动态法测量杨氏弹性模量
实验室钢丝的杨氏模量的标准值
实验室钢丝的杨氏模量的标准值实验室钢丝的杨氏模量的标准值【导言】杨氏模量是材料的一个重要物理量，它反映了材料的弹性特性。
实验室钢丝的杨氏模量的标准值是一个重要的研究课题，对于材料科学和工程领域具有重要的意义。
在本篇文章中，我们将深入探讨实验室钢丝的杨氏模量的标准值，了解其测定方法、影响因素以及应用领域。
【一、实验室钢丝的杨氏模量简介】实验室钢丝是一种常见的工程材料，具有高强度和良好的塑性，被广泛应用于建筑、电力、机械等领域。
杨氏模量是衡量材料弹性特性的重要参数，它反映了材料在受力作用下的变形能力。
实验室钢丝的杨氏模量的标准值是指该材料在特定条件下的杨氏模量的理想数值，具有重要的参考价值。
【二、实验室钢丝杨氏模量的测定方法】实验室钢丝的杨氏模量可以通过多种方法进行测定，常用的方法包括静态拉伸试验、动态弹性模量测定仪器、声学方法等。
通过这些方法，可以准确地测定实验室钢丝的杨氏模量，并得到其标准值。
【三、影响实验室钢丝杨氏模量标准值的因素】实验室钢丝的杨氏模量标准值受到多种因素的影响，包括温度、应变速率、材料微结构等。
这些因素对杨氏模量的测定结果产生重要影响，需要在实验设计和数据分析中予以考虑。
【四、实验室钢丝杨氏模量标准值的应用领域】实验室钢丝的杨氏模量标准值在材料工程、结构设计、强度分析等领域具有广泛的应用。
它为工程设计提供了重要的参考依据，有助于优化材料选择、提高结构设计效率。
【五、总结与展望】实验室钢丝的杨氏模量的标准值是一个重要的研究课题，对于材料科学和工程领域具有重要的意义。
通过本篇文章的探讨，我们深入了解了实验室钢丝的杨氏模量的标准值的测定方法、影响因素以及应用领域。
未来，随着科学技术的不断进步，我们有信心能够更好地理解和应用实验室钢丝的杨氏模量的标准值。
【个人观点】在材料科学和工程领域，实验室钢丝的杨氏模量标准值的研究具有重要的意义。
通过对材料弹性特性的准确把握，可以为工程设计提供重要的参考依据，有助于提高工程结构的安全性和稳定性。
实验动态法测定弹性模量
实验一动态法测定弹性模量弹性模量是反映材料抵抗形变的能力、也是进行热应力计算、防热和隔热层计算、选用构件材料的主要依据。
精确测试弹性模量对强度理论和工程技术都具有重要意义。
弹性模量测定方法主要有三类：1．静态法<拉伸、扭转、弯曲）：该法通常适用于金属试样，在大形变及常温下测定。
该法载荷大，加载速度慢伴有弛豫过程，对脆性材料<石墨、玻璃、陶瓷）不适用、也不能完成高温状态下测定；2．波传播法<含连续波及脉冲波法）：该法所用设备虽较复杂，但在室温下很好用，由于换能器转变温度低及切变换能器价格昂贵，不易获得而受限制；3．动态法<又称共振法、声频法）：包括弯曲<横向）共振、纵向共振以及扭转共振法，其中弯曲共振法由于其设备精确易得，理论同实践吻合度好，适用各种金属及非金属<脆性材料）以及测定温度能在-180℃～3000℃左右进行而为众多国家采用。
本实验就是采用动态弯曲共振法测定弹性模量。
【实验目的】1.了解动态法测定弹性模量的原理，掌握实验方法；2.掌握外推法，会根据不同径长比进行修正，正确处理实验数据；3.掌握判别真假共振的基本方法及实验误差的计算；4.了解压电体、热电偶的功能，熟悉信号源及示波器和温控器的使用；5.培养综合使用知识和实验仪器的能力。
【实验仪器】动态弹性模量测定仪、功率函数信号发生器(5位数显、频率宽5～500KHz>、数显调节仪、悬挂测定支架及支撑测定支架、悬线、试样五根、激发-接收换能器、加热炉、高温悬线、声频放大器、听诊器、示波器。
【实验原理】对长度直径条件的细长棒，当其作微小横振动<又称弯曲振动）时，其振动方程为：<13-1）式中为竖直方向位移，长棒的轴线方向为，为试棒的杨氏模量，为材料密度，为棒横截面，为其截面的惯性矩，。
用分离变量法求解方程<13-1）的解，令<13-2）<13-2）式代入<13-1）式得，该等式两边分别是变量和的函数，只有等于一常数时才成立，设此常数为，则<13-3）<13-4）设棒中各点均作谐振动，这两个线性常微分方程的通解为：<13-5）(13-6>式<13-2）横振动方程的通解为：(13-7> 式中<13-8）该式通称频率公式。
动态法测量杨氏弹性模量
动态法测量杨⽒弹性模量动态法测量杨⽒弹性模量郑新飞杨⽒模量是固体材料在弹性形变范围内正应⼒与相应正应变（当⼀条长度为L、截⾯积为S的⾦属丝在⼒F作⽤下伸长ΔL时，F/S叫应⼒，其物理意义是⾦属丝单位截⾯积所受到的⼒；ΔL/L叫应变，其物理意义是⾦属丝单位长度所对应的伸长量）的⽐值，其数值的⼤⼩与材料的结构、化学成分和加⼯制造⽅法等因素有关。
