函数导数与数列结合题

合集下载

导数中的数列问题

高考数学押题系列——数列与导数最值的完美结合
领军教育高三数学朱腾飞老师
导数解题题目，有一种题型是和数列相结合进行考查的，这类题目在求解时，往往要利用导数研究函数的最值，在根据自变量与通项公式之间的关系进行转化，这类题目的难点在于如何寻找函数中的自变量和数列通项公式的关系，这个考点在近些年的考题中略有体现，所以今天我们（微信公众号：高中数学题型研究）针对这个考点进行了整理，将我们相关的题目进行分析和整理，对考点和难点进行归纳，方便大家参考学习！
【题目一】（2017年新课标卷3理科21题）已知函数()1f x x alnx =−−．
（1）若()0f x ，求a 的值；
（2）设m 为整数，且对于任意正整数n ，2111(1)(1)(1)222
n m ++⋯+<，求m 的最小值．
【题目二】（2021年宝鸡市高考数学三模文科21题）已知函数2()2ln 1f x x x =−+.
（1）求函数()f x 的最大值；
（2）证明：*222572132ln(1),(23n n n N n
+++++>+∈）.
【题目三】（2021年宝鸡市高考数学三模理科20题）已知函数1()2ln .f x x x x
=−
− 求证：
（1）函数()f x 有且仅有一个零点；（2）
*35212ln(1),().1223(1)
n n n N n n ++++>+∈⋅⋅+ 【题目四】（2021年安徽宣城市高考数学模拟最后一卷文科21题）
已知函数f （x ）＝ae x ﹣x ﹣1．
（1）若f （x ）≥0对于任意的x 恒成立，求a 的取值范围；
（2）证明：1111ln(1)23n n
++++≥+对任意的*n N ∈恒成立．。

导数与数列结合题目

导数与数列结合题目一、背景介绍数列是数学中一个重要的概念，它由一系列按特定规则排列的数构成。

数列的性质和规律对于数学的发展和应用有着重要的影响。

而导数是微积分中的一个重要概念，它描述了函数在某一点的变化率。

导数的计算和性质对于函数的研究和应用有着重要的意义。

在数学学习中，我们常常会遇到一些题目涉及到导数和数列的结合。

这些题目既考察了对导数和数列的理解，也考察了学生的解题能力和思维灵活性。

本文将介绍一些常见的导数与数列结合题目，并通过具体的例子进行说明和解答。

二、题目示例题目1：数列的导数已知数列 {an} 满足 an = 2n + 1，求数列的导数{a’n}。

解答：首先，我们需要知道数列的导数的定义。

对于数列 {an}，其导数{a’n} 的定义为：a’n = limh→0 (an+h - an) / h代入题目给定的数列 {an} = 2n + 1，得到：a’n = limh→0 ((2(n+h)+1) - (2n+1)) / h化简上式得：a’n = limh→0 (2h) / h由此可知，数列的导数{a’n} = 2。

题目2：数列的极限与导数已知数列 {an} 满足 a1 = 2，an+1 = an + 3 / an，求数列的极限。

解答：首先，我们先对数列 {an} 进行求导。

令 f(x) = x + 3 / x，根据导数的定义，有：f’(x) = limh→0 (f(x+h) - f(x)) / h代入 f(x) = x + 3 / x，得到：f’(x) = limh→0 ((x+h + 3 / (x+h)) - (x + 3 / x)) / h化简上式得：f’(x) = limh→0 (3h / (x(x+h))) / h通过化简，得到f’(x) = 3 / x^2。

接下来，我们考察数列 {an} 的极限。

根据题目中给定的递推关系式，我们可以得到数列 {an} 的通项公式：an = an-1 + 3 / an-1化简上式得：an^2 = an-1^2 + 3进一步推导，可得：an^2 - an-1^2 = 3再次化简，可得：(an + an-1) * (an - an-1) = 3由此可知，数列 {an} 是一个有界数列，其极限存在。

