2 用配方法求解一元二次方程(2)

总结规律
如果方程的系数不是1，我们可以在方程的两 边同时除以二次项系数，这样就可以利用上 节课学过的知识解方程了！
2x2+8x+6=0 ------ x2+4x+3=0
3x2+6x-9=0 ------ x2+2x-3=0
-5x2+20x+25=0 --- x2-4x-5=0
(1)利用配方法解一元二次方程的一般步骤: ①方程两边同时除以二次项系数,将二次项系 数化为1;②把常数项移到方程右边;③在方程 的两边同时加上一次项系数的一半的平方,使 左边成为完全平方式;④利用直接开平方法求
独立 作业
习题2.4 第1、2 题
祝你成功！
（2）配方法是对数学式子进行一种定向变
形(配成“完全平方”)的技巧,通过配方找到
已知和未知的联系,从而化繁为简.何时配方, 需要我们适当预测,并且合理运用“裂项” 与“添项”、“配”与“凑”的技巧,从而 完成配方.有时也将其称为“配凑法”.
(3)最常见的配方是进行恒等变形,使数学式 子出现完全平方,其依据是完全平方公 式:(a+b)2=a2+2ab+b2,将这个公式灵活运用, 可得到各种基本配方形式,如:a2+b2=(a+b)22ab=(a-b)2+2ab;a2+ab+b2=(a+b)2-ab=(ab)2+3ab.
学习新知
将下列各式填上适当的项,使其配
1
4
=(x+
1 2 6 5 )2.
1 2
) 2;
(2)x2-4x+
=(x-
)2;
)2 ;
(3)x2+ 12x +36=(x+
抢答！
(4)x2+10x+
(5)x2-x+
1 4
25
=(x+
=(x-
)2;
探究思路
请同学们比较下列两个一元二次方程的 联系与区别 1.x2+6x+8=0 2.3x2+18x+24=0 这两个方程有 什么联系？
答:苗圃的长为12 m,宽为10 m.
,
1.解方程:2x2+6x-3=0. 解法1:移项,得2x2+6x=3,
解法2:移项,得2x2+6x=3, 原方程可变为:
（ 2 x) 2 2 2 3 2 3 2 2 3 2 2 ( ) 3 ( ) 2 2 2 3 2 2 30 ( 2x ) 2 4
开平方，得 x 4 5 1 ，所以， x1 ，x 2 3. 3 3 3
利用配方法解二次项系数不为1的一元二次方 程的一般步骤: (1)化1:化二次项系数为1; (2)移项:把常数项移到方程的右边; (3)配方:方程两边都加上一次项系数一半的 平方,使左边化成一个含有未知数的完全平 方式的形式,右边为一常数; (4)开方:根据平方根的意义,方程两边开平方, 使其化为一元一次方程； (5)求解:解一元一次方程; (6)定解:写出原方程的解.
2 2
t1 2, t 2 1
结合实际
请你描述一下，在做一做中t有两个值， 它们所在时刻小球的运动状态.
t1 2, t 2 1
习题训练
解下列方程 1)3x2-9x+2=0 2)2x2+6=7x
3)4x2-8x-3=0
1、用配方法解一元二次方程的基本思路是什么？ (1)化(2)移(3)配(4)开(5)解 2、用配方法解一元二次方程应注意什么问题？
(1)x2-
检测反馈
1 36
9 8
1 6
3 4
2. 2x2-6x+3=2(xx2+mx+n=(x+
3 2 m 2
)2)2+
3 2
4n m 2 4
;
.
解析:第一个代数式的配方要注意二次项的 系数没有化为1,而是提到括号的前面,第二个 是同时在方程的两边加上一次项系数一半的 平方.
, ,
3.用配方法解下列方程. (1)3x2-4x-2=0;
3.用配方法解下列方程. (2)2x2+3x-2=0;
3.用配方法解下列方程. (3)4(x-3)2=225;
3.用配方法解下列方程
九年级数学上
新课标 [北师]
第2章 一元二次方程
学习新知
检测反馈
解方程:x2-6x-40=0.
