不定积分第一类换元法
不定积分之第一换元法
◆第一换元法
f x dx g x x dx
令u x
◆第二换元法
凑微分
g u du
u ( x )
d ( x )
f x dx
注：x
令x u
f u u du
1 2x 4x 3 ln C 2 3 3
2
4 x2 3
辅助三角形
1 2 ln 2 x 4 x 3 C1 2
1 C1 C ln 3 2
例4 解 原式
dx 求不定积分 2 2 ( x 1) 2 则 dx sec udu 令 x tan u,
u 1 ( x )
u 单调、可导，且 u 0
一般地：第二类换元法主要是利用三角关系式
sin x cos x 1, 1 tan x sec x
2 2 2 2
化根式
再积分。 对于
a x ,
2 2
x a ,
2 2
x a
2
2
为三角函数的有理式，
a x ,
求不定积分
x
2
ln xdx
udv uv vdu
原式
1 3 ln xdx 3
1 3 3 ( x ln x x dx) 3 x 1 3 2 ( x ln x x dx) 3 1 3 1 3 ( x ln x x ) C 3 3
幂函数 对数函数dx v u 1
例9
求不定积分
sin ln x dx
udv uv vdu
解
原式
1 x sin ln x x cos ln x dx x
08-不定积分的第一类换元法课件
2 cos 2x d x ．
u ( x )
cos x d x sin x C
解 2cos 2x d x cos 2x(2x)d x
cosu d u
sin u |u2x C
u2 x
sin 2x C ．
例
求积分
1 3 2x
d
x
．
f
[ ( x )] ( x) d x f (u) d u
例如
3
1 2x
d
x
1 2
1 3 2x
d(3
2x)
1 2
ln
|
3
2x
|
C
．
凑微分法
例 求积分 2x ex22 d x ． 解 2x ex2 d x ex2 d(x2 )
ex2 C ．
例 求积分 x 1 x2 d x ．
解
x 1 x2 d x
1
(1
x
2
)
1 2
d(1 x2 )
1 x2 1 x2
所以
2 1 x2 ，
2 1 x2 d x x 1 x2 arcsin x C ．
定理 设函数 f (x) 有原函数 F(x)，且 u (x)可导，
则
f [(x)](x) d x F[(x)] C f (u) d u ． u ( x )
f (u)d u F(u) C
例
求积分
x2
1
a2
d
x
(a
0)
．
解
因为
1 x2 a2
1 1 2a x a
x
1
a
，
所以
x2
1
a2
d
x
不定积分换元法市公开课一等奖市赛课金奖课件
例9. 求 解法1
解法2
两法成果一样
例10.求 解法1
解法 2
一样可证 或
例11.求 解: 原式 =
例12 .求 解:
例13 .求 例14 .求
二、第二类换元法 第一类换元法处理旳问题
难求
易求
若所求积分
难求, 易求,
则得第二类换元积分法 .
定理2 .设
是单调可导函数 , 且
具有原函数
则有换元公式
证: 令 则
例15.求
解: 令
则
∴ 原式
例16.求
解: 令
则
∴ 原式
例17.求
解: 令
则
∴ 原式
例18.求
解: 令
则
原式
例19.求
解: 令
得
原式
例20.求
解: 令
得
原式
例21.求 解: 原式
例22.求 解:
例23.求 解: 原式 =
例24.求 解: 原式
例24.求 解法二:
例7.求 解法二:
例9. 求 解法3
第二节
换元积分法
一、第一类换元法 二、第二类换元法
第四章
一、第一类换元法 定理1.
即 (也称配元法 , 凑微分法)
则有
例1.求
解: 令
则
故
原式 =ห้องสมุดไป่ตู้
注: 当
时
例2.求
解:
令
则
想到公式
例3. 求 解:
想到
例4.求 解:
类似
例5.求 解: 原式
例6. 求 解: 原式 =
例7.求 解: 原式 =
第5章2不定积分换元积分(1)
例10 求 sin3 x dx.
解 sin3 x dx sin2 x sin x dx (1 cos2 x)d cos x
1 cos3 x cos x C 3
说明 当被积函数是三角函数相乘并有奇次幂 时，拆开奇次项去凑微分.
例11 求 sin2 x cos5 xdx.
积分： f [(x)](x)dx F[(x)d[(x)] dF[(x)
第一类换元法可表述为：
换元 ( x )u
积分
f [( x)]( x)dx f (u)duF(u) C
u ( x )还原
F[( x)] C
4
换元积分法
一、第一类换元法
例2 求 2xex2dx .
例3 求 x 1 - x2dx .
19
(1)
5
(1 3x)2 dx
2
(1
7
3x)2
C
21
(3)
1
x x
2
dx
1 ln(1 x2 ) C 2
(5) (ln x)2 dx 1x
(7)
ex x2
dx
1 ln( x)3 C 3
1
ex C
(9) dv 1 2v C 1 2v
(11)
x
2x 2
x
1
3
dx
ln x 2 x 3 C
解
tanxdx
sin cos
x x
dx
1 d cos x cos x
= - ln |cosx| + C
tanxdx = - ln |cosx| + C = ln |secx| + C
同理 cotxdx = ln |sinx| + C = - ln |cscx| + C
不定积分的第一类换元法
不定积分的第一类换元法
不定积分的第一类换元法是指在求解一个积分的过程中，先用某种函数对积分中的某一部分进行代换，将积分化为另一个可简化的形式，最终得到答案。
这种方法的关键是选择一个合适的换元函数，使得积分变得简单易求。
具体步骤为：设原积分式为f(x)，则先取
u=g(x)作为代换函数，即将f(x)中的一部分用u表示，使得f(x)变成g(x)的一个复合函数。
然后对f(x)求导，得到f'(x)，再用链式法则把f'(x)变成g'(x)和u的一个复合。
将f(x)用u和g'(x)表示后，将其代回原积分式，得到一化简后的积分。
最后，对该积分求解即可得到原积分的解析式。
课件：2 第一换元积分法(1)
1du u
1 ln u C 2
1 ln 3 2x C.
