《圆心角和圆周角》ppt教材课件
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《圆心角和圆周角》课件
E
弓形所含的圆周角 ∠C=50°，问船在航行 时怎样才能保证不进入 暗礁区？
C
O
A
B
（1）当船与两个灯塔的夹角∠α大于“危险角” 时，船位于哪个区域？为什么？ （2）当船与两个灯塔的夹角∠α小于“危险角” 时，船位于哪个区域？为什么？
P E C
O
A
B
你能仿照圆心角的定义给圆周 角下个定义吗？ A
圆周角定义: 顶点在圆上，
并且两边都和圆相交的角
. O
B C
叫圆周角.
特征：
① 角的顶点在圆上. ② 角的两边都与圆相交.
练习： 1.判别下列各图形中的角是不是圆周角，并说明理由.
不是
图１ 图２
不是
图３
是
不是
图４ 图５
不是
如图，已知∠AOB=80°，
图5
另外，对于等圆的情况 ，因为两个等圆可 叠合成同圆，所以等圆问题可转化为同圆问题， 命题成立.
条件
在同圆或等圆中 如果圆心角相等 那么
结论
圆心角所对的弧相等 圆心角所对的弦相等 圆心角所对的弦的弦心距相等
在同圆或等圆中 如果弧相等
弧所对的圆心角相等
那么 弧所对的弦相等 弧所对的弦的弦心距相等
C O B
问题: 如图，在⊙O中，∠B，∠D，∠E的大小有什么关 系？为什么？ D ∠B = ∠D= ∠E
B
●
O
E
圆周角定理的推论2：
A
C
同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等； 同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等.
用于找相等 的角 用于找相等 的弧
做一做：
如图，四边形ＡＢＣＤ内接于⊙O．找出图 中分别与∠１， ∠２ ，∠３相等的角． Ｃ Ｄ ２ １ O ·
弓形所含的圆周角 ∠C=50°，问船在航行 时怎样才能保证不进入 暗礁区？
C
O
A
B
（1）当船与两个灯塔的夹角∠α大于“危险角” 时，船位于哪个区域？为什么？ （2）当船与两个灯塔的夹角∠α小于“危险角” 时，船位于哪个区域？为什么？
P E C
O
A
B
你能仿照圆心角的定义给圆周 角下个定义吗？ A
圆周角定义: 顶点在圆上，
并且两边都和圆相交的角
. O
B C
叫圆周角.
特征：
① 角的顶点在圆上. ② 角的两边都与圆相交.
练习： 1.判别下列各图形中的角是不是圆周角，并说明理由.
不是
图１ 图２
不是
图３
是
不是
图４ 图５
不是
如图，已知∠AOB=80°，
图5
另外，对于等圆的情况 ，因为两个等圆可 叠合成同圆，所以等圆问题可转化为同圆问题， 命题成立.
条件
在同圆或等圆中 如果圆心角相等 那么
结论
圆心角所对的弧相等 圆心角所对的弦相等 圆心角所对的弦的弦心距相等
在同圆或等圆中 如果弧相等
弧所对的圆心角相等
那么 弧所对的弦相等 弧所对的弦的弦心距相等
C O B
问题: 如图，在⊙O中，∠B，∠D，∠E的大小有什么关 系？为什么？ D ∠B = ∠D= ∠E
B
●
O
E
圆周角定理的推论2：
A
C
同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等； 同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等.
用于找相等 的角 用于找相等 的弧
做一做：
如图，四边形ＡＢＣＤ内接于⊙O．找出图 中分别与∠１， ∠２ ，∠３相等的角． Ｃ Ｄ ２ １ O ·
28.3 圆心角和圆周角 - 第3课时课件(共20张PPT)
140°
课堂小结
圆周角
圆内接四边形
定义
圆周角定理的性质
性质
同学们再见！
授课老师：
时间：2024年9月15日
拓展提升
1.（2021 重庆中考）如图，四边形 ABCD 内接于⊙O，若∠A=80°，则∠C的度数是 （ ）A. 80° B. 100° C. 110° D. 120°
B
2.（2021 济南历下期末）如图，四边形 ABCD 内接于⊙O，若它的一个外角∠DCE=70°，则∠BOD=______.
B
A
C
D
O
知识点2 圆内接四边形
定义
归纳
在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弧所对的圆周角、两条弦、两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等.
如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，⊙O为四边形ABCD的外接圆.猜想：∠A与∠C, ∠B与∠D之间的数量关系是什么？
证明：∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∴∠ BAD+∠ BCD=180°.∵∠ BCD+∠ DCE=180°，∴∠ DCE=∠ BAD.
