2 用配方法求解一元二次方程(2)

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2.2.2用配方法求解一元二次方程(教案)

3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调配方法的步骤和一元二次方程的求解这两个重点。对于难点部分，我会通过具体的方程示例和步骤分解来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与一元二次方程相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作，如利用配方法求解一个具体的一元二次方程，从而直观地看到结果。
3.培养学生的数学运算能力，熟练运用配方法解一元二次方程，提高解题效率；
4.培养学生的数据分析能力，让学生在解决一元二次方程问题时，能够分析问题、提炼关键信息，并进行合理判断；
5.培养学生的创新意识，鼓励学生在掌握配方法的基础上，探索和尝试新的解题方法，提高解决问题的灵活性。
三、教学难点与重点
1.教学重点
-实际问题的数学建模：培养学生将现实问题抽象成一元二次方程，并运用配方法求解的能力。
-重点细节：
-识别问题中的已知量和未知量，建立方程模型；
-将实际问题中的条件转化为方程的约束条件；
-运用配方法求解方程，得出问题的解答。
2.教学难点
-配方法的推导过程理解：学生需要理解配方法背后的数学原理，这对于逻辑思维能力有一定的要求。
-难点举例：
-学生可能会对为什么要添加和减去同一个数感到困惑；
-对于如何将方程转化为完全平方公式感到不熟悉。
-配方法在实际问题中的应用：将配方法应用于解决实际问题，需要学生具备一定的分析能力和创造性思维。
-难点举例：
-在实际问题中，学生可能难以找到合适的方程模型；
-在应用配方法时，可能会出现计算错误，导致最终答案错误。
-配方法的步骤及应用：配方法是一元二次方程求解的重要方法，本节课的核心是让学生掌握配方法的步骤，并能将其应用于求解实际问题。

怎么用配方法解一元二次方程

怎么用配方法解一元二次方程一元二次方程是我们数学学习过程中比较重要的一部分，掌握一元二次方程的求解方法对我们的数学学习和应用都有很大的帮助。

而对于一些复杂的一元二次方程，我们可以通过配方法来简化求解过程，下面就来介绍一下怎么用配方法解一元二次方程。

一、什么是配方法配方法是指通过对一元二次方程中的常数项和二次项进行化简，将方程变形为一个完全平方的形式，从而更方便地求解方程的方法。

具体来说，我们可以通过将方程中的二次项拆分成两个一次项的乘积，再将其中一个一次项与常数项相加或相减，从而使方程化为一个完全平方的形式，即：(a+b)=a+2ab+b或(a-b)=a-2ab+b二、配方法的步骤使用配方法求解一元二次方程，需要根据方程的形式选择不同的步骤，一般来说，有以下两种情况：1、一元二次方程中二次项系数为1对于一元二次方程ax+bx+c=0，如果a=1，也就是二次项系数为1，我们可以通过以下步骤来使用配方法求解：（1）将方程左右两边移项，使常数项c移到等号左侧，得到ax+bx=-c；（2）将方程两边加上b/4a，得到一个完全平方，即ax+bx+b/4a=(b-4ac)/4a（3）将等式左侧化为一个完全平方的形式，即(a x+b/2a)=(b-4ac)/4a（4）对等式两边开根号，得到ax+b/2a=±√(b-4ac)/2a（5）移项得到ax=-b/2a±√(b-4ac)/2a（6）化简得到x=(-b±√(b-4ac)/2a2、一元二次方程中二次项系数不为1对于一元二次方程ax+bx+c=0，如果a≠1，也就是二次项系数不为1，我们可以通过以下步骤来使用配方法求解：（1）将方程左右两边乘以a，得到ax+abx+ac=0（2）将方程中的常数项ac分解成两个数的乘积，使它们的和等于b/a，即ac=pq, p+q=b/a（3）将方程中的一次项abx拆分成两个一次项px和qx，得到 ax+px+qx+ac=0（4）将方程中的两个一次项ax和qx相加或相减（根据p和q 的符号而定），得到一个完全平方，即(a x+p/2a)=(p-4ac)/4a（5）将等式两边开根号，得到ax+p/2a=±√(p-4ac)/2a（6）移项得到ax=-p/2a±√(p-4ac)/2a（7）化简得到x=(-p±√(p-4ac))/2a三、配方法的注意事项在使用配方法求解一元二次方程时，需要注意以下几点：1、必须正确地分解常数项ac，使它们的和等于一次项系数b/a。

用配方法解一元二次方程的方法总结

用配方法解一元二次方程的方法总结:大家知道，解一元二次方程的方法很多，有直接开平分法，配方法，公式法和因式分解法等。

其中，配方法是解一元二次方程很好的方法，下面我就分情况对此方法进行讲解。

（一）二次项系数为1的情况:例:用配方法解方程x²－2x－3＝0解:x²－2x－3＝0，移项，得x²－2x＝3，配方，得x²－2x＋1²＝3＋1²，即（x－1）²＝4，x －1＝±2，x＝3或x＝－1(二)二次项系数为非1的正数的情况:例:用配方法解方程3x²＋6x－24＝0解:3x²＋6x－24＝0，3(x²＋2x)－24＝0，移项，得3(x²＋2x)＝24，配方，得3（x²＋2x＋1²）＝24＋3×1²，即3（x＋1）²＝27，即（x＋1）²＝9，x＋1＝±3，x＝2或x＝－4(三)二次项系数为负数的情况:例:用配方法解方程－2x²＋4x＋6＝0解:－2x²＋4x＋6＝0，－2（x²－2x）＋6＝0，移项，得－2（x²－2x）＝－6，配方，得－2（x²－2x＋1²）＝－6－2×1²，即－2(x－1)²＝－8，即（x－1）²＝4，x－1＝±2，x＝3或x＝－1综上所述:用配方法解一元二次方程的思路如下:（1）化二次项系数为1。

