开题报告浅谈泰勒公式及其应用
浅谈泰勒公式及其应用
浅谈泰勒公式及其应用摘要：大学泰勒公式在数学分析中是极其重要的公式，并且在经济领域中也占有一席之地。
泰勒公式是研究函数极限和估计误差等方面不可或缺的数学工具，在近似计算上有着独特的优势，在微积分的各个方面有着重要的应用。
本文主要对泰勒公式在求极限、估计误差、证明求解积分、经济学计算等几个方面的应用给予举例说明进行研究。
关键词：泰勒公式 求极限 不等式 行列式泰勒公式的应用1、利用泰勒公式求极限对于待定型的极限问题，一般可以采用洛比达法则来求，但是，对于一些求导比较繁琐，特别是要多次使用洛比达法则的情况，泰勒公式往往是比洛比达法则更为有效的求极限工具。
利用泰勒公式求极限，一般用麦克劳林公式形式，并采用佩亚诺型余项。
当极限式为分式时，一般要求分子分母展成同一阶的麦克劳林公式，通过比较求出极限。
例1 求2240cos limx x x e x -→-分析：此题分母为4x ，如果用洛比达法则，需连用4次，比较麻烦.而用带佩亚诺余项的泰勒公式解求较简单。
解： 因为2211()2!x e x x o x =+++ 将x 换成22x -有222222211()()(())22!22x x x x eo -=+-+-+-又244cos 1()2!4!x x x o x =-++所以 24442111cos ()()()2484x x ex o x o x --=-+-441()12x o x =-+ 故2442441()cos 112limlim 12x x x x o x x e x x -→∞→∞-+-==- 例2 求极限2240cos limsin x x x ex-→-解： 因为分母的次数为4，所以只要把cos x ，22x e -展开到x 的4次幂即可。
24411cos 1()2!4!x x x o x =-++ 22224211()()22!2x x x eo x -=-+-+故 2240cos limsin x x x e x-→-444011()()4!8lim x x o x x →-+=112=-带有佩亚诺型余项的泰勒公式是求函数极限的一个非常有力的工具 ,运用得当会使求函数的极限变得十分简单。
探讨泰勒公式在高等数学中的应用
探讨泰勒公式在高等数学中的应用泰勒公式是一项非常重要的数学工具，在高等数学中有广泛的应用。
它基于函数展开的概念，可以通过一个已知的函数在其中一点的信息来推导附近的函数近似值。
泰勒公式的使用范围包括但不限于数值计算、微积分、物理学和工程学。
在数值计算中，泰勒公式的应用十分广泛。
由于许多函数难以直接计算，我们常常需要找到函数的近似值。
例如，当我们需要计算一个复杂数学模型的函数表达式时，可以使用泰勒公式将其转化为一个多项式近似，从而简化计算过程。
此外，泰勒公式还可以进行数值微分和数值积分，来近似计算函数的导数和积分，这对于模拟和优化等问题非常重要。
在微积分中，泰勒公式是一个基本的工具。
它可以用来求解复合函数的导数。
通过将函数展开成泰勒级数，并取得适当的截断，我们可以获得一个函数的多项式逼近，从而求解其任意阶导数。
这在研究函数的行为和性质时非常有用，例如求解临界点、拐点等。
泰勒公式在物理学中的应用也非常广泛。
物理学中的许多重要方程往往是非线性的，难以求解。
然而，通过使用泰勒公式，我们可以将这些方程转化为一个线性近似问题。
这不仅可以简化计算过程，还可以提供物理现象的近似解析解。
在工程学中，泰勒公式可以用来评估工程设计的稳定性和性能。
当我们需要评估一个复杂系统的响应时，可以使用泰勒公式将其近似为一个线性系统，从而简化分析。
此外，泰勒公式还可以用于数值模拟和仿真，通过近似计算来提供系统的性能预测。
除了以上应用外，泰勒公式还具有其他一些特殊用途。
例如，它可以用来证明函数的连续性和可导性。
通过将函数用泰勒级数展开，并证明级数的收敛性可以推导出函数的性质。
此外，泰勒公式还可以用于研究特殊函数的性质，例如三角函数、指数函数和对数函数等。
总之，泰勒公式是高等数学中一项重要的工具，具有广泛的应用。
它可以用于数值计算、微积分、物理学和工程学等领域。
通过使用泰勒公式，我们可以从复杂的函数中获得近似解析解，并简化计算和分析的过程。
泰勒公式开题报告
泰勒公式开题报告泰勒公式开题报告一、引言泰勒公式是数学中的一项重要工具，它用于近似计算函数在某点的值。
该公式的提出者是英国数学家布鲁克·泰勒，他在1715年的《方法论》一书中首次描述了这一公式。
泰勒公式的应用范围广泛，涉及到物理学、工程学、计算机科学等众多领域，因此对其进行深入研究具有重要意义。
二、泰勒公式的基本原理泰勒公式是利用函数在某点的导数来逼近函数在该点附近的值。
设函数f(x)在点a处具有n阶导数，则泰勒公式可以表示为：f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + f''(a)(x-a)^2/2! + ... + f^n(a)(x-a)^n/n! + Rn(x)其中，f'(a)表示函数f(x)在点a处的一阶导数，f''(a)表示二阶导数，以此类推。
Rn(x)表示剩余项，用于表示泰勒公式的近似程度。
三、泰勒公式的应用1. 近似计算泰勒公式可以用于近似计算函数在某点的值。
通过取不同阶数的导数，可以得到不同精度的近似结果。
在实际应用中，我们可以根据需要选择适当的阶数，以获得满足要求的近似值。
2. 函数图像的绘制利用泰勒公式，我们可以在不知道函数解析表达式的情况下，通过计算函数在某点的导数，来绘制函数的图像。
这在计算机图形学中具有重要意义，可以用于生成曲线、曲面等复杂图形。
3. 数值计算泰勒公式的应用不仅限于函数的近似计算，还可以用于数值计算中。
例如，在数值微分和数值积分中，我们可以利用泰勒公式来构造数值算法，以提高计算的精度和稳定性。
四、泰勒公式的改进尽管泰勒公式在近似计算中具有广泛应用，但它也存在一些限制。
首先，泰勒公式要求函数在某点的导数存在，这在某些情况下可能不成立。
其次，随着阶数的增加，剩余项Rn(x)的影响逐渐增大，导致近似结果的误差也随之增大。
为了克服这些限制，人们提出了一系列改进的泰勒公式，如拉格朗日余项、佩亚诺余项等。
《泰勒公式及其应用》的开题报告.doc
《泰勒公式及其应用》的开题报告《泰勒公式的验证及其应用》的关键词：泰勒公式的验证数学开题报告范文中国开题报告1．本课题的目的及研究意义目的：泰勒公式集中体现了微积分、逼近法的精髓，在微积分学及相关领域的各个方面都有重要的应用。
泰勒公式是非常重要的数学工具，现对泰勒公式的证明方法进行介绍，并归纳整理了其在求极限与导数、判定级数与广义积分的敛散性、不等式的证明、定积分的证明等方面的应用。
研究意义：在初等函数中，多项式是最简单的函数，因为多项式函数的的运算只有加、减、乘三种运算。
如果能将有理分式函数，特别是无理函数和初等超越函数以一种“逼近”的思想，用多项式函数近似代替，而误差又能满足要求，显然，这对函数性态的研究和函数值的近似计算都有重要意义。
对泰勒公式的研究就是为了解决上述问题的。
2．本课题的研究现状数学计算中泰勒公式有广泛的应用，需要选取点将原式进行泰勒展开，如何选取使得泰勒展开后，计算的结果在误差允许的范围内，并且使计算尽量简单、明了。
