人教新课标版数学高二-练习2014人教数学选修4-4【综合检测】第二讲 参数方程

(时间：120分钟，满分：150分)一、选择题(本大题共12小题．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3t 2＋2y ＝3t 2－1(0≤t ≤5)表示的曲线是( ) A ．线段 B ．双曲线的一支 C ．圆弧 D ．射线答案：A2．圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos θy ＝4sin θ(θ为参数，0≤θ＜2π)，若Q (－2，23)是圆上一点，则参数θ的值是( )A.π3B.2π3 C.4π3 D.5π3 答案：B3．直线y ＝2x ＋1的参数方程是( )A.⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝t 2y ＝2t 2＋1(t 为参数) B.⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2t －1y ＝4t ＋1(t 为参数) C.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t －1y ＝2t －1(t 为参数) D.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sin θy ＝2sin θ＋1(θ为参数) 答案：C4．参数方程⎩⎨⎧x ＝2＋ty ＝3－4－t2(t 为参数)表示的曲线为( )A ．半圆B ．圆C ．双曲线D ．椭圆答案：A5．参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋sin 2θy ＝－1＋cos 2θ(θ为参数)化为普通方程是( )A ．2x －y ＋4＝0B ．2x ＋y －4＝0C ．2x －y ＋4＝0 x ∈[2,3]D ．2x ＋y －4＝0 x ∈[2,3] 答案：D6．已知集合A ＝{(x ，y )|(x －1)2＋y 2＝1}，B ＝{(x ，y )|y x ·yx －2＝－1}，C ＝{(ρ，θ)|ρ＝2cosθ，θ≠k π4，k ∈Z }，D ＝{(x ，y )|⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos θy ＝sin θ，θ≠k π，k ∈Z }，下列等式成立的是( )A ．A ＝B B ．B ＝DC ．A ＝CD ．B ＝C答案：B7．设圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋r cos θy ＝－5＋r sin θ(θ为参数)上有且仅有两点到直线－4x ＋3y ＋2＝0的距离等于1，则r 的取值范围是( )A ．4<r <6B ．5<r <7C ．3<r <5D ．6<r <7答案：A8．抛物线方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4t 2＋1y ＝4t (t 为参数)，则它在y 轴正半轴上的截距是( )A ．1B ．2C ．4D ．不存在答案：B9．若圆的方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－1＋2cos θy ＝3＋2sin θ(θ为参数)，直线的方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t －1y ＝6t －1(t 为参数)，则直线与圆的位置关系是( )A ．相交过圆心B ．相交但不过圆心C ．相切D ．相离答案：B10．参数方程⎩⎨⎧x ＝1ty ＝1tt 2－1(t 为参数)所表示的曲线是( )答案：D11．椭圆x 216＋y 24＝1上的点到直线x ＋2y －2＝0的最大距离是( )A ．3 B.11 C.10 D ．2 2答案：C12．已知抛物线C 的方程是y ＝x 2－2x sec θ＋2＋sin 2θ2cos 2θ，则其顶点的轨迹为( )A ．双曲线B ．抛物线C ．圆D ．椭圆答案：A二、填空题(本大题共4小题．把答案填在题中横线上)13．一个动点在直角坐标平面上做匀速直线运动，在第1秒内，动点由A (1,2)移动到B (2,1)，以时间t 为参数，该动点轨迹的参数方程是________．答案：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t y ＝2－t14．直线l 经过点M 0(1,5)，倾斜角是π3，且与直线x －y －23＝0交于点M ，则|M 0M |的长为________．答案：10＋6 315．设直线的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2＋t 2y ＝3＋32t (t 为参数)，则它的斜截式方程为________．答案：y ＝3x ＋3－2 316．已知曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2cos t ，y ＝2sin t(t 为参数)，C 在点(1,1)处的切线为l .以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则l 的极坐标方程为________．解析：由sin 2t ＋cos 2t ＝1得曲线C 的普通方程为x 2＋y 2＝2，过原点O 及切点(1,1)的直线的斜率为1，故切线l 的斜率为－1，所以切线l 的方程为y －1＝－(x －1)，即x ＋y －2＝0.把x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入直线l 的方程可得ρcos θ＋ρsin θ－2＝0，即2ρsin(θ＋π4)－2＝0，化简得ρsin(θ＋π4)＝ 2.