巩固练习_定积分的简单应用(基础)125

【巩固练习】

一、选择题

1．如右图所示，阴影部分面积为（ ）

A ．()d b

a f x x ⎰ B ．()d b

a

g x x ⎰

C ．

[()()]d b

a

f x

g x x -⎰

D ．[()()]d b

a

f x

g x x +⎰

2．已知做自由落体运动的物体的速度为v=gt ，则物体从t=0到t=t 0所走过的路程为（ ）

A ．

2013gt B ．2

gt C ．2012gt D ．2014

gt 3．如图1-5-3-14所示，阴影部分的面积是（ ）

A ．23

B ．23-

C ．

323 D ．35

3

4．将边长1米的正方形薄片垂直放于液体密度为ρ的液体中，使其上边缘与液面距离为2米，则该正方形薄片所受液压力为（ ）

A ．

3

2

d x x ρ⎰

B ．21

(2)d x x ρ+⎰ C ．10

d x x ρ⎰ D ．3

2

(1)d x x ρ+⎰

5．由抛物线y=x 2―x ，直线x=―1，x=1及x 轴围成的图形面积为（ ）

A ．

23 B ．1 C ．43 D ．5

3

6.某物体的运动方程S(t)=⎰t

x dx xe 2

,则此物体在t=2时刻的瞬间速度为( )

A.0

B.e 4

C.e 2

D.2e 4

7．在底面积为S 的圆柱形容器中盛有一定量的气体，在等温条件下，由于气体的膨胀，把容器中的一个活塞（面积为S ）从点a 处推到b 处，则在移动过程中，气体压力所做的功为（ ）焦耳。

A ．ln b k a

B ．ln b

a

C ．(ln ln )k b a +

D ．ln k b 二、填空题

8．质点直线运动瞬时速度的变化为v (t ) = – 3sin t ，则 t 1 = 3至t 2 = 5时间内的位移是

________。（只列式子）

9. 由曲线y=x 2+1,x+y=3,及x 轴,y 轴所围成的区域的面积为: .

10．如图1-5-3-16所示，将一弹簧从平衡位置拉到离平衡位置l m 处，则克服弹簧力所做的功为________。（弹簧的劲度系数为k ）

11.如图,直线y=kx 分抛物线y=x-x 2

与x 轴所围成图形为面积相等的两部分,则k= .

三、解答题

12.求曲线],[sin 320π∈=x x y 与直线,,3

20π==x x x 轴所围成的图形面积。

13．求曲线x x x y 223++-=与x 轴所围成的图形的面积． 14．一物体在变力)(36

)(2N x

x F =

作用下沿坐标平面内x 轴正方向由8=x m 处运动到18=x m 处，求力)(x F 做的功.

15．设()y f x =是二次函数，方程()0f x =有两个相等的实根，且'()22f x x =+。

（1）求()y f x =的表达式；

（2）求()y f x =的图象与两坐标轴所围成图形的面积。

【答案与解析】

1．【答案】C

【解析】 由利用定积分求平面图形面积的方法易得。 2．【答案】C 【解析】

22

00

1122t t gtdt gt gt ==⎰

3．【答案】C

【解析】 1

1

23233132(32)d 333

x x x x x x --⎛⎫--=--= ⎪⎝⎭⎰。

4．【答案】A

【解析】 由物理学知识易得被积函数为()f x x ρ=，x ∈[2，3]。 5．【答案】B 【解析】 0

1

2

2

1

()d ()d 1S x x x x

x x -=-+

-=⎰

⎰。

6. 【答案】D.

【解析】若F ˊ(x)= 2

x xe ,则F(t)=

2

12

x e ,S(t)=F(t)-F(0),∴S ˊ(t)= F ˊ(t)= 2

t te , ∴S ˊ(2)=2 e 4

.

7．【答案】A

【解析】 由物理学知识易得，压强p 与体积V 的乘积是常数k ，即pV=k ，因为V=xS （x

指活塞与底的距离），所以k k

p V xS

=

=

，所以作用在活塞上的力

k k

F p S S xS x =⋅=

⋅=，所以气体压力所做的功为 d ln ln b b

a a k

b W x k x k x a ==⋅=⎰。

8. 【答案】

()dt t ⎰-5

3

sin 3

【解析】根据几何意义可得。 9. 【答案】

103

【解析】如图3-5-6,S=3

10dx )x 3(dx )x 1(3

11

2=

-++⎰

⎰

。 10．【答案】

2

1(J)2

kl 【解析】 在弹性限度内，拉伸（压缩）弹簧所需的力与弹簧拉伸（压缩）的长度成正

比，即()F x kx =。由变力做功公式得22

00

11d (J)22l

l

W kx x kx kl ===⎰。

11. 【答案】1-

2

4

3

【解析】 抛物线y=x-x 2

与x 轴所围成图形面积S=6

1dx )x x (1

2=

-⎰

, 直线y=kx 与抛物线y=x-x 2

的交点的横坐标为x=0,1-k,

∴S 上=6

)k 1(dx )kx x x (3

k

102

-=--⎰-,又S=2S 上⇒

6

)k 1(2613-⨯

=⇒k=1-24

3

. 12. 【解析】 2

33

2320

=-=⎰

ππ

o x xdx S |cos

sin ＝

13．【解析】首先求出函数x x x y 223++-=的零点：11-=x ，02=x ，23=x .

又易判断出在)0 , 1(-内，图形在x 轴下方，在)2 , 0(内，图形在x 轴上方， 所以所求面积为dx x x x A ⎰

-++--

=0

1

2

3)2(dx x x x ⎰

++-+

2

23)2(12

37

=

14．【解析】由题意知力)(x F 做的功为：

2

181********

()()()8882

W F x dx dx J x x ===-=⎰⎰ 15．【解析】（1）设2

()(0)f x ax bx c a =++≠，则'()2f x ax b =+。

又已知'()22f x x =+，∴a=1，b=2。∴2

()2f x x x c =++。 又方程()0f x =有两个相等的实根， ∴判别式Δ=4―4c=0，即c=1。