还可得到一个推论： 圆内接四边形的一个外角等于它的内对角 .
解读
1.在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弧所对的圆周角、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等.2.“同弧或等弧”若改为“同弦或等弦”结论就不成立了. 因为一条弦所对的圆周角有两种情况：优弧上的圆周角和劣弧上的圆周角.3.每一个圆都有无数个内接四边形，但并不是所有的四边形都有外接圆，只有对角互补的四边形才有外接圆.
第 二十八章 圆
28.3 圆心角和圆周角第3课时
学习目标
课堂小结
圆周角
圆内接四边形
定义
圆周角定理的性质
性质
同学们再见！
授课老师：
时间：2024年9月15日
拓展提升
1.（2021 重庆中考）如图，四边形 ABCD 内接于⊙O，若∠A=80°，则∠C的度数是 （ ）A. 80° B. 100° C. 110° D. 120°
B
2.（2021 济南历下期末）如图，四边形 ABCD 内接于⊙O，若它的一个外角∠DCE=70°，则∠BOD=______.
B
A
C
D
O
知识点2 圆内接四边形
定义
归纳
在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弧所对的圆周角、两条弦、两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等.
如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，⊙O为四边形ABCD的外接圆.猜想：∠A与∠C, ∠B与∠D之间的数量关系是什么？
证明：∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∴∠ BAD+∠ BCD=180°.∵∠ BCD+∠ DCE=180°，∴∠ DCE=∠ BAD.
还可得到一个推论： 圆内接四边形的一个外角等于它的内对角 .
解读
1.在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弧所对的圆周角、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等.2.“同弧或等弧”若改为“同弦或等弦”结论就不成立了. 因为一条弦所对的圆周角有两种情况：优弧上的圆周角和劣弧上的圆周角.3.每一个圆都有无数个内接四边形，但并不是所有的四边形都有外接圆，只有对角互补的四边形才有外接圆.
第 二十八章 圆
28.3 圆心角和圆周角第3课时
学习目标
28.3 圆心角和圆周角 - 第2课时课件(共22张PPT)
例题解析
思考
直径所对的圆周角是多少度？９０°的圆周角所对的弦是直径吗？
C1
A
O
B
C2
C3
知识点3 圆周角定理的性质
直径所对的圆周角是直角． 90°的圆周角所对的弦是直径.
显然，在同圆或等圆中，相等的圆周角所对应的弧相等，所对应的弦也相等.
性质
随堂练习
C
1.下列四个图中，∠x是圆周角的是( )
课堂小结
圆周角
圆周角的概念
圆周角定理的性质
圆周角定理
同学们再见！
授课老师：
时间：2024年9月15日
（3）当圆心O在∠APB 的内部和外部时，（2）中的结论还成立吗？和同学进行交流.
证明：如图，连接 PO 并延长交⊙O 于点 D．∵PD过圆心O，
A
B
O
P
D
第三种情况请同学们自行证明
A
B
O
P
圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.
圆周角定理
例2
如图，点A，B，C均在⊙O上，∠OAB＝46°，求∠ACB的度数.
解：如图，连接OB.∵OA=OB，∴∠OAB=∠OBA．∵∠OAB＝４６°，∴∠AOB=１８０°－２∠OAB＝１８０°－２×４６°＝８８°．∴∠ACB=½∠AOB＝４４°．
第 二十八章 圆
28.2.探究并掌握圆周角定理及其性质.3.利用圆周角定理解决简单的几何问题.
学习重难点
圆周角定理及性质.
运用圆周角定理及性质解决几何问题.
难点
重点
1. 什么叫圆心角？指出图中的圆心角.顶点在圆心的角叫圆心角, 图中∠BOC 是圆心角.2.如图，∠BAC的顶点和边有哪些特点?∠BAC的顶点在☉O上，角的两边分别交☉O于B、C两点.
思考
直径所对的圆周角是多少度？９０°的圆周角所对的弦是直径吗？
C1
A
O
B
C2
C3
知识点3 圆周角定理的性质
直径所对的圆周角是直角． 90°的圆周角所对的弦是直径.
显然，在同圆或等圆中，相等的圆周角所对应的弧相等，所对应的弦也相等.
性质
随堂练习
C
1.下列四个图中，∠x是圆周角的是( )
课堂小结
圆周角
圆周角的概念
圆周角定理的性质
圆周角定理
同学们再见！
授课老师：
时间：2024年9月15日
（3）当圆心O在∠APB 的内部和外部时，（2）中的结论还成立吗？和同学进行交流.
