2021届高三高考数学文科一轮复习知识点专题2-2 函数的单调性与最值【含答案】

【变式探究】（2020·湖南长郡中学模拟）设函数f(x)是奇函数，且在(0，＋∞)内是增函数，又f(－3)＝0，则f(x)<0的解集是()
A．{x|－3<x<0或x>3}
B．{x|x<－3或0<x<3}
C．{x|x<－3或x>3}
D．{x|－3<x<0或0<x<3}
【答案】B
【解析】∵f(x)是奇函数，f(－3)＝0，
2.“对勾函数”y＝x＋ (a>0)的单调增区间为(－∞，－ )，( ，＋∞)；单调减区间是[－ ，0)，(0， ].
【典型题分析】
高频考点一确定不含参函数的单调性(区间)
例1.（2020·新课标Ⅱ）设函数 ，则f(x)（）
A.是偶函数，且在 单调递增B.是奇函数，且在 单调递减
C.是偶函数，且在 单调递增D.是奇函数，且在 单调递减
(4)性质法：①对于由基本初等函数的和、差构成的函数，根据各初等函数的增减性及f(x)±g(x)增减性质进行判断；
【变式探究】（2020·安徽蚌埠二中模拟）判断并证明函数f(x)＝ax2＋ (其中1<a<3)在[1,2]上的单调性．
【解析】函数f(x)＝ax2＋ (1<a<3)在[1,2]上单调递增．
例2.（2020·北京101中学模拟）判断并证明函数f(x)＝ (a≠0)在(－1,1)上的单调性．
【解析】法一：(定义法)设－1＜x1＜x2＜1，
f(x)＝a ＝a ，
f(x1)－f(x2)＝a －a
＝ ，由于－1＜x1＜x2＜1，
所以x2－x1＞0，x1－1＜0，x2－1＜0，
故当a＞0时，f(x1)－f(x2)＞0，
故当x＝1时取得最小值2＋a，
∵f(x)的最小值为f(0)，
∴当x≤0时，f(x)＝(x－a)2单调递减，故a≥0，
此时的最小值为f(0)＝a2，
故2＋a≥a2，得－1≤a不等式
例3.（2020·河南洛阳一中模拟）f(x)是定义在(0，＋∞)上的单调增函数，满足f(xy)＝f(x)＋f(y)，f(3)＝1，则不等式f(x)＋f(x－8)≤2的解集为________．
知识点二函数的最值
前提
设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足
条件
(1)对于任意的x∈I，都有f(x)≤M；
(2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M
(3)对于任意的x∈I，都有f(x)≥M；
(4)存在x0∈I，使得f(x0)＝M
结论
M为最大值
M为最小值
【特别提醒】
1.函数y＝f(x)(f(x)>0)在公共定义域内与y＝－f(x)，y＝ 的单调性相反.
(4)导数法：先求导，然后求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值.
【变式探究】（2020·湖北襄阳四中模拟）若函数f(x)＝ 的最小值为f(0)，则实数a的取值范围是()
A．[－1,2]B．[－1,0]
C．[1,2]D．[0,2]
【答案】D
【解析】当x＞0时，f(x)＝x＋ ＋a≥2＋a，当且仅当x＝ ，即x＝1时，等号成立．
∴f(－3)＝－f(3)＝0，解得f(3)＝0.
∵函数f(x)在(0，＋∞)内是增函数，
∴当0<x<3时，f(x)<0；当x>3时，f(x)>0.
∵函数f(x)是奇函数，∴当－3<x<0时，f(x)>0；
当x<－3时，f(x)<0.
则不等式f(x)<0的解集是{x|0<x<3或x<－3}．
高频考点五利用函数的单调性求参数
当a＜0时，f(x)在(－1,1)上为单调增函数．
【方法技巧】判断函数单调性常用以下几种方法：
(1)定义法：一般步骤为设元→作差→变形→判断符号→得出结论．
(2)图象法：如果f(x)是以图象形式给出的，或者f(x)的图象易作出，则可由图象的上升或下降确定单调性．
(3)导数法：先求导数，利用导数值的正负确定函数的单调区间．
例5.（2020·天津南开中学模拟）若函数f(x)＝2|x－a|＋3在区间[1，＋∞)上不单调，则a的取值范围是()
A．[1，＋∞)B．(1，＋∞)
C．(－∞，1)D．(－∞，1]
【答案】B
【解析】因为函数f(x)＝2|x－a|＋3＝ 且函数f(x)＝2|x－a|＋3在区间[1，＋∞)上不单调，所以a＞1，所以a的取值范围是(1，＋∞)．故选B。
【变式探究】（2020·河北辛集中学模拟）函数f(x)＝|x2－3x＋2|的单调递增区间是()
A. B. 和[2，＋∞)
C．(－∞，1]和 D. 和[2，＋∞)
【答案】B
【解析】y＝|x2－3x＋2|＝ ，如图所示，函数的单调递增区间是 和[2，＋∞)；单调递减区间是(－∞，1]和 ，故选B。
高频考点二确定含参函数的单调性
2021
【核心素养分析】
1.理解函数的单调性、最大(小)值及其几何意义．
2.会运用基本初等函数的图象分析函数的性质.