导数和数列综合问题解决技巧之构造函数法之欧阳组创编

导数和数列综合问题解决技巧之构造函数法1．设函数()f x 在R 上的导函数为()f x '，且22()()f x xf x x '+>，下面的不等式在R 上恒成立的是 A ．)(>x f B ．)(<x f C ．x x f >)(D ．x x f <)( 【答案】A【解析】由已知，首先令0=x 得0)(>x f ，排除B ，D ．令2()()g x x f x =，则[]()2()()g x x f x xf x ''=+，① 当0x >时，有2()2()()()0g x f x xf x x g x x'''+=>⇒>，所以函数()g x 单调递增，所以当0x >时， ()(0)0g x g >=，从而0)(>x f ．②当0x <时，有2()2()()()0g x f x xf x x g x x '''+=>⇒<，所以函数()g x 单调递减，所以当0x <时， ()(0)0g x g >=，从而0)(>x f ．综上0)(>x f ．故选A ．【考点定位】本试题考察了导数来解决函数单调性的运用．通过分析解析式的特点，考查了分析问题和解决问题的能力．2．已知函数21()(1)ln 2f x x ax a x =-+-，1a >．（Ⅰ）讨论函数()f x 的单调性；（Ⅱ）证明：若5a <，则对任意12,(0,)x x ∈+∞，12x x ≠，有1212()()1f x f x x x ->--．解：（Ⅰ）()f x 的定义域为(0,)+∞．211(1)(1)()a x ax a x x a f x x a x x x--+--+-'=-+== …………………2分（i ）若11a -=即2a =，则2(1)()x f x x-'=，故()f x 在(0,)+∞单调增加．（ii ）若11a -<，而1a >，故12a <<，则当(1,1)x a ∈-时，'()0f x <；当(0,1)x a ∈-及(1,)x ∈+∞时，'()0f x >．故()f x 在(1,1)a -单调减少，在(0,1),(1,)a -+∞单调增加．（iii ）若11a ->，即2a >，同理可得()f x 在(1,1)a -单调减少，在(0,1),(1,)a -+∞单调增加．（II ）考虑函数()()g x f x x =+21(1)ln 2x ax a x x =-+-+．则21()(1)(1)11)a g x x a a x -'=--+≥-=-．由于15,a <<故()0g x '>，即()g x 在(0,)+∞单调增加，从而当120x x >>时有 12()()0g x g x ->，即1212()()0f x f x x x -+->，故1212()()1f x f x x x ->--，当120x x <<时，有12211221()()()()1f x f x f x f x x x x x --=>---． ………………………………12分3．已知曲线22:20(1,2,)n C x nx y n -+==．从点(1,0)P -向曲线n C 引斜率为(0)n n k k >的切线n l ，切点为(,)n n n P x y ．（1）求数列{}{}n n x y 与的通项公式；（2）证明：13521nn nxx x x x y -⋅⋅⋅<<．【解析】曲线222:()n C x n y n -+=是圆心为(,0)n ，半径为n 的圆，切线:(1)n n l y k x =+ （Ⅰ）依题意有n =，解得2221n n k n =+，又2220n n n x nx y -+=， (1)n n n y k x =+ 联立可解得,1n n nx y n ==+，=n n x y = 先证：13521n x x x x -⋅⋅⋅⋅<证法一：利用数学归纳法当1n =时，112x =<假设n k =时，命题成立，即13521k x x x x -⋅⋅⋅⋅<则当1n k =+时，135212121k k k x x x x x x -++⋅⋅⋅⋅<=∵222241616/[12(2)483k k k k k++=>+++， <=．∴当1n k =+时，命题成立故13521n x x x x -⋅⋅⋅⋅<证法二：==，121214)12(4)12(2122222+-=--<-=-n n n n n n n n ，<不妨设(0,3t =，令()f t t t =，则()10f t t '=<在t ∈上恒成立，故()f t t t =在(0,3t ∈上单调递减，从而()(0)0f t t t f =<=<综上，13521nn nx x x x x y -⋅⋅⋅⋅<成立．4．【09全国Ⅱ·理】22．（本小题满分12分）设函数()()21f x x aln x =++有两个极值点12x x ，，且12x x <．（I ）求a 的取值范围，并讨论()f x 的单调性；（II ）证明：()21224ln f x ->．【解】（I ）由题设知，函数()f x 的定义域是1,x >-且()0f x '=有两个不同的根12x x 、，故2220x x a ++=的判别式480a ∆=->，即 1,2a <且12x x == …………………………………①又11,x >-故0a >．因此a 的取值范围是1(0,)2．当x 变化时，()f x 与()f x '的变化情况如下表：因此()f x 在区间1(1,)x -和2(,)x +∞是增函数，在区间12(,)x x 是减函数．（II ）由题设和①知于是 ()()2222222(1)1f x x x x ln x =-++．设函数 ()()22(1)1,g t t t t ln t =-++ 则()()2(12)1g t t t ln t '=-++当12t =-时，()0g t '=；当1(,0)2t ∈-时，()0,g t '>故()g t 在区间1[,0)2-是增函数．于是，当1(,0)2t ∈-时，()1122().24ln g t g ->-=因此 ()22122()4ln f x g x -=>． www ．ks5u ．com5．【2008年山东理】 21．（本题满分12分）已知函数1()ln(1),1)nf x a x x =+--（其中*,n N ∈a 为常数．（I ）当2n =时，求函数()f x 的极值；（II ）当1a =时，证明：对任意的正整数n ，当2x ≥时，有() 1.f x x ≤- 【标准答案】（Ⅰ）解：由已知得函数()f x 的定义域为{}|1x x >，当2n =时，21()ln(1)(1)f x a x x =+--，所以232(1)()(1)a x f x x --'=-．（1）当0a >时，由()0f x '=得111x =>，211x =<，此时123()()()(1)a x x x x f x x ---'=-．当1(1)x x ∈，时，()0f x '<，()f x 单调递减；当1()x x ∈+∞，时，()0f x '>，()f x 单调递增．（2）当0a ≤时，()0f x '<恒成立，所以()f x 无极值．综上所述，2n =时，当0a >时，()f x 在1x =+211ln 2a f a ⎛⎛⎫+=+ ⎪ ⎝⎭⎝．当0a ≤时，()f x 无极值．（Ⅱ）证法一：因为1a =，所以1()ln(1)(1)nf x x x =+--．当n 为偶数时，令1()1ln(1)(1)ng x x x x =-----，则1112()10(1)11(1)n n n x ng x x x x x ++-'=+-=+>----（2x ≥）．所以当[)2x ∈+∞，时，()g x 单调递增，又(2)0g =，因此 1()1ln(1)(2)0(1)ng x x x g x =----=-≥恒成立，所以 ()1f x x -≤成立．当n 为奇数时，要证()1f x x -≤，由于10(1)nx <-，所以只需证ln(1)1x x --≤，令 ()1ln(1)h x x x =---，则 12()1011x h x x x -'=-=--≥（2x ≥），所以当[)2x ∈+∞，时，()1ln(1)h x x x =---单调递增，又(2)10h =>，所以当2x ≥时，恒有()0h x >，即ln(1)1x x -<-命题成立．综上所述，结论成立．证法二：当1a =时，1()ln(1)(1)nf x x x =+--．当2x ≥时，对任意的正整数n ，恒有11(1)nx -≤，故只需证明1ln(1)1x x +--≤．令 ()1(1ln(1))2ln(1)h x x x x x =--+-=---，[)2x ∈+∞，，则 12()111x h x x x -'=-=--，当2x ≥时，()0h x '≥，故()h x 在[)2+∞，上单调递增，因此当2x ≥时，()(2)0h x h =≥，即1ln(1)1x x +--≤成立．故当2x ≥时，有1ln(1)1(1)nx x x +---≤．即()1f x x -≤．【试题分析】第一问对a 讨论时要注意一些显而易见的结果，当0a ≤时/()0f x <恒成立，()f x 无极值．第二问需要对构造的新函数()h x 进行“常规处理”，即先证单调性，然后求最值，最后作出判断．【高考考点】导数及其应用、构造函数证明不等式【易错提醒】没有注意该函数定义域对问题的影响，分类讨论无目标，判断/123()()()1)a x x x x f x x ---=-（的正负漏掉符号．【学科网备考提示】函数类问题的解题方法要内悟、归纳、整理，使之成为一个系统，在具体运用时自如流畅，既要具有一定的思维定向，也要谨防盲目套用．此类问题对转化能力要求很高，不能有效转化是解题难以突破的主要原因，要善于构造函数证明不等式，从而体现导数的工具性． 6．【2007年山东理】（22）（本小题满分14分）设函数2()ln(1)f x x b x =++，其中0b ≠．（I ）当12b >时，判断函数()f x 在定义域上的单调性；（II ）求函数()f x 的极值点；（III ）证明对任意的正整数n ，不等式23111ln(1)nn n+>-都成立．【解】（Ⅰ）由题意知，()f x 的定义域为(1)-+∞，，222()211b x x bf x x x x ++'=+=++设2()22g x x x b =++，其图象的对称轴为1(1)2x =-∈-+∞，，当12b >时，max 1()02g x b =-+>，即2()220g x x x b =++>在(1)-+∞，上恒成立，∴当(1)x ∈-+∞，时，()0f x '>， ∴当12b >时，函数()f x 在定义域(1)-+∞，上单调递增（Ⅱ）①由（Ⅰ）得：当12b >时，函数()f x 无极值点②12b =时，2122()01x f x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭'==+有两个相同的解12x =-，112x ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭，时，()0f x '>， 12x ⎛⎫∈-+∞ ⎪⎝⎭，时，()0f x '>，12b ∴=时，函数()f x 在(1)-+∞，上无极值点 ③当12b <时，()0f x '=有两个不同解，112x -=，2x =0b <时，11x =<-，20x =>，即1(1)x ∉-+∞，，[21x ∈-+∞，0b ∴<时，()f x '，()f x 随x 的变化情况如下表：由此表可知：0b <时，()f x 有惟一极小值点2x =，当102b <<时，1112x -=>-，12(1)x x ∴∈-+∞，，此时，()f x '，()f x 随x 的变化情况如下表：由此表可知：102b <<时，()f x 有一个极大值112x -=和一个极小值点212x -=；综上所述：0b <时，()f x 有惟一最小值点212x -=；102b <<时，()f x 有一个极大值点x =x =12b ≥时，()f x 无极值点（Ⅲ）当1b =-时，函数2()ln(1)f x x x =-+，令函数332()()ln(1)h x x f x x x x =-=-++，则32213(1)()3211x x h x x x x x +-'=-+=++．∴当[)0x ∈+∞，时，()0h x '>，所以函数()h x 在[)0+∞，上单调递增，又(0)h =(0)x ∴∈+∞，时，恒有()(0)0h x h >=，即32ln(1)x x x >-+恒成立故当(0)x ∈+∞，时，有23ln(1)x x x +>-．对任意正整数n 取1(0)x n=∈+∞，，则有23111ln 1nn n⎛⎫+> ⎪⎝⎭所以结论成立．7．【2008年湖南理】 21．（本小题满分13分）已知函数22()ln (1)1x f x x x=+-+．（I ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）若不等式1(1)n a e n++≤对任意的N*n ∈都成立（其中e 是自然对数的底数）．求a 的最大值．解：（Ⅰ）函数()f x 的定义域是(1,)-+∞，设2()2(1)ln(1)2g x x x x x =++--，则()2ln(1)2.g x x x '=+- 令()2ln(1)2,h x x x =+-则22()2.11x h x x x-'=-=++ 当10x -<<时， ()0,h x '>()h x 在(1,0)-上为增函数，当x ＞0时，()0,h x '<()h x 在(0,)+∞上为减函数．所以()h x 在0x =处取得极大值，而()0h x =，所以()0(0)g x x '<≠，函数()g x 在(1,)-+∞上为减函数．于是当10x -<<时，()(0)0,g x g >= 当0x >时，()(0)0.g x g <= 所以，当10x -<<时，()0,f x '>()f x 在(1,0)-上为增函数．当0x >时，()0,f x '<()f x 在(0,)+∞上为减函数．故函数()f x 的单调递增区间为(1,0)-，单调递减区间为(0,)+∞．（Ⅱ）不等式1(1)n a e n++≤等价于不等式1()ln(1) 1.n a n++≤由111n+>知，设(]11(),0,1,ln(1)G x x x x=-∈+则由（Ⅰ）知，22ln (1)0,1x x x+-≤+即22(1)ln (1)0.x x x ++-≤ 所以()0,G x '<(]0,1,x ∈于是()G x 在(]0,1上为减函数．故函数()G x 在(]0,1上的最小值为1(1) 1.ln 2G =- 所以a 的最大值为11.ln 2- 1．2009潍坊文科（22）（本小题满分14分）设函数2()2(1)ln (),()k f x x x k N f x *'=--∈表示()f x 的导函数．（I ）求函数()y f x =的单调递增区间；（Ⅱ）当k 为偶数时，数列{n a }满足2111,()3n n n a a f a a +'==-，求数列{2n a }的通项公式；（Ⅲ）当k 为奇数时，设()12n b f n n '=-，数列{}n b 的前n 项和为n S ，证明不等式()111n bn b e ++>对一切正整数n 均成立，并比较20091S -与2009ln 的大小．解：（Ⅰ）函数的定义域为（0，+∞），又212[(1)]()22(1)k kx y f x x x x--''==--= ， (1)分1当k 为奇数时，22(1)()x f x x+'=，即()f x '的单调递增区间为(0,)+∞． …………2分2当k 为偶函数时，22(1)2(1)(1)()x x x f x x x-+-'==由()0f x '>，得10,1x x -> ∴>，即()f x 的单调递增区间为(1,)+∞，综上所述：当k 为奇数时，()f x 的单调递增区间为(0,)+∞，当k 为偶数时，()f x 的单调递增区间为(1,).+∞ …………4分（Ⅱ）当k 为偶数时，由（Ⅰ）知22(1)()x f x x-'=所以22(1)().n n na f a a -'=根据题设条件有2222221112(1)3,21,12(1),n n n n n n a a a a a a +++-=- ∴=+ +=+ ∴{21n a +}是以2为公比的等比数列， ∴221211(1)22,2 1.n n n n n a a a -+=+⋅= ∴=- (8)分（Ⅲ）由（Ⅰ）知，当k 为奇数时，12(),f x x'=+由已知要证111,n e n +⎛⎫+> ⎪⎝⎭两边取对数，即证11ln 1,1n n ⎛⎫+> ⎪+⎝⎭…………………10分事实上：设11,t n+=则1(1),1n t t =>- 因此得不等式1ln 1(1)t t t>->…………………………………………① 构造函数1()ln 1(1),g t t t t=+->下面证明()g t 在(1,)+∞上恒大于0．∴()g t 在(1,)+∞上单调递增，()(1)0,g t g >=即1ln 1,t t>-∴11ln 1,1n n ⎛⎫+> ⎪+⎝⎭∴111,n e n +⎛⎫+> ⎪⎝⎭即()111n b n b e ++>成立． (12)分由11ln ,1n n n +>+得111231ln ln ln ln(1),23112n n n n+++⋅⋅⋅+<++⋅⋅⋅+=++即11ln(1),n S n +-<+当2008n =时，20091S -<2009.ln ……………………………………………14分 2．山东省日照市2009届高三模拟考试数学理科试题（22）（本小题满分14分）已知0a >，函数1()ln x f x x ax-=+．（Ⅰ）试问在定义域上能否是单调函数？请说明理由；（Ⅱ）若()f x 在区间 [)1,+∞上是单调递增函数，试求实数a 的取值范围；（Ⅲ）当 1a =时，设数列 1n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n S ，求证：解：（Ⅰ）()f x 的定义域为()0,+∞，21()ax f x ax -'=，由()0f x '=得1x a=． ……2分当1(,)x a a∈时，()0f x '<，()f x 递减；当1(,)x a∈+∞时，()0f x '>，()f x 递增．所以()y f x =不是定义域上的单调函数． ……………………………4分（Ⅱ）若()f x 在x ∈[1,)+∞是单调递增函数，则()0f x '≥恒成立，即1a x≥恒成立．…………………………．…6分即1max,[1,)a x x ⎧⎫≥∈+∞⎨⎬⎩⎭11x∴≤1a ∴≥． ……………8分（Ⅲ）当1a =时，由（Ⅱ）知，1()ln x f x x x-=+在[1,)+∞上为增函数，又当1x >时，()(1)f x f >， 1ln 0x x x-∴+>，即1ln 1x x>-．令()1ln ,g x x x =--则1()1g x x'=-，当(1,)x ∈+∞时，()0.g x '>从而函数()g x 在[1,)+∞上是递增函数，所以有()(1)0,g x g >=即得1ln .x x ->综上有：11ln 1,(1).x x x x-<<-> ………………………………10分111ln .1x x x x+∴<<+ ………………………………………12分令1,2,...,1,(2)x n n N n *=-∈≥且时，不等式111ln .1x x x x+∴<<+也成立，于是代入，将所得各不等式相加，得即11111...ln 1. (2)321n nn +++<<+++- 即111()(2).n n nS f n S n N n n*---<-<∈≥且 ……………………14分3．山东省枣庄市2009届高三年级调研考试数学理21．（本小题满分12分）已知函数为常数其中且a a a x x g x x x f a ),1,0(log )(,221)(2≠>=-=，如果)()()(x g x f x h +=在其定义域上是增函数，且()h x '存在零点（()()h x h x '为的导函数）．（I ）求a 的值；（II ）设(,()),(,())()A m g m B n g n m n <是函数()y g x =的图象上两点，0()()()g n g m g x n m-'=-0(()()),:.g x g x m x n '<<为的导函数证明解：（I ）因为).0(log 221)(2>+-=x x x x x h a所以.ln 12)(ax x x h +-='因为),0()(+∞在x h 上是增函数．所以),0(0ln 12+∞≥+-在ax x 上恒成立 ……………………………1分当.ln 120ln 12,02ax x a x x x -≥-⇔≥+->时而),0(1)1(222+∞--=-在x x x 上的最小值是-1．于是.ln 11,ln 11aa ≤-≥-即（※）可见)1ln 1.0ln 1,10(1矛盾这与则若≥<<<>aa a a从而由（※）式即得.1ln ≤a① ………………．．………………………… 4分同时，)0(ln 1ln 2ln ln 12)(2>+-=+-='x ax a x a x a x x x h 由2()()(2ln )4ln 0,h x a a '∆=--≥存在正零点知解得1ln ≥a ②，或).,0ln ,1(0ln 这是不可能的因为>>≤a a a 由①②得 .1ln =a此时，e a x x h =='故存在正零点,1)(即为所求 ……………………………6分注：没有提到（验证）1ln =a 时，,1)(='x x h 存在正零点不扣分．（II ）由（I ），,1)(,ln )(00x x g x x g ='= 于是.ln ln ,)()(100mn m n x m n m g n g x --=--= ……………………………7分以下证明.ln ln n mm n m-<-（☆）（☆）等价于.0ln ln <+--m n m m n m ……………………………8分构造函数),0(ln ln )(n x x n x x n x x r ≤<+--= 则),0(,ln ln )(n x x n x r ∈-='当时，],0()(,0)(n x r x r 在所以>'上为增函数．