同济大学弹性力学讲义
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弹性力学-第一章 绪论
第一章 绪论 §1-1 弹性力学的内容
（3）数学理论基础 材力、结力 —— 常微分方程（4阶，一个变量）。 弹力 —— 偏微分方程（高阶，二、三个变量）。
数值解法：能量法（变分法）、差分 法、有限单元法等。
3. 与其他力学课程的关系
弹性力学
只用精确的数学推演而不引用关于
数学弹性力学； 形变状态或应力分布的假定 应用弹性力学。 近似材力，使用假定，简化推演
用矩阵表示： yxx
xy y
xz yz
z
zx
zy
zx zy z
其中，只有6个量独立。
xy yx yz zy 剪应力互等定理
结力: 在材力的基础上研究杆件组成的结构即杆件系 统在外力或温度作用下的应力、变形、位移等 变化规律。解决杆系的强度、刚度、稳定性问 题
弹力: 研究非杆状的结构如板、壳、堤坝、地基和挡 土墙等弹性实体结构在外力或温度作用下的应 力、变形、位移等分布规律。解决弹性体的强 度、刚度、稳定性问题。
第一章 绪论 §1-1 弹性力学的内容
第一章 绪论 §1-2 弹性力学中的几个基本概念
(2) 面力
—— 作用于物体表面单位面积上的外力
lim T
F —— 面力分布集度（矢量）
S0 S
z
T Xi Yj Zk
F
Z
X Y Z —— 面力矢量在坐标轴上投影
单位： 1N/m2 =1Pa (帕)
X S Y
k
1MN/m2 = 106Pa = 1MPa (兆帕) i O j
ΔF n
P
(法线)
ΔA
第一章 绪论 §1-2 弹性力学中的几个基本概念
(2) 一点的应力状态
通过一点P 的各个面上应力状况的集合 —— 称为一点的应力状态
弹性力学讲义
zx
yz
标轴的负方向为负。
yx y 负面：截面上的外法线 B 沿坐标轴的负方向
A
z
O
负面上的应力以沿坐标 y 轴的负方向为正，沿坐
（不考虑位置, 把应力当作均匀应力）标轴的正方向为负。
x 正应力符号规定与材力同，切应力与材力不相同。
连接前后两面中心的直线 z
ab作为矩轴，列出力矩平 衡方程，得
z
fz
F f
S
fy
f : 极限矢量,即物体在P点所受面力 的集度。方向就是F的极限方向。
fx P
fx , fy , fz：体力分量。
o
y 符号规定:
x
lim F f
V 0 S
沿坐标正方向为正，沿坐标负 方向为负。
量纲：N/m2=kg∙m/s2∙m2=kg/m∙s2
即：L-1MT-2
(4)各向同性 — 假定物体是各向同性的.
符合以上四个假定的物体，就成为理想弹性体.
(5)小变形假定 — 假定位移和形变是微小的. 它包含两个含义： ⅰ 假定应变分量 <<1. 例如：普通梁中的正应变 <<10-3 << 1,切应变 << 1;
ⅱ 假定物体的位移<<物体尺寸.
例如：梁中挠度 << 梁的高度
弹性力学在土木、水利、机械、航空等工程学科 中占有重要的地位。许多非杆件形状的结构必须用 弹性力学方法进行分析。例如，大坝，桥梁等。
§1.2 弹性力学中的几个基本概念
弹性力学的基本概念: 外力、应力、形变和位移
1. 外力：体积力和表面力，简称体力和面力
体力：分布在物体体积内的力，例如重力和惯性力。
2 yzzx
yz
标轴的负方向为负。
yx y 负面：截面上的外法线 B 沿坐标轴的负方向
A
z
O
负面上的应力以沿坐标 y 轴的负方向为正，沿坐
（不考虑位置, 把应力当作均匀应力）标轴的正方向为负。
x 正应力符号规定与材力同，切应力与材力不相同。
连接前后两面中心的直线 z
ab作为矩轴，列出力矩平 衡方程，得
z
fz
F f
S
fy
f : 极限矢量,即物体在P点所受面力 的集度。方向就是F的极限方向。
fx P
fx , fy , fz：体力分量。
o
y 符号规定:
x
lim F f
V 0 S
沿坐标正方向为正，沿坐标负 方向为负。
量纲：N/m2=kg∙m/s2∙m2=kg/m∙s2
即：L-1MT-2
(4)各向同性 — 假定物体是各向同性的.
符合以上四个假定的物体，就成为理想弹性体.
(5)小变形假定 — 假定位移和形变是微小的. 它包含两个含义： ⅰ 假定应变分量 <<1. 例如：普通梁中的正应变 <<10-3 << 1,切应变 << 1;
ⅱ 假定物体的位移<<物体尺寸.
例如：梁中挠度 << 梁的高度
弹性力学在土木、水利、机械、航空等工程学科 中占有重要的地位。许多非杆件形状的结构必须用 弹性力学方法进行分析。例如，大坝，桥梁等。
§1.2 弹性力学中的几个基本概念
弹性力学的基本概念: 外力、应力、形变和位移
1. 外力：体积力和表面力，简称体力和面力
体力：分布在物体体积内的力，例如重力和惯性力。
2 yzzx
(同济大学)第1讲_弹性力学及有限元方法概述
有限元分析
的一般规律物体在空间的位置随时间的改变
对象内容
任务
对象内容
任务
概述
ANSYS 静力分析z起重机械有限元应用
整机模态分析
车辆安全性
工件淬火3.06 min 时的温度、组织分布(NSHT3D)
同济大学
同济大学
金属反挤压成型：温度分布和变化铸造成型：温度变化和气泡
速度
压力导流管分析
超音速飞行压力分布汽车气动分析
高速导弹气动
同济大学
两根热膨胀系数不同的棒焊接在一起，加热后的变形情况
子结构方法分析大型结构的早期应用法
梁单元
建模时充分利用重复性。
弹性力学_同济大学
量纲为 L。以坐标正向为正。
变形前p x, y,变形后 pxu,yv.