泰勒公式是一元微积分的一个重要内容，不仅在理论上有重要的地位，而且在近似计算、极限计算、函数性质的研究方面也有重要的应用。
对于泰勒公式在高等代数中的应用，还在研究中。
3．本课题的研究内容对泰勒公式的证明方法进行介绍，并归纳整理了其在求极限与导数、判定级数与广义积分的敛散性、不等式的证明、定积分的证明等方面的应用。
本课题将从以下几个方面展开研究：一、介绍泰勒公式及其证明方法二、利用泰勒公式求极限、证明不等式、判断级数的敛散性、证明根的唯一存在性、判断函数的极值、求初等函数的幂级数展开式、进行近似计算、求高阶导数在某些点的数值、求行列式的值。
三、结论。
4．本课题的实行方案、进度及预期效果实行方案：1.对泰勒公式的证明方法进行归纳；2.灵活运用公式来解决极限、级数敛散性等问题；3.研究实际数学问题中有关泰勒公式应用题目，寻求解决问题的途径。
实行进度：研究时间为第8 学期，研究周期为9周。
泰勒公式的应用开题报告
泰勒公式的应用开题报告一、选题意义在数学中，泰勒公式是一个用函数在某点的信息描述其附近取值的公式。
如果函数足够光滑的话，在已知函数在某一点的各阶导数值的情况之下，泰勒公式可以用这些导数值做系数构建一个多项式来近似函数在这一点的邻域中的值。
泰勒公式还给出了这个多项式和实际的函数值之间的偏差。
它将一些复杂函数近似地表示为简单的多项式函数,这种化繁为简的功能,使它成为分析和研究其他数学问题的有力杠杆。
泰勒公式是高等数学中最重要的内容，在各个领域有着广泛的应用，例如在函数值估测及近似运算，用多项式逼近函数，求函数的极限和定积分不等式、等式的证明，求函数在某点的高阶导数值等方面。
除此之外，泰勒公式及泰勒级数的应用，往往能峰回路转，使问题便的简单易解。
二、论文综述国内同类课题研究现状及发展趋势：泰勒公式的证明与应用方面的研究对于科研者来说一直具有强大的吸引力，研究的方向大部分的是通过典型例题说明泰勒公式在求解极限、判定级数及广义积分敛散性方面、计算行列式、对某些定积分进行近似计算,求某些微分方程的通解等。
例如：湖南科技学院数学系的唐仁献在文章《泰勒公式的新证明及其推广》中在推广了罗尔定理的基础上重新证明了泰勒公式，哈尔滨职业技术学院郭鑫、林卓在《浅议泰勒公式应用》中着重论述了泰勒公式在近似计算、极限运算、级数与广义积分的敛散性判断等方面的具体应用方法。
在很多文章中，提到泰勒公式时，马上就是介绍泰勒公式的定义以及定性表示形式和各种形式的余项，如在我们学习的课本《数学分析》（上）中就是这样介绍的，这部分内容对于一个数学专业的学习者来说是比较基础的一部分内容，这对于以后的发展学习是很重要的．而我认为要深入研究这部分内容的话，还必须了解为此做出贡献的数学家—泰勒，因为了解一个数学家，就可以了解他创作时的数学思想，以及他的思维方式，在《世界著名科学家传记》中就对这位伟大的英年早逝的科学家进行了详细介绍．在许多书籍和论文里也都会提到泰勒公式及其应用，可见这一部分知识的重要性，尤其对于高校学生和一些应用型研究学者来说，这部分知识的学习总结是不容忽视的．由于很多课本对这些内容只是简单描述，没有系统、详细的进行总结，为了更好的了解和认识泰勒公式及其它的应用，笔者通过翻阅大量的文献和参考资料，并对泰勒公式应用的方方面面进行了认真的思考，同时总结了其他学者在这方面研究所做的贡献．三、主要内容我的论文将先对泰勒公式进行简单的介绍，对余项进行讨论，并归纳整理了其在求极限与导数、判定级数与广义积分的敛散性、不等式的证明、定积分的证明等方面的应用，并配有相应的例题。
taylor公式的应用
Taylor公式的应用一、什么是T a y l o r公式T a yl or公式是数学中的一个基本定理，描述了一个函数在某一点附近的局部行为。
它通过一系列的多项式逼近函数，能够准确地描述函数的近似值。
T ay lo r公式在多个领域都有广泛的应用，例如物理学、工程学和金融学等。
二、T a y l o r公式的推导根据Ta yl or公式的定义，函数可以用多项式进行逼近。
设函数f(x)在x=a处具有n阶连续导数，那么在x=a处展开得到的n阶T ay lo r多项式为：$$f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+\fr ac{f''(a)}{2!}(x-a)^2+\cd ot s+\f rac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n$$式中，$f'(a)$表示函数f(x)在x=a处的导数，$f''(a)$表示二阶导数，$f^{(n)}(a)$表示n阶导数，'!'表示阶乘运算。
三、使用T aylor公式进行函数逼近T a yl or公式可以将复杂的函数用多项式逼近，从而简化计算和分析过程。
下面介绍几个常见的应用示例。
1.函数局部近似利用Ta yl or公式，可以在一个点附近对函数进行局部逼近。
通过忽略高阶项，我们可以得到函数的线性或二次逼近，从而更容易理解函数在该点的行为。
2.数值计算T a yl or公式在数值计算中有广泛的应用。
例如，通过将函数展开为有限项的Ta yl or多项式，可以用较小的代价来计算函数值。
这在数字积分、数值微分和常微分方程数值解等领域都有重要意义。
3.求解复杂问题有些函数可能很难直接求解，但是对于这些函数，我们可以使用已知的函数通过T ay lo r公式进行逼近，从而转化为求解简化的问题。
这样可以大大简化计算的难度。
4.牛顿法牛顿法是一种经典的数值方法，用于求解方程的根。
它通过不断迭代逼近的方式，利用函数的Ta yl or展开来快速找到近似的根。
泰勒公式的意义和应用
泰勒公式的意义和应用
泰勒公式是一种在微积分中经常使用的重要工具。
它允许我们将一个复杂的函数表示为无限级数的形式，从而使我们能够更好地了解函数在某一点的性质。
泰勒公式的应用非常广泛。
它可以用于求解微积分和微分方程，以及在物理学和工程学等领域中的建模和分析。
在数值分析和计算机科学中，泰勒公式也是一个重要的工具，用于近似计算和优化算法的设计。
泰勒公式的意义在于，在某一点处对函数进行无限次微分，从而获得函数在这一点的局部性质。
通过泰勒公式，我们能够确定函数在这一点的值、导数、曲率和其他高阶导数，从而更好地理解函数的行为。
在实际应用中，泰勒公式通常被用于求解实际问题中的数值解，如计算机图形学中的渲染、金融学中的期权定价等。
通过利用泰勒公式的近似性质，我们能够将复杂的问题简化为一个简单的数学表达式，并且得到数值解以解决实际问题。
总之，泰勒公式在微积分和其它许多领域中都起着重要作用，它的应用和意义是非常深远的。
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泰勒公式及其应用论文
