数学模型-等级结构
数学建模——层次分析法
在大石头中的重量比）可用向量
且
n
w ( w1 , w2 ,..., wn
T 表示， )
. 显然， 的各个列向量与 w 1 A i
i 1
w
仅相差一个比例
因子。 一般地，如果一个正互反阵
A
满足 （8.2.4）
aij a jk aik , i, j, k 1, 2,..., n
则
3 计算权向量并做一致性检验
定理1
当
n 阶正互反阵 A的最大特征根 n，
时
当且仅
A为一致阵。 由于 连续的依赖于 aii ，则 比 n 大的越多， 的不 A
n
一致性越严重。用最大特征值对应的特征向量作为被比较因
素对上层某因素影响程度的权向量，其不一致程度越大，引 起的判断误差越大。因而可以用
RI。方法为：
A1 , A2 ,, A500
2.则可得一致性指标 ： CI1 , CI 2 ,CI500
CI1 CI 2 CI500 RI 500
n RI
1 2 500 n 500 n 1
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 0 0 0.58 0.90 1.12 1.24 1.32 1.41 1.45 1.49 1.51
aii 1 ，如用 C1 , C2 ,..., Cn
2 构造成对比较矩阵
2.比较尺度 • 当比较两个可能具有不同性质的因素 Ci 和 C j 对于一个上层 因素 O 的影响时，Saaty提出用1—9尺度（见下表），即aij 的取值范围是1,2,,9 ，及其互反数1,1/ 2,,1/ 9 。其理由 如下：
重，景色次之，居住条件再次。 问题1.怎样由成对比较阵确定诸因素 C , C ,..., C 对上层因 1 2 n 素
数学建模——层次分析法模型
危害性分级模型的建立与求解1.基于层次分析模型对恐怖袭击事件危害性指标建立层次结构模型考虑到恐怖袭击事件的危害性、人员伤亡、经济损失、发生的时机、地域、针对的对象等等诸多因素有关，在构建指标体系时，无法全部考虑到所有指标，因此本文采用层次分析模型，以定性和定量相结合的方法处理指标。
根据上述分析可知, 影响恐怖事件危险性级别的因素有很多，但是，在构建综合评价指标体系时，很难一次性考虑全部细节，此时可以将问题分解成多个层次，而每个层次又包含多个要素，依据大系统理论的分解协调原理，由粗到细，从全局到局部地逐步深入分析，把危险性级别评价的诸多影响因素条理化、层次化，从而建立一个递阶层次分析模型具体的层次分析模型如图1所示。
通过附件1对所有数据指标分析，建立系统的递阶层次结构，第一层为目标层分为5大类，第二层为准则层，第三层为子准则层，第四层为方案层。
其结果目标层准则层子准则层方案层恐怖袭击危害性指标响应级别人员伤亡死亡人数级别1级别2级别3级别4级别5受伤人数被绑人数经济损失损失程度1损失程度2损失程度3损失程度4攻击类型攻击设施攻击个人攻击群体武器类型无杀伤力中小型杀伤力攻击设施1.2 构造成对比较矩阵上一层因素的同一层诸因素，用成对比较法和1~9比较尺度构建成对比较矩阵[1]，直到最底层。
表2 标度------比较尺度解释标度 定义1 因素i 与因素j 相同重要 3 因素i 比因素j 稍重要 5 因素i 比因素j 较重要 7 因素i 比因素j 非常重要 9 因素i 比因素j 绝对重要2,4,6,8因素i 与因素j 的重要性的比值介于上述两个相邻等级之间倒数1，1/2,1/3,1/4,1/5,1/6,1/7,1/8,1/9因素j 与因素i 比较得到判断值为ij a 的互反数，ijji a a 1=1=ii a设要素为i F ，j F ；当i F 与j F 相比同等重要，有ij R =1 ；当i F 与j F 相比略为重要，有ij R =3/1 ；当i F 与j F 相比相当重要，有ij R =5/1 ；当i F 与j F 相比明显重要，有ij R =7/1 ；当i F 与j F 相比绝对重要，有ij R =9/1。
评价数据等级的模型-概述说明以及解释
评价数据等级的模型-概述说明以及解释1.引言1.1 概述数据等级的模型是指根据数据的特性和重要性对数据进行分类和评价的一种方法。
在当今信息爆炸的时代，数据的规模和复杂性不断增加，而数据的质量和可信度也变得越来越重要。
因此，对数据等级进行准确评价对于保证数据的质量和可靠性至关重要。
本文将探讨数据等级的概念、数据等级的重要性以及不同数据等级的模型评价方法，以期为数据管理和决策提供理论支持和指导。
通过对数据等级模型的评价标准、应用局限性和未来发展方向的分析，我们可以更好地利用数据等级模型来优化数据管理和决策过程。
文章结构部分内容应该包括对整篇文章的结构概述，介绍各个章节的主要内容和联系，可以写成以下形式：1.2 文章结构：本文主要分为引言、正文和结论三个部分。
在引言部分中，将简要介绍数据等级的概念以及本文的目的和重要性。
在正文部分中，将分别从数据等级的概念、重要性和不同数据等级的模型评价方法三个方面展开讨论。
最后，在结论部分中将总结数据等级模型的评价标准，讨论数据等级模型的应用局限性以及展望未来的发展方向。
通过这样的结构安排，读者能够清晰地了解文章内容的安排和逻辑，有助于整体阅读和理解文章的主题和观点。
1.3 目的本文的主要目的是探讨数据等级模型在评价过程中所面临的挑战和难题，以及对不同数据等级的模型评价方法进行探讨和比较。
同时，我们也将总结并分析数据等级模型的评价标准，探讨其应用的局限性，并提出未来发展的方向和建议。
通过本文的研究和讨论，希望能够为数据等级模型的评价和应用提供一定的借鉴和参考，有助于更好地运用数据等级模型进行数据管理和决策分析。
2.正文2.1 数据等级的概念数据等级是指根据数据的重要性和敏感性对数据进行分类和分级管理的一种方法。
在信息安全领域，数据等级的概念是非常重要的，它可以帮助组织有效地管理和保护其数据资产。
数据等级通常根据数据的重要性、保密性、完整性和可用性来进行分类。
一般情况下，数据等级可以分为公开级、内部级、机密级和绝密级等不同级别。
数学建模 -的范例
针对问题三，本文首先对主要风险因子进行了灰色预测，计算出未来几年水资源总量、降水量、平均气温、生活用水量、工业用水量。
然后采用问题二中的BP神经网络预测每年的缺水量。
最后通过整合往年的数据，运用问题二中的熵值取权的模糊评价模型预测出未来几年内水资源短缺的风险等级。
由于考虑到降水量和地下储水相关系数高，我们依据历年的降水量估测出平水年，偏枯年，枯水年三种不同年份的水资源总量，并应用问题二的风险评价模型进行评估，得到三种不同年份水资源短缺风险等级依次为高，较高，较低。
最后我们分析了南水北调工程对北京市未来两年水资源短缺的风险等级影响，风险等级依次变为低，偏低，无。
