习题集-02 数字信号处理习题答案

§ Z 变换

➢ Z 变换的定义及收敛域

【习题】

1. 假如)(n x 的z 变换代数表示式是下式，问)(z X 可能有多少不同的收敛域。 )83451)(411(411)(2122----+++-

=z z z z z X 【分析】

）要单独讨论，（环状、圆外、圆内：有三种收敛域：双边序列的收敛域为：特殊情况有：左边序列的收敛域为：因果序列的收敛域为：右边序列的收敛域为：特殊情况有：有限长序列的收敛域为 0 0

, , 0 0

, , 0

, 0 0

, 0 , 0 22

11

212

1∞==<<≤≤<≤<<≥≥∞≤<≥∞<<≤∞<≤≥∞≤<≤≤∞<<+

-++--z z R z R n n R z n n R z n n z R n n z R n z n z n n n z x x x x x x

解：对X (Z )的分子和分母进行因式分解得

)43

1

)(21

1)(211(2111111----+-+-

=Z jZ jZ Z X (Z )的零点为：1/2，极点为：j/2，-j/2，-3/4

∴ X (Z )的收敛域为：

(1) 1/2 < | Z | < 3/4，为双边序列，见图一

(2) | Z | < 1/2，为左边序列，见图二

(3) | Z | > 3/4，为右边序列，见图三

图一 图二 图三

)431)(211)(411()211)(211()(11211-----++++-

=Z Z Z Z Z Z X

➢ Z 反变换

【习题】

2. 有一右边序列 )(n x ，其 z 变换为)1)(211(1

)(11----=z z z X

(a) 将上式作部分分式展开(用 1-z 表示)，由展开式求 )(n x 。

(b) 将上式表示成 z 的多项式之比，再作部分分式展开，由展开式求 )(n x ,并说明所得到的序列

与(a)所得的是一样的。

【注意】不管哪种表示法最后求出 x (n ) 应该是相同的。

解：(a) 因为11122

111)(---+--=z z z X 且x(n)是右边序列 所以 )()212()(n u n x n ⎪⎭

⎫ ⎝⎛-= (b)

122

1211 )1)(2

1(21231 )1)(2

1()(2

-+--+=---+=--=z z z z z z z z z X )()212( )1(2)1(21)()( n u n u n u n n x n n ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-+-⎪⎭

⎫ ⎝⎛-=δ则

➢ Z 变换的基本性质和定理

【习题】

3. 对因果序列，初值定理是)(lim )0(z X x z ∞

→=，如果序列为 0>n 时0)(=n x ，问相应的定理是什么？)( n x 讨论一个序列，其z 变换为：

值。

试求其的收敛域包括单位圆， )0( )(x z X 【分析】

这道题讨论如何由双边序列Z 变换)(z X 来求序列初值)0(x ，把序列分成因果序列和反因果序列两部分，〖它们各自由)(z X 求)0(x 表达式是不同的〗，将它们各自的)0(x 相加即得所求。

)

0()(lim )2()1()0( )()(:

,0)(,0020x z X z x z x x z

n x z X n x n z n n =+-+-+==

=>→--∞=-•••∑所以此时有：有时当序列满足解： 若序列)(n x 的Z 变换为：

2

1,2 )()()(2

1 3

2 4 )2

1)(2(24191272512419127)(21212211==∴+=-+-=---=+--=---z z z X z X z X z z z z z z z z z z z z X 的极点为）（）（ 由题意可知：X (Z )的收敛域包括单位圆 则其收敛域应该为：22

1<

13lim )(lim )0(024lim

)(lim )0( )( 0 )( 2122010121=+=∴=-===-==≤∞→∞→→→x x x z z z X x z z z X x n x n n x z z z z ）（）

（为因果序列：

时为有值左边序列，

为则 2

112

512419127)(---+--=z z z z X

4. 有一信号)(n y ，它与另两个信号)(1n x 和)(2n x 的关系是：

)1()3()(21+-*+=n x n x n y

其中 )(21)(1n u n x n ⎪⎭⎫ ⎝⎛= ，)(31)(2n u n x n ⎪⎭

⎫ ⎝⎛= 已知 1

11)]([--=az n u a Z n ，a z >，。变换的变换性质求利用 )( )( z Y z n y z 【分析】

。

则）（：

注意移位定理 )()()( )(*)()( 2)( )()( )

()( )()( )1(212111z X z X z Y n x n x n y z X z m)n x(z X z m n x z X n x z X n x -m m ==↔+-↔+↔-↔--

解：根据题目所给条件可得：

112

111)(-Z -−→←z n x 123111)(--−→←z n x Z 1

312

11)3(--−→←+⇒z z n x Z 21>z z z X n x Z 3

111)()(122-=−→←-- 311>-z z z n x Z

311)1(1

2-−→←+-- 3

所以 [][])1()3()(21+-⋅+=n x Z n x Z z Y

z z z z 3

112111

13-⋅-=-- )21)(3(33

---=z z z