数独问题 数学建模
数独问题-数学建模
数独问题摘要本文是对数独问题进行求解。
结合数独生成的特点，立足于题中数独建模和WNF P函数和整数规划模型。
求解的要求，建立了数独难度分析()对于问题一，首先研究数独难度的影响因素，通过综合分析数独的特点结构，WNF P可以在常数时间内计算出来以衡量数独的难易程度。
通过计算可知得出()()0.04531WNF P=，根据数独难度的划分得到如下结论：数独难度系数为4，达到了极难的程度。
对于问题二，我们通过对此数独的分析和讨论，利用穷举法，通过matlab 软件编程求解，最终得出答案，如表1所示。
对于问题三，我们利用回溯法思想，建立求解模型，具体算法一般采用如下步骤：1).在此数独初盘选择一个空单元格；2).取这个单元格中一个可能的候选数；3).将这个候选数填入单元格中，迭代完成数独；4).若这个候选数推导得到一个无效数独终盘，返回此单元格取其他候选数；对于问题四采用整数规划模型，采用三维0-1 变量的方法，运用lingo软件编程求解。
最终得到答案，如表1所示。
关键词：数独数独难度分析穷举法回溯法整体规划1问题的重述前段时间芬兰一位数学家号称设计出全球最难的“数独游戏”，并刊登在报纸上，让大家去挑战。
该数独如下图所示：数独是根据9×9盘面上的已知数字，推理出所有剩余空格的数字，并满足每一行、每一列、每一个粗线宫内的数字均含1-9，且不重复。
每一道合格的数独谜题都有且仅有唯一答案，推理方法也以此为基础，任何无解或多解的题目都是不合格的。
根据以上描述，试完成以下问题：1. 分析此数独的难度；2. 用穷举算法求解数独；3. 设计此数独求解的较优的算法；4. 建立数独求解模型并给出此数独的答案。
2模型的基本假设1该数独问题存在唯一解。
3符号说明X表示空单元格候选数?()X的加权函数W n表示候选数数?()c X表示数独空单元格中的候选数数目函数nE p表示该数独的空格处()()WNF P表示该数独难度的函数x表示数k是否填入数独方中的（i，j）处ijkc表示往空格处填入0后数独方中（i，j）处的数ijy表示经过求解后数独方中（i，j）处的数ij4模型的建立与求解4.1 问题14.1.1数独难度的影响因素通过对数独的分析与研究，数独难度与数独候选数、逻辑推理方法、搜索步数、空格数以及空格的分布情况都有密切的关系。
数学创作活动
数学创作活动数学创作活动是一种旨在激发学生对数学的兴趣和创造力的活动。
通过这些活动，学生可以运用数学知识进行创作，培养他们的数学思维和创新能力。
以下是一些可能的数学创作活动：1.数学游戏设计：让学生设计自己的数学游戏，例如数独、井字游戏等。
这可以帮助学生理解游戏背后的数学原理，同时也能激发他们的创新思维。
2.数学艺术：鼓励学生在艺术作品中融入数学元素，比如使用分形图案进行绘画，或者制作展示数学概念的雕塑等。
3.编写数学故事：让学生根据数学原理创作故事，可以是关于数学家的故事，也可以是包含数学原理的奇幻故事。
4.数学谜题和挑战：让学生设计和解答各种数学谜题，或者解决一些有趣的数学挑战，例如寻找最短路径问题等。
5.数学编程：通过编程来探索数学概念，例如使用Python等编程语言来绘制各种复杂的图形。
6.数学建模：让学生选择一个实际问题，然后使用数学模型进行解决。
例如，预测股票市场走势、设计最优化问题解决方案等。
7.数学戏剧和短片：让学生创作包含数学元素的戏剧或短片，通过表演来展示数学的魅力。
8.数学手工艺品：制作包含数学元素的实物，比如使用几何形状制作的拼图、挂饰等。
9.数学写作：让学生写一篇关于数学的论文或短篇小说，以培养他们的批判性思维和写作技巧。
10.数学展览：组织一个展览，展示学生创作的与数学相关的作品，可以是手工艺品、艺术品、科技作品等。
以上是一些可能的数学创作活动，具体形式可以根据学生的兴趣和能力进行调整。
重要的是让学生在活动中感受到数学的乐趣和价值，同时提高他们的数学技能和创造力。
数学建模lingo作业-习题讲解
基础题：1．目标规划问题最近，某节能灯具厂接到了订购16000套A 型和B 型节能灯具的订货合同，合同中没有对这两种灯具的各自数量做要求，但合同要求工厂在一周内完成生产任务并交货。
根据该厂的生产能力，一周内可以利用的生产时间为20000min ，可利用的包装时间为36000min 。
生产完成和包装一套A 型节能灯具各需要2min ；生产完成和包装完成一套B 型节能灯具各需要1min 和3min 。
每套A 型节能灯成本为7元，销售价为15元，即利润为8元；每套B 型节能灯成本为14元，销售价为20元，即利润为6元。
厂长首先要求必须按合同完成订货任务，并且即不要有足量，也不要有超量。
其次要求满意销售额达到或者尽量接近275000元。
最后要求在生产总时间和包装总时间上可以有所增加，但过量尽量地小。
同时注意到增加生产时间要比包装时间困难得多。
试为该节能灯具厂制定生产计划。
解：将题中数据列表如下：根据问题的实际情况，首先分析确定问题的目标级优先级。
第一优先级目标：恰好完成生产和包装完成节能灯具16000套，赋予优先因子p1；第二优先级目标：完成或者尽量接近销售额为275000元，赋予优先因子p2； 第三优先级目标：生产和包装时间的增加量尽量地小，赋予优先因子p3； 然后建立相应的目标约束。
在此，假设决策变量12,x x 分别表示A 型，B 型节能灯具的数量。
（1） 关于生产数量的目标约束。
用1d -和1d +分别表示未达到和超额完成订货指标16000套的偏差量，因此目标约束为1111211min ,..16000z d d s t x x d d -+-+=+++-=要求恰好达到目标值，即正、负偏差变量都要尽可能地小（2） 关于销售额的目标约束。
用2d -和2d +分别表示未达到和超额完成满意销售指标275000元的偏差值。
