概率论与数理统计-公式(全)

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概率论与数理统计公式大全

概率论与数理统计公式大全一、概率基本公式1.事件的概率：对于事件A，在随机试验中发生的次数记为n(A)，则事件A的概率为P(A)=n(A)/n，其中n为试验总次数。

2.互斥事件的概率：对于互斥事件A和B，有P(A∪B)=P(A)+P(B)。

3.事件的余事件概率：设事件A为必然事件，全集的概率为P(S)=1，事件A的余事件为A'，则有P(A')=1-P(A)。

4.条件概率：对于两个事件A和B，假设事件B已经发生，事件A发生的概率记为P(A，B)，则P(A，B)=P(A∩B)/P(B)。

二、随机变量及其概率分布1.离散型随机变量：设X是一个离散型随机变量，其概率函数为P(X=k)，其中k为X的取值，概率函数满足P(X=k)≥0，且∑P(X=k)=12. 连续型随机变量：设X是一个连续型随机变量，其概率密度函数为f(x)，概率密度函数满足f(x)≥0，且∫f(x)dx = 13. 随机变量的数学期望：对于离散型随机变量X，其数学期望为E(X) = ∑k*P(X=k)；对于连续型随机变量X，其数学期望为E(X)=∫xf(x)dx。

4. 随机变量的方差：对于离散型随机变量X，其方差为Var(X) =E(X^2) - [E(X)]^2；对于连续型随机变量X，其方差为Var(X) = E(X^2) - [E(X)]^2三、常见的概率分布1.伯努利分布：表示一次实验成败的概率分布，概率函数为P(X=k)=p^k(1-p)^(1-k)，其中0≤p≤12.二项分布：表示n次独立重复的伯努利试验中成功次数的概率分布，概率函数为P(X=k)=C(n,k)*p^k(1-p)^(n-k)，其中C(n,k)为组合数。

3. 泊松分布：表示单位时间或单位面积内发生事件次数的概率分布，概率函数为P(X=k) = (lambda^k)/(k!)*e^(-lambda)，其中lambda为平均发生率。

4.均匀分布：表示在一个区间内取值相等的概率分布，概率密度函数为f(x)=1/(b-a)，其中[a,b]为区间。

考研概率论与数理统计公式大全

考研概率论与数理统计公式大全一、概率论部分：1.概率公式：-事件的概率：P(A)=n(A)/n(S)，其中n(A)表示事件A发生的可能性，n(S)表示样本空间S中的样本个数。

-互斥事件的概率：P(A∪B)=P(A)+P(B)。

-非互斥事件的概率：P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)。

2.条件概率公式：-事件A在事件B发生的条件下发生的概率：P(A，B)=P(A∩B)/P(B)。

3.乘法公式：-事件A、B同时发生的概率：P(A∩B)=P(A)*P(B，A)=P(B)*P(A，B)。

4.全概率公式：-事件A可以由一系列互斥且构成样本空间的事件B1、B2、..、Bn发生的概率：P(A)=P(A∩B1)+P(A∩B2)+...+P(A∩Bn)=ΣP(A∩Bi)。

5.贝叶斯公式：-已知事件A发生的条件下事件B发生的概率：P(B，A)=P(A∩B)/P(A)=P(A，B)*P(B)/P(A)。

6.重要的离散概率分布：-二项分布：P(X=k)=C(n,k)*p^k*(1-p)^(n-k)，其中n为试验次数，k为成功次数，p为每次成功的概率。

-泊松分布：P(X=k)=(λ^k*e^(-λ))/k!，其中λ为单位时间（或单位面积）内随机事件发生的平均次数。

7.重要的连续概率分布：-均匀分布：f(x)=1/(b-a)，其中a为最小值，b为最大值。

-正态分布：f(x)=(1/(σ*√(2π)))*e^(-(x-μ)^2/(2σ^2))，其中μ为均值，σ为标准差。

二、数理统计部分：1.基本概念：-总体：研究对象的全体。

-样本：从总体中抽取的一部分个体。

-参数：总体的特征数值。

-统计量：样本的特征数值。

2.基本统计量：- 样本均值：x̄ = (x1 + x2 + ... + xn) / n，其中x1、x2、..、xn为样本数据，n为样本容量。

- 样本方差：s^2 = ((x1-x̄)^2 + (x2-x̄)^2 + ... + (xn-x̄)^2) / (n-1)。

概率论与数理统计公式大全

概率论与数理统计公式大全概率论和数理统计作为数学的两个重要分支，被广泛应用于各个领域。

无论是在学术研究还是实际应用中，熟悉并掌握相关的公式是非常重要的。

本文将为您提供概率论与数理统计公式的大全，帮助您更好地理解和应用这两门学科。

一、概率论公式1. 概率公式- 概率的定义：P(A) = N(A) / N(S)，其中P(A)表示事件A发生的概率，N(A)代表事件A的样本点个数，N(S)表示样本空间中的样本点总数。