因此当,0)()(,=<<n r m r n m 时即.0ln ln <+--m n m m n m 从而m x >0得到证明． ……………………………11分同理可证.,.ln ln 0n x m mn mn n <<-->综上 ……………………………12分注：没有“综上”等字眼的结论，扣1分．4．烟台市三月诊断性检测数学理22．（本小题满分14分）设函数2(),()2ln h x x x e x ϕ==（e 为自然对数的底数）．（1）求()()()F x h x x ϕ=-的极值；（2）若存在实常数k 和b ，使得函数()f x 和()g x 对其定义域上的任意实数x 分别满足()f x kx b ≥+和()g x kx b ≤+，则称直线:l y kx b =+为()f x 和()g x 的“隔离直线”．试问函数()h x 和()x ϕ是否存在“隔离直线”?若存在．求出此“隔离直线”方程；若不存在，请说明理由．解：（1）∵2()()()2ln (0)F x h x x x e x x ϕ=-=->∴22()()'()2.e x e x e F x x x-+=-=∴当x e =时，'()0F x =． ∵当0x e<<时'()0F x <此时()F x 递减；……………………………………3’当x e >时，'()0F x >，此时()F x 递增． ∴当x e=时，()F x 取极小值，其极小值为0．…………………………………6’（2）由（1）可知，当0x >时，()()h x x ϕ≥（当且仅当x e=时取等号）．若存在()h x 和()g x 的“隔离直线”，则存在实常数k 和b ，使得()h x kx b ≥+和()(0)x kx b x ϕ≤+>恒成立． ∵()h x 和()g x 的图象在x e =()h x 和()g x 的“隔离直线”，则该直线过这个公共点(,)e e ． …………………………………………………8’设“隔离直线”方程为()y e k x e -=，即.y kx e e =+-由()(),h x kx e e x R ≥+-∈可得20x kx e e --+当x R ∈时恒成立．∵2(2)k e ∆=-∴由∆≤，得2k e =……………………………………………………………10’下面证明()2x ex e ϕ≤-当0x >时恒成立．令()()22ln 2,G x x ex e e x ex e ϕ=-+=-+则当x e ='()0G x =；当0x e <<'()0G x >，此时()G x 递增；当x e >'()0G x <此时()G x 递减．∴当x e =()G x 取极大值．其极大值为0．从而()2ln 20,G x e x ex e =-+≤即()2(0)x ex e x ϕ≤->恒成立．………………………………………………13’∴函数()h x 和()x ϕ存在唯一的“隔离直线”2.y ex e =-………………………14’5．2009届山东省德州市高三第一次练兵（理数）21．（本小题满分12分）已知函数x a x x f ln )(2-=在]2,1(是增函数,x a x x g -=)(在（0,1）为减函数．（1）求)(x f 、)(x g 的表达式；（2）求证：当0>x 时,方程2)()(+=x g x f 有唯一解；（3）当1->b 时,若212)(x bx x f -≥在x ∈]1,0(内恒成立,求b 的取值范围．解：（1）,2)(xa x x f -='依题意]2,1(,0)(∈>'x x f ,即22x a <,]2,1(∈x ．∵上式恒成立,∴2≤a ①…………………………1分又xa x g 21)(-=',依题意)1,0(,0)(∈<'x x g ,即x a 2>,)1,0(∈x ．∵上式恒成立,∴.2≥a ②…………………………2分由①②得2=a ．…………………………3分 ∴.2)(,ln 2)(2x x x g x x x f -=-= …………………………4分（2）由（1）可知,方程2)()(+=x g x f ,.022ln 22=-+--x x x x 即设22ln 2)(2-+--=x x x x x h ,,1122)(xxx x h +--='则令0)(>'x h ,并由,0>x 得,0)222)(1(>+++-x x x x x 解知.1>x (5)分令,0)(<'x h 由.10,0<<>x x 解得 …………………………6分列表分析：x（0,1）1 （1,+）)(x h ' - 0 + )(x h递减递增可知)(x h 在1=x 处有一个最小值0, …………………………7分当10≠>x x 且时,)(x h ＞0,∴0)(=x h 在（0,+）上只有一个解．即当x ＞0时,方程2)()(+=x g x f 有唯一解．…………………………8分（3）设2'23122()2ln 2()220x x x bx x x b x x x ϕϕ=--+=---<则, …………9分()x ϕ∴在(0,1]为减函数min ()(1)1210x b ϕϕ∴==-+≥ 又1b >-………11分所以：11≤<-b 为所求范围． (12)分6．山东省实验中学2009届高三第三次诊断考试（数学理）22．已知函数1()ln x f x x ax-=+ （注：ln 20.693≈）（1）若函数()f x 在[1,)+∞上为增函数，求正实数a 的取值范围；（2）当1a =时，若直线y b =与函数()y f x =的图象在1[,2]2上有两个不同交点，求实数b 的取值范围：（3）求证：对大于1的任意正整数1111,ln 234n n n >++++…解：（1）因为 1()ln x f x ax -=+ 所以21'()(0)ax f x a ax-=> 依题意可得，对21[1,).'()0ax x f x ax -∀∈+∞=≥恒成立，所以对[1,).10x ax ∀∈+∞-≥恒成立，所以对1[1,),x a x∀∈+∞≥恒成立，max 1()a x≥，即1a ≥（2）当1a =时，21'(),x f x x-=若1[,1]2x ∈，'()0f x ≤，()f x 单调递减；若[1,2].'()0,()x f x f x ∈≥单调递增；故()f x 在1x =处取得极小值，即最小值(1)0f = 又11()1ln 2,(2)ln 2,22f f =-=-所以要使直线y b =与函数()y f x =的图象在1[,2]2上有两个不同交点，实数b 的取值范围应为((1),(2)]f f ，即10,ln 2]2-；（3）当1a =时，由(1)可知，1()ln x f x x x-=+在[1,)+∞上为增函数，当1n >时，令1nx n =-，则1x >，故()(1)0f x f >=，即111()ln ln 01111n n n n n f n n n n n n --=+=-+->----所以1ln1n n n>-．故 2131411ln ,ln ,ln ,ln122334-1n n n>>>>…,相加可得2341111ln ln ln ln 123-1234n n n+++>+++⋯+…+又因为234234ln ln ln ln ln()ln 12311231n n n n n ++++=⋅⋅=--……所以对大于1的任意正整书1111,ln 234n n n>++++…（二）2009年4月后7．山东省滨州市2009年5月高考模拟试题（理数）20．（本题满分12）已知函数2()ln .f x ax x =+（Ⅰ）求()f x 的单调区间；（Ⅱ）当0a =时，设斜率为k 的直线与函数()y f x =相交于两点1122(,)(,)A x y B x y 、21()x x >，求证：121x x k<<．解：（Ⅰ）略（Ⅱ）当0a =时，()ln .f x x = 以下先证11x k>，21212121ln ln 0,y y x x k x x x x --==>--所以只需证21211ln ln 1x x x x x -<-，即设()ln 1(1)t t t t ϕ=-+ >，则1()10(1)t t tϕ'=-< >．所以在(1,)t ∈+∞时，()t ϕ为减函数， ()(1)0(1)t t ϕϕ<= >．即ln 1(1)t t t <- >．又211x x >，∴2211ln 1x x x x <-成立，即11x k>．同理可证21x k<．∴121x x k<<．8．山东省济宁市2009年高三第二次摸底考试-理科数学22．（本题满分14分）设函数()(1),()x f x e x g x e =-=．（e 是自然对数的底数）（Ⅰ）判断函数()()()H x f x g x =-零点的个数，并说明理由；（Ⅱ）设数列{}n a 满足：1(0,1)a ∈，且1()(),,n n f a g a n N *+=∈ ①求证：01n a <<；②比较n a 与1(1)n e a +-的大小．解：（Ⅰ）()(1)x H x e e '=-- 令0()0,ln(1)H x x e '= =-当0(,)x x -∞时，()0,H x '> ()H x 在0(,)x x -∞上是增函数当0(,)x x +∞时，()0,H x '< ()H x 在0(,)x x +∞上是减函数 (2)从而0max 0()(0)(1)1(1)ln(1)2xH x H e x e e e e ==-+-=---+ (4)注意到函数()ln 1k t t t t =-+在[)1,+∞上是增函数，从而()(1)0,11k t k e ≥=->又从而0()0H x > 综上可知：()H x 有两个零点． …………………………………………………．6分（Ⅱ）因为1()(),n n f a g a +=即1(1)1na n e a e +-+=所以11(1)1n a n a e e +=--…………………………………………………．7分 ①下面用数学归纳法证明(0,1)n a ∈．当1n =时，1(0,1)a ∈，不等式成立．假设n k =时，(0,1)k a ∈ 那么11(1)1k a k a e e +=-- 10(1)11k a e e ∴<-<- 即1(0,1)k a +∈ 这表明1n k =+时，不等式成立．所以对n N *∈，(0,1)n a ∈ (10)②因为1(1)1nan n n e a a e a +--=--考虑函数()1(01)x p x e x x =-- << (12)从而()p x 在(0,1)上是增函数 ()(0)0p x p >=所以1(1)0n n e a a +-->即1(1)n n e a a +->…………………………………………………………14分 9．山东省安丘、五莲、诸城、兰山四地2009届高三5月联考22．（本题满分14分）已知函数1()ln sin g x x xθ=+⋅在[)1,+∞上为增函数，且(0,)θπ∈，1()ln m f x mx x x-=--，m R ∈．（1）求θ的取值范围；（2）若()()f x g x -在[)1,∞上为单调函数，求m 的取值范围；（3）设2()e h x x=，若在[]1,e 上至少存在一个0x ，使得000()()()f x g x h x ->成立，求m 的取值范围．解：（1）由题意，211()0sin g x xxθ'=-+≥⋅在[)1,+∞上恒成立，即2sin 10sin x x θθ⋅-≥⋅(0,),sin 0θπθ∈ ∴>．故sin 10x θ⋅-≥在[)1,+∞上恒成立， (2)分只须sin 110θ⋅-≥，即sin 1θ≥，只有sin 1θ=．结合(0,),θπ∈得2πθ=．…4分（2）由（1），得()()2ln .m f x g x mx x x -=--()222()().mx x m f x g x x -+'∴-=()()f x g x -在[)1,∞上为单调函数， 220mx x m ∴-+≥或者220mx x m ∴-+≤在[)1,∞恒成立． ……………．． 6分220mx x m -+≥等价于2(1)2,m x x +≥即22,1xm x≥+ 而2222,max 11111x m x x x x x ⎧⎫⎪⎪== ∴≥⎨⎬+⎪⎪++⎩⎭． …………………………………8分 220mx x m ∴-+≤等价于2(1)2,m x x +≤即221xm x ≤+在[)1,∞恒成立，而(]220,1,01x m x∈≤+．综上，m的取值范围是(][),01,-∞+∞． ………………………………………10分（3）构造函数2()()()(),()2ln .m e F x f x g x h x F x mx x x x=--=--- 当0m ≤时，[]1,,0m x e mx x∈-≤，22ln 0e x x--<，所以在[]1,e 上不存在一个0x ，使得000()()()f x g x h x ->成立．当0m >时，22222222().m e mx x m eF x m x x x x -++'=+-+=…………12分因为[]1,,x e ∈所以220e x -≥，20mx m +>，所以()0F x '>在[]1,e 恒成立．故()F x 在[]1,e 上单调递增，max 4()4F x me e=--，只要440me e-->，解得24.1em e >- 故m的取值范围是24,.1e e ⎛⎫+∞ ⎪-⎝⎭……………………………………………14分 10．山东省烟台市2009届高考适应性练习（二）理综试题 22．（本小题满分14分）数列{}n a 的各项均为正数，n S 为其前n 项和，对于任意n N *∈，总有2,,n n n a S a 成等差数列．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设数列{}n b 的前n 项和为n T ，且2ln n n nxb a =，求证：对任意实数(1,](x e e ∈是常数，e =2．71828…）和任意正整数n ，总有2n T <；（3）在正数数列{}n c 中，11(),()n n n a c n N +*+=∈．求数列{}n c 中的最大项．解：由已知：对于n N *∈，总有22n n n S a a =+成立 (1)21112(2)n n n S a a n ---∴=+≥…（2） ……………………………………1分（1）—（2）得22112n n n n n a a a a a --∴=+--1,n n a a -均为正数， 11(2)n n a a n -∴-=≥∴数列{}n a 是公差为1的等差数列 ………………………………………3分又1n =时，21112S a a =+，解得11a =()n a n n N *∴=∈……………………………………………………………5分（2）证明：对任意实数(]1,x e ∈和任意正整数n ，总有22ln 1n n n x b a n=≤……6分1111111(1)()...222231n n n ⎛⎫=+-+-++-=-< ⎪-⎝⎭……………9分（3）解：由已知22112a c c ==⇒=33223a c c ==⇒=44334a c c ==⇒==易得12234,......c c c c c <>>> 猜想2n ≥时，{}n c 是递减数列 ……………………………………………11分令ln ()x f x x=，则221ln 1ln ()x xx x f x x x⋅--'== ∴当3x ≥时，ln 1x >，则1ln 0x -<，即()0f x '< ∴()f x 在[)3,+∞内为单调递减函数，由11n n n a c ++=知ln(1)ln 1n n c n +=+2n ∴≥时，{}ln n c 是递减数列，即{}n c 是递减数列又12c c <，∴数列{}n c 中的最大项为2c =分三、2010年模拟试题1．山东临沂罗庄补习学校数学资料已知23()ln 2,().8f x x xg x x =++=（1）求函数()()2()F x f x g x =-⋅的极值点；（2）若函数()()2()F x f x g x =-⋅在),()t e t Z ⎡+∞∈⎣上有零点，求t 的最小值；（3）证明：当0x >时，有[]1()1()g x g x e +<成立；（4）若1(1)()()g n n b g n n N *+=∈，试问数列{}n b 中是否存在()n m b b m n =≠？若存在，求出所有相等的两项；若不存在，请说明理由．（e 为自然对数的底数）．解：（1）由题意，23()ln 228F x x x x =++-的定义域为(0,)+∞……………1分(32)(2)()4x x F x x--'=……………………………………………………2分∴函数()F x 的单调递增区间为20,3⎛⎤⎥⎝⎦和[)2,+∞，()F x 的单调递减区间为2,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦，所以23x =为()F x 的极大值点， ………………………………………………3分2x =为()F x 的极小值点， ………………………………………………4分（2）()F x 在2,3x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭上的最小值为(2)F 且23ln 41(2)242ln 2082F -=⨯-++=>()F x ∴在2,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上没有零点，……………………………………………5分∴函数()F x 在),te ⎡+∞⎣上有零点，并考虑到()F x 在20,3⎛⎤ ⎥⎝⎦单调递增且在2,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递减，故只须23t e <且()0F t ≤即可，……………………………………………6分易验证121222313()120,()20,88F e e e F e e e -----⎛⎫=⋅+->=⋅-< ⎪⎝⎭当2,t t Z ≤∈时均有()0,t F e <所以函数()F x 在)1,()t e e t Z -⎡∈⎣上有零点，即函数()F x 在),()te t Z ⎡+∞∈⎣上有零点， t ∴的最大值为2-……………9分（3）证明：当0x >时，不等式[]1()1()g x g x e +<即为：11(1)ln(1)1ln(1)xx e x x x x+<⇔+<⇔+< 构造函数()ln(1)(0),h x x x x =+->则1()10,11x h x x x-'=-=<++ 所以函数()h x 在(0,)+∞上是减函数，因而0x >时，()(0)0,h x h <= 即：0x >时，ln(1)x x +<成立，所以当0x >时，[]1()1()g x g x e +<成立；…11分（4）因为1(1)(2)111(1)(2)2222(1)11(1)3(1),(1)n n n n n n n n n n n b n n e n n b nb n n n n n ++++++++++++===⋅+<<令23(1)1n n+<，得：2330n n -->，结合n N *∈得：4n ≥时，因此，当4n ≥时，有(1)(2)1(1)(2)1,n n n n n nb b +++++<所以当4n ≥时，1n n b b +>，即456...b b b >>>……………………………12分又通过比较1234b b b b 、、、的大小知：1234b b b b <<<，因为11,b =且1n ≠时111,n n b n+=≠所以若数列{}n b 中存在相等的两项，只能是23b b 、与后面的项可能相等，又11113964283528,35b b b b ====>=，所以数列{}n b 中存在唯一相等的两项，即28b b =． ……………………………………………………………………14分2．皖南八校2010届高三年级第二次联考21．（本小题满分13分）在数列{}n a 中，12a =11,22().n n n a a n N ++=+∈ （I ）求证：数列}2{n na 为等差数列；（II ）若m 为正整数，当2n m≤≤时，求证：1231(1)()n m n n m m n a m⋅--+≤．解：（I ）由1122+++=n n n a a 变形得：122,1221111=-+=++++n nn n n n n n a a a a 即故数列}2{nn a 是以121=a 为首项，1为公差的等差数列…………（5分）（II ）（法一）由（I ）得n n n a 2⋅=mm n m m m a n n m m nm n n 1)23)(1(1)3)(1(221-≤+--≤⋅+-即…………（7分）欧阳组创编 2021..02.16 欧阳组创编 2021..02.16 令m n m n n m n f n m n f 1)23()()1(,)23()1()(+⋅-=+⋅+-=则当m n m n m n f n f n m 1)32(1)1()(,2⋅-+-=+≥>时又23221211)211(1>>-+>+-⋅+=-+m m m C m m m m m 1)23(211>-+∴ 则)(,1)1()(n f n f n f 则>+为递减数列．当m=n 时，)1()(+>n f n f )(,2n f n m 时当≥≥∴递减数列．（9分）要证：2,)11()1(491)23)(1(2≥+=+≤-≤+-m mm m m m n m m m m n 而即证时，故原不等式成立．（13分）（法二）由（I ）得n n n a 2⋅=m m n m m m a n n m m nm n n1)23)(1(1)3)(1(221-≤+--≤⋅+-即（7分）令)123ln 1()23()('),2()23)(1()(-⋅+-=≤≤+-=m x m x f m x x m x f m x m x 则 ],2[)(0)(',11,2m x f x f m x m m x 在即<∴<+-∴≤≤ 上单调递减．（9分） ∴m m m m f x f m m 1)1()49(),1()49()2()(11max-≤--==∴2故只需证也即证时而2,)11(149≥+≤m m m ，故原不等式成立．（13分）。