因此目标约束为221222min ,..1520-275000.z d s t x x d d --+=++=要求超过目标值，即超过量不限，但必须是负偏差变量要尽可能地小，(另外：d +要求不超过目标值，即允许达不到目标值，就是正偏差变量要尽可能地小) （3） 关于生产和包装时间的目标约束。
数独问题的整数规划模型
能构成 数独方 ．
为 １ｐ 区列 是 指 由区 组 成 的 “ ”从 左 到 右 记 为 一， 列 ， ｌｑ 当数 独方 的 区行数 为 Ｐ时 ， 每 区行数 一定 是 —． 其
第 １ 卷第 ３ １ 期
２１ ０ １年 ６月
金华职业技术学 院学报
Ｖｎｌ １ｌ Ｊ．２Ｎ３ ０ １ｏ ｌ ． ＿０ ｕ
数 独 问题 的整 数 规划 模 型
胡 英 武
（ 华 职业 技 术 学 院 ， 江 金 华 ３ １０ ） 金 浙 ２ ０ ７
摘 要 ： 独 是 近 年 流 行 的 一 种 益 智 游 戏 ， 最 常 见 模 式 是 在 一 个 行 × 数 其 列 又 再 分 成 区共 ｚ 小格 的方 中 ， 个 填 入 适 ＂的 数 字 ， 每 一 行 、 一 列 、 一 区都 含 有数 字 １ 。 重 复 ． 用 ０ １规 划 的 方 法 建 立 数 独 问题 的 整 数 规 划 模 ３ － － 使 每 每 不 运 — 型 ， 出 了 ９阶数 独 模 型 求解 的 Ｌｎ ｏ程 序 ， 给 ｉｇ 最后 对 模 型进 行 了评 价 ．
２ 数 独 方 的 基 本 概 念
为叙 述 方便 ， ｎ ｎｐ ） 对 （＝ｑ 阶数 独 方 的行 、 、 列 区
进行 编码．
变量并 结 合整 数规 划 的方 法 。 出了 ｎ阶 数独 方 问 给
题 的整 数规划模 型 ．
１
阶数 独 方 的 必 要 条 件
因为 一个 Ｉ ｌ的方 要 能再 分 成 ｎ个 区 ． ｔ￣ Ｘ 就必 须
数学建模lingo作业-习题讲解
基础题：1．目标规划问题最近，某节能灯具厂接到了订购16000套A 型和B 型节能灯具的订货合同，合同中没有对这两种灯具的各自数量做要求，但合同要求工厂在一周内完成生产任务并交货。
根据该厂的生产能力，一周内可以利用的生产时间为20000min ，可利用的包装时间为36000min 。
生产完成和包装一套A 型节能灯具各需要2min ；生产完成和包装完成一套B 型节能灯具各需要1min 和3min 。
每套A 型节能灯成本为7元，销售价为15元，即利润为8元；每套B 型节能灯成本为14元，销售价为20元，即利润为6元。
厂长首先要求必须按合同完成订货任务，并且即不要有足量，也不要有超量。
其次要求满意销售额达到或者尽量接近275000元。
最后要求在生产总时间和包装总时间上可以有所增加，但过量尽量地小。
同时注意到增加生产时间要比包装时间困难得多。
试为该节能灯具厂制定生产计划。
解：将题中数据列表如下：根据问题的实际情况，首先分析确定问题的目标级优先级。
第一优先级目标：恰好完成生产和包装完成节能灯具16000套，赋予优先因子p1；第二优先级目标：完成或者尽量接近销售额为275000元，赋予优先因子p2； 第三优先级目标：生产和包装时间的增加量尽量地小，赋予优先因子p3； 然后建立相应的目标约束。
在此，假设决策变量12,x x 分别表示A 型，B 型节能灯具的数量。
（1） 关于生产数量的目标约束。
用1d -和1d +分别表示未达到和超额完成订货指标16000套的偏差量，因此目标约束为1111211min ,..16000z d d s t x x d d -+-+=+++-=要求恰好达到目标值，即正、负偏差变量都要尽可能地小（2） 关于销售额的目标约束。
用2d -和2d +分别表示未达到和超额完成满意销售指标275000元的偏差值。
因此目标约束为221222min ,..1520-275000.z d s t x x d d --+=++=要求超过目标值，即超过量不限，但必须是负偏差变量要尽可能地小，(另外：d +要求不超过目标值，即允许达不到目标值，就是正偏差变量要尽可能地小) （3） 关于生产和包装时间的目标约束。
数独游戏的难度等级分析及求解算法研究1——关于数独
数独游戏的难度等级分析及求解算法研究1——关于数独这是⾃⼰本科所写的毕业论⽂，今天整理电脑的时候，⽆意中找到这篇⽂章，当初集中精⼒2个⽉才完成这篇论⽂，再次读来，觉得写得过于肤浅，但毕竟是⾃⼰的⼼⾎，与其散落在学校的档案库和⾃⼰的硬盘中，倒不如拿来与园友分享。
为避免篇幅过长，⽂章分为3个章节发布。
本论⽂⾸先介绍数独的历史、特点、游戏规则以及数独终盘组合数的基本情况；然后，探讨数独游戏的难度等级的划分模型，通过统计数独书籍所定义的难度等级与空格个数，运⽤图表分析，推断数独游戏难度等级与空格数成正⽐关系的结论，提出空格⾃由度的概念来划分数独难度系数，建⽴计算空格⾃由度的模型。
以空格⾃由度和空格个数为衡量数独游戏难度等级的标准，建⽴划分数独难度等级的数学模型，并编写程序快速实现数独难度等级划分的过程；最后，研究程序语⾔求解数独的算法，分别使⽤递归法与回溯法的⽅式求解数独，并分析这两种算法各⾃的优势与不⾜。
1关于数独1.1数独的发展史数独（Sudoku）是⼀种数学智⼒拼图游戏。
数独源于⼀种特殊的拉丁⽅阵。
拉丁⽅阵的发明者是 18 世纪末的瑞⼠数学家欧拉，拉丁⽅阵是⼀种含有n种符号的⽅阵，其中每列或每⾏的n种符号都不可重复出现[1]。
20世纪70年代由美国⼀本字谜游戏杂志《Number Place》⾸先发表了数独的雏形，此时的数独开始发展为在9×9的格⼦中填⼊1-9的数字。
2004年数独第⼀次在英国《泰晤⼠报》正式亮相，引起了⼀场“数独”热，短短数⽉间，便蔓延⾄全球[2]，时⾄今⽇，数独在⽇本最为盛⾏，并得到发扬光⼤。
