具有交互作用的正交试验设计
交互作用的正交试验设计与数据分析报告
交互作用的正交试验设计与数据分析报告在科学研究和实际生产中，为了寻找最优的工艺条件、产品配方或者解决各种复杂的问题，常常需要进行大量的试验。
然而，如果采用全面试验的方法，试验次数会随着因素和水平的增加而急剧增加，这不仅费时费力，还可能因为试验次数过多而导致误差增大。
此时，正交试验设计就成为了一种高效、经济的试验方法。
特别是当因素之间存在交互作用时，正交试验设计能够更加准确地揭示各因素及其交互作用对试验结果的影响。
一、正交试验设计的基本原理正交试验设计是利用正交表来安排试验的一种设计方法。
正交表具有“均匀分散、整齐可比”的特性，即通过合理的选择正交表，可以使试验点在试验范围内均匀分布，并且在每一列中，不同水平出现的次数相同，任意两列之间各种水平的组合出现的次数也相同。
这样，在大大减少试验次数的同时，仍能有效地获取各因素对试验结果的影响信息。
二、交互作用的概念在多因素试验中，一个因素的水平变化会引起其他因素对试验结果的影响发生改变，这种现象就称为因素之间的交互作用。
例如，在研究温度和压力对化学反应产率的影响时，如果温度的变化会导致压力对产率的影响发生变化，那么就可以说温度和压力之间存在交互作用。
三、考虑交互作用的正交试验设计当试验中存在交互作用时，需要在正交表中安排交互作用列。
常见的正交表如 L8(2^7)、L9(3^4)等都可以用于安排有交互作用的试验。
在选择正交表时，要确保能够容纳所研究的因素及其交互作用。
以一个两因素两水平且存在交互作用的试验为例，我们可以选用L4(2^3)正交表。
假设因素 A（A1、A2）和因素 B（B1、B2）存在交互作用，将 A 因素安排在第 1 列，B 因素安排在第 2 列，交互作用A×B 安排在第 3 列。
四、试验的实施与数据采集按照正交表安排好试验后，严格按照试验条件进行操作，并准确记录每次试验的结果。
试验结果的准确性和可靠性对于后续的数据分析至关重要。
五、数据分析方法1、直观分析法直观分析法是通过对试验结果的直接观察和比较，来判断各因素及其交互作用对试验指标的影响大小。
DOE 正交实验设计
得率
90 80 70 60
(a) B2 B1 A1 A2
(b) B2 B1 A1 A2
(c) B1 B2 A1 A2
• 头 设 计 列 出 试 验 计 划 选 用 合 适 的 正 交 表 进 行 表 考 察 的 交 互 作 用 水 平 并 确 定 可 能 存 在 并 要
• 确 定 试 验 中 所 考 虑 的 因 子 与
二水平 80 3.5 1.2/1 60
还要考察因子A与B的交互作用
3.3 选表原则
①首先根据因子的水平数，找出一类正交表
②再根据因子的个数及交互作用个数确定具体的表 ③把因子放到表的列上去，但是要先放有交互作用 的两个因子，并利用交互作用表，标出交互作用 所在列，以便于今后的数据分析。 ④把放因子列中的数字改为因子的真实水平，便成 为一张试验计划表
这些试验中因子B与C的三个水平各进行了一次试验。
三组数据间的差异就反映了因子A三个水 平的差异，计算各组数据的和与平均值 • T1=y1+y2+y3=160+215+180=555, T1=T1/3=185 • T2=y4+y5+y6=168+236+190=594, T2 =T2/3=198 • T3=y7+y8+y9=157+205+140=502, T3=T3/3=167.3
——各因子对指标影响程度大小
极差的大小反映： 因子水平改变时对试验结果的影响大小。
RA=198－167.3=30.7
输出力矩
220 210 200 190 180 170 160 900
因子各水平对输出力矩的影响
RA
RB RC
1100 1300
正交试验设计及结果分析
2.1 试验方案设计 （1） 明确试验目的，确定试验指标
试验设计前必须明确试验目的，即本次试验要解决什么 问题。试验目的确定后，对试验结果如何衡量，即需要确 定出试验指标。试验指标可为定量指标，也可为定性指标。
3
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1.3.2.3 综合可比性 （1）任一列的各水平出现的次数相等； （2）任两列间所有水平组合出现次数相等，使得任一因素
各水平的试验条件相同。这就保证了在每列因素各水平的效 果中，最大限度地排除了其他因素的干扰。从而可以综合比 较该因素不同水平对试验指标的影响情况。
根据以上特性，我们用正交表安排的试验，具有均衡分 散和整齐可比的特点。
3
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在这9个水平组合中，A因素各水平下包括了B、C因素 的3个水平，虽然搭配方式不同，但B、C皆处于同等地位， 当比较A因素不同水平时，B因素不同水平的效应相互抵 消，C因素不同水平的效应也相互抵消。所以A因素3个水 平间具有综合可比性。同样，B、C因素3个水平间亦具有 综合可比性。