概率与数列、导数、函数和方程等知识交汇的创新题型

概率与数列、导数、函数和方程等知识交汇的创新题型ʏ河南省固始县信合外国语高级中学胡云兵2019年高考全国Ⅰ卷首次把概率题作为压轴题出现,当时引起一片哗然,这是在传递什么信号?概率统计题何去何从?我们要如何备考带着这些问题,我们从近几年全国卷和部分省份的概率高考题,发现概率题增加难度,不是概率知识本身增加难度,而是难在概率与其他数学知识交汇处命题㊂下面通过几道高考题来说明概率与其他数学知识交汇的创新题型㊂一㊁概率与数列的交汇例1 (2019全国Ⅰ卷理数第21题)为治疗某种疾病,研制了甲㊁乙两种新药,希望知道哪种新药更有效,为此进行动物试验㊂试验方案如下:每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验㊂对于两只白鼠,随机选一只施以甲药,另一只施以乙药㊂一轮的治疗结果得出后,再安排下一轮试验㊂当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时,就停止试验,并认为治愈只数多的药更有效㊂为了方便描述问题,约定:对于每轮试验,若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈,则甲药得1分,乙药得-1分;若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈,则乙药得1分,甲药得-1分;若都治愈或都未治愈,则两种药均得0分㊂甲㊁乙两种药的治愈率分别记为α和β,一轮试验中甲药的得分记为X ㊂(1)求X 的分布列㊂(2)若甲药㊁乙药在试验开始时都赋予4分,p i (i =0,1, ,8)表示甲药的累计得分为i 时,最终认为甲药比乙药更有效的概率,则p 0=0,p 8=1,p i =a p i -1+b p i +c p i +1(i =1,2, ,7),其中a =P (X =-1),b =P (X =0),c =P (X =1)㊂假设α=0.5,β=0.8㊂(i )证明:{p i +1-p i }(i =0,1,2, ,7)为等比数列;(i i)求p 4,并根据p 4的值解释这种试验方案的合理性㊂解析:(1)X 的所有可能取值为-1,0,1㊂P (X =-1)=(1-α)β,P (X =0)=αβ+(1-α)(1-β),P (X =1)=α(1-β)㊂故X 的分布列如表1㊂表1X -101P(1-α)βαβ+(1-α)(1-β)α(1-β)(2)(i )已知α=0.5,β=0.8,故由(1)得,a =0.4,b =0.5,c =0.1㊂因此,p i =0.4p i -1+0.5p i +0.1p i +1(i =1,2, ,7)㊂整理得0.1(p i +1-p i )=0.4(p i -p i -1),即p i +1-p i =4(p i -p i -1)㊂又p 1-p 0=p 1ʂ0,故{p i +1-p i }(i =0,1,2, ,7)为公比为4,首项为p 1的等比数列㊂(i i )由(i)可得:p 8=(p 8-p 7)+(p 7-p 6)+ +(p 1-p 0)+p 0=p 1(1-48)1-4=48-13p 1㊂因p 8=1,故p 1=348-1㊂因此,p 4=(p 4-p 3)+(p 3-p 2)+(p 2-p 1)+(p 1-p 0)+p 0=44-13p 1=1257㊂p 4表示最终认为甲药更有效的概率㊂由计算结果可以看出,在甲药治愈率为0.5,乙药治愈率为0.8时,认为甲药更有效的概率为p 4=1257ʈ0.0039,此时得出错误结论的概率非常小,说明这种试验方案合理㊂点评:本题是函数与数列的综合题,主要考查数列和函数的应用,考查离散型随机变量的分布列㊂根据条件推出数列的递推关系是解决本题的关键㊂其本质仍然是常规的概率与统计问题,只是其中涉及了数列问题的应用,一般转化为等差㊁等比数列的定义㊁通项公式或者数列求和问题㊂二㊁概率与函数㊁方程和导数的交汇例2 (2021新高考Ⅱ卷第21题)一种微生物群体可以经过自身繁殖不断生存下63 解题篇创新题追根溯源高二数学 2023年4月Copyright ©博看网. All Rights Reserved.来,设一个这种微生物为第0代,经过一次繁殖后为第1代,再经过一次繁殖后为第2代, ,该微生物每代繁殖的个数是相互独立的且有相同的分布列,设X表示1个微生物个体繁殖下一代的个数,P(X=i)=p i(i =0,1,2,3)㊂(1)已知p0=0.4,p1=0.3,p2=0.2,p3 =0.1,求E(X)㊂(2)设p表示该种微生物经过多代繁殖后临近灭绝的概率,p是关于x的方程:p0+ p1x+p2x2+p3x3=x的一个最小正实根㊂求证:当E(X)ɤ1时,p=1;当E(X)>1时,p<1㊂(3)根据你的理解,请说明(2)问结论的实际含义㊂解析:(1)E(X)=0ˑ0.4+1ˑ0.3+2ˑ0.2+3ˑ0.1=1㊂(2)设f(x)=p3x3+p2x2+(p1-1)x+p0㊂因为p3+p2+p1+p0=1,所以f(x)= p3x3+p2x2-(p2+p0+p3)x+p0㊂①若E(X)ɤ1,则p1+2p2+3p3ɤ1,故p2+2p3ɤp0㊂f'(x)=3p3x2+2p2x-(p2+p0+p3)㊂因为f'(0)=-(p2+p0+p3)<0, f'(1)=p2+2p3-p0ɤ0,所以f'(x)有两个不同零点x1,x2,且x1<0<1ɤx2㊂当xɪ(-ɕ,x1)ɣ(x2,+ɕ)时, f'(x)>0;当xɪ(x1,x2)时,f'(x)<0㊂故f(x)在(-ɕ,x1)上为增函数,在(x1,x2)上为减函数,在(x2,+ɕ)上为增函数㊂若x2=1,f(x)在(x2,+ɕ)为增函数且f(1)=0㊂而当xɪ(0,x2)时,因为f(x)在(x1,x2)上为减函数,所以f(x)>f(x2)= f(1)=0,故1为p0+p1x+p2x2+p3x3=x 的一个最小正实根㊂若x2>1,因为f(1)=0且在(0,x2)上为减函数,所以1为p0+p1x+p2x2+p3x3 =x的一个最小正实根㊂综上,若E(X)ɤ1,则p=1㊂②若E(X)>1,则p1+2p2+3p3>1,故p2+2p3>p0㊂此时f'(0)=-(p2+p0+p3)<0, f'(1)=p2+2p3-p0>0,故f'(x)有两个不同零点x3,x4,且x3<0<x4<1㊂当xɪ(-ɕ,x3)ɣ(x4,+ɕ)时, f'(x)>0;当xɪ(x3,x4)时,f'(x)<0㊂故f(x)在(-ɕ,x3)上为增函数,在(x3,x4)上为减函数,在(x4,+ɕ)上为增函数㊂而f(1)=0,故f(x4)<0㊂又f(0)=p0>0,故f(x)在(0,x4)存在一个零点p,且p<1㊂所以p为p0+p1x+p2x2+p3x3=x的一个最小正实根,此时p<1㊂故当E(X)>1时,p<1㊂(3)结论的实际含义:每一个该种微生物繁殖后代的平均数不超过1,则若干代必然灭绝;若繁殖后代的平均数超过1,则若干代后被灭绝的概率小于1㊂点评:在概率与统计的问题中,决策的工具是样本的数字特征或有关概率㊂决策方案的最佳选择是将概率最大(最小)或均值最大(最小)的方案作为最佳方案,这往往借助于函数㊁不等式或数列的有关性质去实现㊂例3(2018年全国Ⅰ卷理数第20题)某工厂的某种产品成箱包装,每箱200件,每一箱产品在交付用户之前要对产品进行检验,如检验出不合格品,则更换为合格品㊂检验时,先从这箱产品中任取20件进行检验,再根据检验结果决定是否对余下的所有产品检验㊂设每件产品为不合格品的概率都为p(0<p<1),且各件产品是否为不合格品相互独立㊂(1)记20件产品中恰有2件不合格品的概率为f(p),求f(p)的最大值点p0㊂(2)现对一箱产品检验了20件,结果恰有2件不合格品,以(1)中确定的p0作为p 的值㊂已知每件产品的检验费用为2元,若有不合格品进入用户手中,则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用㊂①若不对该箱余下的产品进行检验,这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为X,求E(X);73解题篇创新题追根溯源高二数学2023年4月Copyright©博看网. All Rights Reserved.②以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据,是否该对这箱余下的所有产品作检验解析:(1)20件产品中恰有2件不合格品的概率为f(p)=C220p2㊃(1-p)18(0< p<1)㊂因此,f'(p)=C220[2p(1-p)18-18p2(1-p)17]=2C220p(1-p)17(1-10p),0<p<1㊂令f'(p)=0,得p=0.1㊂当pɪ(0,0.1)时,f'(p)>0;当pɪ(0.1,1)时,f'(p)<0㊂所以f(p)的最大值点为p0=0.1㊂(2)由(1)知,p=0.1㊂①令Y表示余下的180件产品中的不合格品件数,依题意知Y~B(180,0.1),X= 20ˑ2+25Y,即X=40+25Y㊂所以E(X)=E(40+25Y)=40+ 25E(Y)=40+25ˑ180ˑ0.1=490㊂②若对余下的产品作检验,则这一箱产品所需要的检验费用为400元㊂由于E(X)>400,故应该对余下的产品作检验㊂点评:解决概率和函数㊁导数的综合问题,关键是读懂题意,将与概率有关的问题(尤其是最值问题)转化为函数问题,再利用函数或导数知识解决,在转化过程中,对已知条件进行适当变形㊁整理,使之与求解的结论建立联系,从而解决问题㊂三、概率与不等式的交汇例4(2017年江苏卷第23题)已知一个口袋有m个白球,n个黑球(m,nɪN*, nȡ2),这些球除颜色外完全相同㊂现将口袋中的球随机地逐个取出,并放入如表2所示的编号为1,2,3, ,m+n的抽屉内,其中第k次取球放入编号为k的抽屉(k=1,2, 3, ,m+n)㊂表2123 m+n(1)试求编号为2的抽屉内放的是黑球的概率p;(2)随机变量X表示最后一个取出的黑球所在抽屉编号的倒数,E(X)是X的数学期望,证明:E(X)<n(m+n)(n-1)㊂解析:(1)编号为2的抽屉内放的是黑球的概率p=C n-1m+n-1C n m+n=nm+n㊂(2)随机变量X的概率分布如表3㊂表3X1n1n+11n+2 1k 1n+m PC n-1n-1C n m+nC n-1nC n m+nC n-1n+1C n m+nC n-1k-1C n m+nC n-1n+m-1C n m+n随机变量X的期望为:E(X)=ðm+n k=n1k㊃C n-1k-1C n m+n=1C n m+nðm+n k=n1k㊃(k-1)!(n-1)!(k-n)!㊂所以E(X)<1C n m+nðm+n k=n(k-2)!(n-1)!(k-n)!=1(n-1)C n m+nðm+n k=n(k-2)!(n-2)!(k-n)!=1(n-1)C n m+n(1+C n-2n-1+C n-2n+ + C n-2m+n-2)=1(n-1)C n m+n(C n-1n-1+C n-2n-1+C n-2n+ + C n-2m+n-2)=1(n-1)C n m+n(C n-1n+C n-2n+ + C n-2m+n-2)=1(n-1)C n m+n(C n-1m+n-2+C n-2m+n-2)=C n-1m+n-1(n-1)C n m+n=n(m+n)(n-1)㊂故E(X)<n(m+n)(n-1)㊂点评:本题表面看起来是概率问题,但是它重点恰在不等式,所以对于概率统计问题,我们要有意关注与其他数学知识的整合㊂同时也提醒我们要跳出固定思维模式,学会灵活处理问题的能力㊂(责任编辑徐利杰)8 3解题篇创新题追根溯源高二数学2023年4月Copyright©博看网. All Rights Reserved.。

