高中数学选修2-2人教A版 2.2.2反证法

说明：常用的正面叙述词语及其否定：
正面 词语
否定
等于 不等于
大于（>） 小于 (<) 是
小于或 大于或 等于（≤） 等于（≥） 不是
都是 不都是
正面 至多有 至少有 任意的 所有的 至多有n 任意
词语 一个 一个
个 两个
至少有 一个也 否定 两个 没有
某个
某些 至少有n 某两个 ＋1个
求证： 2 是无理数.
证 ： 假 设2是 有 理 数 ，
则 存 在 互 质 的 整 数 m ， n 使 得 2=m， n
∴ m = 2n ∴m2 =2n2
∴ m 2 是 偶 数 ， 从 而 m 必 是 偶 数 ， 故 设 m = 2 k （ k ∈ N ）
从 而 有 4 k 2= 2 n 2 ， 即 n 2= 2 k 2 ∴n2也是偶数，这 与 m ， n 互 质 矛 盾 ！
所 以 假 设 不 成 立 ， 2 是 有 理 数 成 立 。
选做作业:
1.直线 PO 与平面 相交于 O ，过点 O 在平面 内
引直线 OA 、 OB 、 OC ， POA POB POC .
求证： PO .
P
A E
2.已知 f ( x) x2 px q ，
O
H
a
CF B
求证： | f (1) |,| f (2) |,| f (3) | 中至少有一个不小于 1 。 2
例3:用反证法证明：圆的两条不是直径的相交弦
不能互相平分。
已知：如图，在⊙O中，弦AB、CD交于点P，且
AB、CD不是直径.求证：弦AB、CD不被P平分. A
证明：假设弦AB、CD被P平分，
O
D
由于P点一定不是圆心O，连结OP，根据垂径
定理的推论，有OP⊥AB，OP⊥CD，
P C
即过点P有两条直线与OP都垂直，这与垂线性质矛盾。
1.直线 PO 与平面 相交于 O ，过点O 在平面 内引直 线 OA 、 OB 、 OC ， POA POB POC . P
求证： PO .
证明：假设 PO 不垂直平面 。
A
作 PH 并与平面 相交于 H，
E
此时 H、O 不重合，连结 OH。 由 P 作 PE OA于 E，
O
H
a
CF B
PF OB 于 F，根据三垂线定理可知，
HE OA， HF OB .∵ POA POB，PO 是公共边，
∴ RtPOE RtPOF ∴ OE OF 又 OH OH
∴ RtOFH RtOEH ∴ FOH EOH
因此，OH 是 AOB的平分线。同理可证，OH 是 AOC的平
分线。但是，OB 和 OC 是两条不重合的直线，OH 不可能同
3.由矛盾判定假设不正确,从而肯定
命题的结论正确.
结论
例1：用反证法证明： 如果a>b>0，那么 a > b
证 ： 假 设 a >b 不 成 立 ， 则 a ≤ b 若a= b， 则 a=b,与 已 知 a>b矛 盾 ,
若a< b， 则 a<b,与 已 知 a>b矛 盾 , 故 假 设 不 成 立 ， 结 论 a >b 成 立 。
例2 已知a≠0，证明x的方程ax=b有且只有 一个根．
证 ： 假 设 方 程 a x + b = 0 ( a ≠ 0 ) 至 少 存 在 两 个 根 ，
不 妨 设 其 中 的 两 根 分 别 为 x 1 ， x 2 且 x 1 ≠ x 2 则 ax1=b， ax2=b∴ax1 =ax2 ∴ax1-ax2 =0 ∴ a（ x1-x2） =0 ∵ x 1≠ x 2 ， x 1-x 2 ≠ 0 ∴a = 0 与 已 知 a≠ 0矛 盾 , 故 假 设 不 成 立 ， 结 论 成 立 。
(2)用反证法证题,矛盾的主要类型有哪些? 用反证法在归谬中所导出的矛盾可以是与题设矛盾,与
假设矛盾,与已知定义、公理、定理矛盾，自相矛盾等． (3)适宜使用反证法的情况: 正难则反! (1)结论以否定形式出现；(2)结论以“至多---,” ,“至少---” 形式出现；(3)唯一性、存在性问 题;(4)结论的反面比原结论更具体更容易研究的命题。
2.2.2 反证法
反证法
阅读下面的故事,体会其中的推理: 《路边苦李》
古时候有个人叫王戎，7 岁那年的某一天和 小伙伴在路边玩，看见一棵李子树上的果实多得 把树枝都快压断了，小伙伴们都跑去摘，只有王 戎站着没动。他说：“李子是苦的,我不吃。”小伙 伴摘来一尝，李子果然苦的没法吃。小伙伴问王 戎:“这就怪了!你又没有吃,怎么知道李子是苦的 啊?”王戎说:“如果李子是甜的,树长在路边,李 子早就没 了！李子现在还那么多 ,所以啊,肯定李 子是苦的，不好吃!”
B
所以，弦AB、CD不被P平分。
反 证法是一 种重要的 数学思想 方法， 对于那些 含有否 定词的命题，“至少”型命题、唯一性命题，尤为适宜。牛
顿说：“反证法是数学上最精良的武器之一.” 这就充分肯
定了这一方法的积极作用和不可动摇的重要地位。
数学上很多有名的结论都是用反证法得证的.比如说,
素数有无穷多个, 2 是无理数的证明等.
什么是反证法？
一般地，假设原命题不成立，经过正确的推理，
最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命
题成立，这样的证明方法叫做反证法(归谬法).
反证法证明命题的一般步骤如下:
1.假设结论的反面成立; 反设
2.由这个假．设．出发,经过正确的推显而易见的矛盾(如和已知条件矛盾).
方法小结: 1直接证明:直接从原命题的条件逐步推得结论成立. ⑴综合法──联想尝试(浮想联翩,尝试前进!)
由⑵因分导析果法:─(已─知转)化A尝试B(1执果索因,B妙n 在转 B (化结!论) )
执果索因:(结论) B B1 Bn A (已知)
2.反证法是一种常用的间接证明方法.
(1)用反证法证明命题的一般步骤是什么? ①反设②归谬③结论
你能举出一个类似故事《路边苦李》中的推理 的例子吗？
“昨晚下雨了……”
下面的计算结果是否正确：
123456789 999999999 123456789876543211
当我们直接从正面考虑不易解决问题时,于是就要 改变思维方向,从结论入手,反面思考。这种从“正面难 解决就从反面思考”的思维方式就是我们通常所说的 间接解法中的一种——反证法. (又比如课本的思考)