答案：ρsin(θ＋π4)＝ 2三、解答题(本大题共6小题．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．把下列参数方程化为普通方程，并说明它们各表示什么曲线：(1)⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝5cos φy ＝4sin φ(φ为参数)； (2)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－3t y ＝4t (t 为参数)． 解：(1)∵⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5cos φy ＝4sin φ，∴⎩⎨⎧x5＝cos φy4＝sin φ.两边平方相加，得x 225＋y 216＝cos 2φ＋sin 2φ＝1，即x 225＋y 216＝1. ∴曲线是长轴在x 轴上且为10，短轴为8，中心在原点的椭圆．(2)∵⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－3t y ＝4t ，∴由t ＝y4代入x ＝1－3t ，得x ＝1－3·y4，∴4x ＋3y －4＝0.∴它表示过(0，43)和(1,0)的一条直线．18．求以椭圆x 2＋4y 2＝16内一点A (1，－1)为中点的弦所在直线的方程．解：设以A (1，－1)为中点的弦所在的直线方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t cos θy ＝－1＋t sin θ(θ为参数)，把它代入x 2＋4y 2＝16得(1＋t cos θ)2＋4(－1＋t sin θ)2＝16.即(cos 2θ＋4sin 2θ)t 2＋2(cos θ－4sin θ)t －11＝0.∵弦以A (1，－1)为中点，∴交点所对应的参数t 1和t 2有：t 1＋t 2＝0， ∴－cos θ－4sin θcos 2θ＋4sin 2θ＝0，∴cos θ－4sin θ＝0， ∴tan θ＝14，∴所求的直线方程为y ＋1＝14(x －1)，即x －4y －5＝0.19．已知x ，y 满足(x －1)2＋(y ＋2)2＝4，求S ＝3x －y 的最值．解：由(x －1)2＋(y ＋2)2＝4可知曲线表示以(1，－2)为圆心，半径等于2的圆． 令x ＝1＋2cos θ，y ＝－2＋2sin θ，则 S ＝3x －y ＝3(1＋2cos θ)－(－2＋2sin θ)＝5＋6cos θ－2sin θ＝5＋210sin(θ＋φ)(其中tan φ＝6－2＝－3)．∵－1≤sin(θ＋φ)≤1，∴当sin(θ＋φ)＝1时，S 有最大值，为S max ＝5＋210， 当sin(θ＋φ)＝－1时， S 有最小值，为S min ＝5－210. ∴S 最大值为S max ＝5＋210； S 最小值为S min ＝5－210.20．已知A (m,0)，|m |≤2，椭圆x 24＋y 2＝1，P 在椭圆上移动，求|PA |的最小值．解：设P (2cos θ，sin θ)，则 |PA |2＝(2cos θ－m )2＋sin 2θ ＝4cos 2θ－4m cos θ＋m 2＋sin 2θ ＝3cos 2θ－4m cos θ＋1＋m 2 ＝3(cos θ－23m )2＋1－m 23.∴当－32≤m ≤32时，|PA |min ＝1－m 23；当32＜m ≤2时，|PA |min ＝2－m ； 当－2≤m ＜－32时，|PA |min ＝2＋m .21．如图，已知椭圆x 24＋y 2＝1上任一点M (除短轴端点外)与短轴两端点B 1、B 2的连线分别交x 轴于P 、Q 两点，求证：|OP |·|OQ |为定值．证明：设M (2cos φ，sin φ)，φ为参数， B 1(0，－1)，B 2(0,1)．则MB 1的方程：y ＋1＝sin φ＋12cos φ·x ，令y ＝0，则x ＝2cos φsin φ＋1，即|OP |＝|2cos φ1＋sin φ|.MB 2的方程：y －1＝sin φ－12cos φx ，∴|OQ |＝|2cos φ1－sin φ|.∴|OP |·|OQ |＝|2cos φ1＋sin φ|×|2cos φ1－sin φ|＝4.即|OP |·|OQ |＝4为定值．22．已知抛物线C 1：y 2＝x ＋7与圆C 2：x 2＋y 2＝5.(1)求证：C 1与C 2无交点；(2)过点P (a,0)作与x 轴不垂直的直线l 交C 1于A 、D 两点，交C 2于B 、C 两点，且|AB |＝|CD |，求a 的取值范围．解：(1)证明：两方程联立，消去y ，得x 2＋x ＋2＝0， ∵Δ＝1－4×2＝－7<0， ∴两曲线无交点．(2)设直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋t cos αy ＝t sin α(t 为参数)代入y 2＝x ＋7.得t 2sin 2α－t cos α－a －7＝0. 则Δ1＝cos 2α＋4(a ＋7)sin 2α>0， ① 且t 1＋t 2＝cos αsin 2α.将l 的方程代入x 2＋y 2＝5，得t 2＋2at cos α＋a 2－5＝0.Δ2＝4a 2cos 2α－4(a 2－5)>0，②且t ′1＋t ′2＝－2a cos α，由|AB |＝|CD |， ∴AD 与BC 的中点必重合， ∴t 1＋t 2＝t 1′＋t 2′. 即cos αsin 2α＝－2a cos α⇒sin 2α＝－12a(∵cos α≠0)． ③ 将③分别代入①②，得⎩⎨⎧1＋12a －42a(a ＋7)>0，a 2(1＋12a)－a 2＋5>0.⇒⎩⎪⎨⎪⎧－272<a <0，－10<a .又由③－12a <1⇒a <－12，∴－10<a <－12.。