§2.7 函数模型及函数的综合应用.pptx
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高考理数 (课标Ⅱ专用)
§ 2.7 函数模型及函数的综合应用
五年高考
自主命题·省（区、市）卷题组
考点 函数的综合应用
x2 x 3, x 1,
1.(2017天津,8,5分)已知函数f(x)=
x
设2 ,ax∈ 1R.,若关于x的不等式f(x)≥
x
成立,则a的取值范围是( )
A.
47 16
,
2B.
4.(2014山东,15,5分)已知函数y=f(x)(x∈R),对函数y=g(x)(x∈I),定义g(x)关于f(x)的“对称函 数”为函数y=h(x)(x∈I),y=h(x)满足:对任意x∈I,两个点(x,h(x)),(x,g(x))关于点(x, f(x))对称.若h (x)是g(x)= 4关于x2 f(x)=3x+b的“对称函数”,且h(x)>g(x)恒成立,则实数b的取值范围是
x 2
+
在R2上恒成立,
x
即有-
3 2
x≤a2x≤
+ x 在2R上恒成立,由于x>1,所以-
2x
≤ -322x
2=-2
x
,当且3x仅 2当x=
2x
3
2 时取得最大值-2
;因为x>1,所以
3
1x+ 2≥2 1=x2,2当且仅当x=2时取得最小值2,则-2
3
≤3a≤2.
2x
2x
由①②可得- 47 ≤a≤2,故选A.
函数y=ex(x2+2)在(-∞,+∞)上单调递增,∴④符合题意.
∴符合题意的为①④.
思路分析 审清题意,逐项代入检验即可.
方法总结 判断函数单调性的一般方法: (1)定义法. (2)图象法. (3)利用复合函数单调性的判断方法判断单调性. (4)导数法.具体步骤:①确定函数的定义域;②当f '(x)>0时, f(x)为增函数,当f '(x)<0时, f(x)为减函 数,注意写单调区间时不能用“∪”连接.
.
①f(x)=2-x ②f(x)=3-x ③f(x)=x3 ④f(x)=x2+2
答案 ①④
解析 增,
对于①,
f(x)的定义域为(-∞,+∞),ex·f(x)=ex·2-x=
e 2
x
,∵函数y=
在2e (x-∞,+∞)上单调递
∴①符合题意.
对于②,
f(x)的定义域为(-∞,+∞),ex·f(x)=ex·3-x=
2
2
2
x-3图象的对称轴为x1=
4
1 4
1,可得在x
= 1 处取得最大值-47 ;由y=x2-3
4
16
2
x+3图象的对称轴为x=3
4
3 4
1,可得在x=
3处取得最小值 39,则
4
16
- 47 ≤a≤ 39 .
16
16
②当x>1时,关于x的不等式f(x)≥
x
在R上恒成立等价于-
a
2
≤ x
2+a≤x
e 3
,∵x 函数y=
3e在x(-∞,+∞)上单调递减,∴②
不符合题意.
对于③, f(x)的定义域为(-∞,+∞),ex·f(x)=ex·x3,令y=ex·x3,则y'=(ex·x3)'=ex·x2(x+3),当x∈(-∞,-3)时,y'<
0,函数y=ex·f(x)单调递减,故③不符合题意.
对于④, f(x)的定义域为(-∞,+∞),ex·f(x)=ex(x2+2),令y=ex(x2+2),则y'=[ex(x2+2)]'=ex(x2+2x+2)>0,∴
(e=2.718…为自然对数的底数,k,b为常数).若该食品在0 ℃的保鲜时间是192小时,在22 ℃的保
鲜时间是48小时,则该食品在33 ℃的保鲜时间是
小时.
答案 24
解析 依题意有192=eb,48=e22k+b=e22k·eb,
所以e22k=
48 eb
= 48=
192
1 4
,所以e11k= 1
.
答案 (2 1,+0∞)
解析 函数g(x)= 4的图x2象是以坐标原点为圆心,2为半径的圆在x轴上及其上方的部分.由 题意可知,对任意x0∈I,都有h(x0)+g(x0)=2f(x0),即(x0, f(x0))是点(x0,h(x0))和点(x0,g(x0))连线的中点, 又h(x)>g(x)恒成立,所以直线f(x)=3x+b与半圆g(x)= 相4 离x2且b>0.
