开题报告浅谈泰勒公式及其应用

附件 7

论文（设计）管理表一

昌吉学院本科毕业论文（设计）开题报告 论文（设计）题目

浅谈泰勒公式及其应用 系（院）

数学系 专业班级 数学与应用数学 B1002 学科 理学 学生 姓名

马尚红 指导教师 姓名

马园媛 学号 1025809043

职称 讲师 一、选题的根据 （ 1、内容包括：选题的来源及意义，国内外研究状况，本选题的研究目标、内容创新点及主 要参考文献等。 2、撰写要求： 宋体、小四号 。）

1. 选题的来源及意义

泰勒公式是数学分析中非常重要的内容， 是一个用函数在某点的信息描述其附近 取值的公式。如果函数足够光滑的话， 在已知函数在某一点的各阶导数值的情况之下， 泰勒公式可以用这些导数值做系数构建一个多项式来近似函数在这一点的邻域中值。 泰勒公式还给出了这个多项式和实际的函数值之间的偏差。 泰勒公式的初

衷是用多项 式来近似表示函数在某点周围的情况。比如说，指数函数 e x 在x 0的

附近可以用以 2 3 n

下多项式来近似地表示： e x 1 x x x x 称为指数函数在 0处的 n 阶泰勒 2! 3! n! 展开公式。这个公式只对 0附近的 x 有用， x 离 0越远，这个公式就越不准确。实际 函数值和多项式的偏差称为泰勒公式的余项。对于一般的函数，泰勒公式的系数的选 择依赖于函数在一点的各阶导数值，这个想法的原由可以由微分的定义开始。微分是

函数在一点附近的最佳线性近似： f a h f a f ' a h o h ，其中 o h 是比 h 高

阶

的无穷小。 也就是说 f a h f a f ' a h,或 f x f a f ' a x a .注意到 f x 和 f ' a x a 在a 处的零阶导数和 一阶导数都相同。对足够光滑的函数，如果一个

多 项式在 a 处的前 n 次导数值都与函数在 a 处的前 n 次导数值重合，那么这个多项

式应 该能很好地近似描述函数在 a 附近的情况。对于多元函数，也有类似的泰勒公式。设 a,r 是欧几里得空间 RN 中的开球， f 是定义在 a,r 的闭包上的实值函数，并在 每一点都存在所有的 n 1次偏导数。这时的泰勒公式为：对所有，

f x 1 f a x a x x a ，其中的 是多重指标 0 ! x n 1

泰勒公式也是大学数学中的一个重要知识， 由此本文将总结几种泰勒公式的证明 及其应用。其泰勒公式在近似计算，求极限，判断函数凸凹性等方面的应用，除此之 外，它还可应用于行列式，证明不等式，判断无穷级数、无穷积分的收敛性，求函数 导数的中值估计、求曲面的渐进线方程，高阶求导等等。

2. 国内外研究状况

其中的余项也满足不等式：对所有 n 1的 满足 x

[9]裴礼文. 数学分析中的典型问题与方法[M]. 北京；高等教育出版社，2006.

[10]李永乐，范培华.数学复习全书[M], 北京；国家行政学院出版社，2008.

[11]刘景忠，王国政. 公式在证明不等式方面的几个应用，高等数学研究函数，2006.9 （2）.

[12]刘玉莲，杨奎元，刘伟，吕凤. 数学分析讲义学习辅导书下册[M] ，北京；高等教育出版社，2003.

二、采用的研究方法及手段（1、内容包括：选题的研究方法、手段及实验方案的可行性分析和已具备的实验条件等。2、撰写要求：宋体、小四号。）

查询法：通过文献调研有目的有计划有系统地收集并整理资料，了解图论在数学模型中的应用。

分析法：通过对图论的研究，发现其性质。文献研究法：调研文献，整理文章，获取所需材料。归纳法：总结并整理论文。

三、论文的框架结构（宋体、小四号）

浅谈泰勒公式及其应用

引言

1.不同形式的泰勒定理及其证明

1.1带 Lagrange 余项的泰勒定理

1.2带 Peano 余项的泰勒定理

1.3带积分型余项的泰勒定理

1.4带柯西型余项的泰勒定理

2.泰勒公式的应用

2.1利用泰勒公式证明不等式

2.2利用泰勒公式理解无穷小替换的实质2.3泰勒公式在计算中的体现

2.3.1

2.3.2 2.3.3 2.3.4 2.3.5 利用泰勒公式求极限利用泰勒公式进行近似计算利用泰勒公式计算定积分利用泰勒公式计算行列式利用泰勒公式求曲面的渐进方程

2.4 泰勒公式在函数中的应用

2.4.1 2.4.2 2.4.3 2.4.4 利用泰勒公式证明根的唯一性利用泰勒公式求初等函数的幂级数展开式利用泰勒公式判断函数极值利用泰勒公式判断函数的凸凹性和拐点

2.4.5 泰勒公式在高阶导数和高阶偏导数方面的

应用

2.5泰勒公式在级数中的应用

3.结论

4.参考文献

5.致谢

四．论文写作的阶段计划（宋体、小四号）

第一阶段：2013年7月1日——2014年11月10日，完成初稿第二阶段：2014年11月11日——2014年12月10日，完成二稿第三阶段：2014年12月11日——2014年02月21日，完成三稿第四阶段：2014年02月22日——2014年4月09日，完成四稿第五阶段：2014年04月10日——2013年05月15日，完成定稿