1.2数独的游戏规则数独发展⾄今，玩法和形式更加多元化。
传统的数独是将⼀个⼤正⽅形划成3×3的九个九宫格，每个九宫格由3⾏3列共9个⼩⽅格构成，这样整个⼤正⽅形形成⼀个9×9的⽅格群。
数独的规则是数独的编写者事先在⼀些⽅格⾥填上些数字作为提⽰，利⽤事先提供的数字作为线索，在⼤正⽅形内填满1-9的数字,要求⼤正⽅形每⼀⾏、每⼀列及每个九宫格内均必须包括1到9的每⼀个数字，既不能遗漏也不能重复[3]。
初中数学综合实践活动主题
初中数学综合实践活动主题数学在初中阶段是一门重要的学科，不仅仅是为了学习知识，更是为了培养学生的逻辑思维能力和问题解决能力。
为了提高学生的数学素养，培养他们的实践操作能力，初中数学综合实践活动应运而生。
本文将介绍几个适合初中数学综合实践活动的主题，以帮助学生更好地理解和掌握数学知识。
1. 数学游戏主题数学游戏是一种以游戏形式来进行数学实践活动的方式。
通过设定不同的数学游戏关卡和规则，可以激发学生的兴趣，引导学生主动参与数学实践活动。
比如，可以设计一个有趣的数独游戏，通过填数字的方式锻炼学生的逻辑推理能力和数字运算能力。
另外还可以设计数学迷宫游戏，通过解决数学问题来顺利通过迷宫，锻炼学生的问题解决能力和空间思维能力。
2. 数学建模主题数学建模是将数学方法应用于实际问题的过程。
通过选择不同的实际问题，学生可以学会把握问题的关键点，构建数学模型，并运用数学知识进行分析和解决问题。
比如，可以选择一个城市规划问题，让学生根据已有的数据和条件，通过建模分析，给出一个合理的城市规划方案。
这样既培养了学生的实际应用能力，又加深了他们对数学知识的理解和掌握。
3. 数学探究主题数学探究是一种通过自主发现和探索来学习数学的方法。
通过设置一些有趣的问题和实验，鼓励学生主动思考和探索，培养学生的问题解决能力和创新思维能力。
比如，可以让学生通过探究图形的对称性质，发现对称图形的特点和规律；或者通过探究数列的性质，发现数列中的规律和递推公式。
这样的探究活动不仅能够提高学生的数学思维能力，还能够培养他们的观察能力和分析能力。
通过以上介绍的数学综合实践活动主题，可以发现数学实践活动不仅有助于提高学生的数学素养，还能够培养他们的实践操作能力和问题解决能力。
对于初中数学教育来说，数学实践活动的重要性不言而喻，应该在教学中得以充分重视和应用。
希望本文的介绍能够给初中数学教师和学生提供一些有益的参考和启示，帮助他们更好地开展数学实践活动，促进学生的全面发展。
关于数独的数学知识
关于数独的数学知识
数独是一种经典的逻辑数学游戏，通常在9x9的方格中进行。
游戏的目标是在每一行、每一列和每一个3x3的小方格中填入数字
1到9，使得每个数字在每一行、每一列和每一个小方格中都不重复。
数独游戏可以帮助玩家锻炼逻辑思维、数学推理能力以及耐心。
在数独中，数学知识主要涉及到排列组合、概率统计和数学逻
辑等方面。
首先，数独游戏中的数字填入需要满足每一行、每一列
和每一个小方格中数字的唯一性，这涉及到排列组合的概念，玩家
需要根据已有的数字和规则来进行逻辑推理，找到唯一的数字填入
位置。
其次，数独游戏也可以通过概率统计的方法来解决，特别是
在较难的数独题目中，可能需要通过试错的方法来找到合适的数字
填入位置。
最后，数独游戏本身就是一种数学逻辑游戏，玩家需要
运用数学逻辑推理来解决问题，例如通过排除法、唯一候选数法等
方法来填入数字。
除此之外，数独还与图论、矩阵等数学知识有关。
例如，数独
可以用图论的方法来建模，将每个格子看作图中的节点，每行、每
列和每个小方格看作图中的边，从而进行数学建模和分析。
另外，
数独也可以通过矩阵运算的方式来解决，将数独中的数字布局转化
为矩阵形式，通过矩阵运算来求解数独问题。
总的来说，数独游戏涉及到丰富的数学知识，包括排列组合、概率统计、数学逻辑、图论和矩阵等方面，通过数独游戏可以锻炼玩家的数学思维和逻辑推理能力，是一种富有趣味和挑战性的数学游戏。
小学数学教学中的数学社团活动
小学数学教学中的数学社团活动
数学社团活动在小学数学教学中起着重要的作用，它们帮助学生以更有趣的方式探索数学知识，并培养他们的数学思维和解决问题的能力。
以下是一些可以在小学数学社团开展的活动的例子：
数学游戏日：组织各种有趣的数学游戏，如数独、拼图等，让学生在游戏中锻炼逻辑推理和解决问题的能力。
数学奥赛训练：为对数学感兴趣的学生提供奥数训练，帮助他们更深入地学习和应用数学知识。
数学研究小组：鼓励学生选择自己感兴趣的数学主题，并进行深入研究和讨论。
这可以激发学生的独立思考和创新能力。
数学建模挑战：提供实际问题，让学生通过数学建模的方式解决。
这有助于培养学生的实际应用能力和团队合作精神。
数学竞赛准备：为有参加数学竞赛意愿的学生提供专门的培训和辅导，帮助他们在竞赛中取得好成绩。
数学展示活动：组织学生展示自己在数学上的成果和创意，如数学作品展、数学演讲等。
这有助于学生增强自信心和展示能力。
数学讲座和工作坊：邀请数学领域的专家或教育者来学校举办数学讲座和工作坊，让学生接触到更广阔的数学知识和思维方式。
通过数学社团活动，学生可以积极参与数学学习，培养自主学习能力和团队合作精神，提高数学素养和解决问题的能力。
这些活动可以使数学变得更有趣和有意义，激发学生对数学的兴趣和热爱。
十大趣味数学游戏
十大趣味数学游戏一、数独数独是一种非常受欢迎的逻辑推理游戏，它使用一个9x9的网格，将数字1-9填入格子中，每一行、每一列以及每一个3x3的小网格内数字不能重复。
在玩数独时，你需要运用逻辑思维，通过排除法和推理来解决谜题。
数独不仅可以锻炼思维能力，还可以提高注意力和专注力。
二、谜题方块谜题方块是一种拼图游戏，玩家需要将各种形状的方块放入一个矩形的网格中，填满整个空间而不重叠。
这个游戏既考验空间想象力，又需要运用数学的原理。