学士学位论文泰勒公式及其应用2012年5月18日毕业论文成绩评定表院（系）：数学与信息学院学号：独创声明本人在此声明：本篇论文，是本人在指导老师的指导下，独立进行研究工作所取得的成果，成果不存在知识产权争议．尽我所知，除文中已经注明引用的内容外，本论文不含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果．对本文的研究做出重要贡献的个人和集体均已在文中以明确方式标明．此声明的法律后果由本人承担．作者签名:二〇一二年五月十八日毕业论文使用授权声明本人完全了解鲁东大学关于收集、保存、使用毕业论文的规定．本人愿意按照学校要求提交论文的印刷本和电子版，同意学校保存论文的印刷本和电子版，或采用影印、数字化或其它复制手段保存论文；同意学校在不以营利为目的的前提下，建立目录检索与阅览服务系统，公布论文的部分或全部内容，允许他人依法合理使用．（保密论文在解密后遵守此规定）论文作者（签名）：二〇一二年五月十八日目录1.引言 (1)2. 泰勒公式及其应用 (1)2.1预备知识 (1)3 泰勒公式的应用 (3)3.1利用泰勒公式求极限 (3)3.2利用泰勒公式求不等式 (3)3.3利用泰勒级数判断级数的敛散性 (4)3.4利用泰勒公式证明根的唯一性 (5)3.5利用泰勒公式判断函数的极值 (5)3.6利用泰勒公式求初等函数的幂级展开式 (6)3.7利用泰勒公式进行近似计算 (6)3.8利用泰勒公式判断函数的凸凹性和拐点 (7)3.9利用泰勒公式求高阶导数在某点的数 (8)参考文献 (8)致谢 (8)泰勒公式及其应用（数学与信息学院 数学与应用数学 2008级数本2班20082112010）摘要：在数学分析中泰勒公式是一个重要的内容.本文论述了泰勒公式的定义，内容 ，并介绍了泰勒公式的9个应用及举例说明.利用泰勒公式求不等式,求极限，证明敛散性，根的唯一性等一系列泰勒函数的应用，使我们更加清楚地认识泰勒公式的重要性.关键词：泰勒公式 皮亚诺余项 拉格朗日余项 应用Taylor formula and it ’s application(20082112010 Class 2 Grade 2008 Mathematics & Applied Mathematics School of Mathematics & Information)Abstract:In the mathematical analysis Taylor formula is a important content. This paperdiscusses the definition of Taylor formula, content, and introduces the Taylor formula nine application and give an example. Use Taylor formula for inequality, please limit, folding proof scattered sex, theuniqueness of root, a series of Taylor function of application, make us more clearly know the importance of Taylor formula.Keywords: Taylor ’s formula The emaining of the Piano The remaining of the LagrangianApplication1.引言泰勒公式将一些复杂函数近似的表示为简单的多项式函数,是高等数学中重要部分.作者通过查阅一些参考文献，从中搜集了大量的习题，通过认真计算，其中部分难度较大的题目之证明来自相应的参考文献,并对这些应用方法做了系统的归纳总结.由于本文的主要内容是介绍泰勒公式的应用,所以,本文以例题为主进行讲解说明.2. 泰勒公式及其应用2.1 预备知识定义[]12.1 若函数f 在0t 存在n 阶导数,则有()()()()()()()()()()20000001!2!!n n nn n f t f t f t f t f t t t t t t t o t t n '''=+-+-++-+-（1）这里()()0no t t -为皮亚诺余项,称（1）f 在点0t 的泰勒公式.当0t =0时,（1）式变成()()()()()()200001!2!!n nn f f f f t f t t t o t n '''=+++++称此式称为（带皮亚诺余项的）麦克劳林公式.定义2.2 若函数f 在0t 某邻域内为存在直至n+1阶的连续导数,则()()()()()()()()200000()1!2!!n nn n n f t f t f t f t f t t t t t t t R t n '''=+-+-++-+（2）这里R （n ）为拉格朗日余项()()()110()()1!n n f R n t t n α++=++,其中α在t 与0t 之间,称（2）为f 在0t 的泰勒公示.当0t =0时,（2）式变成()()()()()20000()1!2!!n nn f f f f t f t t t R t n '''=+++++称此式为（带有拉格朗日余项的）麦克劳林公式.其中,常见函数的展开式:()()()()21135212224222311212!!(1)!sin (1)()3!5!21!cos (1)()2!4!2!ln 1(1)()231111n n a n n nn nnn n n n n n a a e e a a n n t t t t t o t n t t t t t o t n t t t x t o t n t t t t t++++++=++++++=-+++-++=-+-+-++=-+-+-++=+++++-定理[]12.1 （介值定理）设函数g 在闭区间],[21x x 上连续。
浅谈泰勒公式的应用
浅谈泰勒公式的应用泰勒公式是数学中的一个重要工具，它可以将一个光滑函数在一些点的附近用无穷阶的多项式来近似表示。
泰勒公式的应用非常广泛，涉及到物理、工程、金融等多个领域。
以下将从几个方面来浅谈泰勒公式的应用。
一、函数近似表示泰勒公式可以将一个函数在一些点附近用多项式来近似表示。
这对于研究函数的性质和行为非常有用。
比如，在数值计算中，我们常常需要对函数进行逼近计算，而泰勒公式可以提供一个简单而准确的方法。
此外，在物理学中，泰勒公式也常用于描述物理量的变化规律，比如速度、加速度等。
二、数值计算在数值计算中，泰勒公式可以用于求解函数的近似值。
通过选择适当的展开点和多项式次数，可以得到满足精度要求的近似解。
泰勒公式的应用在数值积分、数值微分和数值方程求解等方面都有重要作用。
比如，在求根算法中，泰勒公式可以用于构造迭代格式，从而提高求解效率。
三、物理建模泰勒公式在物理建模中也有广泛的应用。
物理现象往往可以用函数来描述，而泰勒公式可以将函数在其中一点附近展开成多项式，从而方便对物理现象进行研究。
比如，在力学中，我们可以利用泰勒公式来研究物体的运动规律，推导出牛顿第二定律等重要定理。
此外，在电磁学中，泰勒公式也可以用于描述电场和磁场的变化规律。
四、金融工程泰勒公式在金融工程中也有一定的应用。
金融市场中的价格变动往往是连续的，而泰勒公式可以将价格变动用多项式来逼近。
这对于金融衍生品的定价和风险管理非常重要。
比如，在期权定价中，可以利用泰勒公式将期权价格展开成多项式，从而方便计算和分析。
此外，在风险管理中，泰勒公式也可以用于计算金融产品的敏感性，帮助投资者进行风险控制。
总之，泰勒公式是数学中的一个重要工具，它的应用涵盖了各个领域。
无论是数值计算、物理建模还是金融工程，泰勒公式都发挥着重要的作用。
通过泰勒公式，我们可以对函数进行近似表示，进行数值计算，描述物理现象和分析金融风险。
因此，熟练掌握泰勒公式的应用是非常重要的。
泰勒公式及其在在计算方法中的应用
