【高考调研】2020高中数学课时作业19 新人教A版选修2-2

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2019-2020学年数学人教A版选修2-2作业与测评：第三章单元质量测评(二) Word版含解

姓名，年级：时间：第三章单元质量测评(二）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题，共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．已知a，b∈C，下列命题正确的是( )A．3i＜5i B．a＝0⇔｜a｜＝0C．若｜a|＝|b|，则a＝±b D．a2≥0答案B解析A选项中，虚数不能比较大小；B选项正确;C选项中，当a，b ∈R时，结论成立,但在复数集中不一定成立，如|i｜＝错误!，但i≠－错误!＋错误!i或错误!－错误!i；D选项中,当a∈R时结论成立，但在复数集中不一定成立，如i2＝－1＜0.2．i是虚数单位,则错误!的虚部是（）A。

错误!i B．－错误!i C。

错误! D．－错误!答案C解析错误!＝错误!＝错误!＝错误!＋错误!i。

3。

错误!是z的共轭复数．若z＋错误!＝2，（z－错误!）i＝2(i为虚数单位),则z＝（）A．1＋i B．－1－iC．－1＋i D．1－i答案D解析解法一:设z＝a＋b i,a，b为实数，则错误!＝a－b i，∵z＋错误!＝2a＝2，∴a＝1。

又（z－错误!)i＝2b i2＝－2b＝2，∴b＝－1。

故z＝1－i。

解法二：∵（z－错误!)i＝2,∴z－错误!＝错误!＝－2i.又z＋错误!＝2，∴（z－错误!)＋(z＋错误!）＝－2i＋2,∴2z＝－2i＋2，∴z＝1－i。

4．当z＝错误!时,z100＋z50＋1的值等于（）A．1 B．－1 C．i D．－i答案D解析∵z2＝错误!＝－i,∴z4＝(－i）2＝－1，∴z100＋z50＋1＝（z4）25＋(z4)12·z2＋1＝－1＋(－i)＋1＝－i。

5．若a，b∈R,则复数(a2－6a＋10）＋(－b2＋4b－5)i对应的点在( ）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限答案D解析复数对应点的坐标为（a2－6a＋10，－b2＋4b－5），又∵a2－6a＋10＝(a－3）2＋1＞0,－b2＋4b－5＝－（b－2)2－1＜0，所以复数对应的点在第四象限．故选D。

2019-2020学年数学人教A版选修2-2作业与测评：学期综合测评(二) Word版含解析

姓名，年级：时间：选修2－2 学期综合测评（二)本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题)两部分．满分150分,考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题，共60分）一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．下列说法正确的是( )A．2＞2i B．2＞（3i)2C．2＋3i＜3＋3i D．2＋2i＞2＋i答案B解析本题主要考查复数的性质．不全为实数的两个复数不能比较大小，故排除A，C，D；而B中(3i）2＝－9＜2，故选B.2．用反证法证明命题“若直线AB，CD是异面直线,则直线AC，BD也是异面直线”的过程分为三步：①则A，B，C，D四点共面，所以AB，CD共面，这与AB，CD是异面直线矛盾；②所以假设错误，即直线AC,BD也是异面直线;③假设直线AC，BD是共面直线．则正确的顺序为( ）A．①→②→③ B．③→①→②C．①→③→② D．②→③→①答案B解析本题主要考查反证法的步骤．反证法的步骤是：反设→归谬→结论．结合本题，知选B。

3．用反证法证明“若a＋b＋c〈3，则a，b，c中至少有一个小于1”时，应( ）A．假设a，b,c至少有一个大于1B．假设a，b，c都大于1C．假设a,b，c至少有两个大于1D．假设a,b，c都不小于1答案D解析假设a，b,c中至少有一个小于1不成立，即a，b，c都不小于1,故选D。

4．用数学归纳法证明12＋22＋...＋（n－1）2＋n2＋(n－1)2＋ (22)12＝错误!时，从n＝k到n＝k＋1时，等式左边应添加的式子是( ）A．(k－1）2＋2k2B．（k＋1）2＋k2C．（k＋1）2 D.错误!(k＋1)［2（k＋1）2＋1]答案B解析n＝k时，左边＝12＋22＋…＋(k－1）2＋k2＋（k－1)2＋…＋22＋12,n＝k＋1时,左边＝12＋22＋…＋(k－1）2＋k2＋（k＋1)2＋k2＋（k－1)2＋…＋22＋12，∴从n＝k到n＝k＋1，左边应添加的式子为（k＋1)2＋k2.5．定义在R上的可导函数f（x），已知y＝e f′（x)的图象如图所示，则y＝f（x)的增区间是( )A．（－∞,1）B．（－∞，2）C．(0，1）D．(1，2)答案B解析由题中图象知e f′(x)≥1,即f′(x)≥0时，x≤2，∴y＝f（x）的增区间为(－∞，2）．6．已知x〉0，不等式x＋错误!≥2,x＋错误!≥3，x＋错误!≥4,…,可推广为x＋错误!≥n＋1，则a的值为( )A．n2 B．n n C．2n D．22n－2答案B解析由x＋错误!≥2,x＋错误!＝x＋错误!≥3,x＋错误!＝x＋错误!≥4，…,可推广为x＋错误!≥n＋1，故a＝n n.7．如图，抛物线y＝－x2＋2x＋1与直线y＝1形成一个闭合图形（图中的阴影部分),则该闭合图形的面积是( ）A．1 B.错误!C。

2019-2020学年人教A版选修2-2 变化率与导数课时作业

2019-2020学年人教A 版选修2-2 变化率与导数课时作业1.(2019·温州模拟)已知函数f (x )＝x 2＋2x 的图象在点A (x 1，f (x 1))与点B (x 2，f (x 2))(x 1＜x 2＜0)处的切线互相垂直，则x 2－x 1的最小值为( )A ．12B ．1C ．32D ．2解析：选B.因为x 1＜x 2＜0，f (x )＝x 2＋2x ，所以f ′(x )＝2x ＋2，所以函数f (x )在点A ，B 处的切线的斜率分别为f ′(x 1)，f ′(x 2)，因为函数f (x )的图象在点A ，B 处的切线互相垂直，所以f ′(x 1)f ′(x 2)＝－1. 所以(2x 1＋2)(2x 2＋2)＝－1，所以2x 1＋2＜0，2x 2＋2＞0，所以x 2－x 1＝12[－(2x 1＋2)＋(2x 2＋2)]≥－（2x 1＋2）（2x 2＋2）＝1，当且仅当－(2x 1＋2)＝2x 2＋2＝1，即x 1＝－32，x 2＝－12时等号成立．所以x 2－x 1的最小值为1.故选B.2.已知f (x )＝ax 4＋b cos x ＋7x －2.若f ′(2 018)＝6，则f ′(－2 018)＝( ) A ．－6 B ．－8 C ．6D ．8解析：选D.因为f ′(x )＝4ax 3－b sin x ＋5. 所以f ′(－x )＝4a (－x )3－b sin(－x )＋7 ＝－4ax 3＋b sin x ＋5. 所以f ′(x )＋f ′(－x )＝10. 又f ′(2 018)＝6，所以f ′(－2 018)＝14－6＝8，故选D.3. 如图，y ＝f (x )是可导函数，直线l ：y ＝kx ＋2是曲线y ＝f (x )在x ＝3处的切线，令g (x )＝xf (x )，其中g ′(x )是g (x )的导函数，则g ′(3)＝( )A ．－1B ．0C ．2D ．4解析：选B.由题图可得曲线y ＝f (x )在x ＝3处切线的斜率等于－13，即f ′(3)＝－13.又因为g (x )＝xf (x )，所以g ′(x )＝f (x )＋xf ′(x )，g ′(3)＝f (3)＋3f ′(3)，由图可知f (3)＝1，所以g ′(3)＝1＋3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝0.4.若点P 是曲线y ＝x 2－ln x 上任意一点，则点P 到直线y ＝x －2距离的最小值为( ) A ．1 B ． 2 C ．22D ． 3解析：选B.因为定义域为(0，＋∞)，令y ′＝2x －1x＝1，解得x ＝1，则在P (1，1)处的切线方程为x －y ＝0，所以两平行线间的距离为d ＝22＝ 2.5.已知f (x )＝ln x x 2＋1，g (x )＝(1＋sin x )2，若F (x )＝f (x )＋g (x )，则F (x )的导函数为________．解析：因为f ′(x )＝（ln x ）′（x 2＋1）－ln x （x 2＋1）′（x 2＋1）2＝1x （x 2＋1）－2x ln x （x 2＋1）2＝x 2＋1－2x 2ln x x （x 2＋1）2g ′(x )＝2(1＋sin x )(1＋sin x )′＝2cos x ＋sin 2x ，所以F ′(x )＝f ′(x )＋g ′(x )＝x 2＋1－2x 2ln x x （x 2＋1）2＋2cos x ＋sin 2x .答案：x 2＋1－2x 2ln x x （x 2＋1）2＋2cos x ＋sin 2x6.(2019·绍兴市柯桥区高三模拟)已知曲线y ＝14x 2－3ln x 的一条切线的斜率为－12，则切点的横坐标为________．解析：设切点为(m ，n )(m ＞0)，y ＝14x 2－3ln x 的导数为y ′＝12x －3x ，可得切线的斜率为12m －3m ＝－12，解方程可得，m ＝2.答案：27.(2019·浙江金华十校高考模拟)函数f (x )的定义域为R ，f (－2)＝2 018，若对任意的x ∈R ，都有f ′(x )＜2x 成立，则不等式f (x )＜x 2＋2 014的解集为________．解析：构造函数g (x )＝f (x )－x 2－2 014，则g ′(x )＝f ′(x )－2x ＜0，所以函数g (x )在定义域上为减函数，且g (－2)＝f (－2)－22－2 014＝2 018－4－2 014＝0，由f (x )＜x2＋2 014有f (x )－x 2－2 014＜0，即g (x )＜0＝g (－2)，所以x ＞－2，不等式f (x )＜x 2＋2 014的解集为(－2，＋∞)．答案：(－2，＋∞)8.如图，已知y ＝f (x )是可导函数，直线l 是曲线y ＝f (x )在x ＝4处的切线，令g (x )＝f （x ）x，则g ′(4)＝________．解析：g ′(x )＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤f （x ）x ′＝xf ′（x ）－f （x ）x 2.由已知图象可知，直线l 经过点P (0，3)和Q (4，5)，故k 1＝5－34－0＝12.由导数的几何意义可得f ′(4)＝12，因为Q (4，5)在曲线y ＝f (x )上，故f (4)＝3. 故g ′(4)＝4×f ′（4）－f （4）42＝4×12－542＝－316. 答案：－31611．已知函数f (x )＝x 3＋x －14.(1)求曲线y ＝f (x )在点(2，－6)处的切线的方程；(2)如果曲线y ＝f (x )的某一切线与直线y ＝－14x ＋3垂直，求切点坐标与切线的方程．解：(1)可判定点(2，－6)在曲线y ＝f (x )上．因为f ′(x )＝(x 3＋x －16)′＝3x 2＋1.所以f (x )在点(2，－6)处的切线的斜率为k ＝f ′(2)＝9所以切线的方程为y ＝13(x －2)＋(－6)，即y ＝13x －32.(2)因为切线与直线y ＝－14x ＋3垂直，所以切线的斜率k ＝2. 设切点的坐标为(x 0，y 0)，则f ′(x 0)＝3x 20＋1＝4，所以x 0＝±1.所以⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝1，y 0＝－14或⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－1，y 0＝－18，即切点坐标为(1，－14)或(－1，－18)，切线方程为y ＝4(x －1)－14或y ＝4(x ＋1)－16. 即y ＝4x －18或y ＝4x －10.8.已知函数f (x )＝ax ＋bx(x ≠0)在x ＝2处的切线方程为3x －4y ＋4＝0. (1)求a ，b 的值；(2)求证：曲线上任一点P 处的切线l 与直线l 1：y ＝x ，直线l 2：x ＝0围成的三角形的面积为定值．解：(1)由f (x )＝ax ＋b x ，得f ′(x )＝a －b x2(x ≠0)．由题意得⎩⎪⎨⎪⎧f ′（2）＝34，3×2－4f （2）＋4＝0.即⎩⎪⎨⎪⎧a －b 4＝34，5－2⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋b 2＝0.解得a ＝1，b ＝1.(2)证明：由(1)知f (x )＝x ＋1x，设曲线的切点为P ⎝⎛⎭⎪⎫x 0，x 0＋1x，f ′(x 0)＝1－1x 20，曲线在P 处的切线方程为y －⎝⎛⎭⎪⎫x 0＋1x 0＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1x 20(x －x 0)．即y ＝⎝⎛⎭⎪⎫1－1x20x ＋2x 0.当x ＝0时，y ＝2x 0.即切线l 与l 2：x ＝0的交点坐标为A ⎝⎛⎭⎪⎫0，2x.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1x 20x ＋2x 0，y ＝x ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2x 0，y ＝2x 0，即l 与l 1：y ＝x 的交点坐标为B (2x 0，2x 0)．又l 1与l 2的交点为O (0，0)，则所求的三角形的面积为S ＝12·|2x 0|·⎪⎪⎪⎪⎪⎪2x 0＝2.即切线l 与l 1，l 2围成的三角形的面积为定值．[能力提升]1．若曲线y ＝f (x )＝ln x ＋ax 2(a 为常数)不存在斜率为负数的切线，则实数a 的取值范围是( )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞B ．[－12，＋∞)C ．(0，＋∞)D ．[0，＋∞)解析：选D.f ′(x )＝1x ＋2ax ＝2ax 2＋1x(x >0)，根据题意有f ′(x )≥0(x >0)恒成立，所以2ax 2＋1≥0(x >0)恒成立，即2a ≥－1x2(x >0)恒成立，所以a ≥0，故实数a 的取值范围为[0，＋∞)．故选D.2．(2019·金华十校联考)已知函数y ＝x 2的图象在点(x 0，x 20)处的切线为l ，若l 也与函数y ＝ln x ，x ∈(0，1)的图象相切，则x 0必满足( )A ．0＜x 0＜12B ．12＜x 0＜1 C ．22＜x 0＜ 2 D ．2＜x 0＜ 3解析：选D.令f (x )＝x 2，f ′(x )＝2x ，f (x 0)＝x 20，所以直线l 的方程为y ＝2x 0(x －x 0)＋x 20＝2x 0x －x 20，因为l 也与函数y ＝ln x (x ∈(0，1))的图象相切，令切点坐标为(x 1，ln x 1)，y ′＝1x ，所以l 的方程为y ＝1x 1x ＋ln x 1－1，这样有⎩⎪⎨⎪⎧2x 0＝1x 1，1－ln x 1＝x 20，所以1＋ln(2x 0)＝x 20，x 0∈(1，＋∞)，令g (x )＝x 2－ln(2x )－1，x ∈(1，＋∞)，所以该函数的零点就是x 0，又因为g ′(x )＝2x －1x ＝2x 2－1x，所以g (x )在(1，＋∞)上单调递增，又g (1)＝－ln 2＜0，g (2)＝1－ln 22＜0，g (3)＝2－ln 23＞0，从而2＜x 0＜3，选D.1.(2019·浙江省宁波四中高三月考)给出定义：若函数f (x )在D 上可导，即f ′(x )存在，且导函数f ′(x )在D 上也可导，则称f (x )在D 上存在二阶导函数，记f ″ (x )＝(f ′(x ))′.若f ″(x )＜0在D 上恒成立，则称f (x )在D 上为凸函数．以下四个函数在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上是凸函数的是________(把你认为正确的序号都填上)．①f (x )＝sin x ＋cos x ；②f (x )＝ln x －2x ； ③f (x )＝－x 3＋2x －1；④f (x )＝x e x.解析：①中，f ′(x )＝cos x －sin x ，f ″(x )＝－sin x －cos x ＝－2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4＜0在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上恒成立；②中，f ′(x )＝1x －2(x ＞0)，f ″(x )＝－1x 2＜0在区间⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上恒成立；③中，f ′(x )＝－3x 2＋2，f ″(x )＝－6x 在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上恒小于0.④中，f ′(x )＝e x ＋x e x ，f ″(x )＝2e x ＋x e x ＝e x(x ＋2)＞0在区间⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上恒成立，故④中函数不是凸函数．故①②③为凸函数．答案：①②③2.(2019·浙江省十校联合体期末检测)已知函数f (x )＝a e x＋x 2，g (x )＝cos πx ＋bx ，直线l 与曲线y ＝f (x )切于点(0，f (0))，且与曲线y ＝g (x )切于点(1，g (1))，则a ＋b ＝________，直线l 的方程为________．解析：f ′(x )＝a e x＋2x ，g ′(x )＝－πsin πx ＋b ，f (0)＝a ，g (1)＝cos π＋b ＝b －1， f ′(0)＝a ，g ′(1)＝b ，由题意可得f ′(0)＝g ′(1)，则a ＝b ，又f ′(0)＝b －1－a1－0＝a ，即a ＝b ＝－1，则a ＋b ＝－2；所以直线l 的方程为x ＋y ＋1＝0. 答案：－2 x ＋y ＋1＝03.设有抛物线C ：y ＝－x 2＋92x －4，过原点O 作C 的切线y ＝kx ，使切点P 在第一象限．(1)求k 的值；(2)过点P 作切线的垂线，求它与抛物线的另一个交点Q 的坐标．解：(1)由题意得，y ′＝－2x ＋92.设点P 的坐标为(x 1，y 1)，则y 1＝kx 1， ①y 1＝－x 21＋92x 1－4，② －2x 1＋92＝k ，③联立①②③得，x 1＝2，x 2＝－2(舍去)．所以k ＝12.(2)过P 点作切线的垂线，其方程为y ＝－2x ＋3. ④将④代入抛物线方程得，x 2－132x ＋9＝0.设Q 点的坐标为(x 2，y 2)，则2x 2＝9，所以x 2＝92，y 2＝－2.所以Q 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫92，－4. 4.(2019·绍兴一中月考)已知函数f (x )＝ax 3＋3x 2－6ax －11，g (x )＝3x 2＋6x ＋10和直线m ：y ＝kx ＋9，且f ′(－1)＝0.(1)求a 的值；(2)是否存在k ，使直线m 既是曲线y ＝f (x )的切线，又是曲线y ＝g (x )的切线？如果存在，求出k 的值；如果不存在，请说明理由．解：(1)由已知得f ′(x )＝3ax 2＋6x －6a ，因为f ′(－1)＝0，所以3a －6－6a ＝0，所以a ＝－2.(2)存在．由已知得，直线m 恒过定点(0，9)，若直线m 是曲线y ＝g (x )的切线，则设切点为(x 0，3x 20＋6x 0＋10)．因为g ′(x 0)＝6x 0＋6，所以切线方程为y －(3x 20＋6x 0＋10)＝(6x 0＋6)(x －x 0)，将(0，9)代入切线方程，解得x 0＝±1. 当x 0＝－1时，切线方程为y ＝9；当x 0＝1时，切线方程为y ＝10x ＋7. 由(1)知f (x )＝－2x 3＋3x 2＋10x －11， ①由f ′(x )＝0得－6x 2＋6x ＋10＝0，解得x ＝－1或x ＝2.在x ＝－1处，y ＝f (x )的切线方程为y ＝－18；在x ＝2处，y ＝f (x )的切线方程为y ＝9，所以y ＝f (x )与y ＝g (x )的公切线是y ＝7. ②由f ′(x )＝10得－6x 2＋6x ＋10＝10，解得x＝0或x＝1.在x＝0处，y＝f(x)的切线方程为y＝10x－11；在x＝1处，y＝f(x)的切线方程为y＝10x－10，所以y＝f(x)与y＝g(x)的公切线不是y＝10x＋7.综上所述，y＝f(x)与y＝g(x)的公切线是y＝9，此时k＝0.。

