第二章 高斯光束
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高斯光束
高斯光束高斯光束在光学中，高斯光束（Gaussian beam）是横向电场以及辐射照度分布近似满足高斯函数的电磁波光束。
许多激光都近似满足高斯光束的条件，在这种情况里，激光在光谐振腔（optical resonator）里以TEM00波模传播。
当它在镜片发生衍射，高斯光束会变换成另一种高斯光束，这时若干参数会发生变化。
这解释了高斯光束是激光光学里一种方便、广泛应用的原因。
描述高斯光束的数学函数是亥姆霍兹方程的一个近轴近似（Paraxial approximation）解（属于小角近似（Small-angle approximation）的一种）。
这个解具有高斯函数的形式，表示电磁场的复振幅。
电磁波的传播包括电场和磁场两部分。
研究其中任一个场，就可以描述波在传播时的性质。
高斯光束的瞬时辐射照度示意图纳米激光器产生的激光场强（蓝色）和辐射照度（黑色）在坐标轴上的分布情况共焦腔基模高斯光束腰斑半径数学形式高斯光束作为电磁波，其电场的振幅为：这里为场点距离光轴中心的径向距离为光轴上光波最狭窄位置束腰的位置坐标为虚数单位（即）为波数（以弧度每米为单位）,为电磁场振幅降到轴向的1/e、强度降到轴向的1/e2的点的半径为激光的束腰宽度为光波波前的曲率半径为轴对称光波的Gouy相位，对高斯光束的相位也有影响对应的辐射照度时域平均值为这里为光波束腰处的辐射照度。
常数为光波传播介质的波阻抗（Wave impedance）在真空中，。
波束参数高斯光束的许多性质由一系列波束参数决定，下面将分别予以介绍。
束宽对于在自由空间传播的高斯光束，其腰斑（spot size）位置的半径在光轴方向总大于一个最小值，这个最小值被称为束腰。
波长为的光波的腰斑位置在轴上的分布为这里将定义为束腰的位置。
被称为瑞利距离（Rayleigh length）。
瑞利距离和共焦参数与束腰轴向距离等于瑞利距离处的束宽为这两点之间的距离称作是共焦参数（confocal parameter）或光束的焦深（depth of focus）。
laser第二章_6
2 2 2
λl 2 1 1 l 1 πw 1 πw l >> F1 + 2 0 = 2 0 1 + 2 → 2 ≈ 2 ′ w0 w0 F1 F1 λ F1 λ πw0 ′ π2 λ θ 0 w0 πw0 w(l ) 2 = 2 2 w (l ) ∴ w'0 ≈ F1 , l ' = F1 , = = F1 λ πw(l ) θ 0 w'0 λF1
七、高斯光束的准直－减小发散角 高斯光波 平面光波
单透镜准直效果 2λ ′= 发散角 θ 0 ′ πw0
2 w0 F 2 ′2 由 w0 = (F − l )2 + f 2
λF πw0
w0 w
F>f
F−
F2 − f
F
2
F+
F2 − f
2
ll
′ ′ w0 ↑→ θ 0 ↓
′ ∴ 要使 w0 尽量大
可见，高斯光束通过薄透镜 当l = F 时 , w0’ = λF/π w0 最大 此时：
l′ = 0.104m
λf ′ 3.14×10−6 ×0.00217 w′ = = = 0.0466mm 0 π 3.14
二、高斯光束的准直 1、核心问题：减小发散角，提高方向性。 核心问题：减小发散角，提高方向性。 2、方法：①用单透镜；② 用望远镜。 方法： 用单透镜； 用望远镜。 3、单透镜法 无论F、 取何值， 无论 、l 取何值，都不能使 ω0 ' → ∞ ，即不能 只能尽量改善方向性。 使 θ 0 ' → 0 ，只能尽量改善方向性。
2B ω = λ R= π D−A
λl 2 1 1 l 1 πw 1 πw l >> F1 + 2 0 = 2 0 1 + 2 → 2 ≈ 2 ′ w0 w0 F1 F1 λ F1 λ πw0 ′ π2 λ θ 0 w0 πw0 w(l ) 2 = 2 2 w (l ) ∴ w'0 ≈ F1 , l ' = F1 , = = F1 λ πw(l ) θ 0 w'0 λF1
七、高斯光束的准直－减小发散角 高斯光波 平面光波
单透镜准直效果 2λ ′= 发散角 θ 0 ′ πw0
2 w0 F 2 ′2 由 w0 = (F − l )2 + f 2
λF πw0
w0 w
F>f
F−
F2 − f
F
2
F+
F2 − f
2
ll
′ ′ w0 ↑→ θ 0 ↓
′ ∴ 要使 w0 尽量大
可见，高斯光束通过薄透镜 当l = F 时 , w0’ = λF/π w0 最大 此时：
l′ = 0.104m
λf ′ 3.14×10−6 ×0.00217 w′ = = = 0.0466mm 0 π 3.14
二、高斯光束的准直 1、核心问题：减小发散角，提高方向性。 核心问题：减小发散角，提高方向性。 2、方法：①用单透镜；② 用望远镜。 方法： 用单透镜； 用望远镜。 3、单透镜法 无论F、 取何值， 无论 、l 取何值，都不能使 ω0 ' → ∞ ，即不能 只能尽量改善方向性。 使 θ 0 ' → 0 ，只能尽量改善方向性。
2B ω = λ R= π D−A
10第二章 5高斯光束的基本性质及特征参数
例1 某高斯光束波长为?=3.14? m,腰斑半径为
w0=1mm, 求腰右方距离腰50cm处的 斑半径w 与等相位面曲率半径R
解
f
?
??
2 0
?
?
3.14 3.14
? 10 ?6 ? 10 ?6
?
1m
? (z) ? ? 0
1?
z2 f2
?
w0
1?
0.52 12
? 1.12mm
R(z) ? z ? f 2 ? 0.5 ? 12 ? 2.5m
?
i[
k
(
z
?
r2 )? 2R( z)
arctg
z ]} f
重新整理 r
?