杨⽒模量的测量是物理学基本测量之⼀，属于⼒学的范围。
根据不同的测量对象，测量杨式模量有很多种⽅法，可分为静态法、动态法、波传播法三类。
⼀、实验⽬的1、理解动态法测量杨⽒模量的基本原理。
2、掌握动态法测量杨⽒模量的基本⽅法，学会⽤动态法测量杨⽒模量。
3、了解压电陶瓷换能器的功能，熟悉信号源和⽰波器的使⽤。
4、培养综合运⽤知识和使⽤常⽤实验仪器的能⼒。
⼆、实验仪器1、传感器I（激振）：把电信号转变成机械振动。
2、试样棒：由悬线把机械振动传给试样，使试样受迫做共振动。
3、传感器II（拾振）：机械振动⼜转变成电信号。
4、⽰波器：观察传感器II转化的电信号⼤⼩。
三、实验原理理论上可以得出⽤动态悬挂法测定⾦属材料的杨⽒模量，为2436067.1f dm l E = （1）式中l 为棒长，d 为棒的直径，m 为棒的质量。
如果在实验中测定了试样（棒）在不同温度时的固有频率f ，即可计算出试样在不同温度时的杨⽒模量E 。
四、实验内容1、测定试样的长度l 、直径d 和质量m 。
每个物理量各测六次，列表记录。
2、在室温下不锈钢和铜的杨⽒模量分别为211102m N ?和211102.1m N ?，先由公式（1）估算出共振频率f ，以便寻找共振点。
3、把试样棒⽤细钢丝挂在测试台上，试样棒的位置约距离端⾯l 224.0和l 776.0处，悬挂时尽量避开这两个位置。
4、把2-YM 型信号发⽣器的输出与2-YM 型测试台的输⼊相连，测试台的输出与放⼤器的输⼊相接，放⼤器的输出与⽰波器的1CH（或CH）的输⼊相接。
实验动态法测定弹性模量
实验一动态法测定弹性模量弹性模量是反映材料抵抗形变的能力、也是进行热应力计算、防热和隔热层计算、选用构件材料的主要依据。
精确测试弹性模量对强度理论和工程技术都具有重要意义。
弹性模量测定方法主要有三类：1．静态法<拉伸、扭转、弯曲）：该法通常适用于金属试样，在大形变及常温下测定。
该法载荷大，加载速度慢伴有弛豫过程，对脆性材料<石墨、玻璃、陶瓷）不适用、也不能完成高温状态下测定；2．波传播法<含连续波及脉冲波法）：该法所用设备虽较复杂，但在室温下很好用，由于换能器转变温度低及切变换能器价格昂贵，不易获得而受限制；3．动态法<又称共振法、声频法）：包括弯曲<横向）共振、纵向共振以及扭转共振法，其中弯曲共振法由于其设备精确易得，理论同实践吻合度好，适用各种金属及非金属<脆性材料）以及测定温度能在-180℃～3000℃左右进行而为众多国家采用。
本实验就是采用动态弯曲共振法测定弹性模量。
【实验目的】1.了解动态法测定弹性模量的原理，掌握实验方法；2.掌握外推法，会根据不同径长比进行修正，正确处理实验数据；3.掌握判别真假共振的基本方法及实验误差的计算；4.了解压电体、热电偶的功能，熟悉信号源及示波器和温控器的使用；5.培养综合使用知识和实验仪器的能力。
【实验仪器】动态弹性模量测定仪、功率函数信号发生器(5位数显、频率宽5～500KHz>、数显调节仪、悬挂测定支架及支撑测定支架、悬线、试样五根、激发-接收换能器、加热炉、高温悬线、声频放大器、听诊器、示波器。
【实验原理】对长度直径条件的细长棒，当其作微小横振动<又称弯曲振动）时，其振动方程为：<13-1）式中为竖直方向位移，长棒的轴线方向为，为试棒的杨氏模量，为材料密度，为棒横截面，为其截面的惯性矩，。
用分离变量法求解方程<13-1）的解，令<13-2）<13-2）式代入<13-1）式得，该等式两边分别是变量和的函数，只有等于一常数时才成立，设此常数为，则<13-3）<13-4）设棒中各点均作谐振动，这两个线性常微分方程的通解为：<13-5）(13-6>式<13-2）横振动方程的通解为：(13-7> 式中<13-8）该式通称频率公式。
动态法测量金属的杨氏模量
公式中l 为金属杆旳长度；m 为金属杆旳质量；d 为金属棒旳直径，
都较轻易测量，f 是金属杆旳固有频率。（怎样测量 f 成为试验旳关键）
注：f 不是金属棒旳共振频率，而是金属棒旳固有频率。
固有频率与共振频率旳区别和联络：
固有频率是金属棒本身固有旳属性，一旦金属棒做好之后，其固有 频率也同步拟定。不会因外部条件变化而轻易变化。
振动旳固有频率取决于它旳几何形状、尺寸、质量以及它旳杨氏模量。
E 7.8870102 l3m f 2 J
假如试验中测出一定温度下（如室温）测试棒旳固有频率、尺寸、 质量、并懂得其几何形状，就能够计算测试棒在此温度时旳杨氏模量。
公式中Ｊ表达测试棒旳惯量距,主要与金属杆旳几何形状有关, 其惯
量距公式为：
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课题引入
