变分法的一个应用
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Ω x∈
当 Gj ( j = 1 , 2 , …, m ) 互相独立 , 即至少有一个 m 阶 J acobi 行列式 9 ( G1 , …, Gm ) ≠01 9 ( y i 1 , …, y im ) 其中 i 1 , …, i m 为 1 , 2 , …, n 中选取 m 个数的一个 排列 , 则存在 m 个函数λ k ( x ) , ( k = 1 , 2 , …, m ) , 作
( 7)
J
其中 j = 1 , 2 , …, m , i = m + 1 , …, n ,
1
=
∫F ( x , y
x0
x1
, y 2 , …, y n , y′ 1 , …y′ n) d x
( 2)
Jj J
( i)
是 J 中第 j 列换成 G1 , …, Gm 分别对 y i 的偏导数 由泛函的变分知 : y m +1 , …, y n 都是 x 的函数 ,
m
L [ y 0 ,δ y ] 为泛函 J [ y ] 在 y 0 ( x ) 时的变分 , 记为
δ J ,即δ J = L [ y 0 ,δ y ] [2 ]1 关于一元泛函的变分计算有如下结论 : 引理 1 如果泛函 J [ y ] 收敛 , 则 9 [1 ] δ δ J[ y] = J [ y +ε y ] | ε= 0 1 9ε 引理 2 ( 变分法基本引理 1) 任给 η( x ) ∈C1 [ x 0 , x 1 ] , 且 η( x 0 ) = η( x 1 ) = 0 , 若对于 f ( x ) ∈C [ x 0 ,
1
i
,φm +1 , …, y n ,
9 y1 + 9x
n
i = m +1
∑ 9 y y′, …,
i
9 yi
9 ym + 9x
n
i = m +1
∑
9 ym y′, y′ m +1 , 9 yi i
故结论成立 1 定理 3 ( 两端点固定的非整约束条件下泛函极值的 必要条件) 对非整约束条件泛函问题 :
x1 x0
唐旭清等 : 变分法在最优控制问题中的一个应用
523
m
∫
x0
x1
F ( x , y 1 , y 2 , …, y n ,
m
3 Fy i
d 3 d F i = ( Fyi F i) + d x y′ d x y′
k =1
λ ( x) ∑
k
9 Gk =0 9 yi
∫F ( x ,φ , …, y
则由隐函数存在定理知 , 函数方程组 Gj ( x ,
y 1 , y 2 , …, y n ) = 0 ( j = 1 , 2 , …, m ) 存在唯一函
κ
D
f ( x , y ) η( x , y ) d x d y = 0
数组解 :
y 1 = φ1 ( x , y m +1 , …, y n ) y 2 = φ2 ( x , y m +1 , …, y n )
的变分 , 记为 δ y ,即 δ y = y - y0
2 ) 泛函 J [ y ] 相对于 y 从 y 0 的增量 δ y 的增量 :
Δ J [ y0 ] = J [ y ] - J [ y0 ] = J [ y0 + δ y ] - J [ y0 ] 如果能表示成下列形式 : Δ J [ y 0 ] = L [ y 0 ,δ y ] +β [ y 0 ,δ y ] , 其中泛函 L [ y 0 , δ y ] 关于 δ y 是线性的 , 而泛函 β [ y 0 ,δ y ] 是关于 ρ( y 0 , y ) = max | y - y 0 | 的高阶无穷小 , 则称
An Application of Variation Calculus on Optional Control
TAN G Xu2qing1 , WEN G Hao2nian2
( 1. School of Science , Sout hern Yangtze University , Wuxi 214064 , China ; 2. Shanghai School of Economic Administration , Shanghai 200060 , China)
( 3)
定理 2 ( 两端点固定的整约束条件下泛函极值的必 要条件) 对于整约束条件泛函问题
J [ y 1 , …, y n ] =
∫F ( x , y
x0
x1
1
, …, y n , y′ 1 , …, y′ n) d x
y i ( x 0 ) = y i0 , y i ( x 1 ) = y i1 , ( i = 1 , 2 , …, n ) Gj ( x , y 1 , …, y n ) = 0 ( j = 1 , 2 , …, m ) ( m < n ) ( 4)
x ∈[ x 0 , x 1 ]
1
设
J =
引理 3 ( 变分法基本引理 2) 设 D 为平面区域 , 9D 为 D 的边界 , 任给 η( x , y ) ∈C1 ( D) , 且 η| 9D = 0 , 若对于 f ( x , y ) ∈C - 1 ( D) 均有
9 ( G1 , …, Gm ) ≠0 9 ( y 1 , …, y m )
Abstract : Based on general variation calculus t heory , t he paper present s t he st rictly mat hematical proof about necessity of norm f unctional maximum2minimum value existence in condition of integral item rest riction , develops optimal mat hematical model on t he question of t he speediest fall in condition of non2obst ructing f ree fall and obst ructing f ree fall , and shows how to solve t hem. Key words : norm f unctional variation ; norm f unction maximum2minimum value ; integral item rest riction ; non2integral item rest riction.