16
思路分析 讨论当x≤1时,运用绝对值不等式的解法和分离参数,可得-x2+ 1 x-3≤a≤x2- 3 x+3,
2
2
再由二次函数的最值求法,可得a的取值范围;讨论当x>1时,同样可得-
32≤x a≤2x
+
用基本不等式可得最值,从而可得a的取值范围,求交集即可得到所求范围.
,x再利2
2x
2.(2015四川,13,5分)某食品的保鲜时间y(单位:小时)与储藏温度x(单位:℃)满足函数关系y=ekx+b
(2)当4<a≤5时,
|g(x)|max=max{a-4,5-a}=
a
4,
9 2
a
5,
5
a,
4
a
9
.
2
当9
2
<a≤5时,
f(x)max=a-4+a=5⇒a=
47 16
,
39 16
C.[-2 ,32]
D.
2
3,
39 16
x
在R上恒2
a
答案 A 本题考查分段函数的应用及不等式恒成立问题.
①当x≤1时,关于x的不等式f(x)≥ x 在aR上恒成立等价于-x2+x-3≤ +xa≤x2-x+3在R上恒成
2
2
立,即有-x2+ 1 x-3≤a≤x2-3 x+3在R上恒成立.由y=-x2+1
2
或1-
2
1 ×3 192=24(小时).
2
(舍去),于是该食品在33 ℃的保鲜时间是e33k+b=(e11k)3·eb=
3.(2017山东,15,5分)若函数exf(x)(e=2.718 28…是自然对数的底数)在f(x)的定义域上单调递增,
则称函数f(x)具有M性质.下列函数中所有具有M性质的函数的序号为
设g(x)=x+ 4 -a,x∈[1,4],
x
g'(x)=1- 4 = x2 ,易4 知g(x)在[1,2]上为减函数,在[2,4]上为增函数,g(2)=4-a,g(1)=g(4)=5-a.
x2
x2
(1)当a≤4时,|g(x)|max=5-a,∴f(x)max=|g(x)|max+a=5.
∴a≤4符合题意.
b 0,
即
wk.baidu.com
解| b |之得b>22,
32 (1)2
.
所以实数b的取值范围为(2
10
1,+0∞).
5.(2017浙江,17,5分)已知a∈R,函数f(x)= x +4a在 a区间[1,4]上的最大值是5,则a的取值范围
x
是
.
答案
,
9 2
解析 本题考查函数的单调性,函数在闭区间上的最值的求法,考查分类讨论思想.
§ 2.7 函数模型及函数的综合应用
五年高考
自主命题·省（区、市）卷题组
考点 函数的综合应用
x2 x 3, x 1,
1.(2017天津,8,5分)已知函数f(x)=
x
设2 ,ax∈ 1R.,若关于x的不等式f(x)≥
x
成立,则a的取值范围是( )
A.
47 16
,
2B.
4.(2014山东,15,5分)已知函数y=f(x)(x∈R),对函数y=g(x)(x∈I),定义g(x)关于f(x)的“对称函 数”为函数y=h(x)(x∈I),y=h(x)满足:对任意x∈I,两个点(x,h(x)),(x,g(x))关于点(x, f(x))对称.若h (x)是g(x)= 4关于x2 f(x)=3x+b的“对称函数”,且h(x)>g(x)恒成立,则实数b的取值范围是
x 2
+
在R2上恒成立,
x
即有-
3 2
x≤a2x≤
+ x 在2R上恒成立,由于x>1,所以-
2x
≤ -322x
2=-2
x
,当且3x仅 2当x=
2x
3
2 时取得最大值-2
;因为x>1,所以
3
1x+ 2≥2 1=x2,2当且仅当x=2时取得最小值2,则-2
3
≤3a≤2.
2x
2x
由①②可得- 47 ≤a≤2,故选A.
函数y=ex(x2+2)在(-∞,+∞)上单调递增,∴④符合题意.
∴符合题意的为①④.
思路分析 审清题意,逐项代入检验即可.
方法总结 判断函数单调性的一般方法: (1)定义法. (2)图象法. (3)利用复合函数单调性的判断方法判断单调性. (4)导数法.具体步骤:①确定函数的定义域;②当f '(x)>0时, f(x)为增函数,当f '(x)<0时, f(x)为减函 数,注意写单调区间时不能用“∪”连接.
.
①f(x)=2-x ②f(x)=3-x ③f(x)=x3 ④f(x)=x2+2
答案 ①④
解析 增,
对于①,
f(x)的定义域为(-∞,+∞),ex·f(x)=ex·2-x=
e 2
x
,∵函数y=
在2e (x-∞,+∞)上单调递
∴①符合题意.