• 杨氏模量，它是沿纵向旳弹性模量，也是材料力学中旳名词。 1823年因英国医生兼物理学家托马斯·杨(Thomas Young, 1773-1829) 所得到旳成果而命名。根据胡克定律，在物体旳弹 性程度内，应力与应变成正比，比值被称为材料旳杨氏模量， 它是表征材料性质旳一种物理量，仅取决于材料本身旳物理性 质。杨氏模量旳大小标志了材料旳刚性，杨氏模量越大，越不 轻易发生形变。
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固有频率不至一种，而是有多种。分别相应着不同旳振 动形式，分别为基频固有频率（一般所说旳固有频率），1阶 固有频率，2阶固有频率，... ...
本试验采用基频振动形式，因为该振动形式相对简朴。
特殊点
基频振动形式
特殊点
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试验原理
动态法测量杨氏模量旳原理：在一定条件下（l >> d）,试样
f共2 f固2 2
动态法测试弹性模量
材料的弹性模量的测试一、实验目的1、掌握拉伸法和动态法测弹性模量的原理。
2、掌握动态弹性模量测定方法与实验步骤及对试样的要求。
3、掌握测量结果的计算与数据处理。
二、实验原理弹性性能主要指材料在弹性变形范围内的物理量，包括弹性模量（E，又称杨氏模量）、切变模量（G）和泊松比（ν），其中弹性模量和切变模量是表征固体材料弹性性质的重要力学参数，反映了固体材料抵抗外力产生形变的能力。
弹性模量也是进行热应力计算、防热与隔热层计算、选用机械构件材料的主要依据之一。
因此，精确测量弹性模量对理论研究和工程技术都具有重要意义。
弹性模量是固体材料在弹性形变范围内正应力与相应正应变的比值，其表达式为：（1）式中为材料弹性形变范围内的正应力，为相应的正应变。
E大小标志了材料的刚性，与物体的几何外形以及外力的大小无关，仅与材料的结构、化学成分和加工制造方法等有关。
对于一定的材料而言，E是一个常量。
测量弹性模量有多种方法，可分为静态法和动态法两种：①静态法（包括拉伸法、扭转法和弯曲法）通常适用于在大形变及常温下测量金属试样。
静态法测量载荷大、加载速度慢并伴有弛豫过程，对脆性材料（如石墨、玻璃、陶瓷等）不适用，也不能在高温状态下测量。
②动态法（又称共振法或声频法）包括弯曲（横向）共振法、纵向共振法和扭转共振法，其中弯曲共振法所用设备精确易得，理论同实验吻合度好，适用于各种金属及非金属（脆性）材料的测量，测定的温度范围极广，可从液氮温度至3000℃左右。
由于在测量上的优越性，动态法在实际应用中已经被广泛采用，也是国家标准（GB/T2105-91）推荐使用的测量弹性弹性模量的一种方法。
目前，测量材料的弹性模量主要有拉伸法和动态法。
1.拉伸法测量原理拉伸法是用拉力拉伸试样来研究其在弹性限度内受到拉力的伸长变形。
由式（1）有：（2）式中各量的单位均为国际单位。
可见，在弹性限度内，对试样施加拉伸载荷F，并测出标距L的相应伸长量，以及试样的原始横截面积，即可求得弹性模量E。
杨氏模量的测定
杨氏模量的测定一、拉伸法测定金属丝的杨氏模量实验介绍力作用于物体所引起的效果之一是使受力物体发生形变，物体的形变可分为弹性形变和塑性形变。
固体材料的弹性形变又可分为纵向、切变、扭转、弯曲，对于纵向弹性形变可以引入杨氏模量来描述材料抵抗形变的能力。
杨氏模量是表征固体材料性质的一个重要的物理量，是工程设计上选用材料时常需涉及的重要参数之一，一般只与材料的性质和温度有关，与其几何形状无关。
实验测定杨氏模量的方法很多，如拉伸法、弯曲法和振动法（前两种方法可称为静态法，后一种可称为动态法）。
本实验是用静态拉伸法测定金属丝的杨氏模量。
本实验提供了一种测量微小长度的方法，即光杠杆法。
光杠杆法可以实现非接触式的放大测量，且直观、简便、精度高，所以常被采用。
在弹性限度内，固体材料的应力与应变之比是一个常数，叫杨氏弹性模量，简称杨氏模量。
杨氏模量描述材料抵抗弹性形变能力的大小，与材料的结构、化学成分及制造方法有关。
杨氏模量是工程技术中常用的力学参数。
本实验采用拉伸法测定杨氏模量，并且将综合运用多种测量长度的方法如用光杠杆放大法测量微小长度，利用逐差法处理数据。
实验目的：1.观察金属丝的弹性形变规律，学习用伸长法测金属丝的杨氏模量；2.掌握光学放大原理，学会用光杠杆测量微小长度的变化；3.学会用逐差法处理数据。
实验原理1. 杨氏模量由胡克定律可知，在弹性限度内，钢丝的应力与应变成正比，比例系数称为杨氏模量（与材料本身的性质有关）。
若一根粗细均匀的金属丝的截面积为S、长度为L，在外力F作用下伸长△L，则有：(1)钢丝在外力作用下的伸长量△L多为微小量，不能用一般的长度仪器测量，实验中采用光杠杆放大法进行测量。