（2）移项:使方程左边为二次项和一次项，右边为常数项。

（3）配方:方程两边都加上一次项系数一半的平方，原方程变为（x＋m）²＝p的形式。

(4)直按开平方:求出方程的解。

同学们:看完我的讲述，用配方法解一元二次方程，你们学会了吗？。

用配方法求解一元二次方程(第二课时)

〔1〕4x2 〔2〕7x2
7..当x为何值时，代数式5x2+7x+1和代数式 9x+15的值相等？
8.试证：不论k取何实数，关于x的方程必是一元二次方程
9.在一块长16m，宽12m的矩形荒地上，要建造一个花园，并使花园所占面积为荒空中积的一半，你能求出以下图中的x吗？
※典型范例※
例1：
用配方法解方程x +2x－1=0时
①移项得__________________
②配方得__________________
即〔x+__________〕2=__________
③x+Leabharlann _________=__________或x+__________=__________
④ =__________, =__________
(1)x +5x－1=0 (2)2x －4x－1=0
(3)4x2＋8x－3＝0；(4)(3x＋2)(x＋3)＝x＋14.
2.用配方法解方程3x2－9x－＝0，先把方程化为x2＋bx＋c＝0的方式，那么以下变形正确的选项是( )
A．x2－9x－＝0 B．x2－3x－＝0C．x2－9x－＝0D．x2－3x－＝0
1.x +6x+8=0 2.3x +18x+24=0
〔1〕这两个方程有什么联络？
〔2〕用配方法求解这两个方程
【新知归结1】
★规律方法★假设方程的系数不是1，我们可以在方程的两边同时除以二次项系数，这样转化为系数是1的方程就可以应用学过的知识解方程了！
【协作交流】
1.2x +8x+6=0 转化成： x +4x+3=0