00 ( x,
y,
z)
?
?
c ( z)
exp{
? ik
r2 2
[
1 R( z)
?
i
??
?
2
(
z)
]}
exp[
?
i
(
kz
?
arctg
z )] f
引入一个新的参数 q(z)， 定义为
1 q(z)
?
1 R( z)
?
i
??
?
2
(
z)
? 参数q将? (z)和R(z)统一在一个表达式中，知
R ? R(z) ? z[1? ( f )2 ] ? f ( z ? f ) ? z ? f 2
z
fz
z
R(z)：与传播轴线相交于z点的高斯光束等相位
面的曲率半径
? (z) ? ?0
1? ( z)2 f
? (z)：与传播轴线相交于z点的高斯光束等相位
第二章高斯光束的性质
%要斑到晶体的传输矩 阵
a1=J(1,1); b1=J(1,2); c1=J(2,1); d1=J(2,2);
M5 M4
Fiber
Pump Focus
M1
M3
YAP TGG λ/2 M2
q=imag(1/h); r=sqrt(lambda/(pi*(-q)));
h=(a1*g+b1)/(c1*g+d1);
两者是相反的过程
0
2 0
§2.12 自再现变换与稳定球面腔
1、 定义：如果一个高斯光束通过某个光学系统
后其结构不发生变化，即参数 0 或 f 不变，则
称这种变换为自再现变换。
2、 数学描述
对透镜：
l' 0 '
l
0
或： qc lc l q0
二、 高斯光束自再现的方法
透镜、球面反射镜、稳定球面腔
1
qz
1
Rz
i
2 z
知道q(z)可以求R (z)和 z
1
Rz
Re
1
q z
1
2
z
Im
q
1
z
特例：
11 1
q0 q0 R0 i 2 0
2 0 02
q0
i w02
i
f
几种表示方法的比较:
都可以确定高斯光束的结构，前两种表示较为直 观，q参数是一个复数，用它描述高斯光束通过 光学系统的传输行为比较方便。
在横截面内的场振幅分布按高斯函数所描述的 规律从中心(即传输轴线)向外平滑地降落。
2、相位函数
r,z
k
z
r 2
2
R
arctg
z f
a1=J(1,1); b1=J(1,2); c1=J(2,1); d1=J(2,2);
M5 M4
Fiber
Pump Focus
M1
M3
YAP TGG λ/2 M2
q=imag(1/h); r=sqrt(lambda/(pi*(-q)));
h=(a1*g+b1)/(c1*g+d1);
两者是相反的过程
0
2 0
§2.12 自再现变换与稳定球面腔
1、 定义：如果一个高斯光束通过某个光学系统
后其结构不发生变化，即参数 0 或 f 不变，则
称这种变换为自再现变换。
2、 数学描述
对透镜：
l' 0 '
l
0
或： qc lc l q0
二、 高斯光束自再现的方法
透镜、球面反射镜、稳定球面腔
1
qz
1
Rz
i
2 z
知道q(z)可以求R (z)和 z
1
Rz
Re
1
q z
1
2
z
Im
q
1
z
特例：
11 1
q0 q0 R0 i 2 0
2 0 02
q0
i w02
i
f
几种表示方法的比较:
都可以确定高斯光束的结构，前两种表示较为直 观，q参数是一个复数，用它描述高斯光束通过 光学系统的传输行为比较方便。
在横截面内的场振幅分布按高斯函数所描述的 规律从中心(即传输轴线)向外平滑地降落。
2、相位函数
r,z
k
z
r 2
2
R
arctg
z f
第二讲光线的传播与高斯光束 PPT
第二讲光线的传播与高斯光束
§2.1光线的传播
研究激光在光学媒质中的传输特性
一.光线矩阵 讨论近轴（傍轴）光线
规定： r 朝上为正、下为负
指向上方为正、下方为负
sin tg (mrad ) dr r' (z)
dzrin'
ro'ut rin'
d n dr n ds ds
4、在类透镜介质中得传播
考虑近轴光线 ds dx2 dy2 dz2 dz
dn dz
dr dz
n
d 2r d2z
n
在二次折射率介质(或类透镜介质)中,折射率没有轴向分布,
仅有径向分布
n
d d
2
r
2z
n
n
i
n
x y
j
n x
k
K 2 n0
五、光线在类透镜介质中得传播
1、 薄透镜得聚焦机理
AB
AB AO BO f 2 x2 y2 f
r
f
1
x2 y2 f2
f
C
Oz
f (1
1 2
x2 y2 f2
)
f
f
x2 y2
离轴距离为r得相位提前量为
2f
2 n x2 y2 k x2 y2 k r 2
0
2f
2f
rM rM'
1 0
d 1
rs rs'
rN rN'
1 1
f2
0 1
rM rM'
S MN
S+1 f1
d
f1
f2
因此:
rN rN'
1 1
f2
§2.1光线的传播
研究激光在光学媒质中的传输特性
一.光线矩阵 讨论近轴（傍轴）光线
规定： r 朝上为正、下为负
指向上方为正、下方为负
sin tg (mrad ) dr r' (z)
dzrin'
ro'ut rin'
d n dr n ds ds
4、在类透镜介质中得传播
考虑近轴光线 ds dx2 dy2 dz2 dz
dn dz
dr dz
n
d 2r d2z
n
在二次折射率介质(或类透镜介质)中,折射率没有轴向分布,
仅有径向分布
n
d d
2
r
2z
n
n
i
n
x y
j
n x
k
K 2 n0
五、光线在类透镜介质中得传播
1、 薄透镜得聚焦机理
AB
AB AO BO f 2 x2 y2 f