针对问题四，我们从北京市水资源现状及分析、北京市严重缺水的原因探究、北京市水资源开发利用对策三个层面向相关行政主管部门提交建议报告，以求帮助其合理规避水资源短缺风险。
关键字：水资源短缺风险、灰色关联度分析、主成分分析，模糊综合评价、BP 神经网络、熵值取权一、问题重述1.1 问题背景水是生命之源，万物之本，是人类生存和发展不可或缺的物质，是地球上最普遍、最常见同时也是最珍贵的自然资源。
水是人类一切生产活动的基础，有水的地方欣欣向荣，水资源枯竭的地方则文明消失。
长期以来，我们注重经济社会发展，却忽略了水资源的承载能力，注重水资源开发利用，却没有同等重视节约和保护。
随着经济社会发展，1.2 问题重述水资源短缺危险泛指在特定的时空环境下，由于来水和用水的不确定性，室区域水资源系统发生供水短缺的可能性以及有此产生的损失。
近年来我国水资源短缺问题日趋严重，以北京市为例，北京是世界上水资源严重缺乏的大都市之一，属严重缺水地区。
虽然政府采取了一些列措施，如南水北调工程建设, 建立污水处理厂,产业结构调整等。
但是，气候变化和经济社会不断发展，水资源短缺风险始终存在。
如何对水资源风险的主要因子进行识别，对风险造成的危害等级进行划分，对不同风险因子采取相应的有效措施规避风险或减少其造成的危害，这对社会经济的稳定、可持续发展战略的实施具有重要的意义。
数学建模评价模型
yi f ( w , x ( i ) ) ， j 1,2,, m) ，则可以计算出各系统的综合评价值 x (i ) ( xi1 , xi 2 ,, xim )T (i 1,2,, n) 。根据 yi (i 1,2,, n) 值的大小 n 将这 个系统进行排序或分类，即得到综合评价结果。
2、 构成综合评价问题的五个要素
（5）评价者 评价者是直接参与评价的人，可以是某一个人， 也可以是一个团体。对于评价目的选择、评价指标体 系确定、评价模型的建立和权重系数的确定都与评价 者有关。
3、综合评价的一般步骤
1．确定综合评价的目的 （分类？排序？实现程
度？） 2．建立评价指标体系 3. 对指标数据做预处理
评价指标体系应遵守的原则：系统性、科学性、可比性、 m 可测性（即可观测性）和独立性。这里不妨设系统有 个评 价指标 （或属性） 分别记为 x1 , x2 , , xm ( m 1) ，即评价指 ， 标向量为 x ( x1 , x2 , , xm ) 。
T
2、 构成综合评价问题的五个要素
1.4 定性指标的量化处理方法
在实际中，很多问题都涉及到定性，或模糊指 标的定量处理问题。 诸如:教学质量、科研水平、工作政绩、人员素 质、各种满意度、信誉、态度、意识、观念、能 力等因素有关的政治、社会、人文等领域的问题 。
如何对有关问题给出定量分析呢？
按国家的评价标准,评价因素一般分为五 个等级，如A，B，C，D，E。
•1.3 将区间型化为极大型
对某个区间型数据指标 x ，则
ax 1 c , x a x 1, a xb 1 x b , x b c
其中 [ a, b] 为 x 的最佳稳定区间，c max{a m, M b} ，
数学建模经典案例6
存贮策略的评价指标
每周平均需求量1架
i
2. 估计每周的平均销售量
第n周平 Rn [ jP( Dn j , S n i) iP( Dn i, S n i) ] i 1 j 1 均售量
需求不超过存量,需求被售
3 i i 1 j 1
需求超过存量,存量被售
[ jP( Dn j S n i ) iP( Dn i S n i )]P( S n i )
当平均需求(=1.0)增长(或减少)10%时， 失去销售机会的概率P将增长(或减少)约15% 。
钢琴销售的存贮策略
存贮策略(周末库存为0则订购3架, 否则不订购)已定, 计算两个指标(失去销售的概率和每周平均销售量). 给出其他存贮策略(如周末库存为0或1则订购使下周 初库存为3架, 否则不订购), 讨论这两个指标(习题1). 关键是在无后效性的前提下恰当地定义系统的状态 变量(本例是每周初的库存量). 动态随机存贮策略是马氏链的典型应用.
p12 1 p11 0.2
p22 1 p21 0.3
p21 0.7
1
0.7
2
Xn+1只取决于Xn和pij, 与Xn-1, …无关 状态转移具 有无后效性
a1 (n 1) a1 (n) p11 a2 (n) p21
a2 (n 1) a1 (n) p12 a2 (n) p22
e 0 1 e 状态转移阵 P e e 1 (1 )e 2 e / 2 e 1 ( 2 / 2)e 第n周(n充分大)失去销售机会的概率 P P( Dn Sn )
P 0.8 0.073 0.9 0.089 1.0 0.105 1.1 0.122 1.2 0.139
数学模型等级结构
攀枝花学院学生课程设计（论文）题目：学生姓名：学号：所在院(系)：数学与计算机学院专业：信息与计算科学班级：指导教师：职称：讲师2014年 12月 19 日攀枝花学院教务处制攀枝花学院本科学生课程设计任务书年注：任务书由指导教师填写。
摘要按照人们的职位或职位划分为许多等级，如大学教师分为教授，讲师，助教，工厂技术员分为高级工程师，工程师，技术员，学生有大学生，研究生，中学生等。
不同等级人员比例不一样的等级结构。
合适的，稳定的等级结构有利于教学，研究，生产等各个方面工作顺利进行，因此希望建立一个模型来描述等级结构变化情况，预知未来的结构。
引起等级结构变化的因素有两个，一是系统中等级间转移，即是升级或降级。
二是系统外的交流，即是调入或退出。
系统变化本是一个确定转移问题，但是当我们的人员时期按照一定比例成员提升，降级或退出，就转化为马氏链模型等级描述变化。
关键词等级结构、预知，变化，转移，马氏链目录摘要 (4)1问题重述与问题分析 (5)问题重述 (5)问题分析： (6)2模型假设与符号解释 (6)模型假设 (6)符号说明 (6)3建立模型与分析 (9)建立模型 (9)模型1 (9)..................................... 错误!未定义书签。
模型二 (10)用调入比例进行动态调节 (10)4模型结果 (12)模型解释 (12)结束语 (12)参考文献 (12)1问题重述与问题分析问题重述随着经济全球化的发展，推动生活节奏的加快，社会上常常要求按照人们的职位或职位划分为许多等级，如大学教师分为教授，讲师，助教，工厂技术员分为高级工程师，工程师，技术员，学生有大学生，研究生，中学生等。
不同等级人员比例不一样的等级结构。
合适的，稳定的等级结构有利于教学，研究，生产等各个方面工作顺利进行，因此希望建立一个模型来描述等级结构变化情况，预知未来的结构. 社会系统中的等级结构，适当的、稳定的结构的意义，描述等级结构的演变过程，预测未来的结构，确定为达到某个理想结构应采取相应的策略解决问题。