比例系数即为杨氏弹性模量。
在它表征材料本身的性质，越大的材料，要使它发生一定的相对形变所需要的单位横截面积上的作用力也越大。
一些常用材料的值见表1。
的国际单位制单位为帕斯卡，记为（1=1；1=）。
表1 一些常用材料的杨氏弹性模量材料名称/2.光杠杆原理如图，光杠杆是一个支架，前两脚与镜面平行，后脚会随金属丝的伸长而上升或下降。
杨氏模量的测量
杨氏模量的测量大学物理实验论文摘要：物体受外力作用时要发生形变，只要外力不超过一定限度，则作用力和相应形变之间将遵循胡克定律。
根据胡克定律，在物体的弹性限度内，应力与应变成正比，比值被称为材料的杨氏模量，它是表征材料性质的一个物理量。
杨氏模量测试方法一般有静态法和动态法，静态法包括拉伸法、扭转法和弯曲法，动态法包括弯曲共振法、横向共振法、扭转共振法。
关键词：杨氏模量拉伸法弯曲共振法Measurement of Young's modulusAbstract: The object to be deformed by external force, as long as the external force does not exceed a certain limit, then force of action and corresponding deformation will follow the Hooke's law . According to Hooke's law, the object within the elastic limit stress and strain is proportional to the ratio of the Young's modulus of the material is known, it is a physical characterization of material properties. Young's modulus testing methods are generally static and dynamic method, static method including stretching, twisting and bending method, dynamic method includes bending resonance method, the transverse resonance method, torsional resonance method.Keywords: Young's modulus, stretching method, bending resonance method引言：杨氏模量的大小标志了材料的刚性，杨氏模量越大，越不容易发生形变。
动态法测杨氏模量
动态法测量杨氏模量一.实验目的1、理解动态法测量杨氏模量的基本原理。
2、掌握动态法测量杨氏模量的基本方法，熟悉信号源和示波器的使用。
二．实验原理如图1所示，长度L远远大于直径d（L>>d）的一细长棒，作微小横振动（弯曲振动）时满足的动力学方程（横振动方程）为棒的轴线沿x方向，（1）y L0 x x图 1式中y为棒上距左端x处截面的y方向位移，E为杨氏模量，单位为Pa或N/m²;ρ为材料密度，S为截面面积，J为某一截面的转动惯量，J=。
横振动方程的边界条件为：棒的两端（x=0，L）是自由端，端点既不受正应力也不受切向力。
用分离变量法求解方程（1），令y（x，t）=X（x）T（t），既有（2）由于等式两边分别是两个变量x和t的函数，所以只有当等式两边都等于两边都等于同一个常数时等式才成立，假设此常数为,则可得到下列两个方程(3)(4)如果棒中每点都作简谐振动，则上述两方程的通解分别为（5）于是可以得出y（x，t）=（）（6）式中(7)式中（7）称为频率公式，适用于不同边界条件任意形状截面的试样。
如果试样的悬挂点（或支撑点）在试样的节点，则根据边界条件得到cosKL•chKL=1 （8）采用数值法可以得出本征值K和棒长L应满足如下关系：KnL=0,4.730,7.835,10.996,14.137， (9)其中第一根=0对应试样静止状态；第二根记为=4.730，所对应的试样振动频率称为基振频率（基频）或者称为固有频率，此时的振动状态如图2所示，第三根=7.853所对应的振动状态如图3所示，称为一次谐波。
由此可知，试样在作基频振动时存在两个节点，它们的位置分别距端面0.224L 和0.776L。
