第二章 高斯光束

2
1/ 4
2
(
R
l

l
2
)

结论：1．高斯光束的发散角随传播距离的增大而非线性增大
2．在束腰处，发散角为0o在无穷远，发散角最大，其远
场发散角为: 3．通常将 0 Z W02 区域定义为光束准直区 4．W0越大，则远场发散角愈小。因此为了减小光束的远
场发散角，可采用光学变换的方法，使其束腰增大。
1
1
e（或强度的 e2）时的r值为高斯光束的半径。
二、高斯光束通过—孔径光栏时，能量的讨论
由基尔霍夫公式；在光束传播方向上任一点z处的电矢量
振幅为：
E

A0 W (z)
exp

r2 W 2(z)

而其光强ρ∝E2
计算高斯光束通过某一孔径的能量，即计算高斯光束通过 某一半径为ρ的光孔时，高斯能量包的体积。
即，当限制孔径为计算出的高斯光斑半径2.5倍时其通过的能
量为全部能量的99.999%。
例：若激光输出的单脉冲能量为5mw，脉宽=5ns则瞬时功率 为1×106瓦（兆瓦），当ρ=W（z）时损失能量为1×106×（10.864%）=1630瓦。
* 结论： 激光束通过透镜变换时，为保证充分利用能量，则 其透镜半径一般取该理论计算光斑的2~2.5倍。此结论在弱信 号检测中尤为重要，在光盘系统中，孔径还与焦深、光斑的大 小有关。
y, z)

A0
exp[ ikz]，
有相似的形式，故可将该小球面内光矢量近似看成平面波（太阳
光）：
即在该平面内光强相等，位相相等，同样也不适用激光的特点。那 么激光究竟是一种什么光呢？
图2-2
三、基模高斯球面波（变心球面波）矢量
沿Z轴方向传播的高斯光束（激光束），不管是由何种稳
定腔产生的，均可用基尔霍夫公式表示为：
1 A0 e W0

1 E(0,0,0) e
结论：
1．在z=0处，与x，y有关的位相部分消失，即该处的平面为 一等相面（与平面波波阵面一致）。
2．振幅部分为一指数函数（高斯函数） 高斯光束的由来。
3．在光束横截面内，光斑无明显边缘，通常定义的光斑大
小是：电矢量幅度在光斑半径r方向减小到中心（r=0）振幅的
图2-1
1．在光束截面上（即与光传播方向垂直的x, y平面上）的光 强是相等的；
2．在传播方向的任一点（即Z方向）光强度相等（不考虑空 气损耗）；
3．距离Z相等，则其位相相等，即等相面为垂直于传播方向 的平面。
但由激光产生的原理可知：激光束是由光于在谐振腔内进 行多次反射后所形成的。因此在腔镜边缘必产生衍射损耗，故 在光束截面上，边缘部分的光强必将比中心部分较弱，故激光 束不是均匀平面波。
三、Z=∝时的波阵面半径：
lin
z
R(z)

linz1 z

W02 z
2



上式表明：离束腰为无穷远处的等相面为平面，且曲率中
心在束腰处。
可以想象：既然高斯光束传播时，在z=0处和z=∝处，R（z） 的值均为∝（平面），则在中间某位置必存在一最小R（z）
2z W0
2W04 Z 22
1 2
2

W0

讨论：
1
2W04
z2
2
1．当Z=0时，θ=0（即在束腰处，发散角为0平面波）
2．当 Z W02（等于共焦参数）时


2
（2 12）
2W0 2W0
3．当 Z=∝时：
W0
等效于
0


四、R（z）min：
令 F W02（共焦参数） 或称端利长度（Rayleigh）
则

R(z)

z1

W02 z
2


z
1

F z
2



z

F2 z
（2 9）
令
dR(z) dz
1
F2 z2

0 ，得：Z=±F
0.224 2 0.2244 10002 (0.6328103 )2
0.6 103 rad 0.6mrad
§2-3 高斯光束的特征参数
一、用W0和距束腰的位置Z表征高斯光束
若已知高斯光束的束腰W0及传播方向上一点到束腰的距 离Z，可以根据以下公式求出光束传播（自由空间）方向任
从
W
(
z)