重大危险源 现实危险性分析-数学模型
一、数学模型来源：根据安全工程学的一般原理，危险性定义为事故频率和事故后果严重程度的乘积，即危险性评价一方面取决于事故的易发性，另一方面取决于事故一旦发生后后果的严重性。
现实的危险性不仅取决于由生产物质的特定物质危险性和生产工艺的特定工艺过程危险性所决定的生产单元的固有危险性，而且还同各种人为管理因素及防灾措施的综合效果有密切关系。
重大危险源的评价模型如图所示的层次结构。
重大危险源评价指标体系框图三、数学模型中各个指标：（一）危险物质事故易发性B111每类物质根据其总体危险感度给出权重分，每种物质根据其与反应感度有关的理化参数值给出状态分；每一大类物质下面分若干小类，共计19个子类。
对每一大类或子类，分别给出状态分的评价标准。
权重分与状态分的乘积即为该类物质危险感度的评价值，亦即危险物质事故易发性的评分值。
为了考虑毒物扩散危险性，危险物质分类中定义毒性物质为第八种危险物质。
一种危险物质可以同时属于易燃易爆七大类中的一类，又属于第八类。
对于毒性物质，其危险物质事故易发性主要取决于下列4个参数：①毒性等级；②物质的状态；③气味；④重度。
毒性大小不仅影响事故后果，而且影响事故易发性：毒性大的物质，即使微量扩散也能酿成事故，而毒性小的物质不具有这种特点。
毒性对事故严重度的影响在毒物伤害模型中予以考虑。
对不同的物质状态，毒物泄漏和扩散的难易程度有很大不同，显然气相毒物比液相毒物更容易酿成事故；重度大的毒物泄漏后不易向上扩散，因而容易造成中毒事故。
物质危险性的最大分值定为100分。
（三）工艺与危险性相关系数Wij: 同一种工艺条件对于不同类别的危险物质所体现的危险程度是各不相同的，因此必须确定相关系数Wij（四）事故严重度B12（以下的介绍可以看看，理解不了就不要看了，折算公式记住）事故严重度用事故后果的经济损失（万元）表示。
事故后果系指事故中人员伤亡以及房屋、设备、物资等的财产损失，不考虑停工损失。
人员伤亡区分人员死亡数、重伤数、轻伤数。
数学建模 四大模型总结
四类基本模型1 优化模型1.1 数学规划模型线性规划、整数线性规划、非线性规划、多目标规划、动态规划。
1.2 微分方程组模型阻滞增长模型、SARS 传播模型。
1.3 图论与网络优化问题最短路径问题、网络最大流问题、最小费用最大流问题、最小生成树问题(MST)、旅行商问题(TSP)、图的着色问题。
1.4 概率模型决策模型、随机存储模型、随机人口模型、报童问题、Markov 链模型。
1.5 组合优化经典问题● 多维背包问题(MKP)背包问题：n 个物品，对物品i ，体积为i w ，背包容量为W 。
如何将尽可能多的物品装入背包。
多维背包问题：n 个物品，对物品i ，价值为i p ，体积为i w ，背包容量为W 。
如何选取物品装入背包，是背包中物品的总价值最大。
多维背包问题在实际中的应用有：资源分配、货物装载和存储分配等问题。
该问题属于NP 难问题。
● 二维指派问题(QAP)工作指派问题：n 个工作可以由n 个工人分别完成。
工人i 完成工作j 的时间为ij d 。
如何安排使总工作时间最小。
二维指派问题（常以机器布局问题为例）：n 台机器要布置在n 个地方，机器i 与k 之间的物流量为ik f ，位置j 与l 之间的距离为jl d ，如何布置使费用最小。
二维指派问题在实际中的应用有：校园建筑物的布局、医院科室的安排、成组技术中加工中心的组成问题等。
● 旅行商问题(TSP)旅行商问题：有n 个城市，城市i 与j 之间的距离为ij d ，找一条经过n 个城市的巡回（每个城市经过且只经过一次，最后回到出发点），使得总路程最小。
● 车辆路径问题(VRP)车辆路径问题（也称车辆计划）：已知n 个客户的位置坐标和货物需求，在可供使用车辆数量及运载能力条件的约束下，每辆车都从起点出发，完成若干客户点的运送任务后再回到起点，要求以最少的车辆数、最小的车辆总行程完成货物的派送任务。
TSP 问题是VRP 问题的特例。
● 车间作业调度问题(JSP)车间调度问题：存在j 个工作和m 台机器，每个工作由一系列操作组成，操作的执行次序遵循严格的串行顺序，在特定的时间每个操作需要一台特定的机器完成，每台机器在同一时刻不能同时完成不同的工作，同一时刻同一工作的各个操作不能并发执行。
数学模型-层次分析法的基本步骤
(1)
表示。由（1）给出的aij的特点,A称为正互反矩 阵。显然比由aii=1。如用C1，…,C5依次表示景 色、费用、饮食、旅游5个准则，设某人用成对
比较距阵（正互反阵）为10Biblioteka 1 1 24
3
3
2 1 7 5 5
A
1
4
1 7
1
1 2
1 3
1 1
3 3
1 5
2
1 5
9
假设要比较某一层n个因素C1,C2 , …，Cn对上 层一个因素O的影响，如旅游决策问题中比较景
色等5个准则在选择旅游地这个目标中的重要性。
每次取两个因素Ci和Cj，用aij表示Ci和Cj对O的影 响之比,全部比较结果可用对比比较距阵
A=(aij)n×n , aij > 0
, a ji
1 a ij
素C1,…,Cn对上层因素O的权重。
11
仔细分析一下（2）式给出的成对比较阵A可以 发现，既然C1与C2之比为1：2；C1与C3之比为4：1。 那么C2与C3之比因为8：1而不是7:1才能说明成对比 较是一致的。但是，n个因素要做 n(n 1次) ，全部一 致的要求是太苛刻了。Saaty等人给出了2在成对比较 不一致的情况下计算各因素C1,…，Cn对因素O的权 重的方法，并且确定了这种不一致的容许范围。为 了说明这点我们先看成对比较完全一致。
表9-1 1-9尺度aij的含义
尺度aij 1
含义
Ci与Cj得影响相同
3
Ci与Cj得影响稍强
5
Ci与Cj得影响强
7
Ci与Cj得影响明显地强
9
Ci与Cj得影响绝对地强
数学建模层次分析法
(Analytic Hierarchy Process) 建模
数学建模
模型背景 基本步骤 应用实例
一、模型背景
❖ 美国运筹学家匹兹堡大学教授Saaty在20世纪70 年代初提出的一种层次权重决策分析方法。
❖层次分析法(Analytic Hierarchy Process简称AHP) 是一种定性和定量分析相结合的决策分析方法。
对总目标Z的排序为
A1
A2
Am
a1, a2 ,, am
B层n个因素对上层 A中因素为 Aj
其层次单排序为
B1
B2
Bn b1 j ,b2 j ,,bnj ( j 1,2,, m)
层次 A A1
层次 B a1
B1
b11
B2
b21
.
.
.
.
.
.