思考题
1. 试画出正负 y 面上正的应力和正的面力 的方向。
2. 在d x d y 1的六面体上，试问x面和y面 上切应力的合力是否相等？
第一章 绪 论
研究方法
§1－3 弹性力学中基本假定
弹性力学的研究方法，在体积V 内： 由微分体的平衡条件，建立平衡微分方程；
正应变 x , y，以伸长为正。
切应变 xy, 以直角减小为正,用弧度表示。
第二节 弹性力学中的几个基本概念
正的正应力对应于正的线应变, 正的切应力对应于正的切应变。
oz
x
P
yx α
B y
α
A
xy
C
第二节 弹性力学中的几个基本概念
位移
位移 -- 一点位置的移动，用 u, v表示,
第一节 弹性力学的内容 第二节 弹性力学中的几个基本概念 第三节 弹性力学中的基本假定
第一章 绪 论
定义
§1-1 弹性力学的内容
弹性力学 --研究弹性体由于受外力、边 界约束或温度改变等原因而发生的应力、形 变和位移。
研究弹性体的力学，有材料力学、结构 力学、弹性力学。它们的研究对象分别如下：
第一节 弹性力学的内容
（表示） σ x-- x 面上沿 x向正应力， xy-- x 面上沿 y向切应力。
（符号）应力成对出现，坐标面上的应 力以正面正向，负面负向为正。
第二节 弹性力学中的几个基本概念
例：正的应力
O(z)
y
x
yx
xy
x
x
xy
yx
y
y
第二节 弹性力学中的几个基本概念
变形前p x, y,变形后 pxu,yv.
思考题
1. 试画出正负 y 面上正的应力和正的面力 的方向。
2. 在d x d y 1的六面体上，试问x面和y面 上切应力的合力是否相等？
第一章 绪 论
研究方法
§1－3 弹性力学中基本假定
弹性力学的研究方法，在体积V 内： 由微分体的平衡条件，建立平衡微分方程；
正应变 x , y，以伸长为正。
切应变 xy, 以直角减小为正,用弧度表示。
第二节 弹性力学中的几个基本概念
正的正应力对应于正的线应变, 正的切应力对应于正的切应变。
oz
x
P
yx α
B y
α
A
xy
C
第二节 弹性力学中的几个基本概念
位移
位移 -- 一点位置的移动，用 u, v表示,
第一节 弹性力学的内容 第二节 弹性力学中的几个基本概念 第三节 弹性力学中的基本假定
第一章 绪 论
定义
§1-1 弹性力学的内容
弹性力学 --研究弹性体由于受外力、边 界约束或温度改变等原因而发生的应力、形 变和位移。
研究弹性体的力学，有材料力学、结构 力学、弹性力学。它们的研究对象分别如下：
第一节 弹性力学的内容
（表示） σ x-- x 面上沿 x向正应力， xy-- x 面上沿 y向切应力。
（符号）应力成对出现，坐标面上的应 力以正面正向，负面负向为正。
第二节 弹性力学中的几个基本概念
例：正的应力
O(z)
y
x
yx
xy
x
x
xy
yx
y
y
第二节 弹性力学中的几个基本概念
同济大学航空航天与力学学院弹性力学讲义塑性(3)R1
x yx zx m 0 0
xy y zy 0 m 0
xz
yz
z
0
0 m
x m
xy
xz
yx y m
yz
zx
zy
z
m
记
2
m 0 0 0 m 0 m ij 0 0 m
可得：
ij mij sij
sx yx zx
s1s2s3
5
4.8 八面体应力、应力强度（第三章的补充）
lmn 1 3
fvx xl yxm zxn 1l fvy xyl ym zyn 2m fvz xzl yzm zn 3n
fv
f2 vx
f
2 vy
f2 vz
l2 2
1
2 2
m2
32n2
1 3
)
3
I3(sij) det(sij)
因为 (sx sy sz )2 0
s2x
s
2 y
s2z
-2(sxsy
sysz
szsx )
所以
(sxsy sysz szsx )
2 3
(s x s y
sysz
szsx
)
1 3
(s
xs
y
sysz
szsx
)
13[s2x
s
2 y
s
2 z
-
(s x s y
① E ；
② 变形可恢复，但不成线性比例关系； ③ 屈服； ④ 强化；软化；
⑤
卸载，再加载，后继屈服，
s
s
1
初始屈服条件 s；
后继屈服条件
s
。
s
与塑性变形的历史有关，
同济大学弹性力学第二章-修改20140226
第二章 应力状态理论
2.1 体力和面力 2.2 应力和一点的应力状态 2.3 与坐标倾斜的微分面上的应力 2.4 平衡微分方程 应力边界条件 2.5 转轴时应力分量的变换 2.6 主应力 应力张量不变量 2.7 最大切应力
第二章 应力状态理论
弹性力学研究的都是超静定问题，故而必 须从静力学、几何学和物理学三个方面一起考 虑。
2.4 平衡微分方程 应力边界条件
B
B A
A
物体受外力作用处于平衡状态也保证了单元体的平衡 分别在物体内取任意一个平行六面体和四面体分析其平衡
z
考虑 Fx 0 ，有
z z dz
z zy zy dz
z
(x x dx)dydz xdydz (yx yx dy)dxdz
x
y
yx
y
zx zx dz
fz xzl yzm zn
2.5 转轴时应力分量的变换
z
c
f xz
x’
M
f xy
O
f xx
b
y’ a
z’
x
ij yxx
xy y
xz yz
zx zy z
y
？
x xy xz
ij yx
y
yz
zx zy z
x
xl12
ym12
zn12
2
yzm1n1
Fz 0
Mx 0
My 0
Mz 0
z
z z dz z
zy zy dz z
yx
zx zx dz z
