数学建模-降落伞的选购问题
降落伞优化选择的整数线性规划模型
降落伞优化选择的整数线性规划模型摘要本文讨论了降落伞合理选择使费用最低的问题。
通过对问题的分析，最大化载重量，最小化选购降落伞费用。
以牛顿定律建立微分模型，以空投物资重量2000千克，每种降落伞最大载重量为约束条件建立整数线性规划模型。
通过分步优化，最后以整数规划来解决这一问题。
首先，找出数据之间的关系，运用物理学和整数线性规划建立模型，并运用MATLABR软件描点作图进行数据拟合的方法,得出载重为300kg，半径为3米的降落伞从500米高空下降时的运动曲线，发现降落伞后期趋于做匀速直线运动.当降落伞作匀速直线运动时，求出空气阻力系数为2.959,落地速度为17.5794.在求出每种降落伞最大载重量，并通过隔离载重物体并进行受力分析，求出相应半径降落伞绳索长度,进而算出每种半径的降落伞的绳索费。
最后，根据每种降落伞的总成本关系把问题转化为整数线性规划问题，用LINGO解得到要购买半径为3m的降落伞数量为6把时总费用最少，总费用为4932元。
本文主要研究了降落伞优化选择问题。
主要优点是：本文通过建立优化选择的整数线性规划模型求解，思路清晰，并大量运用计算机运算使计算误差减少，最终使得降落伞的选择最优;另一方面,本文所建的模型简单合理,具有较强的推广意义。
主要缺点：在建立模型时，忽略了降落伞在实际应用中，会受到天气、风等一些自然因素的影响，使得模型与实际有些误差；本模型未考虑降落伞打开时间，将其假设成在下降时伞就已经打开；虽然大量运用计算机运算，但其中还是有不可避免的误差。
关键词: 数据拟合；单目标优化；微分方程；整数线性规划.一、问题的提出：为向灾区空投救灾物资共2000kg，需选购一些降落伞。
已知空投高度为500m，要求降落伞落地时的速度不能超过20m/s。
降落伞面为半径r的半球面，用每根长l共16根绳索连接着载重m，示意图如图1。
图1每个降落伞的价格由3部分组成。
伞面价格由半径r决定（见表1）；绳索每米为4元，其他费用200元。
降落伞的选择
rm
2
2.5
3
3.5
4
n个
0
1
4
1
0
最小费用W = 4842.4元 。固定费用增加了 2.50%，最小费用增加了 0.72%。 5.2 误差分析
针对本文中建立模型 1 求解的阻力系数 k 值，依据降落实验的数据进行误差分析， 从图形来看：
7
500
450
400
350
300
x/m
250
数据之上：
表 1 空投位移与时间的关系
t
0
3
6
9
12
15
18
21
24
27
30
x
0
30
75 128 183 236 285 340 392 445 499
3
将空投视为一个整体，对其进行受力分析，如图（1）所示，空投受到空气阻力 F阻 和重 力G 。
图 1 空投的受力分析
由牛顿第二定理可知： F合 = ma ，结合受力分析可得：
表 3 伞的选购方案
rm
2
2.5
3
3.5
4
n个
0
3
4
0
0
5.模型的灵敏度分析和误差分析
5.1 灵敏度分析 5.1.1 伞面价格对选购方案的影响
1. 其他伞面价格不变，只虑半径为 2.5m 的伞面价格改变，当其增加到 173 元时， 伞的选购方案才发生改变：
表 4 伞的选购方案
rm
2
2.5
3
3.5
4
n个
200
150
100
50
0 0
拟合方程 空投数据
降落伞选择优化模型
降落伞选择优化模型学生: 韩章英吴冬冬唐明指导老师:马明远摘要本文研究的是降落伞的最优选择方案问题，目的是在满足空投要求的条件下,怎样选择降落伞使总费用最低。
我们在详细分析和合理假设的基础上，建立了一个线性整数规划模型，目标函数是最小费用，约束条件是总载重量大于或等于2000kg。
通过对降落伞整个过程运动状态的分析，运用牛顿第二定律，建立微分方程模型，得到高度 h(t)函数, 加速度a(t)函数和速度v（t）函数。
利用h(t)函数和题目所给数据，运用matlab软件拟合出空气阻力系数为3.005。
利用a(t)可证明伞的整个降落过程为加速运动。
利用v(m)函数证明降落伞在任意时刻的速度与载重质量成正比，即速度越大，质量越大，分别把最大速度和空投高度代入v(t)和h(t)中，解得每种伞的载重量即为最大载重量。
由已知条件可分别求出每种伞的伞面费用，绳索费用和固定费用，三者之和即为每种伞的总费用。
建立线性整数规划模型，运用Lingo软件求解确定最优方案为选购6个半径为3米的降落伞，总费用为4926元。
关键词: 空气阻力系数最大载重量数据拟合线性规划一问题重述选购一些降落伞向灾区空投2000kg的救灾物资，要求降落伞落地时的速度不能超过20m/s。
已知空投高度为500m，降落伞面为半径r的半球面，用每根长L, 共16根绳索连接的载重m的物体位于球心正下方球面处。
每个降落伞的价格由三部分组成。
伞面费用C1由伞的半径r决定，见表1；绳索费用C2由绳索总长度及单价4元/米决定；固定费用C3为200元。
表1降落伞在降落过程中受到重力作用外还受到的空气阻力，可以认为与降落速度和伞的受力面积的乘积成正比。
为了确定阻力系数，用半径r=3m、载重m=300kg 的降落伞从500m高度作降落试验，测得各时刻的高度，见表2。
表2（在表1中选择），在满足空投要求的条件下，使费用最低。
二符号说明和名词解释C1 伞面费用C2 绳索费用C3 固定费用C 总费用S 伞面面积r 伞的半径L 绳索长度k 阻力系数g 重力加速度h(t) t时刻降落伞的下降高度v(t)t时刻降落伞的下降速度M r半径为r的降落伞的最大载重三基本假设1 降落伞在下落的过程中只受重力及垂直方向上的空气阻力。
降落伞选择的数学模型
降落伞选择的数学模型
降落伞选择的数学模型是一个用于确定合适的降落伞尺寸的数学模型。
此模型基于物体的重量、体积、下降速度等因素来计算需要的降落伞尺寸。
数学模型公式
根据相关研究和实验数据，我们可以使用下面的公式来计算降落伞的尺寸：
降落伞尺寸= (0.5 * 物体重量* 下降速度) / (空气密度* 降落伞开伞面积)
公式中的各个参数含义如下：
•物体重量：降落伞需要支撑的物体总重量，单位为千克。
•下降速度：物体从空中下降的速度，单位为米/秒。
•空气密度：当前环境中的空气密度，单位为千克/立方米。
•降落伞开伞面积：降落伞完全展开后的表面积，单位为平方米。
实际应用
降落伞选择的数学模型在航空、运动、救援等领域具有重要应用价值。
通过合理选择降落伞尺寸，可以确保物体在下降过程中获得自由落体状态下的最小加速度，同时确保降落过程的稳定和安全。
(新)大学生建模报告汇总-数学建模报告——降落伞的选择_
数学建模报告——降落伞的选择指导老师：窦老师彭老师报告人：刘原20031090118朱业帅20031090122马占奎20031090123一、问题重述降落伞的选择为向灾区空投救灾物资共2000kg，需选购一些降落伞，已知空投高度为500米，要求降落伞落地时的速度不能超过20米/秒，降落伞面为半径r的半球面，用每根长1共16根绳索连接的载重m仅位于球心正下方球面处，如图：每个降落伞的价格由三部分组成，伞面费用c1由伞的半径r决定，见表1；绳索费用c2由绳索总长度及单价4元/米决定；固定费用c3为200元。
降落伞在降落过程中受到的空气阻力可以认为与降落速度和伞面积的乘积成正比。
为了确定阻力系数，用半径r=3m，载重m=300kg的降落伞以500m高度作试验，测得各时刻t的高度x，见表2。
试确定降落伞降落的选购方案，即共需多少个，每个伞的半径多大（在表 1 中选择）在满足空投的要求下，使总的费用最低。
二、模型的假设1、设每个降落伞的绳长、伞面积均相等；2、降落伞投放立即打开，承受能力符合要求；3、降落伞的降落排除质量等不利因素的影响；4、降落伞和降落合乎所需的要求，且落地的速度不超过20 m/s。