通过玩谜题方块游戏，你可以培养几何形状的认知和理解，锻炼观察和分析能力。
三、数学捕鱼数学捕鱼是一款结合了数学和游戏的趣味应用。
在游戏中，玩家需要选取正确的角度和力度来发射炮弹，以捕捉鱼群，并根据每种鱼的分值计算得分。
这个游戏可以让你在娱乐的同时，提升自己的数学计算能力，包括运算速度和数值计算。
四、计算迷阵计算迷阵是一种数学推理游戏，通过给定的数学运算符和数字，玩家需要在一个网格中填入正确的数字，使得每一行和每一列的运算结果都等于给定的目标数字。
这个游戏可以锻炼玩家的数学逻辑思维和解决问题的能力，同时加深对数学运算规则的理解。
五、数学猜谜数学猜谜是一种考验智力和数学能力的游戏。
游戏中，玩家需要根据给定的数学问题和线索，猜出隐藏的数字或者答案。
通过数学猜谜游戏，你可以提高自己的数学推理能力和解题能力，培养对数学问题的敏感度和思维敏捷性。
六、数字拼图数字拼图是一种将各种形状的数字片段拼接成特定数字的游戏。
玩家需要根据给定的数字和形状片段，在一个网格中填满正确的数字拼图。
这个游戏可以锻炼空间想象力和数字认知能力，提升对数字形状和排列的敏感度。
七、斯塔基斯斯塔基斯是一种经典的俄罗斯方块游戏，玩家需要控制下落的方块，使其在一个垂直的游戏区域中形成完整的水平行，然后消除方块来获得分数。
这个游戏可以提高反应速度和空间感知能力，同时培养对几何形状和规则的理解。
八、数学迷宫数学迷宫是一种结合了数学题目和迷宫探险的游戏。
窗口数独求解的线性规划模型
窗口数独求解的线性规划模型
窗口数独是一种通过数学模型解决数独问题的方法。
该方法基于一种叫做“线
性编程”的数学解决方案，可以解决某些数独问题。
线性编程是一种用于解决约束优化问题的有效方法。
该方法试图找到一个满足
所有约束的值，同时又使某个特定的值达到最大或最小。
在窗口数独中，约束由被划分的方框定义。
这些方框有3×3（九宫格），2×2和1×1。
在每一个方框中，
每个数字1-9只能出现一次，其中每个数字必须填写在每一个空格中。
窗口数独求解的线性编程模型使用一套连续变量和一系列不等式来约束问题。
变量表示每个方框内每个数字的填写或不填写，其中置1表示填写，置0表示不填写。
不等式则用来确保不同方框中的每一列和每一行的值的唯一性，以及确保每个填写的格子在不同的方框同时被填写一次。
窗口数独求解的线性规划模型优势明显，可以根据数独的规模和复杂度，迅速
的求解出答案。
该模型也可以用于解决其他优化问题，如系统最优化设计，活动调度问题等。
总而言之，窗口数独求解的线性规划模型是一个有效的解决数独问题的方法，
它使我们能够更快更有效地解决更复杂的数独问题。
它不仅可以被用于解数独问题，也可以被用于解决其他优化问题。
初中数学教学中的课堂实践活动
初中数学教学中的课堂实践活动数学是一门抽象的学科，对于初中生来说，理解与应用数学知识常常存在困难。
为了增加学生对数学的兴趣和参与度，提高他们的学习效果，课堂实践活动在初中数学教学中扮演着重要的角色。
本文将探讨几种课堂实践活动，并分析它们对学生的学习成效。
实践活动一：数学游戏数学游戏是一种非常受欢迎的课堂实践活动。
教师可以设计各种有趣的数学游戏，比如数独、数学竞赛等，让学生在游戏中体验数学的魅力。
这种活动可以激发学生的思维，培养他们的逻辑思维能力和解决问题的能力。
例如，在数独游戏中，学生需要通过推理和推断填写空白格子，这不仅锻炼了他们的逻辑思维，还培养了他们的耐心和细致观察力。
实践活动二：数学实验数学实验是另一种推动数学教学的实践活动。
通过进行实验，学生可以亲自动手，观察现象，进行数据收集和分析，从而深入理解数学原理。
例如，在教学三角函数时，教师可以组织学生进行测量与计算，通过实验数据来验证正弦定理或余弦定理。
这种实践活动不仅提高了学生的动手能力，还培养了他们的实证思维和科学精神。
实践活动三：数学建模数学建模是一种将数学知识应用于实际问题解决的实践活动。
教师可以选择一些与学生生活相关的问题，引导他们运用所学的数学知识进行建模与求解。
例如，通过测量学校附近的交通流量，学生可以学习如何应用统计与概率知识来分析交通拥堵的原因以及提出改善方案。
这样的实践活动不仅让学生感受到数学在生活中的应用价值，还培养了他们的问题解决能力和创新思维。
实践活动四：数学探究数学探究是一种通过提出问题、进行观察与实验、发现规律并进行推理与验证的实践活动。
教师可以鼓励学生主动提出问题，并指导他们进行探究活动。
例如，在教学平面几何时，教师可以引导学生通过探究不同几何图形的属性来总结和发现定理。
这种实践活动培养了学生的独立思考能力和问题解决能力，使其对数学的理解更加深入和全面。
总结起来，课堂实践活动在初中数学教学中起着重要的作用。
数学游戏、数学实验、数学建模和数学探究等实践活动可以激发学生的学习兴趣，提高他们的动手能力和解决问题的能力。
数学思维训练方法
数学思维训练方法
数学思维训练是指通过一系列的练习、挑战和思考来培养和提高数学思维能力的方法。
以下是几种常见的数学思维训练方法：
1. 解决问题：选择一些有挑战性的数学问题，尝试不同的解决方法，思考如何逐步推进解决的过程，从中学会应用数学知识和技巧来解决实际问题。
2. 推理和证明：研究一些定理和性质，思考它们的证明过程，通过推理和逻辑来构建证明链条，提高逻辑思维能力和数学推理能力。
3. 数学游戏和竞赛：参与一些数学游戏和竞赛，如数独、数学拼图、数学竞赛等，通过比赛和竞争来激发思维，提高解决问题的速度和准确度。
4. 探索和发现：通过探索数学问题的本质和规律，寻找多种解决思路和方法，培养创造性思维和发现问题的能力。
5. 数学建模：选择一些实际问题，运用数学模型和方法进行建模，简化和抽象问题，从而发现问题的实质，培养综合思考和应用数学的能力。
6. 反思和总结：在解决问题的过程中，不断反思自己的思考方式和解题方法，总结经验和教训，形成自己的数学思维模式和策略，提高解决问题的效率和准确性。