3
上一张 下一张 主 页 退 出
如对于上述3因素3水平试验，若不考虑交互作用，可
利用正交表L9(34)安排，试验方案仅包含9个水平组合，就
能反映试验方案包含27个水平组合的全面试验的情况，找 出最佳的生产条件。
1.2 正交试验设计的基本原理
3
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正交设计就是从选优区全面试验点（水平组合）中挑3ຫໍສະໝຸດ 上一张 下一张 主 页 退 出
1 正交试验设计的概念及原理
正交实验设计
正交实验设计正交实验设计是一种广泛应用于实验研究中的统计方法。
正交实验设计的主要目的是通过设置一组经过精心选择的实验条件，来研究多个因素对实验结果的影响。
通过使用正交设计，可以在尽可能少的试验次数内获得详尽而可靠的数据，从而节省时间和资源，提高实验效率。
正交实验设计的特点之一是能够同时考虑多个因素的影响。
在传统的单因素实验设计中，每次只能研究一个因素，无法考虑多个因素交互作用的影响。
而正交实验设计则可以同时研究多个因素，通过合理的设计，确定每个因素的水平，使得各种可能的因素组合均匀分布在试验中。
这样就能够充分考虑多个因素的影响，把握各个因素对实验结果的主要影响。
正交实验设计的另一个特点是能够充分利用样本资源。
在实际研究中，样本资源通常是有限的，无法进行大规模的试验。
而正交实验设计可以在有限的样本资源下获得最大程度的结果信息。
通过合理设置因素水平和试验组合，正交实验设计能够在尽可能少的试验次数内获得最全面的数据，从而提高实验的效率和可靠性。
正交实验设计还具有实用性和灵活性。
正交实验设计可以应用于各种不同的实验研究领域，包括工程、生物学、医学等。
不同领域的实验可以根据具体情况选择合适的因素和因素水平，并进行正交实验设计。
正交实验设计还可以根据实验需求进行调整，例如增加或减少因素的数量，调整因素之间的交互作用等。
这就使得正交实验设计具有很强的灵活性，可以应对不同的实验需求和研究目标。
在进行正交实验设计时，需要注意一些关键的步骤和要点。
首先，需要明确实验的目的和要研究的因素。
在确定因素时，要充分考虑实验的实际情况和需求，选择对实验结果有重要影响的因素进行研究。
其次，需要确定因素的水平。
在正交实验设计中，因素水平是根据实验要求和研究目标来确定的，要确保各个因素水平的合理性和可操作性。
然后，通过正交实验设计软件或表格，确定合适的试验组合。
这是正交实验设计中非常重要的一步，试验组合的设置要考虑到各个因素间的交互作用，尽量避免重复或冗余的组合。
具有交互作用的正交试验设计
氮肥、磷肥交互作用的效果＝氮肥、磷肥的总效果－ （只加氮肥的效果＋只加磷肥的效果）
相关概念
交互作用
因素间的联合搭配对试验指标产生的影响作用称为交 互作用，通常将A因素与B因素的交互作用记作： A×B，称为1级交互，通常的称在一次试验中同时与 A因素发生交互作用的因素的个数为交互级数。
如三因素四水平 43 的正交试验应安排 3(4-1)+1=10次以上的试验.
如三因素四水平 43 并包括第一、二个因素的交互
作用的正交试验至少应安排的试验次数为3(4-1)+(41)(4-1)+1=19. 又如安排43×23的混合水平的正交试验至少应安排 3(4-1)+3(2-1)+1=13次以上的试验.
312 1 B 88.25 78.00 10.25
337 328 84.25 82.00 2.25
327 338 B2 81.75 93 84.50
347 318 86.75 79.50 7.25
A1
46.5
A2
123
70 2.75
A×B>A>C>B>B×C A2 B1 C1 A2B1C1
① 用于考察交互作用的列不影响试验方案及其实施； ② 一个交互作用并不一定只占正交表的一列，而是占有（m1）p列。表头设计时，交互作用所占列数与因素的水平m有 关，与交互作用级数p有关。
2水平因素的各级交互作用均占1列；对于3水平因素， 一级交互作用占两列，二级交互作用占四列，……，可见， m和p越大，交互作用所占列数越多。
所谓混杂，就是指在正交表的同列中，安排了两个或两 个以上的因素或交互作用，这样，就无法区分同一列中这些 不同因素或交互作用对试验指标的影响效果。
正交试验设计多因素交互作用研究
正交试验设计多因素交互作用研究正交试验设计是一种常用的多因素试验设计方法，其主要用于研究多个因素对实验结果的影响以及因素之间的交互作用。
本文将介绍正交试验设计的基本概念、步骤以及其在多因素交互作用研究中的应用。
一、正交试验设计的基本概念正交试验设计，也称为正交表设计或正交数组设计，是一种通过有效地组合和安排试验因素，来获取尽可能多的信息和结论的统计设计方法。
与传统的单因素试验设计相比，正交试验设计能够在较少实验次数的情况下，获得更全面和准确的实验数据。
二、正交试验设计的步骤1. 确定试验因素：首先确定需要研究的试验因素和水平。
试验因素是影响实验结果的各个变量，而水平则是每个变量的具体取值。