三、符号说明c1: 伞面费用;c2: 绳索费用;c3: 固定费用(200元)；C : 总费用；t：时刻（用S表示）；S: 伞面面积；r: 伞的半径；K: 阻力系数。
四、问题和分析问题要求使总费用C最小，由于受c1、c2 、c3的影响，c3固定，c2,c1均受伞的半径r的影响，同时降落伞要受下降阻力的影响，我们考虑以下3个问题：（一）确定c1、c2 [通过数据拟合确定c1]（二）确定阻力系数K[通过t及h ,运用数据拟合确定K]（三）确定n 和总费用C[运用动能守恒定律、建立非线性规划方程]解决此3个问题即解决了此题目。
五、模型的建立与求解我们在考虑（一）问题时，只要通过图表一的数据来拟合c1 的方程：c1=4.3055r^3.9776；c2 的方程：c2=4*16*2^0.5*r；对于（二）确定一组关于速度和加速度的数据进行求解k值。
降落伞的选择论文精编版
降落伞的选择论文精编版MQS system office room 【MQS16H-TTMS2A-MQSS8Q8-MQSH16898】降落伞的选择摘要 本文针对降落伞的选购方案问题，建立两个模型，并给出了相关算法。
模型1：假设不考虑降落伞费用，通过对降落伞下降时运动规律的分析，利用牛顿第二定律列出微分方程，由题目中给定的m r 3=时所对应的下降高度，利用Matlab 进行拟合，进而求出空气阻力系数0035.3=k ，因为当伞落地时要求其速度不大于s m 20，所以把降落伞到达地面时的速度v 以及空气阻力系数k 代回伞面面积与载物质量的微分方程中，求得伞面面积v 与最大载物质量m 之间的关系为s 6.0071⨯=m ，由题目知降落伞的半径一定，故每个降落伞所能承受的最大载重量即可求出，据此kg 2000的物资如果要求用一种降落伞空投，则所需降落伞的数量即可求出。
模型2：在对降落伞费用考虑的情况下，因为伞的价格由伞面费用、绳索费用和固定费用三部分组成，据此求出每个降落伞的价格，再依据模型1中解得每个降落伞最大载重量，求出每个伞单位载重量的价格，在此建立只选一种降落伞费用最少的方案1，解得方案1为选用6个半径为m 3的降落伞。
其次考虑使用多种降落伞进行空投，由物资总重量和各降落伞所能承载的最大载重量之间的关系，以及各个降落伞所花费的费用等条件，建立线性方程组，利用Matlab 整数规划求解最优降落伞选用方案2，求解出方案2为选用6个半径为m 3的降落伞。
然后，将方案1所用费用与方案2所用费用相比较来选择花费费用最少的方案，但方案1与方案2所求降落伞选用结果相同，即只有一种方案。
最后，通过逆推，对模型进行了检验，进一步证明了模型的准确性和可行性，并对所建模型进行了评价与推广。
关键词拟合Matlab 最大载重量整数规划优化1问题重述为向灾区空投救灾物资，需购买一批降落伞。
在空投高度为500米，降落伞的半径类型及相关价格和空气阻力系数一定的情况下，要求降落伞到达地面时的速度不超过20/m s ，现要选择一种或几种类型降落伞来空投救灾物资，在满足要求的情况下需要解决以下两个问题：1需要多少降落伞？2所选降落伞的半径多大时，使得总费用最低？2模型假设与符号说明模型假设1投物当天天气晴朗，且无风。
第16组 韩兴康 周建斌 刘松安 降落伞的选择
降落伞的选择摘要本文针对降落伞的选择问题建立了二个模型，并给出最优选择方案。
二个？模型Ⅰ：本模型研究的是降落伞的选购方案问题，即怎样选择降落伞才能把2000kg 救灾物资投放下去。
要解决此问题，必须考虑到各种型号降落伞的最大载重量M。
i 首先对降落伞进行受力分析，伞和绳索的质量忽略不计，并假设降落伞只受到竖直方向上的阻力和重力作用。
根据空气阻力与伞面的面积和下落速度成正比，得出空气阻力f的表达式，由牛顿第二定律得出加速度a，然后对物体下落高度h进行求导，列出h 与a的微分方程。
其次确定阻力系数，使物资到达地面的速度不超过20m s，用题中3r时所给实验数据进行拟合分析，用MATLAB软件进行编程,得到阻力系数k=3.0035。
进而求出各种型号降落伞的最大载重M（见附表1）。
（太细了些）i模型Ⅱ：本模型主要是解决的是在满足空投的条件下，使得费用最少，并求出需要多少降落伞，每个伞的半径的多大。
（简短些）首先求各个降落伞价格，包括伞面费用、绳索费用和固定费用组成，其中绳索费用未知，其它两个已知，通过分析和计算可以求出各个降落伞的价格分别为：446.02元，596.27元，821.53元，1176.78元，1562.06元。
然后通过最大载重量求出每种伞所需要范围，确立最少费用为目标函数，以空投物资2000kg为约束条件,求解线性规划问题。
最后通过MATLAB软件进行编程，可以得出需要6个半径为3m的降落伞可满足空投，并使得费用W最少为4932元。
1、摘要太罗嗦了2、写作能力不错，但下次要简洁些，明了些3、排版要规范些，其他还好关键词：阻力系数微分方程M A T L A B软件线性规划最小费用1 问题重述（OK）向某灾区空投一批救灾物资（2000kg），对降落伞有多种选择，为得到最佳选择方案，需综合考虑各方面因素。
现有以下条件可供参考：每个降落伞共有两部分组成，包括伞面和绳索，伞面是半径为r的半球面，由16根长度为l的绳索连接，重物位于伞中心正下方球面处（如图1-1）；其中绳索单价为4元/米，伞面的费用由伞面半径决定，半径为2米时，伞面费用是65元；半径为2.5米时，伞面费用是170元；半径为3米时，伞面费用是350元；半径为3.5米时，伞面费用是660元；半径为4米时，伞面费用是1000元。
降落伞的选购数学建模
降落伞的选购摘要针对降落伞的最优选购问题，通过建立线性规划模型求得在将2000kg 的物资运往目的地的前提条件下所选不同规格降落伞的个数，从而使其总费用最低。
通过对问题分析，此线性规划模型建立的目标函数是：总费用=伞面费+绳索费+固定使用费，模型的约束条件为所选降落伞的最大承载量之和大于等于投送物资的总重量G 。
首先求解阻力系数，然后确定5种不同半径的降落伞的最大载重。
以牛顿第二定律建立微分方程模型，推导出降落伞的下落高度与时间之间的关系式：222()(1)kstm mgt m g H t e ks k s-=+-，然后根据题中已给实验数据通过MATLAB 软件做出()H t -t 回归曲线图，回归并分析出了阻力系数k 的值： 2.9575k =。
通过对()v m 的函数关系式进行求导并分析可知当降落伞的速度最大时取得最大承载量，然后将()H t -t 、()v t -t 关系式联立起来并代入不同规格伞的半径值及k 值，得到了不同规格降落伞的最大承载量。
通过优化模型最终解出最佳方案，以及最小费用。
通过LINGO 软件计算出不同规格的伞的个数:1x =1,2x =2,3x =4,4x =0,5x =0及此时所对应的最低费用为4924.756元。
最后讨论模型的优缺点，推广应用，改进方向关键词：线性规划模型 微分方程模型 回归分析 MATLAB 软件 LINGO 软件一、问题及问题分析1.问题重述：2.问题分析一、模型假设及符号说明1.模型假设2.符号说明二、模型构成1.模型建立2.模型求解三、模型的评价与推广1.模型优点2.模型缺点3.模型的推广四、代码部分1.MATLAB软件2.LINGO软件。
降落伞选择问题 数学建模
降落伞的选择问题组长：张瑜组员：杨璐组员：胡潇摘要本文讨论并确定了降落伞的最佳选购方案，在满足空投物资重量的前提下，使购买降落伞的费用最小。
该问题是一个优化问题，以购买降落伞的费用最小构造目标函数，以救灾物资2000kg,5种不同半径的降落伞的最大载重量为限制条件，进行线性规划，建立优化模型。