泰勒公式及其在在计算方法中的应用泰勒公式是数学中的一个重要工具，通过使用多项式函数逼近给定函数，从而在计算方法中得到广泛应用。
泰勒公式由苏格兰数学家詹姆斯·泰勒提出，用于将一个函数在其中一点的局部信息表示为一个多项式级数。
泰勒公式的一般形式如下：f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+f''(a)(x-a)^2/2!+...+f^n(a)(x-a)^n/n!+Rn在这个公式中，f(x)是要逼近的函数，x是近似计算的点，a是计算的基准点，n表示多项式的阶数。
f'(a)表示函数在点a处的一阶导数，f''(a)表示二阶导数，f^n(a)表示n阶导数。
Rn是一个余项，表示多项式逼近的误差。
当n趋向于无穷大时，余项应趋近于零，此时泰勒公式收敛于原函数。
泰勒公式在计算方法中的应用非常广泛。
下面介绍几个常见的应用：1.函数逼近：泰勒公式可以将一个复杂的函数逼近为一个多项式函数，使得计算变得更加简单。
逼近后的多项式函数在计算机程序和数值计算中更容易处理。
例如，当我们需要计算一个数的正弦值时，可以使用泰勒公式将正弦函数逼近为一个多项式级数，从而可以通过计算一系列多项式项的和来得到较为精确的近似值。
2.数值积分：泰勒公式在数值积分中有重要的应用。
通过将被积函数在其中一点进行泰勒展开，并将展开式中的高阶导数消去，可以得到一些简化的数值积分公式。
这些公式允许我们通过计算少数几个函数值来近似计算复杂函数的积分值。
数值积分在物理学、工程学和统计学等领域中都有广泛应用。
3.常微分方程的数值解：泰勒公式可以用于数值解常微分方程。
通过将微分方程在一些点进行泰勒展开，并忽略高阶导数项，可以得到一阶或二阶的数值微分方程。
从而我们可以通过迭代的方式递进计算微分方程的解。
这种数值解法在科学计算和工程模拟中非常重要。
4.误差分析：泰勒公式的余项Rn可以用来分析逼近的误差。
通过估计余项的大小，可以知道逼近多项式与原函数之间的误差有多大。
泰勒公式及其应用
泰勒公式及其应用本文将介绍泰勒公式在数学分析中的应用。
泰勒公式是一种重要的工具，可以用于近似计算、函数凹凸性判断、敛散性的判断、等式与不等式的证明、中值问题以及行列式的计算等方面。
本文将重点讨论泰勒公式在极限计算、敛散性的判断、中值问题以及等式与不等式的证明方面的应用。
2.泰勒公式泰勒公式是一种将函数展开为幂级数的方法。
它可以分为带有拉格朗日余项、皮亚诺型余项、积分型余项和柯西型余项的泰勒公式。
这些不同类型的泰勒公式可以用于不同的问题求解。
2.1具有拉格朗日余项的泰勒公式具有拉格朗日余项的泰勒公式是最常用的一种泰勒公式。
它可以将一个函数展开为一个幂级数，其中每一项的系数都与函数的导数有关。
这个公式的余项是一个拉格朗日型余项，可以用来估计函数在某个点的误差。
2.2带有皮亚诺型余项的泰勒公式带有皮亚诺型余项的泰勒公式是一种更精确的泰勒公式。
它可以用来估计函数在某个点的误差，并且比具有拉格朗日余项的泰勒公式更加精确。
2.3带有积分型余项的泰勒公式带有积分型余项的泰勒公式是一种将函数展开为幂级数的方法。
它可以用来估计函数在某个点的误差，并且比具有拉格朗日余项的泰勒公式更加精确。
2.4带有柯西型余项的泰勒公式带有柯西型余项的泰勒公式是一种将函数展开为幂级数的方法。
它可以用来估计函数在某个点的误差，并且比具有拉格朗日余项的泰勒公式更加精确。
3.泰勒公式的应用泰勒公式在数学分析中有广泛的应用。
本文将介绍泰勒公式在极限计算、敛散性的判断、中值问题以及等式与不等式的证明方面的应用。
3.1利用泰勒公式求未定式的极限利用泰勒公式可以求解一些未定式的极限。
例如，可以用泰勒公式将一个函数展开为幂级数，并利用级数的性质求解未定式的极限。
3.2利用泰勒公式判断敛散性泰勒公式可以用来判断一些级数的敛散性。
例如，可以用泰勒公式将一个函数展开为幂级数，并利用级数的性质判断级数是否收敛。
3.3利用泰勒公式证明中值问题泰勒公式可以用来证明一些中值问题。
浅谈泰勒公式及其应用
论文提要泰勒公式是数学分析中的重要组成部分，它的理论方法已成为研究函数极限和估计误差等方面的不可或缺的工具集中体现了微积分“逼近法”的精髓，它是微积分中值定理的推广，亦是应用高阶导数研究函数性态的重要工具，它的用途很广泛，本文论述了泰勒公式的一些基本内容，并着重介绍了它在数学分析中的一些应用。
即应用泰勒公式求极限，利用泰勒公式证明中值公式，判断函数敛散性，证明不等式，判断函数的极值，求幂级数展开式，进行近似计算，求高阶导数在某些点的数值。
浅谈泰勒公式及其应用摘 要： 本文介绍了泰勒公式及几个常见函数的展开式，针对泰勒公式的应用讨论了八个问题.即应用泰勒公式求极限，利用泰勒公式证明中值公式，判断函数敛散性，证明不等式，判断函数的极值，求幂级数展开式，进行近似计算，求高阶导数在某些点的数值.关键词：泰勒公式泰勒公式是高等数学中一个非常重要的内容，它将一些复杂函数近似地表示为简单的多项式函数，这种化繁为简的功能，使它成为分析和研究其他数学问题的有力杠杆.作者通过阅读大量的参考文献，从中搜集了大量的习题，通过认真演算，其中少数难度较大的题目之证明来自相应的参考文献，并对这些应用方法做了系统的归纳和总结.由于本文的主要内容是介绍应用，所以，本文会以大量的例题进行讲解说明.1 预备知识定义 1.1 若函数f 在点0x 存在直至n 阶导数，则有()()()n n f x T x T x ==+()0no x x +,即()()()()()()()()()().!!2000200000n n n x x o x x n x f x x x f x x x f x f x f -+-+⋯+-''+-'+=为⑴式.⑴式称为函数f 在点0x 处的泰勒公式，()()()x T x f x R n n -=称为泰勒公式的余项，形如()nx x o 0-的余项称为佩亚诺型余项.所以⑴式又称为带有佩亚诺余项的泰勒公式.当00=x 时，得到泰勒公式：()()()()()()()n n x o n f x f x f f x f ++⋯+''+'+=!0!20002.它也称为（带有佩亚诺余项的）麦克劳林公式.定义1.2 若函数f 在[]b a ,上存在直至n 阶的连续导函数，在()b a ,内存在()1+n 阶导函数，则对任意给定的x ，[]b a x ,0∈,至少存在一点()b a ,∈ξ,使得()()()()()()()()()()()()()100100200000!1!!2++-++-+⋯+-''+-'+=n n n n x x n x fx x n x f x x x f x x x f x f x f 为⑵式.⑵式同样称为泰勒公式，它的余项为()()()()()()()()1001!1++-+=-=n n n n x x n x f x T x f x R ， ()00x x x -+=θξ ()10<<θ，称为拉格朗日型余项.所以⑵式又称为带有拉格朗日型余项的泰勒公式.当00=x 时，得到泰勒公式()()()()()()()()()112!1!0!2000+++++⋯+''+'+=n n n n x n x f x n f x f x f f x f θ.它也称为（带有拉格朗日余项的）麦克劳林公式. 