3.培养学生数学抽象、逻辑推理、直观想象能力。
【重点知识梳理】
知识点一函数的单调性
(1)单调函数的定义
增函数
减函数
定义
一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2
证明：设1≤x1<x2≤2，则
f(x2)－f(x1)＝ax ＋ －ax －
＝(x2－x1) ，
由1≤x1<x2≤2，得x2－x1>0,2<x1＋x2<4，
1<x1x2<4，－1<－ <－ .
又因为1<a<3，所以2<a(x1＋x2)<12，
得a(x1＋x2)－ >0，
从而f(x2)－f(x1)>0，即f(x2)>f(x1)，
【方法技巧】利用单调性求参数的范围(或值)的方法
(1)视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数．
(2)需注意若函数在区间[a，b]上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的．
【变式探究】（2020·湖北衡水中学调研）函数y＝ 在(－1，＋∞)上单调递增，则a的取值范围是()
【答案】(8,9]
【解析】因为2＝1＋1＝f(3)＋f(3)＝f(9)，由f(x)＋f(x－8)≤2可得f[x(x－8)]≤f(9)，f(x)是定义在(0，＋∞)上的增函数，所以有 解得8<x≤9。
【方法技巧】求解函数不等式问题，主要是利用函数的单调性将“f”符号脱掉，使其转化为具体的不等式求解．此时应特别注意函数的定义域以及函数奇偶性质的应用．
故当a∈(1,3)时，f(x)在[1,2]上单调递增．
高频考点三函数的最值
例3.(2018·全国Ⅱ)若f(x)＝cosx－sinx在[0，a]上是减函数，则a的最大值是()
A. B. C. D．π
【答案】C
【解析】∵f(x)＝cosx－sinx＝－ sin ，
∴当x－ ∈ ，即x∈ 时，
y＝sin 单调递增，
f(x)＝－ sin 单调递减，
∴ 是f(x)在原点附近的单调减区间，
结合条件得[0，a]⊆ ，
∴a≤ ，即amax＝ .
【方法技巧】求函数最值(值域)的常用方法
(1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值.
(2)图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值.
(3)基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值.
即f(x1)＞f(x2)，
函数f(x)在(－1,1)上递减；
当a＜0时，f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)，
函数f(x)在(－1,1)上递增．
法二：(导数法)f′(x)＝ ＝ ，
所以当a＞0时，f′(x)＜0，当a＜0时，f′(x)＞0，
即当a＞0时，f(x)在(－1,1)上为单调减函数，
【答案】D
【解析】由 得 定义域为 ，关于坐标原点对称，
又 ，
为定义域上的奇函数，可排除AC；
当 时， ，
在 上单调递增， 在 上单调递减，
在 上单调递增，排除B；
当 时， ，
在 上单调递减， 在定义域内单调递增，
根据复合函数单调性可知： 在 上单调递减，D正确.
【方法技巧】确定函数单调性的方法
(1)定义法．利用定义判断．
A．a＝－3B．a＜3
C．a≤－3D．a≥－3
【答案】C
【解析】(1)y＝ ＝1＋ ＝1＋ ，由题意知 得a≤－3.
所以a的取值范围是a≤－3.
(2)导数法．适用于初等函数、复合函数等可以求导的函数．
(3)图象法．由图象确定函数的单调区间需注意两点：一是单调区间必须是函数定义域的子集；二是图象不连续的单调区间要分开写，用“和”或“，”连接，不能用“∪”连接．
(4)性质法．利用函数单调性的性质，尤其是利用复合函数“同增异减”的原则时，需先确定简单函数的单调性．
当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数
当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数
图象描述
自左向右看图象是上升的
自左向右看图象是下降的
(2)单调区间的定义
如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间．