通过LinDo软件对模型进行求解，最终得出最佳方案为３m的降落伞数量为６个，其他半径的降落伞不予选购，以及最小费用为4793元。
首先，我们需要计算各规格降落伞的价格，可知其价格由伞面费，绳索费，固定使用费三部分构成，以此进行计算。
其次，我们需要计算出阻力系数，我们利用了两种方法确定出阻力系数为2.95747；之后，我们要确定不同半径的降落伞的最大载重量，通过之前计算出的速度与时间的关系式，推出速度与质量的关系，再确定质量与速度的关系，从而通过计算得出不同半径降落伞的最大载重量；最后列出目标函数和约束条件，进行线性规划，利用LinDo软件得出最终结果。
总之，我们的模型在理论分析上提出了选择降落伞最优化，为选择合适的降落伞提供了可行的理论依据。
关键字：优化方案、线性规划、微分方程、MATLAB,LINDO问题重述为了向灾区空投救灾物资，需要选择不同类型的降落伞。
降落伞根据半径不同分为半径为2m、2.5m、3m、3.5m、4m五种型号，降落伞的造价由伞面费用，绳索费用和固定费用三部分组成。
每个降落伞用长为1m的16跟绳索连接重物，重物位于球心正下方的球面处，降落伞在下降过程中除了受到重力的影响外，还受到空气的阻力。
并且可以认为阻力的大小与降落伞的速度和伞的面积成正比。
其阻力系数可由题中给出的数据确定,问题要求在满足空投物资重量的前提下，使购买降落伞的费用最小。
（具体数据见附录中表格1，表格2）问题的提出为向灾区空投救灾物资共2000kg，需选购一些降落伞，已知空投高度为500m，要求降落伞落地时的速度不能超过20/m s。
降落伞的采购问题论文
降落伞选购摘要为了及时有效向灾区输送救灾物资，欲将2000kg救灾物资从500米高空空投向灾区，确保物资安全到达地面要求降落伞落地时最高速度不能超过20m/s，同时节约成本，对不同规格的降落伞进行最优化组合选购，达到选购成本最低。
首先为了方便对降落伞进行受力分析，该模型将降落伞及其负载物看做一个整体，忽略伞面和绳索的质量，并且降落伞只受竖直方向上的重力和空气阻力作用，通过建立降落高度与时间之间的函数关系，然后利用Matlab软件求解出降落高度关于时间的微分方程，进而以降落伞离地高度关于时间的函数为拟合函数，结合题目中所给高度时间相关数据进行拟合得出空气阻力系数k的值。
（9377=k）。
.2其次利用matlab软件求解出降落高度关于时间的二阶导数即加速度关于时间的方程，然后利用matlab绘制出加速度与时间的函数关系图像，进而分析降落伞的速度变化规律，可以看出降落伞的降落过程是做加速度减小的加速运动，而降落的后期阶段加速度趋近于0并保持在该状态，此时速度达到最大，且降落伞做近似匀速运动，降落伞重力等于阻力，再根据质量与速度之间的关系即速度最大时质量达到最大，可进一步求得不同规格降落伞对应的最大载重量。
降落伞的单价由伞面费用，绳索费用和固定费用三部分组成，可确定不同规格降落伞的综合单价，进而进行合理组合选购。
最后以不同规格降落伞组合选购的总费用最小为目标函数，并以空投的总质量M≥2000kg及不同规格降落伞的最大承载量为约束条件建立线性规划模型。
利用lingo软件进行非线性规划求解得出（在货物能够任意连续分割情况下）需要购买半径为3m的降落伞6个，且使得费用最小为4929.158元。
关键词: 微分方程 Matlab 拟合空气阻力系数线性规划模型 lingo一、问题重述为了向灾区空投救灾物资，需要选择不同类型的降落伞。
降落伞根据半径不同分为半径为2m、2.5m、3m、3.5m、4m五种型号，降落伞的造价由伞面费用，绳索费用和固定费用三部分组成。
降落伞的选择 优化
降落伞的选择组员：史少阳、寻鑫、周茜茜时间：2014-8-6一、摘要本模型研究的是降落伞的选购方案，该问题是在保证物资不被损坏的情况下，用最小的费用去完成空投，属于最优化问题。
因此，本文以由降落伞的伞面费（由半径决定）、绳索（由长短决定）、固定使用费（常数）构成的总费用最小为目标函数，以空投质量和落地速度为约束条件，建立了一个线性规划模型。
在对伞进行受力分析时，利用牛顿运动定律及已知条件，在假设的前提下列出重力与阻力的关系式，并列出微分方程对阻力系数k进行求解。
我们采用物理方法，并利用MATLAB软件进行作图和数值运算，得到了k=2.95747。
由于题中已限制最大落地速度为20m/s，所以，当速度为20m/s时，伞的载重量最大，最后利用LINDO软件求解可得：x1=0，x2=0,x3=6,x4=0,x5=0,即购买半径为3m的降落伞6个时，总费用最少为4932元。
关键字：线性规划MATLAB软件LINDO软件二、问题重述现在某灾区需要空投2000kg 的救灾物资，需要选择一些降落伞以保证在高度不超过500米，降落伞落地的速度不超过20m/s ，使得空投任务得以圆满完成。
为了研究方便，假设降落伞是长为L （L=1），共16根绳索连接挂于球心正下方球面处，每个降落伞的价格由3部分组成：伞面费（由半径决定），绳索费（由长度决定），固定使用费（常数），为了计算降落伞下降的过程中的阻力系数，可以做如下实验，选择半径r=3m ，载重量m=300kg 的降落伞，从高度为500m 的高空下落，t 与高度s 的关系见下表：试选择降落伞。
三、模型分析本题是一个在有限资源问题下的优化问题，根据题目可知，在达到空投质量和落地速度一定的前提下，来确定降落伞的选择方案。
因此，我们可以以费用最小为目标函数，以空投质量和落地速度为约束条件，来最终确定各类降落伞的数量。
其中总费用以降落伞的费用、绳索的费用、固定使用费构成，伞面费用由伞的半径r 决定，绳索费用2i c 由绳索的长度及单价决定，由图一可知绳索的长度又由降落伞的半径决定，即：L ，固定费用为定值200。
数学建模《降落伞的选购问题》(1)
降落伞的选购模型摘要本模型研究的是降落伞的选购方案问题，目的是在满足空投要求的条件下，使费用最少。
为了方便对降落伞进行受力分析，我们把降落伞和其负载的物资看做一个整体，忽略了伞和绳子的质量，并假设降落伞只受到竖直方向上空气阻力和重力的作用。
通过对降落伞在空中的受力情况的分析建立起了高度与时间的方程，然后以高度与时间的方程作为拟合曲线与题中给出的时间与高度的数据进行拟合，得出阻力系数k的值。
我们建立了速度与质量的方程，并证明其为严格增函数（证明过程见建模与求解）。
由于题中已限制降落伞的最大落地速度为20m/s，所以当速度为20m/s时，伞的承载量最大。
建立高度与时间，速度与时间的方程组，代入最大速度20m/s，高度500m,伞的半径（题中已给出可能选购的每种伞的半径），分别计算出每种伞的最大承载量。
最后运用LINGO软件进行线性规划求解得：x1=0,x2=0,x3=6,x4=0,x5=0.即购买半径为3m的降落伞6个时总费用最少为4932元。
关键字：线性规划、空气阻力系数、拟合一、问题的重述为向灾区空投救灾物资共2000kg，需选购一些降落伞。
已知空投高度为500m，要求降落伞落地时的速度不能超过20m/s。
降落伞面为半径r的半球面，用每根长 L, 共16根绳索连接的载重m的物体位于球心正下方球面处，每个降落伞的价格由三部分组成。
伞面费用C1由伞的半径r决定，见表1；绳索费用C 2由绳索总长度及单价4元/米决定；固定费用C3为200元。
表1降落伞在降落过程中受到重力作用外还受到的空气阻力，可以认为与降落速度和伞的受力面积的乘积成正比。
为了确定阻力系数，用半径r=3m、载重m=300kg 的降落伞从500m高度作降落试验，测得各时刻的高度，见表2。
表2（在表1中选择），在满足空投要求的条件下，使费用最低。
二、模型的假设1、假设空投物资的瞬时伞已打开。
2、空投物资的总数2000kg可以任意分割。