2. 构建正交表：根据试验因素的数量和水平，选择适当的正交表。
正交表是一种特殊的矩阵，用于确定试验条件的组合。
3. 规划试验方案：根据正交表，确定每个试验条件的组合和重复次数。
试验条件的组合是试验因素水平的排列组合，而重复次数则是每个条件的重复实验次数。
4. 进行试验：按照试验方案进行实验，并记录实验结果。
5. 进行数据分析：使用合适的统计方法对实验数据进行分析，以获取对试验因素及其交互作用的准确评估。
6. 得出结论：根据数据分析结果，得出试验因素及其交互作用的结论，并进行解释和推断。
三、正交试验设计在多因素交互作用研究中的应用正交试验设计在多因素交互作用研究中具有广泛的应用。
通过正交试验设计，可以系统地研究多个因素之间的相互影响及其对实验结果的综合影响。
以某电子产品的设计为例，假设需要研究三个因素对电池续航时间的影响：A因素为屏幕亮度，有三个水平；B因素为手机信号强度，有三个水平；C因素为使用时间，有三个水平。
使用正交试验设计，根据3^3的正交表，可以得到27个试验条件的组合。
对每个试验条件进行一次实验，记录续航时间数据。
通过数据分析，可以得到各因素及其交互作用对电池续航时间的影响程度。
例如，可以得出屏幕亮度对续航时间的影响较大，而使用时间的影响较小。
Minitab实现有交互作用的正交实验的设计与结果分析
Minitab实现有交互作用的正交实验的设计与结果分析作者：周国燕，刘宝林，韩颖颖来源：《教育教学论坛》2017年第44期摘要：生产、实验中，经常要进行同时考察多因素以及各因素交互影响的实验研究，本文详细讲解了用Minitab软件实现有交互作用的正交实验设计和结果分析的过程，为相关实验人员、学生提供科学、高效的实验方法。
关键词：正交实验；交互作用；Minitab软件；设计；结果分析中图分类号：G642.0 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2017）44-0275-02一、绪论生产、实验中，经常要进行同时考察多因素以及各因素交互影响的实验研究，为了更好体现实验的科学性和有效性，现在国际国内应用最多的多因素实验设计方法之一是正交实验设计。
用计算机软件完成正交实验设计和结果分析是现在实验研究必须掌握的技能，Minitab软件实现有交互作用的正交实验设计和结果分析有软件设计的正交表和常用正交表一致、操作方便易掌握、结果易解读等优点。
本文对用Minitab软件实现有交互作用的正交实验设计和结果分析进行详细讲解，为相关实验人员、学生使用提供科学、高效的实验设计与分析方法。
二、正交实验设计和分析正交实验。
正交实验是用正交表来安排的实验，是多（复）因素实验的一种不完全区组设计方法，具简单易行、均衡分散、整齐可比的特点，可以用较少的处理数获得较好的结果，有效解决生产、实验中多因素、多指标、周期长的实验问题。
（一）正交实验设计总原则。
在能安排下实验因素和要考察的交互作用的前提下，尽可能选用小号正交表，以减少实验次数；为了进行结果的方差分析，所选正交表安排完所有因素及要考察的交互作用后，需要留有一列空白列，否则必须进行重复实验以考察实验误差。
选择正交表。
所选正交必须符合两个条件：正交表各列的水平数必须等于研究因素水平数；正交表自由度≥各因素及交互的自由度之和。
表头设计。
将实验因素分别安排到所选正交表的各列中去。
-正交试验设计的极差分析
第7章 正交试验设计的极差分析正交试验设计和分析方法大致分为二种：一种是极差分析法（又 称直观分析法），另一种是方差分析法（又称统计分析法）。
木章介绍 极差分析法，它简单易懂，实用性强，在工农业生产中广泛应用。
7.1单指标正交试验设计及其极差分析极差分析法简称R 法。
它包括计算和判断两个步骤，其内容如图7-1所示。
图中，为第j 列因素m 水平所对应的试验指标和，斤“为Kg 的 平均值。
由心的大小可以判断j 因素的优水平和各因素的水平组合, 即最优组合。
&为第j 列因素的极差，即第j 列因素各水平下平均指 标值的最大值与最小值之差：R,反映了第j 列因素的水平变动时，试验指标的变动幅度。
&越 大，说明该因素对试验指标的影响越大，因此也就越重要。
于是依据R 尸 max (K”, K/2,K 问) 图7- 1 R 法示意图-mmR,的大小，就可以判断因素的主次。
极差分析法的计算与判断,可直接在试验结果分析表上进行，现以例6-2来说明单指标正交试验结果的极差分析方法。
一、确定因素的优水平和最优水平组合例6-2为提高山楂原料的利用率，某研究组研究了酶法液化工艺制造山楂精汁。
拟通过正交试验寻找酶法液化工艺的最佳工艺条件。
在例6-2中，不考虑因素间的交互作用(因例6-2是四因素三水平试验，故选用Ls (34)正交表)，表头设计如表6-5所示,试验方案则示于表6-6中。
试验结果的极差分析过程，如表7-1所示.表6-4因素水平表表6-6 试验方案及结果试验指标为液化率，用y,表示，列于表6-6和表7-1的最后一列。