Bn
bn1
A2 … Am B 层次总
a2
… am 排序权值
RI 0i RIi 0.58 i 1
CR CI / RI 0.087 / 0.58 0.015 0.1
C5
0.118 0.166 0.166 0.668
层次P的 总排序
0.3 0.246 0.456
层次分析法的优点
系统性——将对象视作系统，按照分解、比较、判断、综合 的思维方式进行决策。成为成为继机理分析、统 计分析之后发展起来的系统分析的重要工具；
w(2) (0.263, 0.475, 0.055, 0.090, 0.110)T
同样求第3层(方案)对第2层每一元素(准则)的权向量
方案层对C1(景色)的 成对比较阵
方案层对C2(费用)的 成对比较阵
…Cn
数学建模综合评价方法(定)
所谓指标就是用来评价系统的参量．例如，在校学生规模、教学质量、师资结构、科研水平等，就可以作为评价高等院校综合水平的主要指标．一般说来，任何—个指标都反映和刻画事物的—个侧面．从指标值的特征看，指标可以分为定性指标和定量指标．定性指标是用定性的语言作为指标描述值，定量指标是用具体数据作为指标值．例如，旅游景区质量等级有5A 、4A 、3A 、2A 和1A 之分，则旅游景区质量等级是定性指标；而景区年旅客接待量、门票收入等就是定量指标．从指标值的变化对评价目的的影响来看，可以将指标分为以下四类： (1)极大型指标(又称为效益型指标)是指标值越大越好的指标； (2)极小型指标(又称为成本型指标)是指标值越小越好的指标； (3)居中型指标是指标值既不是越大越好，也不是越小越好，而是适中为最好的指标； (4) 区间型指标是指标值取在某个区间内为最好的指标．例如，在评价企业的经济效益时，利润作为指标，其值越大，经济效益就越好，这就是效益型指标；而管理费用作为指标，其值越小，经济效益就越好，所以管理费用是成本型指标．再如建筑工程招标中，投标报价既不能太高又不能太低，其值的变化范围一般是(10%,5%)-+×标的价，超过此范围的都将被淘汰，因此投标报价为区间型指标．投标工期既不能太长又不能太短，就是居中型指标．在实际中，不论按什么方式对指标进行分类，不同类型的指标可以通过相应的数学方法进行相互转换8.2.4 评价指标的预处理方法一般情况下，在综合评价指标中，各指标值可能属于不同类型、不同单位或不同数量级，从而使得各指标之间存在着不可公度性，给综合评价带来了诸多不便．为了尽可能地反映实际情况，消除由于各项指标间的这些差别带来的影响，避免出现不合理的评价结果，就需要对评价指标进行一定的预处理，包括对指标的一致化处理和无量纲化处理．1．指标的一致化处理所谓一致化处理就是将评价指标的类型进行统一．一般来说，在评价指标体系中，可能会同时存在极大型指标、极小型指标、居中型指标和区间型指标，它们都具有不同的特点．如产量、利润、成绩等极大型指标是希望取值越大越好；而成本、费用、缺陷等极小型指标则是希望取值越小越好；对于室内温度、空气湿度等居中型指标是既不期望取值太大，也不期望取值太小，而是居中为好．若指标体系中存在不同类型的指标，必须在综合评价之前将评价指标的类型做一致化处理．例如，将各类指标都转化为极大型指标，或极小型指标．一般的做法是将非极大型指标转化为极大型指标．但是，在不同的指标权重确定方法和评价模型中，指标一致化处理也有差异．(1) 极小型指标化为极大型指标对极小型指标j x ，将其转化为极大型指标时，只需对指标j x 取倒数：1j jx x '=，或做平移变换：j j j x M x '=-，其中1 max{}j ij i nM x ≤≤=，即n 个评价对象第j 项指标值ij x 最大者．(2) 居中型指标化为极大型指标对居中型指标j x ，令1 max{}j ij i nM x ≤≤=，1 min{}j ij i nm x ≤≤=，取2(),;2 2(),.2j j j j j j j j j j j j j j jj j x m M m m x M m x M x M m x M M m -+⎧≤≤⎪-⎪'=⎨-+⎪≤≤⎪-⎩就可以将j x 转化为极大型指标．(3) 区间型指标化为极大型指标对区间型指标j x ，j x 是取值介于区间[,]j j a b 内时为最好，指标值离该区间越远就越差．令1 max{}j ij i nM x ≤≤=，1 min{}j ij i nm x ≤≤=， max{,},j j j j j c a m M b =--取1,;1, ; 1,.j jj j j j j j j j jj j j a x x a c x a x b x bx b c -⎧-<⎪⎪⎪'=≤≤⎨⎪-⎪->⎪⎩就可以将区间型指标j x 转化为极大型指标．类似地，通过适当的数学变换，也可以将极大型指标、居中型指标转化为极小型指标．2．指标的无量纲化处理所谓无量纲化，也称为指标的规范化，是通过数学变换来消除原始指标的单位及其数值数量级影响的过程．因此，就有指标的实际值和评价值之分．—般地，将指标无量纲化处理以后的值称为指标评价值．无量纲化过程就是将指标实际值转化为指标评价值的过程．对于n 个评价对象12,,,n S S S L ，每个评价对象有m 个指标，其观测值分别为(1,2,,;1,2,,)ij x i n j m ==L L ．(1) 标准样本变换法 令* (1,1).ij jij jx x x i n j m s -=≤≤≤≤其中样本均值11n j ij i x x n ==∑，样本均方差j s =*ij x 称为标准观测值． 特点：样本均值为0，方差为1；区间不确定，处理后各指标的最大值、最小值不相同；对于指标值恒定(0j s =)的情况不适用；对于要求指标评价值*0ij x >的评价方法(如熵值法、几何加权平均法等)不适用．(2) 线性比例变换法 对于极大型指标，令*11 (max 0, 1, 1).max ij ij ij i niji nx x x i n j m x ≤≤≤≤=≠≤≤≤≤对极小型指标，令*1min (1,1).iji nijijx x i n j m x ≤≤=≤≤≤≤或*111 (max 0, 1, 1).max ij ijij i niji nx x x i n j m x ≤≤≤≤=-≠≤≤≤≤该方法的优点是这些变换方式是线性的，且变化前后的属性值成比例．但对任一指标来说，变换后的*1ij x =和*0ij x =不一定同时出现．特点：当0ij x ≥时，*[0,1]ij x ∈；计算简便，并保留了相对排序关系．(3) 向量归一化法 对于极大型指标，令* (1,1).ij x x i n j m =≤≤≤≤对于极小型指标，令*1,1).ij x x i n j m =≤≤≤≤优点：当0ij x ≥时，*[0,1]ijx ∈，即*21()1nij i x ==∑．该方法使*01ij x ≤≤，且变换前后正逆方向不变；缺点是它是非线性变换，变换后各指标的最大值和最小值不相同．(4) 极差变换法对于极大型指标，令*111min (1, 1).max min ij iji nijij iji ni nx x x i n j m x x ≤≤≤≤≤≤-=≤≤≤≤-对于极小型指标，令*111max (1, 1).max min ij iji nijij iji ni nx x x i m j n x x ≤≤≤≤≤≤-=≤≤≤≤-其优点为经过极差变换后，均有*01ij x ≤≤，且最优指标值*1ij x =，最劣指标值*0ij x =．该方法的缺点是变换前后的各指标值不成比例，对于指标值恒定(0j s =)的情况不适用．