xy
x yz yz dy
y
xz xz dx
y
x xz
xy xy dx x
y y dy
2.1 体力和面力 2.2 应力和一点的应力状态 2.3 与坐标倾斜的微分面上的应力 2.4 平衡微分方程 应力边界条件 2.5 转轴时应力分量的变换 2.6 主应力 应力张量不变量 2.7 最大切应力
第二章 应力状态理论
弹性力学研究的都是超静定问题，故而必 须从静力学、几何学和物理学三个方面一起考 虑。
2.4 平衡微分方程 应力边界条件
B
B A
A
物体受外力作用处于平衡状态也保证了单元体的平衡 分别在物体内取任意一个平行六面体和四面体分析其平衡
z
考虑 Fx 0 ，有
z z dz
z zy zy dz
z
(x x dx)dydz xdydz (yx yx dy)dxdz
x
y
yx
y
zx zx dz
fz xzl yzm zn
2.5 转轴时应力分量的变换
z
c
f xz
x’
M
f xy
O
f xx
b
y’ a
z’
x
ij yxx
xy y
xz yz
zx zy z
y
？
x xy xz
ij yx
y
yz
zx zy z
x
xl12
ym12
zn12
2
yzm1n1
Fz 0
Mx 0
My 0
Mz 0
z
z z dz z
zy zy dz z
yx
zx zx dz z
xy
x yz yz dy
y
xz xz dx
y
x xz
xy xy dx x
y y dy
同济大学弹性力学-总复习
ur , u 为边界上已知位移， Tr ,T 为边界上已知的面力分量。
弹性力学 主讲 邹祖军 总复习
第十一章 弹性力学的变分原理
基本概念
fi uidV Ti uidS ijijdV
(11.1)
V
ST
V
虚位移方程或位移变分方程,表示外力所做的虚功等于真实内力所
做的虚功
（1） （2）
由问题的条件求出满足式（8.13）的应力函数 (r, )
4
2 r 2
1 r
r
1 r2
2
2
2
0
（8.13）
由式（8.12）求出相应的应力分量： r , , r
r
1 r
r
1 r2
2 2
2
（8.14）
位移分量：
ur
1 E
(1 )
A r
2(1 )Br (ln r 1) (1 3 )Br
2(1 )Cr I cos K sin （8.15）
u
4Br
E
Hr
I
sin
K
cos
弹性力学 主讲 邹祖军 总复习
弹性力学极坐标求解归结为：
fr r
1 r
f
)0
r
1 r
r
1 r2
2 2
r
2
r 2
1 r2
1 r
2 r
弹性力学 主讲 邹祖军 总复习
第十一章 弹性力学的变分原理
基本概念
fi uidV Ti uidS ijijdV
(11.1)
V
ST
V
虚位移方程或位移变分方程,表示外力所做的虚功等于真实内力所
做的虚功
（1） （2）
由问题的条件求出满足式（8.13）的应力函数 (r, )
4
2 r 2
1 r
r
1 r2
2
2
2
0
（8.13）
由式（8.12）求出相应的应力分量： r , , r
r
1 r
r
1 r2
2 2
2
（8.14）
位移分量：
ur
1 E
(1 )
A r
2(1 )Br (ln r 1) (1 3 )Br
2(1 )Cr I cos K sin （8.15）
u
4Br
E
Hr
I
sin
K
cos
弹性力学 主讲 邹祖军 总复习
弹性力学极坐标求解归结为：
fr r
1 r
f
)0
r
1 r
r
1 r2
2 2
r
2
r 2
1 r2
1 r
2 r
同济大学硕士弹性力学第1讲_绪论、张量简介
硕士研究生课程弹塑性力学II(C)第一讲绪论、张量分析简介同济大学地下建筑与工程系《弹性力学》，徐芝伦，高等教育出版社，2006v4《弹性力学》，杨桂通，高等教育出版社，1998《弹塑性力学引论》，杨桂通，清华大学出版社2004《塑性力学》，夏志皋，同济大学出版社，1991《塑性力学基础》，王仁等，科学出版社，1982《塑性力学基础》，北川浩，高等教育出版社，1982《岩土塑性力学原理》，郑颖人等，建筑工业出版社，2002相关书籍Timoshenko S.P, Goodier J N. Theory of elasticity. 3rd ed. New York: McGraw-Hill Book Co, 1970 (徐芝伦译)Chen W.F. Limit analysis and soil plasticity. 1975, New York: Elsevier Scientific Publishing Company;J. C. Simo, T. J. Hughes. Computational Inelasticity.1998,Springer.弹性力学部分目录§1.1弹性力学的任务、内容和方法§1.2弹性力学的基本假设§1.3弹性力学的发展简史§1.1弹性力学的任务、内容和方法•弹性力学，也称弹性理论，是固体力学学科的一个分支基本任务：解决构件的强度、刚度和稳定问题。
最大限度解决并统一经济与安全的矛盾。
研究对象：完全弹性体（包括构件、实体）。
主要研究内容：在外界因素（载荷或温度变化）作用下，弹性体的应力和变形问题。
•弹性是变形固体的基本属性。
弹性体是变形体的一种，它的特征为：在外力作用下物体变形，当外力不超过某一限度时，除去外力后物体即恢复原状。
绝对弹性体是不存在的。
物体在外力除去后的残余变形很小时，一般就把它当作弹性体处理。
•“完全弹性”是对弹性体变形的抽象。
弹性力学讲义第2章(p)