2019-2020学年高中数学人教A版选修2-2(课时训练)：全册课堂导学全文 Word版含答案

1．1 变化率与导数 1．1.1 变化率问题 1．1.2 导数的概念[学习目标]1．了解导数概念的实际背景．2．会求函数在某一点附近的平均变化率． 3．会利用导数的定义求函数在某点处的导数． [知识链接]很多人都吹过气球，回忆一下吹气球的过程，可以发现，随着气球内空气容量的增加，气球的半径增加得越来越慢．从数学的角度，如何描述这种现象呢？答气球的半径r (单位：dm)与体积V (单位：L)之间的函数关系是r (V )＝33V4π， (1)当V 从0增加到1 L 时，气球半径增加了r (1)－r (0)≈0.62 (dm)，气球的平均膨胀率为r (1)－r (0)1－0≈0.62(dm/L)．(2)当V 从1 L 增加到2 L 时，气球半径增加了r (2)－r (1)≈0.16 (dm)，气球的平均膨胀率为r (2)－r (1)2－1≈0.16(dm/L)．可以看出，随着气球体积逐渐变大，它的平均膨胀率逐渐变小了．[预习导引]1．函数的变化率0函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率lim Δx →0 ΔyΔx ＝lim Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx 称为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)或y ′|x ＝x 0，即f ′(x 0)＝lim Δx →0 Δy Δx ＝lim Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx.要点一求平均变化率例1 已知函数h (x )＝－4.9x 2＋6.5x ＋10.(1)计算从x ＝1到x ＝1＋Δx 的平均变化率，其中Δx 的值为①2；②1；③0.1；④0.01.(2)根据(1)中的计算，当|Δx |越来越小时，函数h (x )在区间[1,1＋Δx ]上的平均变化率有怎样的变化趋势？解 (1)∵Δy ＝h (1＋Δx )－h (1)＝－4.9 (Δx )2－3.3Δx ，∴ΔyΔx ＝－4.9Δx －3.3. ①当Δx ＝2时，ΔyΔx ＝－4.9Δx －3.3＝－13.1；②当Δx ＝1时，ΔyΔx ＝－4.9Δx －3.3＝－8.2； ③当Δx ＝0.1时，ΔyΔx ＝－4.9Δx －3.3＝－3.79； ④当Δx ＝0.01时，ΔyΔx ＝－4.9Δx －3.3＝－3.349.(2)当|Δx |越来越小时，函数f (x )在区间[1,1＋Δx ]上的平均变化率逐渐变大，并接近于－3.3. 规律方法求平均变化率的主要步骤： (1)先计算函数值的改变量Δy ＝f (x 2)－f (x 1)． (2)再计算自变量的改变量Δx ＝x 2－x 1. (3)得平均变化率Δy Δx ＝f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1.跟踪演练1 求函数y ＝f (x )＝3x 2＋2在区间[x 0，x 0＋Δx ]上的平均变化率，并求当x 0＝2，Δx ＝0.1时平均变化率的值．解函数y ＝f (x )＝3x 2＋2在区间[x 0，x 0＋Δx ]上的平均变化率为 f (x 0＋Δx )－f (x 0)(x 0＋Δx )－x 0＝[3(x 0＋Δx )2＋2]－(3x 20＋2)Δx＝6x 0·Δx ＋3(Δx )2Δx＝6x 0＋3Δx .当x 0＝2，Δx ＝0.1时，函数y ＝3x 2＋2在区间[2,2.1]上的平均变化率为6×2＋3×0.1＝12.3. 要点二物体运动的瞬时速度例2 高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度h (单位：m)与起跳后的时间t (单位：s)之间的关系式为h (t )＝－4.9t 2＋6.5t ＋10，求运动员在t ＝6598 s 时的瞬时速度，并解释此时的运动状况．解令t 0＝6598，Δt 为增量．则h (t 0＋Δt )－h (t 0)Δt ＝－4.9×⎝ ⎛⎭⎪⎫6598＋Δt 2＋6.5×⎝ ⎛⎭⎪⎫6598＋Δt ＋10Δt ＋4.9×⎝ ⎛⎭⎪⎫65982－6.5×6598－10Δt＝－4.9Δt ⎝ ⎛⎭⎪⎫6549＋Δt ＋6.5ΔtΔt ＝－4.9⎝ ⎛⎭⎪⎫6549＋Δt ＋6.5， ∴lim Δt →0 h (t 0＋Δt )－h (t 0)Δt ＝lim Δt →0 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－4.9⎝ ⎛⎭⎪⎫6549＋Δt ＋6.5＝0，即运动员在t 0＝6598 s 时的瞬时速度为0 m/s.说明此时运动员处于跳水运动中离水面最高的点处．规律方法求瞬时速度是利用平均速度“逐渐逼近”的方法得到的，其求解步骤如下： (1)由物体运动的位移s 与时间t 的函数关系式求出位移增量Δs ＝s (t 0＋Δt )－s (t 0)； (2)求时间t 0到t 0＋Δt 之间的平均速度v ＝ΔsΔt ； (3)求lim Δt →0 ΔsΔt的值，即得t ＝t 0时的瞬时速度．跟踪演练2 一质点按规律s (t )＝at 2＋1作直线运动(位移单位：m ，时间单位：s)，若该质点在t ＝2 s 时的瞬时速度为8 m/s ，求常数a 的值．解 ∵Δs ＝s (2＋Δt )－s (2) ＝a (2＋Δt )2＋1－a ·22－1 ＝4a Δt ＋a (Δt )2， ∴ΔsΔt ＝4a ＋a Δt .在t ＝2 s 时，瞬时速度为lim Δx →0 ΔsΔt ＝4a ，即4a ＝8，∴a ＝2. 要点三函数在某点处的导数例3 求函数f (x )＝3x 2－2x 在x ＝1处的导数．解 Δy ＝3(1＋Δx )2－2(1＋Δx )－(3×12－2×1)＝3(Δx )2＋4Δx ，∵Δy Δx ＝3(Δx )2＋4Δx Δx＝3Δx ＋4，∴y ′|x ＝1＝lim Δx →0 ΔyΔx ＝lim Δx →0(3Δx ＋4)＝4. 规律方法求一个函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数的步骤如下： (1)求函数值的变化量Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)； (2)求平均变化率Δy Δx ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ；(3)取极限，得导数f ′(x 0)＝lim Δx →0 ΔyΔx. 跟踪演练3 利用导数的定义求函数f (x )＝－x 2＋3x 在x ＝2处的导数．解由导数的定义知，函数在x ＝2处的导数 f ′(2)＝lim Δx →0 f (2＋Δx )－f (2)Δx ，而f (2＋Δx )－f (2) ＝－(2＋Δx )2＋3(2＋Δx )－(－22＋3×2) ＝－(Δx )2－Δx ，于是f ′(2)＝lim Δx →0 －(Δx )2－Δx Δx＝lim Δx →0 (－Δx －1)＝－1.1．如果质点M 按规律s ＝3＋t 2运动，则在一小段时间[2,2.1]中相应的平均速度是( ) A ．4 B ．4.1 C ．0.41 D ．3答案 B解析 v ＝(3＋2.12)－(3＋22)0.1＝4.1.2．函数f (x )在x 0处可导，则lim Δx →0 f (x 0＋h )－f (x 0)h( )A ．与x 0、h 都有关B ．仅与x 0有关，而与h 无关C ．仅与h 有关，而与x 0无关D ．与x 0、h 均无关答案 B3．已知函数f (x )＝2x 2－1的图象上一点(1,1)及邻近一点(1＋Δx,1＋Δy )，则ΔyΔx 等于( ) A ．4 B ．4x C ．4＋2Δx D ．4＋2(Δx )2答案 C解析 Δy ＝f (1＋Δx )－f (1)＝2(1＋Δx )2－1－1＝2(Δx )2＋4Δx ，∴ΔyΔx ＝2Δx ＋4. 4．已知函数f (x )＝1x，则f ′(1)＝________. 答案－12解析 f ′(1)＝lim Δx →0 f (1＋Δx )－f (1)Δx ＝lim Δx →0 11＋Δx－1Δx＝lim Δx →0－11＋Δx (1＋1＋Δx )＝－12.利用导数定义求导数三步曲：(1)作差求函数的增量Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)； (2)作比求平均变化率Δy Δx ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx；(3)取极限得导数f ′(x 0)＝lim Δx →0 ΔyΔx ，简记为一差，二比，三极限.一、基础达标1．函数y ＝f (x )在x 0到x 0＋Δx 之间的平均变化率f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx 中，Δx 不可能是( )A ．大于0B ．小于0C ．等于0D ．大于0或小于0答案 C 2．如图，函数y ＝f (x )在A ，B 两点间的平均变化率是( ) A ．1 B ．－1 C ．2 D ．－2答案 B解析 Δy Δx ＝f (3)－f (1)3－1＝1－32＝－1.3．如果某物体的运动方程为s ＝2(1－t 2) (s 的单位为m ，t 的单位为s)，那么其在1.2 s 末的瞬时速度为( ) A ．－4.8 m/s B ．－0.88 m/s C ．0.88 m/s D ．4.8 m/s答案 A解析物体运动在1.2 s 末的瞬时速度即为s 在1.2处的导数，利用导数的定义即可求得． 4．设函数f (x )可导，则lim Δx →0 f (1＋3Δx )－f (1)3Δx 等于( ) A ．f ′(1) B ．3f ′(1) C ．13f ′(1) D ．f ′(3)答案 A解析 lim Δx →0 f (1＋3Δx )－f (1)3Δx＝f ′(1)． 5．已知函数y ＝2x ＋3，当x 由2变到1.5时，函数的增量Δy ＝________. 答案 13解析 Δy ＝f (1.5)－f (2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫21.5＋3－⎝ ⎛⎭⎪⎫22＋3＝43－1＝13.6．一做直线运动的物体，其位移s 与时间t 的关系是s ＝3t －t 2，则物体的初速度是________．答案 3解析 v 初＝s ′|t ＝0＝lim Δx →0 s (0＋Δt )－s (0)Δt ＝lim Δx →0 (3－Δt )＝3. 7．利用定义求函数y ＝－2x 2＋5在x ＝2处的瞬时变化率．解因为在x ＝2附近，Δy ＝－2(2＋Δx )2＋5－(－2×22＋5)＝－8Δx －2(Δx )2，所以函数在区间[2,2＋Δx ]内的平均变化率为Δy Δx ＝－8Δx －2(Δx )2Δx ＝－8－2Δx .故函数y ＝－2x 2＋5在x ＝2处的瞬时变化率为lim Δx →0 (－8－2Δx )＝－8. 二、能力提升 8.甲、乙两厂污水的排放量W 与时间t 的关系如图所示，治污效果较好的是( ) A ．甲 B ．乙 C ．相同 D ．不确定答案 B解析在t 0处，虽然W 1(t 0)＝W 2(t 0)，但是，在t 0－Δt 处，W 1(t 0－Δt )<W 2(t 0－Δt )，即⎪⎪⎪⎪⎪⎪W 1(t 0)－W 1(t 0－Δt )Δt <⎪⎪⎪⎪⎪⎪W 2(t 0)－W 2(t 0－Δt )Δt ，所以，在相同时间Δt 内，甲厂比乙厂的平均治污率小．所以乙厂治污效果较好．9．过曲线y ＝f (x )＝x 2＋1上两点P (1,2)和Q (1＋Δx,2＋Δy )作曲线的割线，当Δx ＝0.1时，割线的斜率k ＝________，当Δx ＝0.001时，割线的斜率k ＝________. 答案 2.1 2.001解析 ∵Δy ＝(1＋Δx )2＋1－(12＋1)＝2Δx ＋(Δx )2， ∴ΔyΔx ＝2＋Δx ，∴割线斜率为2＋Δx ，当Δx ＝0.1时，割线PQ 的斜率k ＝2＋0.1＝2.1. 当Δx ＝0.001时，割线PQ 的斜率k ＝2＋0.001＝2.001.10．已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的导数为f ′(x )，f ′(0)>0，对于任意实数x ，有f (x )≥0，则f (1)f ′(0)的最小值为________．答案 2解析由导数的定义，得f ′(0)＝lim Δx →0 f (Δx )－f (0)Δx ＝lim Δx →0 a (Δx )2＋b (Δx )＋c －c Δx ＝lim Δx →0[a ·(Δx )＋b ]＝b ＞0. 又⎩⎨⎧Δ＝b 2－4ac ≤0a >0，∴ac ≥b 24，∴c >0. ∴f (1)f ′(0)＝a ＋b ＋c b ≥b ＋2ac b ≥2b b ＝2.11．求函数y ＝f (x )＝2x 2＋4x 在x ＝3处的导数．解 Δy ＝2(3＋Δx )2＋4(3＋Δx )－(2×32＋4×3) ＝12Δx ＋2(Δx )2＋4Δx ＝2(Δx )2＋16Δx ，∴Δy Δx ＝2(Δx )2＋16Δx Δx＝2Δx ＋16.∴y ′|x ＝3＝lim Δx →0 ΔyΔx ＝lim Δx →0(2Δx ＋16)＝16. 12．若函数f (x )＝ax 2＋c ，且f ′(1)＝2，求a 的值．解 ∵f (1＋Δx )－f (1)＝a (1＋Δx )2＋c －a －c ＝a (Δx )2＋2a Δx .∴f ′(1)＝lim Δx →0 f (1＋Δx )－f (1)Δx ＝lim Δx →0 a (Δx )2＋2a Δx Δx ＝lim Δx →0 (a Δx ＋2a )＝2a ，即2a ＝2，∴a ＝1. 三、探究与创新13．已知f (x )＝x 2，g (x )＝x 3，求满足f ′(x )＋2＝g ′(x )的x 的值．解由导数的定义知， f ′(x )＝lim Δx →0 (x ＋Δx )2－x 2Δx ＝2x ， g ′(x )＝lim Δx →0 (x ＋Δx )3－x 3Δx ＝3x 2. ∵f ′(x )＋2＝g ′(x )，∴2x ＋2＝3x 2.即3x 2－2x －2＝0，解得x ＝1－73或x ＝1＋73.1．1.3 导数的几何意义[学习目标]1．了解导函数的概念；了解导数与割线斜率之间的关系． 2．理解曲线的切线的概念；理解导数的几何意义．3．会求曲线上某点处的切线方程，初步体会以直代曲的意义． [知识链接]如果一个函数是路程关于时间的函数，那么函数在某点处的导数就是瞬时速度，这是函数的实际意义，那么从函数的图象上来考查函数在某点处的导数，它具有怎样的几何意义呢？答设函数y ＝f (x )的图象如图所示，AB 是过点A (x 0，f (x 0))与点B (x 0＋Δx ，f (x 0＋Δx ))的一条割线，此割线的斜率是Δy Δx ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx .当点B 沿曲线趋近于点A 时，割线AB 绕点A 转动，它的极限位置为直线AD ，这条直线AD 叫做此曲线在点A 处的切线．于是，当Δx →0时，割线AB 的斜率无限趋近于过点A 的切线AD 的斜率k ，即k ＝f ′(x 0)＝lim Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx.[预习导引] 1．导数的几何意义函数y ＝f (x )在点x ＝x 0处的导数的几何意义是曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线的斜率．也就是说，曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线的斜率是f ′(x 0)．相应地，切线方程为y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)． 2．函数的导函数当x ＝x 0时，f ′(x 0)是一个确定的数，则当x 变化时，f ′(x )是x 的一个函数，称f ′(x )是f (x )的导函数(简称导数)．f ′(x )也记作y ′，即f ′(x )＝y ′＝lim Δx →0f (x ＋Δx )－f (x )Δx.要点一过曲线上一点的切线方程例1 若曲线y ＝x 3＋3ax 在某点处的切线方程为y ＝3x ＋1，求a 的值．解 ∵y ＝x 3＋3ax .∴y ′＝lim Δx →0 (x ＋Δx )3＋3a (x ＋Δx )－x 3－3axΔx ＝lim Δx →0 3x 2Δx ＋3x (Δx )2＋(Δx )3＋3a Δx Δx＝lim Δx →0[3x 2＋3x Δx ＋(Δx )2＋3a ]＝3x 2＋3a . 设曲线与直线相切的切点为P (x 0，y 0)，结合已知条件，得⎩⎪⎨⎪⎧3x 20＋3a ＝3，x 30＋3ax 0＝y 0＝3x 0＋1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1－322，x 0＝－342.∴a ＝1－322.规律方法一般地，设曲线C 是函数y ＝f (x )的图象，P (x 0，y 0)是曲线C 上的定点，由导数的几何意义知k ＝lim Δx →0 ΔyΔx ＝lim Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ，继而由点与斜率可得点斜式方程，化简得切线方程．跟踪演练1 求曲线y ＝1x 在点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，12处的切线方程．解因为lim Δx →0 f (2＋Δx )－f (2)Δx ＝lim Δx →0 12＋Δx －12Δx＝lim Δx →0 －12(2＋Δx )＝－14.所以这条曲线在点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，12处的切线斜率为－14，由直线的点斜式方程可得切线方程为y －12＝－14(x －2)，即x ＋4y －4＝0.要点二求过曲线外一点的切线方程例2 已知曲线y ＝2x 2－7，求：(1)曲线上哪一点的切线平行于直线4x －y －2＝0? (2)曲线过点P (3,9)的切线方程．解 y ′＝lim Δx →0 ΔyΔx ＝lim Δx →0 [2(x ＋Δx )2－7]－(2x 2－7)Δx ＝lim Δx →0 (4x ＋2Δx )＝4x . (1)设切点为(x 0，y 0)，则4x 0＝4，x 0＝1，y 0＝－5， ∴切点坐标为(1，－5)． (2)由于点P (3,9)不在曲线上．设所求切线的切点为A (x 0，y 0)，则切线的斜率k ＝4x 0，故所求的切线方程为y －y 0＝4x 0(x －x 0)．将P (3,9)及y 0＝2x 20－7代入上式，得9－(2x 20－7)＝4x 0(3－x 0)．解得x 0＝2或x 0＝4，所以切点为(2,1)或(4,25)．从而所求切线方程为8x －y －15＝0或16x －y －39＝0.规律方法若题中所给点(x 0，y 0)不在曲线上，首先应设出切点坐标，然后根据导数的几何意义列出等式，求出切点坐标，进而求出切线方程．跟踪演练2 求过点A (2,0)且与曲线y ＝1x 相切的直线方程．解易知点(2,0)不在曲线上，故设切点为P (x 0，y 0)，由 y ′|x ＝x 0＝lim Δx →0lim Δx →0 1x 0＋Δx －1x 0Δx ＝－1x 20，得所求直线方程为y －y 0＝－1x 20(x －x 0)．由点(2,0)在直线上，得x 20y 0＝2－x 0，再由P (x 0，y 0)在曲线上，得x 0y 0＝1，联立可解得x 0＝1，y 0＝1，所求直线方程为x ＋y －2＝0.要点三求切点坐标例3 在曲线y ＝x 2上过哪一点的切线， (1)平行于直线y ＝4x －5； (2)垂直于直线2x －6y ＋5＝0； (3)与x 轴成135°的倾斜角．解 f ′(x )＝lim Δx →0 f (x ＋Δx )－f (x )Δx ＝lim Δx →0 (x ＋Δx )2－x 2Δx ＝2x ，设P (x 0，y 0)是满足条件的点． (1)因为切线与直线y ＝4x －5平行，所以2x 0＝4，x 0＝2，y 0＝4，即P (2,4)是满足条件的点．(2)因为切线与直线2x －6y ＋5＝0垂直，所以2x 0·13＝－1，得x 0＝－32，y 0＝94，即P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，94是满足条件的点．(3)因为切线与x 轴成135°的倾斜角，所以其斜率为－1.即2x 0＝－1，得x 0＝－12，y 0＝14，即P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，14是满足条件的点．规律方法解答此类题目时，所给的直线的倾斜角或斜率是解题的关键，由这些信息得知函数在某点处的导数，进而可求此点的横坐标．解题时要注意解析几何知识的应用，如直线的倾斜角与斜率的关系，平行，垂直等．跟踪演练3 已知抛物线y ＝2x 2＋1，求(1)抛物线上哪一点的切线平行于直线4x －y －2＝0? (2)抛物线上哪一点的切线垂直于直线x ＋8y －3＝0? 解设点的坐标为(x 0，y 0)，则Δy ＝2(x 0＋Δx )2＋1－2x 20－1＝4x 0·Δx ＋2(Δx )2.∴ΔyΔx ＝4x 0＋2Δx .当Δx 无限趋近于零时，ΔyΔx 无限趋近于4x 0. 即f ′(x 0)＝4x 0.(1)∵抛物线的切线平行于直线4x －y －2＝0， ∴斜率为4，即f ′(x 0)＝4x 0＝4，得x 0＝1，该点为(1,3)． (2)∵抛物线的切线与直线x ＋8y －3＝0垂直， ∴斜率为8，即f ′(x 0)＝4x 0＝8，得x 0＝2，该点为(2,9)．1．已知曲线y ＝f (x )＝2x 2上一点A (2,8)，则点A 处的切线斜率为( ) A ．4 B ．16 C ．8 D ．2答案 C解析 f ′(2)＝lim Δx →0 f (2＋Δx )－f (2)Δx＝lim Δx →0 2(2＋Δx )2－8Δx＝lim Δx →0 (8＋2Δx )＝8，即k ＝8. 2．若曲线y ＝x 2＋ax ＋b 在点(0，b )处的切线方程是x －y ＋1＝0，则( ) A ．a ＝1，b ＝1 B ．a ＝－1，b ＝1 C ．a ＝1，b ＝－1 D ．a ＝－1，b ＝－1 答案 A解析由题意，知k ＝y ′|x ＝0＝lim Δx →0 (0＋Δx )2＋a (0＋Δx )＋b －b Δx ＝1，∴a ＝1. 又(0，b )在切线上，∴b ＝1，故选A.3．已知曲线y ＝12x 2－2上一点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－32，则过点P 的切线的倾斜角为( )A ．30°B ．45°C ．135°D ．165° 答案 B解析 ∵y ＝12x 2－2，∴y ′＝lim Δx →0 12(x ＋Δx )2－2－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－2Δx ＝lim Δx →0 12(Δx )2＋x ·Δx Δx ＝lim Δx →0 ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12Δx ＝x . ∴y ′|x ＝1＝1.∴点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－32处切线的斜率为1，则切线的倾斜角为45°.4．已知曲线y ＝f (x )＝2x 2＋4x 在点P 处的切线斜率为16.则P 点坐标为________．答案 (3,30)解析设点P (x 0,2x 20＋4x 0)，则f ′(x 0)＝lim Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ＝lim Δx →0 2(Δx )2＋4x 0·Δx ＋4Δx Δx ＝4x 0＋4，令4x 0＋4＝16得x 0＝3，∴P (3,30)．1．导数f ′(x 0)的几何意义是曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线的斜率，即k ＝lim Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ＝f ′(x 0)，物理意义是运动物体在某一时刻的瞬时速度．2．“函数f (x )在点x 0处的导数”是一个数值，不是变数，“导函数”是一个函数，二者有本质的区别，但又有密切关系，f ′(x 0)是其导数y ＝f ′(x )在x ＝x 0处的一个函数值．3．利用导数求曲线的切线方程，要注意已知点是否在曲线上．如果已知点在曲线上，则以该点为切点的切线方程为y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)；若已知点不在切线上，则设出切点(x 0，f (x 0))，表示出切线方程，然后求出切点.一、基础达标1．下列说法正确的是( )A ．若f ′(x 0)不存在，则曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处就没有切线B ．若曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处有切线，则f ′(x 0)必存在C ．若f ′(x 0)不存在，则曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线斜率不存在D ．若曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处没有切线，则f ′(x 0)有可能存在答案 C解析 k ＝f ′(x 0)，所以f ′(x 0)不存在只说明曲线在该点的切线斜率不存在，而当斜率不存在时，切线方程也可能存在，其切线方程为x ＝x 0.2．已知y ＝f (x )的图象如图所示，则f ′(x A )与f ′(x B )的大小关系是( )A ．f ′(x A )>f ′(xB ) B ．f ′(x A )<f ′(x B )C ．f ′(x A )＝f ′(x B )D ．不能确定答案 B解析由导数的几何意义，f ′(x A )，f ′(x B )分别是切线在点A 、B 处切线的斜率，由图象可知f ′(x A )<f ′(x B )． 3．在曲线y ＝x 2上切线倾斜角为π4的点是( ) A ．(0,0) B ．(2,4) C ．(14，116) D ．(12，14)答案 D解析 ∵y ′＝lim Δx →0 (x ＋Δx )2－x 2Δx＝lim Δx →0 (2x ＋Δx )＝2x ， ∴令2x ＝tan π4＝1，得x ＝12.∴y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝14，所求点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，14.4．设曲线y ＝ax 2在点(1，a )处的切线与直线2x －y －6＝0平行，则a 等于( ) A ．1 B ．12 C ．－12 D ．－1 答案 A解析 ∵y ′|x ＝1＝lim Δx →0 a (1＋Δx )2－a ×12Δx＝lim Δx →0 (2a ＋a Δx )＝2a .∴可令2a ＝2，∴a ＝1. 5．设y ＝f (x )为可导函数，且满足条件lim Δx →0 f (1)－f (1－x )2x＝－2，则曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线的斜率是________．答案－4解析由lim Δx →0 f (1)－f (1－x )2x ＝－2，∴12f ′(1)＝－2，f ′(1)＝－4.6．已知函数y ＝f (x )的图象在点M (1，f (1))处的切线方程是y ＝12x ＋2，则f (1)＋f ′(1)＝________. 答案 3解析由在M 点的切线方程y ＝12x ＋2 得f (1)＝12×1＋2＝52，f ′(1)＝12. ∴f (1)＋f ′(1)＝52＋12＝3.7．求过点P (－1,2)且与曲线y ＝3x 2－4x ＋2在点M (1,1)处的切线平行的直线．解曲线y ＝3x 2－4x ＋2在点M (1,1)处的切线斜率 k ＝y ′|x ＝1＝lim Δx →0 3(1＋Δx )2－4(1＋Δx )＋2－3＋4－2Δx ＝lim Δx →0(3Δx ＋2)＝2. ∴过点P (－1,2)的直线的斜率为2，由点斜式得y －2＝2(x ＋1)，即2x －y ＋4＝0.所以所求直线方程为2x －y ＋4＝0. 二、能力提升 8.如图，函数y ＝f (x )的图象在点P 处的切线方程是y ＝－x ＋8，则f (5)＋f ′(5)＝( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5答案 A解析易得切点P (5,3)，∴f (5)＝3，k ＝－1，即f ′(5)＝－1.∴f (5)＋f ′(5)＝3－1＝2. 9．若曲线y ＝2x 2－4x ＋P 与直线y ＝1相切，则P ＝________. 答案 3解析设切点坐标为(x 0,1)，则f ′(x 0)＝4x 0－4＝0， ∴x 0＝1，即切点坐标为(1,1)．∴2－4＋P ＝1，即P ＝3.10．设P 为曲线C ：y ＝x 2＋2x ＋3上的点，且曲线C 在点P 处的切线倾斜角的范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4，则点P 横坐标的取值范围为________．答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，－12解析 ∵f ′(x )＝lim Δx →0 (x ＋Δx )2＋2(x ＋Δx )＋3－(x 2＋2x ＋3)Δx ＝lim Δx →0 (2x ＋2)·Δx ＋(Δx )2Δx＝lim Δx →0 (Δx ＋2x ＋2)＝2x ＋2. ∴可设P 点横坐标为x 0，则曲线C 在P 点处的切线斜率为2x 0＋2.由已知得0≤2x 0＋2≤1，∴－1≤x 0≤－12，∴点P 横坐标的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，－12. 11．已知抛物线y ＝x 2＋4与直线y ＝x ＋10.求： (1)它们的交点；(2)抛物线在交点处的切线方程．解 (1) 由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x 2＋4，y ＝x ＋10，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－2，y ＝8，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝13，∴抛物线与直线的交点坐标为(－2,8)或(3,13)． (2)∵y ＝x 2＋4，∴y ′＝lim Δx →0 (x ＋Δx )2＋4－(x 2＋4)Δx ＝lim Δx →0 (Δx )2＋2x ·Δx Δx ＝lim Δx →0(Δx ＋2x )＝2x . ∴y ′|x ＝－2＝－4，y ′|x ＝3＝6，即在点(－2,8)处的切线斜率为－4，在点(3,13)处的切线斜率为6. ∴在点(－2,8)处的切线方程为4x ＋y ＝0；在点(3,13)处的切线方程为6x －y －5＝0.12．设函数f (x )＝x 3＋ax 2－9x －1(a <0)，若曲线y ＝f (x )的斜率最小的切线与直线12x ＋y ＝6平行，求a 的值．解 ∵Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)＝(x 0＋Δx )3＋a (x 0＋Δx )2－9(x 0＋Δx )－1－(x 30＋ax 20－9x 0－1) ＝(3x 20＋2ax 0－9)Δx ＋(3x 0＋a )(Δx )2＋(Δx )3，∴Δy Δx ＝3x 20＋2ax 0－9＋(3x 0＋a )Δx ＋(Δx )2.当Δx 无限趋近于零时，ΔyΔx 无限趋近于3x 20＋2ax 0－9.即f ′(x 0)＝3x 20＋2ax 0－9∴f ′(x 0)＝3(x 0＋a 3)2－9－a 23.当x 0＝－a 3时，f ′(x 0)取最小值－9－a 23. ∵斜率最小的切线与12x ＋y ＝6平行， ∴该切线斜率为－12.∴－9－a 23＝－12. 解得a ＝±3.又a <0，∴a ＝－3. 三、探究与创新 13．已知曲线C ：y ＝x 3.(1)求曲线C 上横坐标为1的点处的切线方程；(2)第(1)小题中的切线与曲线C 是否还有其他的公共点？解 (1)将x ＝1代入曲线C 的方程得y ＝1， ∴切点为P (1,1)．∵f ′(x 0)＝lim Δx →0 Δy Δx ＝m (x 0＋Δ x )3－x 30Δ x＝lim Δx →0 3x 20Δx ＋3x 0(Δx )2＋(Δx )3Δx ＝lim Δx →0[3x 20＋3x 0Δx ＋(Δx )2]＝3x 20， ∴当x 0＝1时，k ＝f ′(1)＝3.∴过P 点的切线方程为y －1＝3(x －1)，即3x －y －2＝0.