第一课时 实数的有关概念

3. 算术平方根、平方根、立方根的概念和应用
此内容为本课时的难点，为此设计了［归类探究］中的例4；［限时集训］中的第8题. 4. 科学记数法、近似数、有效数字的概念和应用 此内容为本课时的重点，为此设计了［归类探究］中的例5；［限时集训］中的第9， 10， 11，16题. 5. 运用实数的有关性质解决问题 此内容为本课时的难点，为此设计了［归类探究］中的例6；［限时集训］中的第17，
3.相反数
定义：只有 符号不同 表示：实数a的相反数是 的两个数叫做互为相反数，0的相反数是 0 .
-a
.
性质：a,b互为相反数，则a+b=
0
.
几何意义：从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称.
4.倒数 定义：乘积为 1 注意：0没有倒数. 的两个数互为倒数.
5.绝对值
定义：数轴上表示数a的点与原点的 距离 ，记作|a|.
D
)
A. 2.5
B.
C.
D.
【解析】数轴上的点表示的实数就是以AB、OA的长为直角边的三角形斜边OB的长， 由勾股定理得OB= ［预测变形4］ ［2011²河北］ = ，所以这个点表示的实数是
，π，- 4，0这四个数中，最大的数是 π . ， 故这四个数中最大的数
【解析】本题主要考查实数大小的比较及无理数的大小估算.因 即 是π. ，又因为π＞3，所以
类型之三
实数的大小比较与数轴
［2012²预测题］实数x,y在数轴上的位置如图1-1所示，则 (
B
)
A. x＞y＞0
B .y＞x＞0
C .x＜y＜0
D .y＜x＜0
【解析】本题考查实数的大小比较.直接根据数轴上的点表示的数，右边的数总比
左边的数大，得y＞x＞0.
【预测理由】 “数形结合” 是新教材非常注重的一种思想，利用它解题比较直观.此 类题型利用数轴上的点表示的数，右边的数总是比左边的数大，从而考查 实数的大小比较.
类型之四
平方根、立方根与算术平方根
2011²茂名］已知：一个正数的两个平方根分别是2a-2和a-4，则a的值是 2 .
【解析】本题主要考查一个正数的两个平方根互为相反数这一性质，由这一性质， 通过列方程求解，即（2a-2）+（a-4）=0，解得a=2.
［2011²泉州］（-2）2的算术平方根是（
A. 2 B . ±2 C. - 2
【解析】科学记数法的一般形式是a³10n（1≤a＜10），对于大于1的数，其指数n等 于该数的整数位数减1，先计算0.32³1 000 000=320 000,再转化为科学记
数法为3.2³105，故选C.
［2010²孝感］某种细胞的直径是5³10-4毫米，这个数是（ A. 0.05毫米 C. 0.000 5毫米 B. 0.005毫米 D. 0.000 05毫米
若实数x,y满足|x-2|+(3-y)2=0,则代数式xy-x2的值为 2 【解析】由非负数的意义确定x,y的值，再求代数式xy-x2的值. 由题意得 解得 【点悟】 （1）常见的非负数有|a|,a2, （a≥0）；
.
（2）若几个非负数（式）的和为零，那么这几个数（式）都为零.
B
）
［学生用书P1］ 1.实数的概念及分类 按定义分类：
按正负分类：
无理数： 无限不循环小数 有理数： 有限小数
叫做无理数.
或无限循环小数称为有理数.
2.数轴 定义：规定了 原点 、正方向 和 单位长度 的直线叫做数轴.
大小比较：
右边的数总比左边 的数大. （1）在数轴上表示两个数， （2）正数 大于 0；负数 小于 0；正数 大于 一切负数；两个负数比较，绝对值大的反而 小 注意：数轴上的点与实数一一对应.
几何意义：一个实数的绝对值，就是数轴上表示这个数的点到原点的距离.
6.科学记数法 定义：把一个数写成 a³10n 科学记数法. 规律：（1）当原数大于或等于1时，n等于原数的整数位数减1； （2）当原数小于1时，n是负整数，它的绝对值等于原数中左起第一位非零数 字前面零的个数（含小数点前的0）. 7.近似数与有效数字 的形式（其中1≤a<10,n为整数），这种记数方法叫做
的相反数是(
C . -2
B
) D.-
)
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D . -
（2）［2011²聊城］-3的绝对值是( A. -3 B. 3 C.
B
【解析】本题考查相反数和绝对值的概念.
（1）-
的相反数是
；（2）-3的绝对值是3.
【点悟】(1)只有符号不同的两个数互为相反数，即a的相反数为-a; (2)一个负数的绝对值等于它的相反数，结果为正.
［学生用书P1］ 类型之一 实数的概念 、sin30°中，无理数的个数为( D.4 B )
［2011²滨州］在实数π、 、 A. 1 B. 2
C. 3
【解析】无理数就是无限不循环小数，常见的无理数有：①π；②开方开不尽的数， 如 又因为 sin30°= ；③构造的数，如0.202 002 000 2„（每两个2之间依次多一个0）， ，故本题无理数为π， ，共2个. ² ,0.23,cos60°， ） D . 5
［2011²浙江］中国是严重缺水的国家之一，人均淡水资源为世界人均量的四 分之一，所以我们要为中国节水，为世界节水.若每人每天浪费水0.32 L,那么100万 人每天浪费的水，用科学记数法表示为( A. 3.2³107 L B. 3.2³106 L
C
) C. 3.2³105 L D. 3.2³104 L
D
D.