2
1
(1)
f (ax b)dx a
d(ax b)
例3 计算
x(1
1 2ln
x
dx. )
解
x(1
1 2
ln
dx x)
1
1 2ln
d x
(ln
x)
1 2
1
1 2ln
d x
(1
2ln
x)
u 1 2 ln x
1 2
1 du u
1 2
1 [ln x a ln x a ] C 2a
1 ln x a C. 2a x a
例8 计算
1
1 e
x
dx.
解
1
1 e
x dx
1
ex 1
e ex
x
dx
1
1
e
x
e
x
dx
ex
dx 1 e xdx
dx
1
1 e
x
d
(1
e
x
)
x ln(1 e x ) C.
(11) f (ex ) exdx f (ex )dex
dx
1 sin2
x
dx
cos sin2
x x
dx
1 sin2
x
dx
1 sin2
x
d (sin
x)
cot x 1 C. sin x
例12 计算 sin2 x cos5 xdx.
解 sin2 x cos5 xdx sin 2 x cos4 xd (sin x )
sin2 x (1 sin2 x)2d(sin x)
第3-1不定积分的第一类换元积分法
sin
3
xdx sin x sin xdx (1 cos x)d cos x
2 2
1 3 cos x cos x C 3
sec 6 xdx . 例10.求
解: 原式 = (tan 2 x 1) 2 d tan x d x sec 2
(tan 4 x 2 tan 2 x 1) dtan x
2
x a
2
2
ln |
x2 a2 x a | C1
t a
(C C1 ln a)
x
公式15：
ln x x a C (a 0)
2 2
例17. 求
解:
1 x2 2x 2
dx .
原式
1 ( x 1) 1
2 2
d (x 1)
(由公式2)
1 ln a x ln a x 2a
1 ax C ln C 2a a x
例7. 求
dln x 1 d(1 2 ln x) 解: 原式 = 1 2 ln x 2 1 2 ln x
dx . 例8. 求 x 1 e 解法1 (1 e x ) e x d(1 e x ) dx dx x x 1 e 1 e x ln(1 e x ) C
2 3 1 5 tan x tan x tan x C 3 5
例12. 求 sin 4 x cos 3xdx
1 解: 利用公式 sin cos [sin( ) sin( )] 2 1 原式= (sin 7 x sin x)dx 2 1 1 cos 7 x cos x C 14 2
不定积分方法总结
A(a cos x b sin x) B(a cos' x b sin' x) 来做。 a cos x b sin x
sin x cos x 或 cos x sin x
。再用待定系数
简单无理函数的积分
一般用第二类换元法中的那些变换形式。
1 5 2 3 t t t c 5 3 1 (8 4 x 2 3 x 4 ) 1 x 2 c 15
例4
求
1 dx x ( x 7 2)
解：令 x 1 dx 1 dt 2
t t
1 t 1 x( x7 2) dx 1 7 ( t 2 )dt ( ) 2 t
1 arctan( x 2 ) c 2
例5
求
1 1 e x dx
1 ex ex ex 1 e x dx (1 1 e x )dx 1 dx d (1 e x ) x ln(1 e x ) c x 1 e
解法一：
1 1 e x dx
2 a （ 1 sin 2 t） a costdt
a
2
cos2 tdt
1 cos 2t a2 a dt 2 2
a2 1dt 2
cos 2tdt
a2 a2 1 t ( sin 2t ) c 2 2 2
sin t cost
x a a2 x2 a x a2 x2 a2
f ( x)dx [ f [ g (t )]g ' (t )dt]
t g 1 ( x )
例1
不定积分的换元积分法4.2
f [j ( t )] j ( t )dt
．
最后将t =j1(x)代入f [j(t)]j(t) 的原函数中．
第二类换元法用于求特殊类型的不定积分．
例 21 例18
求
a
2
x
2
d x (a > 0 )．
x
2
a t
a x
2 2
解
设 x a sin t ，
a x
a
2
< t<
2 2
ln | x
x a
2
2
| C
．
三、积分公式小结
(1 ) kdx kx C ,
( 2 ) x dx
m
(k是常数)，
x
m 1
1
m 1
C,
(m 1)，
(3)
(4)
(5 )
1 x
dx ln | x | C ,
1 dx arctan x C ,
例 23 例21
求
dx x
2
x
2
(a > 0 )．
a
解 那么
当 x> a 时 ， 设 x a se c t (0 < t<
x a
2 2
2
t
)，
sec
2
a
t 1
a sec
2
2
ta
2
a
a tan t ， 于是
dx x a
2 2
2
a sec t tan t a tan t
2
1 3
sin
3
不定积分第一类换元法
不定积分第一类换元法（凑微分法）一、 方法简介设)(x f 具有原函数)(u F ，即)()('u f u F =，C u F du u f +=⎰)()(，如果U 是中间变量，)(x u ϕ=，且设)(x ϕ可微，那么根据复合函数微分法，有dx x x f x dF )(')]([)]([ϕϕϕ=从而根据不定积分的定义得)(])([)]([)(')]([x u du u f C x F dx x x f ϕϕϕϕ=⎰⎰=+=.则有定理：设)(u f 具有原函数，)(x u ϕ=可导，则有换元公式)(])([)(')]([x u du u f dx x x f ϕϕϕ=⎰⎰=由此定理可见，虽然⎰dx x x f )(')]([ϕϕ是一个整体的记号，但如用导数记号dxdy 中的dx 及dy 可看作微分，被积表达式中的dx 也可当做变量x 的微分来对待，从而微分等式du dx x =)('ϕ可以方便地应用到被积表达式中。