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3(x －1)＋1y ＝x 3，可得(x －1)(x 2＋x －2)＝0，解得x 1＝1，x 2＝－2.从而求得公共点为(1,1)或(－2，－8)．说明切线与曲线C 的公共点除了切点外，还有其他的公共点.1．2导数的计算1．2.1几个常用函数的导数1．2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(一)[学习目标]1．能根据定义求函数y＝c(c为常数)，y＝x，y＝x2，y＝1x，y＝x的导数．2．能利用给出的基本初等函数的导数公式求简单函数的导数．[知识链接]在前面，我们利用导数的定义能求出函数在某一点处的导数，那么能不能利用导数的定义求出比较简单的函数及基本函数的导数呢？类比用导数定义求函数在某点处导数的方法，如何用定义求函数y＝f(x)的导数？答(1)计算ΔyΔx，并化简；(2)观察当Δx趋近于0时，ΔyΔx趋近于哪个定值；(3)ΔyΔx趋近于的定值就是函数y＝f(x)的导数．[预习导引]1．几个常用函数的导数2．基本初等函数的导数公式要点一利用导数定义求函数的导数例1用导数的定义求函数f(x)＝2 013x2的导数．解f′(x)＝limΔx→02 013(x＋Δx)2－2 013x2x＋Δx－x＝limΔx→02 013[x2＋2x·Δx＋(Δx)2]－2 013x2Δx＝limΔx→04 026x·Δx＋2 013(Δx)2Δx＝lim Δx →0 (4 026x ＋2 013Δx ) ＝4 026x .规律方法解答此类问题，应注意以下几条： (1)严格遵循“一差、二比、三取极限”的步骤． (2)当Δx 趋于0时，k ·Δx (k ∈R )、(Δx )n (n ∈N *)等也趋于0.(3)注意通分、分母(或分子)有理化、因式分解、配方等技巧的应用．跟踪演练1 用导数的定义求函数y ＝x 2＋ax ＋b (a ，b 为常数)的导数．解 y ′＝lim Δx →0 (x ＋Δx )2＋a (x ＋Δx )＋b －(x 2＋ax ＋b )Δx ＝lim Δx →0 x 2＋2x ·Δx ＋(Δx )2＋ax ＋a ·Δx ＋b －x 2－ax －b Δx ＝lim Δx →0 2x ·Δx ＋a ·Δx ＋(Δx )2Δx ＝lim Δx →0(2x ＋a ＋Δx )＝2x ＋a . 要点二利用导数公式求函数的导数例2 求下列函数的导数(1)y ＝sin π3；(2)y ＝5x ；(3)y ＝1x 3；(4)y ＝4x 3；(5)y ＝log 3x . 解 (1)y ′＝0； (2)y ′＝(5x )′＝5x ln 5； (3)y ′＝(x －3)′＝－3x －4；(4)y ′＝⎝⎛⎭⎫4x 3′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 34′＝34x －14＝344x ； (5)y ′＝(log 3x )′＝1x ln 3.规律方法求简单函数的导函数的基本方法： (1)用导数的定义求导，但运算比较繁杂；(2)用导数公式求导，可以简化运算过程、降低运算难度．解题时根据所给问题的特征，将题中函数的结构进行调整，再选择合适的求导公式．跟踪演练2 求下列函数的导数：(1)y ＝x 8；(2)y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x；(3)y ＝x x ；(4)y ＝log 13x .解 (1)y ′＝8x 7；(2)y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ln 12＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ln 2；(3)∵y ＝x x ＝x 32，∴y ′＝32x 12； (4) y ′＝1x ln 13＝－1x ln 3.要点三利用导数公式求曲线的切线方程例3 求过曲线y ＝sin x 上点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，12且与过这点的切线垂直的直线方程．解 ∵y ＝sin x ，∴y ′＝cos x ，曲线在点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，12处的切线斜率是：y ′|x ＝π6＝cos π6＝32.∴过点P 且与切线垂直的直线的斜率为－23，故所求的直线方程为y －12＝－23⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6，即2x ＋3y －32－π3＝0.规律方法导数的几何意义是曲线在某点处的切线的斜率；相互垂直的直线斜率乘积等于－1是解题的关键．跟踪演练3 已知点P (－1,1)，点Q (2,4)是曲线y ＝x 2上的两点，求与直线PQ 平行的曲线y ＝x 2的切线方程．解 ∵y ′＝(x 2)′＝2x ，设切点为M (x 0，y 0)，则y ′|x ＝x 0＝2x 0，又∵PQ 的斜率为k ＝4－12＋1＝1，而切线平行于PQ ，∴k ＝2x 0＝1，即x 0＝12，所以切点为M ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，14.∴所求的切线方程为y －14＝x －12，即4x －4y －1＝0.1．已知f (x )＝x 2，则f ′(3)＝( ) A ．0 B ．2x C ．6 D ．9答案 C解析 ∵f (x )＝x 2，∴f ′(x )＝2x ，∴f ′(3)＝6. 2．函数f (x )＝x ，则f ′(3)等于( ) A.36 B ．0 C ．12xD ．32 答案 A解析 ∵f ′(x )＝(x )′＝12x，∴f ′(3)＝123＝36. 3．设正弦曲线y ＝sin x 上一点P ，以点P 为切点的切线为直线l ，则直线l 的倾斜角的范围是( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π B ．[0，π)C ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，3π4D ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，3π4答案 A解析 ∵(sin x )′＝cos x ，∵k l ＝cos x ，∴－1≤k l ≤1， ∴αl ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π.4．曲线y ＝e x 在点(2，e 2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为________．答案 12e 2解析 ∵y ′＝(e x )′＝e x ，∴k ＝e 2，∴曲线在点(2，e 2)处的切线方程为y －e 2＝e 2(x －2)，即y ＝e 2x －e 2.当x ＝0时，y ＝－e 2，当y ＝0时，x ＝1. ∴S △＝12×1×||－e 2＝12e 2.1．利用常见函数的导数公式可以比较简捷的求出函数的导数，其关键是牢记和运用好导数公式．解题时，能认真观察函数的结构特征，积极地进行联想化归． 2．有些函数可先化简再应用公式求导．如求y ＝1－2sin 2x 2的导数．因为y ＝1－2sin 2x2＝cos x ，所以y ′＝(cos x )′＝－sin x .3．对于正、余弦函数的导数，一是注意函数的变化，二是注意符号的变化.一、基础达标1．下列结论中正确的个数为( )①y ＝ln 2，则y ′＝12；②y ＝1x 2，则y ′|x ＝3＝－227；③y ＝2x ，则y ′＝2x ln 2；④y ＝log 2x ，则y ′＝1x ln 2.A ．0B ．1C ．2D ．3答案 D解析 ①y ＝ln 2为常数，所以y ′＝0.①错．②③④正确．2．过曲线y ＝1x 上一点P 的切线的斜率为－4，则点P 的坐标为( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2 B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2或⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－2C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－2D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－2答案 B解析 y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ′＝－1x 2＝－4，x ＝±12，故选B. 3．已知f (x )＝x a ，若f ′(－1)＝－4，则a 的值等于( ) A ．4 B ．－4 C ．5 D ．－5答案 A解析 f ′(x )＝ax a －1，f ′(－1)＝a (－1)a －1＝－4，a ＝4. 4．函数f (x )＝x 3的斜率等于1的切线有( ) A ．1条 B ．2条 C ．3条 D ．不确定答案 B解析 ∵f ′(x )＝3x 2，设切点为(x 0，y 0)，则3x 20＝1，得x 0＝±33，即在点⎝ ⎛⎭⎪⎫33，39和点⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，－39处有斜率为1的切线． 5．曲线y ＝9x 在点M (3,3)处的切线方程是________．答案 x ＋y －6＝0解析 ∵y ′＝－9x 2，∴y ′|x ＝3＝－1， ∴过点(3,3)的斜率为－1的切线方程为： y －3＝－(x －3)即x ＋y －6＝0.6．若曲线y ＝x －12在点⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，a －12处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为18，则a ＝________. 答案 64解析 ∵y ＝x －12，∴y ′＝－12x －32，∴曲线在点⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，a －12处的切线斜率k ＝－12a －32，∴切线方程为y －a －12＝－12a －32(x －a )．令x ＝0得y ＝32a －12；令y ＝0得x ＝3a . ∵该切线与两坐标轴围成的三角形的面积为 S ＝12·3a ·32a －12＝94a 12＝18，∴a ＝64. 7．求下列函数的导数：(1) y ＝5x 3；(2)y ＝1x 4；(3)y ＝－2sin x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－2cos 2x 4；(4)y ＝log 2x 2－log 2x .解 (1)y ′＝⎝⎛⎭⎫5x 3′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 35′＝35x 35－1＝35x －25＝355x 2. (2)y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 4′＝(x －4)′＝－4x －4－1＝－4x －5＝－4x 5.(3)∵y ＝－2sin x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－2cos 2x 4 ＝2sin x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫2cos 2x 4－1＝2sin x 2cos x 2＝sin x ，∴y ′＝(sin x )′＝cos x . (4)∵y ＝log 2x 2－log 2x ＝log 2x ，∴y ′＝(log 2x )′＝1x ·ln 2. 二、能力提升8．已知直线y ＝kx 是曲线y ＝e x 的切线，则实数k 的值为( ) A.1e B ．－1e C ．－e D ．e答案 D解析y ′＝e x，设切点为(x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝kx 0y 0＝e x 0k ＝e x 0.∴e x 0＝e x 0·x 0，∴x 0＝1，∴k ＝e.9．曲线y ＝ln x 在x ＝a 处的切线倾斜角为π4，则a ＝________. 答案 1解析 y ′＝1x ，∴y ′|x ＝a ＝1a ＝1，∴a ＝1.10．点P 是曲线y ＝e x 上任意一点，则点P 到直线y ＝x 的最小距离为________．答案 22解析根据题意设平行于直线y ＝x 的直线与曲线y ＝e x 相切于点(x 0，y 0)，该切点即为与y ＝x 距离最近的点，如图．则在点(x 0，y 0)处的切线斜率为1，即y ′|x ＝x 0＝1. ∵y ′＝(e x )′＝e x ，∴e x 0＝1，得x 0＝0，代入y ＝e x ，得y 0＝1，即P (0,1)．利用点到直线的距离公式得距离为22. 11．已知f (x )＝cos x ，g (x )＝x ，求适合f ′(x )＋g ′(x )≤0的x 的值．解 ∵f (x )＝cos x ，g (x )＝x ，∴f ′(x )＝(cos x )′＝－sin x ，g ′(x )＝x ′＝1，由f ′(x )＋g ′(x )≤0，得－sin x ＋1≤0，即sin x ≥1，但sin x ∈[－1,1]， ∴sin x ＝1，∴x ＝2k π＋π2，k ∈Z .12．已知抛物线y ＝x 2，直线x －y －2＝0，求抛物线上的点到直线的最短距离．解根据题意可知与直线x －y －2＝0平行的抛物线y ＝x 2的切线，对应的切点到直线x －y －2＝0的距离最短，设切点坐标为(x 0，x 20)，则y ′|x ＝x 0＝2x 0＝1，所以x 0＝12，所以切点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，14，切点到直线x －y －2＝0的距离 d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪12－14－22＝728，所以抛物线上的点到直线x －y －2＝0的最短距离为728. 三、探究与创新13．设f 0(x )＝sin x ，f 1(x )＝f ′0(x )，f 2(x )＝f ′1(x )，…，f n ＋1(x )＝f ′n (x )，n ∈N ，试求f 2 014(x )．解 f 1(x )＝(sin x )′＝cos x ， f 2(x )＝(cos x )′＝－sin x ， f 3(x )＝(－sin x )′＝－cos x ， f 4(x )＝(－cos x )′＝sin x ，f5(x)＝(sin x)′＝f1(x)，f6(x)＝f2(x)，…，f n＋4(x)＝f n(x)，可知周期为4，∴f2 014(x)＝f2(x)＝－sin x．1.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(二)[学习目标]1．理解函数的和、差、积、商的求导法则．2．理解求导法则的证明过程，能够综合运用导数公式和导数运算法则求函数的导数．3．能运用复合函数的求导法则进行复合函数的求导．[知识链接]前面我们已经学习了几个常用函数的导数和基本初等函数的导数公式，这样做起题来比用导数的定义显得格外轻松．我们已经会求f(x)＝5和g(x)＝1.05x等基本初等函数的导数，那么怎样求f(x)与g(x)的和、差、积、商的导数呢？答利用导数的运算法则．[预习导引]1．导数运算法则2．复合函数的求导法则要点一利用导数的运算法则求函数的导数例1求下列函数的导数：(1) y＝x3－2x＋3；(2)y＝(x2＋1)(x－1)；(3)y＝3x－lg x.解(1)y′＝(x3)′－(2x)′＋3′＝3x2－2.(2)∵y＝(x2＋1)(x－1)＝x3－x2＋x－1，∴y′＝(x3)′－(x2)′＋x′－1′＝3x2－2x＋1.(3)函数y＝3x－lg x是函数f(x)＝3x与函数g(x)＝lg x的差．由导数公式表分别得出f′(x)＝3x ln 3，g′(x)＝1x ln 10，利用函数差的求导法则可得(3x－lg x)′＝f′(x)－g′(x)＝3x ln 3－1x ln 10.规律方法本题是基本函数和(差)的求导问题，求导过程要紧扣求导法则，联系基本函数求导法则，对于不具备求导法则结构形式的可先进行适当的恒等变形转化为较易求导的结构形式再求导数．跟踪演练1求下列函数的导数：(1)y ＝5－4x 3；(2)y ＝3x 2＋x cos x ； (3)y ＝e x·ln x ；(4)y ＝lg x －1x 2.解 (1)y ′＝－12x 2；(2)y ′＝(3x 2＋x cos x )′＝6x ＋cos x －x sin x ； (3)y ′＝e x x ＋e x ·ln x ； (4)y ′＝1x ln 10＋2x 3. 要点二求复合函数的导数例2 求下列函数的导数： (1)y ＝ln(x ＋2)； (2)y ＝(1＋sin x )2；解 (1)y ＝ln u ，u ＝x ＋2∴y ′x ＝y ′u ·u ′x ＝(ln u )′·(x ＋2)′＝1u ·1＝1x ＋2.(2)y ＝u 2，u ＝1＋sin x ，∴y x ′＝y u ′·u x ′＝(u 2)′·(1＋sin x )′ ＝2u ·cos x ＝2cos x (1＋sin x )．规律方法应用复合函数的求导法则求导，应注意以下几个方面： (1)中间变量的选取应是基本函数结构．(2)正确分析函数的复合层次，并要弄清每一步是哪个变量对哪个变量的求导． (3)一般是从最外层开始，由外及里，一层层地求导． (4)善于把一部分表达式作为一个整体．(5)最后要把中间变量换成自变量的函数．熟练后，就不必再写中间步骤．跟踪演练2 (1)y ＝e 2x ＋1； (2)y ＝(x －2)2.解 (1)y ＝e u ，u ＝2x ＋1，∴y ′x ＝y ′u ·u ′x ＝(e u )′·(2x ＋1)′＝2e u ＝2e 2x ＋1. (2)法一 ∵y ＝(x －2)2＝x －4x ＋4， ∴y ′＝x ′－(4x )′＋4′ ＝1－4×12x －12＝1－2x .法二令u ＝x －2，则y x ′＝y u ′·u x ′＝2(x －2)·(x －2)′＝ 2(x －2)⎝ ⎛⎭⎪⎫12·1x －0＝1－2x . 要点三导数的应用例3 求过点(1，－1)与曲线f (x )＝x 3－2x 相切的直线方程．解设P (x 0，y 0)为切点，则切线斜率为 k ＝f ′(x 0)＝3x 20－2故切线方程为y －y 0＝(3x 20－2)(x －x 0)① ∵(x 0，y 0)在曲线上，∴y 0＝x 30－2x 0②又∵(1，－1)在切线上， ∴将②式和(1，－1)代入①式得－1－(x 30－2x 0)＝(3x 20－2)(1－x 0)．解得x 0＝1或x 0＝－12.故所求的切线方程为y ＋1＝x －1或y ＋1＝－54(x －1)．即x －y －2＝0或5x ＋4y －1＝0.规律方法 (1，－1)虽然在曲线上，但是经过该点的切线不一定只有一条，即该点有可能是切点，也可能是切线与曲线的交点，解题时注意不要失解．跟踪演练3 已知某运动着的物体的运动方程为s (t )＝t －1t 2＋2t 2(位移单位：m ，时间单位：s)，求t ＝3 s 时物体的瞬时速度．解 ∵s (t )＝t －1t 2＋2t 2＝t t 2－1t 2＋2t 2＝1t －1t 2＋2t 2， ∴s ′(t )＝－1t 2＋2·1t 3＋4t ， ∴s ′(3)＝－19＋227＋12＝32327，即物体在t ＝3 s 时的瞬时速度为32327 m/s.1．下列结论不正确的是( )A ．若y ＝3，则y ′＝0B ．若f (x )＝3x ＋1，则f ′(1)＝3C ．若y ＝－x ＋x ，则y ′＝－12x＋1D ．若y ＝sin x ＋cos x ，则y ′＝cos x ＋sin x 答案 D解析利用求导公式和导数的加、减运算法则求解．D 项，∵y ＝sin x ＋cos x ， ∴y ′＝(sin x )′＋(cos x )′＝cos x －sin x . 2．函数y ＝cos x1－x 的导数是( )A.－sin x ＋x sin x (1－x )2B ．x sin x －sin x －cos x(1－x )2C ．cos x －sin x ＋x sin x (1－x )2D ．cos x －sin x ＋x sin x 1－x答案 C解析 y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x 1－x ′＝(－sin x )(1－x )－cos x ·(－1)(1－x )2 ＝cos x －sin x ＋x sin x(1－x )2.3．曲线y ＝xx ＋2在点(－1，－1)处的切线方程为( )A ．y ＝2x ＋1B ．y ＝2x －1C ．y ＝－2x －3D ．y ＝－2x ＋2答案 A 解析 ∵y ′＝x ′(x ＋2)－x (x ＋2)′(x ＋2)2＝2(x ＋2)2，∴k ＝y ′|x ＝－1＝2(－1＋2)2＝2， ∴切线方程为y ＋1＝2(x ＋1)，即y ＝2x ＋1.4．直线y ＝12x ＋b 是曲线y ＝ln x (x >0)的一条切线，则实数b ＝________. 答案 ln 2－1解析设切点为(x 0，y 0)， ∵ y ′＝1x ，∴12＝1x 0，∴x 0＝2，∴y 0＝ln 2，ln 2＝12×2＋b ，∴b ＝ln 2－1.求函数的导数要准确把函数分割为基本函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导数．在求导过程中，要仔细分析出函数解析式的结构特征，根据导数运算法则，联系基本函数的导数公式．对于不具备导数运算法则结构形式的要进行适当恒等变形，转化为较易求导的结构形式，再求导数，进而解决一些切线斜率、瞬时速度等问题.一、基础达标1．设y ＝－2e x sin x ，则y ′等于( ) A ．－2e x cos x B ．－2e x sin x C ．2e x sin x D ．－2e x (sin x ＋cos x )答案 D解析 y ′＝－2(e x sin x ＋e x cos x )＝－2e x (sin x ＋cos x )．2．当函数y ＝x 2＋a 2x (a >0)在x ＝x 0处的导数为0时，那么x 0＝( ) A ．a B ．±a C ．－a D ．a 2答案 B解析 y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋a 2x ′＝2x ·x －(x 2＋a 2)x 2＝x 2－a 2x 2，由x 20－a 2＝0得x 0＝±a .3．设曲线y ＝x ＋1x －1在点(3,2)处的切线与直线ax ＋y ＋1＝0垂直，则a 等于( )A ．2B ．12 C ．－12 D ．－2答案 D解析 ∵y ＝x ＋1x －1＝1＋2x －1，∴y ′＝－2(x －1)2.∴y ′|x ＝3＝－12. ∴－a ＝2，即a ＝－2.4．已知曲线y ＝x 3在点P 处的切线斜率为k ，则当k ＝3时的P 点坐标为( ) A ．(－2，－8) B ．(－1，－1)或(1,1) C ．(2,8) D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－18答案 B解析 y ′＝3x 2，∵k ＝3，∴3x 2＝3，∴x ＝±1，则P 点坐标为(－1，－1)或(1,1)．5．设函数f (x )＝g (x )＋x 2，曲线y ＝g (x )在点(1，g (1))处的切线方程为y ＝2x ＋1，则曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处切线的斜率为________．答案 4解析依题意得f ′(x )＝g ′(x )＋2x ， f ′(1)＝g ′(1)＋2＝4.6．已知f (x )＝13x 3＋3xf ′(0)，则f ′(1)＝________. 答案 1解析由于f ′(0)是一常数，所以f ′(x )＝x 2＋3f ′(0)，令x ＝0，则f ′(0)＝0， ∴f ′(1)＝12＋3f ′(0)＝1. 7．求下列函数的导数： (1)y ＝(2x 2＋3)(3x －1)； (2)y ＝x －sin x 2cos x2.解 (1)法一 y ′＝(2x 2＋3)′(3x －1)＋(2x 2＋3)(3x －1)′＝4x (3x －1)＋3(2x 2＋3)＝18x 2－4x ＋9. 法二 ∵y ＝(2x 2＋3)(3x －1)＝6x 3－2x 2＋9x －3，∴y ′＝(6x 3－2x 2＋9x －3)′＝18x 2－4x ＋9. (2)∵y ＝x －sin x 2cos x 2＝x －12sin x ， ∴y ′＝x ′－⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin x ′＝1－12cos x .二、能力提升8．曲线y ＝sin x sin x ＋cos x －12在点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0处的切线的斜率为( )A ．－12 B ．12 C ．－22 D ．22答案 B解析 y ′＝cos x (sin x ＋cos x )－sin x (cos x －sin x )(sin x ＋cos x )2＝1(sin x ＋cos x )2，故y ′|x ＝π4＝12， ∴曲线在点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0处的切线的斜率为12.9．已知点P 在曲线y ＝4e x ＋1上，α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则α的取值范围是( ) A ．[0，π4) B ．[π4，π2) C ．(π2，3π4] D ．[3π4，π)答案 D解析 y ′＝－4e x (e x ＋1)2＝－4e xe 2x ＋2e x ＋1，设t ＝e x∈(0，＋∞)，则y ′＝－4t t 2＋2t ＋1＝－4t ＋1t ＋2，∵t ＋1t ≥2，∴y ′∈[－1,0)，α∈[3π4，π)．10．(2013·江西)设函数f (x )在(0，＋∞)内可导，且f (e x )＝x ＋e x ，则f ′(1)＝________. 答案 2解析令t ＝e x ，则x ＝ln t ，所以函数为f (t )＝ln t ＋t ，即f (x )＝ln x ＋x ，所以f ′(x )＝1x ＋1，即f ′(1)＝11＋1＝2. 11．求过点(2,0)且与曲线y ＝x 3相切的直线方程．解点(2,0)不在曲线y ＝x 3上，可令切点坐标为(x 0，x 30)．由题意，所求直线方程的斜率k ＝x 30－0x 0－2＝y ′|x ＝x 0＝3x 20，即x 30x 0－2＝3x 20，解得x 0＝0或x 0＝3.当x 0＝0时，得切点坐标是(0,0)，斜率k ＝0，则所求直线方程是y ＝0；当x 0＝3时，得切点坐标是(3,27)，斜率k ＝27，则所求直线方程是y －27＝27(x －3)，即27x －y －54＝0.综上，所求的直线方程为y ＝0或27x －y －54＝0.12．已知曲线f (x )＝x 3－3x ，过点A (0,16)作曲线f (x )的切线，求曲线的切线方程．解设切点为(x 0，y 0)，则由导数定义得切线的斜率k ＝f ′(x 0)＝3x 20－3，∴切线方程为y ＝(3x 20－3)x ＋16，又切点(x 0，y 0)在切线上， ∴y 0＝3(x 20－1)x 0＋16，即x 30－3x 0＝3(x 20－1)x 0＋16，解得x 0＝－2，∴切线方程为9x －y ＋16＝0. 三、探究与创新13．设函数f (x )＝ax －bx ，曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为7x －4y －12＝0. (1)求f (x )的解析式；(2)证明：曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0和直线y ＝x 所围成的三角形的面积为定值，并求此定值． (1)解由7x －4y －12＝0得y ＝74x －3. 当x ＝2时，y ＝12，∴f (2)＝12， ①又f ′(x )＝a ＋bx 2， ∴f ′(2)＝74， ② 由①，②得⎩⎪⎨⎪⎧2a －b 2＝12a ＋b 4＝74.解之得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1b ＝3.故f (x )＝x －3x.(2)证明设P (x 0，y 0)为曲线上任一点，由y ′＝1＋3x 2知曲线在点P (x 0，y 0)处的切线方程为 y －y 0＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋3x 20(x －x 0)，即y －⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0－3x 0＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋3x 20(x －x 0)．令x ＝0得y ＝－6x 0，从而得切线与直线x ＝0的交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－6x 0.令y ＝x 得y ＝x ＝2x 0，从而得切线与直线y ＝x 的交点坐标为(2x 0,2x 0)．所以点P (x 0，y 0)处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形面积为12⎪⎪⎪⎪⎪⎪－6x 0||2x 0＝6.故曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形的面积为定值，此定值为6.1．3 导数在研究函数中的应用 1．3.1 函数的单调性与导数[学习目标]1．结合实例，直观探索并掌握函数的单调性与导数的关系．2．能利用导数研究函数的单调性，并能够利用单调性证明一些简单的不等式． 3．会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次)． [知识链接]以前，我们用定义来判断函数的单调性．在假设x 1＜x 2的前提下，比较f (x 1)与f (x 2)的大小，在函数y ＝f (x )比较复杂的情况下，比较f (x 1)与f (x 2)的大小并不很容易．如何利用导数来判断函数的单调性？答根据导数的几何意义，可以用曲线切线的斜率来解释导数与单调性的关系，如果切线的斜率大于零，则其倾斜角是锐角，函数曲线呈上升的状态，即函数单调递增；如果切线的斜率小于零，则其倾斜角是钝角，函数曲线呈下降的状态，即函数单调递减． [预习导引]函数的单调性与导数的关系(1)在区间(a ，b )内函数的导数与单调性有如下关系：(2)在区间(a ，b )要点一利用导数判断函数的单调性例1 证明：函数f (x )＝sin x x 在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π上单调递减．证明 f ′(x )＝x cos x －sin x x 2，又x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，则cos x <0，sin x ＞0，∴x cos x －sin x <0， ∴f ′(x )<0，∴f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π上是减函数．规律方法关于利用导数证明函数单调性的问题：(1)首先考虑函数的定义域，所有函数性质的研究必须保证在定义域内这个前提下进行．(2)f ′(x )>(或<)0，则f (x )为单调递增(或递减)函数；但要特别注意，f (x )为单调递增(或递减)函数，则f ′(x )≥(或≤)0. 跟踪演练1 证明：函数f (x )＝ln xx 在区间(0，e)上是增函数．证明 ∵f (x )＝ln xx ，∴f ′(x )＝x ·1x －ln x x 2＝1－ln x x 2. 又0<x <e ，∴ln x <ln e ＝1. ∴f ′(x )＝1－ln xx 2>0，故f (x )在区间(0，e)上是单调递增函数．要点二利用导数求函数的单调区间例2 求下列函数的单调区间： (1)f (x )＝2x 3＋3x 2－36 x ＋1； (2)f (x )＝sin x －x (0<x <π)； (3)f (x )＝3x 2－2ln x ； (4)f (x )＝x 3－3tx .解 (1)f ′(x )＝ 6x 2＋6x －36，由f ′(x )>0得6x 2＋6x －36>0，解得x < －3或x >2；由f ′(x )＜0解得－3<x <2.故f (x )的增区间是(－∞，－3)，(2，＋∞)；减区间是(－3,2)．(2)f ′(x )＝cos x －1.因为0＜x ＜π，所以cos x －1＜0恒成立，故函数f (x )的单调递减区间为(0，π)． (3)函数的定义域为(0，＋∞)， f ′(x )＝6x －2x ＝2·3x 2－1x . 令f ′(x )>0，即2·3x 2－1x ＞0，解得－33＜x ＜0或x ＞33. 又∵x ＞0，∴x ＞33.。