zx 0
切应力互等
yz 0 xz 0
只剩平行于x y面的三个应力分量: x , y , xy
§ 2-1 平面应力问题与平面应变问题
u, v, w 非独立变量
t/2
t/2
x, y, z zx zy 0, xy
平面应力问题 ——
只有平面应力分量 x , y , xy yx 存在且仅
x
1 E
x
y
y
1 E
y
x
z
E
( x
y)
xy
2(1)
E
xy
yz 0
zx 0
z ( x y )
x
1 E2(Fra bibliotekx1
y
)
y
1 E
2
(
y
1
x
)
xy
2(1 E
)
x
y
§2-4 物理方程
平面应力问题:
平面应变问题:
E
剪切模量转换形 式同样是不变的
E
12
1
1 G
2(1)
E
2(1 1 E
试证明图中y方向的位移v 所引起的线段PA
的伸缩是高阶微量。
一点的应变位移关系——切应变
求线段PA与PB之间的直角的改变, 也就是切应变 xy,用位移分
量来表示。
v
v x
dx
v
v
dx
x
u
y
切应变
xy
v x
u y
0
u
u u dx
P
dx A x
v P
dy
B
v v dy
A
y
B
y
弹性力学 复习资料(全) 同济大学
第五章
线性弹性本构关系
不考虑热效应，克定律。 1、应变能密度和本构关系： ★格林公式 ij
W ，其中 W 是应变能，指外力在准静态过程中所做的功全部转化为由 ij
于变形而储存在弹性体内的能量。 2、广义胡克定律： ij Eijkl kl ，其中 Eijkl 为一个四阶张量，称为弹性系数或弹性模量张量。 4、各向同性弹性体：材料沿所有方向的弹性性质都是相同的，在数学上，即应力应变关系 的分量形式与坐标系无关。 令 C12 , C11 C12 / 2 ，称为 Lame（拉梅）系数
第八章 平面问题的极坐标解答
ui ui , 在S（位移边界）上 u
3、叠加原理：基本方程和边界条件都是线性的，叠加原理成立。对于大变形问题、材料非 线性问题和边界条件非线性的小变形问题，叠加原理不成立。 4、解的存在性和唯一性：逆解法和半逆解法。 5、★位移解法：以位移作为基本未知函数，在基本方程中消去应变张量和应力张量，可导 出仅用位移表示的方程组。 ,i 2ui fi 0 Lame Navier方程：
u v 1 u v ， y ， xy x y 2 y x
1 x x 1 y E1 1 物理方程： y y 1 x E1 1 1 xy xy E1
4
同济大学 弹性力学复习资料
1150899 陈力畅
第七章 平面问题的直角坐标解答
1、平面应变问题： u u x, y ，v v x, y ，w 0 等截面柱形物体；柱体所受的体积力和侧面所受的面力都平行于 Oxy 平面，且它们的分 布沿 z 方向不变。 几何方程： x
第六章
(同济大学)第2讲_矩阵运算与弹性力学基本理论
⎧ c11 x1 + c12 x 2 + L + c1r x r + L + c1n x n = d 1 ⎪ c 22 x 2 + L + c 2 r x r + L + c 2 n x n = d 2 ⎪ ⎪ L L L L L L L L L L ⎪ ⎪ c rr x r + L + c rn x n = d r ⎨ 0 = d r +1 ⎪ ⎪ 0 =0 ⎪ LL ⎪ ⎪ 0 =0 ⎩
其中 注 此时，
通解
k1 , k 2 ,L , k n − r
任意取值。
~ r ( A) = r ( A ) < n .
线性方程组求解结果的一般性讨论3
z
例3 解线性方程组
⎧ x1 − 2 x 2 + 3 x 3 = 1， ⎪ ⎨ 2 x1 − 4 x 2 + 5 x 3 = 4， ⎪3 x − 6 x + 8 x = 5 . ⎩ 1 2 3
定义 在线性方程组的求解过程中, 可使用如下三种变换手段
对线性方程组进行等价(或同解)变形： (1) 交换两个方程； (2) 将某个方程 k 倍 (3) 将一个方程的 k 倍加到另一个方程上。 称之为线性方程组的初等变换 .
矩阵加、减、乘法运算
同济大学
矩阵转置、对称矩阵、单位矩阵
对称方阵
同济大学
i = 1, 2, L , r ; j = r + 1, r + 2, L , n .
2 ,r +1 r +1 2n n 2 ⎪ 2 ⎪ L L L L L L L L~ ~ x L− c ~ x +d ⎪ xr = − c r ,r +1 r +1 rn n r ⎪ ⎨x =x r +1 ⎪ r +1 xr + 2 ⎪ xr + 2 = ⎪L L L L L L L ⎪ xn = xn ⎩
其中 注 此时，
通解
k1 , k 2 ,L , k n − r
任意取值。
~ r ( A) = r ( A ) < n .
线性方程组求解结果的一般性讨论3
z
例3 解线性方程组
⎧ x1 − 2 x 2 + 3 x 3 = 1， ⎪ ⎨ 2 x1 − 4 x 2 + 5 x 3 = 4， ⎪3 x − 6 x + 8 x = 5 . ⎩ 1 2 3
定义 在线性方程组的求解过程中, 可使用如下三种变换手段
对线性方程组进行等价(或同解)变形： (1) 交换两个方程； (2) 将某个方程 k 倍 (3) 将一个方程的 k 倍加到另一个方程上。 称之为线性方程组的初等变换 .
矩阵加、减、乘法运算
同济大学
矩阵转置、对称矩阵、单位矩阵
对称方阵
同济大学
i = 1, 2, L , r ; j = r + 1, r + 2, L , n .