将基频对应的K1值代入频率公式，可得到杨氏模量为E（10）图2 图3如果试样为圆棒（d<<L），则，所以式（10）可改写为（11）同样，对于矩形棒试样则有（12）式中，m为棒的质量，f为基频振动的固有频率，d为圆棒直径，b和h分别为矩形棒的宽度和高度。
动态法测量金属的杨氏模量
振源 振源振源 振源 振源振源 振源 振源振源
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接收接收 接收 接收接收 接收 接收接收 接收
wzhuoyt 31
（为什么不是两者相等时达到振幅最大，是因为现实情况不可能是无阻尼的自由振动）
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2010-11-14
wzhuoyt
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区别：
固有频率只与测试棒本身有关；共振频率不 仅与测试棒本身有关，还与振动时的阻尼有 关。
联系：
f固 = f共 1+1 4Q2
（其中： Q = f共 2 β ） 或
f
2 共
= f −β2
y= s ΔL L F
A
N
M B 望 远 镜 及 尺
T
C
法 码
(1)
P
称为杨氏弹性摸量。
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实验原理
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wzhuoyt
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实验原理
光杠杆的原理见下图。增（减）砝码时，金属丝将伸长 （或缩短）ΔL ，光杠杆的后足尖也随着圆柱体C一道下降 （或上升）ΔL ，而前面两足保持不动，于是主杆转过一 角度θ ，同时平面镜的法线也转过相同的角度θ 。用望远 镜T和标尺N测得角θ ，设光杠杆后足到前两足连线的距离 为l，可算出ΔL
ΔL δ = l 2D
(4)
上式与力学杠杆定律的数学表达式相似，因此上述方法称 为光杠杆方法。
2010-11-14 wzhuoyt 10
实验原理
(4)式代入(1)式，可得杨氏弹性摸量：
2 FLD 8 FLD 8 MgLD y= = = 2 slδ πd l δ πd 2 l δ
(5)
其中，s=π d2/4，d为钢丝直径，M为所加砝码的质量，g为 重力加速度。 注意：F必须不能过大以确保形变在弹性限度内，且角θ 必须很小，tgθ ≈θ，tg2θ ≈2θ，才能成立。
基础物理实验 动态法测弹性模量
实验原理
当信号发生器的频率等于试样的共振频率时， 试样发生共振，这时示波器上的波形幅度突然 增大，读出的频率就是试样在该温度下的共振 频率。根据下式，
E
1.6067
l3m d4
f
2
即可计算出该试样的弹性模量。
实验装置
实验内容
⑴测定试样的长度 （测量1次）、直径 （测量3次）和 质量 （测量1次）。
实验内容
⑸改变试样支撑点的的位置，分别为试样的左 端和右端的第2、第3、第4、第5、第6、第7、 第8根刻线。分别测出其对应的共振频率 。
⑹以支撑点到试样一端面距离 为横坐标，共振 频率 为纵坐标作 曲线，找出距离端面为 0.224L和 0.776L处的共振频率即为基频谐振 频率 .
(7)根据公式即可求出材料的弹性模量 。
• 实验目的 • ⑴ 用动态法测定金属材料的弹性模量 • ⑵ 培养综合应用物理仪器的能力
实验原理
• 一细长棒的横振动满足动力学方程
4
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2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱt 2
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试样在作基频振动时，存在两个节点，它们的位置距离端面 分别为0.224L和0.776L处。
可得弹性模量 E 1.6067 l 3m f 2 d4
动力学法测弹性模量
弹性模量是工程材料的一个重要物理参数， 它标志着材料抵抗弹性形变的能力。测量材料弹 性模量的方法很多，诸如拉伸法、压入法、弯曲 法和碰撞法等。拉伸法是最常用的方法之一，但 该方法使用的载荷较大，加载速度慢，且会产生 驰豫现象，影响测量结果的精确度，另外，此法 还不适用于脆性材料的测量。本实验借助于搁置 式动态弹性模量测量仪，用振动法测量材料的弹 性模量。该方法可弥补其不足。
动态法测定弹性模量
K nL 0, 4.730, 7.853, 10.966, 14.137......
