结构地震反应分析与抗震验算

在Tg T 5Tg范围内，地震影响系数 α采用3.38式进行 计算 Tg T 2 max (3.38) 0.05 0.5 5

曲线下降段的衰减指数 0.9
---直线下降段的斜率调整系数；按下式确定
*高频结构主要取决于地面的最大加速度Sa
*中频结构主要取决于地面的最大速度Sv
*低频结构主要取决于地面的最大位移Sd
2、标准反应谱
把水平地震作用的基本公式（3.31）变换为式（3.32）
(t ) 0 (t ) max m Sa F F (t ) max m x x （式3.31 ） 0 (t ) x Sa mg Gk （式3.32 ） 0 (t ) x g
下图为β谱曲线及加速度谱曲线
2、设计反应谱
《规范》把α与T的关系作为设计反应谱。 Sa : 地震影响系数 g ，按图3.9确定 T：体系自振周期
0 (t ) x Sa 因F m Sa m g G k 0 (t ) x g Sa α kβ g 则水平地震力F αG
m 则得瞬时荷载作用下自 由振动方程 mω t sin ω （3.21 ）
杜哈默积分
瞬时冲量：pdt m v m v0，此时的速度v Pdt ( 0 ) Pdt 根据自由振动的方程（ 式3.11），x0 0,x 则得瞬时荷载作用下自 由振动方程 xt e ζωt Pdt mω sin ωt （式3.21 ） m
2、地震反应谱 地震时，地面运动引起结构振动，单质点体系质 (t ) 、绝对 点相对于地面的相对位移 x(t ) 、相对速度 x (t ) 0 (t ) 均为时间t的函数，从工程观点看 加速度 x x ，在地震中结构产生的最大位移、最大速度、最大加 速度更具有实际意义，此最大值随质点自振周期变化 的曲线称为反应谱。
式（3.5）为一个二阶常系数非齐次微分方程。令方 程式左边=0，得该方程的齐次解，即方程
2x 2 x 0 的通解。 x
则方程式（3.5）的解由有上述的齐次解和特解两部 分组成。
上式中 k — 弹性直杆的刚度，即质 点发生单位位移时，在 质点 所需施加的力 C — 阻尼系数 ω — 无阻尼单自由度弹性体 系的圆频率，即质点在 2π秒 内的振动次数 ζ— 体系的阻尼比，一般工 程结构阻尼比在0.0 1 — 1.0 之间
抗震结构设计
3 结构地震反应分析与抗震验算
3.1 概 述
一、建筑结构抗震设计步骤 1、计算结构的地震作用—地震荷载 2、计算结构、构件的地震作用效应—M、Q、N及 位移 3、地震作用效应与其他荷载效应进行组合、验算结
构和构件的抗震承载力及变形（确保结构、构件的
内力<材料抗力）。
二、结构抗震设计理论发展过程的三个阶段
三、与各类型结构相应的地震作用分析方法
不超过40m的规则结构：底部剪力法 一般的规则结构：两个主轴的振型分解反应谱法
质量和刚度分布明显不对称结构：考虑扭转
或双向地震作用的振型分解反应谱法
8、9度时的大跨、长悬臂结构和9度的高层 建筑：考虑竖向地震作用 特别不规则、甲类和超过规定范围的高层 建筑：一维或二维时程分析法的补充计算
ζωt
上式即为处于静止状态的单自由度体系地震位移 反应计算公式。
抗震结构设计
3 结构地震反应分析与抗震验算
3.3单自由度弹性体系的水平地震作用及其反应谱
1、单自由度弹性体系的水平地震作用 对于单自由度弹性体系，通常把惯性力看作一种反映 地震对结构体系影响的等效力，可以用它的最大值来对 结构进行抗震验算。（把动荷载转化为静荷载解决计算 问题。） 下式为质点的绝对最大加速度 S a 计算公式，取决于 地震时地面运动加速度 x0 ( ) 、结构的自振周期T及结构的 阻尼比
式中 ω ω 1 ζ 2 为有阻尼单自由度体系 的圆频率 当体系无阻尼时 ，ζ ０ ， ω＝ω 则无阻尼单自由度体系 的自由振动方程为： (0) x x(t) x(0) cosωt sin ωt (式3.12) ω
由上图可知，无阻尼自由振动时的振幅不变，而 有阻尼体系自由振动的振幅随时间的增加而减小， 且体系的阻尼越大，其振幅的衰减就越快。
F KG : 动力系数(反映结构的 特性，如周期、阻尼等 ） G : 重力荷载的代表值。
目前，世界上普遍采用的方法。
目前我国采用：底部剪力法或震型分解反应谱法（用于 小震或中震的计算）
计算时：单自由度多质点体系（多个等效单质点体系） ，如糖葫芦
3、动态分析阶段：时程分析法—用于大震分析计算， 借助于计算机。
抗震结构设计
3 结构地震反应分析与抗震验算
3.2 单自由度弹性体系的地震反应分析
1、单自由度弹性体系的计算简图