3、空气的阻力系数与除空气外的其它因素无关。
降落伞的选择问题论文
a降落伞的选择摘要本文建立了优化模型，解决了在满足空投条件下降落伞的选择问题。
首先，由题意，根据牛顿第二定律，列出降落伞下降时的运动微分方程，得出降落伞降落高度与时间的关系式，再利用实验数据进行拟合，得到空气阻力系数k=2.9377；其次，根据降落伞落地速度不能超过20/m s的条件，得出不同半径的降落伞最大模型，得到当选择6个半径为3m的降落伞时，最低费用为4929.174元。
最后，对模型进行了各个角度的灵敏度分析和误差分析，以及进一步评价和推广。
关键词：降落伞选购方案阻力系数最大载重量最低费用1 问题重述1.1问题由来为向灾区空投救灾物资，需选购一批降落伞，如何确定降落伞的选购方案。
1.2已知信息1 救灾物资共2000kg ，空投高度为500m ，降落伞的落地速度不能超过20s m /;2 降落伞面是半径为r 的半球面，共有16根长为l 的绳，载重m 位于球心正下方球面处（图见附录1）;3 降落伞的价格由三部分组成：①伞面价格由伞的半径r 决定（附录2表1） ②绳索费由绳索总长度及单价3元/米决定 ③固定费200元;4 空气阻力与降落速度和伞面积的乘积成正比，用半径r =3m ，载重=m 300kg 的降落伞从500m 高度作降落试验，测得不同时刻降落伞离地面高度的数据（附录2表2）。
1.3要解决的问题试确定降落伞的选购方案，即共需多少个，每个伞的半径多大，才能使费用最低？2 模型假设与符号说明2.1模型假设1 降落伞在降落过程中只受重力与空气阻力的影响，不受其它因素干扰；2 这批物资可以进行任意分割。
2.2符号说明r ：降落伞半径 i C ()1,2,3i =：降落伞各部分的价格s ：降落伞伞面面积i x ()1,2,3,4,5i =：第i 种规格降落伞的数量()x t ：t 时刻降落伞下降的高度 k ：阻力系数()1,2,3,4,5j m j =：第j 种规格降落伞的最大载重量m ：载重量 f ：空气阻力()v t ：降落伞下落速度 ()h t ：t 时刻降落伞与地面的高度3 问题分析首先，根据题意及假设，知降落伞在降落过程中，只受到重力与空气阻力的共同作用，利用牛顿第二运动定律，列出降落伞在降落过程的运动方程，并以此来得到降落伞降落高度与降落时间的关系式；其次，由于空气阻力系数未知，可以结合实验数据，对降落伞降落高度与降落时间的关系式进行拟合，以求出空气阻力系数的大小；再次，由于题目中要求降落伞的落地速度不能大于20米/秒，可以以此为条件，来确定每种半径不同的降落伞的最大载重量大小；最后，根据以上的结论，建立以最低费用为目标，以总空投量大于等于2000kg 为约束条件的优化模型，并用lingo 或matlab 等软件编程计算求出最优解。
【数学与应用数学】论文——降落伞选购的优化模型
降落伞选购的优化模型[摘要]:本文对降落伞的选购问题建立了一个优45化模型,对所给数据采用计算机描点作图进行数据拟合,得出载重为300kg ，半径为3米的降落伞从500米高空下降时的运动曲线，发现降落伞后期做匀速直线运动.当降落伞作匀速直线运动时，由mg=f=kvs 求出空气阻力系数959.2=k ,落地速度为s m v /5794.17=.再通过隔离载重物体并进行受力分析，求出降落伞绳索长度l ,进而算出每种半径的降落伞的绳索费.最后根据每种降落伞的总成本关系把问题转化为整数线性规划问题，用MA TLAB 解得,045.35.22====n n n n 63=n ，即要购买半径m r 3=的降落伞数量为6把, 其他半径的降落伞都不需购买,总费用为4928=C 元.关键词: 数据拟合；运动曲线；阻力系数；整数线性规划1 问题的提出现要向灾区空投救灾物资共kg 2000,从而要选购降落伞.已知空投高度为m 500,要求降落伞的落地速度v 不超过s m /20,降落伞面为半径为r 的半球面,用每根长l 共16根绳索连接的载重m 位于球心正下方球面处,如图所示.每个降落伞的费用由三部分组成,伞面费1C 由伞的半径r 决定,见表1. 绳索费2C 由绳索总长度及单价4元/米决定,固定费用3C 为200元. 降落伞下降时受到空气阻力,可以认为与降落伞速度和伞面积的乘积成正比.为测定阻力系数,用半径kg m m r 300,3==的降落伞从m 500的高度作降落实验,测得各个时刻t 的高度x ,见表2.试确定降落伞的选购方案,即共需多少个,每个降落伞的半径多大(在表1中选择),在满足空投条件下,使总费用最低.l()m r23 4 1C (元)651703506601000表2rm1 降落伞下降过程中只受重力及空气阻力的作用,其他因素忽略;2 降落伞的质量和绳索质量忽略;3 每个降落伞载的物重都不会超过降落过程中的最大载重;4 阻力系数k 是常数，与其他因素无关;5 降落伞的落地速度不会超过20m/s6 救灾物资2000kg 可以任意分配.3 符号的约定k 阻力系数f 空气阻力r m 半径为r 的降落伞的最大载重r s 半径为r 的降落伞的伞面面积 ()t H t 时刻降落伞的下降高度 ()t v t 时刻降落伞的下降速度r n 购买半径为r 的降落伞数目 1C 伞面费 2C 绳索费 3C 固定费用l 降落伞每根绳索的长度g 重力加速度,2/8.9s m g =4 模型的建立与求解 阻力系数k 的确定降落伞下降时对降落伞进行受力分析有fmg ma-=,由于开始时不同时刻的加速度是不同的,即()t a a =,设初始时()00=v ,所以由上式有()⎪⎩⎪⎨⎧=-=00v kvsmg dtdvm 即 ()⎪⎩⎪⎨⎧=-=00v m kvs g dtdv解上述微分方程, 解得()()1mts k eksmg ks mg t v --=则从开始时刻到t 时刻降落伞下降的高度()()2)(02222220⎰⎰-+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-==--tm t s k m t s k ts k g m e s k g m ks mgt dt e ks mg ks mg dt t v t H又当kg m m r 300,3==降落伞从m 500高空下降时其运动轨迹可由计算机模拟出来,采用Maple 的plot 函数,p:=[[0 500], [3 470], [6 425], [9 372 ], [12 317], [15 264], [18 215], [21 160], [24 108], [2755], [30 1]]: plot(p);可得到其运动曲线如图所示图（1）可以发现降落伞在后期的运动曲线几乎是线性的,所以可以把降落伞后期的运动看成是匀速直线运动.对降落伞进行受力分析,有f mg =,而kvs f =其中s 为降落伞的伞面面积.