高中数学《导数和数列综合证明 (1)》导学案

高中数学《导数和数列综合证明（一）》导学案例2：已知：x x <+)1ln(2，（1）求证：）*2222()21...(81)41)(21(N n e n ∈<+⎪⎭⎫ ⎝⎛+++（2）求证：*2()311)...(8111)(911(N n e n ∈<+++）（3）求证：（1+421）（1+431）…（1+41n）＜e )211ln(......)411ln()211ln()]211)...(411)(211ln[()1ln(12222222n n x x ++++++=+++∴<+ ）（e n n n n <+++∴<⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=++++<)211)...(411)(211(12112112112121 (814121222),)311)...(8111)(911(21311213113113131......3131)311ln(......)8111ln()911()]311)...(8111)(911ln[(2212222e e n n n n n n =<+++∴<⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=++<++++++=+++∴）（（3）ln[（1+421）（1+431）……(1+41n )]=ln[（1+421）（1+431）+…ln （1+41n ）＜221+231+…+21n＜)1(1321211-+⨯+⨯n n =1-21+21-31+…+n n 111--=1-n 1＜1∴（1+421）（1+431）……(1+41n )＜e 例3：设曲线y = f (x ) =cx bx x a ++23213在点x 处的切线斜率为k (x )，且k (-1) = 0.对一切实数x ，不等式).0()1(21)(2≠+≤≤a x x k x 恒成立（1）求f (1)的值；（2）求函数k (x )的表达式；（3）设数列)(1n k 的前n 项和为S n ，求证22+>n nS n解：（1）04)1(,0,00)(222≤--≤∆>∴≥-++++=ac b a x c bx ax c bx ax x k ①0)21)(21(4,0,021,02121222≤---≤∆<-∴≤--++c a b a x c bx ax ②又,4)1(1)1(),11(21)1(12a cb a k k k =++==∴+≤≤ 又1270)1(41=∴=∴f a（2）)0()(2≠++='=a c bx ax y x k ，由0)1(,1)1(=-=k k 得⎩⎨⎧=+-=++01c b a c b a 得⎪⎩⎪⎨⎧==+2121b c a 又)1(21)(2+≤≤x x k x 恒成立，则由)0(0212≠≥+-a c x ax 恒成立得410402141==⇒⎪⎩⎪⎨⎧=+≤-=∆>c a c a ac a 同理由02121)21(2≥-++-c x x a 恒成立得41==c a 综上，21,41===b c a 412141)(2++=∴x x k（3）∑=+++⨯+⨯>+++=ni n n n i k 122])2)(1(1431321[41])1(121[41)(1 22]2121[41+=+-=n n n 法二：和式代换，要证22+>n n S n ，即也证()1121+->-n n S n ，只需证：()()()21411222++=+--+>n n n n n n a n ，只需()()()21414)(12++>+=n n n n k ，且()322121114211=+>=+==S a ，故22+>n n S n。

2-3-23函数、导数与不等式、解析几何、数列型解答题

高考专题训练二十三函数、导数与不等式、解析几何、数列型解答题班级_______ 姓名_______ 时间：45分钟分值：72分总得分________1．(12分)(2011·成都市高中毕业班第二次诊断性检测)设△ABC 的三内角A 、B 、C 所对应的边长分别为a 、b 、c ，平面向量m ＝(cos A ，cos C )，n ＝(c ，a )，p ＝(2b,0)，且m ·(n －p )＝0.(1)求角A 的大小；(2)当|x |≤A 时，求函数f (x )＝sin x cos x ＋sin xsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6的值域．解：(1)m ·(n －p )＝(cos A ，cos C )·(c －2b ，a ) ＝(c －2b )cos A ＋a cos C ＝0⇒(sin C －2sin B )cos A ＋sin A cos C ＝0⇒－2sin B cos A ＋sin B ＝0. ∵sin B ≠0，∴cos A ＝12⇒A ＝π3.(2)f (x )＝sin x cos x ＋sin x sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＝12sin x cos x ＋32sin 2x ＝14sin2x ＋32·1－cos2x 2＝34＋14sin2x － 34cos2x ＝34＋12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3.∵|x |≤A ，A ＝π3，∴－π3≤x ≤π3－π≤2x －π3≤π3∴－1≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3≤32⇒3－24≤34＋12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3≤32.∴函数f (x )的值域为[3－24，32]．2．(12分)(2011·正定)如图，在多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是正方形，AB ＝2EF ＝2，EF ∥AB ，EF ⊥FB ，∠BFC ＝90°，BF ＝FC ，H 为BC 的中点．(1)求证：FH ∥平面EDB ； (2)求证：AC ⊥平面EDB ； (3)求四面体B —DEF 的体积．分析：本题考查空间线面平行、线面垂直、面面垂直、体积的计算等基础知识，同时考查空间想象能力与推理论证能力．解：(1)证明：设AC 与BD 交于点G ，则G 为AC 的中点．连接EG 、GH ，由于H 为BC 的中点，故GH 綊12AB .又EF 綊12AB ，∴EF 綊GH ，∴四边形EFHG 为平行四边形，∴EG ∥FH ，而EG ⊂平面EDB ，∴FH ∥平面EDB . (2)证明：由四边形ABCD 为正方形，有AB ⊥BC .又EF ∥AB ，∴EF ⊥BC .而EF ⊥FB ，∴EF ⊥平面BFC ，∴EF⊥FH ，∴AB ⊥FH .又BF ＝FC ，H 为BC 的中点，∴FH ⊥BC . ∴FH ⊥平面ABCD .∴FH ⊥AC .又FH ∥EG ，∴AC ⊥EG .又AC ⊥BD ，EG ∩BD ＝G ， ∴AC ⊥平面EDB .(3)∵EF ⊥FB ，∠BFC ＝90°，∴BF ⊥平面CDEF . ∴BF 为四面体B －DEF 的高．∵BC ＝AB ＝2，∴BF ＝FC ＝ 2.又EF ＝1， ∴V B －DEF ＝13×12×1×2×2＝13.3．(12分)(2011·预测题)小王参加一次比赛，比赛共设三关，第一、二关各有两个必答题，如果每关两个问题都答对，可进入下一关，第三关有三个问题，只要答对其中两个问题，则闯关成功．每过一关可一次性获得价值分别为1000元，3000元，6000元的奖品(不重复得奖)，小王对三关中每个问题回答正确的概率依次为45，34，23，且每个问题回答正确与否相互独立．(1)求小王过第一关但未过第二关的概率；(2)用X 表示小王所获得奖品的价值，写出X 的概率分布列，并求X 的数学期望．解：(1)设小王过第一关但未过第二关的概率为P 1，则P 1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫452⎝ ⎛⎭⎪⎫14＋34×14＝725.(2)X 的取值为0,1000,3000, 6000，则P (X ＝0)＝15＋45×15＝925，P (X ＝1000)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫452⎝ ⎛⎭⎪⎫14＋34×14＝725，P (X ＝3000)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫452⎝ ⎛⎭⎪⎫342⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫232－C 12⎝ ⎛⎭⎪⎫232×13＝775， P (X ＝6000)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫452⎝ ⎛⎭⎪⎫342⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫232＋C 12⎝ ⎛⎭⎪⎫232×13＝415， ∴X 的概率分布列为∴X 的数学期望E (X )＝0×25＋1000×25＋3000×75＋6000×415＝2160.4．(12分)(2011·天津卷)已知a >0，函数f (x )＝ln x －ax 2，x >0.(f (x )的图象连续不断)(1)求f (x )的单调区间；(2)当a ＝18时，证明：存在x 0∈(2，＋∞)，使f (x 0)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32；(3)若存在均属于区间[1,3]的α，β，且β －α≥1，使f (α)＝f (β)，证明：ln3－ln25≤a ≤ln23.分析：本小题主要考查导数的运算、利用导数研究函数的单调性、解不等式、函数的零点等基础知识，考查运算能力、分类讨论的思想、分析解决问题的能力．解：(1)f ′(x )＝1x －2ax ＝1－2ax 2x ，x ∈(0，＋∞)．令f ′(x )＝0，解得x ＝2a2a.当x 变化时，f ′(x )、f (x )的变化情况如下表：⎝⎭⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 2a ，＋∞. (2)证明：当a ＝18时，f (x )＝ln x －18x 2，由(1)知f (x )在(0,2)内单调递增，在(2，＋∞)内单调递减．令g (x )＝f (x )－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32.由于f (x )在(0,2)内单调递增，故f (2)>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，即g (2)>0.取x ′＝32e>2，则g (x ′)＝41－9e 232<0.所以存在x 0∈(2，x ′)，使g (x 0)＝0，即存在x 0∈(2，＋∞)，使f (x 0)＝f ⎝ ⎛⎭⎫32.(说明：x ′的取法不唯一，只要满足x ′>2，且g (x ′)<0即可．)(3)证明：由f (α)＝f (β)及(1)的结论知α<2a2a<β，从而f (x )在[α，β]上的最小值为f (α)，又由β－α≥1，α，β∈[1,3]，知1≤α≤2≤β≤3.故⎩⎪⎨⎪⎧ f (2)≥f (α)≥f (1)，f (2)≥f (β)≥f (3).即⎩⎪⎨⎪⎧ln2－4a ≥－a ，ln2－4a ≥ln3－9a . 从而ln3－ln25≤a ≤ln23.5．(12分)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率e ＝32，连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4.(1)求椭圆的方程；(2)设直线l 与椭圆相交于不同的两点A ，B ，已知点A 的坐标为(－a,0)，点Q (0，y 0)在线段AB 的垂直平分线上，且QA →·QB →＝4.求y 0的值．分析：本题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线的方程、平面向量等基础知识，考查用代数方法研究圆锥曲线的性质及数形结合的思想，考查运算能力和推理能力．解：(1)由e ＝c a ＝32，得3a 2＝4c 2，再由c 2＝a 2－b 2，得a ＝2b .由题意可知12×2a ×2b ＝4，即ab ＝2.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2b ，ab ＝2，得a ＝2，b ＝1.所以椭圆的方程为x 24＋y 2＝1.(2)由(1)可知A (－2,0)，设B 点的坐标为(x 1，y 1)，直线l 的斜率为k ，则直线l 的方程为y ＝k (x ＋2)．于是A ，B 两点的坐标满足方程组⎩⎨⎧y ＝k (x ＋2)，x 24＋y 2＝1.由方程组消去y 并整理，得 (1＋4k 2)x 2＋16k 2x ＋(16k 2－4)＝0. 由－2x 1＝16k 2－41＋4k 2，得 x 1＝2－8k 21＋4k 2，从而y 1＝4k 1＋4k 2.设线段AB 的中点为M ，则M 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－8k 21＋4k 2，2k 1＋4k 2. 以下分两种情况：①当k ＝0时，点B 的坐标为(2,0)，线段AB 的垂直平分线为y 轴，于是QA →＝(－2，－y 0)，QB →＝(2，－y 0)．由QA →·QB →＝4，得y 0＝±2 2.②当k ≠0时，线段AB 的垂直平分线的方程为 y －2k 1＋4k ＝－1k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋8k 21＋4k 2. 令x ＝0，解得y 0＝－6k 1＋4k2. 由|QA →|＝(－2，－y 0)，QB →＝(x 1，y 1－y 0)， QA →·QB →＝－2x 1－y 0(y 1－y 0)＝－2(2－8k 2)1＋4k 2＋6k 1＋4k 2⎝ ⎛⎭⎪⎫4k1＋4k 2＋6k 1＋4k 2＝4(16k 4＋15k 2－1)(1＋4k 2)2＝4，整理得7k 2＝2，故k ＝±147，所以y 0＝±2145.综上，y 0＝±22或y 0＝±2145.6．(12分)(2011·湖北卷)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足：a 1＝a (a ≠0)，a n ＋1＝rS n (n ∈N *，r ∈R ，r ≠－1)．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若存在k ∈N *，使得S k ＋1，S k ，S k ＋2成等差数列，试判断：对于任意的m ∈N *，且m ≥2，a m ＋1，a m ，a m ＋2是否成等差数列，并证明你的结论．分析：本小题主要考查等差数列、等比数列等基础知识，同时考查推理论证能力，以及特殊与一般的思想．解：(1)由已知a n ＋1＝rS n ，可得a n ＋2＝rS n ＋1，两式相减可得 a n ＋2－a n ＋1＝r (S n ＋1－S n )＝ra n ＋1，即a n ＋2＝(r ＋1)a n ＋1，又a 2＝ra 1＝ra ，所以当r ＝0时，数列{a n }为：a,0，…，0，…；当r ≠0，r ≠－1时，由已知a ≠0，所以a n ≠0(n ∈N *)，于是由a n ＋2＝(r ＋1)a n ＋1，可得a n ＋2a n ＋1＝r ＋1(n ∈N *)，∴a 2，a 3，…，a n ，…成等比数列， ∴当n ≥2时，a n ＝r (r ＋1)n －2a .综上，数列{a n }的通项公式为a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，n ＝1，r (r ＋1)n －2a ，n ≥2. (2)对于任意的m ∈N *，且m ≥2，a m ＋1，a m ，a m ＋2成等差数列，证明如下：当r ＝0时，由(1)知，a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，n ＝1，0，n ≥2.∴对于任意的m∈N*，且m≥2，a m＋1，a m，a m＋2成等差数列．当r≠0，r≠－1时，∵S k＋2＝S k＋a k＋1＋a k＋2，S k＋1＝S k＋a k＋1.若存在k∈N*，使得S k＋1，S k，S k＋2成等差数列，则S k＋1＋S k＋2＝2S k，∴2S k＋2a k＋1＋a k＋2＝2S k，即a k＋2＝－2a k＋1.由(1)知，a2，a3，…，a m，…的公比r＋1＝－2，于是对于任意的m∈N*，且m≥2，a m＋1＝－2a m，从而a m＋2＝4a m，∴a m＋1＋a m＋2＝2a m，即a m＋1，a m，a m＋2成等差数列．综上，对于任意的m∈N*，且m≥2，a m＋1，a m，a m＋2成等差数列．。