一元二次方程的解法(二)配方法—巩固练习

一元二次方程的解法（二）配方法—巩固练习【基础练习】一、选择题1.用配方法解一元二次方程x 2+4x ﹣3=0时，原方程可变形为（） A ．（x +2）2=1 B ．（x +2）2=7 C ．（x +2）2=13 D ．（x +2）2=19 2．下列各式是完全平方式的是（）A ．277x x ++B ．244m m --C ．211216n n ++ D ．222y x -+ 3．若x 2+6x+m 2是一个完全平方式，则m 的值是（）A ．3B ．-3C ．3±D ．以上都不对 4．用配方法将二次三项式a 2-4a+5变形，结果是（）A ．（a-2）2+1 B ．（a+2）2-1 C ．（a+2）2+1 D ．（a-2）2-1 5．把方程x 2+3=4x 配方，得（）A ．（x-2）2=7 B ．（x+2）2=21 C ．（x-2）2=1 D ．（x+2）2=26．用配方法解方程x 2+4x=10的根为（） A ．2±10 B ．-2±14 C ．-2+10 D ．2-10二、填空题 7．（1）x 2+4x+ =（x+ ）2；（2）x 2-6x+ =（x- ）2；（3）x 2+8x+ =（x+ ）2. 8．用配方法将方程x 2-6x+7=0化为（x +m ）2=n 的形式为．9．若226x x m ++是一个完全平方式，则m 的值是________．10．求代数式2x 2-7x+2的最小值为 .11．当x= 时，代数式﹣x 2﹣2x 有最大值，其最大值为． 12．已知a 2+b 2-10a-6b+34=0，则的值为．三、解答题13. 用配方法解方程（1）（2）221233x x +=14.已知a 2+b 2﹣4a+6b+13=0，求a+b 的值．15．已知a ，b ，c 是△ABC 的三边，且2226810500a b c a b c ++---+=．(1)求a ，b ，c 的值； (2)判断三角形的形状．【提高练习】一、选择题1.一元二次方程x 2﹣6x ﹣5=0配方组可变形为（）A ．（x ﹣3）2=14B ．（x ﹣3）2=4C ．（x +3）2=14D ．（x +3）2=4 2．用配方法解下列方程时，配方有错误的是（）A ．22990x x --=化为2(1)100x -=B ．22740t t --=化为2781416t ⎛⎫-= ⎪⎝⎭C ．2890x x ++=化为2(4)25x +=D ．23420x x --=化为221039x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭3．把一元二次方程x 2﹣6x+4=0化成（x+n ）2=m 的形式时，m+n 的值为（）A ．8B ．6C ．3D ．2 4．不论x 、y 为何实数，代数式22247x y x y ++-+的值 ( )A ．总小于2B ．总不小于7C ．为任何实数D ．不能为负数 5．已知，则的值等于（）A.4B.-2C.4或-2D.-4或2 6．若t 是一元二次方程的根，则判别式和完全平方式的关系是( )A.△=MB. △＞MC. △＜MD. 大小关系不能确定二、填空题 7．（1）x 2-43x+ =（）2；（2）x 2+px+ =（）2. 8．把代数式x 2﹣4x ﹣5化为（x ﹣m ）2+k 的形式，其中m ，k 为常数，则4m+k= ．9．已知4x 2-ax+1可变为（2x-b ）2的形式，则ab=_______．10．将一元二次方程x 2-2x-4=0用配方法化成（x+a ）2=b 的形式为____ ___，•所以方程的根为_________．11．把一元二次方程3x 2-2x-3=0化成3(x+m)2=n 的形式是___ ________；若多项式x 2-ax+2a-3是一个完全平方式，则a=_________. 12．已知.则的值为 .三、解答题13. 用配方法解方程.（1）解方程：x 2﹣2x=4．（2）解方程：x 2﹣6x ﹣4=0．14．分解因式44x +．15．当x ，y 取何值时，多项式x 2+4x+4y 2﹣4y+1取得最小值，并求出最小值．【基础答案与解析】一、选择题 1.【答案】B ．【解析】x 2+4x=3，x 2+4x +4=7，（x +2）2=7． 2．【答案】C ；【解析】211216n n ++214n ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．3.【答案】C ；【解析】若x 2+6x+m 2是一个完全平方式，则m 2=9,解得m=3±； 4.【答案】A ；【解析】a 2-4a+5= a 2-4a+22-22+5=（a-2）2+1 ； 5.【答案】C ；【解析】方程x 2+3=4x 化为x 2-4x=-3，x 2-4x+22=-3+22，（x-2）2=1. 6.【答案】B ；【解析】方程x 2+4x=10两边都加上22得x 2+4x+22=10+22，x=-2±14.二、填空题 7．【答案】（1）4；2；（2）9；3；（3）16；4. 【解析】配方:加上一次项系数一半的平方. 8.【答案】（x ﹣3）2=2．【解析】移项，得x 2﹣6x=﹣7，在方程两边加上一次项系数一半的平方得，x 2﹣6x +9=﹣7+9，（x ﹣3）2=2． 9．【答案】±3；【解析】2239m ==．∴ 3m =±. 10．【答案】-338；【解析】∵2x 2-7x+2=2（x 2-72x ）+2=2（x-74）2-338≥-338，∴最小值为-338， 11．【答案】-1,1【解析】∵﹣x 2﹣2x=﹣（x 2+2x ）=﹣（x 2+2x+1﹣1）=﹣（x+1）2+1，∴x=﹣1时，代数式﹣x 2﹣2x 有最大值，其最大值为1；故答案为：﹣1，1．【解析】 -3x 2+5x+1=-3（x-56）2+3712≤3712，• ∴最大值为3712． 12．【答案】4.【解析】∵a 2+b 2-10a-6b+34=0∴a 2-10a+25+b 2-6b+9=0∴（a-5）2+（b-3）2=0，解得a=5，b=3， ∴=4．三、解答题13.【答案与解析】（1）x 2-4x-1=0x 2-4x+22=1+22(x-2)2=5 x-2=5± x 1=2+5x 2=2-5 (2)221233x x +=226x x +=2132x x += 222111()3()244x x ++=+ 2149()416x +=1744x +=±132x =22x =- 14.【答案与解析】解：∵a 2+b 2﹣4a+6b+13=0，∴a 2﹣4a+4+b 2+6b+9=0， ∴（a ﹣2）2+（b+3）2=0， ∴a ﹣2=0，b+3=0， ∴a=2，b=﹣3， ∴a+b=2﹣3=﹣1．15.【答案与解析】（1）由2226810500a b c a b c ++---+=，得222(3)(4)(5)0a b c -+-+-=又2(3)0a -≥，2(4)0b -≥，2(5)0c -≥， ∴ 30a -=，40b -=，50c -=，∴ 3a =，4b =，5c =．（2）∵ 222345+= 即222a b c +=，∴ △ABC 是以c 为斜边的直角三角形．【提高答案与解析】一、选择题 1.【答案】A ．【解析】x 2﹣6x ﹣5=0，x 2﹣6x=5，x 2﹣6x +9=5+9，（x ﹣3）2=14，故选：A ． 2．【答案】C ；【解析】选项C ：2890x x ++=配方后应为2(4)7x +=．3．【答案】D ；【解析】 x 2﹣6x=﹣4，∴ x 2﹣6x+9=﹣4+9，即得（x ﹣3）2=5，∴ n=﹣3，m=5，∴ m+n=5﹣3=2．故选D ．4．【答案】D ；【解析】2222247(1)(2)22x y x y x y ++-+=++-+≥．5．【答案】A ；【解析】原方程化简为：（x 2+y 2）2-2(x 2+y 2)-8=0,解得x 2+y 2=-2或4，-2不符题意舍去.故选A. 6．【答案】A .【解析】由t 是方程的根得at 2+bt+c=0,M=4a 2t 2+4abt+b 2=4a(at 2+bt)+b 2= b 2-4ac=△.故选A.二、填空题7．【答案】（1）49；23x -；（2）24p ；2p x +.【解析】配方:加上一次项系数一半的平方.8．【答案】﹣1；【解析】x 2﹣4x ﹣5=x 2﹣4x+4﹣4﹣5=（x ﹣2）2﹣9， ∴ m=2，k=﹣9，∴ 4m+k=4×2﹣9=﹣1．故答案为﹣1．9．【答案】4；【解析】4x 2-ax+1=(2x-b)2化为4x 2-ax+1=4x 2-4bx+b 2, 所以241a bb =-⎧⎨=⎩－解得41a b =⎧⎨=⎩或41a b =-⎧⎨=-⎩所以4ab =.10．【答案】（x-1）2=5；15± ．【解析】方程两边都加上1的平方得（x-1）2=5，解得x=15±.11．【答案】；2或6.【解析】3x 2-2x-3=0化成；即2(-)232aa =-，a=2或6.12.【答案】5；【解析】原式三、解答题13.【答案与解析】解：（1）配方x 2﹣2x +1=4+1 ∴（x ﹣1）2=5 ∴x=1±∴x 1=1+，x 2=1﹣．（2015•大连）解方程：x 2﹣6x ﹣4=0．（2）解：移项得x 2﹣6x=4，配方得x 2﹣6x +9=4+9，即（x ﹣3）2=13，开方得x ﹣3=±， ∴x 1=3+，x 2=3﹣． 14. 【答案与解析】4222224()22222x x x x +=++-g g g g22222(2)(2)(22)(22)x x x x x x =+-=++-+．15. 【答案与解析】解：x 2+4x+4y 2﹣4y+1=x 2+4x+4+4y 2﹣4y+1﹣4 =（x+2）2+（2y ﹣1）2﹣4，又∵（x+2）2+（2y ﹣1）2的最小值是0， ∴x 2+4x+4y 2﹣4y+1的最小值为﹣4．∴当x=﹣2，y=时有最小值为﹣4．。