对于②,
f(x)的定义域为(-∞,+∞),ex·f(x)=ex·3-x=
2
2
2
x-3图象的对称轴为x1=
4
1 4
1,可得在x
= 1 处取得最大值-47 ;由y=x2-3
4
16
2
x+3图象的对称轴为x=3
4
3 4
1,可得在x=
3处取得最小值 39,则
4
16
- 47 ≤a≤ 39 .
16
16
②当x>1时,关于x的不等式f(x)≥
x
在R上恒成立等价于-
a
2
≤ x
2+a≤x
e 3
,∵x 函数y=
3e在x(-∞,+∞)上单调递减,∴②
不符合题意.
对于③, f(x)的定义域为(-∞,+∞),ex·f(x)=ex·x3,令y=ex·x3,则y'=(ex·x3)'=ex·x2(x+3),当x∈(-∞,-3)时,y'<
0,函数y=ex·f(x)单调递减,故③不符合题意.
对于④, f(x)的定义域为(-∞,+∞),ex·f(x)=ex(x2+2),令y=ex(x2+2),则y'=[ex(x2+2)]'=ex(x2+2x+2)>0,∴
(e=2.718…为自然对数的底数,k,b为常数).若该食品在0 ℃的保鲜时间是192小时,在22 ℃的保
鲜时间是48小时,则该食品在33 ℃的保鲜时间是
小时.
答案 24
解析 依题意有192=eb,48=e22k+b=e22k·eb,
所以e22k=
48 eb
= 48=
192
1 4
,所以e11k= 1
.
答案 (2 1,+0∞)
解析 函数g(x)= 4的图x2象是以坐标原点为圆心,2为半径的圆在x轴上及其上方的部分.由 题意可知,对任意x0∈I,都有h(x0)+g(x0)=2f(x0),即(x0, f(x0))是点(x0,h(x0))和点(x0,g(x0))连线的中点, 又h(x)>g(x)恒成立,所以直线f(x)=3x+b与半圆g(x)= 相4 离x2且b>0.
16
思路分析 讨论当x≤1时,运用绝对值不等式的解法和分离参数,可得-x2+ 1 x-3≤a≤x2- 3 x+3,
2
2
再由二次函数的最值求法,可得a的取值范围;讨论当x>1时,同样可得-
32≤x a≤2x
+
用基本不等式可得最值,从而可得a的取值范围,求交集即可得到所求范围.
,x再利2
2x
2.(2015四川,13,5分)某食品的保鲜时间y(单位:小时)与储藏温度x(单位:℃)满足函数关系y=ekx+b
(2)当4<a≤5时,
|g(x)|max=max{a-4,5-a}=
a
4,
9 2
a
5,
5
a,
4
a
9
.
2
当9
2
<a≤5时,
f(x)max=a-4+a=5⇒a=
47 16
,
39 16
C.[-2 ,32]
D.
2
3,
39 16
x
在R上恒2
a
答案 A 本题考查分段函数的应用及不等式恒成立问题.
①当x≤1时,关于x的不等式f(x)≥ x 在aR上恒成立等价于-x2+x-3≤ +xa≤x2-x+3在R上恒成
2
2
立,即有-x2+ 1 x-3≤a≤x2-3 x+3在R上恒成立.由y=-x2+1
2
或1-
2
1 ×3 192=24(小时).
2
(舍去),于是该食品在33 ℃的保鲜时间是e33k+b=(e11k)3·eb=
3.(2017山东,15,5分)若函数exf(x)(e=2.718 28…是自然对数的底数)在f(x)的定义域上单调递增,
则称函数f(x)具有M性质.下列函数中所有具有M性质的函数的序号为
设g(x)=x+ 4 -a,x∈[1,4],
x
g'(x)=1- 4 = x2 ,易4 知g(x)在[1,2]上为减函数,在[2,4]上为增函数,g(2)=4-a,g(1)=g(4)=5-a.
x2
x2
(1)当a≤4时,|g(x)|max=5-a,∴f(x)max=|g(x)|max+a=5.
∴a≤4符合题意.
b 0,
即
wk.baidu.com
解| b |之得b>22,
32 (1)2
.
所以实数b的取值范围为(2
10
1,+0∞).
5.(2017浙江,17,5分)已知a∈R,函数f(x)= x +4a在 a区间[1,4]上的最大值是5,则a的取值范围
x
是
.
答案
,
9 2
解析 本题考查函数的单调性,函数在闭区间上的最值的求法,考查分类讨论思想.