取22,3,8.9,300r s m r g kg m π====，估算出s m v k /17,9.2≈≈由()m t s k eksmgksmgt v--=把π⨯⨯=====232,17,9.2,8.9,300svkgm代入上式，可以用Maple作出速度与时间的图象，如下图：图（2）可以发现降落伞s9以后速度几乎不变，这说明降落伞后期是作匀速直线运动的，所以降落伞后期匀速运动的速度可以这样确定:9秒以后的数据用最小二乘法进行线性拟合,设δ++=bvttH)(,其中δ符合正态分布,采用Matlab的polyfit函数X=[9 12 15 18 21 24 27 30];H=[128 183 236 285 340 392 445 499];P=polyfit(X,H,1)结果为p=[,]smv/5794.17=∴因为降落伞为半球面,所以2222/4rrsππ==由此解得959.2925794.178.9300=⨯⨯⨯==πvsmgk降落伞载重的确定由()1式可得mv关于的函数()m t s k eksmgksmgmv--=因为降落伞落地时,()500=tH, 即500222222=-+-skgmeskgmksmgtmt sk再由()()2,1联立方程组:()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-+=-=--222222sk g m e s k g m ks mgt t H e ks mg ks mg t v mts k mts k消去参数t 得到H 关于m 的函数,()()4/1ln 222ksmvs k mg ksv g m H -⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=降落伞的最大载重当且仅当v 达到最大,即s m v /200=时取得,由此我们可以证明如下命题：()mts k e ksmg ks mg m v --=是关于m 的增函数.证明: 因为()()03222<-=--=---mts k mts k m ts k e mks gt dm m v d e mgte ks g ks g dm m dvmt s k mts k e mgt eksg ks g dm m dv ----=∴)(为严格单调减函数又因为0)(lim=∞→dm m dv mmt s k mt s k e mgte ksg ks g dm m dv ----=∴)(0>由单调性的判别法, ()mt s k eksmg ks mg m v --=为m 的严格增函数所以命题成立反之m 关于v 的函数()v m 也是增函数. 令 ,500m H =,/20s m v =则()4式变为()50020/1ln 22=⨯-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--2ks m s k mg kst g m把959.2,8.9==k g 2222/4r r s ππ==代入得500076.1)3.345/()89.11ln(8.92422=---rm r m r m把2=r ,5.2=r ,3=r ,5.3=r ,4=r 代入上式可以解得满足空投条件下的各种半径的降落伞的最大载重：kg m 1532= kg m 2385.2= kg m 3423= kg m 4655.3= kg m 6064=半径为4,5.3,3,5.2,2=rm 时降落伞的绳索费因为载重m 位于球心正下方球面处,所以载重到球心的距离等于降落伞球面的半径,由几何关系得到2=l r ,其示意图如右图r解得半径为4,5.3,3,5.2,2=r 的长度分别为m l m l m l m l m l 66.5,95.4,24.4,53.3,83.245.335.22=====求得绳索费如下表:则购买每把不同半径的降落伞的各需总费用C 如下:确定降落伞的选购方案要使总费用最小,则要取每种半径的总成本最小,则有如下数学规划45.335.215621177821595446min 2n n n n n C ++++=⎪⎩⎪⎨⎧=∈≥++++4,5.3,3,5.2,2,,,,2000606465342238153..45,3325245.335.22r Z n n n n n n n n n n t s (6) 用matlab 解上述线性规划得: (程序参见附录)0,0,85.5,0,045.335.22=====n n n n n2.4801=C5 模型结果的说明由上用matlab 解得4805,0,0,85.5,0,045.335.22======C n n n n n但降落伞的数量必定为整数,所以对85.53=n 取整,即63=n ,相应的=C 49286)16424.4350200(=⨯⨯⨯++元,即要购买降落伞的方案为:半径为2m,2.5m,3m,3.5m,4m 的降落伞无需购买. 半径为3m 的降落伞需购买6把,总费用为4928元质量分配：有4把载重分别为333kg , 有2把载重分别为334kg6 模型的检验与推广1. 本模型对降落伞的运动作简化,即在后期,把降落伞的运动看作为匀速直线运动,则其运动方程为一次线形函数,对其求导,即可求得运动速度.从而可知运动速度与空投高度,运动时间无关.所以只要满足空投条件就可以降低空投高度,以减少空投难度.2. 当降落伞的半径仍为2m,2.5m,3m,3.5m,4m 五种时,其它条件不变,现在救灾物资很多,超过kg 2000,要求确定选购方案,则只需将(6)式的第二个不等式右端改为其它数据,如7000,8000等,就可求出相应的选购方案及总费用.参考文献[1] 张嘉林．高等数学[M]．北京：中国农业出版社，1999 [2] 许 波．MA TLAB 工程数学应用[M]． 北京：清华大学出版社附录: 数学规划问题的求解程序clear clcc=[446 595 821 1177 1562]; a=[-153 -238 -342 -465 -606]; b=[-2000]; vlb=[0 0 0 0 0]’;vub=[inf inf inf inf inf]’; aq=[]; bq=[];[n, total]=linprog(c,a,b,aq,bq,)The optimize model for purchasing ofparachuceAbstract : This text have made a ooptimize model for purchasing of parachute. with the proceedingdata which is given ,we use the calculator to make the diagram by matching the point .By trial of the carry heavy for 300 kgs which is below the parachute whose radius is 3 rices descending from the 500 rices high sky ,we discover the parachute do the strainth regularitive movement in the later begging mg=f=kvs,we solve out the air resistance of coefficient is k=,the speed falled to the ground is v=17.5794m/s. Then pass to insulate to carry the heavy object and the proceeding suffer the dint analysis, and beg the rope length of the parachute, and enter but calculate each grow the radius's total cost that the parachute's rope fee. Finally according to each grow ,the problem change to the integer linear programming problem, and use the MATLAB ,we get the solution,045.35.22====n n n n 63=n .That is to say we need to purchase the parachutes,whose radius is 3rices ,and the quantity is 6 , the other radius all does not need to purchase,the total expenses is4928=C yuan.Key words: matching the point; integer linear programming;。