证明：如图，连接 PO 并延长交⊙O 于点 D．∵PD过圆心O，
A
B
O
P
D
第三种情况请同学们自行证明
A
B
O
P
圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.
圆周角定理
例2
如图，点A，B，C均在⊙O上，∠OAB＝46°，求∠ACB的度数.
解：如图，连接OB.∵OA=OB，∴∠OAB=∠OBA．∵∠OAB＝４６°，∴∠AOB=１８０°－２∠OAB＝１８０°－２×４６°＝８８°．∴∠ACB=½∠AOB＝４４°．
第 二十八章 圆
28.2.探究并掌握圆周角定理及其性质.3.利用圆周角定理解决简单的几何问题.
学习重难点
圆周角定理及性质.
运用圆周角定理及性质解决几何问题.
难点
重点
1. 什么叫圆心角？指出图中的圆心角.顶点在圆心的角叫圆心角, 图中∠BOC 是圆心角.2.如图，∠BAC的顶点和边有哪些特点?∠BAC的顶点在☉O上，角的两边分别交☉O于B、C两点.
圆周角和圆心角演示课件
A
A
=
1 2
∠AOC.
A
C
C
C
●O
●O
●O
B
B B
老师提示:圆周角定理是承上启下的知识点,要予以重视.
•16
练习： D
1.求圆中角X的度数
C 120°
O
.O
C
70° x
.O
X
A
B
B
A
BA
C
2.如图，圆心角∠AOB=100°，则∠ACB=_1_3_0°。
3、 如图，在直径为AB的半圆中，O为圆心，C、D为半 圆上的两点，∠COD=500，则∠CAD=_________
A A
O
O
B
C
B
C
一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半
•10
想一想
类比圆心角探知圆周角
• 在同圆或等圆中,相等的弧所对的圆心角相等.
• 在同圆或等圆中,相等的弧所对的圆周角有什么关系？
A
A
A
C
C
C
●O
●O
●O
B
B B
为了解决这个问题,我们先探究一条弧所对的圆 周角和圆心角之间有的关系.
•11
图１ 不是
图２
不是
图４
2、指出图中的圆周角。
不是
是
图３
不是
图５
•7
A
O B
⌒ ⌒
有没有圆周角？ 有没有圆心角？ 它们有什么共同的特点？
C 它们都对着同一条弧所对的
•8
下列图形中，哪些图形中的圆心角∠BOC和 圆周角∠A是同对一条弧。
A
A
O B
A O
圆周角和圆心角的关系ppt课件
50°，则∠EBC+∠ADC 的度数为 _______.
-18-
3.4 圆周角和圆心角的关系
解析：如解析图，连接 AB，DE，则∠ABE=∠ADE. ∵ 所对的圆心角的度数为 50°，∴∠ABE= ∠ADE =25°. ∵ 点 A，B，C，D 在 ⊙O 上 ，∴四边形 ABCD 是圆内接四边形， ∴∠ABC+∠ADC=180°， ∴∠ABE+∠EBC+∠ADC=180°， ∴∠EBC+∠ADC=180°-∠ABE=180°-25°=155°． 答案：155° 题型解法：本题考查了圆周角定理和圆内接四边形的 性质，作出辅助线构建圆内接四边形是解题的关键．
-10-
3.4 圆周角和圆心角的关系
■考点四 圆内接四边形
定义
四边形的四个顶点都在同一个圆上，这个四边形叫做圆内接四边形，这个 圆叫做四边形的外接圆
推论 圆内接四边形的对角互补
拓展 圆内接四边形的任何外角等于内对角
注意 并不是所有的四边形都存在外接圆，只有对角互补的四边形才存在外接圆
-11-
3.4 圆周角和圆心角的关系
A． 20° B． 40°
C． 50° D． 70°
-7-
3.4 圆周角和圆心角的关系
3. 如图，已知△ABC 的三个顶点都在同一圆上，且 AC=6，BC=8，AB=10， 则该圆的半径长是 ________.
（第 3 题图）
（第 4 题图）
4. 如图，AB=BC，∠ABC =120°，AD 为 ⊙O 的直径 ，AD=6，那么 AB 的
值为 ______.