r
f
1
x2 y2 f2
f
C
Oz
f (1
1 2
x2 y2 f2
)
f
f
x2 y2
离轴距离为r得相位提前量为
2f
2 n x2 y2 k x2 y2 k r 2
0
2f
2f
rM rM'
1 0
d 1
rs rs'
rN rN'
1 1
f2
0 1
rM rM'
S MN
S+1 f1
d
f1
f2
因此:
rN rN'
1 1
f2
高斯光束的传播特性课件
加精准，能够实现更高的光束质量和更稳定的传输。
动态调控
02
通过实时监测和反馈系统，实现对高斯光束的动态调控，以满
足不同应用场景的需求。
多光束控制
03
未来将实现多光束的独立控制和协同操作，提高光束的灵活性
和应用范围。
高斯光束在量子通信中的应用
1 2 3
安全性增强 高斯光束在量子通信中能够提供更强的安全性保 障，通过量子纠缠和量子密钥分发等技术，实现 更加安全的通信传输。
传输距离提升 随着量子通信技术的发展，高斯光束的应用将有 助于提高量子通信的传输距离和稳定性。
网络架构优化 高斯光束在量子通信网络架构中能够提供更灵活 和高效的光路设计，优化网络性能和扩展性。
高斯光束在其他领域的应用
生物医学成像
高斯光束在生物医学领域可用于光学显微镜、光谱仪等设备的成像 技术，提高成像质量和分辨率。
在生物医学成像中的应用
光学成像
高斯光束作为照明光源，能够提高光学成像的分辨率和对比度。
荧光成像
利用高斯光束激发荧光标记物，实现生物组织的荧光成像。
光声成像
结合高斯光束与光声效应，实现生物组织的高分辨率、高对比度 的光声成像。
05
高斯光束的未来展
高斯光束控制技术的发展
高精度控制
01
随着光学技术和计算机技术的发展，未来高斯光束的控制将更
高斯光束的强度分布和相位分 布都可以用高斯函数描述，这 使得高斯光束在许多领域都有 广泛的应用。
02
高斯光束的播特性
传播过程中的光强分布变化
01 02
光强分布变化规律
高斯光束在传播过程中，光强分布呈现中间高、两侧低的形态，类似于 钟形曲线。随着传播距离的增加，光强分布逐渐展宽，但中心峰值保持 不变。
《高斯光束》课件
02
高斯光束的数学模型
高斯光束的电场分布
描述高斯光束的电场分布通常使用高 斯函数，其形式为$E(r,z)=E_{0} frac{omega_{0}}{w(z)} exp(frac{r^{2}}{w(z)^{2}}) exp(ifrac{kr^{2}}{2R(z)}+ivarphi(z))$， 其中$E_{0}$是光束中心电场强度， $omega_{0}$是束腰半径，$w(z)$ 是光束半径，$R(z)$是光束的波前曲 率半径，$varphi(z)$是相位。
VS
高斯光束的电场分布具有中心强度高 、向外逐渐减小的特点，这种分布有 利于在一定范围内实现较高的能量集 中度。
高斯光束的能量分布
高斯光束的能量分布与电场分布类似，也呈现出中心强 度高、向外逐渐减小的特点。
在实际应用中，高斯光束的能量分布可以通过控制激光 器的参数和光束传输过程中的光学元件进行调整，以满 足不同应用需求。
高斯光束的特性
总结词
高斯光束具有许多独特的性质，包括光束宽度随传播距离增加、中心光强为零、能量集中于光束的腰斑等。
详细描述
高斯光束的一个重要特性是它的光束宽度随着传播距离的增加而增加，这是由于光束在传播过程中不断发生衍射 。此外，高斯光束的中心光强为零，即光束的最小值点位于中心。高斯光束的能量主要集中在腰斑处，即光束宽 度最小的地方，这使得高斯光束在远场具有很好的汇聚性能。
总结词
高斯光束在光学无损检测中能够穿透物质并检测其内部 结构和缺陷。
详细描述
高斯光束具有较好的穿透性和方向性，能够深入物质内 部并检测其结构和缺陷。在无损检测中，高斯光束被用 来检测材料内部的裂纹、气孔、夹杂物等缺陷，为产品 质量控制和安全性评估提供可靠的依据。这种检测方法 具有非破坏性和高灵敏度等优点，广泛应用于航空航天 、核工业等领域的安全监测和质量控制。
激光腔
• 共轴球面腔的稳定性条件：
对于复杂开腔，稳定性条件为： 对简单共轴球面腔，稳定性条件为：
1 −1 < ( A + D) < 1 2
0 < (1 −
• 稳区图
L L )(1 − ) < 1 R1 R2
g1=g2=0
三、稳定开腔中模式的衍射理论分析方法
• 开腔模的物理概念：
开腔镜面上的经过一次往返能再现的稳态场分布称 为开腔的自再现模或横模 自再现模或横模。 为开腔的自再现模或横模。自再现模一次往返所经 受的能量损耗称为模的往返损耗，所发生的相移称 为往返相移，该相移等于2π的整数倍。
第二章 开放式光腔与高斯光束
• 讨论光腔模式问题；只讨论无源腔 • 开放式光腔可以分为稳定腔、非稳腔和临界腔 • 稳定腔模式理论是以对称共焦腔模的解析理论为基 础的，推广到一般稳定球面腔 • 采用稳定腔的激光器所发出的激光，将以高斯光束 的形式在空间传播。研究高斯光束在空间的传播规 律以及光学系统对高斯光束的变换规律 • 稳定腔不适用于某些高功率激光器，非稳腔却能同 时满足高输出功率和良好光束质量这两个要求
单透镜对高斯光束发散角的影响 l=F时，ω0′达到极大值，θ0′达到极小值，θ0′/θ0=f/F； 用单个透镜将高斯光束转换成平面波，从原则上说是 不可能的。 利用倒装望远镜将高斯光束准直 M ′ = θ 0 = F2 1 + ( l )2
θ 0′′
F1 f
八、高斯光束的自再现变换与稳定球面腔
• 利用透镜实现自再现变换