数学建模 姓名： @@@ ### %%%降落伞的选择
降落伞的选择摘要本文研究的是降落伞的选择方案问题，意义在于满足空投要求的条件下，使伞的费用最小。
首先，我们先对降落伞和它的负载看作一个整体，并对整体进行受力分析，忽略伞和绳子的质量，而且假设降落伞只受到竖直方向的重力和空气阻力的作用。
通过牛顿运动定律以及对降落伞在空中的受力情况的分析得出了整体下落过程中的加速度，更进一步建立了位移（高度）与时间的()h t方程。
然后对题中给出的实验数据拟合k，得出阻力系数 3.0035k=。
由于题目中已经限制降落伞的最大落地速度为20/m s，所以当速度为20/m s时，伞的承重量最大。
建立速度、位移与时间的方程组，带入最大速度20/m s，高度500m，伞的半径(题中给出的五种不同规格的降落伞的半径)，分别计算出每种规格伞的最大承重量。
最后运用整型规划中的枚举法编程（见附录F）求解得10x=，20x=，36x=，40x=，50x=。
即购买半径为3m的降落伞6个时，最大承重量为6339.6883=2038.1298(kg)⨯，最少总费用为4929.2C=元。
关键词：受力分析拟合阻力系数整数规划1 问题重述为向灾区空投救灾物资，需选购一批降落伞。
每个降落伞的价格由伞面费用，绳索费用，固定费用三部分组成。
已知空投高度500m ,要求降落伞落地时的速度不能超过给定的速度20/m s ，而降落伞下落的速度又与受到的空气阻力和伞的面积有关，为了确定阻力系数，用半径3r m =,载重300m kg =的降落伞从500m 高度作降落试验，测得各时刻t 的高度x （见附录F ），因此在保证物资能够安全降落的同时需要尽可能经济的选择伞的数量和规格，使费用达到最小。
2 问题的假设和符号说明2.1 问题的假设1 降落伞下落时不受天气因素影响2 假设物资在离开飞机的瞬间就将降落伞打开3 假设降落伞只受到竖直方向上的空气阻力作用4 假设该地区的重力加速度为210/g m s =5 物资可以根据要求拆分为多块用不同规格降落伞空投6 降落伞和绳索的质量可以忽略不计7 假设降落伞落地时的速度为20/m s 2.2 符号说明k ：空气阻力系数 f ：空气阻力g ：重力加速度2(10m )si M ：(1,25)i =……每种降落伞的最大载重量 S ：降落伞的面积 j r ：1,25j =（……）每种降落伞的半径 w L ：(1,25)w =……不同伞的绳索长度 e x ：e （=1,2 …5）每种降落伞需选的个数 1C ：每个降落伞的第一部分费用 2C ：每个降落伞的第二部分费用 3C ：每个降落伞的固定费用 a ：加速度b ：每种降落伞的单价3 问题分析为保证救灾物质安全运送到目的地，需选购一批符合规格的降落伞，同时使花费达到最省。
数学建模-降落伞的选择
降落伞的选择摘要本文讨论并确定了降落伞的最佳选购方案，使费用最低。
通过对问题的分析，以牛顿第二定律建立微分方程模型，通过以救灾物资2000kg，5种不同半径的降落伞的最大载重量为限制条件，建立优化模型。
通过优化模型最终解出最佳方案，以及最小费用。
继而我们继续讨论了在投放降落伞与救灾物资时，风速、偏角对降落伞下降时绳索拉直的影响。
在绳索拉直的情况下，我们才能确保救灾物资能在已有的约束条件下到达目的地。
所以最后我们通过数据的拟合，找出了最适合投放降落伞的风速及偏角范围，以此来增加救灾物资到达灾区的可靠性。
首先，我们要确定阻力系数。
通过对表二的数据分析，以牛顿第二定律建立微分方程模型，运用matlab插点作图进行数据拟合，得到半径为3m，载重为500kg 的降落伞从500m高度下落的运动曲线，发现物体在运动后期做了直线运动，通过对图形的分析得出了阻力系数2.959,.落地速度为17.5794m/s.其次，我们要确定不同半径的降落伞的最大载重。
通过对表一的数据分析，以牛顿第二定律建立微分方程模型，通过以空投高度为500m，以降落伞落地的速度不能超过20m/s为约束条件，代入阻力系数及相关数据求的每种半径下的降落伞最大载重。
运用优化模型的解题方法，我们得出最低费用为4932元，降落伞的最佳选购方案为半径为3m的降落伞数量为6个，其他半径的降落伞不予选购。
最后，我们根据查找数据，得到风速、偏角与降落伞下降时绳索拉直的关系，得到相关图片，然后进行拟合得到，从而在已选条件下，选择降落伞最好的投放地点（该地点要符合风速、偏角对绳索拉直的最佳状态）。
关键字：降落伞的选择、拉直问题、微分方程、matlab、数据拟合问题重述为了向灾区空投救灾物资，需要选择不同类型的降落伞。
降落伞根据半径不同分为半径为2米、2.5米、3米、3.5米、4米五种型号，降落伞的造价由伞面费用，绳索费用和固定费用三部分组成。
每个降落伞均是半径为的球形，并且用长为l的16跟绳索连接重物，重物位于球心正下方的球面处，降落伞在下降过程中除了受到重力的影响外，还受到空气的阻力。
黄世杰,豆彩霞,李金玲。指导老师,数模组。
降落伞的选择摘要本文针对降落伞的选择问题建立相应优化模型。
首先，对降落伞进行受力分析，根据有关数据进行拟合，得出空气阻力系数k 2.9377。
其次，题中已给出限制降落伞的最大落地速度为20m/s，所以当速度为20m/s时，伞的承载量最大。
建立高度与时间，速度与时间，最大速度，伞面面积（题中已给出可能选购的每种伞的半径）的方程组，分别算出每种伞的最大承载量)M。
(r再次，运用LINGO软件进行线性规划求解得：x1=0,x2=0,x3=6,x4=0,x5=0.即购买半径r为3的降落伞6个时，降落伞总费用最少为4932元。
最后，对所建模型进行评价，并对模型的改进方向提出建议。
关键词：线性规划、空气阻力系数、拟合、最大载重量1 问题重述1.1 背景资料为向灾区空投救灾物资共2000kg，需选购一些降落伞。
1.2 已知信息已知空投高度为500m，要求降落伞落地时的速度不能超过20m/s。
降落伞面为半径r的半球面，用每根长 L，共16根绳索连接的载重m的物体位于球心正下方球面处，每个降落伞的价格由三部分组成。
伞面费用1C由伞的半径r决定，见附录【1】；绳索费用2C由绳索总长度及单价4元/米决定；固定费用3C为200元。
降落伞在降落过程中受到的空气阻力，可认为与降落速度和伞的受力面积的乘积成正比。
为了确定阻力系数，用半径r=3m、载重m=300kg的降落伞从500m高度作降落试验，测得各时刻的高度。
见附录【2】1.3 提出问题空气阻力系数，最大载重量，每个降落伞的单价，试根据以上条件确定降落伞的选购方案，即共需多少个，每个伞的半径多大（在附录【1】选择），在满足空投要求的条件下，使总费用最低。
2 模型的假设1、假设空投物资的瞬时伞已打开。
2、空投物资的总数2000kg可以任意分割。
3、空气的阻力系数与除空气外的其它因素无关。
4、降落伞和绳的质量可以忽略不计。
5、假设降落伞只受到竖直方向上的空气阻力作用。
3 符号的说明1、g:重力加速度2、m:降落伞的载重量3、k:空气阻力系数4、s:降落伞的表面积5、a:降落伞的加速度6、v:降落伞的速度7、H:降落伞的位移8、h :降落伞离地高度9、x1,x2,x3,x4,x5 分别为每种伞的个数4 问题的分析由题可知，每个伞的价格由三部分组成。
降落伞的选择图文ppt课件
r
2
2.5
3
3.5
4