几大类常见的凑微分形式：○1⎰⎰++=+)()(1)(b ax d b ax f a dx b ax f )0(≠a ； ○2⎰⎰=x d x f xdx x f sin )(sin cos )(sin ，⎰⎰-=xd x f xdx x f cos )(cos sin )(cos ，⎰⎰=x d x f x dx x f tan )(tan cos )(tan 2，x d x f xdxx f cot )(cot sin )(cot 2⎰⎰-=； ○3⎰⎰=x d x f dx xx f ln )(ln 1)(ln ，⎰⎰=x x x x de e f dx e e f )()(； ○4n n n n x d x f ndx x x f ⎰⎰=-)(1)(1)0(≠n ，⎰⎰-=)1()1()1(2xd x f x dx x f ，⎰⎰=)()(2)(x d x f xdx x f ；○5⎰⎰=-x d x f xdx x f arcsin )(arcsin 1)(arcsin 2；⎰⎰=+x d x f xdxx f arctan )(arctan 1)(arctan 2； ○6复杂因式【不定积分的第一类换元法】 已知()()f u du F u C =+⎰求()(())'()(())()g x dx f x x dx f x d x ϕϕϕϕ==⎰⎰⎰ 【凑微分】()()f u du F u C ==+⎰ 【做变换，令()u x ϕ=，再积分】(())F x C ϕ=+ 【变量还原，()u x ϕ=】【求不定积分()g x dx ⎰的第一换元法的具体步骤如下：】（1）变换被积函数的积分形式：()(())'()dx g x f x x dx ϕϕ=⎰⎰（2）凑微分：()(())((')))(()x g x dx d x dx f x f x ϕϕϕϕ==⎰⎰⎰（3）作变量代换()u x ϕ=得：()(())'()()()()g x dx f x x x x dx f d ϕϕϕϕ==⎰⎰⎰()u f u d =⎰（4）利用基本积分公式()()f u du F u C =+⎰求出原函数：()(())'()(())()g x dx f x x dx f x d x ϕϕϕϕ==⎰⎰⎰()()d u u C f u F ==+⎰（5）将()u x ϕ=代入上面的结果，回到原来的积分变量x 得：()(())'()(())()g x dx f x x dx f x d x ϕϕϕϕ==⎰⎰⎰()()f u du F u C ==+⎰(())F x C ϕ=+【注】熟悉上述步骤后，也可以不引入中间变量()u x ϕ=，省略(3)(4)步骤，这与复合函数的求导法则类似。
不定积分的换元法
一般的说，若积分 f (x)dx不易计算可以作适当的
变量代换 x (t) ，把原积分化为 f ((t))'(t) dt 的形
式而可能使其容易积分.当然在求出原函数后， 还要
将 t 1(x) 代回.还原成x的函数，这就是第二换元
积分法计算不定积分的基本思想.
应用第二类换元法求不定积分的步骤为
f
( x) d
x
x
换元
(t)
f
(t)
'(t ) d
t
g(t)d t
F(t)
C
还原
(t)
x
F
1(t) C
第二类积分换元法 分为两种基本类型根 三式 角代 代换 换
例6 求
x dx. 1 x
解 令 1 x t，得x 1t2，得dx 2tdt，所以有
x 1
x
dx
1t
t
2
2tdt
2 (1 t2)dt
ln
x a
x
2 a
a
2
C
.
x2 a2
x
t a
练习：P109 1（12）
小结：二类换元积分法的思想与步骤
作业：P109 1（1）、（4）、（10）
C
1 3
(
x2
3
4)2
C.
x2
4dx
1 2
udu
练习：P109 1（2）、（5）、（15）
二、 第二类换元法
第一类换元法是通过变量替换 u ( x)
将积分
f [( x)]( x)dx化为积分 f (u)du
下面介绍的第二类换元法是通过变量替
换 x (t) 将积分
f ( x)dx化为积分 f [(t)](t)dt
求不定积分的几种基本方法
(7) sec2 xdx d tan x; (8) csc2 xdx d cot x;
(9)
1 dx d arcsin x;
1 x2
(10)
1 1 x2
dx
d
arctan
x.
二、 第二类换元法
第一类换元法是通过变量代换 u (x) ，将积分
f ((x))(x)dx 化为积分 f (u)du ．第二类换元法是通 过变量代换 x (t) ，将积分 f (x)dx 化为积分 f ((t))(t)dt. 在求出后一个积分后,再以 x (t) 的
设函数 u u(x) 及 v v(x) 具有连续导数．那么，
(uv) uv uv, 移项，得 uv (uv) uv.
目录 上一页 下一页 退 出
对这个等式两边求不定积分，得
uvdx uv uvdx.
（5-4）
公式（5-4）称为分部积分公式. 如果积分 uvdx
不易求,而积分 uvdx 比较容易时,分部积分公式就可用了.
作代换 x asin t 或 x acost ；含有 x2 a2 时，可作
代换 x a tant；含有 x2 a2 时，可作代换 x asect.
利用第二类换元法求不定积分时，还经常用到倒代换
即 x 1 等．
例19
求
t dx
x
. x2 1
解
令
x
1 t
,则
1 dx dt,
t2
因此
x2 1
x
在本节的例题中，有几个积分结果是以后经常会遇到
的．所以它们通常也被当作公式使用．这样,常用的积分
公式，除了基本积分表中的以外，再添加下面几个(其中 常数a＞0).