(2)若l一定，当F<R(l)/2时，透镜才能对高斯光束起聚 焦作用。F愈小，聚集效果愈好 结论：为获得良好聚集， 结论：为获得良好聚集，采用 用短焦距透镜；使高斯光束远离透镜焦点， 用短焦距透镜；使高斯光束远离透镜焦点，从而满足 l>>f、l>>F；取l=0，并使 、 ； ，并使f>>F。 。
第二章 高斯光束
– 在实验上和理论上都证实了工作物质的折射率随温度发生变化：
(x,
y)
0(T 0)
n T
D 4K
(x2
y2)
– 可见工作状态下的Nd：YAG工作物质是一种二次折射率介质。
21
2.1光线的传播
• 3. 光线在均匀和非均匀各向同性介质中的传播
–
程函(eikonal)方程：
x
2
y
2
x y
0 0
d 2r dz 2
k k
2 0
r
0
23
2.1光线的传播
–
（1）k2>0
微分方程的解为 r(z) c1cos
k k
2 0
z
c
2
sin
k k
2 0
z
若考虑光线入射初始条件
为
r0
r
0
'
，则可以求出
c1
r 0; c2
k，因此微分方程的解可以写成：
r
z
r
0
cos
– 1. 薄透镜的聚焦机理
– 一单色平面波，经过薄透镜后，产生一个与离轴距离r2成正比的相位超 前量，补偿了到达焦点几何路径的不同所引起的相位不同滞后量。到达
焦点时间、相位相同，实现聚焦，此时的薄透镜相当于一个平面的相位
变换器。
AB AO BO
f 2 x2 y2 f f 1 x2 y2 f
k k
2 0
z
k k
0 2
r
'
0
sin
k k
2 0
z
r ' z
k k
2 0
r
激光原理教案第二章
I m = I0 e
( )
−2δ
'
m
= I 0e
t
−2mδ '
t ,m = 2L '/ c
I (t ) = I 0 e
−
τR
,τ R
L' = δc
激光原理与技术
时间后， 的物理意义: 时间常数τR的物理意义 经过τR时间后， 腔内光强衰减为初始值的1／ 腔内光子数将 腔内光强衰减为初始值的 ／e,腔内光子数将 随时间依指数规律衰减， 随时间依指数规律衰减，到τR 时刻衰减为初 始值1／ 。 愈大， 愈小， 始值 ／e。δ愈大， τR愈小，说明腔的损耗 愈大，腔内光强衰减得愈快。 愈大，腔内光强衰减得愈快。 2．无源谐振腔的Q值 ．无源谐振腔的 值
c ∆ν q = ν q+1 −ν q = , (频率梳） 2L 例：L = 10cm,η = 1气体激光器, ∆ν q = 1.5 ×109 Hz L = 100cm,η = 1气体激光器, ∆ν q = 1.5 ×10 Hz
8
L = 10cm,η = 1.76的红宝石激光器∆ν q = 8.5 ×10 Hz
激光原理与技术
激光原理与技术
光 学 谐 振 腔
闭 腔 稳 定 腔 开 腔 非 稳 腔 临 界 腔 气 体 波 导 腔
激光原理与技术
谐振腔可以按不同的方法可分为： 谐振腔可以按不同的方法可分为： 端面反馈腔与分布反馈腔，球面腔与非球 端面反馈腔与分布反馈腔， 面腔，高损耗腔与低损耗腔， 面腔，高损耗腔与低损耗腔，驻波腔与行波 两镜腔与多镜腔， 腔，两镜腔与多镜腔，简单腔与复合腔 等．本章讨论两镜腔。 二、模的概念、腔与模的一般联系 模的概念、 腔的模式:光学谐振腔内可能存在的电磁场的 腔的模式 光学谐振腔内可能存在的电磁场的 本征态称。 本征态称。场的每一个本征态将具有一定的振 荡频率和一定的空间分布。 荡频率和一定的空间分布。
高斯光束的传播特性课件
高斯光束的未来发展趋势
01 发展现状分析
前景广阔
02 未来趋势探讨
挑战与机遇并存
03 科学研究发展
跨学科交叉
高斯光束在工业应用中的创新
制造工艺
高效精准 节约成本
设备应用
智能控制 自动化生产
材料加工
高质量 快速加工
能源利用
节能环保 绿色生产
● 07
第7章 高斯光束的传播特性 课件
高斯光束的重要性
折射率与热效应
热效应
高斯光束在介质中 传播时会产生热效
应。
折射率变化
热效应会导致折射率 发生变化，影响高斯 光束的传播和聚焦效
果。
总结
高斯光束的传播特性受到折射率、衍射效应、非线性光学和热 效应等因素的影响。理解这些因素对于光学应用和光束传输具 有重要意义。
● 03
第3章 高斯光束的光学系统
高斯光束的聚焦系统
● 04
第四章 高斯光束的传播实验
高斯光束的干涉实验
迈克尔逊干涉仪观测
利用迈克尔逊干涉 仪观测高斯光束的
干涉条纹
分析干涉条纹
分析干涉条纹的形状 和对比度，验证高斯
光束的传播特性
高斯光束的衍射实验
在衍射光栅实验中，观测高斯光束的衍射效 应是探究光栅对高斯光束的光斑形状和光强 分布的影响。通过实验，可以进一步了解光 的衍射现象，验证高斯光束在衍射过程中的 特性。
衍射效应
光束传播中的衍射 现象
散射效应
光束在物质中传播时 的散射现象
折射效应
光束在介质中传播时 的折射规律
高斯光束的调制特性
高斯光束可以通过调制改变其传播特性，例 如调制频率、相位等参数可以实现对光束的 精准控制。调制技术在光通信和激光加工中 有着重要的应用价值。
高斯光束
若有解
( x, y, z) 则为一个正确的波束解，这个解与
x, y有关部分完全含于高斯函数中，其他因子仅为z的函数。
解第一式：
1 f ( z) 2i z k
积分常数
2 f 2 ikf 比较 两式 2 fg ikg
因此，得解
g c f
(c const )
g ( z)
讨论内容：