常见函数的展开式：⑴()n xx xx o n n x e ++⋯+++=!!221； ⑵()()m m m x o m x x x x x 212153)!12(1!5!3sin +--+⋯++-=--；⑶()()12242)!2(1!4!21cos ++-+⋯++-=m m m x o m xx x x ；⑷()()()n nn x o nx x x x x +-+⋯++-=+-1321321ln ; ⑸()()()n nax o x n n a a a a a axx ++-⋯-+⋯+++=+!)1()1(!2111； ⑹()n n x o x x x x++⋯+++=-2111.2.泰勒公式的应用2.1利用泰勒公式求极限为了简化极限运算，有时可用某项的泰勒展开式来代替该项，使得原来函数极限转化为类似多项式有理式的极限，就能简捷地求出.例2.1 求 0lim→x xx x x 3sin )cos (sin -. 证 设()()x x f sin =, ()x x g cos =用泰勒公式在0=x 处展开 它们的导数是有规律的分别按x cos ,x sin -,x cos -,x sin 和x sin -,x cos -,x sin , x cos 循环.f 在0=x 处的1,2,……阶导数分别为1,0,1-,0,1……（循环）；g 在0=x 处的1,2,……阶导数分别为1,0,1-,0,1……（循环）；()()⋯⋯-+-+=-+=∑∞=!5!3!10!0)0(0sin 530x x x i f x f x i i i()()⋯⋯-+-=-+=∑∞=!4!21!0)0(0cos 420x x i g x g x i i ii f ,i g , f ,g 为i 的阶导数代入所求式中原式0lim x →= ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋯⋯+-⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋯⋯+---32353!31!11)!51!41()!31!21(）（x x x x 20231111()()2!3!4!5!lim 111!3!x x x →⎡⎤---+⋯⋯⎢⎥⎣⎦=⎡⎤-+⋯⋯⎢⎥⎣⎦（）112!3!=- 13=2.2 利用泰勒公式证明中值公式例2.2 设)(x f 在[]b a ,上三次可导，试证：∃(,)c a b ∈使得3)())((241)(2)()(a b c f a b b a f a f b f n -+-⎪⎭⎫⎝⎛+'+= ①证（待定常数法）设k 为使下式成立的实数0)(241)(2)()(3=---⎪⎭⎫⎝⎛+'--a b k a b b a f a f b f ② 这时，我们的问题回归为证明：),(b a c ∈∃使得)(c f k '''= ③令 3)(241))(2()()()(a x k a x x a f a f x f x g ---+'--= ④ 则0)()(==b g a g根据罗尔定理，),(b a ∈∃ξ，使得,0)(='ξg 有④式，即：()028222)(2=--⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+''-⎪⎭⎫ ⎝⎛+'-'ξξξξξk a a f a f f ⑤这是关于k 的方程，注意到()ξf '在点2ξ+a 处的泰勒公式； ()2221222⎪⎭⎫⎝⎛-'''-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+''+⎪⎭⎫ ⎝⎛+'='a f a a f a f f ξξξξξ ⑥其中()b a c ,∈，比较⑤，⑥可得③式证毕2.3利用泰勒公式判断函数敛散性当要求判断极限的敛散性且条件出现有二阶和二阶以上导数时，考虑用泰勒公式展开判断极限敛散性.例2.3设)(x f 在点0=x 的某一邻域内具有二阶连续导数，且()0lim=→xx f x .证明：级数)1(1∑∞=n nf 绝对收敛. 分析：可以先用泰勒公式求出)(x f 在点0=x 处的二阶导数，利用二阶导数判断0→x 时)(x f 的趋势.证 由()0lim=→xx f x ，又)(x f 在0=x 的邻域内具有二阶连续导数，可以推出0)0(=f ，0)0(='f .将)(x f 在0=x 的邻域内展开成一阶泰勒公式：=)(x f ()()2221!21)0()0(x f x f f f ξξ''=''+'+，其中ξ在0与x 之间. 由于题设，()x f ''在邻域内包含原点的一个小闭区间上连续，因此，0>∃M 使得M x f ≤'')(，于是：222)(21)(x M x f x f ≤''=ξ. 令n x 1=，则212)(n M x f ⋅≤.因为∑∞=121n n 收敛，所以∑∞=1)1(n n f 绝对收敛.2.4 利用泰勒公式证明不等式当所要证明的不等式是含有多项式和初等函数的混合物，不妨作一个辅助函数并用泰勒公式代替，往往使证明方便简捷.例2.4 当0≥x 时，证明≥x sin -x 361x . 证 取()x f 361sin x x x +-=, 00=x ，则 ()00=f ，()00='f , ()00=''f , ()='''0f x cos 1-, ()0)(n f ≥0.带入泰勒公式，其中3=n ,得()3!3cos 1000x x x f θ-+++=,其中10<<θ. 故 当0≥x 时，≥x sin 361x x -.2.5利用泰勒公式判断函数的极值例2.5（极值的第二充分条件）设f 在0x 的某邻域()δ;0x U 内一阶可导，在=x 0x 处二阶可导，且()00='x f ， ()00≠''x f . （ⅰ）若()00<''x f ,则f 在0x 取得极大值. （ⅱ）若()00>''x f ,则f 在0x 取得极小值.证 由条件，可得f 在0x 处的二阶泰勒公式()()()()()()()22002000!2o x x o x x x fx x x f x f x f -+-+-'+= .由于()00='x f ，因此()()=-0x f x f ()()()20012x x o x f -⎥⎦⎤⎢⎣⎡+''. ① 又因()00≠''x f ,故存在正数δδ≤'，当x ()δ'∈;0x U 时，()021x f ''与 ()()1210o x f +'' 同号.所以，当()00<''x f 时，①式取负值，从而对任意()δ'∈;0o x U x 有 ()()00<-x f x f ， 即 f 在0x 取极大值.同样对()00>''x f ，可得f 在0x 取极小值. 2.6 利用泰勒公式求初等函数的幂级数展开式利用基本初等函数的幂级数展开式，通过加减乘等运算进而可以求得一些比较复杂的初等函数的幂级数展开式.例2.6 求函数x e x -1在0=x 处的幂级数展开式，并确定它收敛于该函数的区间.解 由于()=++⋯+++=n xx xx o n n x e !!221∑∞=0!n nn x ()+∞∞-∈,x 而=-x11∑∞=0n nx()1,1-∈x ,则=-xe x1=∑∞=0nn!x n n n x n ∑∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋯+++0!1!21!111 ()1,1-∈x , 2.7 利用泰勒公式进行近似计算利用泰勒公式可以得到函数的近似计算式和一些数值的近似计算，利用()x f 麦克劳林展开得到函数的近似计算式为()()()()()()nn x n f x f x f f x f !0!20002+⋯+''+'+≈,其误差是余项()x R n .