表7-1 试验方案及结果分析计算示例:因素A的第1水平A】所对应的试验指标之和及其平均值分别为:__ 1K A i=y i+y^+y 3=0+ 1 7 + 2 4二4 1, =—矗讦1 3. 7同理，对因素A的第2水平A 2和第3水平A3,有K A2= y 4+ y s+y6= 1 2 +47+28=87, ^7=1K A2=29K.^=y7+ys+y9= 1 +18+42 = 61, F^ = ^K A3=20. 3由表7—1或表6-6可以看出，考察因素A进行的三组试验中(A b A2, A3),B. C、D各水平都只出现了一次,且由于B、C、D间无交互作用，所以B、C、D因素的各水平的不同组合对试验指标无影响, 因此，对入、A：和乩来说，三组试验的试验条件是完全一样的。
存在交互作用的正交试验设计
酸用量、水用量、反应时间和有、无添加剂四个因素， 每个因素取二个水平，制定因素水平表。
因素水平表
根据专业知识分析，对指标的影响除因素 A、B、C、D外，尚要考察交互作用A×B， A×C，B×C，（假定因素D不存在交互作 用，否则会产生正交表的混杂，因为第2 列和第7列的交互作用也在第5列，即A×C 和B×D在同一列）所以构成一个相当于7 因素二水平的正交试验。
试验方案及试验结果统计表
对试验结果进行分析
• 对于存在交互作用的正交试验，必须首先 明确各因素（包括交互作用列）对指标的 影响顺序，因为各因素选取适宜水平时可 能会存在矛盾，所水 平组合。本例中，根据极差的大小可知因 素的显著性顺序为： A,B,A×C,D,C,A×B,B×C。由此可见， A,B,A×C是影响指标的显著性因素，应作 为选取适宜水平组合重点考察的因素。
质量管理学
1
存在交互作用的正交试验设计
• 因素与因素之间联合搭配起来对试验指标产生的作用称 为交互作用，用A×B表示因素A与因素B的交互作用。
• 因素之间存在交互作用的例子是很多的。例如，某些合 金单独加入元素A时性能变化不大，单独加入元素B时 性能变化也不大，但两种元素同时加入时，合金性能的 变化就特别显著。这就说明元素A与B联合搭配起来对 合金性能具有交互作用。
• 不管是直接比较还是通过计算，因素A,B都 应该选取1水平。下面就要考虑A×C如何搭 配。一般采用一个二元分析表确定 。
从上表的分析可知，A1C2搭配后的平均提取率最高， 是因素A、C的最好的组合。至于因素D，因为没有交 互作用，通过计算知道因素D应选取水平2。
该正交试验的适宜的因素水平组合为A1B1C2D2。
有交互作用的正交设计
有交互作用的正交设计交互作用的正交设计（Orthogonal Design of Experiments with Interaction Effects）正交设计是一种非常常见和有用的实验设计方法，用于研究变量之间的关系。
在正交设计中，每个变量都有一组不同的水平，并且每个水平都与其他变量的水平组合在一起。
通过这种方式，可以确定主效应和交互作用效应对实验结果的影响。
交互作用指的是两个或多个变量之间的关系，其组合效应不能通过各自的主效应来解释。
简而言之，当两个或多个变量同时改变时，它们的效应不仅仅是各自效应的简单相加，而是相互作用产生的新效应。
交互作用在实验设计中非常重要，因为它们可以提供有关变量之间复杂关系的信息。
例如，考虑一种新的药物治疗，它的有效性可能取决于患者的年龄和性别。
如果年龄和性别之间存在交互作用，那么只有通过考虑两者的组合效应，才能准确评估药物治疗的效果。
正交设计是一种有效的方法，可以同时考虑主效应和交互作用。
在正交设计中，变量的水平组合被设计为满足正交性的特性。
正交性表示每个变量的水平都与其他变量的水平均匹配，并且每个水平组合只考虑一次。
正交设计的一个重要特点是，它可以通过较少的实验次数来获得详尽的信息。
使用正交设计，可以选择更少的实验次数，并且仍然能够准确估计主效应和交互作用效应。
这是因为正交设计可以最大化实验因素的独立性，从而减少了实验结果的噪声和混淆。
为了说明正交设计的原则和应用，我们可以考虑一个简单的例子。
假设我们要研究两个变量A和B对一些响应变量Y的影响，并且我们认为A和B之间可能存在交互作用。
首先，在正交设计中，我们需要确定每个变量的水平数。
通常情况下，水平数应为2的幂次，例如2、4、8等。
然后，我们可以使用正交表来确定每个变量水平的组合。
正交表是一种矩阵，其中每一行表示每个变量的水平组合。
每行之间的组合是正交的，即每个变量水平的组合只出现一次。
假设我们选择了2个水平数，那么正交表可能如下所示：AB--111-1-11-1-1在这个例子中，A和B各有两个水平，正交表列出了所有可能的组合。
Minitab实现有交互作用的正交实验的设计与结果分析
Minitab实现有交互作用的正交实验的设计与结果分析一、本文概述Overview of this article正交实验设计是一种在多个因素中找出最优组合的高效实验设计方法。
通过正交表，我们可以合理安排实验，使得每个因素在每个水平下都能被充分考察，同时减少实验次数，提高实验效率。