2019-2020学年度最新高中数学人教A版选修2-2：课时跟踪检测(十三)合情推理-含解析

2019-2020学年度最新高中数学人教A版选修2-2：课时跟踪检测（十三）合情推理-含解析层级一学业水平达标1．观察图形规律，在其右下角的空格内画上合适的图形为()A.B．△C.D．○解析：选A观察可发现规律：①每行、每列中，方、圆、三角三种形状均各出现一次，②每行、每列有两阴影一空白，即得结果．2．下面几种推理是合情推理的是()①由圆的性质类比出球的有关性质；②由直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和是180°，归纳出所有三角形的内角和都是180°；③教室内有一把椅子坏了，则猜想该教室内的所有椅子都坏了；④三角形内角和是180°，四边形内角和是360°，五边形内角和是540°，由此得出凸n边形的内角和是(n－2)·180°(n∈N*，且n≥3)．A．①②B．①③④C．①②④D．②④解析：选C①是类比推理；②④是归纳推理，∴①②④都是合情推理．3．在平面上，若两个正三角形的边长的比为1∶2，则它们的面积比为1∶4，类似地，在空间内，若两个正四面体的棱长的比为1∶2，则它们的体积比为() A．1∶2 B．1∶4C．1∶8 D．1∶16解析：选C由平面和空间的知识，可知面积之比与边长之比成平方关系，在空间中体积之比与棱长之比成立方关系，故若两个正四面体的棱长的比为1∶2，则它们的体积之比为1∶8.4．类比平面内“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”的性质，可推出下列空间结论：①垂直于同一条直线的两条直线互相平行；②垂直于同一个平面的两条直线互相平行；③垂直于同一条直线的两个平面互相平行；④垂直于同一平面的两个平面互相平行，则其中正确的结论是()A．①②B．②③C．③④D．①④解析：选B根据立体几何中线面之间的位置关系及有关定理知，②③是正确的结论．5．观察下列各等式：22－4＋66－4＝2，55－4＋33－4＝2，77－4＋11－4＝2，1010－4＋－2－2－4＝2，依照以上各式成立的规律，得到一般性的等式为( )A.nn －4＋8－n (8－n )－4＝2 B.n ＋1(n ＋1)－4＋(n ＋1)＋5(n ＋1)－4＝2 C.nn －4＋n ＋4(n ＋4)－4＝2 D.n ＋1(n ＋1)－4＋n ＋5(n ＋5)－4＝2 解析：选A 观察发现：每个等式的右边均为2，左边是两个分数相加，分子之和等于8，分母中被减数与分子相同，减数都是4，因此只有A 正确．6．观察下列等式1＝1 2＋3＋4＝9 3＋4＋5＋6＋7＝25 4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝49照此规律，第n 个等式为________．解析：观察所给等式，等式左边第一个加数与行数相同，加数的个数为2n －1，故第n 行等式左边的数依次是n ，n ＋1，n ＋2，…，(3n －2)；每一个等式右边的数为等式左边加数个数的平方，从而第n 个等式为n ＋(n ＋1)＋(n ＋2)＋…＋(3n －2)＝(2n －1)2.答案：n ＋(n ＋1)＋(n ＋2)＋…＋(3n －2)＝(2n －1)27．我们知道：周长一定的所有矩形中，正方形的面积最大；周长一定的所有矩形与圆中，圆的面积最大，将这些结论类比到空间，可以得到的结论是_______________________．解析：平面图形与立体图形的类比：周长→表面积，正方形→正方体，面积→体积，矩形→长方体，圆→球．答案：表面积一定的所有长方体中，正方体的体积最大；表面积一定的所有长方体和球中，球的体积最大8．如图(甲)是第七届国际数学教育大会(简称ICME －7)的会徽图案，会徽的主体图案是由如图(乙)的一连串直角三角形演化而成的，其中OA 1＝A 1A 2＝A 2A 3＝…＝A 7A 8＝1，如果把图(乙)中的直角三角形依此规律继续作下去，记OA 1，OA 2，…，OA n ，…的长度构成数列{a n }，则此数列{a n }的通项公式为a n ＝__________.解析：根据OA 1＝A 1A 2＝A 2A 3＝…＝A 7A 8＝1和图(乙)中的各直角三角形，由勾股定理，可得a 1＝OA 1＝1，a 2＝OA 2＝OA 21＋A 1A 22＝12＋12＝2，a 3＝OA 3＝OA 22＋A 2A 23＝(2)2＋12＝3，…，故可归纳推测出a n ＝n . 答案：n9．在平面内观察：凸四边形有2条对角线，凸五边形有5条对角线，凸六边形有9条对角线，…，由此猜想凸n 边形有几条对角线？解：因为凸四边形有2条对角线，凸五边形有5条对角线，比凸四边形多3条；凸六边形有9条对角线，比凸五边形多4条，…，于是猜想凸n 边形的对角线条数比凸(n －1)边形多(n －2)条对角线，由此凸n 边形的对角线条数为2＋3＋4＋5＋…＋(n －2)，由等差数列求和公式可得12n (n －3)(n ≥4，n ∈N *)．所以凸n 边形的对角线条数为12n (n －3)(n ≥4，n ∈N *)．10．已知f (x )＝13x ＋3，分别求f (0)＋f (1) ，f (－1)＋f (2)，f (－2)＋f (3)，然后归纳猜想一般性结论，并证明你的结论．解：f (x )＝13x ＋3，所以f (0)＋f (1)＝130＋3＋131＋3＝33，f (－1)＋f (2)＝13－1＋3＋132＋3＝33，f (－2)＋f (3)＝13－2＋3＋133＋3＝33.归纳猜想一般性结论；f (－x )＋f (x ＋1)＝33. 证明如下：f (－x )＋f (x ＋1)＝13－x ＋3＋13x ＋1＋3＝3x1＋3·3x ＋13x ＋1＋3＝3·3x 3＋3x ＋1＋13x ＋1＋3 ＝3·3x ＋13＋3x ＋1＝3·3x ＋13(1＋3·3x )＝33. 层级二应试能力达标1．由代数式的乘法法则类比得到向量的数量积的运算法则： ①“mn ＝nm ”类比得到“a ·b ＝b ·a ”；②“(m ＋n )t ＝mt ＋nt ”类比得到“(a ＋b )·c ＝a ·c ＋b ·c ”； ③“(m ·n )t ＝m (n ·t )”类比得到“(a ·b )·c ＝a ·(b ·c )”；④“t ≠0，mt ＝xt ⇒m ＝x ”类比得到“p ≠0，a ·p ＝x ·p ⇒a ＝x ”； ⑤“|m ·n |＝|m |·|n |”类比得到“|a ·b |＝|a |·|b |”； ⑥“ac bc ＝a b ”类比得到“a ·c b ·c ＝ab ”．其中类比结论正确的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：选B 由向量的有关运算法则知①②正确，③④⑤⑥都不正确，故应选B. 2．类比三角形中的性质： (1)两边之和大于第三边； (2)中位线长等于底边长的一半； (3)三内角平分线交于一点．可得四面体的对应性质：(1)任意三个面的面积之和大于第四个面的面积；(2)过四面体的交于同一顶点的三条棱的中点的平面面积等于该顶点所对的面面积的14；(3)四面体的六个二面角的平分面交于一点．其中类比推理方法正确的有( ) A ．(1) B ．(1)(2) C ．(1)(2)(3)D ．都不对解析：选C 以上类比推理方法都正确，需注意的是类比推理得到的结论是否正确与类比推理方法是否正确并不等价，方法正确结论也不一定正确．3．观察下列式子：1＋122＜32，1＋122＋132＜53，1＋122＋132＋142＜74，…，根据以上式子可以猜想：1＋122＋132＋…＋12 0172＜( )A.4 0312 017 B.4 0322 017 C.4 0332 017D.4 0342 017解析：选C 观察可以发现，第n (n ≥2)个不等式左端有n ＋1项，分子为1，分母依次为12,22,32，…，(n ＋1)2；右端分母为n ＋1，分子成等差数列，首项为3，公差为2，因此第n 个不等式为1＋122＋132＋…＋1(n ＋1)2＜2n ＋1n ＋1，所以当n ＝2 016时不等式为：1＋122＋132＋…＋12 0172＜4 0332 017. 4．设△ABC 的三边长分别为a ，b ，c ，△ABC 的面积为S ，内切圆半径为r ，则r ＝2Sa ＋b ＋c ；类比这个结论可知：四面体P -ABC 的四个面的面积分别为S 1，S 2，S 3，S 4，内切球的半径为r ，四面体P -ABC 的体积为V ，则r ＝( )A.VS 1＋S 2＋S 3＋S 4 B.2VS 1＋S 2＋S 3＋S 4 C.3VS 1＋S 2＋S 3＋S 4D.4VS 1＋S 2＋S 3＋S 4解析：选C 将△ABC 的三条边长a ，b ，c 类比到四面体P -ABC 的四个面面积S 1，S 2，S 3，S 4，将三角形面积公式中系数12，类比到三棱锥体积公式中系数13，从而可知选C.证明如下：以四面体各面为底，内切球心O 为顶点的各三棱锥体积的和为V ，∴V ＝13S 1r ＋13S 2r ＋13S 3r ＋13S 4r ，∴r ＝3V S 1＋S 2＋S 3＋S 4.5．观察下图中各正方形图案，每条边上有n (n ≥2)个圆圈，每个图案中圆圈的总数是S ，按此规律推出S 与n 的关系式为____________．解析：每条边上有2个圆圈时共有S ＝4个；每条边上有3个圆圈时，共有S ＝8个；每条边上有4个圆圈时，共有S ＝12个．可见每条边上增加一个点，则S 增加4，∴S 与n 的关系为S ＝4(n －1)(n ≥2)．答案：S ＝4(n －1)(n ≥2)6．可以运用下面的原理解决一些相关图形的面积问题：如果与一固定直线平行的直线被甲、乙两个封闭的图形所截得的线段的比都为k ，那么甲的面积是乙的面积的k 倍．你可以从给出的简单图形①、②中体会这个原理．现在图③中的两个曲线的方程分别是x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)与x 2＋y 2＝a 2，运用上面的原理，图③中椭圆的面积为______________．解析：由于椭圆与圆截y 轴所得线段之比为ba ，即k ＝b a ，∴椭圆面积S ＝πa 2·b a ＝πab . 答案：πab7．观察下列两个等式：①sin 210°＋cos 240°＋sin 10°cos 40°＝34①；②sin 26°＋cos 236°＋sin 6°cos 36°＝34②.由上面两个等式的结构特征，你能否提出一个猜想？并证明你的猜想．解：由①②知若两角差为30°，则它们的相关形式的函数运算式的值均为34.猜想：若β－α＝30°，则β＝30°＋α，sin 2α＋cos 2(α＋30°)＋sin αcos(α＋30°)＝34.下面进行证明：左边＝ sin 2α＋cos(α＋30°)[cos(α＋30°)＋sin α] ＝sin 2α＋⎝⎛⎭⎫32cos α－12sin α⎝⎛⎭⎫32cos α＋12sin α＝sin 2α＋34cos 2α－14sin 2α＝34＝右边．所以，猜想是正确的．故sin 2α＋cos 2(α＋30°)＋sin αcos(α＋30°)＝34.8．已知在Rt△ABC中，AB⊥AC，AD⊥BC于点D，有1AD2＝1AB2＋1AC2成立．那么在四面体A-BCD中，类比上述结论，你能得到怎样的猜想，并说明猜想是否正确及理由．解：猜想：类比AB⊥AC，AD⊥BC，可以猜想四面体A-BCD中，AB，AC，AD两两垂直，AE⊥平面BCD.则1AE2＝1AB2＋1AC2＋1AD2.下面证明上述猜想成立如图所示，连接BE，并延长交CD于点F，连接AF. ∵AB⊥AC，AB⊥AD，AC∩AD=A，∴AB⊥平面ACD.而AF⊂平面ACD，∴AB⊥AF.在Rt△ABF中，AE⊥BF，∴1 AE2＝1AB2＋1AD2.在Rt△ACD中，AF⊥CD，∴1 AF2＝1AC2＋1AD2.∴1 AE2＝1AB2＋1AC2＋1AD2，故猜想正确．。

