北师大版数学八年级上册 轴对称解答题易错题(Word版 含答案)

北师大版数学八年级上册 轴对称解答题易错题（Word 版 含答案）

一、八年级数学 轴对称解答题压轴题（难）

1．在梯形ABCD 中，//AD BC ，90B ∠=︒，45C ∠=︒，8AB =，14BC =，点E 、F

分别在边AB 、CD 上，//EF AD ，点P 与AD 在直线EF 的两侧，90EPF ∠=︒，

PE PF =，射线EP 、FP 与边BC 分别相交于点M 、N ，设AE x =，MN y =．

（1）求边AD 的长；

（2）如图，当点P 在梯形ABCD 内部时，求关于x 的函数解析式，并写出定义域； （3）如果MN 的长为2，求梯形AEFD 的面积． 【答案】（1）6；（2）y=－3x+10(1≤x ＜103)；（2）1769

或32 【解析】 【分析】

（1）如下图，利用等腰直角三角形DHC 可得到HC 的长度，从而得出HB 的长，进而得出AD 的长；

（2）如下图，利用等腰直角三角形的性质，可得PQ 、PR 的长，然后利用EB=PQ+PR 得去x 、y 的函数关系，最后根据图形特点得出取值范围；

（3）存在2种情况，一种是点P 在梯形内，一种是在梯形外，分别根y 的值求出x 的值，然后根据梯形面积求解即可． 【详解】

（1）如下图，过点D 作BC 的垂线，交BC 于点H

∵∠C=45°，DH ⊥BC ∴△DHC 是等腰直角三角形 ∵四边形ABCD 是梯形，∠B=90° ∴四边形ABHD 是矩形，∴DH=AB=8

∴HC=8 ∴BH=BC －HC=6 ∴AD=6

（2）如下图，过点P 作EF 的垂线，交EF 于点Q ，反向延长交BC 于点R ，DH 与EF 交于点G

∵EF ∥AD,∴EF ∥BC ∴∠EFP=∠C=45° ∵EP ⊥PF

∴△EPF 是等腰直角三角形

同理,还可得△NPM 和△DGF 也是等腰直角三角形 ∵AE=x

∴DG=x=GF,∴EF=AD+GF=6+x ∵PQ ⊥EF,∴PQ=QE=QF ∴PQ=

()1

62

x + 同理，PR=

12

y ∵AB=8，∴EB=8－x ∵EB=QR

∴8－x=()11622

x y ++ 化简得：y=－3x+10

∵y ＞0，∴x ＜

103

当点N 与点B 重合时，x 可取得最小值

则BC=NM+MC=NM+EF=－3x+10+614x +=，解得x=1 ∴1≤x ＜

103

（3）情况一：点P 在梯形ABCD 内，即（2）中的图形 ∵MN=2，即y=2，代入（2）中的关系式可得：x=

83

=AE

∴188176662339

ABCD S ⎛⎫=

⨯++⨯= ⎪⎝⎭梯形 情况二：点P 在梯形ABCD 外，图形如下：

与（2）相同，可得y=3x －10 则当y=2时，x=4，即AE=4 ∴()1

6644322

ABCD S =⨯++⨯=梯形 【点睛】

本题考查了等腰直角三角形、矩形的性质，难点在于第（2）问中确定x 的取值范围，需要一定的空间想象能力．

2．如图，在ABC △中，已知AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，且BE AC =，延长BE 交AC 于点F ，求证：AF EF =．

【答案】证明见解析 【解析】 【分析】

延长AD 到点G ，使得AD DG =，连接BG ，结合D 是BC 的中点，易证△ADC 和△GDB 全等，利用全等三角形性质以及等量代换，得到△AEF 中的两个角相等，再根据等角对等边证得AE=EF. 【详解】

如图，延长AD到点G，延长AD到点G，使得AD DG

=，连接BG ．

∵AD是BC边上的中线，

∴DC DB

=．

在ADC和GDB

△中，

AD DG

ADC GDB

DC DB

=

⎧

⎪

∠=∠

⎨

⎪=

⎩

（对顶角相等），

∴ADC≌GDB

△（SAS）．

∴CAD G

∠=∠，BG AC

=．

又BE AC

=，

∴BE BG

=．

∴BED G

∠=∠．

∵BED AEF

∠=∠

∴AEF CAD

∠=∠，即AEF FAE

∠=∠

∴AF EF

=．

【点睛】

本题考查的是全等三角形的判定与性质，根据题意构造全等三角形是解答本题的关键. 3．如图，在等腰直角ABC

△中，AB AC

=，90

BAC

∠=︒，点D是ABC

△内一点，连接AD，AE AD

⊥且AE AD

=，连接BD、CE交于点F.

（1）如图 1，求BFC

∠的度数；

（2）如图 2，连接ED交BC于点G，连接AG，若AG平分BAD

∠，求证：2

EAC EDF

∠=∠；

（3）如图 3，在（2）的条件下，BF交AG、AC分别于点M、N，DH AM

⊥，连接HN，若ADN

∆的面积与DHN的面积差为 6，6

DF=，求四边形AMFE的面积.

【答案】（1）∠BFC =90°；（2）见解析；（3）20AMFE S =四边形. 【解析】 【分析】

（1）根据SAS 证明ABD ACE ≌，所以ABD ACF ∠=∠，所以

90BFC BAC ∠=∠=︒.

（2）根据题意先求出180ABG ADG ∠+∠=︒，在AB 上截取AK AD =，连接KG ，由AKG ADG ≌，180BKG AKG ∠+∠=︒，可证得BKG KBG ∠=∠，GB GK DG ==，所以

DBG BDG EDF α∠=∠=∠=， 因为2CAE BAD α∠=∠=，所以2CAE EDF ∠=∠．

（3）根据题意和（2）中结论先证明AD AN AE ==，过 A 作BF 、CE 垂线，垂足分别为R 、T ， 连接AF ，证明ANR AET ≌，所以AR AT =，然后根据等腰三角形的性质可得出DM FN =，过点H 作HP FM ⊥，垂足为P ，所以HP PM DP ==，设DP x =，DR y =，

所以ADN DHN S S ∆∆-=

11

22

DN AR DN HP ⋅⋅-⋅ ()6y x y =+=，226DF x y =+=，求出x ，y ，不难得到AEF ANF ADM S S S ∆∆∆===4，然后可得20AMFE S =四边形. 【详解】

（1）因为ABC 是等腰直角三角形，所以AB AC =，90BAC DAE ∠=︒=∠， 所以

BAD CAE ∠=∠，因为AD AE =，所以ABD ACE ≌，所以ABD ACF ∠=∠，所以

90BFC BAC ∠=∠=︒.

（2）因为AD AE =，90DAE ∠=︒，所以45AED ACG ∠=︒=∠，所以

CAE CGE ∠=∠，

由（1）知：BAD CAE ∠=∠，所以BAD CGD ∠=∠，

设2BAD CGD α∠==∠， 所以1802BGD α∠=︒-，所以180BAD BGD ∠+∠=︒， 所以180ABG ADG ∠+∠=︒， 因为AG 平分BAD ∠，所以BAG DAG α∠=∠=，