(5) 功效系数法 令*111min (1,1).max min ij iji nijij iji ni nx x x c d i n j m x x ≤≤≤≤≤≤-=+⨯≤≤≤≤-其中,c d 均为确定的常数．c 表示“平移量”，表示指标实际基础值，d 表示“旋转量”，即表示“放大”或“缩小”倍数，则*[,]ij x c c d ∈+．通常取60,40c d ==，即*111min 6040 (1,1).max min ij iji nijij iji ni nx x x i n j m x x ≤≤≤≤≤≤-=+⨯≤≤≤≤-则*ij x 实际基础值为60，最大值为100，即*[60,100]ij x ∈．特点：该方法可以看成更普遍意义下的一种极值处理法，取值范围确定，最小值为c ，最大值为c d +．3．定性指标的定量化在综合评价工作中，有些评价指标是定性指标，即只给出定性地描述，例如：质量很好、性能一般、可靠性高、态度恶劣等．对于这些指标，在进行综合评价时，必须先通过适当的方式进行赋值，使其量化．一般来说，对于指标最优值可赋值10.0，对于指标最劣值可赋值为0.0．对极大型和极小型定性指标常按以下方式赋值．(1) 极大型定性指标量化方法对于极大型定性指标而言，如果指标能够分为很低、低、一般、高和很高等五个等级，则可以分别取量化值为1.0,3.0,5.0,7.0和9.0，对应关系如图8-2所示．介于两个等级之间的可以取两个分值之间的适当数值作为量化值．图８-2 极大型定性指标量化方法(2) 极小型定性指标量化方法对于极小型定性指标而言，如果指标能够分为很高、高、一般、低和很低等五个等级，化值为1.0,3.0,5.0,7.0和9.0，对应关系如图8-3所示．介于两个等级之间的可以取两个分值之间的适当数值作为量化值．模糊综合评价方法在客观世界中，存在着许多不确定性现象，这种不确定性有两大类：一类是随机性现象，即事物对象是明确的，由于人们对事物的因果律掌握不够，使得相应结果具有不可预知性，例如晴天、下雨、下雪，这是明确的，但出现规律不确定；另一类是模糊性现象，即某些事物或概念的边界不清楚，使得事物的差异之间存在着中间过渡过程或过渡结果，例如年轻与年老、高与矮、美与丑等，这种不确定性现象不是人们的认识达不到客观实际所造成的，而是事物的一种内在结构的不确定属性，称为模糊性现象．模糊数学就是用数学方法研究和处理具有“模糊性”现象的一个数学分支．而模糊综合评价就是以模糊数学为基础，应用模糊关系合成的原理，将一些边界不清、不易定量的因素定量化，进行综合评价的一种方法． ．隶属度函数的确定方法隶属度的思想是模糊数学的基本思想，确定符合实际的隶属函数是应用模糊数学方法建立数学模型的关键，然而这是至今尚未完全解决的问题．下面介绍几种常用的确定隶属函数的方法．⑴ 模糊统计法模糊统计法是利用概率统计思想确定隶属度函数的一种客观方法，是在模糊统计的基础上根据隶属度的客观存在性来确定的．下面以确定青年人的隶属函数为例来介绍其主要过程．① 以年龄为论域X ，在论域X 中取一固定样本点027x =．② 设*A 为论域X 上随机变动的普通集合，°A 是青年人在X 上以*A 为弹性边界的模糊集，对*A 的变动具有制约作用．其中°0x A ∈，或°0x A ∉，使得0x 对°A 的隶属关系具有不确定性．然后进行模糊统计试验，若n 次试验中覆盖0x 的次数为n m ，则称nm n为0x 对于°A 的隶属频率．由于当试验次数n 不断增大时，隶属频率趋于某一确定的常数，该常数就是0x 属于°A 的隶属度，即 °0()lim .n An m x nμ→∞=比如在论域X 中取027x =，选择若干合适人选，请他们写出各自认为青年人最适宜最恰当的年龄区间(从多少岁到多少岁)，即将模糊概念明确化．若n 次试验中覆盖27岁的年龄区间的次数为m ，则称mn为27岁对于青年人的隶属频率，表8-4是抽样调查统计的结果．由于27岁对于青年人的隶属频率稳定在0．78附近，因此可得到027x =属于模糊集°A 的隶属度°(27)0.78Aμ=．试验次数n 1020 30 40 50 60 70 80 90 100110 120 129 隶属次数m6 1423 31 39 47 53 62 6876 85 95 101隶属频率m n0.60 0.70 0.77 0.78 0.78 0.76 0.76 0.78 0.76 0.76 0.75 0.79 0.78③ 在论域X 中适当的取若干个样本点12,,,n x x x L ，分别确定出其隶属度°()(1,2,,)i Ax i n μ=L ，建立适当坐标系，描点连线即可得到模糊集°A 的隶属函数曲线． 将论域X 分组，每组以中值为代表分别计算各组隶属频率，连续地描出图形使得到青年人的隶属函数曲线，见表8-5与图8-5所示．确定模糊集合隶属函数的模糊统计方法，重视实际资料中包含的信息，采用了统计分析手段，是一种应用确定性分析揭示不确定性规律的有效方法．特别是对一些隶属规律不清楚的模糊集合，也能较好地确定其隶属函数．分组频数 隶属频率 分组 频数 隶属频率13.5~14.5 2 0.016 25.5~26.5 103 0.798 14.5~15.5 27 0.210 26.5~27.5 101 0.783 15.5~16.5 51 0.395 27.5~28.5 99 0.767 16.5~17.5 67 0.519 28.5~29.5 80 0.620 17.5~18.5 124 0.961 29.5~30.5 77 0.597 18.5~19.5 125 1.00 30.5~31.5 27 0.209 19.5~20.5 129 1.00 31.5~32.5 27 0.209 20.5~21.5 129 1.00 32.5~33.5 26 0.202 21.5~22.5 129 1.00 33.5~34.5 26 0.202 22.5~23.5 129 1.00 34.5~35.5 26 0.202 23.5~24.5 129 1.00 35.5~36.5 10.008 24.5~25.5128 0.992⑵ 三分法三分法也是利用概率统计中思想以随机区间为工具来处理模糊性的的一种客观方法．例如建立矮个子°1A ，中等个子°2A ，高个子°3A 三个模糊概念的隶属函数．设3{}P =矮个子,中等个子,高个子，论域X 为身高的集合，取(0,3)X =(单位：m)．每次模糊试验确定X 的一次划分，每次划分确定一对数(,)ξη，其中ξ为矮个子与中等个子的分界点，η为中等个子与高个子的分界点，从而将模糊试验转化为如下随机试验：即将(,)ξη看作二图8-5 年轻人的隶属函数曲线维随机变量，进行抽样调查，求得ξ、η的概率分布()P x ξ、()P x η后，再分别导出°1A 、°2A 和°3A 的隶属函数±1()A x μ、±2()A x μ和±3()Ax μ，相应的示意图如图8-6所示． ±1()(),A x x P t dt ξμ+∞=⎰ ±3()(),A xx P t dt ημ+∞=⎰±±±213()1()().A A A x x x μμμ=--通常ξ和η分别服从正态分布211(,)N a σ和222(,)N a σ，则°1A 、°2A 和°3A 的隶属函数分别为±111()1,Ax a x μσ⎛⎫-=-Φ ⎪⎝⎭±322()1,A x a x μσ⎛⎫-=-Φ ⎪⎝⎭ ±22121().Ax a x a x μσσ⎛⎫⎛⎫--=Φ-Φ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭其中22().t xx dt -Φ=⎰⑶ 模糊分布法根据实际情况，首先选定某些带参数的函数，来表示某种类型模糊概念的隶属函数（论域为实数域），然后再通过实验确定参数．