- 加法法则：P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A∩B)，其中P(A∪B)表示事件A或事件B发生的概率，P(A∩B)表示事件A和事件B同时发生的概率。

- 乘法法则：P(A∩B) = P(A) × P(B|A)，其中P(B|A)表示在事件A 发生的条件下，事件B发生的概率。

2. 条件概率公式- 条件概率的定义：P(A|B) = P(A∩B) / P(B)，其中P(A|B)表示在事件B发生的条件下，事件A发生的概率。

- 全概率公式：P(A) = ∑[P(Bi) × P(A|Bi)]，其中Bi为样本空间的一个划分，P(Bi)表示事件Bi发生的概率，P(A|Bi)表示在事件Bi发生的条件下，事件A发生的概率。

3. 事件独立性公式- 事件A和事件B独立的定义：P(A∩B) = P(A) × P(B)，即事件A和事件B同时发生的概率等于事件A发生的概率乘以事件B发生的概率。

- 事件的相互独立：若对于任意的事件A1，A2，...，An，有P(A1∩A2∩...∩An) = P(A1) × P(A2) × ... × P(An)，则称事件A1，A2，...，An相互独立。

4. 随机变量- 随机变量的定义：随机变量X是样本空间到实数集的映射。

- 随机变量的分布函数：F(x) = P(X≤x)，表示随机变量X小于等于x的概率。

- 随机变量的概率密度函数（连续型随机变量）：f(x)是非负函数，且对于任意实数区间[a, b]，有P(a≤X≤b) = ∫[a, b]f(x)dx。

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第 1 章随机事件及其概率
（1）排列组合公式
Pmn

m!
从 m 个人中挑出 n 个人进行排列的可能数。
(m n)!
C
n m

m!
从 m 个人中挑出 n 个人进行组合的可能数。
n!(m n)!
（2）加法和乘法原理
（3）一些常见排列（4）随机试验和随机事
件
（5）基本事件、样本空间和事件
加法原理（两种方法均能完成此事）：m+n 某件事由两种方法来完成，第一种方法可由 m 种方法完成，第二种方法可由 n 种方法来完成，则这件事
A、B 中至少有一个发生的事件：A B，或者 A+B。
（6）事件的关系与运算
属于 A 而不属于 B 的部分所构成的事件，称为 A 与 B 的差，记为 A-B，也可表示为 A-AB 或者 AB ，
它表示 A 发生而 B 不发生的事件。
A、B 同时发生：A B，或者 AB。A B=?，则表示 A 与 B 不可能同时发生，称事件 A 与事件 B 互不
它们是的子集。为必然事件，?为不可能事件。
不可能事件（?）的概率为零，而概率为零的事件不一定是不可能事件；同理，必然事件（Ω）的概率为 1，而概率为 1 的事件也不一定是必然事件。 ①关系：
如果事件 A 的组成部分也是事件 B 的组成部分，（A 发生必有事件 B 发生）： A B 如果同时有 A B ， B A ，则称事件 A 与事件 B 等价，或称 A 等于 B：A=B。
P(X=xk)=pk，k=1,2,…，
则称上式为离散型随机变量 X 的概率分布或分布律。有时也用分布列的形式给出：
X
| x1, x2,, xk,

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。
（3）离散与
P(X x) P(x X x dx) f (x)dx
连续型随机
变量的关系积分元 f (x)dx 在连续型随机变量理论中所起的作用与 P( X xk) pk 在离散型随机变量理论中所起的作用相类
（4）分布函数
似。
设 X 为随机变量， x 是任意实数，则函数
F(x) P( X x) 称为随机变量 X 的分布函数，本质上是一个累积函数。
①两个事件的独立性
设事件 A 、 B 满足 P( AB) P( A)P(B) ，则称事件 A 、 B 是相互独立的。
若事件 A 、 B 相互独立，且 P( A) 0 ，则有
P(B | A) P(AB) P(A)P(B) P(B)
P( A)
P( A)
若事件 A 、 B 相互独立，则可得到 A 与 B 、 A 与 B 、 A 与 B 也都相互独立。
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（7）概率的公理化定义
（8）古典概型
（9）几何概型（10）加法公式（11）减法公式（12）条件概率（13）乘法公式（14）独立性
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Ai Ai
德摩根率： i1
i1
AB AB， AB AB
设为样本空间， A 为事件，对每一个事件 A 都有一个实数 P(A)，若满足下列三个条件：
这样一组事件中的每一个事件称为基本事件，用来表示。
基本事件的全体，称为试验的样本空间，用表示。
一个事件就是由中的部分点（基本事件）组成的集合。通常用大写字母 A，B，C，…表示事件，它
们是的子集。
为必然事件，Ø 为不可能事件。
不可能事件（Ø）的概率为零，而概率为零的事件不一定是不可能事件；同理，必然事件（Ω）的概率为 1，而概率为 1 的事件也不一定是必然事件。