题 : 确定一个连接空间两定点 A , B 的曲线 , 使质点 在曲线上用最短的时间由 A 运动至 B 1 设质点的速度场为 v ( M ) , 其速率为 v ( M ) = | v ( M ) | , 该曲线 l 是从 A 到 B 的有向弧 , 则 v =
d s/ d t ( 其中 s 是以 A 为基点的有向弧) , 可得 d t = d s/ v ( M ) , 于是 , 即需时间
T =
d s/ v ( M ) ∫
l
( 1)
收稿日期 :2003 - 06 - 06 ; 修订日期 :2003 - 10 - 161 基金项目 : 江南大学自然科学基金项目 ( 214000 - 52212047) 资助课题 1 作者简介 : 唐旭清 ( 1963 - ) ,男 ,安徽安庆人 ,理学硕士研究生班毕业 ,副教授 1
则 f ( x , y ) ≡0 , ( x , y ) ∈D [ 2 ] 1 引理 4 ( 泛函取得极小值的必要条件) 定义在线性 赋范空间 D 上的泛函 J [ y ] , 若在 y 值 , 且在 y
3 3
∈D 处取得极 且
…
y m = φm ( x , y m +1 , …, y n )
( i) 9 yj 9 ( G1 , …, Gm ) Jj = =9 yi 9 ( y 1 , …, y i , …, y m ) J
( 6)
处泛函的变分存在 , 则有 3 [2 ] δ J[ y ] = 0 1
定理 1 设对于端点固定的 n 元泛函的极值问题 :
J [ y 1 , y 2 , …, y n ]
江 南 大 学 学 报 ( 自 然 科 学 版) 第 2 卷第 5 期 Vol. 2 No. 5 Nov. 2003 年 11 月 2003 Journal of Southern Yangtze University( Natural Science Edition)
文章编号 :1671 - 7147 ( 2003) 05 - 0521 - 05
变分法在最优控制问题中的一个应用
唐旭清1 , 翁昊年2
( 1. 江南大学 理学院 ,江苏 无锡 214064 ; 2. 上海市经济管理学校 ,上海 200060)
摘 要 : 在一般变分法理论基础上 ,给出了在整约束条件下泛函极值问题解存在的必要性的严格 的数学证明 ,并研究了最速下降问题在无阻尼自由下落与有阻尼自由下落过程中最优控制问题的 模型及求解方法 1 关键词 : 泛函变分 ; 泛函极值 ; 整约束 ; 非整约束 中图分类号 :O 17613 文献标识码 : A
1 ) Π y ∈S , y ≠ y 0 , 称 y - y 0 为函数 y 在 y 0 处
取得极小值的必要条件是 F 满足 Euler 方程组 :
Fy i -
d F i = 0 d x y′
[1 ]
y i ( x 0 ) = y i0 , y i ( x 1 ) = y i1 , ( i = 1 , 2 , …, n )
x 1 ] 均有 :
F 3 ( x) = F +
k =1
λ G , 使泛函极值 ∑
k j
y 1 ( x ) , …,
Leabharlann Baidu
y n ( x ) 满足泛函 : J
3 Fy i
3
=
∫F
x0
x1
3
d x 的 Euler 方程组
d 3 F i = 0 d x y′
( 5)
y i ( x 0 ) = y i 0 , y i ( x 1 ) = y i1
J [ y 1 , …, y n ] =
证 由 Gj ( x , y 1 , y 2 , …, y n ) = 0 ( j = 1 , 2 , …,
m ) 且存在 i 1 , …, i m , 使
∫
x0
x1
f ( x ) η( x ) d x = 0 成立 , 则 f ( x ) ≡0 ,
[2 ]
9 ( G1 , …, Gm ) ≠01 不妨 9 ( y i1 , …, y i m )
y i ∈ C2 [ x 0 , x 1 ] , y i ( x 0 )
所得的 J acobi 行列式 [ 3 ] 1
= y i0 , y i ( x 1 ) = y i1 ( i = 1 , 2 , …, n )
第5期 从 而 J [ y 1 , y 2 , …, y n ] =
y′ 1 , …, y′ n) d x =
最优控制问题一直是现代科学技术中经常遇 到的问题 ,而这类问题常可归结为泛函极值问题 1