2019-2020学年高二数学人教A版选修2-2：第三章检测A 含解析

1.A.-3:由已知(1+2i)(a+i)=a-2+(2a+1)i .+2i)(a+i)的实部与虚部相等,2=2a+1,解得a=-3,故选A .:A2.i 是虚数单位,复数7-i3+i 等于( )A.2+iB.2-iC.-2+iD.-2-i :-i .7-i3+i=(7-i )(3-i )(3+i )(3-i )=21-7i -3i +i 29-i 2=20-10i 10=2:B3.2A.-i 4.A.-15.A.充要条件:C6.若复数z=a 2-1+(a+1)i(a ∈R )是纯虚数,则复数12z -3a 的虚部等于( )4B .‒425C .‒325D .325:因为复数z=a 2-1+(a+1)i(a ∈R )是纯虚数,所a=1.这时z=2i,以{a 2-1=0,a +1≠0,解得于是复数12z -3a =14i -3=‒325‒425i,故其虚部等于‒425.:B7.已知复数z=1-2i,则1z 等于( )58.:由题图知复数z 1=-2-i,z 2=1+2i,.=-2-i1+2i =(-2-i )(1-2i )(1+2i )(1-2i )=‒45:B9.已知i 为虚数单位,a 为实数,若复数z=(1-2i)(a+i)在复平面内对应的点为M ,则“a “点M 在第>12”是四象限”的( )充分不必要条件 B.必要不充分条件充要条件D.既不充分也不必要条件:z=(1-2i)(a+i)=a+2+(1-2a )i,所以复数z 在复平面内对应的点M 的坐标为(a+2,1-2a ).所以点M 在第四象限的充要条件是a+2>0,且1-2a<0,解得a C.>12,故选:C10.A.若11.已知a,b∈R,若a-1+2a i=4+b i,则b= .:由题意,得{a-1=4,2a=b,解得{a=5,b=10.:1012.若复数z1=4+29i,z2=6+9i,其中i是虚数单位,则复数(z1-z2)i的实部为 . 解析:因为z1-z2=(4+29i)-(6+9i)=-2+20i,(z1-z2)i=-20-2i,其实部为-20.:-2013.若复数z满足z(1+i)=1-i(i是虚数单位),则其共轭复.数z=__________________解析14.15.数ω由题意知P 1,P 2不为原点,且由ω1☉ω2=0,a 2+b 1b 2=0.由两条直线垂直的充要条件,知直线OP 1,OP 2垂直.所以OP 1⊥OP 2,即∠P 1OP 2=90°.:90°三、解答题(本大题共5小题,共45分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)16.(8分)已知复数z=(2+i)m1-i).求当实数m 取什么值时,复数z 是:(1)零;(2)虚数;(3)纯虚数2‒6m 1-i‒2((4)复平面内第二、四象限平分线上的点对应的复数?:先把复数z 化简整理为a+b i(a ,b ∈R )的形式,再根据复数的分类及其几何意义求解即可.因为m ∈R ,所以复数z=(2+i)m 2-3m (1+i)-2(1-i)=(2m 2-3m-2)+(m 2-3m+2)i .m=2时,z 为零.当{2m 2-3m -2=0,m 2-3m +2=0,即17.18.解:设z1=x+y i(x,y∈R),则z2=x-y i.,z2代入(z1+z2)2+5z1z2i=8+15i,得x+y i)+(x-y i)]2+5(x+y i)(x-y i)i=8+15i,x2+5(x2+y2)i=8+15i.利用复数相等的充要条件,有{4x2=8,5(x2+y2)=15,{x=2,y=1或{x=2,y=-1或{x=-2,y=1或{x=-2,y=-1.故所求复数z1,z2为{z1=2+i,z2=2-i或{z1=2-i,z2=2+i或{z1=-2+i,z2=-2-i或{z1=-2-i,z2=-2+i.19.(10分)复数z满足|z+||z|的最大值和最小值.3‒3i=3,求解:|z+20.cos α+isin α+cos β+isin β=12+32i,(cos α+cos β)+i(sin α+sin β.)=12+32icosα+cosβ=12,sinα+sinβ=32.∴{cosα=12-cosβ,sinα=32-sinβ.cos 2α+sin 2α=(12-cosβ)2+(32-sinβ)2=1,,得cos β=β,代入sin 2β+cos 2β=1,1‒3sin 可解得sin β=0或sin β=32.3。

2019-2020学年数学人教A版选修2-2作业与测评：学期综合测评(一) Word版含解析

姓名，年级：时间：选修2－2 学期综合测评(一)本试卷分第Ⅰ卷(选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．满分150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷（选择题，共60分)一、选择题（本大题共12小题，每小题5分,共60分)1．曲线y＝错误!在点（－1，－1)处的切线方程为( ）A．y＝2x＋1 B．y＝2x－1C．y＝－2x－3 D．y＝－2x－2答案A解析易知点(－1，－1)在曲线上，且y′＝错误!＝错误!，∴切线斜率k ＝y′|x＝－1＝错误!＝2。

由点斜式得切线方程为y＋1＝2（x＋1）,即y＝2x＋1.2．若复数z满足z（2－i)＝11＋7i（i为虚数单位），则z为（）A．3＋5i B．3－5iC．－3＋5i D．－3－5i答案A解析由z（2－i)＝11＋7i得,z＝错误!＝错误!＝错误!＝3＋5i.3．定积分错误!错误!d x的值为（）A.错误!＋ln 2B.错误!C．3＋ln 2 D。

错误!答案A解析错误!错误!d x＝错误!错误!d x＝错误!错误!d x＋错误!xd x＝ln x＝ln2－ln 1＋错误!×22－错误!×12＝错误!＋ln 2。

4．如图是某年元宵花灯展中一款五角星灯连续旋转闪烁所成的三个图形，照此规律闪烁，下一个呈现出来的图形是（）答案A解析观察图形可知，下一个呈现出来的图形是A选项中的图形．5．已知函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x）的图象如图所示，则（)A．函数f（x)有1个极大值点，1个极小值点B．函数f（x）有2个极大值点，2个极小值点C．函数f(x)有3个极大值点,1个极小值点D．函数f（x)有1个极大值点，3个极小值点答案A解析根据极值的定义及判断方法,检查f′(x）的零点左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x）在这个点处取得极大值；如果左负右正，那么f（x)在这个点处取得极小值；如果左右都是正，或者左右都是负，那么f（x)在这个点处不是极值．由此可见，x2是函数f（x）的极大值点，x3是极小值点，x1，x4不是极值点．6．曲线y＝e x在点（2,e2）处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积为( ）A。

2020秋高中数学人教A版选修2-2课时作业：1.1.1 变化率问题 Word版含解析

姓名，年级：时间：第一章1。

1 1。

1.1请同学们认真完成练案[1]A级基础巩固一、选择题1.如图，函数y＝f(x）在A,B两点间的平均变化率等于（ B )A．1 B．－1C．2 D．－2[解析］平均变化率为错误!＝－1。

2．函数y＝2x在区间［x0，x0＋Δx］上的平均变化率为（ D )A．x0＋Δx B．1＋ΔxC．2＋Δx D．2[解析］由题意，可得平均变化率f x＋Δx－f x0＝错误!＝2，Δx故选D．3．已知函数y＝f(x)＝2x2的图象上的点P（1,2)及邻近点Q（1＋Δx，2＋Δy)，则错误!的值为( D )A．4 B．4xC．4＋2（Δx）2D．4＋2Δx［解析］错误!＝错误!＝4＋2Δx。

4．汽车行驶的路程s和时间t之间的函数图象如图，在时间段［t0，t1],[t1，t],［t2，t3］上的平均速度分别为错误!，错误!，错误!，则三者的大小关系为2（ B )A．错误!〉错误!>错误!B．错误!>错误!〉错误!C．错误!〉错误!〉错误!D．错误!〉错误!〉错误!［解析］错误!＝错误!＝k OA，错误!＝错误!＝k AB,错误!＝错误!＝k BC，由图象知k OA<k AB〈k BC，选B．二、填空题5．函数f（x）＝x2－1在区间［1，m]上的平均变化率为3，则实数m的值为__2__。

[解析] 函数f（x)＝x2－1在区间［1，m］上的平均变化率为错误!＝错误!＝m＋1＝3,∴m＝2.6．(2020·阿拉善左旗校级期末）若函数y＝x2－1的图象上的点A（1,0），则当Δx＝0.1时的平均变化率是__2。

1__.[解析］Δy＝(1＋Δx)2－1－(12－1）＝2Δx＋Δx2，∴错误!＝2＋Δx,当Δx＝0。

1时,平均变化率为2。

1.三、解答题7．已知某质点的运动路程s(单位：m）与时间t(单位：s)存在函数关系s ＝2t2＋2t，求：(1）该质点在前3 s内的平均速度；(2）该质点在2 s到3 s内的平均速度．［解析］（1)∵Δs＝s(3)－s(0）＝24，Δt＝3,∴错误!＝错误!＝8(m/s)．（2)∵Δs＝s（3）－s(2）＝12，Δt＝1,∴错误!＝错误!＝12（m/s）．B级素养提升一、选择题1．在x＝1附近,取Δx＝0.3，在四个函数①y＝x、②y＝x2、③y＝x3、④y ＝错误!中，平均变化率不是最大的是( ACD )A．④B．③C．②D．①［解析] Δx＝0。

2019-2020学年高中数学人教A版选修2-2：模块综合检测 Word版含解析

模块综合检测(时间120分钟满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知复数z 1＝2＋i ，z 2＝1＋i ，则z1z2在复平面内对应的点位于( )A ．第一象限B ．第三象限C ．第二象限D ．第四象限解析：选D z1z2＝2＋i 1＋i ＝32－i2，对应点⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－12在第四象限．2．下面几种推理中是演绎推理的为( )A ．由金、银、铜、铁可导电，猜想：金属都可导电B ．猜想数列11×2，12×3，13×4，…的通项公式为a n ＝1n(n ＋1)(n ∈N ＋)C ．半径为r 的圆的面积S ＝πr 2，则单位圆的面积S ＝πD ．由平面直角坐标系中圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，推测空间直角坐标系中球的方程为(x －a )2＋(y －b )2＋(z －c )2＝r 2解析：选C 由演绎推理的概念可知C 正确． 3．函数y ＝(sin x 2)3的导数是( ) A ．y ′＝3x sin x 2·sin 2x 2 B ．y ′＝3(sin x 2)2 C ．y ′＝3(sin x 2)2cos x 2D ．y ′＝6sin x 2cos x 2解析：选A y ′＝[(sin x 2)3]′＝3(sin x 2)2·(sin x 2)′＝3(sin x 2)2·cos x 2·2x ＝3×2sin x 2·cos x 2·x ·sin x 2＝3x ·sin x 2·sin 2x 2，故选A.4．设f (x )＝x ln x ，若f ′(x 0)＝2，则x 0的值为( ) A ．e 2 B ．e C.ln 22D ．ln 2解析：选B 由f (x )＝x ln x ，得f ′(x )＝ln x ＋1. 根据题意知ln x 0＋1＝2，所以ln x 0＝1，因此x 0＝e.6．观察下列等式，13＋23＝32,13＋23＋33＝62,13＋23＋33＋43＝102，根据上述规律，13＋23＋33＋43＋53＋63＝( )A ．192B ．202C ．212D ．222解析：选C 归纳得13＋23＋33＋43＋53＋63＝()1＋2＋…＋62＝212.8.函数f (x )=ax 3+bx 2+cx +d 的图象如图，则函数y =ax 2+32bx +c 3的单调递增区间是( )A ．(－∞，－2]B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞ C ．[－2,3]D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫98，＋∞ 解析：选D 由题图可知d ＝0.不妨取a ＝1，∵f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ，∴f ′(x )＝3x 2＋2bx ＋c .由图可知f ′(－2)＝0，f ′(3)＝0，∴12－4b ＋c ＝0,27＋6b ＋c ＝0，∴b ＝－32，c ＝－18.∴y ＝x 2－94x －6，y ′＝2x －94. 当x ＞98时，y ′＞0，∴y ＝x 2－94x －6的单调递增区间为⎣⎢⎡⎭⎪⎫98，＋∞.故选D.9．设曲线y ＝sin x 上任一点(x ，y )处切线的斜率为g (x )，则函数y ＝x 2g (x )的部分图象可以为( )解析：选C 根据题意得g (x )＝cos x ，∴y ＝x 2g (x )＝x 2cos x 为偶函数．又x ＝0时，y ＝0，故选C. 10．设函数f (x )在R 上可导，f (x )＝x 2f ′(2)－3x ，则f (－1)与f (1)的大小关系是( ) A ．f (－1)＝f (1) B ．f (－1)>f (1) C ．f (－1)<f (1)D ．不确定解析：选B 因为f (x )＝x 2f ′(2)－3x ，所以f ′(x )＝2xf ′(2)－3，则f ′(2)＝4f ′(2)－3，解得f ′(2)＝1，所以f (x )＝x 2－3x ，所以f (1)＝－2，f (－1)＝4，故f (－1)>f (1).11．若不等式2x ln x ≥－x 2＋ax －3对x ∈(0，＋∞)恒成立，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，0) B ．(－∞，4] C ．(0，＋∞)D ．[4，＋∞)解析：选B 由2x ln x ≥－x 2＋ax －3，得a ≤2ln x ＋x ＋3x ，设h (x )＝2ln x ＋x ＋3x (x ＞0)，则h ′(x )＝(x ＋3)(x －1)x2.当x ∈(0,1)时，h ′(x )＜0，函数h (x )单调递减；当x ∈(1，＋∞)时，h ′(x )＞0，函数h (x )单调递增，所以h (x )min ＝h (1)＝4.所以a ≤h (x )min ＝4.故a 的取值范围是(－∞，4]．12．定义在R 上的函数f (x )满足：f ′(x )＞f (x )恒成立，若x 1＜x 2，则e x 1f (x 2)与e x 2f (x 1)的大小关系为( ) A ．e x 1f (x 2)＞e x 2f (x 1) B ．e x 1f (x 2)＜e x 2(x 1) C ．e x 1f (x 2)＝e x 2f (x 1)D ．e x 1f (x 2)与e x 2f (x 1)的大小关系不确定解析：选A 设g (x )＝f(x)ex ，则g ′(x )＝f′(x)ex －f(x)(ex)′(ex)2＝f′(x)－f(x)ex ，由题意g ′(x )＞0，所以g (x )单调递增，当x 1＜x 2时，g (x 1)＜g (x 2)，即f(x1)ex1＜f(x2)ex2，所以e x 1f (x 2)＞e x 2f (x 1)．二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上) 13．设z ＝(2－i)2(i 为虚数单位)，则复数z 的模为______．解析：z ＝(2－i)2＝3－4i ，所以|z |＝|3－4i|＝32＋(－4)2＝5.答案：5 14．(天津高考)已知函数f (x )＝ax lnx ，x ∈(0，＋∞)，其中a 为实数，f ′(x )为f (x )的导函数．若f ′(1)＝3，则a 的值为________．解析：f ′(x )＝a ⎝⎛⎭⎪⎫ln x ＋x·1x ＝a (1＋ln x )．由于f ′(1)＝a (1＋ln 1)＝a ，又f ′(1)＝3，所以a ＝3. 答案： 315．某商场从生产厂家以每件20元购进一批商品，若该商品零售价为p 元，销量Q (单位：件)与零售价p (单位：元)有如下关系：Q ＝8300－170p －p 2，则该商品零售价定为______元时利润最大，利润的最大值为______元．解析：设商场销售该商品所获利润为y 元，则 y ＝(p －20)(8 300－170p －p 2)＝－p 3－150p 2＋11 700p －166 000(p ≥20)，则y ′＝－3p 2－300p ＋11 700. 令y ′＝0得p 2＋100p －3 900＝0，解得p ＝30或p ＝－130(舍去)．则p ，y ，y ′变化关系如下表：故当p ＝30时，y 取极大值为23 000元．又y ＝－p 3－150p 2＋11 700p －166 000在[20，＋∞)上只有一个极值，故也是最值．所以该商品零售价定为每件30元，所获利润最大为23 000元．答案：30 23 00016．两千多年前，古希腊毕达哥拉斯学派的数学家曾经在沙滩上研究数学问题．他们在沙滩上画点或用小石子表示数，按照点或小石子能排列的形状对数进行分类．下图中实心点的个数5,9,14,20，…，被称为梯形数．根据图形的构成，记第2 016个梯形数为a 2 016，则a 2 016＝________.解析：5＝2＋3＝a 1,9＝2＋3＋4＝a 2,14＝2＋3＋4＋5＝a 3，…，a n ＝2＋3＋…＋(n ＋2)＝(n ＋1)(2＋n ＋2)2＝12×(n ＋1)(n ＋4)，由此可得a 2 016＝2＋3＋4＋…＋2 018＝12×2 017×2 020＝2 017×1 010. 答案：2 017×1 010三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)已知a ＞b ＞c ，求证：1a －b ＋1b －c ≥4a －c.证明：已知a ＞b ＞c ，因为a －c a －b＋a －cb －c＝a －b ＋b －ca －b＋a －b ＋b －cb －c＝2＋b －c a －b＋a －b b －c≥2＋2b －c a －b ·a －bb －c＝4，所以a －ca －b ＋a －c b －c ≥4，即1a －b ＋1b －c ≥4a －c.18．(本小题满分12分)设函数f (x )＝－13x 3＋x 2＋(m 2－1)x (x ∈R)，其中m ＞0.(1)当m ＝1时，求曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线的斜率；(2)求函数f (x )的单调区间与极值．解：(1)当m ＝1时，f (x )＝－13x 3＋x 2，f ′(x )＝－x 2＋2x ，故f ′(1)＝1.所以曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线的斜率为1. (2)f ′(x )＝－x 2＋2x ＋m 2－1.令f ′(x )＝0，解得x ＝1－m 或x ＝1＋m . 因为m ＞0，所以1＋m ＞1－m .当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：所以f (x )在(－∞，1－m )，(1＋m ，＋∞)内是减函数，在(1－m,1＋m )内是增函数．函数f (x )在x ＝1－m 处取得极小值f (1－m )，且f (1－m )＝－23m 3＋m 2－13.函数f (x )在x ＝1＋m 处取得极大值f (1＋m )，且f (1＋m )＝23m 3＋m 2－13.19．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝ln x ＋a (1－x )． (1)讨论f (x )的单调性；(2)当f (x )有最大值，且最大值大于2a －2时，求a 的取值范围．解：(1)f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1x－a .若a ≤0，则f ′(x )>0，所以f (x )在(0，＋∞)上单调递增．若a >0，则当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1a 时，f ′(x )>0；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，＋∞时，f ′(x )<0.所以f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1a 上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，＋∞上单调递减．(2)由(1)知，当a ≤0时，f (x )在(0，＋∞)上无最大值；当a >0时，f (x )在x ＝1a处取得最大值，最大值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝ln 1a ＋a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1a ＝－ln a ＋a －1.因此f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a >2a －2等价于ln a ＋a －1<0.令g (a )＝ln a ＋a －1，则g (a )在(0，＋∞)上单调递增，g (1)＝0. 于是，当0<a <1时，g (a )<0；当a >1时，g (a )>0. 因此a 的取值范围是(0,1)．20．(本小题满分12分)已知数列{a n }的前n 项和S n 满足：S n ＝an 2＋1an －1，且a n ＞0，n ∈N *.(1)求a 1，a 2，a 3；(2)猜想{a n }的通项公式，并用数学归纳法证明．解：(1)a 1＝S 1＝a12＋1a1－1，所以a 1＝－1±3. 又因为a n ＞0，所以a 1＝3－1.S 2＝a 1＋a 2＝a22＋1a2－1，所以a 2＝5－3.S 3＝a 1＋a 2＋a 3＝a32＋1a3－1，所以a 3＝7－5. (2)由(1)猜想a n ＝2n ＋1－2n －1，n ∈N *.下面用数学归纳法加以证明： ①当n ＝1时，由(1)知a 1＝3－1成立． ②假设n ＝k (k ∈N *)时，a k ＝2k ＋1－2k －1成立．当n ＝k ＋1时，a k ＋1＝S k ＋1－S k＝⎝ ⎛⎭⎪⎫ak ＋12＋1ak ＋1－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫ak 2＋1ak －1 ＝ak ＋12＋1ak ＋1－2k ＋1，所以a 2k ＋1＋22k ＋1a k ＋1－2＝0，所以a k ＋1＝2(k ＋1)＋1－2(k ＋1)－1，即当n ＝k ＋1时猜想也成立．综上可知，猜想对一切n ∈N *都成立．21．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝ax 3＋cx ＋d (a ≠0)是R 上的奇函数，当x ＝1时，f (x )取得极值－2. (1)求f (x )的单调区间和极大值；(2)证明对任意x 1，x 2∈(－1,1)，不等式|f (x 1)－f (x 2)|<4恒成立．解：(1)由奇函数的定义，应有f (－x )＝－f (x )，x ∈R ，即－ax 3－cx ＋d ＝－ax 3－cx －d ，∴d ＝0. 因此f (x )＝ax 3＋cx ，f ′(x )＝3ax 2＋c .由条件f (1)＝－2为f (x )的极值，必有f ′(1)＝0.故⎩⎪⎨⎪⎧a ＋c ＝－2，3a ＋c ＝0，解得a ＝1，c ＝－3. 因此f (x )＝x 3－3x ，f ′(x )＝3x 2－3＝3(x ＋1)(x －1)， f ′(－1)＝f ′(1)＝0.当x ∈(－∞，－1)时，f ′(x )>0，故f (x )在区间(－∞，－1)上是增函数；当x ∈(－1,1)时，f ′(x )<0，故f (x )在区间(－1,1)上是减函数；当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )>0，故f (x )在区间(1，＋∞)上是增函数．∴f (x )在x ＝－1处取得极大值，极大值为f (－1)＝2. (2)证明：由(1)知，f (x )＝x 3－3x (x ∈[－1,1])是减函数，且f (x )在[－1,1]上的最大值M ＝f (－1)＝2， f (x )在[－1,1]上的最小值m ＝f (1)＝－2. ∴对任意的x 1，x 2∈(－1,1)，恒有|f (x 1)－f (x 2)|<M －m ＝2－(－2)＝4.22．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝e x ＋2x 2－3x . (1)求证：函数f (x )在区间[0,1]上存在唯一的极值点．(2)当x ≥12时，若关于x 的不等式f (x )≥52x 2＋ (a －3)x ＋1恒成立，试求实数a 的取值范围．解：(1)证明：f ′(x )＝e x ＋4x －3， ∵f ′(0)＝e 0－3＝－2<0，f ′(1)＝e ＋1>0， ∴f ′(0)·f ′(1)<0.令h (x )＝f ′(x )＝e x ＋4x －3，则h ′(x )＝e x ＋4>0， ∴f ′(x )在区间[0,1]上单调递增， ∴f ′(x )在区间[0,1]上存在唯一零点， ∴f (x )在区间[0,1]上存在唯一的极小值点． (2)由f (x )≥52x 2＋(a －3)x ＋1，得e x＋2x 2－3x ≥52x 2＋(a －3)x ＋1，即ax ≤e x－12x 2－1，∵x ≥12，∴a ≤ex －12x2－1x .令g (x )＝ex －12x2－1x ，则g ′(x )＝ex(x －1)－12x2＋1x2.令φ(x )＝e x (x －1)－12x 2＋1，则φ′(x )＝x (e x －1)．∵x ≥12，∴φ′(x )>0.∴φ(x )在⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞上单调递增．∴φ(x )≥φ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝78－12e >0.因此g ′(x )>0，故g (x )在⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞上单调递增，则g (x )≥g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝e 12－18－112＝2e －94，∴a 的取值范围是⎝⎛⎦⎥⎤－∞，2e －94.。