2 ,r +1 r +1 2n n 2 ⎪ 2 ⎪ L L L L L L L L~ ~ x L− c ~ x +d ⎪ xr = − c r ,r +1 r +1 rn n r ⎪ ⎨x =x r +1 ⎪ r +1 xr + 2 ⎪ xr + 2 = ⎪L L L L L L L ⎪ xn = xn ⎩
同济大学航空航天与力学学院弹性力学讲义第七章
2
2
2
1
1
2
2
2
又有 x y
所以极坐标的应 力协调方程为
2
( 2
1
1
2
2
2
)(
)
0
(7 6)
引入艾里应力函数U ,
平面坐标的应力分量经变换得到极坐标下的应力分量为 x cos2 y sin2 2xy sin cos
x sin2 y cos2 2xy sin cos
B
y
x
u u d
C
o
x
A
u
d
d
A
C
B
C
B
y
u u d
C
u u d
（2）设u 0,u 0
0
(u u d) u
1 u
d
u u
综合两种情况，得极坐标的几何方程
u
1 u u
(7 4)
1 u u u r
3、平面应力问题的物理方程
方程得
u
1 E
(1 v)
A
2
(1 3v)B 2(1 v)B ln
2(1
v)C
u
1
u
1 E
(1 v)
A
2
(3 v)B
2(1 v)B ln
2(1 v)C
(d )
1 u u u 0
(d)的第一式对 积分得
u
1 E
(1 v)
A
(1 3v)B
2(1 v)B(ln
1) 2(1 v)C
y y y
2 x2
(cos
1
sin
)(cos
1
弹性力学基本讲义
三个方向的线应变：
三个平面内的剪应变：
x , y , z xy , yz , zx
z C
z
A
O
应变的正负： 线应变： 伸长时为正，缩短时为负；
剪应变： 以直角变小时为正，变大时为负； x
x P
y
B y
(2) 一点应变状态
—— 代表一点 P 的邻域内线段与线段间夹角的改变
x yx zx
（3）数学理论基础 材力、结力 —— 常微分方程（4阶，一个变量）。 弹力 —— 偏微分方程（高阶，二、三个变量）。
数值解法：能量法（变分法）、差分 法、有限单元法等。 3. 与其他力学课程的关系
数学弹性力学；
弹性力学
应用弹性力学。
弹性力学是塑性力学、断裂力学、岩石力学、 土力学、振动理论、有限单元法等课程的基础。
三、线性理论的发展时期(约1854－1907年) *应用建立的线弹性理论，解决大量工程实际问题，并推动 了数学分析工作的进展。 代表性的事件：(1) 圣维南(1854－1856年)提出圣维南原理； (2) 艾里(1862年)提出了求解平面问题的应力函数；(3) 赫兹(1882 年)求解了接触问题；基尔霍夫(1850年及以后)解决了平板的平 衡和振动问题。弹性力学在该时期得到了飞跃发展。 四、弹性力学更深入的发展时期(约1907年至今) *非线性弹性力学迅速发展起来。 代表性的事件：(1) 卡门(1907年)提出薄板的大挠度问题； (2) 卡门和钱学森提出了薄壳的非线性稳定问题；(3) 其他学者 还提出了大应变问题，非线性材料问题如塑性力学等。
1, 1
作用： 建立方程时，可略去高阶微量；
可用变形前的尺寸代替变形后的尺寸。 使求解的方程线性化。
三个平面内的剪应变：
x , y , z xy , yz , zx
z C
z
A
O
应变的正负： 线应变： 伸长时为正，缩短时为负；
剪应变： 以直角变小时为正，变大时为负； x
x P
y
B y
(2) 一点应变状态
—— 代表一点 P 的邻域内线段与线段间夹角的改变
x yx zx
（3）数学理论基础 材力、结力 —— 常微分方程（4阶，一个变量）。 弹力 —— 偏微分方程（高阶，二、三个变量）。
数值解法：能量法（变分法）、差分 法、有限单元法等。 3. 与其他力学课程的关系
数学弹性力学；
弹性力学
应用弹性力学。
弹性力学是塑性力学、断裂力学、岩石力学、 土力学、振动理论、有限单元法等课程的基础。
三、线性理论的发展时期(约1854－1907年) *应用建立的线弹性理论，解决大量工程实际问题，并推动 了数学分析工作的进展。 代表性的事件：(1) 圣维南(1854－1856年)提出圣维南原理； (2) 艾里(1862年)提出了求解平面问题的应力函数；(3) 赫兹(1882 年)求解了接触问题；基尔霍夫(1850年及以后)解决了平板的平 衡和振动问题。弹性力学在该时期得到了飞跃发展。 四、弹性力学更深入的发展时期(约1907年至今) *非线性弹性力学迅速发展起来。 代表性的事件：(1) 卡门(1907年)提出薄板的大挠度问题； (2) 卡门和钱学森提出了薄壳的非线性稳定问题；(3) 其他学者 还提出了大应变问题，非线性材料问题如塑性力学等。
1, 1
作用： 建立方程时，可略去高阶微量；
可用变形前的尺寸代替变形后的尺寸。 使求解的方程线性化。
同济大学弹性力学课件
•
应力－应变关系不再一一对应，
且一般是非线性的
单轴应力应变曲线
• 弹性、塑性 • 线性、非线性
典型的塑性本构模型
• 理想弹塑性模型 • 强化弹塑性模型 • 软化弹塑性模型
1）理想弹塑性模型
2）强化弹塑性模型
3）软化弹塑性模型
弹塑性力学基本方程
• 弹塑性力学的基本方程是：
• • • （1）平衡方程； （2）几何方程。 （3）本构方程。