在实际应用中，我们经常遇到有交互作用的因素，即两个或多个因素同时作用时，它们的效果会发生变化。
因此，在正交实验设计中考虑交互作用至关重要。
Orthogonal experimental design is an efficient experimental design method that finds the optimal combination among multiple factors. Through orthogonal tables, we can arrange experiments reasonably so that each factor can be fully examined at each level, while reducing the number of experiments and improving experimental efficiency. In practical applications, we often encounter interactive factors, that is, when two or more factors act simultaneously, theireffects will change. Therefore, considering interaction is crucial in orthogonal experimental design.本文将详细介绍如何在Minitab中实现有交互作用的正交实验设计，并对实验结果进行分析。
有交互作用的正交试验设计小结及思考
有交互作用的正交试验设计小结及思考一、背景介绍正交试验设计是一种常用的实验设计方法，它可以在有限的试验次数内，通过系统地变化试验因素，确定影响试验结果的关键因素，并对其进行优化。
在实际应用中，为了更好地探究因素之间的交互作用，研究人员通常会采用有交互作用的正交试验设计。
二、有交互作用的正交试验设计概述有交互作用的正交试验设计是指在正交表中设置了考虑不同因素之间相互影响的相互作用项。
这种设计方法可有效地探究不同因素之间的相互作用关系，并进一步优化试验结果。
三、有交互作用的正交试验设计步骤1. 确定研究目标和问题；2. 确定需要考虑的各个因素及其水平；3. 确定正交表类型和大小；4. 建立实验方案并进行实施；5. 分析实验数据并得出结论。
四、有交互作用的正交试验设计优点1. 可以减少实验次数，提高效率；2. 可以有效地探究不同因素之间相互影响关系；3. 可以进一步优化试验结果，提高研究效果。
五、有交互作用的正交试验设计注意事项1. 正确选择正交表类型和大小，以保证实验结果的准确性；2. 合理设置交互作用项，以探究不同因素之间的相互作用关系；3. 严格控制实验条件，以保证实验数据的可靠性。
六、有交互作用的正交试验设计应用案例某研究团队在开发一种新型材料时采用了有交互作用的正交试验设计。
他们首先确定了需要考虑的各个因素及其水平，并选择了适合自己需求的正交表类型和大小。
接着，他们建立了实验方案并进行实施，在分析实验数据后得出结论：通过优化各个因素之间的相互关系，可以显著提高新型材料的性能。
七、有交互作用的正交试验设计思考1. 在进行有交互作用的正交试验设计时，如何确定需要考虑的各个因素及其水平？2. 有哪些常见错误会影响到有交互作用的正交试验设计结果？3. 在进行有交互作用的正交试验设计时，如何合理设置交互作用项，以探究不同因素之间的相互作用关系？4. 有交互作用的正交试验设计在哪些领域有着广泛的应用？。
有交互作用的正交试验设计小结及思考
有交互作用的正交试验设计小结及思考1. 引言正交试验设计是一种用于研究多个因素对实验结果影响的统计方法。
通过正交试验设计，我们可以确定最重要的因素，并了解不同因素之间的相互作用。
本文将讨论有交互作用的正交试验设计，并总结其优点和局限性，并提出一些思考。
2. 有交互作用的正交试验设计有交互作用的正交试验设计是指在正交试验设计中考虑不同因素之间的相互作用。
通常，一个正交试验设计包括多个水平（即不同取值）的因素，而有交互作用的正交试验设计则进一步考虑了这些因素之间可能存在的相互作用。
在有交互作用的正交试验设计中，我们需要对所有可能存在的组合进行测试，以确定不同因素之间是否存在显著影响。
通过分析实验结果，我们可以确定主要影响因素、相互作用效应以及最佳组合。
3. 优点有交互作用的正交试验设计具有以下几个优点：3.1 显著性分析通过对实验结果进行显著性分析，我们可以确定不同因素之间的交互作用是否显著。
这有助于我们了解因素之间的相互作用程度，并进一步优化实验设计。
3.2 确定主要影响因素通过有交互作用的正交试验设计，我们可以确定主要影响因素。
这些主要影响因素对实验结果具有重要的影响，并且可以帮助我们更好地理解问题。
3.3 优化实验设计有交互作用的正交试验设计可以帮助我们优化实验设计。