一、高斯光束的定义 二、高斯光束波函数的解（亥姆霍兹方程的波束解）
1.高斯光束的纵向相位因子
三、高斯光束的传播特性
2.高斯光束的等相面曲率半径
3.高斯光束的束宽与远场发射角
高斯光束
定义：在光学中，高斯光束（Gaussian
分布近似满足高斯函数的电磁波光束。 beam）是横向电场以及辐照度
基本应用：许多激光都近似满足高斯光束的条件，在这种情况里，激光
在光谐振腔里以TEM00波模传播。当它在镜片发生衍射，高斯光束会变换成 另一种高斯光束，这时若干参数会发生变化。这解释了高斯光束是激光光学 里一种方便、广泛应用的原因。
描述：高斯光束的数学函数是亥姆霍兹方程的一个近轴近似解（属于小角
近似的一种）。这个解具有高斯函数的形式，表示电磁场的复振幅。电磁波 的传播包括电场和磁场两部分。研究其中任一个场，就可以描述波在传播时 的性质。
2 0
2i (1 z) k
令
4z 2 2z 2 2 ( z ) (1 2 2 ) 0 [1 ( 2 ) ] k k0
2
f ( z)
同理，可得
1 2iz (1 ) 2 2 ( z) k0
g ( z)
0
2z 1 ( 2 ) k0
e
( x, y, z) 则为一个正确的波束解，这个解与
x, y有关部分完全含于高斯函数中，其他因子仅为z的函数。
解第一式：
1 f ( z) 2i z k
积分常数
2 f 2 ikf 比较 两式 2 fg ikg
因此，得解
g c f
(c const )
g ( z)
讨论内容：
一、高斯光束的定义 二、高斯光束波函数的解（亥姆霍兹方程的波束解）
1.高斯光束的纵向相位因子
三、高斯光束的传播特性
2.高斯光束的等相面曲率半径
3.高斯光束的束宽与远场发射角
高斯光束
定义：在光学中，高斯光束（Gaussian
分布近似满足高斯函数的电磁波光束。 beam）是横向电场以及辐照度
基本应用：许多激光都近似满足高斯光束的条件，在这种情况里，激光
在光谐振腔里以TEM00波模传播。当它在镜片发生衍射，高斯光束会变换成 另一种高斯光束，这时若干参数会发生变化。这解释了高斯光束是激光光学 里一种方便、广泛应用的原因。
描述：高斯光束的数学函数是亥姆霍兹方程的一个近轴近似解（属于小角
近似的一种）。这个解具有高斯函数的形式，表示电磁场的复振幅。电磁波 的传播包括电场和磁场两部分。研究其中任一个场，就可以描述波在传播时 的性质。
2 0
2i (1 z) k
令
4z 2 2z 2 2 ( z ) (1 2 2 ) 0 [1 ( 2 ) ] k k0
2
f ( z)
同理，可得
1 2iz (1 ) 2 2 ( z) k0
g ( z)
0
2z 1 ( 2 ) k0
e
10第二章-5高斯光束的基本性质及特征参数
2R(z)
z f
]}
重新整理r
00 (x, y, z)
c exp{ik
(z)
r2 2
[
1 R(z
)
i
2(
z
)
]}
exp[
i(k
z
arctg
z )] f
引入一个新的参数q(z)， 定义为
1 q(z)
1 R(z)
i
2 (z)
• 参数q将(z)和R(z)统一在一个表达式中，知
道了高斯光束在某位置处的q参数值，可由下
对称共焦腔/一般稳定球面腔
二、高斯光束在自由空间的传输规律
振幅因子光斑半径(z)
基模高斯光束在横截面内的场振幅分布按高斯
函数所描述的规律从中心向外平滑地降落。由 振幅降落到中心值的1/e处的点所定义的光斑半
径为(z)；光斑半径随坐标z按双曲线规律扩展
远场发散角0（定义在基模高斯光束强度的
1/e2点的远场发散角）
解
f
02
3.14 106 3.14 106
1m
(z) 0
1
z2 f2
w0
1
0.52 12
1.12mm
R(z) z f 2 0.5 12 2.5m
z
0.5
例2 高斯光束在某处的光斑半径为w=1mm, 等相位
面曲率半径为R=0.5m, 求此高斯光束(1)该处的q参
数 (2)腰斑半径w0及腰位置(光波长为=3.14m)
(
2 0
)
2
令
0
0
l l
F
1 2
l 1
2 0
l
2
0、
1 R(l) 2
z f
]}
重新整理r
00 (x, y, z)
c exp{ik
(z)
r2 2
[
1 R(z
)
i
2(
z
)
]}
exp[
i(k
z
arctg
z )] f
引入一个新的参数q(z)， 定义为
1 q(z)
1 R(z)
i
2 (z)
• 参数q将(z)和R(z)统一在一个表达式中，知
道了高斯光束在某位置处的q参数值，可由下
对称共焦腔/一般稳定球面腔
二、高斯光束在自由空间的传输规律
振幅因子光斑半径(z)
基模高斯光束在横截面内的场振幅分布按高斯
函数所描述的规律从中心向外平滑地降落。由 振幅降落到中心值的1/e处的点所定义的光斑半
径为(z)；光斑半径随坐标z按双曲线规律扩展
远场发散角0（定义在基模高斯光束强度的
1/e2点的远场发散角）
解
f
02
3.14 106 3.14 106
1m
(z) 0
1
z2 f2
w0
1
0.52 12
1.12mm
R(z) z f 2 0.5 12 2.5m
z
0.5
例2 高斯光束在某处的光斑半径为w=1mm, 等相位
面曲率半径为R=0.5m, 求此高斯光束(1)该处的q参
数 (2)腰斑半径w0及腰位置(光波长为=3.14m)
(
2 0
)
2
令
0
0
l l
F
1 2
l 1
2 0
l
2
0、
1 R(l) 2
第二章高斯光束
（六）远场发散角
从
W
(z)
?