解:移项,得x2-6x=40,
配方,得x2-6x+32=40+32, 即(x-3)2=49, 开平方,得x-3=±7, 即x-3=7或x-3=-7,
所以x1=10,x2=-4.
习题回望
成完全平方式.
(1)x2+2x+
xy 9 0 x y 3. x y 0
4.若M=3x2-8xy+9y2-4x+Leabharlann Baiduy+13(x,y是实数),则 M的值一定是 ( ) A A.正数 B.负数 C.零 D.整数
【解析】先将多项式转化成几个完全平方式 的和的形式,然后就其结构特征进行合理的分 析、推理.因为M=3x2-8xy+9y2-4x+6y+13=2(x-
实际应用
一小球以15m/s的初速度竖 直向上弹出，它在空中的高度h(m)与 时间t(s)满足关系:h=15t-5t2,小球何 时能达到10m的高度？ 解：根据题意得
15t-5t2=10
方程两边都除以-5，得
1 3 t 4 2 3 1 t 2 2
2
t2-3t=-2
3 3 2 t 3 t 2 配方，得 2 2
2y)2+(x-2)2+(y+3)2≥0,并且2(x-2y)2,(x-2)2,(y+3)2
这三个式子不可能同时为0,所以M>0.故选A.
【解析】 复合二次根式的化简是将被开方数 化成完全平方的形式,要用到配方的思想.
已知三角形的三边a,b,c满足 a2+b2+c2=ab+ac+bc,判断这个三角形的形状. 【解析】确定三角形的形状,主要是讨论三 条边之间的关系.代数式 a2+b2+c2=ab+ac+bc之中蕴含了完全平方式, 可以重新拆项、组合. 解:已知条件可化为 2a2+2b2+2c2=2ab+2ac+2bc, 即2a2+2b2+2c2-2ab-2ac-2bc=0, 即a2-2ab+b2+a2-2ac+c2+b2-2bc+c2=0, 即(a-b)2+(a-c)2+(b-c)2=0,所以a=b=c,即三角形 是等边三角形.
例题 已知一面积为120 m2的矩形苗圃的长 比宽多2 m,则苗圃的长和宽各是多少? 解:设矩形的宽为x m,则长为(x+2)m, 依题意,得x(x+2)=120, 即x2+2x=120, 方程可化为(x+1)2=121, 解得x1=10,x2=-12(不合题意,舍去). 则x+2=10+2=12(m).
(4)在应用配方法解一元二次方程时有两种做法:
一种是先移走常数项,然后方程两边同时除以二 次项系数,把二次项系数化为1,两边再同时加上 一次项系数(除以二次项系数后的)一半的平方, 把原方程化成(x+m)2=n(n≥0)的形式,两边同时 开方,把一元二次方程转化为一元一次方程.另 一种是先移走常数项,通过“凑”与“配”进行 配方.
2.用配方法证明:无论x为何值,代数式x24x+4.5的值恒大于零.
证明:∵x2-4x+4.5=x2-4x+22-22+4.5=(x2)2+0.5≥0.5>0,
∴无论x为何值,代数式x2-4x+4.5的值恒大于零.
3.若x2y2-20xy+x2+y2+81=0,求x,y的值.
〔解析〕此题可以运用“裂项”与“凑”的 技巧,把-20xy裂成-18xy与-2xy的和来完成配方, 并根据完全平方式为非负数的性质,把方程化为 二元一次方程组求解. 解:∵x2y2-20xy+x2+y2+81=0, ∴(x2y2-18xy+81)+(x2-2xy+y2)=0, 即(xy-9)2+(x-y)2=0,
解.
例题讲解
例2 解方程:3x2+8x-3=0.
8 解：两边都除以3，得x x 1 0， 3
2
8 移项，得x x 1， 3 2 2 8 4 5 2 配方，得x x ， 3 3 3
2
2 2
4 5 即 x ， 3 3