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第［章随机事件及其概率第二章随机变量及其分布第三童二维随机变量及其分布个有序对<x,y),则称g 为离散型随机量。

设纟二(X, Y)的所有可能取值为(m )(ij = 12…)，且事件{纟=a,儿)}的概率为PH ,,称P{ (X, Y)=(兀，儿)}= “沁 J = 1,2,…)为疔=(X, 丫)的分布律或称为X 和丫的联合分布律。

联合分这里內具有下而两个性质:(1) P&0 (i,j=1,2,-)： (2)工工 P'6i J(1)联合离散型分布如果二维随机向量纟(X, Y)的所有可能取值为至多可列设n 个随机变量…、X.相互独立，且服从标准正态分布，可以证明它们的平方和的分布密度为“1 S1— -------- H - e 2 u > 0,y (w )= J 2I r I'{2) 0,u < 0.我们称随机变星w 服从自由度为n 的力2分布，记为w 〜 Z 2(n)>英中所谓自由度是指独立正态随机变量的个数，它是随机变量分布中的一个重要参数。

力2分布满足可加性：设kZ+〃2 +・ • +代）・/-I*分布X ~AW )V ~F S ),可以证明函数T 亠 ylYIn的概率密度为我们称随机变量F 服从第一个自由度为山，第二个自由度为n 2 的F 分布，记为F-f(n b n 2).第四章随机变量的数字特征(1)离散型连续型t 分布设X, 丫是两个相互独立的随机变量.且H +I―(-co<r <+oc ).F 分布我们称随机变量T 服从自由度为n 的t 分布，记为T 〜t(n).设X ~力2(/“)丁~力2(心)，且X 与丫独立，可以证明尸=土仙的概率密度函数为Yin,t 2 + — n第五章大数定律和中心极限定理特姝情形：若X2,…具有相同的数学期望E(X I )=M , 则上式成为设u 是n 次独立试验中事件A 发生的次数，p 是事件A 在每次试验中发生的概率，则对于任意的正数£ •有lim;?->x伯努利大数左律说明，当试验次数n 很大时，事件A 发生的频率与概率有较大判别的可能性很小，即这就以严格的数学形式描述了频率的稳立性。