用配方法求解一元二次方程ppt课件

［解题思路］观察各个方程，通过变形，把方程转化为
考
点适用直接开平方法的形式，利用直接开平方法求解.
清
［答案］解：（1）2x2=6，x2=3，
单
解
∴x=± ，∴x1= ，x2=- ；
读
（2）（x+1）2-8=0，移项，得（x+1）2=8，开平方，得
x+1=±2
，解得 x1=-1+2 ，x2=-1-2 ；
清
单方程，一元二次方程的解有两个，特别注意开方后不要丢掉
解
读负值.
2.2 用配方法求解一元二次方程
考
点
清
单
解
读
对点典例剖析
典例1 用直接开平方法解下列方程：
（1）2x2=6；
（2）（x+1）2-8=0；
（3）4x2+1=-4x；
（4）9（x-1）2=16（x+2）2．
2.2 用配方法求解一元二次方程
难
2-16=0；
例
解方程：（1）4（x-1）
题
型
（2）2x2+4x-1=0．
突
破
2.2 用配方法求解一元二次方程
重
［答案］解：（1）整理，得（x-1）2=4，开方，得
难
题 x-1=2 或 x-1=-2，解得 x1=3，x2=-1；
型

2
2
突
（2）整理，得 x +2x= ，配方，得 x +2x+1= +1，
2.2 用配方法求解一元二次方程
考
点
清
单
解
读
■考点一
原理
一般

03 配方法——解一元二次方程(二)

3．配方法——解一元二次方程(二)预习归纳1．通过配成解一元二次方程的方法，叫配方法．例题讲解【例】用配方法解方程：⑴ x 2＋2x －3＝0 ⑵ x 2－2x －8＝0基础题训练1．填空： (1) x 2－20x ＋＝ (x － ) 2(2) x 2＋ x ＋81＝ (x ＋ ) 2(3) x 2＋5x ＋＝ (x ＋ ) 22．用配方法解一元二次方程x 2－4x ＝1，配方后得到的方程是( )A ．(x －2)2＝1B ．(x －2)2＝4C ．(x －2)2＝5D ．(x －2)2＝33．(2013兰州)用配方法解方程x 2－2x －1＝0时，配方后得到的方程为( )A ．(x ＋1)2＝0B ．(x －1)2＝0C ．(x ＋1)2＝2D ．(x －1)2＝24．(2014宁夏)一元二次方程x 2－2x －1＝0的解是( )A ．x1＝x 2＝1 B ．x 1＝1x 2＝1- C ．x1＝1x 2＝1D ．x 1＝1-+x 2＝1--5．用配方法解方程242203x x --＝变形正确的是( ) A ．21839x ⎛⎫- ⎪⎝⎭＝ B ．2203x ⎛⎫- ⎪⎝⎭＝ C ．211039x ⎛⎫ ⎪⎝⎭＋＝ D ．211039x ⎛⎫- ⎪⎝⎭＝ 6．填空：(1) x 2－4x ＋＝ (x － ) 2 (2) x 2＋6x ＋＝ (x ＋ ) 2(3) x 2－43x ＋＝ (x － ) 2 (4) x 2－3ax ＋＝ (x － ) 2 7．用配方法解下列方程：⑴2ｍ2－6ｍ＋3＝0 ⑵6x 2－x －12＝0中档题训练：8．已知方程260x x q -=＋可以配方成()27x p -＝的形式，那么262x x q -=＋可以配方成下列的( ) A ．()25x p -= B ．()29x p -＝ C ．()229x p -＋＝ D ．()225x p -＋＝ 9．关于x 的一元二次方程()211420m m x x =＋＋＋＋的解为( ) A ．x 1＝1，x 2＝－1 B ．x 1＝x 2＝1 C ． x 1＝x 2＝－1 D ．无解 10．添上适当的数，使下列等式成立：⑴22x x ＋＋_____＝2(x ＋ )2 ⑵2323x x -＋2＝(x ＋____)2 －11．如果(x －y )2－2(x －y )＋1＝0，那么x 与y 的关系是．12．用配方法解下列方程：⑴x 2－2x ＝5； ⑵2244y y -=13．已知实数x ，y 满足x 2＋y 2＋4x －6y ＋13＝0，求y x 的值．综合题训练：14．试证明：不论x ，y 为何值，221x y x y -＋＋＋的值都为正数．。

2用配方法求解一元二次方程第2课时用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程

度h（m）与时间t（s）满足关系： h=15 t―5t2 小球何时能达到10m高？
课堂小结
1、怎样解二次系数不为1的一元二次方程呢？
在用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程时，通常是先让方程的各项除以二次项系数，即把这类方程转化为二次项系数为 1的方程类型
2、用配方法解一元二次方程的步骤：（1）把二次项系数化为1；
2 用配方法求解一元二次方程第2课时用配方法解二次项系数不
为1的一元二次方程
学校：________ 教师：________
☞ 回顾与思考
上节课我们学习了配方法以及用其解二次项系数为1的一元二次方程:
例如， x2-6x-40=0
移项，得
x2-6x= 40
方程两边都加上32(一次项系数一半的平方），得
即 x 2 2 7
3
9
驶向胜利的彼岸开方，得 x 2 7来自33所以
x1
2 3
7 3
x2
2 3
7 3
反馈练习巩固新知
☞ 做一做
1、解下列方程 1) 4x2-8x-3=0 3）-3x2+6x-18=0 2) 2x2+6=7x 4) -x2-2x+6=0
实际运用，你会吗？
2、一小球以15m/s的初速度竖直向上弹出，它在空中的高
（2）移项，方程的一边为二次项和一次项，另一边为常数项；（3）方程两边同时加上一次项系数一半的平方；（4）用直接开平方法求出方程的根.
3、对于实际运用的题目，我们的步骤时什么呢？列方程解应用题步骤:一审;二设;三列;四解;
五验;六答.
课本P40 习题2.4
所以
x1
3 2
10 2