W0
?
?1 ? ??
?
???
?
?z
W02
2
? ?? ?
1/ 2
?
? ??
可以看出，在
Z=0处，光斑尺寸最小，
其值为W0。随着 Z增大，则 W（z）非线性增大，所以，高斯光
束是发散的，现在讨论其特性。
定义：光束的半发散角为传输距离（ Z）变化时，光斑半径
的变化率
? ? 即
??
???
?
?
W02
?z
2
?
?
??
?
?
??
特点：波阵面半径非线性可变。
（2 ? 4）
（2 ? 5）
（二）膜参数 W0： 以上公式中，涉及一个很重要的参数W0（束腰半径） →膜参数 对稳定球面腔：
通用公式：
W
4 0
?
??
?
??
2
? ? ?
l ( R1
?
l )( R 2 (R1 ?
? l)( R1 ? R2 R2 ? 2l)2
（2）? (1000 )
?
?2 ? W0
?
Z
?
2
W
4
0
?
Z
2?2
(0.6328 ? 10 ?3 ) 2 ? 1000 ?
四、 R（z）min：
令 F ? ?W02（共焦参数）? 或称端利长度（Rayleigh ）
则
?
R(z )
?
? z ?1 ?
??
???
?
?
W02
?z
2
?
第二章开放式光腔与高斯光束讲课用
镜腔处理。
普通的两镜腔 等价 共焦腔
（等价共焦腔）
依据等价原则，利用等价共焦腔，共焦腔的模式解析 理论可推广使用于一般稳定腔。
实际应用中:(1)大多数中、小激光器几何偏折损耗低， 属稳定腔； (2)稳定腔的模式理论比较成熟。
三.纵模和驻波条件
1、腔内要形成的稳定的驻波 模式，必须满足驻波条件
假设：n为腔内介质的折射率，L 为腔长，λ0q 为光在真空中的波长。 L′ 为腔的光学长度。
2a
2(a+Lθ)
2I0
S1
L
∴
δd
=
S2 − S1 S2
≈
2Lθ a
S2
∴
δd
≈
a2
1 / Lλ
=
1 N
定义： N = a2 / Lλ
腔的菲涅尔数
对于方形镜、圆形镜： N = a2 / Lλ 对于条形镜： N = a1a2 / Lλ
理解菲涅尔数：①衍射光在腔内的最大往返次数
中心光束，偏离镜中心的偏移量为x = θL = λL/2a
=
C 2μL
=
3 × 108 2 ×1
= 1.5 ×108 Hz
在 Δvq 范围内所包含的最多纵模个
数：
m = [ ΔvF ] +1 Δvq
m = [ ΔvF ] +1 = 1500 ×106 +1 = 11
Δvq
1.5 ×108
谐振腔最多可能包含 的纵模个数为11
四、横向电场分布与横模(Transverse Electromagnetic mode)
圆形镜： r(n)
ϕ (m) 直径数
TEM 03 TEM 00 TEM 10
高斯光束及偏振态
一、高斯光束：半径，是指在高斯光的横截面考察，以最大振幅处为原点，振幅下降到原点处的1/e倍的地方，由于高斯光关于原点对称，所以1/e的地方形成一个圆，该圆的半径，就是光斑在此横截面的半径；如果取束腰处的横截面来考察，此时的半径，即是束腰半径。
沿着光斑前进，各处的半径的包络线是一个双曲面，该双曲面有渐近线。
高斯光束的传输特性，是在远处沿传播方向成特定角度扩散，该角度即是光束的远场发散角，也就是一对渐近线的夹角。
基模高斯光束的光束发散角：θ=2λ/πƒ又因：f=πw o2/λ所以：θ=2λ/πw o所以说远场发散角与波长成正比，与其束腰半径成反比，故而，束腰半径越小，光斑发散越快；束腰半径越大，光斑发散越慢。
我们用感光片可以看到，在近距离时，准直器发出的光在一定范围内近似成平行光，距离稍远，光斑逐渐发散，亮点变弱变大；可是从光纤出来的光，很快就发散；这是因为，准直器的光斑直径大约有400微米，而光纤的光斑直径不到10微米。
同时，对于准直器最大工作距离的定义，往往可理解为该准直器输出光斑的共焦参数，该参数与光斑束腰半径平方成正比，与波长成反比，计算式是：3.1415926*束腰半径*束腰半径/波长= f=πw o2/λ。
所以要做成长工作距离（意味着在更长的传输距离里高斯光束仍近似成平行光）的准直器，必然要把光斑做大，透镜相应要加长加粗。
偏振光：如果在光的传播方向上各点的光矢量在确定的平面内，这种光被称为平面偏振光，如果光矢量的端点的轨迹为一条直线，此时的平面偏振光又称为线偏振光，光的电矢量末端在垂直于传播方向的平面上描绘的轨迹为一直线的偏振光。
光线自线偏振镜一段射入为正向,自四分之一波片一端射入为反向.正向射向圆偏振镜的自然光,先后通过线偏振镜和四分之一波片后,即成为圆偏振光.根据线偏振镜之偏振方向与四分之一波片光轴成45°夹角时的相对方位不同,可产生右旋圆偏振光或左旋圆偏振光。
如何椭圆偏振光判断出它是左旋还是右旋：确定左右旋偏振光步骤：（1）让入射光通过偏振片P,确定椭圆偏振光的长轴与短轴方向.（2）将λ／4片(Δ＝+π/2放在偏振片P前面,让光轴与长轴或短轴重合,并建立坐标系,纵轴为o光振动方向,横轴(水平轴)为e光振动方向,k轴为光的传播方向.（3）旋转偏振片一周,找出消光位置,此时,与P的透振方向垂直的方向就是出射线偏振光的振动方向,若线偏振光在一三象限,则入射光为左旋椭圆偏振光,若线偏振光在二四象限,则入射光为右旋椭圆偏振光.二、圆偏光：当传播方向相同，振动方向相互垂直且相位差恒定为φ=（2m±1/2）π的两平面偏振光叠加后可合成光矢量有规则变化的圆偏振光。
高斯光束的基本性质及特征参数课件