式中 K0L 0 的根对应于静止状态、故将第二个根作为第一个根记作 K1L ， 一般将 K1 对应的频率叫做基频，此时棒上波形分布如图 13-1 所示，
而 K2L 7.853 叫一次谐波。对应的波形分布如图 13-2 所示。由图可见，
试棒作基频振动时有两个节点、其位置距端面分别为 0.224L 和 0.776L 。 而对一次谐波 K2共有三个节点、其位置距端面分别为 0.132L 、 0.500L 和 0.868L 。实验证明：棒上振动分布确实如此。
图 13-1
图 13-2
将第一个本征值 K1 4.730 l 代入频率公式（13-8），可得到自由振动时
设棒中各点均作谐振动，这两个线性常微分方程的通解为：
X (x) c1 sin Kx c2 cos Kx c3shKx c4chKx
（13-5）
T (t) c5 sint c6 cost
(13-6)
式（13-2）横振动方程的通解为： y( x, t) (c1 sin Kx c2 cos Kx c3shKx c4chKx )(c5 sin t c6 cos t) (13-7)
式中
(
K 4EI S
1
)2
（13-8）
该式通称频率公式。
实际棒的振动模式取决于边界条件。
推论证明：该式对于任意形状截面、不同边界条件下都是成立的，故
我们只要用特定的边界条件定出常数 K ，代入特定截面的惯性矩，就
可以得到具体条件下的计算公式。如将棒悬挂（或支撑）在节点（即
处于共振状态时棒上位移恒等于零的位置），此时，边界条件为二端
动态法测定弹性模量
动态法测定弹性模量解读
实验一动态法测定弹性模量物理与电子信息学院物理学专业 09物理汉班，内蒙古呼和浩特 010022指导教师：哈斯朝鲁摘要：弹性模量包括扬氏模量（E）和切变模量（G），连同泊松比（μ）共称弹性系数，这三个系数相互之间的关系由关系式μ=2G/E－1所决定。
弹性模量测定方法共有三类：静态法、波传播法、动态法。
本实验采用动态弯曲共振法测定弹性模量。
1.引言弹性模量是反映材料抵抗形变的能力、也是进行热应力计算、防热和隔热层计算、选用构件材料的主要依据。
精确测试弹性模量对强度理论和工程技术都具有重要意义。
弹性模量测定方法主要有三类：1)静态法（拉伸、扭转、弯曲）：该法通常适用于金属试样，在大形变及常温下测定。
该法载荷大，加载速度慢伴有弛豫过程，对脆性材料（石墨、玻璃、陶瓷）不适用、也不能完成高温状态下测定；2)波传播法（含连续波及脉冲波法）：该法所用设备虽较复杂，但在室温下很好用，由于换能器转变温度低及切变换能器价格昂贵，不易获得而受限制；3)动态法（又称共振法、声频法）：包括弯曲（横向）共振、纵向共振以及扭转共振法，其中弯曲共振法由于其设备精确易得，理论同实践吻合度好，适用各种金属及非金属（脆性材料）以及测定温度能在-180℃～3000℃左右进行而为众多国家采用。
2. 正文【实验目的】1. 了解动态法测定弹性模量的原理，掌握实验方法；2. 掌握外推法，会根据不同径长比进行修正，正确处理实验数据；3. 掌握判别真假共振的基本方法及实验误差的计算；4. 了解压电体、热电偶的功能，熟悉信号源及示波器和温控器的使用；5. 培养综合使用知识和实验仪器的能力。
【实验仪器】动态弹性模量测定仪、功率函数信号发生器(5位数显、频率宽5～500KHz)、数显调节仪、悬挂测定支架及支撑测定支架、悬线、试样五根、激发-接收换能器、加热炉、高温悬线、声频放大器、听诊器、示波器。
【实验原理】对长度L 直径d 条件的细长棒，当其作微小横振动（又称弯曲振动）时，其振动方程为：02244=∂∂+∂∂t y EI S x y ρ （13-1） 式中y 为竖直方向位移，长棒的轴线方向为x ，E 为试棒的杨氏模量，ρ为材料密度，S 为棒横截面，I 为其截面的惯性矩，⎰=dS Sy I 2。
杨氏弹性模量的测定
实验七杨氏弹性模量的测定测量材料杨氏模量的方法很多，诸如拉伸法、压入法、弯曲法和碰撞法等。
拉伸法是最常用的方法之一。
但该方法使用的载荷较大，加载速度慢，且会产生驰豫现象，影响测量结果的精确度。
另外，此法还不适用于脆性材料的测量。
本实验借助于新颖的动态杨氏模量测量仪用振动法测量材料的杨氏模量。
该方法可弥补其不足，同时还可扩大学生在物体机械振动方面的知识面，不失为一种非常有用和很有特点的测量方法。
【实验目的】1．了解振动法测量材料杨氏模量的原理；2．学会用作图外推求值法测量振动体基频共振频率和杨氏模量；3. 测量试件机械振动的本征值4．观察铝平板的振型；5．通过实验,逐步提高综合运用各种测量仪器的能力。