在客观事物中，最常见的是以实数集作论域的情形．若模糊集定义在实数域R 上，则模糊集的隶属函数便称为模糊分布．下面给出几种常用的模糊分布，在以后确定隶属函数时，就可以根据问题的性质，选择适当(即符合实际情况)模糊分布，根据测量数据求出分布中所含的参数，从而就可以确定出隶属函数了．为了选择适当的模糊分布，首先应根据实际描述的对象给出选择的大致方向． 偏小型模糊分布适合描述像“小”、“冷”、“青年”以及颜色的“淡”等偏向小的一方的模糊现象，其隶属函数的一般形式为°1, ;()(),.Ax a x f x x a μ≤⎧=⎨>⎩偏大型模糊分布适合描述像“大”、“热”、“老年”以及颜色的“浓”等偏向大的一方的模糊现象，其隶属函数的一般形式为°0, ;()(),.Ax a x f x x a μ<⎧=⎨≥⎩中间型模糊分布适合描述像“中”、“暖和“、“中年”等处于中间状态的模糊现象，其隶属面数可以通过中间型模糊分布表示．图8-6 由概率分布确定模糊集隶属函数①矩形(或半矩形)分布(a)偏小型(b)偏大型(c)中间型°1,; ()0,.Ax a xx aμ≤⎧=⎨>⎩°0,;()1,.Ax axx aμ<⎧=⎨≥⎩°0,;()1,;0,.Ax ax a x bx bμ<⎧⎪=≤≤⎨⎪>⎩此类分布是用于确切概念．矩形(或半矩形)分布相应的示意图如图8-7所示．图8-7矩形(或半矩形)分布示意图②梯形(或半梯形)分布(a)偏小型(b)偏大型(c)中间型°1,;(),;0,.Ax ab xx a x bb ax bμ<⎧⎪-⎪=≤≤⎨-⎪⎪>⎩°0,;(),;1,.Ax ax ax a x bb ax bμ<⎧⎪-⎪=≤≤⎨-⎪⎪>⎩°0,,;,;()1,;,;Ax a x dx aa x bb axb x cd xc x dd cμ<≥⎧⎪-⎪≤<⎪-=⎨≤<⎪⎪-≤<⎪-⎩梯形(或半梯形)分布的示意图如图8-8所示．③抛物形分布(a)偏小型(b)偏大型(c)中间型°1,;(),;0,.kAx ab xx a x bb ax bμ<⎧⎪⎪-⎛⎫=≤≤⎨ ⎪-⎝⎭⎪⎪>⎩°0,;(),;1,.kAx ax ax a x bb ax bμ<⎧⎪⎪-⎛⎫=≤≤⎨ ⎪-⎝⎭⎪⎪>⎩°0,,;,;()1,;,;kAkx a x dx aa x bb axb x cd xc x dd cμ<≥⎧⎪-⎛⎫⎪≤<⎪⎪-⎪⎝⎭=⎨≤<⎪⎪-⎛⎫⎪≤<⎪-⎪⎝⎭⎩抛物形分布的示意图如图8-9所示．(a)偏小型(b)偏大型(c)中间型(a)偏小型(b)偏大型(c)中间型图8-8梯形(或半梯形)分布示意图④ 正态分布(a)偏小型(b)偏大型(c)中间型°21, ;(),.x a A x a x e x a σμ-⎛⎫- ⎪⎝⎭≤⎧⎪=⎨⎪>⎩°20, ;()1,.x a A x a x e x a σμ-⎛⎫- ⎪⎝⎭<⎧⎪=⎨⎪-≥⎩ °2().x a Ax e σμ-⎛⎫- ⎪⎝⎭=正态分布的示意图如图8-10所示．(a)偏小型(b)偏大型(c)中间型°1, ;()1,.1() (0,0)Ax a x x a x a βμααβ≤⎧⎪=⎨>⎪+-⎩>> °0, ;()1,.1() (0,0)Ax a x x a x a βμααβ-≤⎧⎪=⎨>⎪+-⎩>> °1(),1()(0,).Ax x a βμααβ=+->为正偶数柯西形分布的示意图如图8-11所示．(a)偏小型(b)偏大型(c)中间型°()1, ;(),.k x a Ax a x e x a μ--≤⎧=⎨>⎩°()0, ;()1,.k x a Ax a x ex a μ--≤⎧=⎨->⎩°()(),;()1, ;,.k x a Ak b x e x a x a x b ex b μ----⎧<⎪=≤<⎨⎪≥⎩ (a)偏小型 (b)偏大型 (c)中间型图8-9 抛物形分布示意图(a)偏小型 (b)偏大型 (c)中间型 图8-10 正态分布示意图 (a) 偏小型 (b)偏大型 (c)中间型 图8-11 柯西分布示意图k>．Γ型分布的示意图如图8-12所示．其中0(a) 偏小型(b)偏大型(c)中间型图8-12 Γ型分布示意图。
数学模型-等级结构
资料攀枝花学院学生课程设计（论文）题目：学生姓名：学号：所在院(系)：数学与计算机学院专业：信息与计算科学班级：指导教师：职称：讲师2014年 12月 19 日攀枝花学院教务处制攀枝花学院本科学生课程设计任务书题目等级结构1、课程设计的目的通过本课程设计使学生能够较全面的掌握马氏链模型的有关概念和开发方法，以便能较全面地理解、掌握和综合运用所学的知识，提高自身的综合能力。
2、课程设计的内容和要求（包括原始数据、技术要求、工作要求等）了解等级结构原理，如何划分出许多等级。
基本的方程与基本量。
稳定值域构造。
3、主要参考文献刘来福《数学模型与数学建模》(第三版) 北师大版姜启源等《数学模型》第四版高等教育出版社姜启源等《数学模型》第三版高等教育出版社李大潜《中国大学生数学建模竞赛》高等教育出版社4、课程设计工作进度计划序号时间（天）内容安排备注1 2 分析设计准备周一至周二2 4 模块划分阶段周三至周一3 2 编写课程设计报告周二至周三4 2 考核周四至周五总计10（天）指导教师（签字）日期年月日教研室意见：年月日学生（签字）：接受任务时间： 2014 年 12 月 8 日注：任务书由指导教师填写。
课程设计（论文）指导教师成绩评定表题目名称等级结构评分项目分值得分评价内涵工作表现20% 01 学习态度 6 遵守各项纪律，工作刻苦努力，具有良好的科学工作态度。
02 科学实践、调研7 通过实验、试验、查阅文献、深入生产实践等渠道获取与课程设计有关的材料。
03 课题工作量7 按期圆满完成规定的任务，工作量饱满。
能力水平35% 04 综合运用知识的能力10能运用所学知识和技能去发现与解决实际问题，能正确处理实验数据，能对课题进行理论分析，得出有价值的结论。
05 应用文献的能力 5能独立查阅相关文献和从事其他调研；能提出并较好地论述课题的实施方案；有收集、加工各种信息及获取新知识的能力。
06设计（实验）能力，方案的设计能力5能正确设计实验方案，独立进行装置安装、调试、操作等实验工作，数据正确、可靠；研究思路清晰、完整。
数学建模常见评价模型简介
数学建模常见评价模型简介Company Document number：WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998常见评价模型简介评价类数学模型是全国数学建模竞赛中经常出现的一类模型，如2005年全国赛A题长江水质的评价问题，2008年B题高校学费标准评价体系问题等。
主要介绍三种比较常用的评价模型：层次分析模型，模糊综合评价模型，灰色关联分析模型，以期帮助大家了解不同背景下不同评价方法的应用。
层次分析模型层次分析法(AHP)是根据问题的性质和要求，将所包含的因素进行分类，一般按目标层、准则层和子准则层排列，构成一个层次结构，对同层次内诸因素采用两两比较的方法确定出相对于上一层目标的权重，这样层层分析下去，直到最后一层，给出所有因素相对于总目标而言，按重要性程度的一个排序。
其主要特征是，它合理地将定性与定量决策结合起来，按照思维、心理的规律把决策过程层次化、数量化。