变换方法
通过使用各种光学元件，如反射镜、 棱镜等，可以对高斯光束进行各种形 式的变换，如旋转、平移、缩放等。
高斯光束的操控与调制
操控技术
利用光学元件对高斯光束进行操控，如改变光束方向、实现光束分裂等。
调制方法
通过在光束中加入外部信号，可以对高斯光束进行调制，实现信息传输和信号 处理等功能。
05
CHAPTER
高斯光束的聚焦
通过透镜可以将高斯光束聚焦到一点 ，聚焦点处的光强最大过程中，其传播方向呈发散状。
光强分布
高斯光束的光强呈高斯型分布，中心光强最大，向外逐渐减小。
衍射极限
高斯光束的衍射极限由波长和束腰宽度决定，短波长、小束腰宽度 的高斯光束具有更好的聚焦性能。
高斯光束的模拟与仿真
高斯光束的数值模拟方法
有限差分法
通过离散化高斯光束的波动方程，使用差分公式 求解离散点上的场值。
有限元法
将高斯光束的波动方程转化为变分问题，利用分 片多项式逼近解。
谱方法
将高斯光束的波动方程转化为频域或谱域的方程 ，通过傅里叶变换求解。
高斯光束的物理仿真实验
光学实验平台
搭建光学实验装置，通过实际的光路系统模拟高斯光束的传播。
光学成像
1 2 3
高分辨率成像
高斯光束在光学成像领域可用于实现高分辨率、 高清晰度的成像，从而提高图像的细节表现力和 清晰度。
荧光显微镜
高斯光束作为激发光，能够均匀地激发样品中的 荧光物质，提高荧光显微镜的成像质量和稳定性 。
光学共聚焦显微镜
利用高斯光束的聚焦和扫描特性，可以实现光学 共聚焦显微镜的高精度、高灵敏度成像。
激光加工
高效加工
01
高斯光束具有较高的亮度和能量集中度，能够实现高效、高精
通过使用各种光学元件，如反射镜、 棱镜等，可以对高斯光束进行各种形 式的变换，如旋转、平移、缩放等。
高斯光束的操控与调制
操控技术
利用光学元件对高斯光束进行操控，如改变光束方向、实现光束分裂等。
调制方法
通过在光束中加入外部信号，可以对高斯光束进行调制，实现信息传输和信号 处理等功能。
05
CHAPTER
高斯光束的聚焦
通过透镜可以将高斯光束聚焦到一点 ，聚焦点处的光强最大过程中，其传播方向呈发散状。
光强分布
高斯光束的光强呈高斯型分布，中心光强最大，向外逐渐减小。
衍射极限
高斯光束的衍射极限由波长和束腰宽度决定，短波长、小束腰宽度 的高斯光束具有更好的聚焦性能。
高斯光束的模拟与仿真
高斯光束的数值模拟方法
有限差分法
通过离散化高斯光束的波动方程，使用差分公式 求解离散点上的场值。
有限元法
将高斯光束的波动方程转化为变分问题，利用分 片多项式逼近解。
谱方法
将高斯光束的波动方程转化为频域或谱域的方程 ，通过傅里叶变换求解。
高斯光束的物理仿真实验
光学实验平台
搭建光学实验装置，通过实际的光路系统模拟高斯光束的传播。
光学成像
1 2 3
高分辨率成像
高斯光束在光学成像领域可用于实现高分辨率、 高清晰度的成像，从而提高图像的细节表现力和 清晰度。
荧光显微镜
高斯光束作为激发光，能够均匀地激发样品中的 荧光物质，提高荧光显微镜的成像质量和稳定性 。
光学共聚焦显微镜
利用高斯光束的聚焦和扫描特性，可以实现光学 共聚焦显微镜的高精度、高灵敏度成像。
激光加工
高效加工
01
高斯光束具有较高的亮度和能量集中度，能够实现高效、高精
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2
1/ 4
2
(
R
l
l
2
)
结论：1．高斯光束的发散角随传播距离的增大而非线性增大
2．在束腰处，发散角为0o在无穷远，发散角最大，其远
场发散角为: 3．通常将 0 Z W02 区域定义为光束准直区 4．W0越大，则远场发散角愈小。因此为了减小光束的远
场发散角，可采用光学变换的方法，使其束腰增大。
图2-1
1．在光束截面上（即与光传播方向垂直的x, y平面上）的光 强是相等的；
2．在传播方向的任一点（即Z方向）光强度相等（不考虑空 气损耗）；
3．距离Z相等，则其位相相等，即等相面为垂直于传播方向 的平面。
但由激光产生的原理可知：激光束是由光于在谐振腔内进 行多次反射后所形成的。因此在腔镜边缘必产生衍射损耗，故 在光束截面上，边缘部分的光强必将比中心部分较弱，故激光 束不是均匀平面波。
此点，波阵面半径最小，具有两对称点（相对束腰）互为其波
面球心。
图2-6
（五）小结： 高斯光束在自由空间传播时，R（z）随传播距离Z变化 的规律： 1．在Z=0（即束腰处），R（z）=∝，即波阵面为平面波 2．在Z>0时，R（z）由∝逐渐变小 3．在Z=F时，R（z）有极小值：。 4．在Z>F时，R（z）逐渐变大。 5．Z→∝时，R（z）→∝，变为平面波。
即在Z=±F时，存在R（Z）的极小值，其极小值为：
R(z) min
z
F2 z
z z
F时 F时
R(z) min 2F （2 10） R(z) min 2F
即 R(z) min 2F 2F 2W02 ，共焦参数的由来可由图2-6解释：
共焦参数的物理意义：高斯光束传播过程中的两特殊点，在
即，任一点处的光斑大小和该点的波阵面半径：
（1）在Z点处的光斑半径：
W
(z)
W0
1
z W02
2
1/
2
特点：光斑半径非线性可变。
（2）在Z
点处的波阵面半径：
R(z)
z
1
W02 z
2
特点：波阵面半径非线性可变。
2502
1 )
/
4