通过分析不同因素之间的相互作用，我们可以确定最佳的组合方式，以提高实验效果和效率。
4. 局限性然而，有交互作用的正交试验设计也存在一些局限性：4.1 实验成本高由于需要对所有可能组合进行测试，有交互作用的正交试验设计通常需要更多的实验数据和时间。
这增加了实验成本和工作量。
4.2 多重比较问题在有交互作用的正交试验设计中，存在多个比较和分析。
这可能导致统计上的多重比较问题，并且需要采取适当的措施来控制错误率。
5. 思考在进行有交互作用的正交试验设计时，我们需要考虑以下几点：5.1 适当的样本容量由于有交互作用的正交试验设计需要更多的实验数据，我们需要确定适当的样本容量以获得可靠的结果。
第三章 正交试验设计(3)-有交互作用的正交设计
例3.5： 某厂一种零件镀锌前需要酸洗除锈。为提高效 率（缩短酸洗时间）采用正交试验寻求最佳酸洗 液配方。考虑交互作用A*B 、B*C、A* C。
酸洗因素水平表
因 素 水
A H2SO4 （克/升）
B CH4N2S （克/升）
C 洗剂液 （克/升）
平
1
300
12
70
2
200
4
100
L8(27)正交表的交互作用表
20.50
24.75
25.50
24.75
25.50
23.75
26.50
26.75
23.50
Rj 主次
3.25
9.25
0.75
0.75
2.75
3.25
B、B × C、A、A × C、A×B、C
试验结果直观分析
因素主次：B、B × C、A、A × C、A×B、C
A*C水平搭配表
C1 A1 (Y1+Y3)/2=25 C2 (Y2+Y4)/2=28.5
（ 如：fA＝A的水平数－1）
交互作用自由度，如fA×B＝ fA × fB
避免混杂现象
• 混杂现象：在进行表头设计时，若一列上出现两个因 子，或两个交互作用，或一个因子与一个交 互作用时，称为混杂现象，简称“混杂” 。
•表头设计的一个重要原则： 表头设计时要尽量避免混杂
现象的出现。 这是因为，当混杂现象所在列显著时，很难识别是 哪个因子（或交互作用）是显著的。
（3）不显著的因素，其水平可任选，亦可按成本较低 原则选取。
正交表的选用原则
基本原则：要考察的因素及交互作用的自由度总和不 大于正交表的总自由度。 即： f总≥ fA＋ fB＋ fC＋…＋fA × B＋fB × C＋fA × C＋…
正交试验设计(交互作用)
自由度考虑：
4因素及交互作用A×B、A×C，总自由度数＝ 4×1＋2×1＝6。而L8 (27)共有8－1＝7个自由
度，可以安排 表头设计：
把需要试验的各因素的各水平安排入正交表内 一定列，得到试验设计表的过程： （1）考虑交互作用的因素A和B，将A放第1列，B 放第2列。则由L8 (27)的交互作用表查得A×B在第 3列 （2）考虑要照顾到交互作用的因素C，将C放在第 4列，此时A×C由L8 (27)的交互作用表查得占第5 列，第6、7列为空，D可排其中任意一列，我们将 其排在第6列。则：
因
素 试验号 1
1 A
1
2 B
1
3 AB
1
4 C
1
5 AC
1
6 BC
1
产量 kg
65
2
3 4 5
1
1 1 2
1
2 2 1
1
2 2 2
2
1 2 1
2
1 2 2
2
2 1 1
73
72 75 70
6
7 8 K1
2
2 2 285
1
2 2 282
2
1 1 269
2
1 2 267
1
2 1 282
2
2 1 281
A与B间有交互作用，二元表和二元图如下：
B A
A1
A2
平均产率
70
B1
(65+74)/2=69.5 (70+73)/2=71.5 (1,2) (5,6)
69
67
B2
(71+73)/2=72 (62+67)/2=64.5 (3,4) (7,8)
化学试验设计章第节 正交设计法
这种交互作用在农业生产中最常用，如考察磷肥、氮肥复合使
用对产量的影响等。在化学化工中也有使用，用一个例子简单
说明。
10
例7：乙酰胺苯磺化反应试验。 试验目的：提高乙酰胺苯磺化的产率。 试验指标：产率。 试验要考察的因素有：反应温度、反应时间、硫酸浓度以及搅 拌方式。考察的水平如下：
因素－水平表
因素
16
二元表的做法： 对于这种4因素2水平的正交试验，从安排的正交表及试验结 果可知，涉及到A1B1的有1、2号试验A1B1C1D1和 A1B1C2D2，这两次试验结果的平均值代表A1B1；涉及到 A1B2的有3、4号试验A1B2C1D2和A1B2C2D1，两次试验结 果的平均值代表A1B2 ；其他的依次类推。那么二元表的做法 如下：
12
表头设计
表头 A
B A×B C A×C
D
设计 0g），反应时间考察2个水平（10、15min），那么如何安排这个试验？
R=k1A- k2A ＝53.
列号 1 2 3 4 这里A有使用200 ml乙醇做溶剂（水平1）和不使用乙醇（水平2）两种情况。
5
6
7
可以看出,A1B2(50℃,2小时)平均产率较高,与A2B1(70℃,1小时)产率差不多,从提高工效来看,A2B1比用A1B2好,因为时间可以减少一半.