通过以上的训练方法，可以激发学习者的兴趣，提高思维的灵活性和敏捷性，培养批判性思维和创新性思维，从而提高数学思维能力。
高中数学最值问题12种
高中数学最值问题12种数学最值问题是高中数学的重要知识点之一，在解决实际问题中起着重要作用。
本文将介绍高中数学中常见的12种最值问题，并逐一给出解决方法。
1. 数列中的最大最小值数列是数学中常见的一种数学对象，求解数列中的最大值和最小值是数学竞赛和课堂教学中经常遇到的问题。
一般来说，我们可以观察数列的规律，找到最值所在的位置，然后直接求解得出最值。
2. 函数的最值函数的最值问题是数学分析中常见的一种问题，通过寻找函数的极值点来求解函数的最值。
求函数的最值可以利用导数的概念，找到函数的驻点和端点，通过比较函数在这些点上的值来确定最值。
3. 三角函数的最值三角函数也是高中数学中常见的一种函数类型，在求解三角函数的最值时，我们可以利用三角函数的周期性和对称性进行分析。
对于一些无穷大趋势的函数，例如正弦函数，我们可以根据其周期性进行推断。
4. 组合与排列的最值在组合与排列的问题中，有时我们需要求解一系列元素的排列或组合的最大最小值。
在这种情况下，我们可以利用数学方法，例如推导和分析，确定元素之间的关系，从而求得最值。
5. 几何图形的最值在几何学中，我们常常需要求解图形的最值问题。
例如，求解三角形的面积、矩形的周长与面积等。
在这种情况下，我们可以利用几何学中的性质和公式，通过数学推导和分析得出最值结果。
6. 优化问题与约束条件优化问题是数学中重要的问题类型之一，常常涉及到最值问题。
在解决优化问题时，我们需要考虑约束条件，并建立相应的数学模型。
通过优化理论和方法，例如拉格朗日乘数法和微分求解等，可以求解最值问题。
7. 矩阵的最值矩阵是线性代数中的重要概念，也常常涉及到最值问题。
在矩阵的最值问题中，我们可以通过计算特征值和特征向量，或者进行线性代数变换，来求解矩阵的最大最小值。
8. 最短路径与最小生成树在图论中，最短路径和最小生成树是两个重要的最值问题。
通过运用图论算法，例如迪杰斯特拉算法和普里姆算法，可以求解最短路径和最小生成树的问题。
10个提高数学思维能力的练习
10个提高数学思维能力的练习提高数学思维能力是每个学生都面临的挑战。
数学思维能力不仅在学校中有助于学习数学，还在解决问题、推理和分析等方面有重要作用。
以下是十个提高数学思维能力的练习。
练习一：解决数学难题解决数学难题是提高数学思维能力的重要方法。
通过挑战自己解决难题，我们可以培养分析和推理能力。
在解决数学难题的过程中，我们可以使用不同的方法和策略，培养创造性思维和解决问题的能力。
练习二：数学游戏数学游戏是一种趣味的方式来提高数学思维能力。
数学游戏可以让学生在游戏中运用数学知识并发展思维能力。
例如，数学谜题、数独和数学迷宫都是很好的数学游戏，可以锻炼学生的逻辑思维和问题解决能力。
练习三：进行数学建模数学建模是将数学应用于实际问题的过程。
通过进行数学建模，我们可以培养学生的抽象思维和应用数学解决问题的能力。
学生可以选择感兴趣的问题，然后使用数学方法来解决这个问题。
通过这个过程，学生可以将抽象的数学概念应用到实际问题中，并培养解决问题的能力。
练习四：学习数学发展历史学习数学发展历史可以加深对数学思维的理解。
了解数学发展历史可以帮助学生了解数学概念的来源和发展过程，培养学生的逻辑思维和推理能力。
通过学习数学发展历史，学生可以发现数学背后的思维过程和发展脉络，并培养学生的数学思维能力。
练习五：进行数学推理数学推理是培养数学思维能力的关键。
通过进行数学推理，学生可以锻炼抽象思维和逻辑推理能力。
学生可以通过解决证明题、推导公式和发现数学定理等活动来进行数学推理。
这样的练习可以帮助学生培养严密的思维和推理能力。
练习六：数学拼图数学拼图是一种锻炼数学思维能力的活动。
通过进行数学拼图，学生可以提高抽象思维和空间想象能力。
数学拼图可以让学生通过拼接不同的数学形状和图形来解决问题，培养学生的数学思维能力。
练习七：进行数学证明数学证明是培养数学思维能力的重要方法。
通过进行数学证明，学生可以培养逻辑推理和分析问题的能力。
数学证明可以让学生从基础开始，逐渐建立数学推理的能力，并培养学生的严密思维和解决问题的能力。
数学核心素养解读数学建模活动与数学探究活动
数学核心素养解读数学建模活动与数学探究活动在当今的数学教育中，核心素养的培养已成为重要的教学目标。
数学核心素养不仅体现了学生对数学知识的掌握程度，更体现了学生运用数学思维解决实际问题的能力。
其中，数学建模活动与数学探究活动是培养数学核心素养的重要手段。
数学建模活动是一种通过建立数学模型来解释现实问题的学习方法。
它帮助学生将实际问题转化为数学问题，并运用数学知识进行解决。
在这个过程中，学生需要理解和掌握数学模型的基本原理和方法，并通过实践运用提高自己的建模能力。
数学建模活动有助于提高学生的数学应用能力。
在建模过程中，学生需要将实际问题转化为数学问题，这需要他们深入分析问题的本质和规律，并运用数学知识进行建模。
这个过程不仅需要学生掌握基本的数学知识，还需要他们具备一定的应用能力。
通过不断的建模实践，学生的应用能力会得到逐步提高。
数学建模活动有助于培养学生的创新思维。
在建模过程中，学生需要发挥自己的想象力和创造力，寻找解决问题的新思路和新方法。
这需要他们不断尝试和探索，通过反复推敲和调整模型参数来优化解决方案。
在这个过程中，学生的创新思维会得到锻炼和提高。
数学建模活动有助于培养学生的团队协作能力。
建模活动通常需要小组合作完成，小组成员需要相互配合、分工合作，共同解决问题。
这需要他们相互沟通、协调，并就问题进行分析和讨论。
在这个过程中，学生的团队协作能力会得到锻炼和提高。