1696 年瑞士数学家约翰・ 见努利提出了速降线问
从而 ,速降线问题即为 : 求连接两定点的光滑 曲线 l 使目标函数 T 最小 1 可归纳为泛函极值的这类问题具有一定的普 遍性 , 如著名物理学家牛顿曾提出过 , 运动于介质 中一定体积的旋转体具备怎样的形状才能使阻力 最小的问题 ; 更一般地 , 在高空运行的一定体积的 航天器具备怎样的形状才能使阻力最小的问题等 等1 变分法是研究泛函极值的一种经典数学方法 , 也是动态系统最优控制问题求解的一种行之有效 的数学方法 1
江 南 大 学 学 报 ( 自 然 科 学 版) 第2卷 522
1 基本理论
定义 1 设 S 为 Ω 上的函数空间 , D < S , 若任给函 数 y ∈D , 按照一定的法则都有确定的数值 J 与之 对应 , 则称 J 是函数 y ( x ) 在 D 中的泛函 ( 或一元泛 函 ) , 记作 J = J [ y ( x ) ] , 其中 D 称为泛函的定义域 , 一般地可定义 n 元泛函 J [ y 1 , …, y n ] [ 2 ] 1 定义 2 设 y 0 ( x ) ∈S ,D < S , J [ y ] 是在 D 上的一 个泛函 1
当 Gj ( j = 1 , 2 , …, m ) 互相独立 , 即至少有一个 m 阶 J acobi 行列式 9 ( G1 , …, Gm ) ≠01 9 ( y i 1 , …, y im ) 其中 i 1 , …, i m 为 1 , 2 , …, n 中选取 m 个数的一个 排列 , 则存在 m 个函数λ k ( x ) , ( k = 1 , 2 , …, m ) , 作
( 7)
J
其中 j = 1 , 2 , …, m , i = m + 1 , …, n ,
1
=
∫F ( x , y
x0
x1
, y 2 , …, y n , y′ 1 , …y′ n) d x
( 2)
Jj J
( i)
是 J 中第 j 列换成 G1 , …, Gm 分别对 y i 的偏导数 由泛函的变分知 : y m +1 , …, y n 都是 x 的函数 ,
m
L [ y 0 ,δ y ] 为泛函 J [ y ] 在 y 0 ( x ) 时的变分 , 记为
δ J ,即δ J = L [ y 0 ,δ y ] [2 ]1 关于一元泛函的变分计算有如下结论 : 引理 1 如果泛函 J [ y ] 收敛 , 则 9 [1 ] δ δ J[ y] = J [ y +ε y ] | ε= 0 1 9ε 引理 2 ( 变分法基本引理 1) 任给 η( x ) ∈C1 [ x 0 , x 1 ] , 且 η( x 0 ) = η( x 1 ) = 0 , 若对于 f ( x ) ∈C [ x 0 ,
1
i
,φm +1 , …, y n ,
9 y1 + 9x
n
i = m +1
∑ 9 y y′, …,
i
9 yi
9 ym + 9x
n
i = m +1
∑
9 ym y′, y′ m +1 , 9 yi i
故结论成立 1 定理 3 ( 两端点固定的非整约束条件下泛函极值的 必要条件) 对非整约束条件泛函问题 :
x1 x0
唐旭清等 : 变分法在最优控制问题中的一个应用
523
m
∫
x0
x1
F ( x , y 1 , y 2 , …, y n ,
m
3 Fy i
d 3 d F i = ( Fyi F i) + d x y′ d x y′
k =1
λ ( x) ∑
k
9 Gk =0 9 yi
∫F ( x ,φ , …, y
则由隐函数存在定理知 , 函数方程组 Gj ( x ,
y 1 , y 2 , …, y n ) = 0 ( j = 1 , 2 , …, m ) 存在唯一函
κ
D
f ( x , y ) η( x , y ) d x d y = 0
数组解 :
y 1 = φ1 ( x , y m +1 , …, y n ) y 2 = φ2 ( x , y m +1 , …, y n )
的变分 , 记为 δ y ,即 δ y = y - y0
2 ) 泛函 J [ y ] 相对于 y 从 y 0 的增量 δ y 的增量 :