3.2用配方法解一元二次方程2

3.2用配方法解一元二次方程2一学习目标：1掌握用配方法解一元二次方程的方法2能对一个二次三项式进行配方二知识回顾：1 （a＋b）2＝2 x2＋8x＋＝（x＋）23 x2－＋9＝（x－）2三自主预习：1通过来解一元二次方程的方法叫做配方法2配方法是将方程化成（x＋m）2＝n的形式，它的一边是一个，另一边是一个，当n≥0时，两边开方可求出它的解想想：利用配方法解二次项系数为1的一元二次方程的关键是什么？四导学探究：观察下面的两个一元二次方程：x2＋10x＋25＝26③x2＋10x＝1④方程③的两边有什么特点？根据这个特点，你会解这个方程吗？比较方程③与④你发现它们有哪些相同和不同？由此你得到什么启示？对于方程x2＋10x＝1，小莹的解法是：在方程x2＋10x＝1两边都加上25，得x2＋10x＋25＝1＋25即（x＋5）2＝26有平方根的意义，得x＋5＝±26所以，x1＝－5＋26，x2＝－5－26小结：配方时，方程两边都加上一次项系数的一半的平方例1解方程：x2－3x＝－2练一练：1在下面的横线上各填上一个数，使各式成为完全平方式：（1）x 2＋14x ＋；（2）x 2－20x ＋；（3）x 2＋23x ＋；（4）x 2－0.2x ＋； 2用配方法解下列方程：（1）x 2＋4x ＝－3 （2）x 2－6x ＝7（3）y 2＝3y －2 （4）t 2＋8＝6t当堂达标：1用配方法解一元二次方程x 2－4x ＝5的过程中，配方正确的是（）A （x ＋2）2＝1B （x －2）2＝1C （x ＋2）2＝9D （x －2）2＝92用配方法解方程x 2－2x －5 ＝0时，原方程应变形为（）A （x ＋1）2＝6B （x －1）2＝6C （x ＋2）2＝9D （x －2）2＝93已知方程x 2－6x ＋q ＝0可以配成（x －p ）2 ＝7的形式，那么x 2－6x ＋q ＝2 可以配方成下列的（）A （x －p ）2＝5B （x －p ）2＝9C （x －p ＋2）2＝9D （x －p ＋2）2＝54一元二次方程x 2－2x ＋1＝0的解是5用配方法解方程x 2－4x ＝5时，方程两边都加上使得方程左边配成一个完全平方式6把方程x 2＋6x ＋5＝0化成（x ＋m ）2＝k 的形式，则m ＝，k ＝ 7用配方法解方程（1） x 2＋4x －5＝0（2）（2）x2－4x＋2＝0（3）x2－6x＋1＝08对于二次三项式x2－10x＋36，小莹同学作出如下结论：无论x取什么实数，它的值都不可能等于11，你能否同意他的说法？说明你的理由9小明、小亮、小梅、小花四人共同研究代数式x2－4x＋5的值得情况，他们四人作了如下分工：小明负责找值为1时x的值，小亮负责找值为0时x的值，小梅负责找最小值，小花负责找最大值，几分钟后，各自通报探究的成果：小明认为只有当x＝2时，x2－4x＋5的为1，小亮认为找不到实数x,使x2－4x＋5的值为0小梅发现x2－4x＋5的值随x的变化而变化，因此认为没有最小值；小花发现当x取大于2的实数时，x2－4x＋5的值随x的增大而增大，因此认为没有最大值，你认为谁的说法错误？10用配方法解方程（1）(x－1)（x＋2）＝－1（2）(2－x)2－(2－x)＝1211若二次三项式x2－2（k＋1）x＋k2＋5是一个完全平方式，求k 值。

《用配方法求解一元二次方程》示范教学方案(第2课时)