把结构的所有质量集中在屋盖处，墙、柱视为一个无 质量的弹性杆 ，形成一个单质点体系。 当一个单质点体系只作单向振动时，形成一个单自由 度体系。
2、运动方程
动荷载
x0 (t )
x0 (t )
k 0(t) x g k : 地震系数，表示地面运 动的最大加速度与重力 加速度之比。 Sa (3.34) 0 (t ) x β : 动力系数，是单质点最 大绝对加速度与地面最 大加速度之比。 即表示由于动力效应， 质点最大绝对加速度比 地面最大加速度 放大了多少倍。 (3.33)
理论上，ω ω，但的取值一般很小，所以 在实际结构中， 近似取ω ω 因ω k m
k 由此可知：结构的自振 周期与其质量和刚度有 关， 是结构的一种固有属性 。
则得单自由度体系自振 周期T 2π m
4、强迫振动
瞬时冲量及其引起的自由振动
瞬时冲量：pdt m v m v0 若体系原先静止，即 v0 0 则此时的速度v Pdt ( 0 ) Pdt 因x0 0,x xt e ζωt Pdt m 根据自由振动的方程（ 式3.11）
m
可视为作用于单位质量上的动力荷载
2ζωx ω2 x 0的特解 (式3.5 ) x x 就是质点由外荷载引起 的强迫振动 0 ( )dτ 瞬时冲量Pdt改为 x 取m 1，t t τ 则由(式3.21) x(t) e dx(t) e
-- (t - τ) -ζt
S kx(t ) 阻尼力：（粘滞阻尼理论） D cx (t )
根据达朗贝尔原理：单质点弹性体系在地震作用下的运 动方程为：
上式进一步简化为： 2 x 2 x 0 x x （式3.5 ）
km
c 2m 2 km c
2x 2 x 0 x x （式3.5 ）
无阻尼单自由度体系的 自振周期：T 2π
由式ω ω 1 ζ 2 知 当ζ 1时ω 0 （表示结构不产生振动， 此时的ζ 1为临界阻尼比）
由试验测得，ζ 1体系不发生振动 ，ζ 1体系发生振动 。
又因ζ c 2 km 得
c 2 km c r c r 2 km称为临界阻尼系数
下图即为在给定的地震作用下质点绝对最大加 速度与体系自振周期的关系曲线。
(t ) 0 (t ) max 最大加速度反应 Sa m x x S d x(t ) max 最大位移反应 (t ) max 最大速度反应 Sv x
特点：
*结构的阻尼比和场地条件对反应谱有很大影响
将Sa的表达式（3.30）代入式（3.34）得：
β与T的关系曲线称为β谱曲线： （1） β谱曲线的实质也是一条加速度反应谱曲线。 （2）曲线峰值对应的结构自振周期T=Tg，Tg为场地的 特征周期（过去也称作卓越周期）
标准反应谱曲线：根据大量的强震记录算出对应于每 一条强震记录的反应谱曲线，然后统计求出的最有代 表性的平均曲线。
：地面（基础）的水平位移
x(t )
：质点对地面的的相对位移
x0 (t ) x(t ) ：质点的总位移
0 (t ) (t ) ：质点的绝对加速度 x x
取质点为隔离体，由结构动力学可知，作用在质点上的 力： 惯性力： 弹性恢复力：
0 (t ) (t ) I m x x
补充：单自由度体系动力学分析回顾
单自由度体系自由振动 （1）无阻尼时
（2）有阻尼时
时
阻尼：振动过程中的阻力。 无阻尼自由振动：系统只在恢复力作用下维持的 振动。其振动的振幅不随时间而改变，振动过程 将无限地进行下去。 有阻尼自由振动：系统在振动过程中，除受恢复 力外，还存在阻尼力，这种阻尼力的存在不断消 耗振动的能量，使振幅不断减小。 强迫振动：在外加剂激振力作用下的振动称为强 迫振动。（工程中的自由振动，都会由于阻尼的 存在而逐渐衰减，最后完全停止。但实际上又存 在有大量的持续振动，这是由于外界有能量输入 以补充阻尼的消耗，一般都承受外加的激振力。） 有阻尼受迫振动有两部分组成。第一部分是衰减 振动；第二部分是受迫振动。
3、自由振动 自由振动方程：令体系 运动方程等于零 2ζωx ω2 x 0 x t=0时，体系的初始位移 解得该方程的齐次解为 ： t=0时，体系的初始速度 x(t) e
t
(0) ζωx(0) x sin ωt (式3.11 ) x(0) cosωt ω
ω 圆频率(质点在时间2 π内的振动次数）： ω 2πf f — —单位时间内质点的振动 次数，称为体系的频率 。 有阻尼振动的周期（有 阻尼时ζ 0，振动不是周期的，但 衰减是往复的，质点每 振动一个循环所需的时 间间隔是相 等的，也可以把该时间 间隔称为周期） T 2π ω ω为有阻尼的自振频率， ω ω 说明由于阻尼存在，将 使结构自由频率减小， 即使结构周期加大 。