Δ J [ y0 ] = J [ y ] - J [ y0 ] = J [ y0 + δ y ] - J [ y0 ] 如果能表示成下列形式 : Δ J [ y 0 ] = L [ y 0 ,δ y ] +β [ y 0 ,δ y ] , 其中泛函 L [ y 0 , δ y ] 关于 δ y 是线性的 , 而泛函 β [ y 0 ,δ y ] 是关于 ρ( y 0 , y ) = max | y - y 0 | 的高阶无穷小 , 则称
An Application of Variation Calculus on Optional Control
TAN G Xu2qing1 , WEN G Hao2nian2
( 1. School of Science , Sout hern Yangtze University , Wuxi 214064 , China ; 2. Shanghai School of Economic Administration , Shanghai 200060 , China)
( 3)
定理 2 ( 两端点固定的整约束条件下泛函极值的必 要条件) 对于整约束条件泛函问题
J [ y 1 , …, y n ] =
∫F ( x , y
x0
x1
1
, …, y n , y′ 1 , …, y′ n) d x
y i ( x 0 ) = y i0 , y i ( x 1 ) = y i1 , ( i = 1 , 2 , …, n ) Gj ( x , y 1 , …, y n ) = 0 ( j = 1 , 2 , …, m ) ( m < n ) ( 4)
x ∈[ x 0 , x 1 ]
1
设
J =
引理 3 ( 变分法基本引理 2) 设 D 为平面区域 , 9D 为 D 的边界 , 任给 η( x , y ) ∈C1 ( D) , 且 η| 9D = 0 , 若对于 f ( x , y ) ∈C - 1 ( D) 均有
9 ( G1 , …, Gm ) ≠0 9 ( y 1 , …, y m )
Abstract : Based on general variation calculus t heory , t he paper present s t he st rictly mat hematical proof about necessity of norm f unctional maximum2minimum value existence in condition of integral item rest riction , develops optimal mat hematical model on t he question of t he speediest fall in condition of non2obst ructing f ree fall and obst ructing f ree fall , and shows how to solve t hem. Key words : norm f unctional variation ; norm f unction maximum2minimum value ; integral item rest riction ; non2integral item rest riction.
题 : 确定一个连接空间两定点 A , B 的曲线 , 使质点 在曲线上用最短的时间由 A 运动至 B 1 设质点的速度场为 v ( M ) , 其速率为 v ( M ) = | v ( M ) | , 该曲线 l 是从 A 到 B 的有向弧 , 则 v =
d s/ d t ( 其中 s 是以 A 为基点的有向弧) , 可得 d t = d s/ v ( M ) , 于是 , 即需时间
T =
d s/ v ( M ) ∫
l
( 1)
收稿日期 :2003 - 06 - 06 ; 修订日期 :2003 - 10 - 161 基金项目 : 江南大学自然科学基金项目 ( 214000 - 52212047) 资助课题 1 作者简介 : 唐旭清 ( 1963 - ) ,男 ,安徽安庆人 ,理学硕士研究生班毕业 ,副教授 1
则 f ( x , y ) ≡0 , ( x , y ) ∈D [ 2 ] 1 引理 4 ( 泛函取得极小值的必要条件) 定义在线性 赋范空间 D 上的泛函 J [ y ] , 若在 y 值 , 且在 y
3 3
∈D 处取得极 且
…
y m = φm ( x , y m +1 , …, y n )