同样在极差表中，比较k1B和k2B, 可见k1产率高（水合肼用量2
倍）。 故此我们是不是可以从趋势上合理的分析：随水合肼用量的增 加，产率提高 ？
6
因此决定在2倍用量的周围,再取1.7倍与2.3倍两个新用量继 续试验 ——这即是有苗头处着重加密原则。 另外再选定反应时间和加料速度两个因素。 最终新的因素－水平表如下：
需要说明的是：拟水平后的表对所有因素来说不具有均衡搭配 性质，但是，仍具有部分均衡搭配的性质，因此拟水平法仍保 留了正交表的优点 。
交互作用的正交试验设计与数据分析报告
表4.1.1 单因子轮换法的试验结果
A1
A2
A3
B1
50
56
62
B2
（56）
（70）
60
B3
（54）
（60）
58
交互作用
从这个例子可以看出，多因子试验问题远 比单因子试验问题复杂，它不仅要考察每个因 子的作用，还要考察因子间的交互作用。
一个因子的水平好坏或好坏的程度受另 一因子水平制约的情况，称为因子 A 与 B 的交 互作用，记为 A×B 或 AB。
•然后从交互作用表上查出这两列的交互作用列。 现查得 L8（27）的第一、二列的交互列为第三列，
则在第三列上标以 A×B。
•再将余下的因子分别放在其它的空白列上。
譬如把因子 C 与 D 放在第四、七列上，这便给出了
如下表头设计：
表头设计 A B A×B C
D
列号 1 2
3
4567
（5）列出试验计划
在表头设计中，为了避免混杂，那些主要因素， 重点要考察的因素，涉及交互作用较多的因素，应该 优先安排，次要因素，不涉及交互作用的因素后安排。
所谓混杂，就是指在正交表的同列中，安排了两个 或两个以上的因素或交互作用，这样，就无法区分同 一列中这些不同因素或交互作用对试验指标的影响效 果。
交互作用表
下面介绍交互作用表和它的用法，下表就是正交表 L8（27）所 对应的交互作用表。
若再加上包括第一、五个因素的交互作用的正交 试验则至少应安排的试验次数为 3(4-1)+3(2-1)+(4-1)(2-1)+1=16.
交互作用的处理原则
试验设计中，交互作用一律当作因素看待，这是 处理交互作用问题的总原则。作为因素，各级交互作 用都可以安排在能考察交互作用的正交表的相应列上， 它们对试验指标的影响情况都可以分析清楚，而且计 算非常简单。但交互作用又与因素不同，表现在：
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1 、交互作用
通过前面的学习我们已经知道采用正交试验设计方法可以 明显减少多因素试验的试验次数，同时也能在一定程度上得到 能够满足工程应用的试验结果。
但是，在前面的讨论中我们都是基于一个假设展开的，即在所
有被考虑的对试验结果有影响的各因素之间对试验结果的影响是相 互独立的，但是工程实践告诉我们这种情况很少出现，因此正交试
对2因素2水平的正交表，因为：fA＝fB＝ 2－1＝１，每
列只有一个自由度；而 以也占一列。 fA×B＝fA×fB ＝1×1＝1，所
对于2 因素3水平， fA＝fB＝ 3－1＝2，每列有2个自由度；
而 fA×B＝fA×fB ＝2×2＝4，由于交互作用列有4个自由度，而 每列是2个自由度，因此2个3水平因素的交互作用列占2列。
对于2因素n水平， fA＝fB＝ n－1，每列有n个自由度； 而两因素交互作用的自由度为：fA×B＝fA×fB ＝（n－1）（n－1）， 所以交互作用列要占（n－1）列。
（4）有交互作用的正交设计与分析实例
在实际研究中，有时试验因素之间存在交互作用。 对于既考察因素主效应又考察因素间交互作用的正交设 计，除表头设计和结果分析与前面介绍略有不同外，其 它基本相同。 【例】 某一种抗菌素的发酵培养基由A、B、C 三种 成分组成，各有两个水平，除考察A、B、C三个因素 的主效外，还考察A与B、B与C的交互作用。试安排一 个正交试验方案并进行结果分析。
3、交互作用的处理原则
试验设计中，交互作用一律当作因素看待，这是处理交
互作用问题的总原则。作为因素，各级交互作用都可以安排 在能考察交互作用的正交表的相应列上，它们对试验指标的 影响情况都可以分析清楚，而且计算非常简单。但交互作用 又与因素不同，表现在：
① 用于考察交互作用的列不影响试验方案及其实施； ② 一个交互作用并不一定只占正交表的一列，而是占有（m1）p列。表头设计时，交互作用所占列数与因素的水平m有 关，与交互作用级数p有关。
2水平因素的各级交互作用均占1列；对于3水平因素， 一级交互作用占两列，二级交互作用占四列，……，可见， m和p越大，交互作用所占列数越多。
例如，对一个25因素试验，表头设计时，如果考 虑所有各级交互作用，那么连同因素本身，总计应占 列数为： C51 + C52 +C53 +C54 +C55 ＝5+10+10+5+1＝31，
相关概念
交互作用
因素间的联合搭配对试验指标产生的影响作用称为交 互作用，通常将A因素与B因素的交互作用记作： A×B，称为1级交互，通常的称在一次试验中同时与 A因素发生交互作用的因素的个数为交互级数。
相关概念
自由度
样本中能独立变化的数据数目。只要有n-1个数确定， 第n个值就确定了，它不能自由变化。所以自由度就是
6
7 8
2
2 2
1
2 2
2
1 1
2
1 2
1
2 1
2
2 1
1
1 2
124
79 61
K1 K2 k1 k2 极差R 主次顺序 优水平 优组合
279 386 69.75 96.50 26.75
339 326 84.75 81.50 3.25
233 432 58.25 108.00 49.75
二元表 353
如果将A因素放在第1列 ，B 因素 放在第 2列，查
表可知，第1列与第2列的交互作用列是第3列 ，于是
将 A与B 的交互作用 A×B放在第3列。这样第3列不
能再安排其它因素 ，以免出现“混杂”。然后将C放
在第4列， 查表 可知，B×C应放在第6列，余下列为
空列 ，如此可得表头设计。
② 列出试验方案 根据表头设计，将A、B、C各列对应的数字“1”、“2”换成各因素的具体水平，
① 选用正交表，作表头设计 由于本试验有3个两水 平的因素和两个交互作用需要考察，各项自由度之和 为： 3×(2-1)+2×(2-1)×(2-1)=5 ， 因 此可 选 用 L8(27) 来安排试验方案。 正交表L8(27)中有基本列和交互列之分，基本列就 是各因素所占的列，交互列则为两因素交互作用所占 的列。可利用L8(27)二列间交互作用列表来安排各因素 和交互作用。
dfT≥ fA+fB+fC+…+ fAxB+ fBxC +fAxC+…
自由度的两条规定： （1）正交表的总自由度f总 ＝试验次数－1；正交表每 列的自由度f列＝此列水平数－1 （2）因素A的自由度fA ＝因素A的水平数－1； 因素A、B间交互作用的自由度fAxB ＝ fA×fB
如三因素四水平 43 的正交试验应安排 3(4-1)+1=10次以上的试验.