2019-2020学年高二数学人教A版选修2-2：第二章检测A 含解析

<
n( n∈N*,n>1)”时,由
n=k(k>1)不等式成立,推证
n=k+1
时,左边应增加的项数是( )
A.2k-1
B.2k-1
C.2k
D.2k+1
解析:增加的项数为(2k+1-1)-(2k-1)=2k.
答案:C
二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.把答案填在题中的横线上)
A.各正三角形内一点 B.各正三角形的某高线上的点 C.各正三角形的中心 D.各正三角形外的某点解析:正三角形的边对应正四面体的面,即正三角形所在的正四面体的面,所以边的中点对应的就是正四面体各正三角形的中心.故选 C. 答案:C
4.已知 c>1,a = �� + 1 ‒ ��,b = �� ‒ �� - 1,则下列结论正确的是( )
= 2�� . = 2(�� - 1) A.an 2��(2�� - 1) an 2��(2�� - 1)
=
2��
��. = 2(�� - 1)
C.an (2�� - 1)(2�� + 1) an (2�� - 1)(2�� + 1)
1,
( ) 所以 Tn >
1 2 × 1 × 2 × … × �� - 1 = 1 .
+ 8
��2
=
1 6
=
4
2 ×
,
3
S4=16a4=a1+a2+a3+a4⇒a4

2019-2020学年数学人教A版选修2-2作业与测评：2.1.1 合情推理 Word版含解析

姓名，年级：时间：第二章推理与证明2．1 合情推理与演绎推理课时作业16 合情推理知识点一归纳推理1。

观察下列不等式：1＋错误!＜错误!，1＋122＋错误!＜错误!，1＋错误!＋错误!＋错误!＜错误!，……照此规律，第五个不等式为( ）A．1＋错误!＋错误!＋错误!＋错误!＜错误!B．1＋错误!＋错误!＋错误!＋错误!＜错误!C．1＋错误!＋错误!＋错误!＋错误!＋错误!＜错误!D．1＋122＋错误!＋错误!＋错误!＋错误!＜错误!答案D解析观察每行不等式的特点，知第五个不等式为1＋错误!＋错误!＋错误!＋错误!＋错误!＜错误!。

2．如图所示，图1是棱长为1的小正方体，图2、图3是由这样的小正方体摆放而成．按照这样的方法继续摆放，自上而下分别叫第1层，第2层，……，第n层，第n层的小正方体的个数记为S n。

解答下列问题：(1)按照要求填表：n1234…S n136…(2)S10＝________答案（1)10 (2)55解析S1＝1，S2＝3＝1＋2，S3＝6＝1＋2＋3,推测S4＝1＋2＋3＋4＝10，S10＝1＋2＋3＋…＋10＝55。

知识点二类比推理3。

在公比为4的等比数列{b n}中，若T n是数列{b n｝的前n项积，则有错误!，错误!，错误!也成等比数列，且公比为4100；类比上述结论,相应地，在公差为3的等差数列{a n}中，若S n是｛a n｝的前n项和．可类比得到的结论是______________________．答案数列S20－S10，S30－S20，S40－S30也是等差数列，且公差为300解析因为等差数列{a n}的公差d＝3,所以（S30－S20）－(S20－S10）＝(a21＋a22＋…＋a30)－(a11＋a12＋…＋a20)＝100d＝300，同理可得：（S40－S30）－(S30－S20)＝300，所以数列S20－S10，S30－S20,S40－S30是等差数列，且公差为300.即结论为：数列S20－S10，S30－S20，S40－S30也是等差数列，且公差为300.4．在Rt△ABC中,AB⊥AC，AD⊥BC于D,求证:错误!＝错误!＋错误!，那么在四面体ABCD中，类比上述结论，你能得到怎样的猜想,并说明理由．解如图①所示，由射影定理得AD2＝BD·DC,AB2＝BD·BC，AC2＝CD·BC，所以错误!＝错误!＝错误!＝错误!。

2019_2020学年高中数学综合测评新人教A版选修2_2

选修2－2综合测评(时间：120分钟满分：150分) 第Ⅰ卷(选择题，共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列求导运算正确的是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ′＝1＋1x2B ．(log 2x )′＝1x ln 2C ．[(2x ＋3)2]′＝2(2x ＋3) D ．(e 2x)′＝e 2x解析：∵⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ′＝x ′＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ′＝1－1x2，∴A 不正确；∵(log 2x )′＝1x ln 2，∴B 正确； ∵[(2x ＋3)2]′＝2(2x ＋3)·(2x ＋3)′＝4(2x ＋3)， ∴C 不正确；∵(e 2x)′＝e 2x·(2x )′＝2e 2x，∴D 不正确．故选B. 答案：B2．函数f (x )＝(2πx )2的导数是( ) A ．f ′(x )＝4πx B ．f ′(x )＝4π2x C ．f ′(x )＝8π2xD.f ′(x )＝16πx解析：f (x )＝4π2x 2，∴f ′(x )＝8π2x ，故选C. 答案：C3．(2019·全国卷Ⅱ)设z ＝i(2＋i)，则z －＝( ) A ．1＋2i B ．－1＋2i C ．1－2iD.－1－2i解析：z ＝2i －1＝－1＋2i ，z －＝－1－2i ，故选D. 答案：D4．函数y ＝12x 2－ln x 的单调递减区间为( )A ．(－1,1)B ．(0,1)C ．(1，＋∞)D.(0，＋∞)解析：函数y ＝12x 2－ln x 的定义域为(0，＋∞)，又y ′＝x －1x，由y ′<0得0<x <1，∴函数y ＝12x 2－ln x 的单调递减区间为(0,1)，故选B.答案：B5．曲线y ＝cos x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，3π2与坐标轴围成的面积是( )A ．4B ．2 C.52D.3解析：如图所示，答案：D6．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2a n (n ≥2)，而a 1＝1，通过计算a 2，a 3，a 4，猜想a n等于( )A.2(n ＋1)2 B ．2n (n ＋1)C.22n－1D.22n －1解析：当n ＝2时，1＋a 2＝4a 2，a 2＝13＝22×3；当n ＝3时，1＋13＋a 3＝9a 3，a 3＝16＝23×4；当n ＝4时，1＋13＋16＋a 4＝16a 4，a 4＝110＝24×5，∴猜想a n ＝2n (n ＋1).答案：B7．(2019·长春市第一三六中学月考)已知函数f (x )的导函数的图象如图所示，若△ABC 为锐角三角形，则一定成立的是( )A ．f (sin A )>f (cosB ) B ．f (sin A )<f (cos B )C ．f (sin A )>f (sin B )D .f (cos A )<f (cos B )解析：由导函数图象可知，x >0时，f ′(x )>0，即f (x )单调递增，又△ABC 为锐角三角形，则A ＋B >π2，即π2>A >π2－B >0，故sin A >sin π2－B >0，即sin A >cos B >0，故f (sin A )>f (cos B )，故选A.答案：A8．在下列命题中，正确命题的个数为( ) ①两个复数不能比较大小；②z 1，z 2，z 3∈C ，若(z 1－z 2)2＋(z 3－z 2)2＝0，则z 1＝z 3； ③若(x 2－1)＋(x 2＋3x ＋2)i 是纯虚数，则实数x ＝±1； ④z 是虚数的一个充要条件是z ＋z ∈R ；⑤若a 、b 是两个相等的实数，则(a －b )＋(a ＋b )i 是纯虚数； ⑥z ∈R 的一个充要条件是z ＝z . A ．0 B ．1 C ．2D.3解析：①中，当两个复数均为实数时，可以比较大小，不正确；②中，z 2＝0，z 1＝b i ，z 3＝b ，b ∈R 且b ≠0时，(z 1－z 2)2＋(z 3－z 2)2＝0，但z 1≠z 3，不正确；③中，x ＝－1时，(x 2－1)＋(x 2＋3x ＋2)i ＝0不是纯虚数，不正确；④中z ∈R 时，z ＋z ∈R ，不正确；⑤中a ＝b ＝0时，(a －b )＋(a ＋b )i ＝0不是纯虚数，不正确；⑥正确，故选B.答案：B9．用数学归纳法证明“(n ＋1)(n ＋2)…(n ＋n )＝2n·1·2·…·(2n －1)”(n ∈N ＋)时，从“从n ＝k 到n ＝k ＋1”时，左边的式子之比是( )A.12k ＋1 B ．2k ＋3k ＋1C.2k ＋1k ＋1D.12(2k ＋1)解析：当n ＝k 时，左边＝(k ＋1)(k ＋2)…(k ＋k )；当n ＝k ＋1时，左边＝(k ＋2)(k ＋3)…(k ＋k ＋1)(k ＋k ＋2)，所以两式之比为12(2k ＋1)，故选D.答案：D10．(2019·东厦中学高二质量检测)已知函数f (x )＝a x＋x ln x ，g (x )＝x 3－x 2－5，若对任意的x 1，x 2∈12，2，都有f (x 1)－g (x 2)≥2成立，则实数a 的取值范围是( )A ．(0，＋∞)B ．[1，＋∞)C ．(－∞，0)D.(－∞，－1]解析：由于g (x )＝x 3－x 2－5，所以g ′(x )＝3x 2－2x ＝x (3x －2)， ∴函数g (x )在12，23上单调递减，在23，2上单调递增，g 12＝18－14－5＝－418，g (2)＝8－4－5＝－1.由于对∀x 1，x 2∈12，2，f (x 1)－g (x 2)≥2恒成立，∴f (x )≥[g (x )＋2]max ，即x ∈12，2时，f (x )≥1恒成立，即a x ＋x ln x ≥1，在12，2上恒成立，a ≥x －x 2ln x 在12，2上恒成立，令h (x )＝x －x 2ln x ，则h ′(x )＝1－2x ln x －x ，而h ″(x )＝－3－2ln x ，x ∈12，2时，h ″(x )<0，所以h ′(x )＝1－2x ln x －x 在12，2单调递减，由于h ′(1)＝0，∴x ∈12，1时，h ′(x )>0，x ∈[1,2]时，h ′(x )<0，所以h (x )≤h (1)＝1，∴a ≥1.答案：B11．设函数f (x )＝x (ln x －ax )(a ∈R )在区间(0,2)上有两个极值点，则a 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0 B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫0，ln 2＋14 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0 D.⎝⎛⎭⎪⎫ln 2＋14，12 解析：令g (x )＝f ′(x )＝ln x －2ax ＋1，则g (x )＝0在(0,2)上有两个不等实根， ∵g ′(x )＝1x－2a ＝0有解，故a >0，∴⎩⎪⎨⎪⎧0<12a<2，g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12a >0，g (2)<0，解得a ∈⎝⎛⎭⎪⎫ln 2＋14，12.故选D.答案：D12．已知实数a ，b ，c ( )A ．若|a 2＋b ＋c |＋|a ＋b 2＋c |≤1，则a 2＋b 2＋c 2<100 B ．若|a 2＋b ＋c |＋|a 2＋b －c |≤1，则a 2＋b 2＋c 2<100 C ．若|a ＋b ＋c 2|＋|a ＋b －c 2|≤1，则a 2＋b 2＋c 2<100 D ．若|a 2＋b ＋c |＋|a ＋b 2－c |≤1，则a 2＋b 2＋c 2<100解析：取a ＝10，b ＝10，c ＝－110，可排除A ；取a ＝10，b ＝－100，c ＝0，可排除B ；取a ＝10，b ＝－10，c ＝0，可排除C ，故选D.答案：D第Ⅱ卷(非选择题，共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上) 13．(2019·天津卷)i 是虚数单位，则5－i1＋i 的值为________．解析：解法一：5－i 1＋i ＝(5－i )(1－i )(1＋i )(1－i )＝5－1－6i2＝2－3i.5－i1＋i＝4＋9＝13. 解法二：5－i 1＋i ＝|5－i||1＋i|＝262＝13.答案：1314．类比平面几何中的定理：△ABC 中，若DE 是△ABC 的中位线，则有S △ADE ∶S △ABC ＝1∶4；若三棱锥A －BCD 有中截面EFG ∥平面BCD ，则截得三棱锥的体积与原三棱锥体积之间的关系式为____________________________．解析：平面几何中的面积类比空间几何中的体积． ∴V A －EFG ∶V A －BCD ＝1∶8. 答案：V A －EFG ∶V A －BCD ＝1∶815．(2019·蚌埠第二中学高二月考)如图阴影部分是由曲线y ＝1x、y 2＝x 与直线x ＝2、y ＝0围成，则其面积为________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝x ，y ＝1x得交点A (1,1)，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝1x得交点B 2，12.故所求面积S ＝⎠⎛01x d x ＋⎠⎛121xd x ＝23x 32⎪⎪⎪1＋ln x ⎪⎪⎪21＝23＋ln 2. 答案：23＋ln 216．已知函数f(x)的定义域为[－1,5]部分对应值如下表，f(x)的导函数y ＝f′(x)的图象如图所示．x －1 0 4 5 f (x )1221下列关于函数f (x )的命题： ①函数f (x )的值域为[1,2]； ②函数f (x )在[0,2]上是减函数；③如果当x ∈[－1，t ]时，f (x )的最大值是2，那么t 的最大值为4； ④当1＜a ＜2时，函数y ＝f (x )－a 有4个零点．其中是真命题的是________．解析：由y ＝f ′(x )的图象可知y ＝f (x )的图象如图所示：由于f (2)的值不确定，故①不正确，②显然正确； ∵f (0)＝2，f (4)＝2，∴0≤t ≤5， ∴t 的最大值为5，故③不正确；由y ＝f (x )－a 有4个零点，即y ＝a 与y ＝f (x )的图象有4个交点，由于f (2)的值不确定．故④不正确．答案：②三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤)17．(10分)已知复数z 1满足(z 1－2)(1＋i)＝(1－i)(i 为虚数单位)，复数z 2的虚部为2，且z 1·z 2是实数，求z 2.解：∵(z 1－2)(1＋i)＝1－i ，∴z 1－2＝1－i 1＋i ＝(1－i )2(1＋i )(1－i )＝－2i 2＝－i ，∴z 1＝2－i ，由复数z 2的虚部为2，可设z 2＝a ＋2i(a ∈R )， ∴z 1·z 2＝(2－i)(a ＋2i)＝(2a ＋2)＋(4－a )i ， ∵z 1·z 2是实数，∴4－a ＝0，解得a ＝4. ∴z 2＝4＋2i.18．(12分)编辑如下运算程序：1@ 1＝2，m @n ＝q ，m @(n ＋1)＝q ＋2. (1)设数列{a n }的各项满足a n ＝1@ n ，求a 2，a 3，a 4； (2)由(1)猜想{a n }的通项公式； (3)用数学归纳法证明你的猜想．解：(1)∵a 1＝1@ 1＝2，令m ＝1，n ＝1，则q ＝2；由m @n ＝q ，m @(n ＋1)＝q ＋2，得a 2＝1@ 2＝2＋2＝4，再令m ＝1，n ＝2，则q ＝4，得a 3＝1@ 3＝4＋2＝6，再令m ＝1，n ＝3，则q ＝6，得a 4＝1@ 4＝6＋2＝8， ∴a 2＝4，a 3＝6，a 4＝8. (2)由(1)猜想：a n ＝2n (n ∈N *)．(3)证明：①当n ＝1时，a 1＝1@ 1＝2，另一方面，a 1＝2×1＝2，所以当n ＝1时等式成立．②假设当n ＝k 时，等式成立，即a k ＝1@ k ＝2k ，此时q ＝2k ，那么，当n ＝k ＋1时，a k ＋1＝1@ (k ＋1)＝2k ＋2＝2(k ＋1)，所以当n ＝k ＋1时等式也成立．故猜想成立．19．(12分)(2019·三水区实验中学高二月考)已知函数f (x )＝ln x ＋a (1－x )．(1)讨论f (x )的单调性；(2)当f (x )有最大值，且最大值大于2a －2时，求a 的取值范围．解：(1)f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1x－a .若a ≤0，则f ′(x )>0，所以f (x )在(0，＋∞)上单调递增．若a >0，则当x ∈0，1a时，f ′(x )>0；当x ∈1a，＋∞时，f ′(x )<0.所以f (x )在0，1a 上单调递增，在1a，＋∞上单调递减．(2)由(1)知，当a ≤0时，f (x )在(0，＋∞)上无最大值；当a >0时，f (x )在x ＝1a 处取得最大值，最大值为f 1a ＝ln 1a ＋a 1－1a＝－ln a ＋a －1.因此f 1a>2a －2等价于ln a ＋a －1<0.令g (a )＝ln a ＋a －1，则g (a )在(0，＋∞)上单调递增，g (1)＝0. 于是，当0<a <1时，g (a )<0；当a >1时，g (a )>0. 因此a 的取值范围是(0,1)．20．(12分)证明：2，3，8不可能是同一等差数列中的三项．证明：假设结论不成立，即存在一个等差数列{a n }，公差为d ，使得 2，3，8是其中的三项，不妨设a k ＝2＝a 1＋(k －1)d ， a m ＝3＝a 1＋(m －1)d ， a n ＝8＝a 1＋(n －1)d ，∴a m －a k ＝3－2＝(m －k )d ，a n －a m ＝8－3＝(n －m )d ，∴a m －a k a n －a m ＝3－28－3＝m －kn －m， ∵m 、n 、k ∈N *，∴m －kn －m是有理数，而3－28－3＝6－15为无理数， ∴3－28－3＝m －kn －m不可能成立， ∴假设错误，即2，3，8不可能是同一等差数列中的三项． 21．(12分)已知函数f (x )＝(x 2＋bx ＋b )1－2x (b ∈R )． (1)当b ＝4时，求f (x )的极值；(2)若f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13上单调递增，求b 的取值范围．解：(1)f (x )的定义域为⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，12.当b ＝4时，f ′(x )＝－5x (x ＋2)1－2x，由f ′(x )＝0得x ＝－2或x ＝0.当x ∈(－∞，－2)时，f ′(x )<0，f (x )单调递减；当x ∈(－2,0)时，f ′(x )>0，f (x )单调递增；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12时，f ′(x )<0，f (x )单调递减，故f (x )在x ＝－2处取极小值f (－2)＝0，在x ＝0处取极大值f (0)＝4.(2)f ′(x )＝－x [5x ＋(3b －2)]1－2x ，因为当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13时，－x 1－2x <0，依题意当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13时，有5x ＋(3b －2)≤0，从而53＋(3b －2)≤0，即b ≤19，所以b 的取值范围为⎝⎛⎦⎥⎤－∞，19. 22．(12分)已知函数f (x )＝ax 3＋bx 2－2x ，且当x ＝1时，函数f (x )取得极值为－56.(1)求f (x )的解析式；(2)若关于x 的方程f (x )＝－6x －m 在[－2,0]上有两个不同的实数解，求实数m 的取值范围．解：(1)f ′(x )＝3ax 2＋2bx －2，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧f ′(1)＝0，f (1)＝－56，即⎩⎪⎨⎪⎧3a ＋2b －2＝0，a ＋b －2＝－56，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－13，b ＝32.经检验，符合题意．∴f (x )＝－13x 3＋32x 2－2x .(2)由f (x )＝－6x －m (－2≤x ≤0)有两个不同的实数解，得13x 3－32x 2－4x －m ＝0在[－2,0]上有两个不同的实数解，设g (x )＝13x 3－32x 2－4x －m ，则g ′(x )＝x 2－3x －4，由g ′(x )＝0，得x ＝4或x ＝－1，当x ∈(－2，－1)时，g ′(x )>0，则g (x )在[－2，－1]上递增；当x ∈(－1,0)时，g ′(x )<0，则g (x )在[－1,0]上递减，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧g (－2)≤0，g (－1)>0，g (0)≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧m ≥－23，m <136，m ≥0.解得0≤m <136，即实数m 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，136.。

2020年高中数学人教A版选修2-2 课时作业《函数的单调性与导数》(含答案解析)