运用层次分析法进行决策，可以分为以下四个步骤：步骤1 建立层次分析结构模型深入分析实际问题，将有关因素自上而下分层(目标—准则或指标—方案或对象)，上层受下层影响，而层内各因素基本上相对独立。
步骤2构造成对比较阵对于同一层次的各元素关于上一层次中某一准则的重要性进行两两比较，借助1~9尺度，构造比较矩阵；步骤3计算权向量并作一致性检验由判断矩阵计算被比较元素对于该准则的相对权重，并进行一致性检验，若通过，则最大特征根对应的特征向量做为权向量。
步骤4计算组合权向量(作组合一致性检验)组合权向量可作为决策的定量依据通过一个具体的例子介绍层次分析模型的应用。
例(选择旅游地决策问题)如何在桂林、黄山、北戴河3个目的地中按照景色、费用、居住条件、饮食、旅途条件等因素进行选择。
步骤1 建立系统的递阶层次结构将决策问题分为3个层次：目标层O ，准则层C ，方案层P ；每层有若干元素，各层元素间的关系用相连的直线表示。
图1 选择旅游地的层次结构步骤2构造比较矩阵标度值 含义1 两因素相比，具有同等重要性 3 两因素相比，前者比后者稍重要 5 两因素相比，前者比后者明显重要 7 两因素相比，前者比后者强烈重要 9 两因素相比，前者比后者极端重要2、4、6、8表示上述相邻判断的中间值以上各数值的倒数若指标i 与指标j 比较相对重要性用上述之一数值标度，则指标j 与指标i 的相对重要性用上述数值的倒数标度表1 1~9标度的含义设要比较各准则n C C C ,,,21 对目标O 的重要性，记判断矩阵为A显然，A 是正互反阵。
层次分析法-数学建模
步骤5 层次总排序即求各方案的综合得分
前面我们求的都是在一层中各因素的权重，这个过程称为单
层次排序。不妨设准则层权向量W (w1, w2,L , wn )，T 而方案层有 l
个方案可供选择，且每个方案的权向量分别为 1, 2,L , l 。那么 每个方案对最终目标的影响程度(C1,C2,L ,Cl )T 就可以通过下面的 式子算出来了。
合理分配企业利润
准则层 调动积极性 提高企业质量 改善生活条件
方案层 发奖金 扩展福利设施 引进人才和设备
在层次划分及因素选取时，我们要注意三点：
（1）上层对下层有支配作用；
（2）同一层因素不存在支配关系（相互独立）；
（3）每层因素一般不要超过9个。 （心理学家通过实验认为，人对许多东西优劣及优劣 程度判断能力，最多大致在9个以内，超过这个范围就 会判断失真。例如，人们在面对琳琅满目的商品常常会 眼花缭乱，难以抉择。）
23
9
重要性
xi比 x j 相同 稍重要 重要
绝对 很重要 重要
aij
1
3
5
7
9
在每两个等级之间有一个中间状态， aij 可分别 取值 2 , 4 ,L , 8 。
例如：评价电影的好坏
目标层
评价
准则层 娱乐性 x1 艺术性 x2 教育性 x3
方案层 电影1
电影2
……
这
个人认为：
x1 : x2 3
层次分析法是将定性问题定量化处理的一种有效手 段。
面临各种各样的方案，要进行比较、判断、评价、 最后作出决策。这个过程主观因素占有相当的比重给用 数学方法解决问题带来不便。T.L.saaty等人20世纪在七 十年代提出了一种能有效处理这类问题的实用方法。
初中代数中的几种常见数学模型
（ １） 求ｙ与ｘ的函数关系式。
（ ２） 若该班每年需要纯净水３８０
桶 ， 且ａ为１２０时 ， 请 你 根 据 提 供 的 信 息分析一下； 该班学生集体改饮桶装 纯净水与个人买饮料， 哪一种花钱更 少？
（ ３） 当ａ至少为多少时， 该班学生 集体改饮桶装纯净水一定合算？ 从计 算结果看， 你有什么感想？
ｘ＝４．２（ 元）
作者单位
该班学生集体饮用桶装纯净水
泸西县中枢镇中枢小学
的每年总费用为：
◇责任编辑 高 戈 李 酋◇
２８ 云南教育·中学教师 ２００７·６
就 能 通 过 运 用 函 数 的 知 识 、方 法 来 解
决有关的问题。
例４“ 龟兔赛跑”讲述了这样的
故事： 领先的兔子看着缓慢爬行的乌
龟， 骄傲起来， 睡了一觉， 当它醒来
时， 发现乌龟快到终点了， 于是急忙
追赶， 但为时已晚， 乌龟还是先到达
了 终 点 … … 。用 Ｓ１、Ｓ２分 别 表 示 乌 龟 和 兔子所行路程， ｔ为时间， 则下列图象
模型， 如： 方程模型、不等式（ 组） 模型 们可以建立数学模型为：
购买备选奖品中应用， 则可以选择两种
等， 那么建模的方法和步骤是怎样的 呢？ 我认为应该分为以下几个步骤： ①调研； ②简化假设； ③建立模型； ④ 模型求解； ⑤模型的分析、检验、预 测； ⑥修正； ⑦运用。
第一种模型： 方程模型， 方程是从 小学到中学的一个过渡， 然而在中学 教学中它是一个重要的数学模型， 如 用方程的思想解决生活中的存贷问 题、盈亏问题、工程问题、平均增长率问 题、人员调配等问题。方程模型是把我 们生活实际中的简单问题联系起来的 一种基本模型， 它也是中考必考和常 考模型。我们往往给予学生的是把模 型建立起来， 让学生去解它， 而对于如 何建立是学生的一个难点， 也是一个 重点。如： Ｓ＝ｖ（ｔ ｓ表示路程、ｖ表示速度、ｔ 表示行驶时间） ， 这是一个从物体的匀 速运动中建立起来的数学模型。学生 到现在建立Ｓ＝ｖｔ模型是比较容易， 但对 于一些存贷、增长率等问题的模型就 是他们最大的难点和重点。
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课程设计（论文）指导教师成绩评定表摘要按照人们的职位或职位划分为许多等级，如大学教师分为教授，讲师，助教，工厂技术员分为高级工程师，工程师，技术员，学生有大学生，研究生，中学生等。
不同等级人员比例不一样的等级结构。
合适的，稳定的等级结构有利于教学，研究，生产等各个方面工作顺利进行，因此希望建立一个模型来描述等级结构变化情况，预知未来的结构。
引起等级结构变化的因素有两个，一是系统中等级间转移，即是升级或降级。
二是系统外的交流，即是调入或退出。
系统变化本是一个确定转移问题，但是当我们的人员时期按照一定比例成员提升，降级或退出，就转化为马氏链模型等级描述变化。
关键词等级结构、预知，变化，转移，马氏链目录摘要 (4)1问题重述与问题分析 (5)1.1问题重述 (5)1.2问题分析： (6)2模型假设与符号解释 (6)2.1模型假设 (6)2.2符号说明 (6)3建立模型与分析 (9)建立模型 (9)3.1模型1 (9) (9)3.2模型二 (11)3.2.2 用调入比例进行动态调节 (11)4模型结果 (13)4.1模型解释 (13)结束语 (14)参考文献 (15)1问题重述与问题分析1.1问题重述随着经济全球化的发展，推动生活节奏的加快，社会上常常要求按照人们的职位或职位划分为许多等级，如大学教师分为教授，讲师，助教，工厂技术员分为高级工程师，工程师，技术员，学生有大学生，研究生，中学生等。
不同等级人员比例不一样的等级结构。
合适的，稳定的等级结构有利于教学，研究，生产等各个方面工作顺利进行，因此希望建立一个模型来描述等级结构变化情况，预知未来的结构.社会系统中的等级结构，适当的、稳定的结构的意义，描述等级结构的演变过程，预测未来的结构，确定为达到某个理想结构应采取相应的策略解决问题。
1.2问题分析：引起等级结构变化因素。
第一：系统内部等级间的转移：提升和级；第二：系统内外的交流：调入和退出(退休、调离等).用马氏链模型描述确定性转移问题——转移比例视为概率。
人才结构的系统性决定人才层次结构性，有多样性，划分标准性和各个层次功能多样性。