第二章一元二次方程2.2 用配方法求解一元二次方程第2课时一、教学目标1．理解配方法，会用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程．2．经历探索利用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程的过程，使学生体会到转化的数学思想，培养学生运用转化的数学思想解决问题的能力．3．启发学生学会观察、分析，寻找解题的途径，提高他们分析问题、解决问题的能力．二、教学重点及难点重点：理解并掌握配方法，能够运用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程．难点：运用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程．三、教学用具多媒体课件，计算器．四、相关资源《配方法》动画，《配方法解一元二次方程》微课．五、教学过程【复习引入】1．什么是配方法？师生活动：教师出示问题，找学生代表回答．答：通过配成完全平方式的方法得到一元二次方程的根，这种解一元二次方程的方法称为配方法．2．填上适当的数，使下列等式成立：（1）x2+5x+________=(x+_______)2；（2）x2-6x+________=(x-_______)2；（3）x2-13x+________=(x-_______)2；（4）x2+bax+________=(x+_______)2．师生活动：教师出示问题，学生代表回答，教师根据学生情况实时引导．教师引导：本题实际上要将其配成完全平方式，方法是加上一次项系数一半的平方．答案：（1）254，52；（2）9，3；（3）136，16；（4）224ba，2ba.上节课我们学习了用配方法解二次项系数为1的一元二次方程，如果二次项的系数不为1，那么我们怎样解这样的一元二次方程呢？这就是我们这节课要研究的问题：怎样解二次项系数不为1的一元二次方程？设计意图：通过复习上一节课所学的内容，引入本节课所学的内容．【探究新知】例解下列方程：（1）x2-6x-40=0；（2）3x2+8x-3=0．师生活动：教师先让学生独立完成第（1）题，第（2）题教师引导学生将方程两边同除以3化为二次项系数为1的一元二次方程，然后按照上节课所学方法解方程即可，最后教师归纳．解：（1）移项，得x2-6x=40．方程两边都加上32（一次项系数一半的平方），得x2-6x+32=40+32，即(x-3)2=49．两边开平方，得x-3=±7，即x-3=7，或x-3=-7．所以x1=10，x2=-4．（2）移项，得3x2+8x=3．两边同除以3，得281 3x x+=．配方，得2228441333x x⎛⎫⎛⎫++=+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即242539x⎛⎫+=⎪⎝⎭．两边开平方，得4533x+=±，即4533x+=，或4533x+=-．所以11 3x=，x2=-3．归纳：用配方法解一元二次方程的一般步骤：（1）化——化二次项系数为1；（2）配——配方，使原方程变成（x＋m)2－n＝0的形式；（3）移——移项，使方程变为（x＋m)2＝n的形式；（4）开——如果n≥0，就可以左右两边开平方得到x＋m＝±n；（5）解——方程的解为x＝－m±n．设计意图：通过例题的讲解，使学生明白用配方法解二次项系数不是1的一元二次方程的一般步骤．此图片是动画缩略图，本资源为《配方法》知识探究，通过交互式动画的方式，运用了本资源，可以吸引学生的学习兴趣，适用于《配方法》的教学.若需使用，请插入【数学探究】配方法.【典例精析】做一做一个小球从地面以15 m/s的初速度竖直向上弹出，它在空中的高度h(m)与时间t(s)满足关系：h=15t-5t2，小球何时能达到10 m高？师生活动：教师出示问题，学生思考、讨论，教师引导：解决这个问题实际上就是解方程15t-5t2=10，即5t2-15t=-10．解：由题意可得方程15t-5t2=10．该方程可化为5t2-15t=-10．方程两边同除以5，得t2-3t=-2．配方，得222333222t t⎛⎫⎛⎫-+-=-+-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即23124t⎛⎫-=⎪⎝⎭．两边开平方，得3122t-=±，即3122t-=，或3122t-=-．所以t1=2，t2=1，这两个解均符合题意．所以在1 s时，小球达到10 m；至最高点后下落，在2 s时，其高度又为10 m．设计意图：通过实际问题的解决，让学生巩固所学知识．本图片是微课的首页截图，本微课资源针对《配方法解一元二次方程》进行讲解，并结合具体例题，提高知识的应用能力，有利于启发教师教学或学生预习或复习使用.若需使用，请插入微课【知识点解析】配方法解一元二次方程.【课堂练习】1．下列配方有错误的是（）．A ．化为B ．化为C ．化为D ．化为2．将二次三项式3x 2+8x -3配方，结果为（）． A ．2855333x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭ B ．24333x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭ C ．24253333⎛⎫+- ⎪⎝⎭ D ．(3x +4)2-19 3．用配方法解方程242203x x --=应把它先变形为（）． A ．21839x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭ B ．2203x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭ C ．21839x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭ D ．211039x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭2410x x --=2(2)5x -=2680x x ++=2(3)1x +=22760x x --=2797416x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭23420x x --=2210339x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭4．关于x 的一元二次方程的解为（）．A ．，B ．C ．D ．无解5．如果mx 2+2(3-2m )x +3m -2=0(m ≠0)的左边是一个关于x 的完全平方式，则m =_______．6．解下列方程：（1）9y 2-18y -4=0；（2）2x 2-x -1=0师生活动：教师找几名学生板演，讲解出现的问题．教师点拨：先把常数项移到方程的右边，然后再将二次项的系数化为1．7.如图，某人在C 处的船上，距离海岸线AB 为2千米．此人划船的速度为4千米/时，在岸上步行的速度为5千米/时，若此人要用1.5小时到达距A 点6千米的B 处，问此人登陆点D 应在距B 点多远？师生活动：教师出示练习，找几名学生板演，讲解出现的问题．解：设此人登陆点D 应在距B 点x 千米处．根据题意列方程，得(1.5-5x )×4=24(6)x +-．两边平方，得(6-45x )2=4+(6-x )2．整理，得291240255x x -+=，即(35x -2)2=0．解得x =103．答：此人登陆点D 应在距B 点103千米处．设计意图：让学生进一步加深对所学知识的理解．参考答案1．D ．2．C ．3．D ．4．C ．5．1或9．6．解：（1）方程两边同除以9，得24209y y --=．移项，得2429y y -=． 21(1)420m m x x ++++=11x =21x =-121x x ==121x x ==-配方，得213(1)9y -=．所以1y -=．所以11y =，21y =；（2）方程两边同除以2，得211022x x --=．移项，得21122x x -=．配方，得221192416x x ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，即219416x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭．所以1344x -=，或1344x -=-．所以x 1=1，212x =-．设计意图：通过本环节的学习，让学生巩固所学知识．六、课堂小结用配方法解一元二次方程的一般步骤是什么？答：一般步骤如下：（1）化——化二次项系数为1；（2）配——配方，使原方程变成（x ＋m )2－n ＝0的形式；（3）移——移项，使方程变为（x ＋m )2＝n 的形式；（4）开——如果n ≥0，就可以左右两边开平方得到x ＋m ＝±n ；（5）解——方程的解为x ＝－m ±n ．另外，如果是解决实际问题，还有注意判断求得的结果是否合理．师生活动：教师出示问题，引导学生归纳、总结本节课所学内容．设计意图：通过总结使学生梳理本节课所学内容，掌握本节课的核心内容．七、板书设计2.2 用配方法求解一元二次方程（2）1．用配方法解一元二次方程的一般步骤：（1）化——化二次项系数为1；（2）配——配方，使原方程变成（x ＋m )2n ＝0的形式；（3）移——移项，使方程变为（x＋m)2＝n的形式；（4）开——如果n≥0，就可以左右两边开平方得到x＋m＝±n；（5）解——方程的解为x＝－m±n．。

《用配方法求解一元二次方程》一元二次方程PPT课件(第2课时)

