数学建模-降落伞的选购问题

. .. .

数学与信息科学学院

数学建模实训论文

实训题目：降落伞的选购模型学生、学号、专业班级

指导教师：

2014年12月

降落伞的选购模型

摘要

近几年自然灾害频繁发生，因此得进行大规模的抢险救灾活动，例如汶川震。所以降落伞的选购是一个最大问题。选择合理的降落伞并使投资费用最少是值得我们考虑的问题。

本题目就是关于降落伞的选购方案的最优化问题，目的是在满足空投要求的条件下，使费用最少，从而达到节约支出的目的。

为了方便研究我们先进行受受力分析:

把降落伞和物资看做一个整体，忽略了伞和绳子的质量，降落伞在降落过程中除受到竖直向下的重力作用外还受到竖直向上的空气阻力的作用，而由题可知空气阻力又与阻力系数(k)、加速度(a)、伞的受力面积(s)有关。运动速度(v)和受力面积(s)是已知的，所以要想确定每种伞的最大承载量，就必须先要确定空气的阻力系数(k)。

为了方便对物资进行受力分析，我们把降落伞和物资看作一个整体。可知物体A 只受到竖直向上的空气阻力和竖直向下的重力作用。又由题可知空气阻力与降落速度v 和伞的受力面积S 的乘积成正比。则物体A 在竖直方向上受到的合外力为：

kSv mg F -=合

通过对降落伞在空中的受力情况的分析建立起了高度与时间的方程，然后以高度与时间的方程作为拟合曲线与题中给出的时间与高度的数据进行拟合，得出阻力系数k 的值k=2.9377。我们建立了速度与质量的方程，并证明其为严格增函数（证明过程见建模与求解）。由于题中已限制降落伞的最大落地速度为20m/s ，所以当速度为20m/s 时，伞的承载量最大。

建立高度与时间，速度与时间的方程组，代入最大速度20m/s ，高度500m,伞的 半径（题中已给出可能选购的每种伞的半径）。伞面费用C 1、绳索费用C 2、固定费用C 3。伞面费用由伞的半径r 决定；绳索费用C 2由绳索的长度及单价决定，由图一可知绳索的

长度又由降落伞的半径决定即r L 2=，则绳索费用为2*16C =

；固定费用

为定值3200C =，总费用321C C C C ++=最后运用LINGO 软件进行线性规划求解得一共需要四个n 2=0，n 2.5=0 ，n 3=1， n 3.5=1，n 4=2最少总费用为3682.34元。

关键字：最大承载量、线性规划、Matlab 、数据拟合

一、问题的重述

向灾区空投救灾物资共2000公斤，需选购一批降落伞。已知空投高度为500米，要求降落伞落地时的速度不能超过20米/秒。降落伞面是半径为r 的半球面，用16根每根长为L 的绳索连接的载重m 位于球心正下方球面处。每个降落伞的价格由三部分组成。伞面费用1C 由伞的半径r 决定，见表1-1；绳索费用2C 由绳索总长度及单价4元/米决定；固定费用3C 为200元。降落伞在降落过程中受到的空气阻力，可以认为与降落速度和伞面积的乘积成正比。为了确定阻力系数，用半径为3r =米、载重300m =公斤的降落伞从500米高度做降落试验，测得各时刻t 的高度x ，见表1-2。试确定降落伞的选购方案，即共需多少个，每个伞的半径多大（在表1-1中选择），在满足空投要求的条件下，使得费用最低。

表1-1 降落伞的伞面费用

表1-2 降落试验测得的数据

二、模型的假设

1、 空投物资的总数2000kg 可以任意分割；

2、 假设空投物资的瞬时伞已打开；

3、 降落伞和绳的质量可以忽略不计；

4、 降落伞的落地速度不会超过20m/s ；

5、 空气的阻力系数与除空气外的其它因素无关；

6、 假设降落伞只受到竖直方向上的空气阻力作用；

7、 每个降落伞载的物重都不会超过降落过程中的最大载重。

三、符号说明

f 空气阻力

k 阻力系数

)(r M 半径为r 的降落伞的最大载重 r s 半径为r 的降落伞的伞面面积

()t H t 时刻降落伞的下降高度 ()t v t 时刻降落伞的下降速度 r n 购买半径为r 的降落伞数目 1C 伞面费 2C 绳索费 3C 固定费用

L 降落伞每根绳索的长度

a 降落伞的加速度

g 重力加速度,2/8.9s m g =

四、问题的分析

由题意可知每个伞的价格由三部分组成：伞面费用C 1、绳索费用C 2、固定费用C 3。伞面费用由伞的半径r 决定；绳索费用C 2由绳索的长度及单价决定，由图一可知绳索的

长度又由降落伞的半径决定即r L 2=，则绳索费用为2*16C =

；固定费用

为定值

3200

C 。因为题中已给出每种伞面的半径，所以每种伞的价格为定值。要想确定选购方案，即共需半径（在题中给出的半径中选择）为多大的伞的数量，在满足空投物资要求的条件下使总费用最少。因此，我们需要确定每种伞的最大承载量。然后进行线性规划，确定总费用最少和每种伞的个数。

要确定最大载重量，我们需对降落伞进行受力分析（如图4.2）。降落伞在降落过程中除受到竖直向下的重力作用外还受到竖直向上的空气阻力的作用，而由题可知空气阻力又与阻力系数(k)、运动速度(a)、伞的受力面积(s)有关。运动速度(v)和受力面积(s)是已知的，所以要想确定每种伞的最大承载量，就必须先要确定空气的阻力系数(k)。

图4.1 图4.2

对图4.2的分析可知降落伞的运动状态是做加速度趋近于0的加速运动。因此，我们可以建立一个位移与时间的函数关系式，在根据题中所给的数据拟合出阻力系数k的值。然后再建立一个速度与时间的函数关系式，两个关系式联立求解出最大载重量（其中高度和速度由题目已经给出）。最后用LINGO软件进行线性规划算出问题要的结果。

五、建模与求解

（1）首先确定阻力系数k