数学建模活动是一种有效的教学方法，它有助于提高学生的数学应用能力、创新思维和团队协作能力。
而数学探究活动则是一种通过引导学生自主探究数学知识来提高其数学素养的学习方法。
它帮助学生深入了解数学知识的本质和规律，并培养其自主探究的能力。
随着教育的进步和课程改革的深入，高中数学教育已经从传统的知识传授转向了核心素养的培养。
其中，数学建模作为数学核心素养的重要部分，对于培养学生的创新思维和解决问题的能力具有不可替代的作用。
本文将探讨如何基于数学核心素养，开展高中数学建模活动，提高学生的数学应用能力和创新精神。
数学数学思维训练方案
数学数学思维训练方案数学是一门需要具备良好思维能力的学科，它不仅仅是一种计算技能的积累，更是培养逻辑思维和创造性思维的重要工具。
为了帮助学生提高数学思维能力，我们设计了一套针对不同年级学生的数学思维训练方案。
一、初级阶段：在初级阶段，学生的数学基础较为薄弱，他们需要通过一些简单而有趣的数学思维训练来提升他们的数学思维能力。
1. 数独训练：数独是一种常见的数学逻辑题，通过填充数字使得每一行、每一列和每一个小九宫格内的数字都不重复。
这种训练可以让学生锻炼观察力、逻辑推理和数学计算能力。
2. 推理游戏：通过给出一些条件和规则，让学生进行推理和判断。
例如，“小明和小红都喜欢数学，但小明不喜欢音乐，而小红喜欢画画。
请问他们喜欢的科目有哪些？”通过这样的游戏，可以培养学生的逻辑思维和推理能力。
二、中级阶段：在中级阶段，学生已经具备了一定的数学基础，需要进行更加复杂的数学思维训练。
1. 数论问题：数论是数学中的一个分支，它研究自然数的性质和关系。
通过给学生一些数论问题，例如“判断一个数是否为素数”、“找到一些满足特定条件的数”，可以培养学生的数学思维和推理能力。
2. 图形推理：通过给学生一些图形，让他们观察和推理图形的性质和规律。
例如，让学生找出一个规律并推导下一个图形是什么。
这种训练可以培养学生的观察力、逻辑思维和创造性思维。
三、高级阶段：在高级阶段，学生的数学思维已经相对成熟，需要进行一些更加复杂和抽象的数学思维训练。
1. 数学证明：通过给学生一些数学命题，让他们进行证明。
数学证明需要学生分析问题、提出假设、进行推理和得出结论，这种训练可以培养学生的逻辑思维、严谨性和创造性思维。
2. 数学建模：数学建模是将实际问题转化为数学模型，并通过数学方法进行求解。
通过给学生一些实际问题，让他们进行数学建模和求解，可以提高他们的问题解决能力和创新能力。
除了以上的具体训练方法，还可以通过数学竞赛、数学游戏和数学思维课程等方式来提高学生的数学思维能力。
数学中的游戏与竞赛活动
数学中的游戏与竞赛活动数学是一门既具有实用价值又富有趣味性的学科，在学习数学的过程中，游戏和竞赛活动起到了重要的作用。
游戏和竞赛活动不仅能够激发学生对数学的兴趣，提高他们的学习动力，还能培养他们的思维能力和解决问题的能力。
本文将介绍数学中的一些常见游戏和竞赛活动，并探讨它们对数学学习的促进作用。
一、数学游戏数学游戏是一种融合了数学元素和娱乐性的活动。
通过数学游戏，学生不仅能够在愉快的氛围中学习数学知识，还能培养他们的逻辑思维和问题解决能力。
以下是一些常见的数学游戏：1. 数独：数独是一种基于逻辑推理的数学游戏。
通过填充9×9方格的数字，满足每行、每列和每个3×3的小方块中数字不重复的规则，完成数独游戏。
数独游戏不仅能够锻炼学生的逻辑思维和观察力，还能培养他们的耐心和坚持不懈的精神。
2. 狼羊菜过河问题：这是一道经典的数学难题。
问题描述为：有一个农夫要把一只狼、一只羊和一颗菜过河，但是船只只能容纳农夫和另一个物品，而且狼和羊不能同处一边，羊和菜也不能同处一边。
学生需要通过合理的安排，使得农夫能够安全地将狼、羊和菜都过河。
这个问题既考验学生的逻辑思维能力，又培养他们的合作意识和团队精神。
3. 数字推理游戏：这类游戏常见于数学竞赛中，通过给出一串数字或图形，要求学生推理出隐藏的规律或下一个数字（图形）。
这类游戏能够锻炼学生的观察力、推理能力和数学思维，激发他们对数学问题的兴趣。
二、数学竞赛活动数学竞赛活动是一种对数学知识和解题能力的考验。
通过参与数学竞赛活动，学生能够提高自己的数学水平，培养他们的团队合作精神和解决问题的能力。
以下是一些常见的数学竞赛活动：1. 数学建模竞赛：数学建模竞赛要求学生根据给定的问题，运用数学知识和方法进行建模和分析，并提出解决问题的方案。
参与数学建模竞赛可以培养学生的实际应用能力和创新思维，提高他们解决实际问题的能力。
2. 数学奥林匹克竞赛：数学奥林匹克竞赛是一个面向初高中生的数学竞赛，要求学生在有限的时间内解答一系列复杂的数学问题。
全国数学建模大赛各题特点
全国数学建模大赛各题特点《全国数学建模大赛各题特点：一场烧脑又有趣的数学之旅》全国数学建模大赛可是数学爱好者的大舞台，这里面的题目就像一个个性格各异的小伙伴，有着独特的魅力和令人头疼的脾性。
先说说连续型的题目吧。
这类题目就像是一个无底的黑洞，数据量超大，得从一大堆复杂的数据中找到头绪。
就好比在一堆乱麻里找金线，比如有关某种传染病传播趋势预测的题目。
它们通常需要用到微分方程之类的知识来建立模型。
这感觉啊，就像是跟着一个到处乱蹿的调皮鬼在捉迷藏，你好不容易抓住了一点规律，它又有新的变量来扰乱你的思路。
你得像个耐心的侦探那样，一点点排查影响因素，像是人口流动、预防措施力度等等，稍有偏差，预测结果就可能南辕北辙。
建立的模型呢，还得在真实和理想的钢丝上寻找平衡，太简化了不符合实际，太复杂了根本算不出来，真的是让脑仁儿疼却又忍不住想要征服的那种。
再讲讲离散型的题目。
这种题目像是神秘的数独游戏，规则明确，但是组合无限多。
比如说排班安排或者资源分配的问题。
它看似家常，就像平常安排一家人值日那么简单，可一旦放大到企业或者社区，那就是一场灾难。