1.3 塑性力学的主要内容
• （1）建立屈服条件。 • 对于给定的应力状态和加载历史，确定材料是否超出 弹性界限而进入塑性状态，即材料是否屈服 • （2）判断加载、卸载。 • 加载和卸载中的应力应变规律不同，需要建立准则进 行判断。 • （3）描述加载（或变形）历史。 • 应变不仅取决应力状态，还取决于达到该状态的历史， 在加载过程中必须对其历史进行记录。
形成独立学科： • 岩土塑性力学最终形成于20世纪50年代末期； • 1957年Drucker指出要修改Mohr-Coulomb准则，以 反映平均应力或体应变所导致的体积屈服； • 1958年剑桥大学的Roscoe等提出土的临界状态概念， 于1963年提出剑桥粘土的弹塑性本构模型，开创了 土体实用计算模型 • 从1970年前后至今岩土本构模型的研究十分活跃， 建立的岩土本构模型也很多。 • 1982年Zienkiewicz提出广义塑性力学的概念，指出 岩土塑性力学是传统塑性力学的推广。
1.4 塑性力学的研究方法
• 宏观塑性理论 • 以若干宏观实验数据为基础，提出某些假设 和公设，从而建立塑性力学的宏观理论。特 点是： • 数学上力求简单，力学上能反映试验结果的 主要特性。 • 实验数据加以公式化，并不深入研究塑性变 形过程的物理化学本质。
应力－应变关系不再一一对应，
且一般是非线性的
单轴应力应变曲线
• 弹性、塑性 • 线性、非线性
典型的塑性本构模型
• 理想弹塑性模型 • 强化弹塑性模型 • 软化弹塑性模型
1）理想弹塑性模型
2）强化弹塑性模型
3）软化弹塑性模型
弹塑性力学基本方程
• 弹塑性力学的基本方程是：
• • • （1）平衡方程； （2）几何方程。 （3）本构方程。
1.3 塑性力学的主要内容
• （1）建立屈服条件。 • 对于给定的应力状态和加载历史，确定材料是否超出 弹性界限而进入塑性状态，即材料是否屈服 • （2）判断加载、卸载。 • 加载和卸载中的应力应变规律不同，需要建立准则进 行判断。 • （3）描述加载（或变形）历史。 • 应变不仅取决应力状态，还取决于达到该状态的历史， 在加载过程中必须对其历史进行记录。
形成独立学科： • 岩土塑性力学最终形成于20世纪50年代末期； • 1957年Drucker指出要修改Mohr-Coulomb准则，以 反映平均应力或体应变所导致的体积屈服； • 1958年剑桥大学的Roscoe等提出土的临界状态概念， 于1963年提出剑桥粘土的弹塑性本构模型，开创了 土体实用计算模型 • 从1970年前后至今岩土本构模型的研究十分活跃， 建立的岩土本构模型也很多。 • 1982年Zienkiewicz提出广义塑性力学的概念，指出 岩土塑性力学是传统塑性力学的推广。
1.4 塑性力学的研究方法
• 宏观塑性理论 • 以若干宏观实验数据为基础，提出某些假设 和公设，从而建立塑性力学的宏观理论。特 点是： • 数学上力求简单，力学上能反映试验结果的 主要特性。 • 实验数据加以公式化，并不深入研究塑性变 形过程的物理化学本质。
同济大学航空航天与力学学院弹性力学讲义第三章
y' xl22 ym22 zn22 yzm2n2 xzl2n2 xyl2m2
z' xl32 ym32 zn32 yzm3n3 xzl3n3 xyl3m3
y'z' 2( xl2l3 ym2m3 zn 2n3 )
yz (m 2n3 m3n2 ) xz (l2n3 l3n2 ) xy (l2m3 l3m2 )
为转动分量
2.论证
利用转动分量、相对位移张量可分解成为两个张量：
u
x
v
x
w
u
y v
y w
u
z
v
z
x 1
2 xy
w
1 2
xz
1
2 xy
y 1
2 yz
1
2
1 2
xz yz
z
0
1 2
z
1 2
y
1 2
z
0
1 2
x
1 2
y
1 2
x
0
x y z
对称张量， 表示单元体 纯变形
反对称张量，表 示单元体的刚体 转动（有物体变 形引起单元体方 位变化）
B
B B B
ux, y, z
A
A
与A邻近的单元,B为
位移矢
量AA三 v( x, y, z) 个分量 w(x, y, z)
与A无限邻近的一点, 构成微分线段
u u(x dx, y dy, z dz)
位移矢
变形前微分线段AB
z)
z
(l
x
m
y
n
z
)
于是新坐标系中的应变分量为
x
u x
(l1
z' xl32 ym32 zn32 yzm3n3 xzl3n3 xyl3m3
y'z' 2( xl2l3 ym2m3 zn 2n3 )
yz (m 2n3 m3n2 ) xz (l2n3 l3n2 ) xy (l2m3 l3m2 )
为转动分量
2.论证
利用转动分量、相对位移张量可分解成为两个张量：
u
x
v
x
w
u
y v
y w
u
z
v
z
x 1
2 xy
w
1 2
xz
1
2 xy
y 1
2 yz
1
2
1 2
xz yz
z
0
1 2
z
1 2
y
1 2
z
0
1 2
x
1 2
y
1 2
x
0
x y z
对称张量， 表示单元体 纯变形
反对称张量，表 示单元体的刚体 转动（有物体变 形引起单元体方 位变化）
B
B B B
ux, y, z
A
A
与A邻近的单元,B为
位移矢
量AA三 v( x, y, z) 个分量 w(x, y, z)