m 150.6769 235.4326 339.0230 461.4470 602.7075
（三）计算每种降落伞的单价（元）
记c1i表示规格i的降落伞的伞面费，c2i为绳索费， c3i为固定费用。则
ci c1i c2i c3i , i 1,2,3,4,5 c3i 200, i 1,2,3,4,5 c2i 64ri , i 1,2,3,4,5
m2gekst / m k 2s 2
m2g k 2s 2
(IV)
高度x与时间的关系式为
x(t) 500 H(t)
500
mgt ks
m2gekst / m k 2s 2
m2g ，t k 2s 2
0
2、由已知数据拟合阻力系数k
已知，r=3，降落伞是半个球面，其面积为 s 2r 2
重力加速度g=9.8,m=300。另一方面，落地速度不超过 20m/s，故有
v(t) mg mg ekst / m ks ks
H
mgt ks
m2gekst / m k 2s 2
m2g k 2s 2
消去t，得到
ks(ksH mv ) m2g ln(1 500,v=20,s=2*pi*r^2，g=9.8， K = 2.9377 ， 带入(V)，得到
这里也可以用matlab中的非线性拟合函数
先编写拟合表达式的M文件
function x=jiangluosan(k,t) r=3;s=2*pi*r^2;m=300;g=9.8; x=500-m*g*t/k/s-m^2*g/k^2/s^2*exp(-k*s*t/m)+m^2*g/k^2/s^2;
再调用拟合函数
3 降落伞选择
降落伞的选择
为向灾区空投救灾物资共2000kg，需选购一些降落伞。
已知空投高度为500m，要求降落伞落地时的速度不能超过20m/s。
降落伞面为半径r的半球面，用每根长l共16根绳索连接的载重m位于球心正下方球面处，如图。
每个降落伞的价格由三部分组成。
伞面费用C1由伞的半径r决定，见表1；绳索费用C2由绳索总长度及单价4元/米决定；固定费用C3为200元。
降落伞在降落过程中受到的空气阻力，可以认为与降落速度和伞面积的乘积成正比。
为了确定阻力系数，用半径r=3m、载重m=300kg的降落伞从500m 高度作降落试验，测得各时刻t的高度x，见表2。
试确定降落伞的选购方案，即共需多少个，每个伞的半径多大（在表1中选择），在满足空投要求的条件下，使费用最低。
如果救灾物资以每袋100kg 或200kg等包装空投(每降落伞可多包捆扎空投，但不可将一包分开)，降落伞的选购方案如何？。
数学建模《降落伞的选购问题》
数学建模考试作业降落伞的选购模型班级：班姓名学号：降落伞的选购模型摘要本模型研究的是降落伞的选购方案问题，目的是在满足空投要求的条件下，使费用最少。
为了方便对降落伞进行受力分析，我们把降落伞和其负载的物资看做一个整体，忽略了伞和绳子的质量，并假设降落伞只受到竖直方向上空气阻力和重力的作用。
通过对降落伞在空中的受力情况的分析建立起了高度与时间的方程，然后以高度与时间的方程作为拟合曲线与题中给出的时间与高度的数据进行拟合，得出阻力系数k的值。
我们建立了速度与质量的方程，并证明其为严格增函数（证明过程见建模与求解）。
由于题中已限制降落伞的最大落地速度为20m/s，所以当速度为20m/s时，伞的承载量最大。
建立高度与时间，速度与时间的方程组，代入最大速度20m/s，高度500m,伞的半径（题中已给出可能选购的每种伞的半径），分别计算出每种伞的最大承载量。
最后运用LINGO软件进行线性规划求解得：n2=1 n2.5=2, n3=7, n3.5=0,n4=0。
即购买半径为2.5m的降落伞7个和半径为3m的降落伞4个时，最大承载量为:151.0942*1+236.0847*2+339.9620*7=3003(kg),最少总费用为6349.360元。
关键字：最大承载量、线性规划、Matlab、空气阻力系数、数据拟合一、问题的重述2008年，汶川大地震，现急需向灾区空投救灾物资共3000kg，因此选购一些降落伞。
已知空投高度为500米，要求降落伞落地时的速度不能超过20米/秒，降落伞面为半径r的半球面，用每根长L共16根绳索连接的载重m仅位于球心正下方球面处，如图：每个降落伞的价格由三部分组成，伞面费用c1由伞的半径r决定，见表1；绳索费用c2由绳索总长度及单价3元/米决定；固定费用c3为150元。
降落伞在降落过程中受到的空气阻力可以认为与降落速度和伞面积的乘积成正比，为了确定阻力系数，用半径r=3m，载重m=300kg的降落伞以500m高度作试验，测得各时刻t的高度x，见表2。
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. .. .数学与信息科学学院数学建模实训论文实训题目：降落伞的选购模型学生、学号、专业班级指导教师：2014年12月降落伞的选购模型摘要近几年自然灾害频繁发生，因此得进行大规模的抢险救灾活动，例如汶川震。
所以降落伞的选购是一个最大问题。
选择合理的降落伞并使投资费用最少是值得我们考虑的问题。
本题目就是关于降落伞的选购方案的最优化问题，目的是在满足空投要求的条件下，使费用最少，从而达到节约支出的目的。
为了方便研究我们先进行受受力分析:把降落伞和物资看做一个整体，忽略了伞和绳子的质量，降落伞在降落过程中除受到竖直向下的重力作用外还受到竖直向上的空气阻力的作用，而由题可知空气阻力又与阻力系数(k)、加速度(a)、伞的受力面积(s)有关。
运动速度(v)和受力面积(s)是已知的，所以要想确定每种伞的最大承载量，就必须先要确定空气的阻力系数(k)。
为了方便对物资进行受力分析，我们把降落伞和物资看作一个整体。
可知物体A 只受到竖直向上的空气阻力和竖直向下的重力作用。
又由题可知空气阻力与降落速度v 和伞的受力面积S 的乘积成正比。
则物体A 在竖直方向上受到的合外力为：kSv mg F -=合通过对降落伞在空中的受力情况的分析建立起了高度与时间的方程，然后以高度与时间的方程作为拟合曲线与题中给出的时间与高度的数据进行拟合，得出阻力系数k 的值k=2.9377。
我们建立了速度与质量的方程，并证明其为严格增函数（证明过程见建模与求解）。
由于题中已限制降落伞的最大落地速度为20m/s ，所以当速度为20m/s 时，伞的承载量最大。
建立高度与时间，速度与时间的方程组，代入最大速度20m/s ，高度500m,伞的 半径（题中已给出可能选购的每种伞的半径）。
伞面费用C 1、绳索费用C 2、固定费用C 3。
伞面费用由伞的半径r 决定；绳索费用C 2由绳索的长度及单价决定，由图一可知绳索的长度又由降落伞的半径决定即r L 2=，则绳索费用为2*16C =；固定费用为定值3200C =，总费用321C C C C ++=最后运用LINGO 软件进行线性规划求解得一共需要四个n 2=0，n 2.5=0 ，n 3=1， n 3.5=1，n 4=2最少总费用为3682.34元。
关键字：最大承载量、线性规划、Matlab 、数据拟合一、问题的重述向灾区空投救灾物资共2000公斤，需选购一批降落伞。
已知空投高度为500米，要求降落伞落地时的速度不能超过20米/秒。
降落伞面是半径为r 的半球面，用16根每根长为L 的绳索连接的载重m 位于球心正下方球面处。
每个降落伞的价格由三部分组成。
伞面费用1C 由伞的半径r 决定，见表1-1；绳索费用2C 由绳索总长度及单价4元/米决定；固定费用3C 为200元。
降落伞在降落过程中受到的空气阻力，可以认为与降落速度和伞面积的乘积成正比。
为了确定阻力系数，用半径为3r =米、载重300m =公斤的降落伞从500米高度做降落试验，测得各时刻t 的高度x ，见表1-2。