W0

1

z W02
2

1/ 2

可以看出，在Z=0处，光斑尺寸最小，
其值为W0。随着Z增大，则W（z）非线性增大，所以，高斯光
束是发散的，现在讨论其特性。
定义：光束的半发散角为传输距离（Z）变化时，光斑半径
的变化率
即


dW (z) dz
例：已知一氦氖激光器，腔长L=250mm，R1=500mm，R2=∝ 求 ① 其远场发散角及准直区范围，②离束腰1000mm处之发散 角。
解：此腔型为平凹稳定腔，则其束腰在平面镜处，
（1）
W0

2 2
(
R
l

l
2
1 )
/
4


(0.6328103 )2

2
(500

250
（2 4） （2 5）
（二）膜参数W0： 以上公式中，涉及一个很重要的参数W0（束腰半径）→膜参数 对稳定球面腔：
通用公式：
W04



2
l(R1
l)(R2 l)(R1 R2 (R1 R2 2l)2
l)
图2-3
特例：若对平凹稳定腔（氪氖激光器多采用），令R1=R，R2=∝
其光强为：
P

kE2

k WA(0z)
exp

r2
2

W
2
(
z
)



k
A02 W 2(z)
exp

2r2
W
2
(
z
)

在通孔半径为ρ的光强P（ρ）
p()

k
A02 W 2(z)

o
expW
2r 2 2 (z)


2r.dr
图-2-5
E(x,
y,
z)

A0 W (z)
exp

(x2 W
y2)
2 (z)

exp ik(z


x2 y2 2R(z)
)


(
z)

（2 3）
其中，A0—原点（Z=0）处的中心光振幅，k为波数（n=1）
（一）光束参数：W（z），R（z）：
在进行光学设计时（激光光学系统），应已知两个光束的 特征参数。
2r.dr

1 exp

22
W
2
(
z
)

（2 8）
当ρ（通光孔径）=W（z），1.5W（z），2W（z），2.5W
（z），3W（z），∝时，N（ρ）值如下表：
ρ
W（z） 1.5W（z） 2W（z） 2.5W（z） ∝
N（ρ） 0.864
0.988
0.997
0.99999 1
第二章 高斯光束
§2-1 基模高斯光束
一、均匀平面波
如图2-1示，沿Z轴方向传播的均匀平面波，其电矢量为：
E(x, y, z) A0 exp[ ikz]
（2 1）
其中： K 2n 为波数，n为介质折射率（在空气中n≈1）
A0— 振幅
均匀平面波的特点：因为振幅A0与（x, y, z）均无关（即为常 数），且位相仅与Z有关：
代入上式
W0

2 2
(
R
l

l
2
1/ )
4

（2 6）
即，已知激光器腔参数R、l可求得膜参数W0
例，设λ=0.6328×10-3mm，R=500 mm，l=250 mm，
则
W0

(0.6328103 )2

2
(500

250

2502
1 )
/
4


0.224mm
图2-7
例：求W0=0.5mm的氖氪激光器输的光束的最小曲率Rmin和其所
在位置Z（λ=0.6328×10-3mm）
Rm in

2W02

2 0.52
0.6328 103
2482 .3mm
波阵面所在位置为 z 2482.3 1241mm
2
图2-8
（六）远场发散角
二、均匀球面波
考查由原点（x=y=z=0）向自由空间辐射的球面波矢量为：
E(x, y, z)
A0
exp[ ik(x 2 y 2 z 2 )1/ 2 ]
(x2 y 2 z 2 )1/ 2
A0 exp[ ikr] r
（2 2）
其中：r=（x2+y2+z2）1/2为点光源到光矢量传播方向上任一点P
即，任一点处的光斑大小和该点的波阵面半径：
（1）在Z点处的光斑半径：
W
(z)

