窗函数比较

数字信号处理中加窗的影响及窗函数的选择原则分析

摘要：简要介绍了数字信号处理中主要应用的几种窗函数的定义及特性，并分析了加窗在数字信号处理中对谱估计质量的影响，通过对不同信号加窗的分析，总结了窗函数的选择原则。最后谈谈关于本课程的一些理解和感想。

关键字：数字信号；窗函数；谱估计；信号处理

一、 引言

数字信号处理是当前信息处理技术一个十分活跃的分支，由于计算机和大规模集成电路技术的发展，使得它成为神经网络、故障诊断等现代科学技术领域中一种重要的工具。传统的信号处理主要是建立在连续时间信号和连续时间系统基础上的。数字信号处理则是研究用数字序列表示信号波形，并且用数字的方式去处理这些序列。由于数字信号处理具有完善的重现性和极高的稳定性，只要有足够的字长，就能实现高精度和大动态范围的信号处理。这就显示了模拟系统无法比拟的优越性[3]。

在数字信号处理中，实际需检测的物理信号或过程通常是非时限的，但由于计算速度和处理工作量以及计算机存贮容量等方面的限制，我们只能从中选取有限时长的数据样本加以处理。也就是说在数字信号的处理过程中，原始的非时限信号必然要被截断，这相当于使本来无限长的原始数据序列通过一定的数据窗口，必然会对数据处理的结果造成不良的影响， 即产生窗口效应。本文将就这种窗口效应以及为抑制这种效应、改善数据处理效果而合理应用窗函数的原则加以探讨[5]。

二、 几种典型的窗函数

一些典型窗函数的时域和频域表达式及其构成思路归类叙述如下[1]：

1、 矩形窗（Rectangular 窗）

矩形窗属于时间变量为零次幂窗，函数形式为

⎪⎩⎪⎨⎧>≤≤=T t T t T t w ,

0;0,1)( 相应的谱窗为T

T W ωωωsin 2)(= 矩形窗使用最多，习惯上不加窗就是使函数通过了矩形窗。这种窗的优点是主瓣比较集中，缺点是旁瓣较高，并有负旁瓣，导致变换中带进了高频干扰和泄露，甚至出现负谱现象。

图1 矩形窗

2、 三角形窗（Bartlett 或Fejer 窗）

三角窗是幂窗的一次方形式，其定义为

⎪⎩⎪⎨⎧>≤≤-T t T t T t T t ,0;0),1(1)(w 谱窗为2)2

/2/sin ()(T T W ωωω= 三角窗与矩形窗比较，主瓣宽约等于矩形窗的两倍，但旁瓣小，而且无负旁瓣。三角窗是改善边界连续性的最直观的一种窗。 图2 三角形窗

3、 汉宁窗（Hanning 窗）

又称升余弦窗，其时间函数为

⎪⎩

⎪⎨⎧>≤+T t T t T t T t ,0;),cos 2121(1)(w π 其窗函数为⎥⎦

⎤⎢⎣⎡--++++=πωπωπωπωωωωT T T T T T W )sin()sin(21sin )(

图3 汉宁窗

汉宁窗可以看作是3个矩形时间窗的频谱之和，或者说是3个sin c(t)函数之和，而括号中的两项相对于第一个谱窗向左、右各移动了π/T ，从而使旁瓣相互抵消，消去高频干扰和漏能。比较汉宁窗和矩形窗，从减小泄露观点出发，汉宁窗优于矩形窗。但汉宁窗主瓣加宽，相当于分析带宽加宽，频率分辨率下降。

4、 海明窗（Hamming 窗）

海明窗也是余弦窗的一种，又称改进的升余弦窗，其时间函数

⎪⎩⎪⎨⎧>≤+=T t T t T t T t w ,0;),cos 46.054.0(1)(π 其窗谱为⎥⎦

⎤⎢⎣⎡--++++=πωπωπωπωωωωT T T T T T W )sin()sin(46.0sin 08.1(） 海明窗和汉宁窗都是余弦窗，只是加权系数不同。海明窗加权的系数能使旁瓣达到更小。

5、 指数窗

其时间函数为

⎩

⎨⎧<>≥=-0,00,0,)(w t a t e t at 其窗谱为22)2(1

)(f a f W π+=

图4 指数窗

6、 高斯窗

高斯窗是一种指数窗，其时域函数为

⎪⎩⎪⎨⎧>≤=-T t T t e t at ,0;,T 1)(w

式中a 为常数，决定了函数曲线衰减的快慢。高斯窗谱的主瓣较宽，故而频率分辨力低，高斯窗函数常被用来截断一些非周期信号，如指数衰减信号等。

在实际使用窗函数时，由于用二进制运算，乘法可以用移位相加进行，从而减小计算量及存储器。因此提出了用二进制表示系数加权序列。至此，我们在介绍窗函数的同时，也介绍构造窗函数的一些思路，即除直接利用简单函数外，还利用它们组构成窗。例如三角窗可看成是由两个矩形窗的线性卷积；Hanning 窗是两个余弦窗之乘积；Hamming 窗是矩形窗和Hanning 窗之和。

三、 数字信号处理中加窗对谱估计质量的影响

在进行信号x(n)的功率谱估计时, 我们只能用测量得到的有限长度的信号x N (n)来进行计算, 其结果只是真实功率谱的近似, 即估计值。对信号截断, 相当于对信号施加一窗函数。也就是说, 在实际估计功率谱时, 数据窗口是不可避免的（在用间接法估计功率谱时, 由此数据窗产生的加在自相关函数上的延迟窗也是不可避免的）。设S(ω)为信号x(n)的真实功率谱, S’(ω)为其估计值, 窗函数对谱估计质量的影响, 表现在S’(ω)的频域分辨率和对S(ω)产生了“泄漏”[3]。

1、 对频域分辨率的影响

S’(ω)的谱峰分辨率是指S’(ω)能保证真实谱S(ω)中两个靠得很近的谱峰能被分辨出来的能力。S’(ω)的分辨率取决于数据窗口的长度, 即N 值。以加矩形窗为例说明之。

易知 )(*)()]('[E ωωωW S S =

式中 E[S’(ω)]——谱估计的均值；

S(ω)——真实谱；

W(ω)——由矩形窗产生的加在自相关函数上的三角窗( 也叫延迟窗) 的付氏变换。

设x(t)=cosω0t ，x(t)及其频谱S(ω)如图5所示，矩形窗函数及其延迟窗的频谱如图6所示。其中主瓣宽度为4π/N ，S(ω)*W(ω)如图7所示。可见只有当2ω0≥4π/N 时，两个谱峰才能被分辨出来，2ω0﹤4π/N 时两个谱峰就分辨不出来。即S(ω)中的两个谱峰若要被分开，其距离一定要大于或等于4π/N ，这样对数据的长度N 就有要求。N 越大，则4π/N 越小，频域分辨率就越高。