(14) tan xdx ln cos x C
求不定积分的方法及技巧小汇总（1）
求不定积分的方法及技巧小汇总~1.利用基本公式。
（这就不多说了~）2.第一类换元法。
（凑微分）设f(μ)具有原函数F(μ)。
则C x F x d x f dx x x f +==⋅⎰⎰)]([)()]([)(')]([ϕϕϕϕϕ其中)(x ϕ可微。
用凑微分法求解不定积分时，首先要认真观察被积函数，寻找导数项内容，同时为下一步积分做准备。
当实在看不清楚被积函数特点时，不妨从被积函数中拿出部分算式求导、尝试，或许从中可以得到某种启迪。
如例1、例2： 例1：⎰+-+dx x x xx )1(ln )1ln(【解】)1(1111)'ln )1(ln(+-=-+=-+x x x x x x C x x x x d x x dx x x x x +-+-=-+-+-=+-+⎰⎰2)ln )1(ln(21)ln )1(ln()ln )1(ln()1(ln )1ln(例2：⎰+dx x x x 2)ln (ln 1【解】x x x ln 1)'ln (+=C x x x x x dx dx x x x +-==++⎰⎰ln 1)ln (ln )1(ln 1223.第二类换元法：设)(t x ϕ=是单调、可导的函数，并且)(')]([.0)('t t f t ϕϕϕ又设≠具有原函数，则有换元公式⎰⎰=dt t t f dx f )(')]([x)(ϕϕ第二类换元法主要是针对多种形式的无理根式。
常见的变换形式需要熟记会用。
主要有以下几种：achtx t a x t a x a x asht x t a x t a x a x ta x t a x x a ===-===+==-；；：；；：；：csc sec )3(cot tan )2(cos sin )1(222222也奏效。
，有时倒代换当被积函数含有：：tx c bx ax x t dcx bax d cx b ax tb ax b ax m n nnn 1)6()5()4(2=++⋅=++++=++4.分部积分法.公式：⎰⎰-=νμμννμd d分部积分法采用迂回的技巧，规避难点，挑容易积分的部分先做，最终完成不定积分。
求不定积分的几种基本方法
x
dx x2
1
1 dt arcsin t C arcsin 1 C.
1 t2
x
综合起来，得
x
dx arcsin 1 C.
x2 1
x
在本节的例题中，有几个积分结果是以后经常会遇到
的．所以它们通常也被当作公式使用．这样,常用的积分 公式，除了基本积分表中的以外，再添加下面几个(其中 常数a＞0).
1 2x
dx 3
1 2
1 2x
3
(2x
3)dx
1 2
1 2x
3
d(2x
3)
1 2
1du u
1 ln u C 1 ln 2x 3 C.
2
2
，
一般地，对于积分
f (ax b)dx 总可以作变量代换
u ax b，把它化为
f
(ax
b)dx
3
1
(x2
3
1) 2
C.
3
例5 求
xex2 dx.
解 令 u x2,则 du 2xdx ,有
xex2 dx 1 ex2 (2x)dx 1 eudu
2
2
，
1 eu C 1 ex2 C.
2
2
凑微分与换元的目的是为了便于利用基本积分公式．在
解 为使被积函数有理化．利用三角公式
令 x a sin t,t ( , ), 则它是
22
sin2 t cos2 t 1
不定积分 换元法
(也称配元法 , 凑微分法)
例1. 求 解: 令 u a x b , 则 d u adx , 故 原式 = u
m
1 a
du
1
a m 1
1
u
m 1
C
注: 当
时
例2. 求
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
想到公式
1 a
2
解:
1 ( x)2
a
dx
1 u2
arctan u C
dx
du
令u
2
2
2
dx
2
(x 2
2
a )
2
2
1 2
d( x a )
2
3 2
a
2
(x
2
a )
d( x a )
2
2
例12 . 求
1 cos 2 x 2 解: cos x (cos x) ( ) 2 2 1 (1 2 cos 2 x cos 2 x) 4
4 2 2
1
x a
, 则 du 1 a
1 a
a 1 u2
du
arctan u C
例3. 求
解:
a
dx
x 2 1 (a)
x d (a) x 1 (a) 2
想到
du 1 u
2
arcsin u C
f [ ( x)] ( x)dx
f ( ( x))d ( x)
3
例9. 求 解法1
1 ex .
dx
(1 e ) e 1 e
换元积分法公式
换元积分法公式
换元积分法是求解不定积分的一种重要方法，其基本思想是通过变量代换将原函数中的变量替换为一个新的变量，从而将原不定积分转化为一个更容易求解的形式。
常用的换元积分法有三种：第一类换元法，第二类换元法以及特殊换元法。
下面将分别介绍这三种换元积分法的公式。
第一类换元积分法的公式如下：
若对于函数f(x)，存在一个可导函数g(x)，满足f(x) = h(g(x))g'(x)，其中h(t)为可导函数，则有∫f(x)dx = ∫h(g(x))g'(x)dx = H(g(x)) + C，其中C为常数，H(t)为h(t)的一个原函数。
第二类换元积分法的公式如下：
若对于函数f(x)，存在一个可导函数g(x)，满足f(x)中至少含有一个因式为g(x)，则有∫f(x)dx = ∫f(g(t))g'(t)dt，其中x = g(t)。
特殊换元积分法的公式如下：
常用的特殊换元积分法包括三角换元法、指数换元法、倒代换法、万能代换法等。
以上是换元积分法的三种常用公式。
在实际应用中，需要根据具体问题的不同选择不同的换元积分法，以求出较为简单的积分形式。
同时，需要注意选取合适的换元变量，并保证换元变量的可导性和可逆性，避免引入新的难以求解的形式。
20-不定积分的第一类换元积分法
例6
求
1 ln x (x ln x)2
dx.
解
1 ln x
(x ln x)2 dx
(x
1 ln
x)2
d(xlnx)
u x ln x,
du (1 ln x)dx.