例2.7 计算8.1ln 2.1ln +， 误差小于001.0.8.1ln 2.1ln +()()2.012.01ln -+= ()04.01ln -=()--=04.0()()⋯--+-304.0204.032由于第二项已经001.0<，所以只取前两项即可 结果是0408.00008.004.0-=--.2.8利用泰勒公式求高阶导数在某些点的数值如果)(x f 泰勒公式已知，其通项中的加项n x x )(0-的系数正是)(!10)(x f n n ，从而可反过来求高阶导数数值，而不必再依次求导.例2.8求函数x e x x f 2)(=在1=x 处的高阶导数)1()100(f .解 设1+=u x ，则e e u e u u g xf u u ⋅+++==+2)1(2)1()1()()(，)0()1()()(n ug f =， 0=u e u 在的泰勒公式为)(!100!99!9811001009998u o u u u u e u++++⋯++=， 从而))(!100!99!981)(12()(10010099982u o u u u u u u e u g ++++⋯++++=， 而)(u g 中的泰勒展开式中含100u的项应为()100100!100)0(u g ，从)(u g 的展开式知100u 的项为100)!1001!992!981(u e ++，因此 ())!1001!992!981(!100)0(100++=e g ，()10101)0(100⋅=e g ，()().10101)0()1(100100e g f ==本文主要介绍了泰勒公式以及它的八个应用，使我们对泰勒公式有了更深一层的理解.怎样应用泰勒公式解题有了更深一层的认识，只要在解题训练中注意分析，研究题设条件及其形式特点并把握上述处理规则，就能比较好地掌握利用泰勒公式解题的技巧.参考文献[1]华东师范大学数学系，数学分析（第三版）[M]高等教育出版社1981.[2]陈传章金福林：《数学分析》（下）北京：高等教育出版社，1986.[3]张子兰崔福菊：《高等数学证题方法》陕西：陕西科学出版社，1985.[4]王向东：《数学分析的概念和方法》上海：上海科学技术出版社，1989[5]同济大学数学教研室主编：高等数学[M].北京：人民教育出版社，1999.[6]刘玉琏傅沛仁：数学分析讲义[M].北京：人民教育出版社，2000.。
开题报告浅谈泰勒公式及其应用
1.1带
1.2
1.3带积分型余项的泰勒定理
1.4带柯西型余项的泰勒定理
2.泰勒公式的应用
2.1利用泰勒公式证明不等式
2.2利用泰勒公式理解无穷小替换的实质
2.3泰勒公式在计算中的体现
2.3.1利用泰勒公式求极限
2.3.2利用泰勒公式进行近似计算
2.3.3利用泰勒公式计算定积分
2.3.4利用泰勒公式计算行列式
[10]李永乐，范培华.数学复习全书[M],北京；国家行政学院出版社，2008.
[11]刘景忠，王国政.公式在证明不等式方面的几个应用，高等数学研究函数，2006.9（2）.
[12]刘玉莲，杨奎元，刘伟，吕凤.数学分析讲义学习辅导书下册[M]，北京；高等教育出版社，2003.
二、采用的研究方法及手段（1、内容包括：选题的研究方法、手段及实验方案的可行性分析和已具备的实
其中的余项也满足不等式：对所有 满足
泰勒公式也是大学数学中的一个重要知识，由此本文将总结几种泰勒公式的证明及其应用。其泰勒公式在近似计算，求极限，判断函数凸凹性等方面的应用，除此之外，它还可应用于行列式，证明不等式，判断无穷级数、无穷积分的收敛性，求函数导数的中值估计、求曲面的渐进线方程，高阶求导等等。
泰勒公式的应用
泰勒公式和其应用摘要文章简要介绍了泰勒公式的证明和其推导过程，详细讨论了泰勒公式在最优化理论领域的应用，分别讨论了泰勒公式在理论证明和算法设计上面的应用，并用简单的算例加以说明。
关键词：泰勒公式，最优化理论，应用一、泰勒公式1.1 一元泰勒公式若函数)(x f 在含有的开区间),(b a 内有直到1+n 阶的导数，则当函数在此区间内时，可展开为一个关于)(0x x -的多项式和一个余项的和：10)1(00)(200000)()!1()()(!)()(!2)())(()()(++-++-++-''+-'+=n n n n x x n f x x n x f x x x f x x x f x f x f ξ 其中=)(x R n 10)1()()!1()(++-+n n x x n f ξ在和之间的一个数，该余项)(x R n 为拉格朗日余项。
1.1.1 泰勒公式的推导过程我们知道α+-'+=))(()()(000x x x f x f x f ，其在近似计算中往往不够精确，于是我们需要一个能够精确计算的而且能估计出误差的多项式：n n x x a x x a x x a a x p )()()()(0202010-++-+-+=来近似表达函数)(x f ；设多项式)(x p 满足)()()()(),()(0)(0)(0000x f x p x f x p x f x p n n ='='= 因此可以得出n a a a 10,.显然，00)(a x p =，所以)(00x f a =；10)(a x p ='，所以)(01x f a '=；20!2)(a x p =''，所以 !2)(02x f a ''=n n a n x p !)(0)(=，所以有!)(0)(n x f a n n = 所以，n n x x n x f x x x f x x x f x f x p )(!)()(!2)())(()()(00)(200000-++-''+-'+= 1.1.2 泰勒公式余项的证明我们利用柯西中值定理来推出泰勒公式的余项（拉格朗日余项）：设)()()(x p x f x R n -=于是有0)()()(000=-=x p x f x R n所以有0)()()()(0)(000===''='=x R x R x R x R n n n n n根据柯西中值定理可得：n n n n n n n x n R x x x R x R x x x R ))(1()(0)()()()()(011)1(00)1(0-+'=---=-++ξξ是在和之间的一个数； 对上式再次使用柯西中值定理，可得：)1(022*******))(1()()0))(1(()()())(1()(--+''=--+'-'=-+'n n n n n n n x n n R x n x R R x n R ξξξξξξ是在和之间的一个数； 连续使用柯西中值定理1+n 次后得到：)!1()()()()1()1(0+=-++n R x x x R n n n n ξ 这里是介于和之间的一个数。
泰勒公式的应用开题报告
泰勒公式的应用开题报告1. 引言泰勒公式是数学中的一个重要公式，它描述了一个函数在某一点附近的局部近似。
通过使用泰勒公式，我们可以在数学和科学领域中进行各种精确计算和逼近。
本文将探讨泰勒公式在实际应用中的一些常见和重要的例子。