试确定降落伞的选购方案，即共需多少个，每个伞的半径多大（在表1-1中选择），在满足空投要求的条件下，使得费用最低。
表1-1 降落伞的伞面费用表1-2 降落试验测得的数据二、模型的假设1、 空投物资的总数2000kg 可以任意分割；2、 假设空投物资的瞬时伞已打开；3、 降落伞和绳的质量可以忽略不计；4、 降落伞的落地速度不会超过20m/s ；5、 空气的阻力系数与除空气外的其它因素无关；6、 假设降落伞只受到竖直方向上的空气阻力作用；7、 每个降落伞载的物重都不会超过降落过程中的最大载重。
三、符号说明f 空气阻力k 阻力系数)(r M 半径为r 的降落伞的最大载重 r s 半径为r 的降落伞的伞面面积()t H t 时刻降落伞的下降高度 ()t v t 时刻降落伞的下降速度 r n 购买半径为r 的降落伞数目 1C 伞面费 2C 绳索费 3C 固定费用L 降落伞每根绳索的长度a 降落伞的加速度g 重力加速度,2/8.9s m g =四、问题的分析由题意可知每个伞的价格由三部分组成：伞面费用C 1、绳索费用C 2、固定费用C 3。
伞面费用由伞的半径r 决定；绳索费用C 2由绳索的长度及单价决定，由图一可知绳索的长度又由降落伞的半径决定即r L 2=，则绳索费用为2*16C =；固定费用为定值3200C 。
因为题中已给出每种伞面的半径，所以每种伞的价格为定值。
要想确定选购方案，即共需半径（在题中给出的半径中选择）为多大的伞的数量，在满足空投物资要求的条件下使总费用最少。
因此，我们需要确定每种伞的最大承载量。
然后进行线性规划，确定总费用最少和每种伞的个数。
要确定最大载重量，我们需对降落伞进行受力分析（如图4.2）。
降落伞在降落过程中除受到竖直向下的重力作用外还受到竖直向上的空气阻力的作用，而由题可知空气阻力又与阻力系数(k)、运动速度(a)、伞的受力面积(s)有关。
运动速度(v)和受力面积(s)是已知的，所以要想确定每种伞的最大承载量，就必须先要确定空气的阻力系数(k)。
图4.1 图4.2对图4.2的分析可知降落伞的运动状态是做加速度趋近于0的加速运动。
因此，我们可以建立一个位移与时间的函数关系式，在根据题中所给的数据拟合出阻力系数k的值。
然后再建立一个速度与时间的函数关系式，两个关系式联立求解出最大载重量（其中高度和速度由题目已经给出）。
最后用LINGO软件进行线性规划算出问题要的结果。
五、建模与求解（1）首先确定阻力系数k为了方便对物资进行受力分析，我们把降落伞和物资看作一个整体如图二。
由假设5可知物体A 只受到竖直向上的空气阻力和竖直向下的重力作用。
又由题可知空气阻力与降落速度v 和伞的受力面积S 的乘积成正比。
则物体A 在竖直方向上受到的合外力为：kSv mg F -=合由运动学方程ma F =合得mkSvmg m F a -==合 由物体位移H 和时间(t)的二次微分等于加速度建立方程得m kSvmg td H d -=22 用MATLAB 解微分方程得(程序见附录1)222222)(Sk g m kS mgt eSk gm t H t mkS-+=- 则222222500)(Sk g m kS mgt eSk gm t h t mkS+--=- 题目已经给t-h 数据为时刻t （s ） 0 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30高度h （m ） 500 470 425 372 317 264 215 160 108 551对给定的数据以)(t h 为拟合函数进行拟合，r=3m,m=300kg,g=9.8,22r S π=,得出 k=2.9377 。
（程序见附录2）（2）求解最大承载量用速度对时间的微分等于加速度，且v 0=0建立方程组得：mkSvmg dt dv -=00=v用MATLAB 解得(程序见附录3)kSgmekS gm t v mkSt--=)(由前面的)(t H 和)(t v 函数建立方程组得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-==-+=-=--hH r S s k g m e s k g m ks mgt t H e ks mg ks mg t v m kst mkst5002)()(2222222πk=2.9377,g=9.8,r=[2 2.5 3 3.5 4]因为降落伞在下落过程中其质量是不变的，所以我们把)(t v 关系式中t 看做一个定值，则关于m 的方程为kSgmekS gm m v mkSt--=)(从上式我们可以知道)(m v 是关于m 的单调递增函数证明过程如下由数学知识可知：函数的一阶导数大于零，则原函数是单调递增的。
一阶导数小于零，则原函数是单调递减的。
kSgmekS gm m v mkSt --=)(对)(m v 求一阶导数得Skg mgte kSge m v mkSt mkSt +--=--)`( 由上式分析可知无法确定其是否大于零，在对其求二阶导数为0)(32``<-=-mkSt e mkS gt m v则一阶导数为单调递减函数，当m 趋近于无穷大时对一阶导数求极限可知0)(lim =+-=+----∞→kSg kS g Sk g mgte kSge mkSt mkSt m 由此可得0)`(>m v则原函数是单调递增函数，即速度v 和m 是成正比关系的。
又如果存在平衡状态则必须满足kvs mg =，那么ksmgv =而又通过对mksteksmg ks mg t v --=)( 分析，只有在ksmgt v t →+∞→)(时，才有，这与实际矛盾，故降落伞是一直做加速度减小的加速运动，不存在平衡状态。
因此，求最大载重量取伞在下降到地面的瞬间达到最大速度s m t v /20)(=,此时500)(=t H m ，由方程组调用MATLAB 分别解得半径为r 的降落伞在满足空投条件下的最大载重量)(r M 如下表（程序见附录5）改变r 的大小用matlab 计算最后整理得表5-1 不同半径降落伞的最大载重量（3）线性规划求解数量和费用由分析可知每种伞的单价321C C C C ++=由题可知1C 为表1-1 降落伞的伞面费用2C 为42162⨯⨯=r C3C 为固定值即3200C =由以上数据求得每种伞的单价见下表表5-2 购买不同半径的降落伞的各需总费用我们设每种伞分别取n 2,n 2.5,n 3,n 3.5,n 4个,则其目标函数为2 2.53 3.54min 456.12566.56691.36866.801062.24C n n n n n =++++s.t 2 2.53 3.5422533,54151.0942236.0847339.9620462.7260604.37682000,,,,2,2.5,3,3.5,4n n n n n n n n n n Z r ++++≥⎧⎪∈⎨⎪=⎩对其进行优化求解C 的最小值，就是所需的最小费用。
用LINGO 求解得（程序见附件6）n 2=0n 2.5=0 n 3=1 n 3.5=1n 4=2最少总费用为3682.34元。
六、模型的评价与推广优点：本模型的求解过程大量的运用了电脑软件，使得计算更加精确。
缺点：1、本模型未考虑降落伞打开的时间，将其假设成在下降时伞就已经打开。
2、由于在实际生活中降落伞还受到风向的影响，本模型假设的是理想的状态下（无风）推广：1、当降落伞的半径仍为2m,2.5m,3m,3.5m,4m 五种时,其它条件不变,现在救灾物资很多,超过3000kg要求确定选购方案,则只需将其相应数据改为其它数据,如5000kg,9000kg等,就可求出相应的选购方案及总费用.2、由于本模型假设的是在物资抛落的瞬时伞已打开，而在实际情况中物资抛落后应有一段自由落体运动。