4.［2011²台州］在12，0，1，-2这四个数中，最小的数是（ A. B. 0 C. 1 D. - 2
D
）
5.［2011²宁波］据宁波市统计局公布的第六次人口普查数据，本市常住人口760.57万 人，其中760.57万人用科学记数法表示为（ A. 7.6057³105人 C. 7.6057³107人 B. 7.6057³106人 D. 0.76057³107人
［预测变形5］
［2011²成都］已知实数m、n在数轴上的对应点的位置如图1-5所示，
则下列判断正确的是(
C
)
A. m＞0
B. n＜0
C. mn＜0
D . m-n＞0
【解析】由数轴知m＜0，n＞0，所以mn＜0，m-n＜0，故选C. 【点悟】比较两个实数的大小的方法有：①正数>零>负数；②利用数轴；③差值比较 法；④商值比较法；⑤倒数法；⑥取特殊值法等.本题可直接运用方法②来比较.
［预测变形1］ ［2011²宜昌］如图1-2，数轴上A，B两点分别对应实数a,b，则下列 结论正确的是(
C
)
A.a＜b
B.a=b
C.a＞b
D.ab＞0
【解析】本题可直接观察数轴得a＞b；也可由数轴上点的位置确定a为正数，b为数， 再根据正数大于一切负数，得a＞b.
［预测变形2］ ［2010²金华］如图1-3，若A是实数a在数轴上对应的点，则关于a, -a,1的大小关系表示正确的是(
精确度：一个近似数，四舍五入
到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位.
有效数字：对于一个近似数，从左边第一个不是0的数字起到 精确到的数位 止，所有的数字都叫做这个数的有效数字.
8.平方根与立方根 平方根：如果一个数的平方等于a,那么这个数就叫做a的平方根（也叫二次方根），记 为x=± （a≥0 ) .
C
）
【点悟】用科学记数法可以把一个大于10的数表示成a³10n，其中1≤a＜10，n是小数 点向左边挪动的位数.
类型之六
非负数的性质的应用
［2011²济宁］若x+y-1+（y+3）2=0，则x-y的值为( A. 1 B. -1 C . 7 D . -7
C
)
【解析】本题考查非负数的识别及性质，解此类题常用方法是根据非负数的性质， 先列方程求出x，y的值，再代入计算.
［2010²巴中］下列各数：
1A. 2
,0，
，0.303003„„，
中无理数的个数为（ B. 3 ，1-
B
C . 4
【解析】属于无理数的是：
,0.303 003„„, ∴选B.
【点悟】实数可分为有理数（整数、分数）和无理数，只要是整数、分数,就一定不是无 理数.
类型之二
倒数、相反数和绝对值
（1）［2011²扬州］A. 2 B. 12
18，19，20，21，22，23，24题中的预测变形3，4题.
［学生用书P1］ 1.［2011²湖州］-5的相反数是（ A. 5 B. -5 C.
A A
）
） D. -1 ） D.
2.［2011²义乌］-3的绝对值是（ A. 3 B. -3 C.
3.［2011²广东］-2的倒数是（
A. 2 B. - 2 C.
第一单元
第1课时
实数
实数的有关概念
本课时复习主要解决下列问题. 1.实数的概念及分类 此内容为本课时的重点，为此设计了［归类探究］中的例1；［限时集训］中的第1，2题.
2.实数的大小比较及倒数、相反数、绝对值
此内容为本课时的难点与混淆点，为此设计了［归类探究］中的例2，例3（包括预测变形
1， 2，3，4，5）；［限时集训］中的第3～7，12，13，14，15，24题（包括预测变形1，2）.
A
)
A. a＜1＜- a
B. a＜-a＜1
C.1＜-a＜a
D. -a＜a＜1
【解析】此类题可用特殊值代入作比较，由数轴上点A的位置，可取a=-2，则-a=2， 所以-a＞1＞a，故选A. ［预测变形3］ ［2011²贵阳］如图1-4，矩形OABC的边OA长为2，边AB长为1， OA在数轴上，以原点O为圆心，对角线OB的长为半径画弧，交正半轴于一点， 则这个点表示的实数是(
A
）
D. 2
［2010²泰安］1，2，3，„，100这100个自然数的算术平方根和 立方根中，无理数的个数有 186 个.
【解析】开方开不尽的数属于无理数，而1~100中算术平方根为有理数的共有10个， 1～100中立方根为有理数的有1，8，27，64共4个，其余数都是开方开不尽的 数， 即 200-10-4=186. 【点悟】（1）一个正数的平方根有两个，它们是互为相反数； （2）互为相反数的两数和为零. 类型之五 科学记数法
算术平方根：正数的正的平方根和零的平方根统称为算术平方根，一个数a的算术平方
根记为x=
(a≥0) .
，那么这个数x就叫做a的立方根（也
立方根：如果一个数x的立方等于a,即 x3=a 叫三次方根），记为x =
3
.
9.非负数
定义：正数和零叫做非负数（记为a≥0）.
常见非负数：|a| ,a2 , (a≥0).