0.224mm（注意：此处定义的光斑半径是振幅为中心 1 振幅的 e 处）。
2
1/ 4
2
(
R
l
l
2
)
(0.6328103 )2 1/ 4
2
(500
250
2502
)
9 104 rad
0.9 103 rad 0.9mrad
* 基模发散角（远场发散角）——半角
0
2
1/ 4
2
(
R
l
l
2
)
对平凹稳定腔而言
基膜发散角亦可表示为θ0=F（W0）（以后再讲）
（2-7）
结论：已知腔参数（R，l）可求光束的膜参数WO，已知膜参数
WO，可求光束参数W（z），R（z）。
下面，讨论光束参数W（z），R（z）在Z=0到Z=∝间的变化
0.224 2 0.2244 10002 (0.6328103 )2
0.6 103 rad 0.6mrad
§2-3 高斯光束的特征参数
一、用W0和距束腰的位置Z表征高斯光束
若已知高斯光束的束腰W0及传播方向上一点到束腰的距 离Z，可以根据以下公式求出光束传播（自由空间）方向任
E(x,
y,
z)
A0 W (z)
exp
(x2 W
y2)
2 (z)
exp ik(z
x2 y2 2R(z)
)
(
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
z)
（2 3）
其中，A0—原点（Z=0）处的中心光振幅，k为波数（n=1）
（一）光束参数：W（z），R（z）：
在进行光学设计时（激光光学系统），应已知两个光束的 特征参数。
y, z)
A0
exp[ ikz]，
有相似的形式，故可将该小球面内光矢量近似看成平面波（太阳
光）：
即在该平面内光强相等，位相相等，同样也不适用激光的特点。那 么激光究竟是一种什么光呢？
图2-2
三、基模高斯球面波（变心球面波）矢量
沿Z轴方向传播的高斯光束（激光束），不管是由何种稳
定腔产生的，均可用基尔霍夫公式表示为：
在 r = ∝时，高斯光束的全部光强P（∝）
P()
k
A02 W 2(z)
o
expW
2r 2 2 (z)
2r.dr
设
p
k
N(P) P() o
P() k
o
expW
2r 2 2 (z)
2r.dr
expW
2r 2 2 (z)
1
1
e（或强度的 e2）时的r值为高斯光束的半径。
二、高斯光束通过—孔径光栏时，能量的讨论
由基尔霍夫公式；在光束传播方向上任一点z处的电矢量
振幅为：
E
A0 W (z)
exp
r2 W 2(z)
而其光强ρ∝E2
计算高斯光束通过某一孔径的能量，即计算高斯光束通过 某一半径为ρ的光孔时，高斯能量包的体积。
三、Z=∝时的波阵面半径：
lin
z
R(z)
linz1 z
W02 z
2
上式表明：离束腰为无穷远处的等相面为平面，且曲率中
心在束腰处。
可以想象：既然高斯光束传播时，在z=0处和z=∝处，R（z） 的值均为∝（平面），则在中间某位置必存在一最小R（z）
图2-7
例：求W0=0.5mm的氖氪激光器输的光束的最小曲率Rmin和其所
在位置Z（λ=0.6328×10-3mm）
Rm in
2W02
2 0.52
0.6328 103
2482 .3mm
波阵面所在位置为 z 2482.3 1241mm
2
图2-8
（六）远场发散角
其光强为：
P
kE2
k WA(0z)
exp
r2
2
W
2
(
z
)
k
A02 W 2(z)
exp
2r2
W
2
(
z
)
在通孔半径为ρ的光强P（ρ）
p()
k
A02 W 2(z)
o
expW
2r 2 2 (z)
2r.dr
图-2-5
图2-9
亦可用公式 0.6328103 0.9mrad W0 0.224
准直区 F W02 0.224 2 249 .1mm
0.6328 10 3
（2） (1000)
2 W0
Z
2W04 Z 22
(0.6328103 )2 1000
（2 4） （2 5）
（二）膜参数W0： 以上公式中，涉及一个很重要的参数W0（束腰半径）→膜参数 对稳定球面腔：
通用公式：
W04
2
l(R1
l)(R2 l)(R1 R2 (R1 R2 2l)2
l)
图2-3
特例：若对平凹稳定腔（氪氖激光器多采用），令R1=R，R2=∝
从
W
(
z)
W0
1
z W02
2
1/ 2
可以看出，在Z=0处，光斑尺寸最小，
其值为W0。随着Z增大，则W（z）非线性增大，所以，高斯光
束是发散的，现在讨论其特性。
定义：光束的半发散角为传输距离（Z）变化时，光斑半径
的变化率
即
dW (z) dz
1 A0 e W0
1 E(0,0,0) e
结论：
1．在z=0处，与x，y有关的位相部分消失，即该处的平面为 一等相面（与平面波波阵面一致）。
2．振幅部分为一指数函数（高斯函数） 高斯光束的由来。
3．在光束横截面内，光斑无明显边缘，通常定义的光斑大
小是：电矢量幅度在光斑半径r方向减小到中心（r=0）振幅的
第二章 高斯光束
§2-1 基模高斯光束
一、均匀平面波
如图2-1示，沿Z轴方向传播的均匀平面波，其电矢量为：
E(x, y, z) A0 exp[ ikz]
（2 1）
其中： K 2n 为波数，n为介质折射率（在空气中n≈1）
A0— 振幅
均匀平面波的特点：因为振幅A0与（x, y, z）均无关（即为常 数），且位相仅与Z有关：
四、R（z）min：
令 F W02（共焦参数） 或称端利长度（Rayleigh）
则
R(z)
z1
W02 z
2
z
1