你要考虑每个人的菜（能力）、每个人的时间表（限制条件），还得保证最终的方案能让大家都满意（目标优化）。
一不小心就搞成乱炖，没有章法，而做这类型的题目就像是玩拼图，每个小块（决策变量）位置必须对，而且相互之间的连接（约束条件）要严丝合缝，看着拼凑成功的那一刻，那成就感简直了。
还有开放性的题目，这就是来考验我们脑洞大小的。
像讨论如何衡量一座城市的幸福感这种，满满的全是主观的东西，每个人对幸福的定义都像天上的云彩形状各不相同。
这种题没有标准答案你知道不？你可以从经济、环境、文化娱乐等各种稀奇古怪的角度切入，像是打开了一群吵闹孩子的脑袋，各种想法乱蹦。
做这题就像画一幅没有轮廓的画，自由得没边但也容易迷失方向，不过一旦你独辟蹊径，创意满满，那绝对是最靓的仔。
虽然每类题目都像一个个刺猬，让人无从下手，但是只要你慢慢摸清它们的脾气，在三天或者四天的比赛里跟队友并肩作战，不断地摔跟头再爬起来，这就是数学建模大赛题目最迷人的地方。
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数独问题摘要本文是对数独问题进行求解。
结合数独生成的特点，立足于题中数独建模和WNF P函数和整数规划模型。
求解的要求，建立了数独难度分析()对于问题一，首先研究数独难度的影响因素，通过综合分析数独的特点结构，WNF P可以在常数时间内计算出来以衡量数独的难易程度。
通过计算可知得出()()0.04531WNF P=，根据数独难度的划分得到如下结论：数独难度系数为4，达到了极难的程度。
对于问题二，我们通过对此数独的分析和讨论，利用穷举法，通过matlab 软件编程求解，最终得出答案，如表1所示。
对于问题三，我们利用回溯法思想，建立求解模型，具体算法一般采用如下步骤：1).在此数独初盘选择一个空单元格；2).取这个单元格中一个可能的候选数；3).将这个候选数填入单元格中，迭代完成数独；4).若这个候选数推导得到一个无效数独终盘，返回此单元格取其他候选数；对于问题四采用整数规划模型，采用三维0-1 变量的方法，运用lingo软件编程求解。
最终得到答案，如表1所示。
关键词：数独数独难度分析穷举法回溯法整体规划1问题的重述前段时间芬兰一位数学家号称设计出全球最难的“数独游戏”，并刊登在报纸上，让大家去挑战。
该数独如下图所示：数独是根据9×9盘面上的已知数字，推理出所有剩余空格的数字，并满足每一行、每一列、每一个粗线宫内的数字均含1-9，且不重复。
每一道合格的数独谜题都有且仅有唯一答案，推理方法也以此为基础，任何无解或多解的题目都是不合格的。
根据以上描述，试完成以下问题：1. 分析此数独的难度；2. 用穷举算法求解数独；3. 设计此数独求解的较优的算法；4. 建立数独求解模型并给出此数独的答案。
2模型的基本假设1该数独问题存在唯一解。
3符号说明X表示空单元格候选数?()X的加权函数W n表示候选数数?()c X表示数独空单元格中的候选数数目函数nE p表示该数独的空格处()()WNF P表示该数独难度的函数x表示数k是否填入数独方中的（i，j）处ijkc表示往空格处填入0后数独方中（i，j）处的数ijy表示经过求解后数独方中（i，j）处的数ij4模型的建立与求解4.1 问题14.1.1数独难度的影响因素通过对数独的分析与研究，数独难度与数独候选数、逻辑推理方法、搜索步数、空格数以及空格的分布情况都有密切的关系。
通过大量的计算观察发现，用到的逻辑与推理方法越复杂，那么在数独中出现的候选数越多;反之，在数独题中出现的候选数越多，解决数独题所用到的逻辑推理方法一般也越难。
解答一个数独所用到的搜索步数越多，数独中的候选数越多。
反之，一般情况下也成立。
另外数独中的空格数以及空格的分布情况与候选数也有同样类似的关系。
综合这几个影响数独难度的几种因素，分析候选数和空格数为主要影响因素，再根据其构造加权规范函数()WNF P ，计算数值来衡量数独难度。
4.1.2 ()WNF P 函数的建立加权规范函数建立在候选数列表的基础上。
根据候选数列表，计算出每一个空单元格中的候选数数目，将候选数数目与其相对应的加权函数结合起来，计算加权规范函数WNF 。
定义单元格X 中的候选数数目函数()c X 为()?c X =X ，这个函数仅适用 于数独P 中的空单元格，而数独P 中的空单元格可以表示为(){}{}|1,2,3,4,5,6,7,8,9:ννE P =X∈P ∀∈X →/ (1)有()19n n <<个候选数的候选数数目函数()(){}{}||?n C c n n X =X∈P X ==X∈P X = (2)我们赋予它相应的加权函数()W n ，从而得到加权函数()()()91n n WF W n C =P =P ∑ (3)()WF P 不能准确的反映数独难度，()WF P 受数独中空单元格数目影响很大，呈正向关系，如在数独中删除单元格，数独空单元格数增加，导致()WF P 增加，即空格数越多，()WF P 越大，然而这并不符合所有的数独。
为了排除这一影响，将加权函数()WF P 规范，得到加权规范函数：()()()()()919n W n C W WNF =P P =E P ∑ (4)根据以上的分析，对于某单元格X ，其候选数数?X 越大，其对应的加权函数()W n 也应越大。
我们采用指数函数()exp 2n W n =”计算数独P 的()WNF P ，其中n 为某空单元格的候选数数目。
计算发现，()WNF P 与数独难度是正相关的，即()WNF P 越大，数独的难度越大。