【实验仪器】DY-D99型多用途动态杨氏模量测量仪、YXY-3D型音频信号源、示波器（Y轴灵敏度5-10m V)、毫米刻度钢皮尺(250mm长)、0.02mm精度游标卡尺、物理天平（精度0.05克）。
DY-D99型多功能动态杨氏模量测量仪简介图3 DY-D99型多功能动态杨氏模量测量仪1电动式激振器、6电动式拾振器、2试件（圆棒）、17试件（金属铝板）、3、5刀口、26导轨标尺、9标尺支架、25试件压板、24压板固定螺钉、10接线箱、11试件选择旋钮、12输入接口、13输出接口、22声整流罩、19发声元件、18小导轨、20声激振器固定螺钉、14-16水平调节螺钉、4刻度指示板、8备用试件安放支架、7试件限位装置、23底板该仪器如图3所示。
它由棒材试件杨氏模量定量测量装置和板材试件振型演示观察装置两部分组成。
两部分用接线箱连接和转换。
前一装置包含两个换能器（电动式换能器）、导轨标尺及其支架。
其中一个电动式换能器用作激振器，在音频信号发生器输出的音频正弦信号电压的作用下，作机械振动，进而激励试件作机械振动。
另一个电动式换能器当作拾振器，将由试件传递过来的机械振动信号转变为电信号，并输到示波器观察波形。
当音频信号发生器的信号频率调到与试件的固有频率相同时，试件产生共振，示波器显示的波形幅度达到最大。
用动态悬挂法测定金属杨氏弹性模量
1 d4 X s 1 d 2T = X dx 4 YJ T dt 2
4
(5-3-2)
等式两边分别是 x 和 t 的函数，这只有都等于一个常数才有可能，该常数设为 K ，得：
d4 X K4X 0 4 dx d 2T K 4YJ + T 0 dt 2 s
这两个线形常微分方程得通解分别为
(5-3-3) (5-3-4)
=0 d3 X dx 3 d2 X dx 2
x =l
3
(5-3-7) (5-3-8)
d3 X dx 3 d2 X dx 2
=0 =0
x =l
x =0
=0
x=0
(5-3-9)
将通解代入边界条件，得到 cos Kl ×chKl 1 。 用数值解法求得本征值 K 和棒长 l 应满足 K l=0，4.730，7.853，10.966… 。 由于其中一个根 “0” 对应于静态情况， 故将第二个根作为第一个根， 记作 K 1 l 。 一般将 K 1 l 所对应的频率称为基频频率。在上述 K m l 值中，1，3，5…个数值对应 着“对称形振动”,第 2、4、6…个数值对应着“反对称形振动” 。可见试样在作基频 振动时，存在两个节点，它们的位置距离端面分别为 0.224 l 和 0.776 l 处。将第一 4.730 本征值 K = 代入(5-3-6)式，得到自由振动的固有频率（基频） ： l
材料名称 生 铁 碳 钢 玻 璃
注：因环境温度及试棒材质不尽相同等影响所提供的数据仅作参考。
-6-
d 2 m 2 f ) ( ) + (2 ) 2 l d m f 附：黄铜试样棒的基频共振频率： 680 ~ 780 Hz Y Y (3 ) 2 = (4
杨氏模量为：1 1011 ~ 1.2 1011 N/m -52
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动态法测量杨氏弹性模量
郑新飞
杨氏模量是固体材料在弹性形变范围内正应力与相应正应变（当一条长度为L、截面积为S的金属丝在力F作用下伸长ΔL时，F/S 叫应力，其物理意义是金属丝单位截面积所受到的力；ΔL/L叫应变，其物理意义是金属丝单位长度所对应的伸长量）的比值，其数值的大小与材料的结构、化学成分和加工制造方法等因素有关。
杨氏模量的测量是物理学基本测量之一，属于力学的范围。
根据不同的测量对象，测量杨式模量有很多种方法，可分为静态法、动态法、波传播法三类。
一、实验目的
1、理解动态法测量杨氏模量的基本原理。
2、掌握动态法测量杨氏模量的基本方法，学会用动态法测量杨氏模量。
3、了解压电陶瓷换能器的功能，熟悉信号源和示波器的使用。
4、培养综合运用知识和使用常用实验仪器的能力。
二、实验仪器
1、传感器I（激振）：把电信号转变成机械振动。
2、试样棒：由悬线把机械振动传给试样，使试样受迫做共振动。
3、传感器II （拾振）：机械振动又转变成电信号。
4、示波器：观察传感器II 转化的电信号大小。
三、实验原理 理论上可以得出用动态悬挂法测定金属材料的杨氏模量，为
2436067.1f d
m l E （1） 式中l 为棒长，d 为棒的直径，m 为棒的质量。