高三数学函数及导数应用、数列、三角函数测试题

高三数学函数及导数应用、数列、三角函数测试题本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．满分150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，满分60分．）1．设0＜θ＜π，θθsin cos 331i ii+=++，则θ 的值为（） A ．32π B ．2π C ．3π D ．6π 2.条件:11p x +>，条件131:>-xq ，则q⌝是p ⌝的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件3．若不等式222424ax ax x x +-<+对于任意实数x 均成立，则实数a 的取值范围是 .A (2,2)- .B (2,2]- .C (,2)[2,)-∞-+∞ .D (,2)-∞- 4．已知||3=a ，||4=b ,2=+p a b ,=-q a b 且17=-⋅p q ，则a 与b 的夹角为.A 60 .B 90 .C 30 .D5. 已知x a a a xlog 10=<<，则方程的实根个数是A 、1个B 、2个C 、3个D 、1个或2个或3个6．函数f (x )= ⎩⎨⎧≥+≤-.1),1(log ,11|,)cos(|22x x x ＜x π 若2)1()(=+f m f ,则m 的所有可能值为A.1，－1 B . 1，0，－1 C ．-,2222 D. 1, -,2222 7．已知O 是ABC △所在平面内一点，D 为BC 边中点，且2OA OB OC ++=0，那么（）Ａ．AO OD = Ｂ．2AO OD =Ｃ．3AO OD =Ｄ．2AO OD =8．如果2πlog |3π|log 2121≥-x ，那么x sin 的取值范围是（）A ．21[-，]21B ．21[-，]1C ．21[-，21()21 ，]1 D ．21[-，23()23 ，]1 9．在等差数列}{n a 中，,0,01312><a a 且1213a a >，若}{n a 的前n 项和0<n S ，则n 的最大值为（） A ．17B ．18C ．20D ．2310. 曲线y=x sin x 在点)2,2(ππ-处的切线与x 轴、直线x =π所围成的三角形的面积为（）A.22π B. 2π Ｃ. 22π D. 2)2(21π+11．设函数θ≤=0,)(3若x x f ＜4π时，)1()tan (m f m f -+⋅θ ＞0恒成立，则实数m 的取值范围是（）A.（0，1）B.（∞-，0）C.（∞-，1）D.（∞-，21） 12. 如图，半径为2的⊙O 切直线MN 于点P ，射线PK 从PN 出发，绕P 点逆时针旋转到PM ，旋转过程中PK 交⊙O 于点Q ，若∠POQ 为x ，弓形PmQ 的面积为S=f(x)，那么f(x)的图象大致是：（）二、填空题：（本大题共4小题，每小题4分，共16分）ABCON Q mKMP13.22132lim 1x x x x →-++-的值等于__________________.14.函数π()3sin 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象为C ，如下结论中正确的是______（写出所有正确结论的编号．．）． ①图象C 关于直线11π12x =对称； ②图象C 关于点2π03⎛⎫⎪⎝⎭，对称； ③函数()f x 在区间π5π1212⎛⎫-⎪⎝⎭，内是增函数； ④由3sin 2y x =的图角向右平移π3个单位长度可以得到图象C ． 15．设10<<a ，函数)22(log )(2--=x x a a a x f ，则使0)(<x f 的x 的取值范围是。

函数与导数、数列及三角

函数与导数、数列及三角作者：《数学金刊》试题研究组来源：《数学金刊·高中版》2012年第03期纵观全国各地的高考试题，我们不难发现创新型试题层出不穷：它们不仅立意新颖、内涵深刻，而且在求解思路上也与众不同，也是高考试题中一道亮丽的风景线．在本期里，《数学金刊》试题研究组为大家带来函数与导数、数列及三角这三方面的创新试题．1．设集合M＝｛平面内的点（a，b）｝，N＝｛f（x）f（x）＝acos2x＋bsin2x，x∈R｝，给出从M到N的映射f：（a，b）→f（x）＝acos2x＋bsin2x，则点（1，）的象f （x）的最小正周期为（）A．π B． C． D．2．设函数f（x）的定义域为D，若存在非零常数l，使得对于任意x∈M（MD）都有f （x+l）≥f（x），则称f（x）为M上的高调函数，l是一个高调值．现给出下列命题：①函数f（x）=为R上的高调函数；②函数f（x）=sin2x为R上的高调函数；③若函数f（x）=x2+2x为（－∞，1］上的高调函数，则高调值l的取值范围是（－∞，－4］．其中正确的命题个数是（）A． 0个 B． 1个 C． 2个 D． 3个3．已知数列A：a1，a2，…，an（0≤a1①数列0，1，3，5，7具有性质P；②数列0，2，4，6，8具有性质P；③若数列A具有性质P，则a1=0；④若数列a1，a2，a3，a4，a5（0≤a1其中真命题有________．4．如图，实线部分的月牙形公园是由圆P上的一段优弧和圆Q上的一段劣弧围成，圆P 和圆Q的半径都是2 km，点P在圆Q上，现要在公园内建一块顶点都在圆P上的多边形活动场地．（1）如图1，要建的活动场地为△RST，求场地的最大面积；（2）如图2，要建的活动场地为等腰梯形ABCD，求场地的最大面积．图1图25．对于定义域为D的函数y= f（x），如果存在区间［m，n］D，同时满足：①f（x）在［m，n］内是单调函数；②当定义域是［m，n］时， f（x）的值域也是［m，n］，则称［m，n］是该函数的“和谐区间”．（1）求证：函数y=g（x）=3－不存在“和谐区间”．（2）已知：函数y=（a∈R，a≠0）有“和谐区间”［m，n］，当a变化时，求出n－m的最大值．（3）易知，函数y=x是以任一区间［m，n］为它的“和谐区间”．试再举一例有“和谐区间”的函数，并写出它的一个“和谐区间”．（不需证明，但不能用本题已讨论过的y=x及形如y=的函数为例）6．定义：对于任意n∈N，满足条件≤a且an≤M（M是与n无关的常数）的无穷数列｛an｝称为T数列．（1）若an=－n2（n∈N），证明：数列｛an｝是T数列．（2）设数列｛bn｝的通项为bn=24n－3n，且数列｛bn｝是T数列，求M的取值范围．（3）设数列cn=q－（n∈N），数列｛cn｝是否是T数列？请说明理由．1． A．2．①对，l取小于0的数；②对，令l=kπ，k≠0；③对，由定义有（x+l）2+2（x+l）≥x2+2x，即2lx+l2+2l≥0在（－∞，1］上恒成立，所以l2+4l≥0且l3．①错，不满足任意这个关键点；②对，不管怎么取i，j，aj－ai总会是数列中的一项；③对，由定义，aj+a1与aj－a1两数中至少有一个是该数列中的一项，j为任意数，则a1=0；④对，a1=0，若a2+a3=a4，则a5－a2与a5－a3中，必有一项不在数列中，故a2+a3≠a4，同理a2+a3≠a5，所以由定义a3－a2=a2，即a1+a3=2a2．4．（1）过S作SH⊥RT于H，S△RST=SH•RT．由题意，△RST在月牙形公园里，RT与圆Q只能相切或相离；RT左边的部分是一个大小不超过半圆的弓形，则有RT≤4，SH≤2，当且仅当RT切圆Q 于P时，上面两个不等式中等号同时成立．此时，场地面积的最大值为S△RST=×4×2=4（km2）．（2）同（1）的分析，要使得场地面积最大，AD左边的部分是一个大小不超过半圆的弓形，AD必须切圆Q于P，再设∠BPA=θ，连结CP，则有S=×2×2×sinθ×2+×2×2×sin（π－2θ）=4（sinθ+sinθcosθ）0若y′=0，cosθ=，θ=，又θ∈0，时，y′>0，θ∈，时，y′5．（1）设［m，n］是已知函数定义域的子集．因为x≠0，［m，n］（－∞，0）或［m，n］（0，+∞），故函数y=3－在［m，n］上单调递增．若［m，n］是已知函数的“和谐区间”，则g（m）=m，g（n）=n，故m，n是方程3－=x 的同号的相异实数根．因为x2－3x+5=0无实数根，所以函数y=3－不存在“和谐区间”．（2）设［m，n］是已知函数定义域的子集．因为x≠0，［m，n］（－∞，0）或［m，n］（0，+∞），故函数y==－在［m，n］上单调递增．若［m，n］是已知函数的“和谐区间”，则f（m）=m，f（n）=n，故m，n是方程－=x，即a2x2－（a2+a）x+1=0的同号的相异实数根．因为mn=>0，所以m，n同号，只须Δ=a2（a+3）（a－1）>0，即a>1或a（3）如：y=－x+2和谐区间为［0，2］，［－1，3］，当a+b=2的区间［a，b］；y=sinx 和谐区间为［0，1］；y=和谐区间为［－1，0］．6．（1）由an=－n2得an+an+2－2an+1= －n2－（n+2）2+2（n+1）2=－2（2）由bn=24n－3n得bn+1－bn=24（n+1）－3n+1－24n+3n=24－2•3n，当24－2•3n≥0，即n≤2时，bn+1－bn>0，此时数列｛bn｝单调递增；而当n≥3时，bn+1－bn （3）假设数列｛cn｝是T数列，依题意有：cn+cn+2－2cn+1=+－=．因为n∈N，所以当且仅当p小于n的最小值时，－cn+1≤0对任意n恒成立，即可得p0，cn=q－综上所述：当p。

导数放缩与数列构造

专题1 导数放缩与数列构造导数和数列，在老高考时代，尤其是广东卷时代很流行，后来由于数列难度被降低（之前还出过压轴题),压轴题逐步把数列逐出了舞台，数列和导数都需要放缩思想，而数列能输出裂项相消、和式代换以及积式代换的思想，导数则在函数方程不等式的三位一体体系中牢牢把控，它们在一起的综合题会怎样呢？考点一不等式的累加VS 数列和式代换通常求导后得到一个不等式，形如()(),01ln ><+x x x 利用这种式子构造n 个不等式迭加，得到一个结果，我们也可以考虑和式代换逆推。

【例1】已知：若()(),01ln ><+x x x 1+=n n a n ，n S 是数列{}n a 前n 项和，求证：22ln +-<n n S n这一系列题目中，往往前一两问都是求导数的极值或者参数取值范围，需要用到前面的一些结论作为不等式证明的条件，然后利用累加不等式来证明。