验设计过程中考虑各因素的相互作用将显得十分必要，首先让我们
来看个有关交互作用的例子：
例1 有4块试验田，土质情况基本一样，种植同样的作物。
现将氮肥、磷肥采用不同的方式分别加在4块地里，收获后算 出平均亩产，如下表所记。
氮肥、磷肥交互作用的效果＝氮肥、磷肥的总效果－ （只加氮肥的效果＋只加磷肥的效果）
那么此试验必选L32（24）正交表进行设计。一般对 于多因素试验，在满足试验要求的条件下，有选择地、 合理地考察某些交互作用。
综合考虑试验目的、专业知识、以往的经验及 现有试验条件等多方面情况进行交互作用选择。一 般原则是：
① 忽略高级交互作用 ② 有选择地考察一级交互作用。通常只考察那些 作用效果较明显的，或试验要求必须考察的。 ③ 试验允许的条件下，试验因素尽量取2水平。
3 (2)
2 1 (3)
5 6 7 (4)
4 7 6 1 (5)
7 4 5 2 3 (6)
6 5 4 3 2 1 (7)
例如，第4列与第7列 的交互作用在第3列
第5列与第6列的 交互作用在第3列
正交表自由度的确定：
（1）每列的自由度 f列＝水平数－1 （2）两因素交互作用的自由度 fA×B＝fA×fB （两因素自由度的乘积）
4、有交互作用的试验表头设计
表头设计时，各因素及其交互作用不能任意安排，必须 严格按交互作用列表进行安排。这是有交互作用正交试验设计 的一个重要特点，也是关键的一步。 在表头设计中，为了避免混杂，那些主要因素，重点要 考察的因素，涉及交互作用较多的因素，应该优先安排，次 要因素，不涉及交互作用的因素后安排。
n-1。自由度表示的是一组数据可以自由变化的数量的
多少。
通俗点说，一个班上有50个人，我们知道他们语文成绩平均分为 80，现在只需要知道49个人的成绩就能推断出剩下那个人的成绩。 你可以随便报出49个人的成绩，但是最后一个人的你不能瞎说， 因为平均分已经固定下来了，自由度少一个了。
2、关于自由度和正交表的选用原则 选正交表必须遵循的原则： 正交表各列的水平数必须等于研究因素的水平数 要考察的因素及交互作用的自由度综合必须不大于所 选用正交表的总自由度
所谓混杂，就是指在正交表的同列中，安排了两个或两 个以上的因素或交互作用，这样，就无法区分同一列中这些 不同因素或交互作用对试验指标的影响效果。
4.1 交互作用表
下面介绍交互作用表和它的用法，下表就是正交表 L8（27）所 对应的交互作用表。
列号 列号（ ）
1
2
3
4
5
6
7
(1)
例如，从左向 右看，第3列 与第5列的交 互作用在第6 列
如三因素四水平 43 并包括第一、二个因素的交互
作用的正交试验至少应安排的试验次数为3(4-1)+(41)(4-1)+1=19. 又如安排43×23的混合水平的正交试验至少应安排 3(4-1)+3(2-1)+1=13次以上的试验.
若再加上包括第一、五个因素的交互作用的正交试
验则至少应安排的试验次数为 3(4-1)+3(2-1)+(4-1)(2-1)+1=16.
312 1 B 88.25 78.00 10.25
337 328 84.25 82.00 2.25
327 338 B2 81.75 93 84.50
347 318 86.75 79.50 7.25
A1
46.5
A2
123Βιβλιοθήκη 70 2.75A×B>A>C>B>B×C A2 B1 C1 A2B1C1
得出试验方案列于表。
③ 结果分析 按表所列的试验方案进行试验，
其结果分析与前面并无本质区别，只是：应把
互作当成因素处理进行分析； 应根据互作效应，
选择优化组合。
极差分析结果
试验号 1 2
A 1
B 1
A×B 1
C 1
空列 1
B×C 1
空列 1
试验结果 55 38 97 89 122
1 1 1 2 2 2 2 因素主次顺序为A×B>A>C>B>B×C，表 3 1 2 2 1 1 2 2 4 明A×B交互作用、 A因素影响最大，因素C影 1 2 2 2 2 1 1 5 2 1 2 1 2 1 2 响次之，因素B影响最小。优组合为A2B1C1。