,1x ,…,k x }或{1∆,2∆,…,k ∆}.定义2 假设函数g 的定义域为 [m ,n ]。

将区间[m ,n ]分割为k 个,得分割区间的集合=A {1∆,2∆,…,k ∆},在区间i ∆上随意取点i ψ,即i ψ∈i ∆,i =1,2, …,k ,将该点函数值与自变量之差做乘积,累次相加得()iki ix g ∆∑=1ψ,该式是函数g 在定义域[m ,n ]上的积分和.定义3 假设函数g 的定义域为 [m ,n ],S 是给定的实数。

假如总能找到某个的正数θ,以及任何正数σ,在定义域 [m ,n ]进行任意大小的分割A ,并且在分割出来的区间中随意选择一个点组成集合{i φ},当A <θ时,存在σφ<-∆∑=S xg ni ii1)(,则函数g在定义域[m ,n ]上可积,即⎰=nmdx x g S )(。

巩固练习_定积分的简单应用(提高)125

巩固练习_定积分的简单应用(提高)125

【巩固练习】一、选择题1.若)(x f 与)(x g 是],[b a 上的两条光滑曲线,则由这两条曲线及直线b x a x ==,所围图形的面积( ). A .⎰-badx x g x f )()(B .⎰-badx x g x f ))()((C .⎰-badx x f x g ))()(( D .⎰-badx x g x f ))()((2.一辆汽车以速度23t v =的速度行驶,这辆汽车从t=0到t=3这段时间内所行驶的路程为( )A.31B.1C.3 10.27 3.由2y x =与曲线23y x =-所围成的图形的面积为( )A .23B .923-C .325D .3534.将边长1米的正方形薄片垂直放于液体密度为ρ的液体中,使其上边缘与液面距离为2米,则该正方形薄片所受液压力为( )A .32d x x ρ⎰B .21(2)d x x ρ+⎰ C .10d x x ρ⎰ D .32(1)d x x ρ+⎰5.由抛物线y=x 2―x ,直线x=―1,x=1及x 轴围成的图形面积为( )A .23 B .1 C .43 D .536.在底面积为S 的圆柱形容器中盛有一定量的气体,在等温条件下,由于气体的膨胀,把容器中的一个活塞(面积为S )从点a 处推到b 处,则在移动过程中,气体压力所做的功为( )焦耳。

A .ln b k aB .ln baC .(ln ln )k b a +D .ln k b 7.定积分120(1(1))d x x x ---⎰等于( )A .24π- B .12π- C .14π- D .12π- 二、填空题8. 由曲线y=x 2+1,x+y=3,及x 轴,y 轴所围成的区域的面积为: .9.如左上图所示,将一弹簧从平衡位置拉到离平衡位置l m 处,则克服弹簧力所做的功为________。

(弹簧的劲度系数为k )10.如右图,直线y=kx 分抛物线y=x-x 2与x 轴所围成图形为面积相等的两部分,则k= . 11.列车以72 km /h 的速度行驶,制动时列车获得加速度a=-0.4 m /s 2,问列车应在进站前 ________ s,且离车站________m 处开始制动? 三、解答题12.求曲线x x x y 223++-=与x 轴所围成的图形的面积. 13.一物体在变力)(36)(2N x x F =作用下沿坐标平面内x 轴正方向由8=x m 处运动到18=x m 处,求力)(x F 做的功.14.设()y f x =是二次函数,方程()0f x =有两个相等的实根,且'()22f x x =+。