如果在实验中测定了试样（棒）在不同温度时的固有频率f ，即可计算出试样在不同温度时的杨氏模量E 。
四、实验内容
1、测定试样的长度l 、直径d 和质量m 。
每个物理量各测六次，列表记录。
2、在室温下不锈钢和铜的杨氏模量分别为211102m N ⨯和
211102.1m N ⨯，先由公式（1）估算出共振频率f ，以便寻找共振点。
3、把试样棒用细钢丝挂在测试台上，试样棒的位置约距离端面l 224.0和l 776.0处，悬挂时尽量避开这两个位置。
4、把2-YM 型信号发生器的输出与2-YM 型测试台的输入相连，测试台的输出与放大器的输入相接，放大器的输出与示波器的1CH （或2CH ）的输入相接。
5、把示波器触发信号选择开关置于“内置”，1CH 增益置于最小档，极性置于“AC ”，X-Y 旋钮弹起。
6、打开示波器，把2-YM 型信号发生器的频率调至估算得出的频率附近，调节示波器触发电平旋钮，直至示波屏上出现稳定的正弦波形。
7、因试样共振状态的建立需要有一个过程，且共振峰十分尖锐，在共振点附近调节信号频率时，必须十分缓慢地进行，直至示波器示波屏上出现最大的信号。
8、记下室温下的共振频率f ，求出材料的杨氏模量E 。
9、本实验用铜棒和钢棒各做一次。
注意事项：
（1）千万不能用力拉悬丝，否则会损坏膜片或换能器。
挂试样或移动悬丝位置时，应轻放轻动，以免对悬丝施加冲击力。
（2）换能器由厚度为为0.1～0.3mm 的电压晶片用胶粘在0.1mm 左右的黄铜片上构成，故极其脆弱。
测定时一定要轻拿轻放，不能用力，也不能敲打。
（3）试样棒不能随处乱放，要保持清洁；拿放时应特别小心，避免弄断悬丝或摔坏试样棒。
（4）安装试样棒时，应先移动支架到既定位置后再悬挂试样棒。
（5）实验时，悬丝必须捆紧，不能松动，且在通过试样轴线的同一截面上，一定要等试样稳定之后才可正式测量。
五、数据处理
1、m d l 、、的测量
（1）不锈钢：
由24
36067.1f d m l E = ，211102m N E ⨯=不锈钢， 则()()()243-3
-32-1110
992.51020.331099.146067.1102f ⨯⨯⨯⨯=⨯
解之得Hz f 90.6119=不锈钢
（2）铜：
由24
36067.1f d m l E = ，211102.1m N E ⨯=铜， 则()()()243-3
-32-1110922.51024.341000.156067.1102.1f ⨯⨯⨯⨯=⨯
解之得Hz f 57.891=铜
2、共振频率
（1）不锈钢
()()()2
112243-3
-32-'1095.14.118510992.51020.331099.146067.1m N m N E ⨯=⨯⨯⨯⨯⨯=不锈钢那么百分误差%5.2%1001021095.1-102111111'=⨯⨯⨯⨯=-=
∆E E E E （2）铜
()()()2
112243-3
-32-'10177.146.88310922.51024.341000.156067.1m N m N E ⨯=⨯⨯⨯⨯⨯=铜那么百分误差%9.1%10010
2.110177.1-101.2111111'=⨯⨯⨯⨯=-=
∆E E E E 3、误差分析： （1）m 、l 、d 、f 的测量因为仪器的的不精准存在误差。
（2）读数时有一定误差。
（3）温度的不同也存在一定误差。
六，思考题
1、试讨论：试样的长度、直径、质量、共振频率分别采用什么规格的仪器测量？为什么？
答：分别使用直尺、千分尺或游标卡尺、电子天平、示波器测量长度、直径、质量、共振频率。
2、材料的杨氏模量体现了材料的什么性质？
答：杨氏模量体现了材料抵抗弹性形变多少的能力。
3、试样的固有频率和共振频率有何不同？有何关系？可否不测量质量而引入材料的密度ρ？这是杨氏模量计算公式应如何变动？
答：系统有多个自由度或无限个自由度时，依次使其发生共振的频率是各阶固有频率，不同频率针对不同的共振，振型也不一样。
固有频率是某种物质特有的固定振动频率。
物质在一定频率的外力作用下会以该外力的频率振动，在物理学上叫受迫振动。
但因为会消耗能量，所以受迫振动的振幅会变小。
当外力的频率与物质的固有频率相同时，振幅会达到最大。
也就是发生了共振。
能；此时杨氏模量计算公式为：
2
522432432436067.16067.16067.16067.1f d l f d dl l f d V l f d m l E πρπρρ====4、在实验过程中如何判别共振信号是否发生？
答：如果示波器的示波屏上出现最大的信号，则此时共振信号发生。