3
9

3
3
3
2
4
5
两边开平方，得 x
3
3
1
所以 x1 , x2 3
3
例2 如图，一块矩形土地，长是48 m，宽是24 m，现要在它
的中央划一块矩形草地(空白部分)，四周铺上花砖路，路面宽
5
都相等，草地面积占矩形土地面积的，求花砖路面的宽．
9
【方法指导】若设花砖路面宽为x m，
度h(m)与时间t(s)满足关系：h＝15t－5t2，小球何时能达
到10 m的高度？
解：根据题意得15t－5t2＝10；
方程两边都除以－5，得
t2－3t＝－2；
配方，得
t
3
3
2
2
－3t＋2 ＝－2＋2 ；

2Leabharlann 32 131

t－2 ＝；t－＝± ；
3 7
2± 2
，∴x1＝
3
7
3
7
－2
＋
，x
＝______．
2
2
2
2
一般地，如果一个一元二次方程通过配方转化成
(x+n)2=p.
①当p>0时,则 x n p
x1 n p ,
,方程的两个根为
x2 n p
②当p=0时,则(x+n)2=0,x+n=0,开平方得方程的两个根为
即(x－18)2＝196.
两边开平方，得x－18＝±14.
即x－18＝14，或x－18＝－14.
所以x1＝32(不合题意，舍去)，x2＝4.
故花砖路面的宽为4 m.
例3 试用配方法说明：不论k取何实数，多项式

一元二次方程的解法(2)(配方法)

a 2ab b a b
2 2
a 2ab b a b
2 2
因式分解的完全平方公式
2
2
完全平方式
合作交流探究新知
大胆试一试：
填上适当的数或式,使下列各等式成立. 2 观察(1)(2)看所填的 (1) x 6 x 32 =( x+ 3)2 常数与一次项系数之 2 间有什么关系? (2) x 8 x 4 2 =( x 4)2 2 (1)(2)的结论 2 (3) x 4 x 2 =( x 2 )2 适合于(3)吗? p 2 p 2 适用于(4)吗? (4) x px ( ) =( x 2 )2 2 共同点：
2
2
(3) x 3x 5 0 （4）2x2-8x+1=0
2
1 2 （5） x 2 x 1 0 2
(6)3x2-1=6x
(7)-2x2-x-1=0
B组：若a b 4a 2b 5 0
2 2
求a 的值
A组：1.用配方法求2x2-7x+2的最小值
A组：2.用配方法证明-10x2+7x-4的值恒小于0
首先要把二次项系数化为1
2.用配方法解一元二次方程的一般步骤：
（1）系数化为1 （2）移项（3）配方（4）开方（5）求解（6）定根
=
解下列方程
（1）4x2-12x-1=0
(2)2x2-4x+5=0
(3)3-7x=-2x2
1、用配方法解下列方程：
(1) x 12x 9 (2) x 4 x 3 0
2
A.(x 6) 2
C.(x 3) 2
2
（2）用配方法解下列方程时，配方有错误的是（ D） 2 2 A.x 2 x 99 0化为（x 1 ） 100

2.2用配方法求解一元二次方程(2)

第二章一元二次方程
第2节用配方法求解一元二次方程(二)
用配方法解二次项系数为1的一元二次方程的一般步骤： 1、移：移项，使方程左边为二次项和一次项，右边为常数项； 2、配：配方，方程两边都加上一次项系数一半的平方，使原方程变为（x+m）2=n的形式；
3、开：如果方程的右边是非负数，即n≥0，就可以左右两边开平方得 x m n;
3 2
57 6
,
x2
3 2
57 ; 6
3 (2)x1 2, x2 2 ;
(3)x1 1
7 2
,
x2
1
7. 2
2.解下列方程: (1)6x2 -7x+1=0; (3)4x2-3x=52;
1x1
1;
x2
1； 6
(2) x1
6 5
,
x2
3;
3x1
4;
x2
13； 4
(2)5x2-18=9x; (4)5x2 =4-2x.
另外,如果是解决实际问题,还要注意判断求得的结果是否合理.
做一做
一个小球从地面以15m/s的初速度竖直向上弹出,它
在空中的高度h(m)与时间t(s)满足关系:
h=15t-5t2 .小球何时能达到10m高?
解 : 根据题意得 :10 15t 5t 2.
即t 2 3t 2.
t2
3t
3
2
2
3
8
猴子总数是多少？
解：设总共有x只猴子,根据题意,得
(1 x)2 12 x. 8
即x2-64x+768=0.
解这个方程，得 x1=48,x2=16.
答:一共有猴子48只或16只.
4.如图,A,B,C,D是矩形的四个顶点,AB=16cm,

第02课一元二次方程的解法(二)配方法(教师版)

故选：A．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的解法---配方法，熟练掌握配方的步骤是解题的关键；配方法的一般步骤：（1）把
常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为 1；（3）等式两边同时加上一次项系数的绝对值一半的平
方．
3．用配方法解一元二次方程 2x2 - 4x - 2 = 1 的过程中，变形正确的是（）
7．将一元二次方程 x2 8x 5 0 化成 (x a)2 b （a，b 为常数）的形式，则 a，b 的值分别是（）
A． 4 ，21
B． 4 ，11
C．4，21
D． 8 ，69
【答案】A
【分析】
根据配方法步骤解题即可．
【详解】
解： x2 8x 5 0
移项得 x2 8x 5 ，
配方得 x2 8x 42 5 16 ，
D． 3x2 -4x
2
0
化为
x
2 3
2
10 9
【答案】C
【分析】
根据配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为 1；（3）等式两边同时加
上一次项系数一半的平方分别进行配方，即可求出答案．
【详解】
A、由原方程，得 x2 2x 99 0 ，
等式的两边同时加上一次项系数 2 的一半的平方 1，得 x 12 100 ；
【解析】
解：﹣8x2 + 12x-5 =﹣8（x2﹣ 3 x）﹣5 2
=﹣8[x2﹣ 3 x+（ 3 ）2]﹣5+8×（ 3 ）2
24
4
=﹣8（x﹣ 3 ）2﹣ 1 ，
4
2
∵（x﹣ 3 ）2≥0， 4
∴﹣8（x﹣ 3 ）2≤0， 4