基础训练:定积分的简单应用

基础训练:定积分的简单应用

定积分的简单应用1由x xy ,1=轴及2,1==x x 围成的图形的面积为【】 ln 2lg 2122由曲线[])(.,,,),0)()((b a b x a x b a x x f x f y <==∈≤=和x 轴围成的曲边梯形的面积S =【】()ba f x dx ⎰()b a f x dx -⎰[]()b a f x a dx -⎰[]()ba f xb dx -⎰ 的力能使弹簧压缩10cm ,为在弹性限度内将弹簧从平衡位置拉到离平衡位置6cm 处,则克服弹力所做的功为【】4给出以下命题:⑴若()0b a f x dx >⎰,则f >0;⑵20sin 4xdx =⎰π;⑶f 的原函数为F ,且F 是以T 为周期的函数,则0()()aa T T f x dx f x dx +=⎰⎰;其中正确命题的个数为【】2 C35.一质点做直线运动,由始点起经过ts 后的距离为s=t 4-4t 316t 2,则速度为零的时刻是【】末末与8s 末,4s ,8s 末6一物体在力()41F x x =-单位:N 的的作用下,沿着与力F 相同的方向,从=1m 处运动到=3m 处,则力()F x 所作的功为【】已知)(x f 为一次函数,且10()2()f x x f t dt =+⎰,则)(x f =8一质点在直线上从时刻t =0秒以速度34)(2+-=t t t v (米/秒)运动,则该质点在时刻t =3秒时运动的路程为9一物体沿直线以速度()23v t t =-(t 的单位为:秒,v 的单位为:米/秒)的速度作变速直线运动,求该物体从时刻t=0秒至时刻t=5秒间运动的路程?10求曲线1y x=和2y x =在它们交点处的两条切线与x 轴所围成的三角形面积11求抛物线2x y =与直线x y x y 2,==所围图形的面积.参考答案1x -0米当302≤≤t 时,()230≤v t t =-;当352≤≤t 时,()230≥v t t =-∴物体从时刻t=0秒至时刻t=5秒间运动的路程 352302(32)(23)S t dx t dx =-+-⎰⎰=9929(10)442++=米 10曲线1y x=和2x y =在它们的交点坐标是1,1,两条切线方程分别是y =-2和y =2-1,它们与x 轴所围成的三角形的面积是43 11解两个方程组⎩⎨⎧==x y x y ,2和⎩⎨⎧==xy x y 2,2得抛物线与两直线的交点分别为)1,1(与)4,2(.故所求面积为21S S S +=dx x x dx x x )2()2(22110-+-=⎰⎰67=. 37.710≈⨯(J ).。

巩固练习_定积分的简单应用(基础)125

巩固练习_定积分的简单应用(基础)125

【巩固练习】一、选择题1.如右图所示,阴影部分面积为( )A .()d ba f x x ⎰ B .()d bag x x ⎰C .[()()]d baf xg x x -⎰D .[()()]d baf xg x x +⎰2.(2014春 梁子湖区校级期末) 一个物体作变速直线运动,速度和时间关系为2(t)4t /v m s =-,则该物体从0秒到4秒运动所经过的位移为( )A.163m B. 163m - C.16m D.16m - 3.(2015 湖北模拟) 直线2y x =与曲线2y x =围成的图形的面积为( ) A.43B.3C.2D.1 4.(2016春 安徽校级期中)(理)物体A 以速度231(/s)v t m =+在一直线上运动,物体B 在直线l 上,且在物体A 的正前方5m 处,同时以10(/)v t m s = 的速度与A 同向运动,出发后物体A 追上物体B 所用的时间(s)t 为( ) A.3 B.4 C.5 D.65.由抛物线y=x 2―x ,直线x=―1,x=1及x 轴围成的图形面积为( )A .23 B .1 C .43 D .536.某物体的运动方程S(t)=⎰tx dx xe 2,则此物体在t=2时刻的瞬间速度为( )A.0B.e 4C.e 2D.2e 47.(2016春 连江县校级期中)一物体在力2,(0x 2)()22,(2)F x x x ≤≤⎧=⎨->⎩(单位:N )的作用下沿与力F 相同的方向,从0x =处运动到4x =(单位:m )处,则力()F x 作的功为( ) A.10J B.12J C.14J D. 16J 二、填空题8.质点直线运动瞬时速度的变化为v (t ) = – 3sin t ,则 t 1 = 3至t 2 = 5时间内的位移是 ________。