W0

1


z W02
2
1/
2
特点：光斑半径非线性可变。
（2）在Z
点处的波阵面半径：
R(z)
z

1


W02 z
2


特点：波阵面半径非线性可变。
图2-9
亦可用公式 0.6328103 0.9mrad W0 0.224
准直区 F W02 0.224 2 249 .1mm
0.6328 10 3
（2） (1000)

2 W0

Z
2W04 Z 22

(0.6328103 )2 1000
在 r = ∝时，高斯光束的全部光强P（∝）
P()

kБайду номын сангаас
A02 W 2(z)
o
expW
2r 2 2 (z)


2r.dr
设
p
k
N(P) P() o
P() k
o
expW
2r 2 2 (z)

2r.dr
expW
2r 2 2 (z)

2502
1 )
/
4

0.224mm（注意：此处定义的光斑半径是振幅为中心 1 振幅的 e 处）。




2
1/ 4
2
(
R
l

l
2
)


(0.6328103 )2 1/ 4

2
(500

250

2502
)


9 104 rad
0.9 103 rad 0.9mrad
此点，波阵面半径最小，具有两对称点（相对束腰）互为其波
面球心。
图2-6
（五）小结： 高斯光束在自由空间传播时，R（z）随传播距离Z变化 的规律： 1．在Z=0（即束腰处），R（z）=∝，即波阵面为平面波 2．在Z>0时，R（z）由∝逐渐变小 3．在Z=F时，R（z）有极小值：。 4．在Z>F时，R（z）逐渐变大。 5．Z→∝时，R（z）→∝，变为平面波。
E(x,
y,0)

A0 W0
r2
exp
W02


exp
ik(0

0)

i
0

A0 W0
r2
exp
W02

图2-4
推导：令r=0，则E（0，0，0）= A0
W0
令r=W0，则E（x0，y0，0）=
A0 W0

exp

W02 W02


规律。
§2-2 高斯光束的特性
一、在束腰处（即Z=0处）
1．波阵面半径R（z）
zl即in0 RR(（z)z）zli=n0Rz0=1∝ ，W（z02z=20处 zl，in0Rz0→ ∝W）022在 1zz=0处，波阵面
为平面波。
2．初位相 (z)
(z) arctg z 0 W02
，即初位相为零
3．光斑半径：
Lin W (o)
z0
W0

1

z W02
2
1/ 2

W0
即：光斑半径等于束腰半径
4．横截面光强分布：
在束腰处（即z=0）基尔霍夫公式变为：
（x,y,z）的距离——球面半径。
均匀球面波的特点：
1．振幅相等的面（即等幅面）为：半经相等的球面
2．位相相等的面（即等相面）为：半经相等的球面
3．光矢量沿传播方向的光强与传播距离r成反比。
作为
特例：当z>>x,y，即相距点光源很远的很小球面内，r≈Z
则
E(x,
y, z)

A0 z
exp[ikz]，与平面波矢量 E(x,
* 基模发散角（远场发散角）——半角
0

2
1/ 4


2
(
R
l

l
2
)


对平凹稳定腔而言
基膜发散角亦可表示为θ0=F（W0）（以后再讲）
（2-7）
结论：已知腔参数（R，l）可求光束的膜参数WO，已知膜参数
WO，可求光束参数W（z），R（z）。
下面，讨论光束参数W（z），R（z）在Z=0到Z=∝间的变化
即在Z=±F时，存在R（Z）的极小值，其极小值为：
R(z) min

z

F2 z
z z

F时 F时
R(z) min 2F （2 10） R(z) min 2F
即 R(z) min 2F 2F 2W02 ，共焦参数的由来可由图2-6解释：

共焦参数的物理意义：高斯光束传播过程中的两特殊点，在