1 C. x ln x
9
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铃
f [j(x)]j(x)dx f [j(x)]dj(x), u j(x) ?
通过凑微分确定 u
例7
ln x x
dx
ln x d(ln x)
1 ln 2 x C. 2
例8
x
1 x4 dx
1
2
1
1 (x2 )2
d(x2 )
1 arctan(x2 ) C. 2
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1 dx d(ln x) x
xdx 1 d(x2 ) 2
x2, d(1 x2) 2 xdx.
原式 x
u ( 1 )du 2x
dx 1 du, 2x
1212
1
u u2
d12 duu11uu23 33
23CC11(1(1xx2)223) 33
3
2CC
du
1
u
3 2
3
C
1
(1
x2
)
3 2
4
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一、第一类换元法
定理1(换元积分公式)
设 F 是 f 的一个原函数, u=j(x)可导, 则有
高等数学 第六章 积分法 6-2 不定积分的换元积分法(2)
第二节 不定积分的换元积分法
一、第一类换元积分法（凑积分法） 第一类换元积分法（凑积分法） 二 、第二类换元积分法 基本积分表（ 三 、基本积分表（Ⅱ）
二、第二类换元法
1. 引例
∫
1− x2 d x = ?
解 作变量代换： 作变量代换： 令 x = sint ( t < π ) 则 d x = cos t dt, ，
为去根式
解 令 x = asint , t ∈(− , ), 则 dx = acos t dt 2 2 x 2 2 2 2 2 = acos t sint = a − x = a − a sin t a 2 1+ cos 2t 2 2 I = ∫ acos t ⋅ acos t dt a ∫ dt ∫ cos t d = a x 2 t 2 t sin2t ) +C =a ( + 2 4 a2 − x2 x a2 − x2 sin2t = 2sint cos t = 2 ⋅ ⋅ a2 − x2 a a cos t = 2 x 1 a a = arcsin + x a2 − x2 + C. a 2 2
令 t = 1+ x2, 则 x2 = t 2 −1, xd x = t dt,
∫
(t2 −1)2 dx = ∫ t dt = ∫ (t4 − 2t2 + 1)dt t 1+ x2
x5
1 15 23 = t − t + t + C= (8− 4x2 + 3x4 ) 1+ x2 + C. 15 5 3
中 其 t = ψ−1( x)是x = ψ(t)的 函 . 反 数 端 分 得 后 其 右 积 求 之 ， 中t须 反 数 =ψ −1( x)回 . 用 函 t 代
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不定积分第一类换元法（凑微分法）一、 方法简介设)(x f 具有原函数)(u F ，即)()('u f u F =，C u F du u f +=⎰)()(，如果U 是中间变量，)(x u ϕ=，且设)(x ϕ可微，那么根据复合函数微分法，有dx x x f x dF )(')]([)]([ϕϕϕ=从而根据不定积分的定义得)(])([)]([)(')]([x u du u f C x F dx x x f ϕϕϕϕ=⎰⎰=+=.则有定理：设)(u f 具有原函数，)(x u ϕ=可导，则有换元公式)(])([)(')]([x u du u f dx x x f ϕϕϕ=⎰⎰=由此定理可见，虽然⎰dx x x f )(')]([ϕϕ是一个整体的记号，但如用导数记号dxdy 中的dx 及dy 可看作微分，被积表达式中的dx 也可当做变量x 的微分来对待，从而微分等式du dx x =)('ϕ可以方便地应用到被积表达式中。
几大类常见的凑微分形式：○1⎰⎰++=+)()(1)(b ax d b ax f adx b ax f )0(≠a ； ○2⎰⎰=x d x f xdx x f sin )(sin cos )(sin ，⎰⎰-=x d x f xdx x f cos )(cos sin )(cos ，⎰⎰=x d x f x dx x f tan )(tan cos )(tan 2，x d x f xdxx f cot )(cot sin )(cot 2⎰⎰-=； ○3⎰⎰=x d x f dx xx f ln )(ln 1)(ln ，⎰⎰=x x x x de e f dx e e f )()(；○4nn n n x d x f n dx x x f ⎰⎰=-)(1)(1)0(≠n ，⎰⎰-=)1()1()1(2x d x f x dx x f ，⎰⎰=)()(2)(x d x f xdx x f ； ○5⎰⎰=-x d x f xdx x f arcsin )(arcsin 1)(arcsin 2；⎰⎰=+x d x f x dxx f arctan )(arctan 1)(arctan 2； ○6复杂因式【不定积分的第一类换元法】 已知()()f u du F u C =+⎰求()(())'()(())()g x dx f x x dx f x d x ϕϕϕϕ==⎰⎰⎰ 【凑微分】()()f u du F u C ==+⎰ 【做变换，令()u x ϕ=，再积分】(())F x C ϕ=+ 【变量还原，()u x ϕ=】【求不定积分()g x dx ⎰的第一换元法的具体步骤如下：】 （1）变换被积函数的积分形式：()(())'()dx g x f x x dx ϕϕ=⎰⎰（2）凑微分：()(())((')))(()x g x dx d x dx f x f x ϕϕϕϕ==⎰⎰⎰ （3）作变量代换()u x ϕ=得：()(())'()()()()g x dx f x x x x dx f d ϕϕϕϕ==⎰⎰⎰()u f u d =⎰（4）利用基本积分公式()()f u du F u C =+⎰求出原函数：()(())'()(())()g x dx f x x dx f x d x ϕϕϕϕ==⎰⎰⎰()()d u u C f u F ==+⎰（5）将()u x ϕ=代入上面的结果，回到原来的积分变量x 得：()(())'()(())()g x dx f x x dx f x d x ϕϕϕϕ==⎰⎰⎰()()f u du F u C ==+⎰(())F x C ϕ=+【注】熟悉上述步骤后，也可以不引入中间变量()u x ϕ=，省略(3)(4)步骤，这与复合函数的求导法则类似。