概率论与数理统计超全公式总结

E (X )=∑∑x i p i jijxxn+∞ n n−λλkP (X = k ) = e ， (k = 0,1,...)k !(a ≤ x ≤ b )1b − af (x ) =概率论与数理统计公式总结F (x ) = P (X ≤ x ) = ∑P (X = k )k ≤x分布函数对离散型随机变量F ' (x ) = f (x )第一章P(A+B)=P(A)+P(B)- P(AB)特别地，当 A 、B 互斥时， P(A+B)=P(A)+P(B)对连续型随机变量F (x ) = P (X ≤ x ) =∫−∞f (t )dt条件概率公式分布函数与密度函数的重要关系：P (A | B ) =P (AB )P (B )F (x ) = P (X ≤ x ) =∫−∞f (t )dt概率的乘法公式P (AB ) = P (B )P (A | B )= P (A )P (B | A )二元随机变量及其边缘分布分布规律的描述方法全概率公式：从原因计算结果P (A ) = ∑ P (B k )P (A | B k )k =1联合密度函数联合分布函数f (x , y ) ≥ 0f (x , y ) F (x , y )+∞ +∞Bayes 公式：从结果找原因∫−∞ ∫−∞f (x , y )dx dy = 1 0 ≤ F (x , y ) ≤ 1P (B k| A ) = P (B i )P (A | B i ) ∑P (B )P (A | B )F (x , y ) = P {X ≤ x ,Y ≤ y }f (x ) = ∫ f (x , y )d y 联合密度与边缘密度第二章kkk =1Xf Y (y ) = −∞+∞−∞f (x , y )dx二项分布（Bernoulli 分布）——X~B(n,p)P (X =k )=C k p k (1−p)n −k，(k =0,1,...n , ) 泊松分布——X~P(λ)概率密度函数离散型随机变量的独立性P {X = i ,Y = j } = P {X = i }P {Y = j }连续型随机变量的独立性f (x , y ) = f X (x ) f Y (y ) 第三章数学期望离散型随机变量，数学期望定义怎样计算概率P (a ≤ X ≤ b )b连续型随机变量，数学期望定义� E(a)=a ，其中 a 为常数P (a ≤ X ≤ b ) = ∫af (x )d x均匀分布 X~U(a,b)指数分布 X~Exp (θ)• E(a+bX)=a+bE(X)，其中 a 、b 为常数 � E(X+Y)=E(X)+E(Y)，X 、Y 为任意随机变量随机变量 g(X)的数学期望常用公式+∞∫−∞ f (x )dx = 1+∞E (X ) = ∑x k ⋅P kk =−∞+∞E (X ) = ∫−∞x ⋅ f (x )dxE (g (X )) = ∑ g (x k ) p kk∫Y / nD (X +Y ) = D (X ) + D (Y ) + 2E {(X − E (X ))(Y − E (Y ))} X ~ N (µ,σ2 )i σ 12 σ E (X Y ) = ∑∑x i y j p i jij2σ22−(x −µ) e 12πσf (x ) =不相关不一定独立第四章正态分布E (X ) = µ,D (X ) = σ2方差定义式常用计算式常用公式当 X 、Y 相互独立时：标准正态分布的概率计算标准正态分布的概率计算公式P (Z ≤ a ) = P (Z < a ) = Φ(a )P (Z ≥ a ) = P (Z > a ) = 1− Φ(a )P (a ≤ Z ≤ b ) = Φ(b ) − Φ(a )P (−a ≤ Z ≤ a ) = Φ(a ) − Φ(−a ) = 2Φ(a ) −1一般正态分布的概率计算一般正态分布的概率计算公式 P (X ≤ a ) = P (X < a ) = Φ(a − µσ ) a − µ方差的性质P (X ≥ a ) = P (X > a ) = 1− Φ( σ)D(a)=0，其中 a 为常数P (a ≤ X ≤ b ) = Φ(b − µ− Φ(a − µD(a+bX)=b2D(X)，其中 a 、b 为常数当 X 、Y 相互独立时，D(X+Y)=D(X)+D(Y) 协方差与相关系数E {[X − E (X )][Y − E (Y )]}= E (XY ) − E (X )E (Y )第五章卡方分布σ ) σ)n若X ~ N (0,1)，则∑ X 2 ~ χ2(n )i =121n2 2协方差的性质若Y ~ N (µ,σ ),t 分布则 2 ∑(Y i− µ) i =1 ~ χ (n )若X ~ N (0,1), Y ~ χ2(n ),则X ~ t (n )独立与相关独立必定不相关 Cov (aX ,bY ) = abCov (X ,Y )若U ~ χ2 (n ), F 分布正态总体条件下样本均值的分布：V ~ χ2(n ),则U / n 1 V / n 2~ F (n 1,n 2 )相关必定不独立2X ~ N (µ,)nX − µ~ N (0,1)σ/ n 2− E (X )) ⋅ f (x )dx x +∞−∞∫ D (X ) =( E (XY ) = ∫ ∫ xyf (x , y )dxdy σX ~ N (µ,σ2 ) ⇔ Z = X − µ~ N (0,1)D (X )D (Y )XY ρ =C ov (X ,Y )Cov (X +Y , Z ) = Cov (X , Z ) + Cov (Y , Z )C ov (X , X ) = E (X 2 ) − (E (X ))2 =D (X )Cov (X ,Y ) = E (XY ) − E (X )E (Y )D (X +Y ) = D (X ) + D (Y )D (X ) =E (X 2 ) − [E (X )]2当X 与Y 独立时,E (XY ) = E (X )E (Y )Φ(a ) = 1− Φ(−a ) E (X +Y ) = E (X ) + E (Y )E (X ) = ∫ ∫ xf (x , y )dxdyn ⎠ n ⎠ n ⎠σ2 1 + 2 n 1 n 2 σ2 σ / n(x 1 − x 2 )± z α/ 2 2 2 ⎜ χ χ ⎛ ⎜ ⎟12x ± z样本方差的分布：正态总体方差的区间估计两个正态总体均值差的置信区间(n −1)S 2 ~ χ2 (n −1) X − µ~ t (n −1) 大样本或正态小样本且方差已知σ2两个正态总体的方差之比⎛⎜ ⎜ ⎝S 2 / S 2两个正态总体方差比的置信区间1 2~ F (n 1 −1,σ2 /σ2n 2 −1)2 / S 2 , 2 / S 2⎞ ⎝ F α/ 2 (n 1 −1,n 2 −1) F α/ 2 (n 1 −1,n 2 −1) ⎠第六章点估计：参数的估计值为一个常数矩估计最大似然估计n似然函数第七章假设检验的步骤1 根据具体问题提出原假设 H0 和备择假设 H12 根据假设选择检验统计量，并计算检验统计值3 看检验统计值是否落在拒绝域，若落在拒绝域则L = Π i =1f (x i ;θ)L = Π i =1p (x i ;θ)拒绝原假设，否则就不拒绝原假设。