(只列式子)9. 由曲线y=x 2+1,x+y=3,及x 轴,y 轴所围成的区域的面积为: .10.如图1-5-3-16所示,将一弹簧从平衡位置拉到离平衡位置l m 处,则克服弹簧力所做的功为________。

1.5.3 定积分的简单应用

1.5.3  定积分的简单应用


2
2 3
3
x2
|80
( 1 2
x2

4x)
|84

40 3
.
y 2x
S S2
1
y x4
另解2:将所求平面图形的面积看成位于y轴右边 的一个梯形与一个曲边梯形的面积之差,因此取 y为积分变量
还需要把函数y=x-4变形为x=y+4,函数 y 2x
变形为 x y2
2
4
4 y2
S 0 ( y 4)dy 0
=(8x-13x3) -13x3 =634.
【总结提升】
(1)求不分割图形面积的步骤为:画图形; 求交点(以确定积分上下限);用定积分表 示再计算. (2)一般原则上函数-下函数作被积函数.
探究点3 变速直线运动的路程
设做变速直线运动的物体运动的速度v=v(t)≥0,则 此物体在时间区间[a, b]内运动的距离s为
解:如图,由x2-1=0得到抛物线 与x轴的交点坐标是(-1,0),
y
(1,0).所求面积如图阴影所示:
所以:
S 2 (x2 1)dx 1 (x2 1)dx
1
1
x
x3
2 x3
18
( x) ( x) .
3
13
1 3
1.思想方法:数形结合及转化. 2.求两曲线围成的平面图形的面积的一般步骤: (1)作出示意图;(弄清相对位置关系) (2)求交点坐标,确定图形范围;(积分的上限,下限) (3)写出平面图形的定积分表达式; (4)运用微积分基本定理计算定积分,求出面积.
面图形的面积S.
主要有以下三种常见类型:
①如图①所示,f(x)>0,bf(x)dx>0,
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【巩固练习】
一、选择题
1.如右图所示,阴影部分面积为( )
A .()d b
a f x x ⎰ B .()d b
a
g x x ⎰
C .
[()()]d b
a
f x
g x x -⎰
D .[()()]d b
a
f x
g x x +⎰
2.已知做自由落体运动的物体的速度为v=gt ,则物体从t=0到t=t 0所走过的路程为( )
A .
2013gt B .2
gt C .2012gt D .2014
gt 3.如图1-5-3-14所示,阴影部分的面积是( )
A .23
B .23-
C .
323 D .35
3
4.将边长1米的正方形薄片垂直放于液体密度为ρ的液体中,使其上边缘与液面距离为2米,则该正方形薄片所受液压力为( )
A .
3
2
d x x ρ⎰
B .21
(2)d x x ρ+⎰ C .10
d x x ρ⎰ D .3
2
(1)d x x ρ+⎰
5.由抛物线y=x 2―x ,直线x=―1,x=1及x 轴围成的图形面积为( )
A .
23 B .1 C .43 D .5
3
6.某物体的运动方程S(t)=⎰t
x dx xe 2
,则此物体在t=2时刻的瞬间速度为( )
A.0
B.e 4
C.e 2
D.2e 4
7.在底面积为S 的圆柱形容器中盛有一定量的气体,在等温条件下,由于气体的膨胀,把容器中的一个活塞(面积为S )从点a 处推到b 处,则在移动过程中,气体压力所做的功为( )焦耳。

A .ln b k a
B .ln b
a
C .(ln ln )k b a +
D .ln k b 二、填空题
8.质点直线运动瞬时速度的变化为v (t ) = – 3sin t ,则 t 1 = 3至t 2 = 5时间内的位移是
________。

(只列式子)
9. 由曲线y=x 2+1,x+y=3,及x 轴,y 轴所围成的区域的面积为: .
10.如图1-5-3-16所示,将一弹簧从平衡位置拉到离平衡位置l m 处,则克服弹簧力所做的功为________。