二、典型例题○1⎰⎰++=+)()(1)(b ax d b ax f a dx b ax f )0(≠a ； 例1.⎰-dx x 2010)12( 例2. ⎰+231x x [1]例3.⎰+++322)1(1x x xdx [1]例4.dx x x x ⎰-+431[1]1．解：令12-=x u ,dx du 2=,C x C u dx x +-⋅=+⋅=-⎰2011)12(21201121)12(2011201120102．解：令2x t =， =+⎰231x x ⎰⎰+-+=+t dtt t tdt 1)11(21121⎰⎰++-++=)1(1121)1(121t d t t d tC t t ++⋅-+⋅=1221)1(322123C x x ++-+=22321)1(31 3．解：=+++⎰322)1(1x x xdx ⎰++++32222)1()1()1(21x x x d令t x =+21原式⎰⎰⎰++=+⋅=+=tt d t t dt tt dt 1)1(1212123 C x C t +++=++=2112124．解：=-+⎰dx xx x 431⎰⎰-+-dx xx dx xx 44311⎰⎰-+---=42441211)1(41x dx xx dC x x ++-⨯⨯-=24arcsin 211241C x x +--=)1(arcsin 2142○2⎰⎰=x d x f xdx x f sin )(sin cos )(sin ，⎰⎰-=x d x f xdx x f cos )(cos sin )(cos ，⎰⎰=x d x f x dx x f tan )(tan cos )(tan 2，x d x f xdxx f cot )(cot sin )(cot 2⎰⎰-=； 例1.dx x ⎰tan [2] 例2. ⎰dx xx2sin [2]例3.dx x x x ⎰+++2sin 1cos sin 1[1] 例4.⎰xx dx 4cos sin [1]例5.⎰xx dx 3cos sin [1] 例6.⎰+dx x x x x 44cos sin cos sin [1]例7.设b a ,为常数，且0≠a ，计算dx xb x a x I ⎰+=2222cos sin tan [1]1.解：设x u cos =，xdx du sin -=，xdx du sin =-=⎰dx x tan =⎰dx x x cos sin ⎰+-=+-=-C x C u u du)ln(cos )ln(2．解：=⎰dx xx2sin ⎰⎰+-=xdx x x x xd cot cot )(cotC x x x ++-=sin ln cot3．解：=+++⎰dx x x x 2sin 1cos sin 1⎰⎰⎰++--+-x x d x x d x dx 222sin 21)(sin cos 2)(cos cos 2 ⎰+-+--=)arctan(sin cos 2cos 2ln 221)1sec 2(cos 22x xxx x dx⎰+++-+-=xxd x xx 2tan 21tan )arctan(sin cos 2cos 2ln221Cx x xx +++-+-=)tan 2arctan(21)arctan(sin cos 2cos 2ln2214.解：=⎰xx dx4cos sin dx x x x x dx x x dx x x x x ⎰⎰⎰++=+2224422cos sin cos sin cos sin cos sin cos sin ⎰⎰⎰+--=x dxx x d x x d sin cos cos cos cos 24 C x x x x +-++=cot csc ln cos 1cos 3135.解：=⎰x x dx3cos sin ⎰⎰+=x d x x x x x x dx tan cos tan cos sin cos tan 2224 =+=⎰x d x x tan tan tan 12C x x ++tan ln tan 212 6.解：令x u 2=，再令u v cos =，有du uu udx x x x dx xx x x ⎰⎰⎰+=+=+222244sin 21cos sin 412sin 212cos 2sin 21cos sin cos sin ⎰⎰+-=-+-=222121cos 2121cos cos 41vdvuu u d =+-=C v arctan 21C x +-)2arctan(cos 217．解：⎰⎰+=+=2222222tan tan tan )tan (cos tan b x a xxd dx b x a x x I C b x a a b x a b x a d a++=++-=⎰)tan ln(21tan )tan (2122222222222○3⎰⎰=x d x f dx x x f ln )(ln 1)(ln ，⎰⎰=x x x xde e f dx e e f )()(；例1.⎰+)ln 21(x x dx [3]例2.dx e x ⎰5[2]例3.⎰+dx e e xx 43[2]例4.⎰-x x dx 2ln 1[2]例5.⎰++dx e e x x 22)1(1[1]例6.dx xxx x ⎰-⋅4932[1]例7.⎰-dx e xe x x 2[1]例8.⎰dx xx x sin cos tan ln [2]1.解：=+⎰)ln 21(x x dx ⎰+xxd ln 21lnC x x x d ++=++=⎰ln 21ln 21ln 21)ln 21(212.解 ：令x u 5=，dx du 5==⎰dx e x 5C e C e du e xu u +=+=⎰5515151 3.解：令x e u 43+=，dx e du x 4=，=+⎰dx e e x x 43C u du u +=⎰ln 41141 C e x ++=)43ln(414.解：令x u ln =，dx xdu 1==-⎰xx dx 2ln 1⎰+=-C u du uarcsin 112C x +=)arcsin(ln5.解：=++⎰dx e ex x22)1(1=+-+⎰dx e e e x x x 22222)1(2)1(dx e ex x x ⎰+-222)1(2=++-=⎰222)1()1(4x x e e d x C ex x +++2146.解：=-⋅⎰dx x x xx4932⎰⎰-=-1])21[(])23[(23ln 11)23()23(22x x x x d dx C x x ++--=1)23(1)23(ln )2ln 3(ln 21C xx xx ++--=2323ln )2ln 3(ln 21 7.