结构动力学习题解答一二章

即: + + ;
于就是 -
进一步得: ;
（3）当 时, ,
则 ,
得 , 。
1、4求图1-35中标出参数的系统的固有频率。
(1)此系统相当于两个弹簧串联,弹簧刚度为k1、简支梁
刚度为 ; 等效刚度为k;有 ; L/2L/2
则固有频率为: ;图1-33(a)
(2)此系统相当于两个弹簧串联, 等效刚度为:
;
将其代入方程(6)可以求得:
最后得
1、9图１－３８所示盒内有一弹簧振子,其质量为m,阻尼为C,刚度为K,处于静止状态,方盒距地面高度为H,求方盒自由落下与地面粘住后弹簧振子的振动历程及振动频率。
解:因为在自由落体过程中弹簧无变形,所以振子与盒子之间无相对位移。在粘地瞬间,
由机械能守恒定理 的振子的初速度 ;
解:(1)建立汽车上下振动的数学模型;由题意可以列出其运动方程:
Y1
其中: 表示路面波动情况; 1表示汽车上下波动位移。K/2 CK/2
将其整理为:
(1) Y(t)
将 代入得
图１－３９
(2)汽车振动的稳态解:
设稳态响应为:
代入系统运动微分方程(1)可解得:
;
;
1、11、若电磁激振力可写为 ,求将其作用在参数为m、k、c的弹簧振子上的稳态响应。
底版与地面粘住后,弹簧振子的振动就是对于初速度
的主动隔振
系统的运动微分方程为:
;K/2cK/2
或
或 H
系统的运动方程就是对于初始条件的响应:
;
;
;
1、10汽车以速度V在水平路面行使。其单自由度模型如图。设m、k、c已知。路面波动情况可以用正弦函数y=hsin(at)表示。求:(1)建立汽车上下振动的数学模型;(2)汽车振动的稳态解。
图1-34
系统的势能能为:
;
拉格朗日函数为
L=T-U;
由拉格朗日方程 得
则,
=
所以:系统的固有频率为
1、6求图1-35所示系统的固有频率。图中磙子半径为R,质量为M,作纯滚动。弹簧刚度为 K。
解:磙子作百度文库面运动,K
其动能T=T平动+T转动。x
图1-35
;
而势能
;
系统机械能
;
由 得系统运动微分方程
;
得系统的固有频率
;
1、7求图1-36所示齿轮系统的固有频率。已知齿轮A的质量为mA,半径为rA,齿轮B的质量为mB,半径为rB,杆AC的扭转刚度为KA,,杆BD的扭转刚度为KB,
解:由齿轮转速之间的关系 得角速度 ;转角 ;
系统的动能为:
CA
;B D
图1-36
系统的势能为:
;
系统的机械能为
;
由 得系统运动微分方程
;
第一章单自由度系统
1、1总结求单自由度系统固有频率的方法与步骤。
单自由度系统固有频率求法有:牛顿第二定律法、动量距定理法、拉格朗日方程法与能量守恒定理法。
1、 牛顿第二定律法
适用范围:所有的单自由度系统的振动。
解题步骤:(1) 对系统进行受力分析,得到系统所受的合力;
(2) 利用牛顿第二定律 ,得到系统的运动微分方程;
因此系统的固有频率为:
;
1、8已知图１－３７所示振动系统中,匀质杆长为L,质量为m,两弹簧刚度皆为K,阻尼系数为C,求当初始条件 时
(１) 的稳态解;C f(t)
(２) 的解;L/2 L/2
解:利用动量矩定理建立系统运动微分方程
;K K
而 ; 图１－３７
得 ;
化简得
(1)
（1）求 的稳态解;
将 代入方程(1)得
,
其中: ;(1)
(2)
从实验所得的幅频曲线与相频曲线图上查的相关差数,由上述(1),(2)式求得阻尼比 。
方法二:功率法:
（1）单自由度系统在 作用下的振动过程中,在一个周期内,
弹性力作功为 、
阻尼力做功为 、
激振力做作功为 ;
（2）由机械能守恒定理得,弹性力、阻尼力与激振力在一个周期内所作功为零,
(3) 求解该方程所对应的特征方程的特征根,得到该系统的固有频率。
2、 动量距定理法
适用范围:绕定轴转动的单自由度系统的振动。
解题步骤:(1) 对系统进行受力分析与动量距分析;
(2) 利用动量距定理J ,得到系统的运动微分方程;
(3) 求解该方程所对应的特征方程的特征根,得到该系统的固有频率。
3、 拉格朗日方程法:
适用范围:所有的单自由度系统的振动。
解题步骤:(1)设系统的广义坐标为 ,写出系统对于坐标 的动能T与势能U的表达式;进一步写求出拉格朗日函数的表达式:L=T-U;
(2)由格朗日方程 =0,得到系统的运动微分方程;
(3) 求解该方程所对应的特征方程的特征根,得到该系统的固有频率。
4、 能量守恒定理法
1、2叙述用衰减法求单自由度系统阻尼比的方法与步骤。
用衰减法求单自由度系统阻尼比的方法有两个:衰减曲线法与共振法。
方法一:衰减曲线法。
求解步骤:(1)利用试验测得单自由度系统的衰减振动曲线,并测得周期与相邻波峰与波谷的幅值 、 。
(2)由对数衰减率定义 , 进一步推导有
,
因为 较小,所以有
。
方法二:共振法求单自由度系统的阻尼比。
(2)
令 得
(3)
设方程(3)的稳态解为
(4)
将(4)式代入方程(3)可以求得:
;
;
（2）求 的解;
将 代入方程(1)得
(5)
令 得
(6)
方程(6)成为求有阻尼的单自由度系统对于脉冲激励 的响应。由方程(6)可以得到初始加速度
;
然后积分求初始速度
;
再积分求初位移
;
这样方程(6)的解就就是系统对于初始条件 、 与 的瞬态响应
适用范围:所有无阻尼的单自由度保守系统的振动。
解题步骤:(1)对系统进行运动分析、选广义坐标、写出在该坐标下系统的动能T与势能U的表达式;进一步写出机械能守恒定理的表达式T+U=Const
(2)将能量守恒定理T+U=Const对时间求导得零,即 ,进一步得到系统的运动微分方程;
(3) 求解该方程所对应的特征方程的特征根,得到该系统的固有频率。
(1)通过实验,绘出系统的幅频曲线,如下图:
单自由度系统的幅频曲线
(2)分析以上幅频曲线图,得到:
;
于就是
;
进一步
;
最后
;
1、3叙述用正选弦激励求单自由度系统阻尼比的方法与步骤。
用正选弦激励求单自由度系统阻尼比的方法有两个:幅频(相频)曲线法与功率法。
方法一:幅频(相频)曲线法
当单自由度系统在正弦激励 作用下其稳态响应为:
;L/2L/2
则固有频率为:
图1-33(b)
(3)系统的等效刚度为
m
k1 k1
则系统的固有频率为 图1-33(c)
(4)
由动量距定理 得:
( )=
得: ,
则 。
图1-33(d)
1、5 求下图所示系统的固有频率。图中匀质轮A半径R,重物B的重量为P/2,弹簧刚度为k、
解:以 为广义坐标,则
系统的动能为