4.1.3 ()WNF P 函数的求解根据题中给出的数独，按照数独游戏应该满足的条件，可以得到该数独的空格处的候选数列表，如下表2所示：表2 空格处候选数列表8 1246 24569 2347 12357 1234 13569 4579 1345679 12459 124 3 6 12578 1248 1589 45789 14579 1456 7 456 348 9 1348 2 458 13456 123469 5 2469 2389 2368 7 1689 2489 12469 12369 12368 269 2389 4 5 7 289 1269 24679 2468 24679 1 268 2689 5689 3 24569 23457 234 1 23479 237 2349 359 6 8 23467 2346 8 5 2367 23469 39 1 2379 23567 9 2567 2378 123678 12368 4 257 2357根据表2，把所得变量带入式(3)得：()1392WF P = (5)由()60E P =代入式(4)式中得：()0.04531WNF P = (6)4.1.4数独难度的划分根据计算所得()WNF P 大小，我们将数独题难度分为四个区间，分别表示简单、中等、难、极难。
为方便表示，我们用1、2、3、4来表示难度系数。
1)若()()0,0.012WNF P ∈，数独简单，有较多候选数的空单元格很少，此时数独题用一些简单的直观法就可以解决，用1表示。
2)若()()WNF P∈，数独有一定难度，要解决此数独要用到候选0.012,0.035数法中的一些简单方法，且与直观法结合起来推理，用2表示。
WNF P∈，数独比较难，内部逻辑结构复杂，将直观法3)若()()0.035,0.045与候选数法结合起来一般可以解决问题，用3表示。
0.045,1WNF P∈，这个数独很难，内部的逻辑结构相当复杂，将直4)若()()观法与候选数法结合起来不一定可以解决问题，甚至有时候需要对某些空单元格进行猜测，用4表示。
在这里，我们将(0，1)粗略分为四个区间，用来相对表示数独的相对难度。
根据数独难度的划分，由式(6)可得此数独难度系数为4，达到了极难的程度。
4.2 问题24.2.1算法的介绍本问中需要的是用穷举法对数独问题进行求解，首先介绍一下穷举法：穷举法，或称为暴力破解法，是基于计算机特点而进行解题的思维方法。
一般是在一时找不出解决问题的更好途径（即从数学上找不到求解的公式或规则）时，可以根据问题中的部分条件（约束条件）将所有可能解的情况列举出来，然后通过逐个验证是否符合整个问题的求解要求，而得到问题的解。
这样解决问题的方法我们称之为穷举算法。
穷举算法特点是算法简单，但运行时所花费的时间量大。
因此，我们在用穷举方法解决问题时，应尽可能将明显的不符合条件的情况排除在外，以尽快取得问题的解。
4.2.2 求解的思想结合本问中需要用穷举法解决数独问题，最终算出上面所给出的数独问题的解。
针对此数独问题，在此先介绍一下我的算法思想：1）建立一个堆栈来存放数据；2）根据每行、每列和一个小九宫中不能出现相同的数字的规则来找出所有空格中的所有可能值；3）从可能值中选取一个可能项最少的并提取一个出来，若还有可能值就将其放入堆栈中去，若提出的值不满足条件则从堆栈中再提取一个值来继续求解直到找到满足条件的解；举个例子吧，对这一数独问题，可以很快找到第八行第七列的可能值为3和9，其它空格的可能值都超过了三个，现取出3出来进行尝试，那么放入堆栈中的是9和其它的可能值，还有a（数独值），然后一直按这种方法进行下去，要是遇到不满足则从堆栈中重新拿出一个值来，直到结果满足结束循环。
下面列了一个流程图，如下流程图所示。
首先进行对程序中的所用符号进行说明，先将数独中问题的初始值(空格为0)存入数组a，将所有空格中的可能值存入数组y。
4.2.3 问题的求解根据该流程图进行编程，并在matlab中实现，具体程序见附录1。
经过2分钟左右求解得到最终结果，如下表4所示：4.3 问题3根据问题2中处理方法，发现穷举算法的特点是算法简单，但运行时所花费的时间较长。
因此，我们在此基础上进行改进，尽可能将明显的不符合条件的情况排除在外，以尽快取得问题的解。
在求解数独的过程中，遍历此数独所有可能的搜索树，直至找到数独的解为止!在这个过程中，我们采用回溯法进行求解。
回溯法是一种搜索算法，其基本思路是:在一个问题中，根据题意给出的边界条件划定出所有可能解的范围(称为可能解)，根据题意确定出约束条件。
利用程序顺次在所有可能解中，搜索时按照深度搜索的方式进行。
即在第一层选定一个满足约束条件的解，然后以该可能解为出发点，搜索第二层的一个可能解(试探)。
如果搜索到第二层的一个可能解，则继续搜索第三层的一个可能解。
依次类推，直到所有层的可能解都被找到，则得到了该问题的一个完整解。
如果第二层所有的可能解都不满足约束条件，则返回第一层，放弃原有的可能解，使用第一层的下一个可能解(回溯)。
以此类推，寻找第二层的一个可能解。
具体算法一般采用如下步骤：1）在此数独初盘选择一个空单元格；2）取这个单元格中一个可能的候选数；3）将这个候选数填入单元格中，迭代完成数独；4）若这个候选数推导得到一个无效数独终盘，返回此单元格取其他候选数；由于回溯法是在不断地试探和回溯中运算，因此也可以称为试探法或者试探—回溯法。
从上面的描述中可知，回溯法得到的问题的解只是根据不同的初始条件获得的第一个完全满足所有约束条件的解，因此该解的获得和初始条件有关。
如果想要获得该问题的全部解，则需要遍历所有的可能的初始条件，也就是遍历所有的第一层的可能解。
回溯法相对于其他穷举的特点在于，不必把问题的每一层的所有的可能解都遍历一遍，只要当前的可能解不满足约束条件就抛弃该解，寻求下一个可能解，而不必求解其余的下层解。
当当前层的所有可能解都不满足约束条件，」则回溯到上一层，抛弃上一层的当前可能解。
从以上分析中结合数独问题的规则，得出数独问题的约束条件为:l)每一格的数值范围仅限于l一9。