2模型假设与符号解释 2.1模型假设设一个社会系统由低级到高级分为k 个等级，如大学教师有助教、讲师、教授3个等级，时间是以年为单位离散化，就是每年只进行一次调级等级记作i=1,2,3，....k ，时间记作t=0，1，2,3....引用以下定义的符号：2.2符号说明成员等级的分布向量))(),....(2),(1()(t nk t n t n t n = (1)其中)(t n i 为t 年属于等级i 的人数：∑==ki i t n t N 1)()( (2)成员按等级分布的比列分布)(t a))(),.....(2),(1()(t ak t a t a t a = (3) ∑==>=ki t a t a 11)(1,0)(1 (4))(t a 称为等级结构转移比列矩阵k k ij p Q *}{=其中ij p 为每年等级i 到等级j 的成员（在等级i 中的）比列退出比例向量)...,(,21k w w w w =∑===ki T i i w t n t n w t W 1)()()( (5)容易看出，,ij p i w ，满足1,0,,1=>=∑=ki i i i ij r r w p (6)调入比例向量i k r r r r r r ),....,,(321=，其中i r 为每年调入等级i 的成员（在总人数中的）比例，记t 年总人数)(t R ，则t 年的总人数为)(,t R r i ，满足1,01=>=∑=ki i i r r (7)等级结构基本方程 为了导出成员按等级的分布)(t n 的变化规律，先写总人数)(t N 的方程)()()()1(t W t R t N t N -+=+ (8)和每个等级人数转移方程)()()1(1t R r t n p t n j i ki ij j +=+∑= (9)同向量、矩阵符号可以表示r t R Q t n T n )()()1(+=+ (10)从t 到t+1年总人数的增量记为)(t M （6），（3）得到)()()()()(t M w t n t M t W t R T +=+= (11)由（8）（9）得到)()()()()(t M w t n t M t W t R T +=+= (12)简记r w Q P T =+ (13)由（4）（5）是得到P 是一个随机阵，它的之是1.同时（11）记为r t M P t n t n )()()1(+=+ (14)当知道系统里进行转移比例矩阵Q 时，调入比例r ，初始的成员为)0(n ，以及每年调入总人数)(t R 或总增长人数)(t M 时，可以用（8）（11）（12）得到等级变化情况)(t n ，即是等级结构基本方程。
基本方程特殊形式当每年系统总人数以固定的的百分比a 增长时，即)()(t aN t M = (15)可以用成员等级结构)(t a 代替)(t n 得到])([)1()1(1ar P t a a t a ++=+- (16)如果每年进出系统的人数大致相等，可以简化总人数)(t N 保持不变))(()()1(r w Q t a P t a t a T +==+ (17)方程与马氏链方程完全一致，等级结构相当于概率。
3建立模型与分析建立模型 3.1模型1我们的中心问题是通过对调入比例r 的调节，尽快的达到或接近给定理想等级结构*a 但是等级结构)(t a 按照（12）的规律变化，人们希望*a 达到一旦达到，就能够通过适当的调入比例使得*a 保持不变线。
下面看到的将不是任何等级都可以调入比例控制不变的。
本段的目的是：给定内部转移比例矩阵}{ij p Q =，研究合适的调入比例可以保持不变称为调入比例对等级结构的稳定控制。
问题：给定Q, 哪些等级结构可以用合适的调入比例保持不变P t a t a )()1(=+ （18）r w Q P T += （19）1},{1=+=∑=i kj ij ij w p p Q （20）R 应该满足∑==≥ki i i r r 11,0如果存在R 使得满足条件则)(r w Q a a T += 得到 Taw aQa r -=（21） ∑==ki i r 11可验证 时0≥⇒≥r aQ a (22)得出 a 是稳定结构当a 稳定时在判断大学教师（教授，讲师，助教）等级i=1，2，3， 已知每年转移比例矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=8.003.06.0004.05.0Q （23） 求稳定结构a=（a1+a2+a3），a1+a2+a3）=1 （24）可行域A⎪⎩⎪⎨⎧+≥+≥≥⇒≥323212118.03.06.04.05.0aa a a a a a a aQ a （25） 得到 a2>a1,a3>1.5a2 (26)5.1:1:1:::5.13212312===a a a a a a a 交点与 (27)这是教师等级结构的可行域和稳定域图一S3(0,0,1),s2(1,0,0);这个例子中稳定域B是以可行域A的顶点s3为一个顶点，以A为一条边的三角形，这是具有代表性的。
为进一步构造我们讨论控制性。
3.2模型二3.2.2 用调入比例进行动态调节这里最重要的是理想等级结构是a*，同时合理的假设a*属于B，已知转移矩阵Q和初始等级a（0），求调入比例r使得a（0）接近a*，如果没有达到，讨论a（1）....知道a（X）=a* (28) 问题分析给定Q和初始结构a(0), 求一系列的调入比例r, 使尽快达到或接近理想结构a* 属于B逐步法：对于Q和a(0), 求r使a(1)尽量接近a*, 再将a(1)作为新的a(0), 继续下去。
等级i的权重∑=-=kiiiia aaaD12)2()1()2()1()(),(λ（29）可以得到一个再次稳定模型1,0),)(0()1(..)),1((min 1*=≥+=∑=ki i i T rr r r w Q a a t s a a D （30）求r 使得a （1）尽量接近a*模型从)0(a 到)1(a)),1((min *a a D r（31） ))(0()1(..r w Q a a t s T += （32）1,01=≥∑=ki i i r r （33）图二可得到r=（0，5，0，5），a （1）=（0.1,0.1,0.8） (34)令)1,0,0()0(=a推出*a 的值)428.0,286.0,286,0(*=a (35)4模型结果4.1模型解释这个模型不但可以描述社会系统中的等级结构，还可以研究不同部门之间成员的迁移，如人才的流动情况，在自由人才流动的情况下，从商，从政，从工，从教的人员结构的变化，电子，钢铁，机械的产业结构演变。
r(t), a(t) 的计算结果a(7)已接近a* 观察r(t)的特点结束语对于课程设计，基本上实现了等级结构的划分要求，在实验中遇到不少问题，在与同学交换意见中得到理解这个问题。
这个问题在实际运用中很广泛，因此我们也知道学习的困难，每当遇到不懂就主动去查阅资料，在处理每个问题时都及时处理，每个不懂都每天处理。
在电脑完成课程设计的过程中，遇到了不少的问题，一是有一些东西自己没有学过，而是在编写的过程中由于思路不清晰以及自己的粗心给自己制造了一些麻烦，通过书上的的例子可以帮助自己理清思路，在后面写时就显得简单了，遇到问题及时处理那么就会显得不难了。
不要使得问题留在每日，不是就会越来越多。
所以遇到问题要坚持去做。
直到解决问题。
参考文献刘来福《数学模型与数学建模》(第三版) 北师大版姜启源等《数学模型》第四版高等教育出版社姜启源等《数学模型》第三版高等教育出版社李大潜《中国大学生数学建模竞赛》高等教育出版社。