-8-
3.4 圆周角和圆心角的关系
5. 如图，AB=AC，AB 是直径，求证：BC=2DE． （第 5 题图）
-18-
3.4 圆周角和圆心角的关系
解析：如解析图，连接 AB，DE，则∠ABE=∠ADE. ∵ 所对的圆心角的度数为 50°，∴∠ABE= ∠ADE =25°. ∵ 点 A，B，C，D 在 ⊙O 上 ，∴四边形 ABCD 是圆内接四边形， ∴∠ABC+∠ADC=180°， ∴∠ABE+∠EBC+∠ADC=180°， ∴∠EBC+∠ADC=180°-∠ABE=180°-25°=155°． 答案：155° 题型解法：本题考查了圆周角定理和圆内接四边形的 性质，作出辅助线构建圆内接四边形是解题的关键．
-10-
3.4 圆周角和圆心角的关系
■考点四 圆内接四边形
定义
四边形的四个顶点都在同一个圆上，这个四边形叫做圆内接四边形，这个 圆叫做四边形的外接圆
推论 圆内接四边形的对角互补
拓展 圆内接四边形的任何外角等于内对角
注意 并不是所有的四边形都存在外接圆，只有对角互补的四边形才存在外接圆
-11-
3.4 圆周角和圆心角的关系
A． 20° B． 40°
C． 50° D． 70°
-7-
3.4 圆周角和圆心角的关系
3. 如图，已知△ABC 的三个顶点都在同一圆上，且 AC=6，BC=8，AB=10， 则该圆的半径长是 ________.
（第 3 题图）
（第 4 题图）
4. 如图，AB=BC，∠ABC =120°，AD 为 ⊙O 的直径 ，AD=6，那么 AB 的
值为 ______.
-8-
3.4 圆周角和圆心角的关系
5. 如图，AB=AC，AB 是直径，求证：BC=2DE． （第 5 题图）
圆圆周角和圆心角的关系课件ppt
圆周角和圆心角的综合应用
总结词
定理、综合、应用、解题。
详细描述
圆周角和圆心角在几何学中有着广泛的应用，它们可以 单独使用，也可以综合使用来解决一些复杂的几何问题 。首先，我们可以利用圆周角和圆心角定理的综合应用 来解决一些几何问题。其次，我们可以通过一些解题方 法，如分析法、综合法和作图法等，来解决一些涉及圆 周角和圆心角的复杂问题。此外，我们还可以通过一些 实际问题的应用，来进一步理解圆周角和圆心角的重要 性和实际价值。
圆周角和圆心角的关系
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的圆周角也相等，但相等的圆周角所对的圆心角不一定相等。
运用圆周角和圆心角的关系解题的方法
利用圆心角和圆周角的关系，可以解决一些与圆有关的几何问题。在解题时，需要先找到所求问题的圆心角和圆周角，然 后利用其关系进行求解。
学习方法的总结
01
学习重点
本节课的重点是掌握圆周角和圆心角 的关系及其应用。
利用角的平分线性质定理可以证明，一个角平分线分一个角为两个相等的角，而同弧所对 的圆周角等于圆心角的一半。因此，同弧所对的圆周角相等。
应用
可以利用定理来解决一些有关圆的问题，如求角度、弧长、弦长等。同时，在圆的几何证 明题中，也可以利用定理来寻找突破口。
03
圆周角和圆心角的应用
圆周角在圆内的应用
圆周角和圆心角的关系定理
定理1
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的圆周 角也相等。
定理2
在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所 对的圆心角的一半。
定理的证明和应用
定理1的证明
利用圆的旋转对称性，可以通过将圆心角对折，使它与弧重合，从而得到弧所对的圆周角 也相等。
《圆心角和圆周角》PPT课件
好经过圆心，则A︵mB等于( C )
A．60°
B．90°
C．120°
D．150°
12．如图，在⊙O 中，A︵B＝2C︵D，则下列结论正确的是( C )
A．AB＞2CD
B．AB＝2CD
C．AB＜2CD
D．以上都不正确
13．(9分)如图，已知A，B，C，D是⊙O上四点，若AC＝BD，求证： AB＝CD.
15．(10分)如图，以⊙O的直径BC为边作等边△ABC，AB，AC分别 交⊙O于点D，E. 求证：BD＝DE＝EC.