2020年高中数学人教A 版选修2-2课时作业《函数的单调性与导数》一、选择题1.下列函数中，在(0，＋∞)内为增函数的是()A．y=sin x B．y=xe x C．y=x 3-x D．y=ln x-x2.若函数y=x 3＋x 2＋mx＋1是R 上的单调函数，则实数m 的取值范围是()－∞，13 C.13，＋∞3.函数y=x 4-2x 2＋5的单调递减区间为()A．(-∞，-1)和(0,1)B．[-1,0]和[1，＋∞)C．[-1,1]D．(-∞，-1]和[1，＋∞)4.函数y=xln x 在(0,5)上的单调性是()A．单调递增B．单调递减5.若函数y=a(x 3－33，a 的取值范围是()A．(0，＋∞)B．(-1,0)C．(1，＋∞)D．(0,1)6.已知函数f(x)=x＋ln x，则有()A．f(2)<f(e)<f(3)B．f(e)<f(2)<f(3)C．f(3)<f(e)<f(2)D．f(e)<f(3)<f(2)7.设f′(x)是函数f(x)的导函数，y=f′(x)的图象如图所示，则y=f(x)的图象最有可能的是()8.若函数f(x)=kx-ln x 在区间(1，＋∞)内单调递增，则k 的取值范围是()A．(-∞，-2]B．(-∞，-1]C．[2，＋∞)D．[1，＋∞)9.设函数F(x)=f x ex 是定义在R 上的函数，其中f(x)的导函数f′(x)满足f′(x)<f(x)对于x ∈R 恒成立，则()A．f(2)>e 2f(0)，f(2016)>e 2016f(0)B．f(2)<e 2f(0)，f(2016)>e 2016f(0)C．f(2)<e 2f(0)，f(2016)<e 2016f(0)D．f(2)>e 2f(0)，f(2016)<e 2016f(0)二、填空题10.函数f(x)=cos x＋32x 的单调递增区间是________．11.若函数y=13ax 3-12ax 2-2ax(a≠0)在[-1,2]上为增函数，则a∈________.12.若函数y=-43x 3＋ax 有三个单调区间，则a 的取值范围是.13.已知函数f(x)的定义域为R，f(-1)=2，对任意x∈R，f′(x)＞2，则f(x)＞2x＋4的解集为____________．14.若f(x)=-12x 2＋bln(x＋2)在(-1，＋∞)上是减函数，则b 的取值范围是___________．三、解答题15.已知函数f(x)=13x 3＋ax 2＋bx，且f′(-1)=-4，f′(1)=0.(1)求a 和b；(2)试确定函数f(x)的单调区间．16.已知a≥0，函数f(x)=(x2-2ax)e x.设f(x)在区间[-1,1]上是单调函数，求a的取值范围．17.已知x＞0，证明不等式ln(1＋x)＞x-12x2成立．18.已知函数f(x)=x3-ax-1.(1)是否存在实数a，使f(x)在(-1,1)上单调递减？若存在，求出a的取值范围；若不存在，说明理由．(2)证明：f(x)=x3-ax-1的图象不可能总在直线y=a的上方．答案解析1.答案为：B；解析：B 中，y′=(xe x )′=e x ＋xe x =e x (x＋1)＞0在(0，＋∞)上恒成立，∴y=xe x 在(0，＋∞)上为增函数．对于A、C、D 都存在x＞0，使y′＜0的情况．2.答案为：C；解析：y′=3x 2＋2x＋m，由条件知y′≥0在R 上恒成立，∴Δ=4-12m≤0，∴m≥13.3.答案为：A；解析：y′=4x 3-4x，令y′<0，即4x 3-4x<0，解得x<-1或0<x<1，所以函数的单调递减区间为(-∞，-1)和(0,1)，故应选A.4.答案为：C；解析：由已知得函数的定义域为(0，＋∞)．∵y′=ln x＋1，令y′＞0，得x＞1e.令y′＜0，得x＜1e.∴函数y=xln x 5.答案为：A；解析：y′=a(3x 2当-33＜x＜33时，要使y=a(x 3－33，y′＜0，即a＞0.6.答案为：A；解析：在(0，＋∞)内，f′(x)=12x ＋1x >0，所以f(x)在(0，＋∞)内是增函数，所以有f(2)<f(e)<f(3)．7.答案为：C；解析：由f′(x)的图象知，x∈(-∞，0)时，f′(x)>0，f(x)为增函数，x∈(0,2)时，f′(x)<0，f(x)为减函数，x∈(2，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)为增函数．只有C 符合题意，故选C.8.答案为：D；解析：因为f(x)=kx-ln x，所以f′(x)=k-1x.因为f(x)在区间(1，＋∞)上单调递增，所以当x>1时，f′(x)=k-1x ≥0恒成立，即k≥1x在区间(1，＋∞)上恒成立．因为x>1，所以0<1x<1，所以k≥1.故选D.9.答案为：C；解析：∵函数F(x)=f x e x 的导数F′(x)=f′x e x －f x e x e x 2=f′x －f x e x <0，∴函数F(x)=f x ex 是定义在R 上的减函数，∴F(2)<F(0)，即f 2e 2<f 0e0，故有f(2)<e 2f(0)．同理可得f(2016)<e 2016f(0)．故选C.一、填空题10.答案为：(-∞，＋∞)；解析：因为f′(x)=-sin x＋32＞0，所以f(x)在R 上为增函数．11.答案为：(-∞，0)；解析：y′=ax 2-ax-2a=a(x＋1)(x-2)>0，∵当x∈(-1,2)时，(x＋1)(x-2)<0，∴a<0.12.答案为：(0，＋∞)；解析：∵y′=-4x 2＋a，且y 有三个单调区间，∴方程y′=-4x 2＋a=0有两个不等的实根，∴Δ=02-4×(-4)×a>0，∴a>0.13.答案为：(-1，＋∞)；解析：设g(x)=f(x)-2x-4，则g′(x)=f′(x)-2.∵对任意x∈R，f′(x)＞2，∴g′(x)＞0.∴g(x)在R 上为增函数．又g(-1)=f(-1)＋2-4=0，∴x＞-1时，g(x)＞0.∴由f(x)＞2x＋4，得x＞-1.14.答案为：(-∞，-1]；解析：∵f(x)在(-1，＋∞)上为减函数，∴f′(x)≤0在(-1，＋∞)上恒成立，∵f′(x)=-x＋b x＋2，∴-x＋b x＋2≤0，∵b≤x(x＋2)在(-1，＋∞)上恒成立，g(x)=x(x＋2)=(x＋1)2-1，∴g(x)min =-1，∴b≤-1.二、解答题15.解：(1)∵f(x)=13x 3＋ax 2＋bx，∴f′(x)=x 2＋2ax＋b，－1＝－4，1＝0，解得a=1，b=-3.(2)由(1)得f(x)=13x 3＋x 2-3x.f′(x)=x 2＋2x-3=(x-1)(x＋3)．由f′(x)>0得x>1或x<-3；由f′(x)<0得-3<x<1.∴f(x)的单调递增区间为(-∞，-3)，(1，＋∞)，单调递减区间为(-3,1)．16.解：f′(x)=(2x-2a)e x ＋(x 2-2ax)e x =e x [x 2＋2(1-a)x-2a]．令f′(x)=0，即x 2＋2(1-a)x-2a=0.解得x 1=a-1-1＋a 2，x 2=a-1＋1＋a 2，令f′(x)＞0，得x＞x 2或x＜x 1，令f′(x)＜0，得x 1＜x＜x 2.∵a≥0，∴x 1<-1，x 2≥0.由此可得f(x)在[-1,1]上是单调函数的充要条件为x 2≥1，即a-1＋1＋a 2≥1，解得a≥34.故所求a 的取值范围为34，＋∞17.证明：设f(x)=ln(1＋x)-x＋12x 2，其定义域为(-1，＋∞)，则f′(x)=11＋x -1＋x=x 21＋x.当x＞-1时，f′(x)＞0，则f(x)在(-1，＋∞)内是增函数．∴当x＞0时，f(x)＞f(0)=0.∴当x＞0时，不等式ln(1＋x)＞x-12x 2成立．18.解：(1)已知函数f(x)=x 3-ax-1，∴f′(x)=3x 2-a，由题意知3x 2-a≤0在(-1,1)上恒成立，∴a≥3x 2在x∈(-1,1)上恒成立．但当x∈(-1,1)时，0＜3x 2＜3，∴a≥3，即当a≥3时，f(x)在(-1,1)上单调递减．(2)证明：取x=-1，得f(-1)=a-2＜a，即存在点(-1，a-2)在f(x)=x 3-ax-1的图象上，且在直线y=a 的下方．即f(x)的图象不可能总在直线y=a 的上方．。

高中数学课时作业(人教A版选修第二册)课时作业(十九)

课时作业(十九) 函数的极值练基础1.下列函数中，存在极值的函数为( )A ．y ＝e xB ．y ＝ln xC ．y ＝2xD ．y ＝x 2－2x2．[2022·山东安丘高二期中]已知函数f (x )的导函数是f ′(x )，f ′(x )的图象如图所示，下列说法正确的是( )A ．函数f (x )在(－2，－1)上单调递减B ．函数f (x )在(0，2)上单调递增C ．函数f (x )在x ＝3处取得极小值D ．函数f (x )共有1个极大值点3．[2022·山东枣庄高二期中]已知函数f (x )＝sin x ＋ax 在x ＝π3处取得极值，则a ＝________________________________________________________________________.4．[2022·广东东莞高二期中]已知函数f (x )＝3x 2－9x ＋5.(1)求函数f (x )的单调递减区间；(2)求函数f (x )的极值．提能力5.[2022·广东广州高二期末]函数f (x )的导函数为y ＝f ′(x )，函数g (x )＝(x －2)f ′(x )的图象如图所示，下列说法正确的是( )A ．x ＝2是y ＝f (x )的零点B ．x ＝2是y ＝f (x )的极大值点C ．x ＝1是y ＝f (x )的极大值点D ．x ＝－2是y ＝f (x )的极大值点6．[2022·湖北襄阳高二期末]若函数f (x )＝x 3－2cx 2＋x 有极大值点，则实数c 的取值范围为( )A ．[32 ，＋∞) B ．(32，＋∞) C ．(－∞，－32 ]∪[32，＋∞) D ．(－∞，－32 )∪(32 ，＋∞) 7．[2022·福建宁德高二期中]若函数f (x )＝x 3－3x 2－9x 在(a ，＋∞)内有极大值，则a 的取值范围为( )A ．(－∞，－1)B ．(－∞，3)C ．(－1，3)D ．(－∞，3]8．已知函数f (x )＝13x 3＋ax 2＋bx ，且f ′(－1)＝－4，f ′(1)＝0. (1)求a 和b 的值；(2)求函数f (x )的极值．9．已知函数y ＝ax 3＋bx 2，当x ＝1时，有极大值3.(1)求实数a ，b 的值；(2)求函数y 的极小值．10．[2022·福建宁德高二期末]已知函数f (x )＝13 x 3－12ax 2. (1)当a ＝0时，求曲线y ＝f (x )在x ＝1处的切线方程；(2)若x ＝1是函数f (x )的极大值点，求a 的取值范围．培优生11.[2022·江苏镇江高二期末]若函数f (x )＝e x －a 2x 2－ax 有两个极值点，则实数a 的取值范围是( )A ．(2，＋∞)B ．(1，＋∞)C ．(－∞，1)D ．(e ，＋∞)12．[2022·北京昌平高二期末]已知函数f (x )＝e xax －1(a ∈R ). (1)当a ＝1时，求曲线y ＝f (x )在(2，f (2))处的切线方程；(2)求函数f (x )的单调区间和极值．。

2019-2020学年高中数学选修2-2人教A版课时跟踪检测：第2章推理与证明 2.3 Word

姓名，年级：时间：第二章推理与证明2。

3 数学归纳法课时跟踪检测一、选择题1．在数列｛a n}中，a n＝1－错误!＋错误!－错误!＋…＋错误!－错误!，则a k＋1＝（) A．a k＋错误!B．a k＋错误!－错误!C．a k＋错误! D.a k＋错误!－错误!解析：a k＋1＝1－错误!＋错误!－错误!＋错误!－错误!＋错误!－错误!＝a k＋错误!－错误!，故选D.答案：D2．已知n为正整数用数学归纳法证明f（n）＝1＋3＋5＋…＋（2n－1)＝n2时，假设n＝k(k∈N*)时命题为真，即f（k)＝k2成立，则当n＝k＋1时,需要用到的f（k ＋1）与f（k）之间的关系式是（)A．f(k＋1）＝f(k)＋2k－3B．f(k＋1)＝f（k）＋2k－1C．f（k＋1)＝f(k)＋2k＋1D．f（k＋1)＝f（k)＋2k＋3解析:因为f（n）＝1＋3＋5＋…＋（2n－1），所以f(k）＝1＋3＋5＋…＋（2k－1），f（k＋1）＝1＋3＋5＋…＋（2k－1）＋(2k＋1)，所以f(k＋1）＝f(k）＋2k＋1，故选C.答案：C3．在数列｛a n}中,a1＝2，a n＋1＝错误!(n∈N＊），依次计算a2,a3，a4，归纳猜想出数列{a n｝的通项公式为( )A.错误!B．错误!C。

错误!D。

错误!解析：∵a1＝2,∴a2＝a13a1＋1＝错误!,a3＝错误!，a4＝错误!，∴猜出a n＝错误!.故选B。

答案：B4．已知n为正偶数，用数学归纳法证明1－错误!＋错误!－错误!＋…＋错误!＝2错误!时，若已知假设n＝k（k≥2且k为偶数）时命题为真,则还需要再证（）A．n＝k＋1时等式成立B．n＝k＋2时等式成立C．n＝2k＋2时等式成立 D.n＝2(k＋2)时等式成立解析：因为假设n＝k(k≥2且k为偶数），故下一个偶数为k＋2.故选B.答案：B5．对于不等式错误!〈n＋1（n∈N＊)，某同学应用数学归纳法的证明过程如下：(1)当n＝1时，12＋1〈1＋1，不等式成立;(2）假设当n＝k（k∈N＊）时，不等式成立，即错误!〈k＋1。

2019_2020学年高中数学2019年数学高考真题新人教A版选修2_2

2019年数学高考真题剖析解读高考全国Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ卷都是教育部按照普通高考考试大纲统一命题，适用于不同省份的考生．虽然难度上会有一些差异，但在试卷结构、命题方向上基本都是相同的．试题稳中求新、稳中求变．与往年相比，三角、数列、立体几何、圆锥曲线、函数与导数等依然是考查的重点，注重基础知识，凸显主干知识．试卷结构、题型保持一致，各题型所占分值与分值分布没有变化，试题顺序有较大变化，考查方式有所改变，难度明显增加，客观题与去年的难度相当，主观题难易梯度明显增加，解决了区分度低的诟病．今年试题立足学科素养，落实关键能力，加强数学应用，渗透数学文化．以真实情境为载体，贴近生活，联系社会实际，注重能力考查，增强综合性、应用性，在各部分内容的布局和考查难度上都进行了调整和改变，这在一定程度上有助于考查学生灵活应变的能力和主动调整适应的能力，有助于学生全面学习掌握重点知识和重点内容，同时有助于打破考试题的僵硬化，更好地提升学生的综合分析能力，打破了传统的应试教育．全国Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ卷对选修2－2推理与证明、数系的扩充与复数的引入的考查，相对来说比较常规、难度不大、变化小、综合性低，属于基础类必得分试题；对导数及其应用的考查，难度大、综合性强、运算能力要求高、得分比较困难，主要考查导数的计算、几何意义，利用导数研究函数的单调性、极值、最值、零点、不等式等．其他省市试题和全国卷类似，难度相当．要想学好这部分知识不仅要有扎实的基础知识、基本能力，还要注意一些数学思想的培养，比如分类讨论思想、数形结合思想、转化与化归思想等！下面列出了2019年全国Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ卷及各地区对选修2－2所考查的全部试题，请同学们根据所学知识，测试自己的能力，寻找自己的差距，把握高考的方向，认清命题的趋势！(说明：有些试题带有综合性，是与以后要学的内容的小综合试题，同学们可根据目前所学习的内容，有选择性地试做！)穿越自测一、选择题1．(2019·全国卷Ⅰ，理2)设复数z 满足|z －i|＝1，z 在复平面内对应的点为(x ，y )，则( )A ．(x ＋1)2＋y 2＝1 B ．(x －1)2＋y 2＝1 C ．x 2＋(y －1)2＝1 D ．x 2＋(y ＋1)2＝1答案 C解析由已知条件，可得z ＝x ＋y i.∵|z －i|＝1， ∴|x ＋y i －i|＝1，∴x 2＋(y －1)2＝1.故选C.2．(2019·全国卷Ⅱ，理2)设z ＝－3＋2i ，则在复平面内 z －对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限答案 C解析 z －＝－3－2i ，故z －对应的点(－3，－2)位于第三象限．故选C. 3．(2019·全国卷Ⅲ，理2)若z (1＋i)＝2i ，则z ＝( ) A ．－1－i B ．－1＋i C ．1－i D ．1＋i答案 D解析由z (1＋i)＝2i ，得z ＝2i 1＋i ＝2i (1－i )(1＋i )(1－i )＝2i (1－i )2＝i(1－i)＝1＋i.故选D. 4．(2019·北京高考，理1)已知复数z ＝2＋i ，则z ·z －＝( ) A. 3 B. 5 C ．3 D ．5答案 D解析解法一：∵z ＝2＋i ，∴z －＝2－i ，∴z ·z －＝(2＋i)(2－i)＝5.故选D. 解法二：∵z ＝2＋i ，∴z ·z －＝|z |2＝5.故选D.5．(2019·全国卷Ⅲ，理6)已知曲线y ＝a e x＋x ln x 在点(1，a e)处的切线方程为y ＝2x ＋b ，则( )A ．a ＝e ，b ＝－1B ．a ＝e ，b ＝1C ．a ＝e －1，b ＝1 D ．a ＝e －1，b ＝－1答案 D解析 y ′＝a e x＋ln x ＋1，k ＝y ′|x ＝1＝a e ＋1， ∴切线方程为y －a e ＝(a e ＋1)(x －1)，即y ＝(a e ＋1)x －1. 又∵切线方程为y ＝2x ＋b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a e ＋1＝2，b ＝－1，即a ＝e －1，b ＝－1.故选D.6．(2019·天津高考，理8)已知a ∈R ，设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2ax ＋2a ，x ≤1，x －a ln x ，x >1.若关于x的不等式f (x )≥0在R 上恒成立，则a 的取值范围为( )A ．[0,1]B ．[0,2]C ．[0，e]D ．[1，e]答案 C解析当x ≤1时，由f (x )＝x 2－2ax ＋2a ≥0恒成立，而二次函数f (x )图象的对称轴为直线x ＝a ，所以当a ≥1时，f (x )min ＝f (1)＝1>0恒成立，当a <1时，f (x )min ＝f (a )＝2a －a 2≥0，∴0≤a <1. 综上，a ≥0.当x >1时，由f (x )＝x －a ln x ≥0恒成立，即a ≤x ln x 恒成立．设g (x )＝xln x ，则g ′(x )＝ln x －1(ln x )2.令g ′(x )＝0，得x ＝e ，且当1<x <e 时，g ′(x )<0，当x >e 时，g ′(x )>0，所以g (x )min ＝g (e)＝e ，∴a ≤e.综上，a 的取值范围是0≤a ≤e，即[0，e]．故选C. 7．(2019·浙江高考，9)设a ，b ∈R ，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x <0，13x 3－12(a ＋1)x 2＋ax ，x ≥0.若函数y ＝f (x )－ax －b 恰有3个零点，则( )A ．a <－1，b <0B ．a <－1，b >0C ．a >－1，b <0D ．a >－1，b >0答案 C解析由题意，b ＝f (x )－ax ＝⎩⎪⎨⎪⎧(1－a )x ，x <0，13x 3－12(a ＋1)x 2，x ≥0.设y ＝b ，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(1－a )x ，x <0，13x 3－12(a ＋1)x 2，x ≥0.即以上两个函数的图象恰有3个交点，根据选项进行讨论． ①当a <－1时，1－a >0，可知g (x )在(－∞，0)上单调递增；由g ′(x )＝x 2－(a ＋1)x ＝x [x －(a ＋1)](x ≥0)，a ＋1<0，可知g (x )在(0，＋∞)上单调递增．此时直线y ＝b 与g (x )的图象只有1个交点，不符合题意，故排除A ，B. ②当a >－1，即a ＋1>0时，因为g ′(x )＝x [x －(a ＋1)](x ≥0)，。

【高中数学】【高考调研】高中数学课时作业19 新人教A版选修22

课时作业(十九)一、选择题1．关于归纳推理，下列说法正确的是( ) A ．归纳推理是一般到一般的推理 B ．归纳推理是一般到个别的推理 C ．归纳推理的结论一定是正确的 D ．归纳推理的结论未必是正确的答案 D2．在数列{a n }中，a 1＝0，a n ＋1＝2a n ＋2，则猜想a n 是( ) A ．2n －2－12 B ．2n－2 C ．2n －1＋1D ．2n ＋1－4答案 B3．观察图示图形规律，在其右下角的空格内画上合适的图形为( )A ．■■B ．△ C. D ．○答案 A4．数列{a n }：2,5,11,20，x,47，…中的x 等于( ) A ．28 B ．32 C ．33 D ．127 答案 B5．n 个连续自然数按规律排列下表：根据规律，从2 010到2 012箭头的方向依次为( ) A ．↓→B ．→↑C．↑→ D．→↓答案 C6．已知数列{a n}的前n项和S n＝n2a n(n≥2)，而a1＝1，通过计算a2，a3，a4，猜想a n等于( )A.2n＋12B.2n n＋1C.22n－1D.22n－1答案 B7．(2010·山东卷)观察(x2)′＝2x，(x4)′＝4x3，(cos x)′＝－sin x，由归纳推理可得：若定义在R上的函数f(x)满足f(－x)＝f(x)，记g(x)为f(x)的导函数，则g(－x)＝( ) A．f(x) B．－f(x)C．g(x) D．－g(x)答案 D8．根据给出的数塔猜测123 456×9＋7等于( )1×9＋2＝1112×9＋3＝111123×9＋4＝1 1111 234×9＋5＝11 11112 345×9＋6＝111 111…A．1 111 110 B．1 111 111C．1 111 112 D．1 111 113答案 B9．把1、3、6、10、15、21、…这些数叫做三角形数，这是因为这些数目的点子可以排成一个正三角形(如下图)，试求第七个三角形数是( )A．27 B．28C．29 D．30答案 B二、填空题10．观察下列由火柴杆拼成的一列图形中，第n个图形由n个正方形组成：通过观察可以发现：第4个图形中，火柴杆有________根；第n个图形中，火柴杆有________根．答案13 3n＋111．(2012·陕西卷)观察下列不等式1＋122<32，1＋122＋132<53，1＋122＋132＋142<74，……照此规律，第五个．．．不等式为________．答案1＋122＋132＋142＋152＋162<11612．下面是一系列有机物的结构简图，图中的“小黑点”表示原子，两黑点间的“连线”表示化学键，按图中结构第n个图有________个原子，有________个化学键．答案4n＋2 5n＋113．从1＝12,2＋3＋4＝32,3＋4＋5＋6＋7＝52中，可得一般规律是________．答案n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)214．观察下图中各正方形图案，每条边上有n(n≥2)个圆圈，每个图案中圆圈的总数是S，按此规律推出S 与n 的关系式为________．答案 S ＝4(n －1)(n ≥2) 三、解答题15．证明下列等式，并从中归纳出一个一般性的结论． 2cos π4＝2，2cos π8＝2＋2，2cos π16＝2＋2＋2，……解析 2cos π2n ＋1＝2＋2＋2＋……16．在△ABC 中，不等式1A ＋1B ＋1C ≥9π成立；在四边形ABCD 中，不等式1A ＋1B ＋1C ＋1D ≥162π成立；在五边形ABCDE 中，不等式1A ＋1B ＋1C ＋1D ＋1E ≥253π成立；猜想在n 边形A 1A 2…A n 中，有怎样的不等式成立？解析在n 边形A 1A 2…A n 中，有不等式1A 1＋1A 2＋…＋1A n ≥n 2n －2π·(n ≥3)17．设f (x )＝13x ＋3，先分别求出f (0)＋f (1)，f (－1)＋f (2)，f (－2)＋f (3)，然后归纳出一个一般结论，并给出证明．解析当x 1＋x 2＝1时，f (x 1)＋f (x 2)＝33. 证明：f (x 1)＋f (x 2)＝13x 1＋3＋13x 2＋3＝13x 1＋3＋131－x 1＋3＝13x1＋3＋3x13＋3·3x1＝13x1＋3＋3x133＋3x1＝3＋3x1 33x1＋3＝3 3.►重点班·选做题18．已知：①tan10°tan20＋tan20°tan60°＋tan60°tan10°＝1.②tan5°tan10°＋tan10°tan75°＋tan75°tan5°＝ 1.③tan20°tan30°＋tan30°tan40°＋tan40°tan20°＝1成立，由此得到一个由特殊到一般的推广，此推广是什么？解析α＋β＋γ＝90°，且α、β、γ都不为90°＋γ·180°(γ∈Z)，则tanαtanβ＋tanβ·tanγ＋tanα·tanγ＝1.证明(略)高考数学：试卷答题攻略一、“六先六后”，因人因卷制宜。