02用配方法求解一元二次方程

(4)?2 x2+?1 x-2=0.
33
栏目索引
解析 (1)配方得(x+2)2=4,所以x+2=±2,所以x1=0,x2=-4.
(2)移项得x2-2x=2,配方得(x-1)2=3,所以x-1=±? 3 ,所以x1=? 3 +1,x2=-? 3 +1.
? (3)系数化为1得x2-?3 2
x-3=0,配方得??
2
? ??
=1+???
1 3
2
? ?
,即?? x
??
?
1 3
2
? ??
=
?10
9
,
栏目索引
直接开平方,得x+?1 =±?10 , 33
∴x+?1 =?10 或x+?1 =-?10 ,
33
33
∴x1=?? 1? 10 ,x2=??1? 10 .
3
3
点拨 x1,x2表示方程的两个实根,其下标与根的大小无关.注意当方程配
栏目索引
5.若3?x2m2 ?m y2与-x4m-2y2是同类项,则m=
.
答案 2或?1
2
解析由题意得2m2-m=4m-2,移项、合并同类项,得2m2-5m=-2,二次项系
? ? ? 数化为1,得m2-?5 2
m=-1,配方,得m2-?5
2
m+??? ?
5 4
2
? ??
=-1+??? ?
5
2
?
4 ??
x2=-? 2 +2.
? (2)
系数化为1,得x2-?1
6
x-2=0.移项,得x2-?1
6
x=2.配方,得x2-?1

课时检测：04-第二章2用配方法求解一元二次方程第2课时

第2课时用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程测试时间:25分钟一、选择题1.把方程2x2-3x-2=0配方成(x+m)2=n的形式,则m,n的值分别是( )A.m=-,n=B.m=-,n=C.m=-,n=D.m=-,n=答案 A 将方程整理得x2-x=1,配方得x2-x+=,即-=,则m=-,n=,故选A.2.用配方法解一元二次方程2x2-6x+1=0,则方程配方后可化为( )A.-=B.2-=C.-=D.2-=答案 A ∵2x2-6x+1=0,∴2x2-6x=-1,则x2-3x=-,∴x2-3x+=-+,即-=,故选A.3.(2017天津六十三中模拟)用配方法解下列方程时,配方有误的是( )A.x2-2x-99=0化为(x-1)2=100B.x2+8x+9=0化为(x+4)2=25C.2t2-7t-4=0化为-=D.3x2-4x-2=0化为-=答案 B A.∵x2-2x-99=0,∴x2-2x=99,∴x2-2x+1=99+1,∴(x-1)2=100,故A选项配方正确.B.∵x2+8x+9=0,∴x2+8x=-9,∴x2+8x+16=-9+16,∴(x+4)2=7,故B选项配方错误.C.∵2t2-7t-4=0,∴2t2-7t=4,∴t2-t=2,∴t2-t+=2+,∴-=,故C选项配方正确.D.∵3x2-4x-2=0,∴3x2-4x=2,∴x2-x=,∴x2-x+=+,∴-=.故D选项配方正确.故选B.二、填空题4.方程4x2-4x+1=0的解为.1解析∵4x2-4x+1=0,∴(2x-1)2=0,则2x-1=0,解得x1=x2=,故答案为x1=x2=.5.把一元二次方程2x2-x-1=0配方成a(x-h)2+k=0的形式(a,h,k均为常数),则h和k的值分别为.答案,-解析2x2-x-1=0,2-=0,2---=0,2--=0.∴h=,k=-.故答案是,-.6.若方程2x2+8x-32=0能配方成(x+p)2+q=0的形式,则直线y=px+q不经过的象限是.答案第二象限解析整理,得x2+4x=16,配方,得x2+4x+4=20,即(x+2)2-20=0,所以p=2,q=-20,则直线解析式为y=2x-20,此直线经过第一、三、四象限,不经过第二象限.故答案为第二象限.7.用配方法解方程2x2-4x-1=0.①方程两边同时除以2,得;②移项,得;③配方,得;④方程两边开平方,得;⑤解得x1= ,x2= .答案①x2-2x-=0 ②x2-2x=③(x-1)2=④x-1=±⑤1+;1-8.用配方法解方程2x2-3x-5=0,配方后可得方程为.2解析移项,得2x2-3x=5,把二次项系数化为1,得x2-x=,方程两边同时加上一次项系数一半的平方,得x2-x+-=+-, ∴-=.三、解答题9.用配方法解下列方程:(1)3x2-1=4x;(2)2x2-4x+1=0;(3)3x2-6x+1=0;(4)3x2-5x-2=0.解析(1)由原方程得3x2-4x=1,3-=1,3--=1,3--=1,3-=,-=,x-=±,∴x1=,x2=.(2)由原方程得x2-2x=-,34配方,得x 2-2x+1=,即(x-1)2=,直接开平方,得x-1=± ,∴x 1=1- ,x 2=1+. (3)移项,得3x 2-6x=-1,即x 2-2x=-,配方,得(x-1)2=,直接开平方,得x-1=±, ∴x 1=1- ,x 2=1+. (4)3x 2-5x-2=0, 3x 2-5x=2, x 2- x=,x2- x+ - = + - , - =, x-=±, ∴x 1=- ,x 2=2.10.如图,已知矩形ABCD 的周长为16,四个正方形的面积和为68,求矩形ABCD 的面积.解析设矩形的长AB 为x,则宽AD 为(8-x),由题意得 2x 2+2(8-x)2=68, 2x 2+2(64-16x+x 2)=68,2x2+128-32x+2x2=68,∴4x2-32x=-60,∴x2-8x=-15,∴x2-8x+16=-15+16,即(x-4)2=1,∴x-4=±1,∴x1=5,x2=3.所以矩形ABCD的长和宽分别等于5和3,所以矩形ABCD的面积是15.5。