本题思考过程正方向比较难，可以考虑利用和式代换逆推，即：要证22ln+-<n n S n ，同时也证21ln 11+--<-n n S n ，故只需证：12ln 1++-<n n a n ，只需证12ln 11++-<+=n n n n a n ，只需证1112ln +-<++n n n n ；只需证：11111ln +<⎪⎭⎫ ⎝⎛++n n ，根据题意，()(),01ln ><+x x x 故令11+=n x ，即证⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧-<+-<++-<-23ln 11ln 112ln 111a n n a n n a n n，累加得：22ln+-<n n S n . 注意：和式代换仅限于()n f S n <类型，对于()为常数m m S n <不适用，因为常数一作差就是0,我们接着来看一下模型题.【例2】设曲线y = f (x ) =cx bx x a ++23213在点x 处的切线斜率为k (x )，且k (-1) = 0.对一切实数x ，不等式).0()1(21)(2≠+≤≤a x x k x 恒成立（1）求f (1)的值；（2）求函数k (x )的表达式；（3）设数列)(1n k 的前n 项和为S n ，求证22+>n nS n 【例3】（2022•新高考Ⅱ）已知函数()ax x f x xe e =-．（1）当1a =时，讨论()f x 的单调性；（2）当0x >时，()1f x <-，求a 的取值范围；（3）设*n N ∈(1)ln n >+．注意：按照第（2）问的条件直接构造，这需要相对比较强的数感，如果按照和式代换来逆推，则相对好把握数据，选择哪一种方法，看个人习惯，个人建议按照和式代换得出数据后直接构造。

导数压轴题题型归纳及处理技巧

导数压轴题题型归纳及处理技巧以下是 8 条关于导数压轴题题型归纳及处理技巧的内容：1. 哎呀，导数压轴题里有一种常见的题型就是求最值问题呀！就像在登山的时候，要找到那最高的山峰！比如函数y=x³-3x²+5，你能快速找到它的最值吗？2. 嘿，还有判断函数单调性的题型呢！这就像开汽车，要清楚什么时候加速什么时候减速。

像函数 f(x)=xlnx，你能判断它的单调性吗？3. 哇塞，导数里那种恒成立问题也很让人头疼啊！就好比要让一个球一直保持在一个固定的位置。

比如f(x)≥a 在某个区间恒成立，这可得好好琢磨琢磨怎么处理哦！像函数 f(x)=e^x+x，若f(x)≥kx 恒成立，你能搞定吗？4. 哦哟，导数压轴题里的不等式证明可不好惹呢！就像是要跨过一条很难跨的沟。

比如要证明某个不等式成立，怎么把导数的知识用上呀？比如 x>0 时，证明 e^x>1+x，你知道怎么下手吗？5. 嘿呀，有一种题型是利用导数求曲线的切线方程呢！这就像在给一条曲线画上漂亮的切线。

比如给定曲线y=x²，在某点处的切线怎么求呢，你会吗？6. 哇哦，那些与极值点有关的题型也挺有趣的嘛！就如同在一群小朋友里找到那个最特别的。

比如给定一个函数，怎么去找它的极值点呢？像函数g(x)=x³-3x，它的极值点在哪儿呀？7. 哈哈，还有根据导数信息画函数图象的题型呢！这可像是根据描述去画一幅神秘的画。

比如知道了导数的一些情况，那函数图象大概长啥样呢？你能想象出来吗？8. 哎呀呀，最后还有一类是把导数和其他知识综合起来的题型呢！这就像把不同的拼图块拼成一幅完整的画。

比如和数列结合起来，那可真是够有挑战性呢！像这样的综合题，你能勇敢挑战吗？我觉得导数压轴题虽然难，但只要掌握了这些题型和处理技巧，多练习多总结，就一定能攻克它！。

巧妙利用函数的导数_解数列问题_颜复尊

{
[
)
(
)
(
)
[(
(
) (
)
)]
巧与方法
JIETI JIQIAO YU FANGFA
数列中来，从而问题得到解决．四、精心构造，巧妙运用（ 1 ）对任意的正实数例 4 已知函数 f （ x ） = x － xlnx， x1 ， x2 ，且 x1 ＜ x2 ．（ 1）证明：（ x2 － x1 ） f'（ x2 ）＜ f（ x2 ）－ f（ x1 ）＜（ x2 － x1 ） f'（ x1 ）； 1 1 + +…+ （ 2 ）对任意的 n ∈ N + ，且 n ≥2 ，证明： ln2 ln3 1 1 － f（ n + 1 ）＜． lnn ln2 ·lnn 1 ）时，解（ 1 ）因为 f' （ x ） = － lnx，所以，当 x ∈ （ 0， f' （ x）＞ 0 ； + ∞ ）时， f' （ x）＜ 0 ．故 f（ x）在 x ∈ （ 0 ， 1 ）上单当 x∈（ 1 ， + ∞ ）上单调递减．调递增，在 x∈（ 1 ， x1 x2 ，＜所以，对任意的正实数 x1 ，且 x1 ＜ x2 ，有f x2 x f（ 1 ）， f 2 ＜ f（ 1 ）． x1 x1 x1 x1 x1 ＜ f（ 1），－ ln ＜ 1，由f 得即 x2 － x1 － x2 x2 x2 x2 x2 （ lnx2 － lnx1 ）＜ 0 ，所以 f（ x2 ）－ f（ x1 ）－（ x2 － x1 ） f' （ x1 ） = x2 － x1 － x2 （ lnx2 － lnx1 ）＜ 0 ，故： f（ x2 ）－ f（ x1 ）＜（ x2 － x1 ） f' （ x1 ）， ①． x2 ）＜ f（ 1 ），由 f（同理可证（ x2 － x1 ） f' （ x2 ）＜ f （ x2 ）－ x1 f （ x1 ）， ②．综合 ①②，得（ x2 － x1 ） f' （ x2 ）＜ f （ x2 ）－ f （ x1 ）＜（ x2 － x1 ） f' （ x1 ）． ln（ x + k）（ 2）对 k = 1， 2， …， n － 2，（ x ＞令 gk （ x ） = lnx 1），则 lnx ln（ x + k）－ x+k x xlnx －（ x + k） ln（ x + k） g k ' （ x） = = ， ln2 x x（ x + k） ln2 x 0 ＜ lnx ＜ ln （ x + k ），显然 1 ＜ x ＜ x + k，所以 xlnx ＜（ x + k） ln （ x + k ）， g k （ x ）在（ 1 ，+ ∞ ）上单调所以 gk ' （ x ）＜ 0，

导数与数列相结合的压轴题

导数与数列相结合的压轴题《导数与数列相结合的压轴题：我的挑战与收获》我呀，是一个在数学海洋里畅游的小学生，虽然导数和数列相结合的压轴题对我来说就像是一座超级高大、云雾缭绕的山峰，但是我可不怕它，我还想跟你们好好讲讲我和它之间的那些事儿呢。

导数，我刚听到这个词的时候，感觉就像听到了一个来自神秘魔法世界的咒语。

它好像有着无穷的力量，可以把函数的变化情况摸得一清二楚。

就像一个超级侦探，能发现函数是怎么偷偷变化的。

数列呢，那就是一列列规规矩矩排着队的数字，有的数列像听话的小士兵，按照一定的规律整整齐齐地站着，比如说等差数列，就像每次都齐步走一样，相邻两个数的差都是一样的。

等比数列呢，就像在玩倍数游戏，后一个数总是前一个数乘上一个固定的数。

那导数和数列相结合的压轴题呢？哎呀，这可就像把两个魔法世界的东西硬凑到一起，创造出一个超级大怪兽。

我第一次遇到这样的题目的时候，我都懵了。

题目就像一个复杂的迷宫，那些数字和符号扭成一团，好像在跟我做鬼脸，说：“嘿嘿，你能把我们怎么样？”我记得有一道题是这样的。

给出了一个函数，然后又有一个数列的通项公式跟这个函数的导数有关系。

我就想啊，这可咋整？我看着那些密密麻麻的字和符号，心里就像有只小兔子在乱蹦。

我同桌看到我这个样子，就凑过来说：“你咋啦？愁眉苦脸的。

”我指了指题目说：“你看这个，这也太难了吧。

”同桌看了看说：“我觉得咱们可以先从函数的导数入手，看看它有啥特点。

”我听了同桌的话，就像抓住了一根救命稻草。

我开始求那个函数的导数，求出来之后，发现它还是一个挺复杂的式子。

这时候我就想，这跟数列的通项公式到底咋联系起来呢？我就像一个迷失在森林里的小探险家，找不到方向。

这时候，老师走了过来，看到我在纠结这道题，就笑着说：“你看啊，这个导数的值在某些特殊点上的情况，是不是和数列的开头几项有啥联系呢？”我眼睛一亮，对啊，我怎么没想到呢。

我赶紧把特殊点代入导数式子，再和数列的前几项对比，嘿，还真发现了点规律。

高三数学导数与三角函数和数列 2

题型三：导数与三角函数综合【例1】设函数223()cos 4sin 3()2x f x x t t t x =++-∈R ，其中||1t ≤，将()f x 的最小值记为()g t ，则函数()g t 在下面哪个区间上单调递增（）A ．1(,)(1,)3-∞-+∞ B ．1[1,]3-- C ．1(,)3+∞ D ．1[,1]3【例2】将函数2y []()06x ∈，的图像绕坐标原点逆时针方向旋转角θ()0θα≤≤，得到曲线C ．若对于每一个旋转角θ，曲线C 都是一个函数的图像，则α的最大值为．【例3】已知函数2cos ()3sin a x f x x -=在π02⎛⎫⎪⎝⎭，内是增函数，求a 的取值范围．【例4】求证：方程1sin 02x x -=只有一个根0x =．【例5】设函数()sin(2)(π0)f x x ϕϕ=+-<<，()y f x =图象的一条对称轴是直线π8x =． ⑴求ϕ；⑵求函数()y f x =的单调增区间；⑶证明直线520x y c -+=与函数()y f x =的图象不相切．【例6】已知向量πππ2cos tan tan 2242424x x x x a b ⎛⎫⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+- ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎭ ，，，，令()f x a b =⋅ ，是否存在实数[0π]x ∈，，使()()0f x f x '+=（其中()f x '是()f x 的导函数）．若存在，则求出x 的值；若不存在，则证明之．【例7】设()()21=++x f x e ax x ，且曲线()=y f x 在1=x 处的切线与x 轴平行．⑴ 求a 的值，并讨论()f x 的单调性；⑵ 证明：当π02θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，时，()()cos sin 2θθ-<f f ．【例8】已知：在函数3()f x mx x =-的图象上，以(1,)N n 为切点的切线的倾斜角为π4． ⑴求m ，n 的值；⑵是否存在最小的正整数k ，使得不等式()1994f x k -≤对于[1,3]x ∈-恒成立？如果存在，请求出最小的正整数k ；如果不存在，请说明理由． ⑶求证：1|(sin )(cos )|22f x f x f t t ⎛⎫++⎪⎝⎭≤（x ∈R ，0t >）．【例9】已知函数2()e (22)x f x ax x =⋅--，a ∈R 且0a ≠．⑴若曲线()y f x =在点(1(1))P f ，处的切线垂直于y 轴，求实数a 的值； ⑵当02a <≤时，求函数(|cos |)f x 的最大值和最小值． ⑶当2a >时，求函数(|cos |)f x 的最大值和最小值．【例10】设函数()sin ()f x x x x =∈R ．⑴证明(2π)()2πsin f x k f x k x +-=，其中为k 为整数；⑵设0x 为()f x 的一个极值点，证明420020[()]1x f x x =+；⑶设()f x 在(0)+∞，内的全部极值点按从小到大的顺序排列12n a a a ，，，，，证明：1ππ (12)2n n a a n +<-<= ，，【例11】已知函数()32343cos cos 16f x x x θθ=-+，其中x ∈R ，θ为参数，且02πθ≤≤． ⑴当cos 0θ=时，判断函数()f x 是否有极值；⑵要使函数()f x 的极小值大于零，求参数θ的取值范围；⑶若对⑵中所求的取值范围内的任意参数θ，函数()f x 在区间()21a a -，内都是增函数，求实数a 的取值范围．【例12】已知函数321()43cos 32f x x x θ=-+，其中x ∈R ，θ为参数，且π02θ≤≤． ⑴当cos 0θ=时，判断函数()f x 是否有极值；⑵要使函数()f x 的极小值大于零，求参数θ的取值范围；⑶若对⑵中所求的取值范围内的任意参数θ，函数()f x 在区间(21)a a -，内都是增函数，求实数a 的取值范围．题型四：导数与数列综合【例13】已知函数()sin f x x x =-，数列{}n a 满足：101a <<，1()n n a f a +=，123n = ，，，．证明：⑴101n n a a +<<<； ⑵3116n n a a +<．【例14】已知数列{}n a 的通项238n a n n =-，n +∈N ，求数列{}n a 的最大项．【例15】共有50项的数列{}n a 的通项n a =【例16】设数列{}n a 的通项公式为2()n a n n n λ+=+∈N ，且{}n a 满足121n n a a a a +<<<<< ，求实数λ的取值范围．【例17】已知数列{}n a 满足：3123n n n a a a +=-+，n +∈N ，且1(01)a ∈，，求证：01n a <<．【例18】各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，函数21()()ln 2f x px p q x q x =-++，（其中p 、q 均为常数，且0p q >>），当1x a =时，函数()f x 取得极小值，点(2)()n n a S n *∈N ，均在函数22()qy px f x q x'=-++的图象上，（其中()f x '是函数()f x 的导函数）⑴求1a 的值；⑵求数列{}n a 的通项公式； ⑶记43n nn S b q n =⋅+，求数列{}n b 的前n 项和n T ．【例19】已知数列{}n a 的首项15a =，前n 项和为n S ，且*125()n n S S n n +=++∈N⑴证明数列{}1n a +是等比数列；⑵令212()n n f x a x a x a x =+++ ，求函数()f x 在点1x =处的导数(1)f '，并比较2(1)f '与22313n n -的大小．【例20】已知a 是给定的实常数，设函数2()()()x f x x a x b e =-+，b ∈R ，x a =是()f x 的一个极大值点．⑴求b 的取值范围；⑵设1x ，2x ，3x 是()f x 的3个极值点，问是否存在实数b ，可找到4x ∈R ，使得1x ，2x ，3x ，4x 的某种排列1i x ，2i x ，3i x ，4i x （其中1234{}{1234}i i i i =，，，，，，）依次成等差数列？若存在，求所有的b 及相应的4x ；若不存在，说明理由．。