2020年高中数学人教A版选修2-2(课时训练)：章末检测推理与证明 Word版含答案

章末检测一、选择题1．由1＝12,1＋3＝22,1＋3＋5＝32,1＋3＋5＋7＝42，…，得到1＋3＋…＋(2n －1)＝n 2用的是( ) A ．归纳推理 B ．演绎推理 C ．类比推理 D ．特殊推理答案 A2．在△ABC 中，E 、F 分别为AB 、AC 的中点，则有EF ∥BC ，这个问题的大前提为( ) A ．三角形的中位线平行于第三边 B ．三角形的中位线等于第三边的一半 C ．EF 为中位线 D ．EF ∥BC 答案 A解析这个三段论推理的形式为：大前提：三角形的中位线平行于第三边；小前提：EF 为△ABC 的中位线；结论：EF ∥BC .3．对大于或等于2的自然数的正整数幂运算有如下分解方式： 22＝1＋3 32＝1＋3＋5 42＝1＋3＋5＋7 23＝3＋5 33＝7＋9＋11 43＝13＋15＋17＋19根据上述分解规律，若m 2＝1＋3＋5＋…＋11，n 3的分解中最小的正整数是21，则m ＋n ＝( ) A ．10 B ．11 C ．12 D ．13答案 B解析 ∵m 2＝1＋3＋5＋…＋11＝1＋112×6＝36，∴m ＝6.∵23＝3＋5,33＝7＋9＋11，43＝13＋15＋17＋19，∴53＝21＋23＋25＋27＋29， ∵n 3的分解中最小的数是21，∴n3＝53，n＝5，∴m＋n＝6＋5＝11.4．用反证法证明命题“2＋3是无理数”时，假设正确的是()A．假设2是有理数B．假设3是有理数C．假设2或3是有理数D．假设2＋3是有理数答案D解析应对结论进行否定，则2＋3不是无理数，即2＋3是有理数．5．已知f(x＋1)＝2f(x)f(x)＋2，f(1)＝1(x∈N*)，猜想f(x)的表达式为()A.42x＋2B．2x＋1C．1x＋1D．22x＋1答案B解析当x＝1时，f(2)＝2f(1)f(1)＋2＝23＝22＋1，当x＝2时，f(3)＝2f(2)f(2)＋2＝24＝23＋1；当x＝3时，f(4)＝2f(3)f(3)＋2＝25＝24＋1，故可猜想f(x)＝2x＋1，故选B.6．对“a，b，c是不全相等的正数”，给出下列判断：①(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2≠0；②a＝b与b＝c及a＝c中至少有一个成立；③a≠c，b≠c，a≠b不能同时成立．其中判断正确的个数为()A．0个B．1个C．2个D．3个答案B解析若(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2＝0，则a＝b＝c，与“a，b，c是不全相等的正数”矛盾，故①正确．a＝b与b＝c及a＝c中最多只能有一个成立，故②不正确．由于“a，b，c是不全相等的正数”，有两种情形：至多有两个数相等或三个数都互不相等，故③不正确．7．我们把平面几何里相似形的概念推广到空间：如果两个几何体大小不一定相等，但形状完全相同，就把它们叫做相似体．下列几何体中，一定属于相似体的有()①两个球体；②两个长方体；③两个正四面体；④两个正三棱柱；⑤两个正四棱锥．A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个答案 C解析类比相似形中的对应边成比例知，①③属于相似体． 8．数列{a n }满足a 1＝12，a n ＋1＝1－1a n ，则a 2 013等于( )A.12 B ．－1 C ．2 D ．3答案 C解析 ∵a 1＝12，a n ＋1＝1－1a n，∴a 2＝1－1a 1＝－1，a 3＝1－1a 2＝2，a 4＝1－1a 3＝12，a 5＝1－1a 4＝－1，a 6＝1－1a 5＝2，∴a n ＋3k ＝a n (n ∈N *，k ∈N *) ∴a 2 013＝a 3＋3×670＝a 3＝2.9．定义在R 上的函数f (x )满足f (－x )＝－f (x ＋4)，且f (x )在(2，＋∞)上为增函数．已知x 1＋x 2<4且(x 1－2)·(x 2－2)<0，则f (x 1)＋f (x 2)的值( ) A ．恒小于0 B ．恒大于0 C ．可能等于0 D ．可正也可负答案 A解析不妨设x 1－2<0，x 2－2>0，则x 1<2，x 2>2，∴2<x 2<4－x 1， ∴f (x 2)<f (4－x 1)，即－f (x 2)>－f (4－x 1)，从而－f (x 2)>－f (4－x 1)＝f (x 1)， f (x 1)＋f (x 2)<0.10．黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图的规律拼成若干个图案，则第n 个图案中有白色地面砖的块数是( )A ．4n ＋2B ．4n －2C ．2n ＋4D ．3n ＋3答案 A解法一 (归纳猜想法)观察可知：除第一个以外，每增加一个黑色地板砖，相应的白地板砖就增加四个，因此第n 个图案中有白色地面砖的块数是一个“以6为首项，公差是4的等差数列的第n 项”．故第n 个图案中有白色地面砖的块数是4n ＋2. 法二 (特殊值代入排除法)由图可知，当n ＝1时，a 1＝6，可排除B 答案当n ＝2时，a 2＝10，可排除C 、D 答案．二、填空题11．(2013·陕西)观察下列等式： (1＋1)＝2×1(2＋1)(2＋2)＝22×1×3(3＋1)(3＋2)(3＋3)＝23×1×3×5 按此规律，第n 个等式可为________．答案 (n ＋1)(n ＋2)(n ＋3)…(n ＋n )＝2n ·1·3·5…(2n －1)12．f (n )＝1＋12＋13＋…＋1n (n ∈N *)，经计算得f (2)＝32，f (4)>2，f (8)>52，f (16)>3，f (32)>72，推测当n ≥2时，有________．答案 f (2n )>2＋n2(n ≥2)解析观测f (n )中n 的规律为2k (k ＝1,2，…) 不等式右侧分别为2＋k2，k ＝1,2，…，∴f (2n )>2＋n2(n ≥2)．13．用数学归纳法证明：1＋11＋2＋11＋2＋3＋…＋11＋2＋3＋…＋n ＝2n n ＋1时，由n ＝k 到n ＝k ＋1左边需要添加的项是________．答案2(k ＋1)(k ＋2)解析由n ＝k 到n ＝k ＋1时，左边需要添加的项是11＋2＋3＋…＋(k ＋1)＝2(k ＋1)(k ＋2).14．在平面几何中，△ABC 的内角平分线CE 分AB 所成线段的比为AE EB ＝ACBC ，把这个结论类比到空间：在三棱锥A －BCD 中(如图所示)，面DEC 平分二面角A －CD －B 且与AB 相交于E ，则得到的类比的结论是________．答案AE EB ＝S △ACDS △BCD解析 CE 平分∠ACB ，而面CDE 平分二面角A －CD －B .∴AC BC 可类比成S △ACD S △BCD ，故结论为AEEB ＝S △ACDS △BCD . 三、解答题15．已知a 、b 、c 是互不相等的非零实数．求证三个方程ax 2＋2bx ＋c ＝0，bx 2＋2cx ＋a ＝0，cx 2＋2ax ＋b ＝0至少有一个方程有两个相异实根．证明反证法：假设三个方程中都没有两个相异实根，则Δ1＝4b 2－4ac ≤0，Δ2＝4c 2－4ab ≤0，Δ3＝4a 2－4bc ≤0.相加有a 2－2ab ＋b 2＋b 2－2bc ＋c 2＋c 2－2ac ＋a 2≤0，(a －b )2＋(b －c )2＋(c －a )2≤0.①由题意a 、b 、c 互不相等，∴①式不能成立．∴假设不成立，即三个方程中至少有一个方程有两个相异实根． 16．设数列{a n }是公比为q 的等比数列，S n 是它的前n 项和． (1)求证：数列{S n }不是等比数列； (2)数列{S n }是等差数列吗？为什么？(1)证明假设数列{S n }是等比数列，则S 22＝S 1S 3，即a 21(1＋q )2＝a 1·a 1·(1＋q ＋q 2)，因为a 1≠0，所以(1＋q )2＝1＋q ＋q 2，即q ＝0，这与公比q ≠0矛盾，所以数列{S n }不是等比数列．(2)解当q ＝1时，S n ＝na 1，故{S n }是等差数列；当q ≠1时，{S n }不是等差数列，否则2S 2＝S 1＋S 3，即2a 1(1＋q )＝a 1＋a 1(1＋q ＋q 2)，得q ＝0，这与公比q ≠0矛盾．17．请你把不等式“若a 1，a 2是正实数，则有a 21a 2＋a 22a 1≥a 1＋a 2”推广到一般情形，并证明你的结论．解推广的结论：若a 1，a 2，…，a n 都是正实数，则有 a 21a 2＋a 22a 3＋…＋a 2n －1a n ＋a 2na 1≥a 1＋a 2＋…＋a n . 证明：∵a 1，a 2，…a n 都是正实数， ∴a 21a 2＋a 2≥2a 1；a 22a 3＋a 3≥2a 2；… a 2n －1a n ＋a n ≥2a n －1；a 2na 1＋a 1≥2a n ， a 21a 2＋a 22a 3＋…＋a 2n a n ＋a 2n －1a 1≥a 1＋a 2＋…＋a n . 18．设f (n )＝1＋12＋13＋…＋1n ，是否存在关于自然数n 的函数g (n )，使等式f (1)＋f (2)＋…＋f (n －1)＝g (n )·[f (n )－1]对于n ≥2的一切自然数都成立？并证明你的结论．解当n ＝2时，由f (1)＝g (2)·[f (2)－1]，得g (2)＝f (1)f (2)－1＝1⎝⎛⎭⎫1＋12－1＝2，当n ＝3时，由f (1)＋f (2)＝g (3)·[f (3)－1]，得g (3)＝f (1)＋f (2)f (3)－1＝1＋⎝⎛⎭⎫1＋12⎝⎛⎭⎫1＋12＋13－1＝3，猜想g (n )＝n (n ≥2)．下面用数学归纳法证明：当n ≥2时，等式f (1)＋f (2)＋…＋f (n －1)＝n [f (n )－1]恒成立． ①当n ＝2时，由上面计算可知，等式成立．②假设n ＝k (k ∈N *且k ≥2)时，等式成立，即f (1)＋f (2)＋…＋f (k －1)＝k [f (k )－1](k ≥2)成立，那么当n ＝k ＋1时，f (1)＋f (2)＋…＋f (k －1)＋f (k )＝k [f (k )－1]＋f (k )＝(k ＋1)f (k )－k ＝(k ＋1)⎣⎡⎦⎤f (k ＋1)－1k ＋1－k ＝(k ＋1)[f (k ＋1)－1]，∴当n ＝k ＋1时，等式也成立．由①②知，对一切n ≥2的自然数n 等式都成立，故存在函数g (n )＝n ，使等式成立．.....................................使用本文档删除后面的即可致力于打造全网一站式文档服务需求，为大家节约时间文档来源网络仅供参考欢迎您下载可以编辑的word文档谢谢你的下载本文档目的为企业和个人提供下载方便节省工作时间，提高工作效率，打造全网一站式精品需求!欢迎您的下载，资料仅供参考!（本文档收集于网络改编，由于文档太多，审核难免疏忽，如有侵权或雷同，告知本店马上删除）。

2019-2020学年人教A版高中数学选修2-2精刷题课件：第2章推理与证明 2.2 课时作业19

答案丙
答案
第二十六页，编辑于星期六：二十三点四十分。
解析假设甲获奖，则四人说的都是假话，与已知矛盾；假设乙获奖，则甲、乙、丁说的都是真话，与已知矛盾；假设丙获奖，则甲和丙说的都是真话，乙和丁说的都是假话，与已知相符；假设丁获奖，则甲、丙、丁说的都是假话，与已知矛盾；从而可得获奖的歌手是丙．
C．至少有一个不大于－2
D．至少有一个不小于－2
答案 C
答案
第十七页，编辑于星期六：二十三点四十分。
解析假设都大于－2，则 a＋b1＋b＋1c＋c＋1a＞－6，但a＋1b＋b＋1c＋ c＋a1＝a＋1a＋b＋1b＋c＋1c≤－2＋(－2)＋(－2)＝－6，矛盾．
第十八页，编辑于星期六：二十三点四十分。
②所以一个三角形中不能有两个直角． ③假设∠A，∠B，∠C 中有两个角是直角，不妨设∠A＝∠B＝90°. 正确顺序的排列为________．
答案 ③①②
答案
第八页，编辑于星期六：二十三点四十分。
解析反证法的步骤是：先假设命题不成立，然后通过推理得出矛盾，最后否定假设，得到命题是正确的．故填③①②.
课时作业19 反证法
第一页，编辑于星期六：二十三点四十分。
知识对点练
第二页，编辑于星期六：二十三点四十分。
知识点一
反证法的概念
1.应用反证法推出矛盾的推导过程中要把下列哪些作为条件使用( )
①结论相反判断，即假设；②原命题的条件；③公理、定理、定义等；
④原结论．
A．①② B．①②④ C．①②③ D．②③
第二十二页，编辑于星期六：二十三点四十分。
二、填空题 6．命题“a，b 是实数，若|a＋1|＋(b＋1)2＝0，则 a＝b＝－1”，用反证法证明该命题时应假设________．答案 a≠－1 或 b≠－1

2019-2020学年人教A版高中数学选修2-2精刷题课件：第2章推理与证明 2.3 课时作业20

答案 A
答案
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解析由“n＝k 时论断成立⇒n＝k＋1 时论断也成立”的过程中必须运用假设．
第十六页，编辑于星期六：二十三点四十分。
3．设 f(x)是定义在正整数集上的函数，且 f(x)满足：“当 f(k)≥k2 成立时，总可推出 f(k＋1)≥(k＋1)2 成立”，那么，下列命题总成立的是( )
答案
第二十七页，编辑于星期六：二十三点四十分。
10．已知 Sn＝1＋12＋13＋…＋1n(n>1，n∈N*)，求证：S2n>1＋2n(n≥2，n∈N*)．证明 (1)当 n＝2 时，S2n＝1＋12＋13＋14＝2152>1＋22，即当 n＝2 时命题成立． (2)设当 n＝k(k≥2)时命题成立，即 S2k＝1＋12＋13＋…＋21k>1＋2k，当 n＝k＋1 时，
答案
解析
第二十四页，编辑于星期六：二十三点四十分。
8．用数学归纳法证明不等式“n＋1 1＋n＋1 2＋…＋n＋1 n＞1234”的过程中，由 n＝k 推导 n＝k＋1 时，不等式的左边增加的式子是________．
答案
1 2k＋12k＋2
解析本题主要考查数学归纳法中从 k 到 k＋1 的递推关系．不等式的左边增加的式子是2k＋1 1＋2k＋1 2－k＋1 1＝2k＋112k＋2.
3．用数学归纳法证明 1＋2＋3＋…＋n2＝n4＋2 n2，则当 n＝k＋1(n∈N*)
时，等式左边应在 n＝k 的基础上加上( )
A．k2＋1
B．(k＋1)2
k＋14＋k＋12
C.
2
D．(k2＋1)＋(k2＋2)＋(k2＋3)＋…＋(k＋1)2

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课时作业(十九)
一、选择题
1．关于归纳推理，下列说法正确的是( ) A ．归纳推理是一般到一般的推理 B ．归纳推理是一般到个别的推理 C ．归纳推理的结论一定是正确的 D ．归纳推理的结论未必是正确的答案 D
2．在数列{a n }中，a 1＝0，a n ＋1＝2a n ＋2，则猜想a n 是( ) A ．2n －2
－1
2 B ．2n
－2 C ．2
n －1
＋1
D ．2
n ＋1
－4
答案 B
3．观察图示图形规律，在其右下角的空格内画上合适的图形为( )
A ．■■
B ．△ C. D ．○
答案 A
4．数列{a n }：2,5,11,20，x,47，…中的x 等于( ) A ．28 B ．32 C ．33 D ．127 答案 B
5．n 个连续自然数按规律排列下表：
根据规律，从2 010到2 012箭头的方向依次为( ) A ．↓→
B ．→↑
C．↑→ D．→↓
答案 C
6．已知数列{a n}的前n项和S n＝n2a n(n≥2)，而a1＝1，通过计算a2，a3，a4，猜想a n等于( )
A.
2
n＋12
B.
2
n n＋1
C.
2
2n－1
D.
2
2n－1
答案 B
7．(2010·山东卷)观察(x2)′＝2x，(x4)′＝4x3，(cos x)′＝－sin x，由归纳推理可得：若定义在R上的函数f(x)满足f(－x)＝f(x)，记g(x)为f(x)的导函数，则g(－x)＝( ) A．f(x) B．－f(x)
C．g(x) D．－g(x)
答案 D
8．根据给出的数塔猜测123 456×9＋7等于( )
1×9＋2＝11
12×9＋3＝111
123×9＋4＝1 111
1 234×9＋5＝11 111
12 345×9＋6＝111 111
…
A．1 111 110 B．1 111 111
C．1 111 112 D．1 111 113
答案 B
9．把1、3、6、10、15、21、…这些数叫做三角形数，这是因为这些数目的点子可以排成一个正三角形(如下图)，
试求第七个三角形数是( )
A．27 B．28
C．29 D．30
答案 B
二、填空题
10．观察下列由火柴杆拼成的一列图形中，第n个图形由n个正方形组成：
通过观察可以发现：第4个图形中，火柴杆有________根；第n个图形中，火柴杆有________根．
答案13 3n＋1
11．(2012·陕西卷)观察下列不等式
1＋1
22<
3
2
，
1＋1
22＋
1
32
<
5
3
，
1＋1
22＋
1
32
＋
1
42
<
7
4
，
……
照此规律，第五个
．．．不等式为________．
答案1＋1
22＋
1
32
＋
1
42
＋
1
52
＋
1
62
<
11
6
12．下面是一系列有机物的结构简图，图中的“小黑点”表示原子，两黑点间的“连线”表示化学键，按图中结构第n个图有________个原子，有________个化学键．
答案4n＋2 5n＋1
13．从1＝12,2＋3＋4＝32,3＋4＋5＋6＋7＝52中，可得一般规律是________．
答案n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)2
14．观察下图中各正方形图案，每条边上有n(n≥2)个圆圈，每个图案中圆圈的总数是S，
按此规律推出S 与n 的关系式为________．
答案 S ＝4(n －1)(n ≥2) 三、解答题
15．证明下列等式，并从中归纳出一个一般性的结论． 2cos π
4＝2，
2cos π
8＝2＋2，
2cos π16＝
2＋2＋2，
……
解析 2cos π
2n ＋1＝2＋2＋2＋……
16．在△ABC 中，不等式1A ＋1B ＋1C ≥9
π成立；
在四边形ABCD 中，不等式1A ＋1B ＋1C ＋1D ≥16
2π成立；
在五边形ABCDE 中，不等式1A ＋1B ＋1C ＋1D ＋1E ≥25
3π成立；
猜想在n 边形A 1A 2…A n 中，有怎样的不等式成立？解析在n 边形A 1A 2…A n 中，有不等式1
A 1＋1
A 2＋…＋1
A n ≥
n 2
n －2π
·(n ≥3)
17．设f (x )＝1
3x ＋3，先分别求出f (0)＋f (1)，f (－1)＋f (2)，f (－2)＋f (3)，然后
归纳出一个一般结论，并给出证明．
解析当x 1＋x 2＝1时，f (x 1)＋f (x 2)＝
33
. 证明：f (x 1)＋f (x 2)＝13x 1＋3＋1
3x 2＋3
＝
13x 1＋3
＋
131－x 1＋3
＝
1
3x1＋3
＋
3x1
3＋3·3x1
＝
1
3x1＋3
＋
3x1
33＋3x1
＝
3＋3x1 33x1＋3
＝
3 3
.
►重点班·选做题
18．已知：①tan10°tan20＋tan20°tan60°＋tan60°tan10°＝1.②tan5°tan10°＋tan10°tan75°＋tan75°tan5°＝ 1.③tan20°tan30°＋tan30°tan40°＋tan40°tan20°＝1成立，由此得到一个由特殊到一般的推广，此推广是什么？
解析α＋β＋γ＝90°，且α、β、γ都不为90°＋γ·180°(γ∈Z)，则tanαtanβ＋tanβ·tanγ＋tanα·tanγ＝1.
证明(略)。