解：=-⎰dx e xe x x 2⎰⎰-=--)2(22)2(x x x e xd e e xd⎰---=dx e e x x x 2222 令22t e x =-,22t e x +=,)2ln(2t x +=,dt t tdx 222+=原式=+--=⎰dt t t te x x222222dt t t e x x⎰+-+--22222422⎰+---=dt t e x x )221(4222C t t e x x +⋅+--=2arctan218422C e e e x x xx+-+---=22arctan 2424228.解：=⎰dx x x x sin cos tan ln =⎰x d xxtan tan tan ln ⎰)tan (ln tan ln x xdC x +=2)tan (ln 2○4n n n nx d x f ndx x x f ⎰⎰=-)(1)(1)0(≠n ，⎰⎰-=)1()1()1(2xd x f x dx x f ，⎰⎰=)()(2)(x d x f xdx x f ；例1.dx xe x⎰3[2]例2.dx x x ⎰+231[4]例3.⎰-+dx xx x 11[4]例4.⎰+-+)ln ln (b x a x x dx[1]例53222)1(1dx x x x -⎰[1] 例6.⎰-)(x a x dx )0(>a [1]例7⎰-dx xx 1arcsin [1]1.解：xdxx d 21==⎰dx xe x3==⎰⎰)3(32233x d e x d e x x C e x+3322.解：=+⎰dx x x 231)1()111(21121222222x d x x dx x x ++-+=+⎰⎰C x x ++-+=22321)1(313.解：=-+⎰dx xx x 11⎰⎰⎰-+-=-+2222111)1(xdx x xxdx dx xx x对于右端第一个积分，凑微分得 =---=-⎰⎰-)1()1(122122x d x dx x x C x +--21第二个积分中，用代换t x sin = =-⎰dx xx 221dt ttdt t t ⎰⎰-=2cos 1cos cos sin 22 =+-=C t t 2sin 412C x x x +--2121arcsin 21 原式C x x x +-+-=21)2(21arcsin 214.解：=+-+⎰)ln ln (b x a x x dx⎰-+++dx b a x bx a x )(ln ln⎰⎰++-+++-=)(ln ln 1)(ln ln 1b x d b x ba a x d a xb a C b x a x b a ++++-=])(ln )[(ln )(3223235.解：=-⎰3222)1(1dx x x x ⎰⎰--=--)11()11()1()11(3232x d x x d x C +-=35)511(536.解：⎰=-)(x a x dx C axx a x d +=-⎰arcsin2)(227.解：=-⎰dx xx 1arcsin ⎰--)1(arcsin 2x d x⎰--+--=x d xx x x 112arcsin 12C x x x ++--=2arcsin 12○5⎰⎰=-x d x f xdx x f arcsin )(arcsin 1)(arcsin 2⎰⎰=+x d x f x dxx f arctan )(arctan 1)(arctan 2； 例1.dx x x ⎰-2arccos 2110[3]例2. ⎰+dx x x x )1(arctan [4]例3.⎰++dx x x x )1(arctan 1[1] 例4.⎰-324)(arcsin 1x x xdx [1]例5.dx x x x x ⎰-+⋅22211arcsin [1]1.解：=-⎰dx xx 2arccos 2110C x d xx+-=-⎰10ln 210arccos 10arccos 2arccos 22.解：=+⎰dx x x x )1(arctan ⎰⎰=+)(arctan arctan 21arctan 2x d x x d x xC x +=2)(arctan3.解：⎰=++dx x x x )1(arctan 1⎰++dx x x x ])(1[arctan 12⎰++=)1(arctan arctan 12x d xC x ++=23)arctan 1(344．解：=-⎰324)(arcsin 1x x xdx⎰⎰=-3224322)(arcsin arcsin 211)(arcsin 21x x d x x dx C x +-=-22)(arcsin 415．解： ⎰⎰+==-C x x xd dx x x 22)(arcsin 21)(arcsin arcsin 1arcsin 令t x sin =， ⎰⎰⎰=-=-tdttt t d x x dx 22222sin sin 1sin sin 1 C xx C t +--=+-=21cot⎰⎰⎰+--=--=-∴x dxx x x x x xd dx x x x )1(arcsin )1(arcsin 1arcsin 2222C x x xx ++--=ln arcsin 12⎰⎰-+-=-+⋅∴dx xx xx x dx x x x x )1arcsin 1arcsin (11arcsin 222222 C x x xx x arc ++--=ln arcsin 1sin 2122○6复杂因式 例1.⎰++dx x x 1142[4]例2.dx x x ⎰+211arctan[1]例3.⎰-+⋅-dx x x x11ln 112[1]例4.dx x x x ⎰+++221)1ln([1] 例5.⎰+dx x x sin cos 1[1] 例6.⎰++dx xx e x )cos 1sin 1([1]1.解：⎰⎰⎰+--=++=++2)1()1(11111222242x x x x d dx xx x dx x x C xx C x x +-=+-=21arctan 2121arctan2122.解：2211)'1()1(11)'1(arctan x x xx+-=+=Θ ⎰⎰+-=-=+∴C x x d x dx x x 22)1(arctan 21)1(arctan )1(arctan 11arctan3.解：212)'11(ln x x x -=-+Θ C x x x x d x x dx x x x +-+=-+-+=-+⋅-∴⎰⎰22)11(ln 41)11(ln 11ln 2111ln 114.解：⎰+++=+C x x x dx )1ln(122⎰⎰++++=+++∴))1(ln()1ln(1)1ln(2222x x d x x dx xx x C x x +++=232)]1[ln(325.解：⎰⎰⎰==+2sin222cos 2sin 22cos2sin cos 1x dx dx x x xdx x x ⎰+==C x x x d 4tan ln 24tan )4(tan 2 6.