连 接 OD ， OE ， ∵ ∠ B ＝ 60° ， OD ＝ OB ， ∴ △ OBD 为 等 边 三 角 形 ， ∴BD＝OD，∴同理DE＝EC＝OD，∴BD＝DE＝EC
16．(10 分)如图，AB，DE 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上一点，且A︵D ＝C︵E，BE 与 CE 的大小有什么关系？为什么？
∠POF＝x°，则x的取值范围是( B )
A．60≤x≤120
B．30≤x≤60
C．30≤x≤90
D．30≤x≤120
13．如图，矩形OABC内接于扇形MON，当CN＝CO时，∠NMB的度 数是____3_0_°__．
14．(10分)在⊙O中，半径为5 cm，弦AB＝5 cm，求弦AB所对圆周角 的度数． 解：连接OA，OB.∵半径为5cm，AB＝5cm，∴△OAB是等边三角形， ∴∠AOB＝60°.∴弦AB所对的劣弧所对的圆周角的度数为30°，弦AB 所对的优弧所对的圆周角的度数为150°.
Hale Waihona Puke 16．(12分)如图，AB为⊙O的直径，AB＝AC，BC交⊙O于点D，AC 交⊙O于点E，∠BAC＝45°. (1) 求∠EBC的度数； (2)求证：BD＝CD.
28.3 圆心角和圆周角 - 第1课时课件(共20张PPT)
第 二十八章 圆
28.3 圆心角和圆周角第1课时
学习目标
1.理解圆心角的概念2.探索圆心角、弧、弦之间的关系定理并利用其解决相关问题.
学习重难点
圆心角、弧、弦之间的关系定理
运用圆心角、弧、弦之间的关系定理解决问题.
难点
重点
回顾复习
不在同一条直线上的三点确定一个圆.
经过三角形三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆.外接圆的圆心叫做三角形的外心.外接圆的圆心是三角形三边垂直平分线的交点.这个三角形叫做这个圆的内接三角形.
A
2.AB是⊙O的直径，BC=CD=DE,∠AOE=72°，则∠COD的度数是( )A．36° B．72° C．108° D．48°
︵
︵
︵
3.如图，在⊙O 中，点C是AB的中点，∠A=50°，则∠BOC= ．
︵
︵
证明：如图，连接AO，BO，CO，DO.∵AD＝BC，∴∠AOD=∠BOC，∴∠AOD+∠BOD=∠BOC+∠BOD，即∠AOB=∠COD，∴AB＝CD.
︵
︵
拓展提升
课堂小结
圆心角弧、弦
定理及推论
圆心角相等
圆心角的概念
所对的弧相等
所对的弦相等
知一推二
前提：在同圆或等圆中
同学们再见！
授课老师：
顶点在圆心的角叫做圆心角.如图，∠ AOB 是弧AB所对的圆心角，弧AB是∠ AOB 所对的弧，线段AB是∠ AOB 所对的弦.
新知引入
知识点1 圆心角的定义
判断下列各图中的角是不是圆心角，并说明理由.
如图,⊙O 中，当圆心角∠AOB=∠COD时，它们所对的弧AB和弧CD、弦AB和CD之间各具有怎样的关系?
28.3 圆心角和圆周角第1课时
学习目标
1.理解圆心角的概念2.探索圆心角、弧、弦之间的关系定理并利用其解决相关问题.
学习重难点
圆心角、弧、弦之间的关系定理
运用圆心角、弧、弦之间的关系定理解决问题.
难点
重点
回顾复习
不在同一条直线上的三点确定一个圆.
经过三角形三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆.外接圆的圆心叫做三角形的外心.外接圆的圆心是三角形三边垂直平分线的交点.这个三角形叫做这个圆的内接三角形.
A
2.AB是⊙O的直径，BC=CD=DE,∠AOE=72°，则∠COD的度数是( )A．36° B．72° C．108° D．48°
︵
︵
︵
3.如图，在⊙O 中，点C是AB的中点，∠A=50°，则∠BOC= ．
︵
︵
证明：如图，连接AO，BO，CO，DO.∵AD＝BC，∴∠AOD=∠BOC，∴∠AOD+∠BOD=∠BOC+∠BOD，即∠AOB=∠COD，∴AB＝CD.
︵
︵
拓展提升
课堂小结
圆心角弧、弦
定理及推论
圆心角相等
圆心角的概念
所对的弧相等
所对的弦相等
知一推二
前提：在同圆或等圆中
同学们再见！
授课老师：
顶点在圆心的角叫做圆心角.如图，∠ AOB 是弧AB所对的圆心角，弧AB是∠ AOB 所对的弧，线段AB是∠ AOB 所对的弦.
新知引入
知识点1 圆心角的定义
判断下列各图中的角是不是圆心角，并说明理由.