与A无限邻近的一点, 构成微分线段
u u(x dx, y dy, z dz)
位移矢
变形前微分线段AB
z)
z
(l
x
m
y
n
z
)
于是新坐标系中的应变分量为
x
u x
(l1
弹性力学讲义
df2 (x) M x df1y 0
dx EI dy
df1( y) M x df2 x
dy EI dx
等式左边只是y的函数,而等式右边只是x的函数。因此, 只可能两边都等于同 一常数ω
df1( y)
dy
df2 (x) M x
dx
EI
§3-3 位移分量的求出
平面应力情况
积分以后得
xy 0
§3-3 位移分量的求出
代人物理方程(平面应力)
x
M EI
y
y
M
EI
y
代人几何方程
u M y x EI
v M y
y EI
v u 0 x y
§3-3 位移分量的求出
平面应力情况
u
M EI
xy
f1( y)
v
2
M EI
y2
f2 ( x)
代前式 第三式
移项得
v u 0 x y
d
4 f1 dy
4
y
0
d
4 f2y
dy4
2
d
2 f (y) dy2
0
f y Ay3 By2 Cy D
f1y Ey3 Fy 2 Gy 略去常数项
上式第三式
d
4 f2y
dy4
2
d
2 f (y) dy2
12
Ay
4B
Φ
x2 2
f y xf1y
f2y
§3-4 简支梁受均布荷载
d 4 f2 y 2 d 2 f ( y) 12 Ay 4B
Φ bxy
x 0 y 0
xy yx b
能解决矩形板受均布切向力的问题。
同济大学航空航天与力学学院弹性力学讲义第六章
x
y
y
Fy
0
(6 8)
（2）几何方程
u x x
v y y
v u xy x y
(6 9)
（3）物理方程
x 1 ( x v y)
E y 1 ( y v x)
E
xy 2(1 v) xy
E
(6 11)
3、应变、应力协调方程
应变协调方程:
2 x
y2
2 y
x2
2 xy
xy
（2）应变分量
x
u x
f1( x, y)
y
v y
f2(x, y)
xy
v x
u y
f3(x, y)
z yz xz 0
平面应变的由来
（3）应力分量
将应变分量代入以应变表示应力的物理方程，可求得应
力分量：
x,y,xy为x, y的函数 yz xz 0
又 z 0 由物理方程的第三式的
z 1 [z v(x y)] 0
（2）应变分量
将上述应力分量代入物理方程可 求得应变分量
x x (x, y)
z v ( x y)
Ey y (x, y)Fra bibliotekyz 0
xy xy (x, y)
xz 0
畸变
2、基本方程的简化
平衡微分方程及几何方程与平面应变问题相同
（1）平衡微分方程
x
x
yx
y
Fx
0
xy
2 xy
xy
(1
v1
)(
2 x
x2
2 y
y2
fx x
fy y
)
2 x
x2
2 x
y2
y
y
Fy
0
(6 8)
（2）几何方程
u x x
v y y
v u xy x y
(6 9)
（3）物理方程
x 1 ( x v y)
E y 1 ( y v x)
E
xy 2(1 v) xy
E
(6 11)
3、应变、应力协调方程
应变协调方程:
2 x
y2
2 y
x2
2 xy
xy
（2）应变分量
x
u x
f1( x, y)
y
v y
f2(x, y)
xy
v x
u y
f3(x, y)
z yz xz 0
平面应变的由来
（3）应力分量
将应变分量代入以应变表示应力的物理方程，可求得应
力分量：
x,y,xy为x, y的函数 yz xz 0
又 z 0 由物理方程的第三式的
z 1 [z v(x y)] 0
（2）应变分量
将上述应力分量代入物理方程可 求得应变分量
x x (x, y)
z v ( x y)
Ey y (x, y)Fra bibliotekyz 0
xy xy (x, y)
xz 0
畸变
2、基本方程的简化
平衡微分方程及几何方程与平面应变问题相同
（1）平衡微分方程
x
x
yx
y
Fx
0
xy
2 xy
xy
(1
v1
)(
2 x
x2
2 y
y2
fx x
fy y
)
2 x
x2
2 x
y2
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同济大学结构工程与防灾研究所
（李遇春编）
§1-2 弹性力学的基本假设 （1）连续性假设 假定所研究的固体材料是连续无间隙（无空洞）的介质，从微观上讲，固体材料中的原子与原子之
间是有空隙的，固体在微观上是间断的（或不连续的）；而从宏观上看，即使是很小一块固体，里面也 挤满了成千上万的原子，宏观上的固体看起来是密实而连续的，弹性力学正是从宏观上研究固体的弹性 变形及应力状态。根据这一假设，可以认为物体中的位移、应力与应变等物理量都是连续的，可以表示 为空间（位置）坐标的连续函数。
同济大学结构工程与防灾研究所
（李遇春编）
第一篇 弹性力学
第一章 弹性力学绪论
§1-1 弹性力学的研究对象与任务 弹性力学是固体力学的一个分支学科，是研究固体材料在外部作用下（外部作用一般包括：荷载、
温度变化以及固体边界约束改变），弹性变形及应力状态的一门学科。 土木工程中的结构物设计是与力学是息息相关、紧密联系的。我们已学过材料力学及结构力学，那
如图 1-8 所示的物体，在水平力作用下，物体产生如虚线所示的变形，最大弹性变形 δ 与物体（最