解：dx xx x e dx x x e x x⎰⎰--+=++2cos 1)cos 1)(sin 1()cos 1sin 1( ⎰⎰⎰⎰-+-=xdx e dx x e dx x x e dx x e xx x x cot sin sin cos sin 22 ⎰⎰⎰⎰-+---=xdx e dx xe x d e x d e x xxxcot sin )sin 1()cot ( C xe x e xx++-=sin cot1．在下列各式等号右端的空白处填入适当的系数，使等式成立： (1) d x = d(ax +b )(a ≠0)； (2) d x = d(7x -3)； (3) x d x = d(52x )； (4) x d x = d(1-2x )；(5) 3x d x = d(34x -2); (6) 2e xd x = d(2e x)； (7) 2ex -d x = d(1+2ex -); (8)d xx = d(5ln ｜x ｜); 21x - = d(1-arcsin x 21x -= d 21x -(11)2d 19x x += d(arctan 3x ); (12) 2d 12xx += d(2x );(13) (32x -2)d x = d(2x -3x )； (14) cos （23x -1）d x = d sin （23x -1）．1 求2cos 2x ⎰d x .2 求1d 25x x +⎰.3 求tan ⎰x d x ．4 求x ⎰21x -x ．5 求221a x +⎰d x ．6 求22a x-d x (a ＞0)．7 求3sin ⎰x d x ．8 求2sin ⎰x d x ．例9 求221a x -⎰d x (a 为常数，a ≠0)．例10 求sec x ⎰d x ．例11 求cos3x ⎰cos 2x d x ． 例12 求3xxx ．例13 求53tan sec x x ⎰d x２.求下列不定积分：(1) 5e d t t ⎰; (2) 3(32)x -⎰d x ;(3)d 12xx -⎰; (4) 323x-⎰(5)d tt t; (6) d ln ln ln x x x x ⎰; (7) 102tan sec d x x x ⎰; (8) 2e d x x x -⎰;(9)d sin cos x x x ⎰; (10) 22tan 11x x ++⎰(11)d e e x xx-+⎰; (12) 223x x -⎰; (13) 343d 1x x x -⎰; (14) 3sin d cos x x x ⎰;1、解 被积函数中，cos 2x 是cos u 与u =2x 的复合函数，常数因子2恰好是中间变量u =2x 的导数，因此作变量代换u =2x ,便有2cos 2x ⎰d x =cos 2x ⎰·２d x =cos 2x ⎰·（２x )′d x ＝cos ⎰u d u ＝sin u +C ． 再以u =2x 代入，即得2⎰cos 2x d x =sin 2x +C .2、解125x +可看成1u与u =2x +5的复合函数，被积函数中虽没有u ′=2这个因子，但我们可以凑出这个因子：125x +=12·125x +·２=12·125x +·(2x +5)′，从而令u =2x +5,便有125x +⎰ d x =12⎰·125x + (2x +5)d x ＝12125x +⎰d(2x +5)＝121u ⎰d u=12ln u +C ＝12ln 25x + +C ． 一般地，对于积分f ⎰ (ax +b )d x ，总可以作变量代换u =ax +b ，把它化为()d f ax b x +⎰＝1a ⎰f (ax +b )d(ax +b )＝12()()u x f u du ϕ=⎡⎤⎣⎦⎰． 3、解 tan ⎰x d x =sin cos x x ⎰d x ＝1cos x -⎰ (cos x )′d x ＝1cos x -⎰d(cos x ) cos u x =令-1u⎰d u =-ln u +C =-ln cos x +C ． 类似地可得cot ⎰x d x =ln sin x +C ．4、解 x ⎰ 21x - d x =-12221(1)'x x --d x ＝-12122(1)x -⎰d(1-2x ）21u x =-令-1212u ⎰d u =3213u -+C =-13 322(1)x -+C ．在对变量代换比较熟练以后，就不一定写出中间变量u ，只需做到“心中有数”即可． 5、解221a x +⎰d x =21a ⎰·211()x a +d x =1a 211()x a+⎰d （x a ）=1a arctan x a +C ． 6、解22a x-d x =21()x a a-2d()1()x a xa-⎰=arcsin x a +C ． 7、解 3sin ⎰x d x ＝2(1cos )x -⎰sin x d x =-2(1cos )x -⎰d(cos x )=- d ⎰ (cos x )+ 2cos ⎰x d(cos x )=-cos x +133cos x +C ． 8、解 2sin ⎰x d x =1cos 22x-⎰ d x =1d 2⎰ x -1cos 24x ⎰ d(2x )= 12 x -14 sin 2x +C ．类似地可得2cos ⎰ x d x ＝12x +14sin 2x +C ． 9、解221a x -⎰d x =1()()a x a x +-⎰d x =111()d 2x a a x a x ++-⎰=1()()2d a x d a x a a x a x +-⎡⎤-⎢⎥+-⎣⎦⎰⎰ =1ln ln 2a x a x a⎡+--⎤⎣⎦ +C =1ln 2a x a a x +- +C ． 10、解 sec x ⎰d x =1cos x ⎰d x =2cos cos x x ⎰d x =211sin x -⎰d(sin x )=11sin ln 21sin x x +-＋C （由例8)= 211sin ln()2cos x x+＋C =ln sec tan x x +＋C ．类似地可得csc x ⎰d x =ln csc cot x x -＋C ．11、解 利用三角函数的积化和差公式有cos3x ⎰cos 2x d x =12⎰ (cos x +cos 5x )d x =12cos x ⎰d x +110cos5x ⎰d(5x ) =12sin x +110sin 5x +C ． 12、解3xex⎰d x =233(3)x e d x ⎰＝233xe +C ． 13、解 53tan sec x x ⎰d x =42tan sec x x ⎰sec x tan x d x =222(sec 1)sec d(sec )x x x -⎰=642(sec 2sec sec )dsec x x x x -+⎰=753121sec sec sec 753x x x -++C ．。