如图,⊙O 中，当圆心角∠AOB=∠COD时，它们所对的弧AB和弧CD、弦AB和CD之间各具有怎样的关系?
28.3.1《圆心角和圆周角》课件
。
题组二(算一算)
• 1.在⊙Ｏ中,BC为⊙Ｏ的一 条弦且等于⊙Ｏ的半径,则 BC的度数是 _6_0_0____
题组三(证一证)
1.已知如图，∠1＝∠2
求证： AC =BD
DC
2
B
O1 A
1.圆心角：我们把顶点在圆心的角叫做圆心角. 2.圆心角、弧、弦间的关系 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦 相等 ．
如图，将圆心角∠AOB绕圆心O旋
转到∠A′ O B′ 的位置，你能发现哪些
等量关系？为什么？
A′ B
B′
O
A
2019/10/20
6
根据旋转的性质，将圆心角
∠AOB绕圆心O旋转到∠A′OB′的 位置时，显然∠AOB＝∠A′OB′，B′ 射线OA与OA′重合，OB与OB′重
合．而同圆的半径相等， OA=OA′，OB=OB′，从而点A与 点A′重合，点B与点B′重合．
学习目标：
1、理解圆心角的概念。 2、掌握在同圆或等圆中， 相等的圆心角所对的弦相等， 所对的弧也相等。
自学指导： 时间：5分钟 内容：课本P153、P154 要求：1、什么是圆心角？ 2、在同一个圆中如果
两个圆心角相等，那么这两个圆 心角所对的弦和弧有什么关系？
顶点在圆心的角，叫圆心角，
B
如 AOB ，
同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量 相等，它们所对应的其余各组量也相等．
2019/10/20
19
M
圆心角AOB所对的弧为AB， O
A
所对的弦为AB；
图1
成为圆心角的条件： 1、顶点在圆上 2、两边和圆相交
过点O作弦AB的垂线， 垂足为M， 则垂线段OM的长度，即圆 心到弦的距离，叫弦心距 ， 图1中，OM为AB弦的弦心 距. OM是唯一的.
题组二(算一算)
• 1.在⊙Ｏ中,BC为⊙Ｏ的一 条弦且等于⊙Ｏ的半径,则 BC的度数是 _6_0_0____
题组三(证一证)
1.已知如图，∠1＝∠2
求证： AC =BD
DC
2
B
O1 A
1.圆心角：我们把顶点在圆心的角叫做圆心角. 2.圆心角、弧、弦间的关系 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦 相等 ．
如图，将圆心角∠AOB绕圆心O旋
转到∠A′ O B′ 的位置，你能发现哪些
等量关系？为什么？
A′ B
B′
O
A
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6
根据旋转的性质，将圆心角
∠AOB绕圆心O旋转到∠A′OB′的 位置时，显然∠AOB＝∠A′OB′，B′ 射线OA与OA′重合，OB与OB′重
合．而同圆的半径相等， OA=OA′，OB=OB′，从而点A与 点A′重合，点B与点B′重合．
学习目标：
1、理解圆心角的概念。 2、掌握在同圆或等圆中， 相等的圆心角所对的弦相等， 所对的弧也相等。
自学指导： 时间：5分钟 内容：课本P153、P154 要求：1、什么是圆心角？ 2、在同一个圆中如果
两个圆心角相等，那么这两个圆 心角所对的弦和弧有什么关系？
顶点在圆心的角，叫圆心角，
B
如 AOB ，
同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量 相等，它们所对应的其余各组量也相等．
2019/10/20
19
M
圆心角AOB所对的弧为AB， O
A
所对的弦为AB；
图1
成为圆心角的条件： 1、顶点在圆上 2、两边和圆相交
过点O作弦AB的垂线， 垂足为M， 则垂线段OM的长度，即圆 心到弦的距离，叫弦心距 ， 图1中，OM为AB弦的弦心 距. OM是唯一的.
《圆心角和圆周角》PPT课件3
解答：（1）圆上各点到定点（圆心O）的距离都等于定长（半径r）； （2）到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上.
动态：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一 个端点A所形成的图形叫做圆． 静态：圆心为O、半径为r的圆可以看成是所有到定点O的距离等于定 长r的点组成的图形．
小组交流：请解释车轮为什么设计成圆形.
B ·O
A
C
B ·O
A
C
圆心O
半径OO′
O′ A
直径AB
B
O·
优弧ABC，
记作 ABC
C
弦AC
劣弧AC，记作AC
等圆: 能够重合的两个圆叫做等圆.