(弹簧的劲度系数为k )
11.如图,直线y=kx 分抛物线y=x-x 2
与x 轴所围成图形为面积相等的两部分,则k= .
三、解答题
12.求曲线],[sin 320π∈=x x y 与直线,,3
20π==x x x 轴所围成的图形面积。

13.求曲线x x x y 223++-=与x 轴所围成的图形的面积. 14.一物体在变力)(36
)(2N x
x F =
作用下沿坐标平面内x 轴正方向由8=x m 处运动到18=x m 处,求力)(x F 做的功.
15.设()y f x =是二次函数,方程()0f x =有两个相等的实根,且'()22f x x =+。

(1)求()y f x =的表达式;
(2)求()y f x =的图象与两坐标轴所围成图形的面积。

【答案与解析】
1.【答案】C
【解析】 由利用定积分求平面图形面积的方法易得。

2.【答案】C 【解析】
22
00
1122t t gtdt gt gt ==⎰
3.【答案】C
【解析】 1
1
23233132(32)d 333
x x x x x x --⎛⎫--=--= ⎪⎝⎭⎰。

4.【答案】A
【解析】 由物理学知识易得被积函数为()f x x ρ=,x ∈[2,3]。

5.【答案】B 【解析】 0
1
2
2
1
()d ()d 1S x x x x
x x -=-+
-=⎰
⎰。

6. 【答案】D.
【解析】若F ˊ(x)= 2
x xe ,则F(t)=
2
12
x e ,S(t)=F(t)-F(0),∴S ˊ(t)= F ˊ(t)= 2
t te , ∴S ˊ(2)=2 e 4
.
7.【答案】A
【解析】 由物理学知识易得,压强p 与体积V 的乘积是常数k ,即pV=k ,因为V=xS (x
指活塞与底的距离),所以k k
p V xS
=
=
,所以作用在活塞上的力
k k
F p S S xS x =⋅=
⋅=,所以气体压力所做的功为 d ln ln b b
a a k
b W x k x k x a ==⋅=⎰。

8. 【答案】
()dt t ⎰-5
3
sin 3
【解析】根据几何意义可得。

9. 【答案】
103
【解析】如图3-5-6,S=3
10dx )x 3(dx )x 1(3
11
2=
-++⎰
⎰。

10.【答案】
2
1(J)2
kl 【解析】 在弹性限度内,拉伸(压缩)弹簧所需的力与弹簧拉伸(压缩)的长度成正
比,即()F x kx =。

由变力做功公式得22
00
11d (J)22l
l
W kx x kx kl ===⎰。

11. 【答案】1-
2
4
3
【解析】 抛物线y=x-x 2
与x 轴所围成图形面积S=6
1dx )x x (1
2=
-⎰
, 直线y=kx 与抛物线y=x-x 2
的交点的横坐标为x=0,1-k,
∴S 上=6
)k 1(dx )kx x x (3
k
102
-=--⎰-,又S=2S 上⇒
6
)k 1(2613-⨯
=⇒k=1-24
3
. 12. 【解析】 2
33
2320
=-=⎰
ππ
o x xdx S |cos
sin =
13.【解析】首先求出函数x x x y 223++-=的零点:11-=x ,02=x ,23=x .
又易判断出在)0 , 1(-内,图形在x 轴下方,在)2 , 0(内,图形在x 轴上方, 所以所求面积为dx x x x A ⎰
-++--
=0
1
2
3)2(dx x x x ⎰
++-+
2
23)2(12
37
=
14.【解析】由题意知力)(x F 做的功为:
2
181********
()()()8882
W F x dx dx J x x ===-=⎰⎰ 15.【解析】(1)设2
()(0)f x ax bx c a =++≠,则'()2f x ax b =+。

又已知'()22f x x =+,∴a=1,b=2。

∴2
()2f x x x c =++。

又方程()0f x =有两个相等的实根, ∴判别式Δ=4―4c=0,即c=1。

故2
()21f x x x =++。

(2)依题意,所求面积0
32
1
111(221)d 33
S x x x x x x --⎛⎫=++=++= ⎪⎝⎭⎰。

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