2. 泰勒公式的基本原理泰勒公式的基本原理是使用函数在某一点的导数来近似该函数在该点附近的取值。
泰勒公式的一般形式如下：f(x)=f(a)+f′(a)(x−a)+f″(a)2!(x−a)2+f‴(a)3!(x−a)3+⋯+f(n)(a)n!(x−a)n+R n(x)其中，f(x)是待求函数，f′(x)是函数的一阶导数，f″(x)是函数的二阶导数，以此类推。
a是泰勒公式展开的中心点，n是展开的阶数，R n(x)是余项，用来表示近似的误差。
3. 物理学中的应用3.1 运动学中的位移计算在物理学中，泰勒公式常被用于近似计算物体的位移。
以一维运动为例，如果我们已知物体的初始位置、速度和加速度，并希望计算物体在某一时刻的位置，我们可以使用泰勒公式进行近似计算。
假设物体在时刻t的位置为x(t)，其速度为v(t)，加速度为a(t)。
根据泰勒公式展开，我们可以得到以下近似公式：x(t)=x(t0)+v(t0)(t−t0)+12a(t0)(t−t0)2+⋯这样，我们就能够通过已知的初始条件，近似计算物体在任意时刻的位置。
3.2 电路中的电压计算在电路分析中，泰勒公式也有广泛的应用。
例如，当我们分析一个电阻、电容或电感等元件的电压响应时，可以使用泰勒公式对电压进行近似计算。
假设电压响应为V(t)，电流为I(t)，我们可以利用泰勒公式得到以下近似公式：V(t)=V(t0)+dVdt(t−t0)+d2Vdt2(t−t0)2+⋯通过这样的近似计算，我们能够更好地了解电路中的电压变化情况，并作出相应的分析和设计。
4. 经济学中的应用4.1 边际分析在经济学中，泰勒公式的应用十分广泛，尤其是在边际分析中。
浅谈泰勒公式及其应用
浅谈泰勒公式及其应用…… ……摘 要：泰勒公式是数学分析中重要的公式，它的基本思想是用多项式来逼近一个已知函数，而这个多项式的系数由给定函数的各阶导数确定。
本文主要归纳讨论了带不同余项的泰勒公式之间的关系，并研究泰勒公式在不等式证明、求极限、在积分计算、级数收敛性判断等方面的应用。
关键词：泰勒公式；导数；极限；不等式；敛散性Abstract ：Taylor formula is an important formula in mathematical analysis. Its basic idea is to approximate a given function by using a polynomial whose coefficients are determined by the derivatives of the function. This paper mainly summarizes the relationship of various items of the Taylor formula and discusses its applications in inequality proving, limit calculating, integral computation and the convergence and divergence judgment of series.Key words ：Taylor's formula; derivative; limits; inequality; convergence and divergence在高等数学中，多项式是较为简单的函数，泰勒公式提供了一种用多项式逼近一般函数的一种方法，这就给一些问题的处理带来了很大的方便，例如极限求解、级数的敛散性判别等问题。
如今一些高等数学教材中，在泰勒公式理论处理时有所欠缺及对泰勒公式的应用所用篇幅不足，造成学生特别是想考研的学生在处理一些问题时的困惑和无所适从，本文分析了其不足及弥补方法，并提供了应用泰勒公式解决一些问题的例子，降低了学生学习泰勒公式和利用其解决问题的上手难度。
浅谈泰勒公式及其应用
浅谈泰勒公式及其应用泰勒公式是数学中的一个重要定理，由英国数学家泰勒（Brook Taylor）于18世纪提出。
它通过将一个光滑函数在特定点附近进行多项式级数展开，从而将该函数用无穷级数表示。
泰勒公式及其应用在数学、物理、工程学等领域都有广泛的应用。
泰勒公式的一般形式为：对于任意实数x和可微的函数f(x)，在点a 附近存在一些正整数n，使得函数f在点a处的n阶导数存在。
则函数f 在点a附近可以近似表示为以点a为中心的n阶泰勒展开多项式，即f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+f''(a)(x-a)^2/2!+...+f^n(a)(x-a)^n/n!+Rn(x)其中Rn(x)为余项，并且有以下表示方式：Rn(x)=(x-a)^(n+1)f^(n+1)(ξ)/(n+1)!其中ξ位于x和a之间。
泰勒公式的应用十分广泛。
一方面，泰勒公式可以用来近似计算函数的值。
由于泰勒展开多项式是以函数在特定点a的各阶导数为系数，而函数的导数通常是利用数值方法或者近似公式得到的，所以可以通过计算低阶导数的值来近似计算更高阶导数的值，并利用泰勒公式进行函数的近似计算。
这种方法在数值计算、数学极限计算以及工程问题中都有广泛的应用。
另一方面，泰勒公式也可以用来研究函数的性质。
通过泰勒公式，可以将一个复杂的函数用一个简单的多项式来描述，从而帮助我们研究函数在特定点附近的行为。
特别是当n趋近于无穷大时，泰勒公式可以用来研究函数的收敛性、奇点、极值等性质。
泰勒公式的应用可以使我们更好地理解和描述函数的行为。
泰勒公式的一个重要特点是，它可以将任意次可导函数在特定点附近展开成多项式形式，而展开的多项式可以逐项求和，从而将复杂的函数转化为简单的多项式。
不同的函数，通过泰勒公式展开的多项式会有不同的形式，这使得泰勒公式具有广泛的适用性。
总之，泰勒公式是数学中一个重要而广泛应用的工具。
它不仅可以用于函数的近似计算，还可以用来研究函数的性质。
泰勒公式及其应用开题报告
二、国内外研究 现状分析： 国内外同类课题研究现状及发展趋势： 泰勒公式的证明与应用方面
的研究对于科研者来说一直具有强大的吸引力， 许多研究者已在此领域 获得许多研究成果，例如：湖南科技学院数学系的唐仁献 在文章《泰勒 公式的新证明及其推广》中在推广了罗尔定理的基础上重新证明了 泰勒 公式； 洛阳工业高等专科校计算机系王素芳、 陶容、 张永胜在所著的 文章《泰 勒公式在计算及证明中的应用》中研究了泰勒公式在极限运算、 等式及不等式证 明中的应用，解决了用其它方法较难解决的问题，于此 类似的研究成果还有湖北 师范学院数学系的蔡泽林、陈琴的《定积分不 等式的几种典型证法》和潍坊高等 专科学校的陈晓萌所著的《泰勒公式 在不等式中的应用》等等。
实现途径：
一、对泰勒公式的证明方法进行归纳； 二、灵活运用公式来解决极限、级数敛散性等问题；
三、研究实际数学问题中有关泰勒公式应用题目，寻求解决问题 题的途径 。
3. 完成本课题所需工作条件（如工具书、计算机、实验、调研等）及解 决办法 ：
为了写好论文我到中国 期刊网、中国知识网和中国数字化期刊群查 找相关论文的发表日期、刊名、作者，接下来要到图书馆四楼过刊室查 找相关文献，到电子阅览室查找相关期刊文献. 从图书馆借阅相关书 籍，仔细阅读，细心分析，通过自己的耐心总结、研究，老师的指导、 改正，争取做好毕业论文工作 . 具体采用了数学归纳法、分析法、反证 法、演绎法等方法.