( i) 9 yj 9 ( G1 , …, Gm ) Jj = =9 yi 9 ( y 1 , …, y i , …, y m ) J
( 6)
处泛函的变分存在 , 则有 3 [2 ] δ J[ y ] = 0 1
定理 1 设对于端点固定的 n 元泛函的极值问题 :
J [ y 1 , y 2 , …, y n ]
江 南 大 学 学 报 ( 自 然 科 学 版) 第 2 卷第 5 期 Vol. 2 No. 5 Nov. 2003 年 11 月 2003 Journal of Southern Yangtze University( Natural Science Edition)
文章编号 :1671 - 7147 ( 2003) 05 - 0521 - 05
变分法在最优控制问题中的一个应用
唐旭清1 , 翁昊年2
( 1. 江南大学 理学院 ,江苏 无锡 214064 ; 2. 上海市经济管理学校 ,上海 200060)
摘 要 : 在一般变分法理论基础上 ,给出了在整约束条件下泛函极值问题解存在的必要性的严格 的数学证明 ,并研究了最速下降问题在无阻尼自由下落与有阻尼自由下落过程中最优控制问题的 模型及求解方法 1 关键词 : 泛函变分 ; 泛函极值 ; 整约束 ; 非整约束 中图分类号 :O 17613 文献标识码 : A
1 ) Π y ∈S , y ≠ y 0 , 称 y - y 0 为函数 y 在 y 0 处
取得极小值的必要条件是 F 满足 Euler 方程组 :
Fy i -
d F i = 0 d x y′
[1 ]
y i ( x 0 ) = y i0 , y i ( x 1 ) = y i1 , ( i = 1 , 2 , …, n )
x 1 ] 均有 :
F 3 ( x) = F +
k =1
λ G , 使泛函极值 ∑
k j
y 1 ( x ) , …,
Leabharlann Baidu
y n ( x ) 满足泛函 : J
3 Fy i
3
=
∫F
x0
x1
3
d x 的 Euler 方程组
d 3 F i = 0 d x y′
( 5)
y i ( x 0 ) = y i 0 , y i ( x 1 ) = y i1
J [ y 1 , …, y n ] =
证 由 Gj ( x , y 1 , y 2 , …, y n ) = 0 ( j = 1 , 2 , …,
m ) 且存在 i 1 , …, i m , 使
∫
x0
x1
f ( x ) η( x ) d x = 0 成立 , 则 f ( x ) ≡0 ,
[2 ]
9 ( G1 , …, Gm ) ≠01 不妨 9 ( y i1 , …, y i m )
y i ∈ C2 [ x 0 , x 1 ] , y i ( x 0 )
所得的 J acobi 行列式 [ 3 ] 1
= y i0 , y i ( x 1 ) = y i1 ( i = 1 , 2 , …, n )
第5期 从 而 J [ y 1 , y 2 , …, y n ] =
y′ 1 , …, y′ n) d x =
最优控制问题一直是现代科学技术中经常遇 到的问题 ,而这类问题常可归结为泛函极值问题 1
1696 年瑞士数学家约翰・ 见努利提出了速降线问
从而 ,速降线问题即为 : 求连接两定点的光滑 曲线 l 使目标函数 T 最小 1 可归纳为泛函极值的这类问题具有一定的普 遍性 , 如著名物理学家牛顿曾提出过 , 运动于介质 中一定体积的旋转体具备怎样的形状才能使阻力 最小的问题 ; 更一般地 , 在高空运行的一定体积的 航天器具备怎样的形状才能使阻力最小的问题等 等1 变分法是研究泛函极值的一种经典数学方法 , 也是动态系统最优控制问题求解的一种行之有效 的数学方法 1
江 南 大 学 学 报 ( 自 然 科 学 版) 第2卷 522
1 基本理论
定义 1 设 S 为 Ω 上的函数空间 , D < S , 若任给函 数 y ∈D , 按照一定的法则都有确定的数值 J 与之 对应 , 则称 J 是函数 y ( x ) 在 D 中的泛函 ( 或一元泛 函 ) , 记作 J = J [ y ( x ) ] , 其中 D 称为泛函的定义域 , 一般地可定义 n 元泛函 J [ y 1 , …, y n ] [ 2 ] 1 定义 2 设 y 0 ( x ) ∈S ,D < S , J [ y ] 是在 D 上的一 个泛函 1