等弧: 能够完全重合的弧叫做等弧.
想一想：长度相等的弧是等弧吗？
如图，如果AB和CD的拉直长度都是10cm，平移 并调整小圆的位置，是否能使这两条弧完全重合？
都等于 绳子的 长度
根据圆的定义可知： “圆”指的是“圆 周”，不是“圆面”
圆的定义： 平面上，到定点的距离等于定长的所有点组成的图
形 圆心的定义： 这个定点 圆的半径的定义： 这个定
长 如图，它是以点O为圆心，OA的长为半径的圆，
记作“⊙O”，读作“圆O”.
O rA
线段OA称为⊙O的半径.
思考：从画圆的过程你还能得出哪些结论呢？
A．35°
B．40°
C．50°
D．80°
13．如图，AB为⊙O的直径，点P为其半圆上任意一点(不含A，B)，点 Q为另一半圆上一定点，若∠POA为x度，∠PQB为y度，则y与x间的函 数关系是____y_＝__9_0_－__12_x__．
14．(10分)如图，已知AE是⊙O的直径，AF⊥BC于点D，试说明：BE ＝CF.
动态：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一 个端点A所形成的图形叫做圆． 静态：圆心为O、半径为r的圆可以看成是所有到定点O的距离等于定 长r的点组成的图形．
小组交流：请解释车轮为什么设计成圆形.
B ·O
A
C
B ·O
A
C
圆心O
半径OO′
O′ A
直径AB
B
O·
优弧ABC，
记作 ABC
C
弦AC
劣弧AC，记作AC
等圆: 能够重合的两个圆叫做等圆.
等弧: 能够完全重合的弧叫做等弧.
想一想：长度相等的弧是等弧吗？
如图，如果AB和CD的拉直长度都是10cm，平移 并调整小圆的位置，是否能使这两条弧完全重合？
都等于 绳子的 长度
根据圆的定义可知： “圆”指的是“圆 周”，不是“圆面”
圆的定义： 平面上，到定点的距离等于定长的所有点组成的图
形 圆心的定义： 这个定点 圆的半径的定义： 这个定
长 如图，它是以点O为圆心，OA的长为半径的圆，
记作“⊙O”，读作“圆O”.
O rA
线段OA称为⊙O的半径.
思考：从画圆的过程你还能得出哪些结论呢？
A．35°
B．40°
C．50°
D．80°
13．如图，AB为⊙O的直径，点P为其半圆上任意一点(不含A，B)，点 Q为另一半圆上一定点，若∠POA为x度，∠PQB为y度，则y与x间的函 数关系是____y_＝__9_0_－__12_x__．
14．(10分)如图，已知AE是⊙O的直径，AF⊥BC于点D，试说明：BE ＝CF.
《圆心角和圆周角》PPT课件3
7．(4 分)如图，⊙C 过原点，且与两坐标轴分别交于点 A，B， ︵ 上一点，∠BMO＝120° 点 A 的坐标为(0，3)，M 是第三象限内OB ， 则⊙C 的半径长为( C ) A．6 B．5 C．3 D．3 2
8 ． (4 分 )△ABC 为⊙ O 的内接三角形，若∠ AOC ＝ 160°则∠ ABC
28.3圆心角和圆周角(三)
1．同弧所对的圆周角________ 相等 ．
圆内接四边形 ，这个圆 2 ．四个顶点都在同一个圆上的四边形叫做 ______________
叫做_________________ 四边形的外接圆 ，圆内接四边形的对角________ 互补 ．
1．(3分)下列说法：①顶点在圆周上的角是圆周角；②圆周角的
连接 AD，∵∠AOD＝90° ，∴AD 是⊙C 的直径， ∠ADO ＝∠OBA ＝ 30° ，∴AD ＝ 2OA ＝ 4 ， OD ＝ AD2－OA2＝2 3，∴点 D(0，2 3)，过点 C 作 1 CH⊥OA 于点 H，可得 OH＝AH＝ OA＝1，易知 2 1 CH＝ OD＝ 3，∴点 C(1， 3) 2
16．(18分)如图，△ABC是⊙O的内接三角形，点C是优弧AB上一点(
点C不与A，B重合)，设∠OAB＝α，∠C＝β.