小）尺寸相比很小，可忽略不计，物体与物体（最小）尺寸相比很小
（4）完全弹性假设 假设固体材料是完全弹性的，首先材料具有弹性性质，服从 Hooke（虎克）定律，应力与应变呈线 性关系，同时物体在外部作用下产生变形，外部作用去除后，物体完全恢复其原来的形状而没有任何残 余变形，即完全的弹性。 （5）无初始应力假设 假定外部作用（荷载、温度等）之前，物体处于无应力状态，由弹性力学所求得的应力仅仅是由外 部作用（荷载、温度等）所引起的。若物体中已有初始应力存在，则由弹性力学所求得的应力加上初 始应力才是物体中的实际应力。
弹性力学大大扩展了解决土木结构问题的范围。理论上，弹性力学包容材料力学及结构力学，可以 说弹性力学是土木工程中最基本的力学工具。
图 1-1 简支深梁
同济大学结构工程与防灾研究所
（李遇春编）
图 1-2 墙梁
图 1-3 框支结构
图 1-4 大坝（块体结构）
图 1-5 双向板楼盖
图 1-6 壳体屋盖
图 1-7 地基基础
（2）均匀性与各向同性假设 假定固体材料是均匀的，并且在各个方向上物理特性相同，也即材料的物理性质在空间分布上是均 匀的（或不变的），例如材料的弹性模量、泊松比及密度可以假设为常数，不随位置坐标改变。在处理 实际问题时，可以取出物体内任一部分确定其弹性模量、泊松比及密度，然后可将这一结果用于整个物 体。钢材由微小晶体所组成，晶体本身是各向异性的，但由于晶体很微小而排列又杂乱无章，按平均的 物理性质，钢材可以认为是均匀的、各向同性的弹性体。混凝土由几种材料均匀混合而成，宏观上可看 成是均匀的，混凝土在拉伸与压缩两个方向上的物理力学性质有很大的差别，所以混凝土可看成是均匀 的各向异性材料；显然木材也为各向异性材料，因为木材顺纹路方向的抗拉强度要高于垂直于纹路方向 的抗拉强度；各向同性的钢材在受到冷拉（冷加工）以后，也会变成各向异性材料，因为钢材内的晶体 在受拉的方向上被拉长了，排列也有序了，受拉方向的抗拉强度增加了，而垂直于受拉方向的抗拉强度 下降了。 （3）小变形假设 假定固体材料在受到外部作用（荷载、温度等）后的位移（或变形）与物体的尺寸相比是很微小的， 在研究物体受力后的平衡状态时，物体尺寸及位置的改变可忽略不计，物体位移及形变的二次项可略去 不计，由此得到的弹性力学微分方程将是线性的，即所谓的线性弹性力学，因而像结构力学一样，叠加 原理在弹性力学中普遍适用。
么土木工程专业的学生为什么还要学习弹性力学呢？我们知道材料力学及结构力学这两门课程主要研 究的是“杆状”构件或结构的力学问题，所谓的“杆状”构件是指构件的纵向尺寸远大于其横向尺寸， 如常见的梁构件，其纵向长度远大于梁高和宽，对于这样的构件或结构可以引入某些计算假定（如平截 面假定），由这些假定所得到的分析结果与实际情况吻合良好，这一类的“杆状”构件在土木工程中得 到了大量的应用，例如：连续梁、框架、排架及桁架结构等，采用材料力学与结构力学可以研究这类结 构的强度、刚度以及稳定性等问题，为结构设计提供计算依据。然而工程上还存在着许多其他的“非杆 状”结构，例如：图 1-1~图 1-7 所示的各类结构，这些结构均不能采用材料力学及结构力学的方法求解。 图 1-1 的简支深梁由于梁高与跨度比较接近，材料力学中的平截面假定在这里不成立，因此材料力学关 于梁的解答是不可以采用的，必须采用弹性力学的方法求解深梁的应力分布，对于混凝土深梁而言，只 有知道了深梁内部的拉应力分布状况，才可以进行相应的配筋设计；图 1-2 为砖混结构中常见的墙梁， 它们由混凝土与砖砌体两种材料组成，对于混凝土梁的设计分析，应考虑砌体的影响，应将砌体与梁作 整体弹性力学分析，由于砌体具有拱效应，混凝土梁实际上起到一个拉杆的作用（偏心受拉构件），这 样混凝土梁的截面就会设计得较小，如果按材料力学或结构力学方法，单独对混凝土梁进行力学分析， 则得到的混凝土梁截面会非常的粗大，材料浪费，而且达不到预期的结构效果；图 1-3 为高层建筑中的 一种常见结构体系，由于建筑物上面为小开间住宅，可设计成全剪力墙结构，下面为大开间的商店，需 要设计成框架结构，于是在两种结构之间会出现一个所谓的转换层，常见的转换层结构采用的是框支梁， 这个梁的高度至少有一层楼高，具有深梁的特性，框支梁的受力很复杂，一般要作精细的弹性力学（有 限元）分析，才能作出合理的配筋设计；图 1-4 的大坝为块状结构物，显然杆系力学在这里无法得到块 状结构内的应力解答，而必须采用弹性力学的方法才能得到大坝内的应力解答，为坝体的设计提供参考； 图 1-5 为房屋建筑中常见的双向板楼盖，我们知道单向板楼盖的荷载是沿一个方向传递的，因此楼板可 以简化为连续梁理论来进行计算，而双向板的荷载是沿两个方向传递的，连续梁理论已不再适用，必须 采用弹性力学中的薄板理论求解，计算板内的弯矩分布，为配筋设计提供依据；图 1-6 为壳体屋盖结构， 一个著名的范例是北京火车站大厅 35 米×35 米的双曲扁壳屋盖，这类壳体结构必须采用弹性力学中的 壳体理论来分析其内力或应力（壳体内容是弹性力学专题内容，不在本书的讨论范围）；图 1-7 为房屋 建筑中的地基基础，地基承载力与变形计算是地基基础设计的重要内容，地基是一个半无限体，需采用 弹性力学的方法来分析地基的附加应力与变形。类似的工程实例还有很多。