专题3-10 导数与数列,导数与概率统计(解析版)2023年高考数学二轮专题全套热点题型

a＝1.
于是
f′(x)＝
1 x
－1＝
1
x
x
，
当 x(0，1)时，f′(x)>0，f(x)为增函数，当 x(1，＋∞)时，f′(x)<0，f(x)为减函数，
即 f(x)的单调递增区间为(0，1)，单调递减区间为(1，＋∞).
(2) 由(1)知 x1(0，＋∞)，f(x1)≤f(1)＝0，即 f(x1)的最大值为 0，由题意知：对∀x1(0，＋∞)，∃x2(－∞，0)使得 f(x1)≤g(x2)成立，只需 f(x)max≤g(x)max.
在区间 ea1,1 单调递减.
又 f ea1 f 1 0 ,与 f x0 恒成立相矛盾.
综上, 实数 a 的取值范围为1, .
(2)
由（1）知当 a 1 时， x 1 x ln x ≤ 0 0 x ≤1
即 ln x ≥ x 1 1 1
x
x
令 x 1 ，则 ln 1 ≥1 n
.............................................................22
题型一：利用放缩通项公式解决数列求和中的不等问题
【典例分析】
例题
1．（2022·全国·高三专题练习）已知正项数列an 满足
a0
0,
a2 n1
an2
2(n
1), n
N
．
(1)求证： an2 an1 ； an1 an
.
4．（2022·湖南张家界·高二期末）已知函数 f x ln x ax 1，其中 a R ．
(1)当 a 1 时，求函数 f (x) 的单调区间；
(2)①若 f x 0 恒成立，求 a 的最小值；

利用导数证明数列不等式(含解析)

利用导数证明数列不等式(含解析)利用导数证明数列不等式是高考中常见的题型，可以考查学生灵活运用知识的能力。

这种题型一方面以函数为背景，让学生探究函数的性质；另一方面，体现数列是特殊的函数，进而利用恒成立的不等式将没有规律的数列放缩为有具体特征的数列。

可以说，这种题型涉及到函数、导数、数列和不等式，是一题多考的巧妙结合，也是近年来高考的热门题型。

常见的题型有两种类型：一种是利用放缩通项公式解决数列求和中的不等问题，另一种是利用递推公式处理通项公式中的不等问题。

恒成立不等式的来源主要有两种：一是函数的最值，最值可以提供XXX成立的不等式；二是恒成立问题的求解，参数范围内的值均可提供恒成立不等式。

常见的恒成立不等式有lnxx+1.关于前n项和的放缩问题，求数列前n项公式往往要通过数列的通项公式来解决。

高中阶段求和的方法有倒序相加、错位相减、等比数列求和公式和裂项相消。

在处理数列求和不等式时，放缩为等比数列和能够裂项相消的数列的情况比较多见，应优先考虑。

对于数列求和不等式，要从通项公式入手，结合不等号方向考虑放缩成可求和的通项公式。

在放缩时要注意前几问的铺垫与提示，尤其是关于恒成立问题与最值问题所带来的恒成立不等式，往往提供了放缩数列的方向。

放缩通项公式有可能会进行多次，要注意放缩的方向，朝着可求和的通项公式进行靠拢（等比数列，裂项相消等）。

数列不等式也可考虑利用数学归纳法进行证明。

经典例题是已知函数f(x)=kx-xlnx，求函数f(x)的单调区间、当<x≤1时，f(x)≤k恒成立的k的取值范围，以及证明ln1ln2+23+lnnn(n-1)≤n+14.1.已知函数$f(x)=\ln(ax+1)(x\geq0,a>0)$，$g(x)=x-\frac{x^3}{3}$。

1）讨论函数$y=f(x)-g(x)$的单调性；2）若不等式$f(x)\geq g(x)+1$在$x\in[0,+\infty)$时恒成立，求实数$a$的取值范围；3）当$a=1$时，证明：frac{1}{1\cdot3\cdot5\cdots(3572n+1)}+\frac{1}{2\cdot4\cd ot6\cdots(3572n+2)}+\cdots+\frac{1}{(2n-1)(2n+1)}<f^{(n)}(n)(n\in N^*),$$其中$f^{(n)}(n)$表示$f(x)$的$n$阶导数在$x=n$处的值。

高三数学导数的实际应用试题答案及解析

高三数学导数的实际应用试题答案及解析1.已知函数，．（Ⅰ）若曲线在点处的切线与直线垂直，求的值；（Ⅱ）求函数的单调区间；（Ⅲ）设，当时，都有成立，求实数的取值范围．【答案】（Ⅰ），（Ⅱ）当时，的单调增区间为；当时，的单调增区间是，的单调减区间是．（Ⅲ）.【解析】（Ⅰ）利用导数的几何意义，曲线在点处的切线斜率为在点处的导数值. 由已知得．所以．，（Ⅱ）利用导数求函数单调区间，需明确定义域，再导数值的符号确定单调区间. 当时，,所以的单调增区间为．当时,令，得，所以的单调增区间是；令，得，所以的单调减区间是．（Ⅲ）不等式恒成立问题，一般利用变量分离转化为最值问题. “当时，恒成立”等价于“当时，恒成立．”设，只要“当时，成立．”易得函数在处取得最小值，所以实数的取值范围．（Ⅰ）由已知得．因为曲线在点处的切线与直线垂直，所以．所以．所以． 3分（Ⅱ）函数的定义域是，．（1）当时，成立，所以的单调增区间为．（2）当时，令，得，所以的单调增区间是；令，得，所以的单调减区间是．综上所述，当时，的单调增区间为；当时，的单调增区间是，的单调减区间是． 8分（Ⅲ）当时，成立，．“当时，恒成立”等价于“当时，恒成立．”设，只要“当时，成立．”．令得，且，又因为，所以函数在上为减函数；令得，，又因为，所以函数在上为增函数．所以函数在处取得最小值，且．所以．又因为，所以实数的取值范围． 13分（Ⅲ）另解：（1）当时，由（Ⅱ）可知，在上单调递增，所以．所以当时，有成立．（2）当时，可得．由（Ⅱ）可知当时，的单调增区间是，所以在上单调递增，又，所以总有成立．（3）当时，可得．由（Ⅱ）可知，函数在上为减函数，在为增函数，所以函数在处取最小值，且．当时，要使成立，只需，解得．所以．综上所述，实数的取值范围．【考点】利用导数求切线，利用导数求单调区间，利用导数求最值2.已知y=f（x）与y=g（x）都为R上的可导函数，且f′（x）＞g′（x），则下面不等式正确的是（）A．f（2）+g（1）＞f（1）+g（2）B．f（1）+f（2）＞g（1）+g（2）C．f（1）﹣f（2）＞g（1）﹣g（2）D．f（2）﹣g（1）＞f（1）﹣g（2）【答案】A【解析】∵f'（x）＞g'（x），∴f'（x）﹣g'（x）＞0，∴[f（x）﹣g（x）]′＞0，∴函数f（x）﹣g（x）在R上为增函数．∵1＜2，∴f（1）﹣g（1）＜f（2）﹣g（2），移向即得f（2）+g（1）＞f（1）+g（2）故选A3.某公司生产一种产品，固定成本为20000元，每生产一单位的产品，成本增加100元，若总收入R与年产量x的关系是，则当总利润最大时，每年生产产品的单位数是()A．150B．200C．250D．300【答案】D【解析】∵总利润由P′(x)＝0，得x＝300，故选D.4.一个圆柱形圆木的底面半径为1m，长为10m，将此圆木沿轴所在的平面剖成两个部分．现要把其中一个部分加工成直四棱柱木梁，长度保持不变，底面为等腰梯形（如图所示，其中O为圆心，在半圆上），设，木梁的体积为V（单位：m3），表面积为S（单位：m2）．（1）求V关于θ的函数表达式；（2）求的值，使体积V最大；（3）问当木梁的体积V最大时，其表面积S是否也最大？请说明理由．【答案】(1)；(2)；（3）是.【解析】（1）本题求直四棱柱的体积，关键是求底面面积，我们要用底面半径1和表示出等腰梯形的上底和高，从图形中可知高为，而，因此面积易求，体积也可得出；（2）我们在（1）中求出，这里的最大值可利用导数知识求解，求出，解出方程在上的解，然后考察在解的两边的正负性，确定是最大值点，实质上对应用题来讲，导数值为0的那个唯一点就是要求的极值点）；（3），上（2）我们可能把木梁的表面积用表示出来，，由于在体积中出现，因此我们可求的最大值，这里可不用导数来求，因为，可借助二次函数知识求得最大值，如果这里取最大值时的和取最大值的取值相同，则结论就是肯定的.试题解析：（1）梯形的面积=，． 2分体积． 3分（2）．令，得，或（舍）．∵，∴． 5分当时，，为增函数；当时，，为减函数． 7分∴当时，体积V最大． 8分（3）木梁的侧面积=，．=，． 10分设，．∵，∴当，即时，最大． 12分又由（2）知时，取得最大值，所以时，木梁的表面积S最大． 13分综上，当木梁的体积V最大时，其表面积S也最大． 14分【考点】（1）函数解析式；（2）用导数求最值；（3）四棱柱的表面积及其最值.5.一火车锅炉每小时煤的消耗费用与火车行驶速度的立方成正比，已知当速度为20 km/h时，每小时消耗的煤价值40元，其他费用每小时需400元，火车的最高速度为100 km/h，火车以何速度行驶才能使从甲城开往乙城的总费用最少？【答案】速度为20 km/h时，总费用最少【解析】设火车的速度为x km/h，甲、乙两城距离为a km.由题意，令40＝k·203，∴k＝，则总费用f(x)＝(kx3＋400)·＝a.∴f(x)＝a (0＜x≤100)．由f′(x)＝＝0，得x＝20.当0＜x＜20时，f′(x)＜0；当20＜x＜100时，f′(x)＞0.∴当x＝20时，f(x)取最小值，即速度为20 km/h时，总费用最少．6.已知函数（Ⅰ）若对任意，使得恒成立，求实数的取值范围；（Ⅱ）证明：对，不等式成立.【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）详见解析.【解析】(Ⅰ) 利用导数分析单调性，进而求最值；(Ⅱ)利用不等式的放缩和数列的裂项求和试题解析：（I）化为易知，，设，设，，，上是增函数，（Ⅱ）由（I）知：恒成立，令，取相加得：即证明完毕【考点】查导数，函数的单调性，数列求和，不等式证明7.设等差数列{an }的前n项和为Sn，已知(a5－1)3＋2 011·(a5－1)＝1，(a2 007－1)3＋2 011(a2 007－1)＝－1，则下列结论正确的是()A．S2 011＝2 011，a2 007<a5B．S2 011＝2 011，a2 007>a5C．S2 011＝－2 011，a2 007≤a5D．S2 011＝－2 011，a2 007≥a5【答案】A 【解析】令，在R上单调递增且连续的函数所以函数只有唯一的零点，从而可得，同理∵(a5－1)3＋2 011·(a5－1)＝1，(a2 007－1)3＋2 011(a2 007－1)＝－1两式相加整理可得，由，可得＞0，由等差数列的性质可得【考点】函数性质与等差数列及性质点评：本题的入手点在于通过已知条件的两数列关系式构造两函数，借助于函数单调性得到数列中某些特定项的范围，再结合等差数列中的相关性质即可求解，本题难度很大8.已知定义在上的函数满足，且，，若数列的前项和等于，则＝A．7B．6C．5D．4【答案】B【解析】由得，即为R上的减函数，所以，由，得，即，解得或，又，所以，故，数列即，其前项和为，整理得，解得，故选B．【考点】本题考查了导数与数列的综合运用点评：此类问题常常利用导数法研究函数的单调性，然后再利用数列的知识求解9.已知f（x）=x-（a>0），g（x）=2lnx+bx且直线y=2x－2与曲线y=g（x）相切．（1）若对[1，+）内的一切实数x，小等式f（x）≥g（x）恒成立，求实数a的取值范围；（2）当a=l时，求最大的正整数k，使得对[e，3]（e=2．71828是自然对数的底数）内的任意k个实数x1，x2，，xk都有成立；（3）求证：．【答案】（1）；（2）的最大值为．（3）当时，根据（1）的推导有，时，，即．令，得，化简得，。