(1)当α＝35°时，求β的度数； (2)猜想α与β之间的关系，并给予证明．
(1)β＝55° (2)α与• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •
cm，∠ACB的平分线交⊙O于点D，求AD的长．
10 2 cm
︵ 上一点，D， 11．如图，在⊙O 中，∠AOB 的度数为 m，C 是ACB ︵ 上不同的两点(不与 A，B 两点重合)，则∠D＋∠E 的度数为 E 是AB ( B ) A． m m C．90° ＋2 m B．180° －2 m D. 2
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A．35°
B．40°
C．50°
D．80°
13．如图，AB为⊙O的直径，点P为其半圆上任意一点(不含A，B)，点 Q为另一半圆上一定点，若∠POA为x度，∠PQB为y度，则y与x间的函 数关系是____y_＝__9_0_－__12_x__．
14．(10分)如图，已知AE是⊙O的直径，AF⊥BC于点D，试说明：BE ＝CF.
10 2 cm
11．如图，在⊙O 中，∠AOB 的度数为 m，C 是A︵CB上一点，D， E 是A︵B上不同的两点(不与 A，B 两点重合)，则∠D＋∠E 的度数为
( B)
A．m C．90°＋m2
B．180°－m2 D.m2
12．如图，两圆相交于A，B两点，小圆经过大圆的圆心O点，点C，
D分别在两圆上，若∠ADB＝100°，则∠ACB的度数为( B )
度数是圆心角的一半；③90°的圆周角所对的弦是直径；④圆周
角相等，则它们所对的弧也相等．其中正确的有( A)
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
2．(3分)如图所示，AB是⊙O的直径，∠C＝30°，则∠ABD等
于( D )
A．30°
B．40°
C．50°
D．60°
3．(3 分)如图，D 是A︵C的中点，与∠ABD 相等的角的个数是( B ) A．4 个 B．3 个 C．2 个 D．1 个 4．(3 分)如图，在圆内接四边形 ABCD 中，∠B＝30°，则∠D＝ __1_5_0_°___．
连接 AD，∵∠AOD＝90°，∴AD 是⊙C 的直径， ∠ADO ＝ ∠OBA ＝ 30°， ∴AD ＝ 2OA ＝ 4 ， OD ＝
AD2－OA2＝2 3，∴点 D(0，2 3)，过点 C 作 CH⊥OA 于点 H，可得 OH＝AH＝12OA＝1，易知 CH＝12OD＝ 3，∴点 C(1， 3)
B．160°
C．100°
D．80°或100°
9．(4分)如图，有一圆形展厅，在其圆形边缘上的点A处安装了一台 监视器，它的监控角度为65°.为了监控整个展厅，最少需在圆形边 缘上共安装这样的监视器______3__台．
10．(10分)如图，在⊙O中，AB是直径，弦AC＝12 cm，弦BC＝16 cm，∠ACB的平分线交⊙O于点D，求AD的长．
28.3 圆心角和圆周角(三)
1．同弧所对的圆周角____相__等__． 2．四个顶点都在同一个圆上的四边形叫做__圆__内__接__四__边__形__，这个圆 叫做___四_边__形__的__外__接__圆___，圆内接四边形的对角___互__补___．
1．(3分)下列说法：①顶点在圆周上的角是圆周角；②圆周角的
16．(18分)如图，△ABC是⊙O的内接三角形，点C是优弧AB上一点 (点C不与A，B重合)，设∠OAB＝α，∠C＝β. (1)当α＝35°时，求β的度数； (2)猜想α与β之间的关系，并给予证明．
(1)β＝55° (2)α与β之间的关系是α＋β＝90°，证明略
证∠ABE＝90°得∠BAE 与∠E 互余，而∠CAD 与∠ACD 互余，且 ∠ACD＝∠E，得∠BAE＝∠CAD，∴B︵E＝C︵F，∴BE＝CF
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15．(14分)如图，⊙C通过坐标原点，并与两坐标轴分别相交于A，D 两点，已知∠OBA＝30°，点A的坐标(2，0)．求点D的坐标及圆心C，且与两坐标轴分别交于点 A，B，
点 A 的坐标为(0，3)，M 是第三象限内O︵B上一点，∠BMO＝120°，
则⊙C 的半径长为( C )
A．6
B．5
C．3
D．3 2
8．(4分)△ABC为⊙O的内接三角形，若∠AOC＝160°则∠ABC
的度数是( D )
A．80°
5．(3分)如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，E是BC延长线上 一点，若∠BAD＝105°，则∠DCE的大小是( B ) A．115° B．105° C．100° D．95°
6．(3分)如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，E是 BC延长线上一点，已知∠BOD＝100°，则∠DCE的大 小是( B ) A．40° B．50° C．60° D．80°