毕 业设 计(论文) 开题报 告
浅谈泰勒公式及其应用
科技信息2011年第9期SCIENCE&TECHNOLOGY INFORMATION1带有不同余项的泰勒公式1.1带佩亚诺余项的泰勒公式定义：设f（x）在x0处有n阶导数，则存在x的一个邻域，对于邻域中的任一点x,成立f（x）＝f（x0）＋f′（x）（x－x）＋f″（x）2！（x－x）2＋…＋f（n）（x）n！（x－x）n＋rn（x）（1）其中余项rn （x）满足rn（x）=ο（（x－x）n）上述公式称为f（x）在x＝x处的带佩亚诺余项的泰勒公式。
它的前n＋1项组成的多项式：p n（x）＝f（x0）＋f′（x）（x－x）＋f″（x）2！（x－x）2＋…＋f（n）（x）n！（x－x）n＋rn（x）称为f（x）的n次泰勒多项式。
余项rn （x）=ο（（x－x）n）称为佩亚诺余项。
注：带佩亚诺余项的泰勒公式对函数f（x）的展开要求较低，它只要求f（x）在点x处n阶可导，展开形式也较为简单。
（1）式说明当x→x 0时用右端的泰勒多项式pn（x）代替f（x）所产生的误差是（x－x）n的高阶无穷小，这反映了函数f（x）在x→x时的性态，或者说反映了f（x）在点x处的局部性态。
1.2带拉格朗日型余项的泰勒公式定义：设f（x）在［a，b］上具有n阶连续导数，且在（a，b）上具有n+1阶导数。
设x∈［a，b］为一定点，则对于任意x∈［a，b］，成立：f（x）＝f（x0）＋f′（x）（x－x）＋f″（x）2！（x－x）2＋…＋f（n）（x）n！（x－x）n＋rn（x）（2）其中余项rn （x）满足rn（x）=f（n＋1）（ξ）（n＋1）！（x－x）n＋1，ξ在x与x之间。
上述公式称为f（x）在x＝x处的带拉格朗日型余项的泰勒公式。
余项rn （x）=f（n＋1）（ξ）（n＋1）！（x－x）n＋1（ξ在x与x之间）称为拉格朗日余项。
注：带拉格朗日余项的泰勒公式对函数f（x）的展开要求较高，形式也相对复杂，但因为（2）对坌x∈U（x）均能成立（当x不同时，ξ的取值可能不同），因此这反映出函数f（x）在邻域U（x）内的全局性态。
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附件 7
论文（设计）管理表一
昌吉学院本科毕业论文（设计）开题报告 论文（设计）题目
浅谈泰勒公式及其应用 系（院）
数学系 专业班级 数学与应用数学 B1002 学科 理学 学生 姓名
马尚红 指导教师 姓名
马园媛 学号 1025809043
职称 讲师 一、选题的根据 （ 1、内容包括：选题的来源及意义，国内外研究状况，本选题的研究目标、内容创新点及主 要参考文献等。
2、撰写要求： 宋体、小四号 。
）
1. 选题的来源及意义
泰勒公式是数学分析中非常重要的内容， 是一个用函数在某点的信息描述其附近 取值的公式。
如果函数足够光滑的话， 在已知函数在某一点的各阶导数值的情况之下， 泰勒公式可以用这些导数值做系数构建一个多项式来近似函数在这一点的邻域中值。
泰勒公式还给出了这个多项式和实际的函数值之间的偏差。
泰勒公式的初
衷是用多项 式来近似表示函数在某点周围的情况。
比如说，指数函数 e x 在x 0的
附近可以用以 2 3 n
下多项式来近似地表示： e x 1 x x x x 称为指数函数在 0处的 n 阶泰勒 2! 3! n! 展开公式。
这个公式只对 0附近的 x 有用， x 离 0越远，这个公式就越不准确。
实际 函数值和多项式的偏差称为泰勒公式的余项。
对于一般的函数，泰勒公式的系数的选 择依赖于函数在一点的各阶导数值，这个想法的原由可以由微分的定义开始。
微分是
函数在一点附近的最佳线性近似： f a h f a f ' a h o h ，其中 o h 是比 h 高
阶
的无穷小。
也就是说 f a h f a f ' a h,或 f x f a f ' a x a .注意到 f x 和 f ' a x a 在a 处的零阶导数和 一阶导数都相同。
对足够光滑的函数，如果一个
多 项式在 a 处的前 n 次导数值都与函数在 a 处的前 n 次导数值重合，那么这个多项
式应 该能很好地近似描述函数在 a 附近的情况。
对于多元函数，也有类似的泰勒公式。
设 a,r 是欧几里得空间 RN 中的开球， f 是定义在 a,r 的闭包上的实值函数，并在 每一点都存在所有的 n 1次偏导数。
这时的泰勒公式为：对所有，
f x 1 f a x a x x a ，其中的 是多重指标 0 ! x n 1
泰勒公式也是大学数学中的一个重要知识， 由此本文将总结几种泰勒公式的证明 及其应用。
其泰勒公式在近似计算，求极限，判断函数凸凹性等方面的应用，除此之 外，它还可应用于行列式，证明不等式，判断无穷级数、无穷积分的收敛性，求函数 导数的中值估计、求曲面的渐进线方程，高阶求导等等。
2. 国内外研究状况
其中的余项也满足不等式：对所有 n 1的 满足 x
[9]裴礼文. 数学分析中的典型问题与方法[M]. 北京；高等教育出版社，2006.
[10]李永乐，范培华.数学复习全书[M], 北京；国家行政学院出版社，2008.
[11]刘景忠，王国政. 公式在证明不等式方面的几个应用，高等数学研究函数，2006.9 （2）.
[12]刘玉莲，杨奎元，刘伟，吕凤. 数学分析讲义学习辅导书下册[M] ，北京；高等教育出版社，2003.
二、采用的研究方法及手段（1、内容包括：选题的研究方法、手段及实验方案的可行性分析和已具备的实验条件等。
2、撰写要求：宋体、小四号。
）
查询法：通过文献调研有目的有计划有系统地收集并整理资料，了解图论在数学模型中的应用。
分析法：通过对图论的研究，发现其性质。
文献研究法：调研文献，整理文章，获取所需材料。
归纳法：总结并整理论文。
三、论文的框架结构（宋体、小四号）
浅谈泰勒公式及其应用
引言
1.不同形式的泰勒定理及其证明
1.1带 Lagrange 余项的泰勒定理
1.2带 Peano 余项的泰勒定理
1.3带积分型余项的泰勒定理
1.4带柯西型余项的泰勒定理
2.泰勒公式的应用
2.1利用泰勒公式证明不等式
2.2利用泰勒公式理解无穷小替换的实质2.3泰勒公式在计算中的体现
2.3.1
2.3.2 2.3.3 2.3.4 2.3.5 利用泰勒公式求极限利用泰勒公式进行近似计算利用泰勒公式计算定积分利用泰勒公式计算行列式利用泰勒公式求曲面的渐进方程
2.4 泰勒公式在函数中的应用
2.4.1 2.4.2 2.4.3 2.4.4 利用泰勒公式证明根的唯一性利用泰勒公式求初等函数的幂级数展开式利用泰勒公式判断函数极值利用泰勒公式判断函数的凸凹性和拐点
2.4.5 泰勒公式在高阶导数和高阶偏导数方面的
应用
2.5泰勒公式在级数中的应用
3.结论
4.参考文献
5.致谢
四．论文写作的阶段计划（宋体、小四号）
第一阶段：2013年7月1日——2014年11月10日，完成初稿第二阶段：2014年11月11日——2014年12月10日，完成二稿第三阶段：2014年12月11日——2014年02月21日，完成三稿第四阶段：2014年02月22日——2014年4月09日，完成四稿第五阶段：2014年04月10日——2013年05月15日，完成定稿。