概率论与数理统计完整公式

概率论与数理统计完整公式概率论与数理统计是数学的一个分支，研究随机现象和随机变量之间的关系、随机变量的分布规律、经验规律及参数估计等内容。

在概率论与数理统计的学习中，有许多重要的公式需要掌握。

以下是概率论与数理统计的完整公式。

一、概率论公式：1.全概率公式：设A1，A2，…，An为样本空间S的一个划分，则对任意事件B，有：P(B)=P(B│A1)·P(A1)+P(B│A2)·P(A2)+…+P(B│An)·P(An)2.贝叶斯公式：对于样本空间S的一划分A1，A2，…，An，其中P(Ai)>0，i=1,2，…，n，并且B是S的任一事件，有：P(Ai│B)=[P(B│Ai)·P(Ai)]/[P(B│A1)·P(A1)+P(B│A2)·P(A2)+…+P (B│An)·P(An)]3.事件的独立性：若对事件A，B有P(AB)=P(A)·P(B)，则称事件A，B相互独立。

4.概率的乘法公式：对于独立事件A1，A2，…，An，有：P(A1A2…An)=P(A1)·P(A2)·…·P(An)5.概率的加法公式：对事件A，B有：P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)6.条件概率的计算：对事件A，B有：P(A，B)=P(AB)/P(B)7.古典概型的概率计算：设事件A在n次试验中发生k次的次数服从二项分布B(n,p)，则其概率可表示为：P(X=k)=C(n,k)·p^k·(1-p)^(n-k)，其中C(n,k)=n!/[k!(n-k)!]二、数理统计公式：1.样本均值的期望和方差：样本的均值X̄的期望和方差分别为： E(X̄) = μ，Var(X̄) = σ^2 / n，其中μ 为总体的均值，σ^2 为总体方差，n 为样本容量。

2.样本方差的期望：样本方差S^2的期望为：E(S^2)=σ^2，其中σ^2为总体方差。

(完整版)概率论与数理统计公式整理(超全版)

，（，，…，），通常叫先验概率。，（，，…，），通常称为后验概率。贝叶斯公式反映了“因果”的概率规律，并作出了“由果朔因”的推断。
（17）伯努利概型
我们作了次试验，且满足
每次试验只有两种可能结果，发生或不发生；
次试验是重复进行的，即发生的概率每次均一样；
每次试验是独立的，即每次试验发生与否与其他次试验发生与否是互不影响的。
并且同时满足P(ABC)=P(A)P(B)P(C)
那么A、B、C相互独立。
对于n个事件类似。
（15）全概公式
设事件满足
1° 两两互不相容，，
2° ，
则有
。
（16）贝叶斯公式
设事件，，…，及满足
1° ，，…，两两互不相容， >0， 1，2，…，，
2° ，，
则
，i=1，2，…n。
此公式即为贝叶斯公式。
条件概率是概率的一种，所有概率的性质都适合于条件概率。
例如P(Ω/B)=1 P( /A)=1-P(B/A)
（13）乘法公式
乘法公式：
更一般地，对事件A1，A2，…An，若P(A1A2…An-1)>0，则有
… …… … 。
（14）独立性
①两个事件的独立性
设事件、满足，则称事件、是相互独立的。
则称上式为离散型随机变量的概率分布或分布律。有时也用分布列的形式给出：
。
显然分布律应满足下列条件：
（1），，（2）。
（2）连续型随机变量的分布密度
设是随机变量的分布函数，若存在非负函数，对任意实数，有
，
则称为连续型随机变量。称为的概率密度函数或密度函数，简称概率密度。

大学概率论与数理统计公式全集

大学概率论与数理统计公式全集一、随机事件和概率1、随机事件及其概率运算律名称表达式交换律结合律分配律德摩根律2、概率的定义及其计算公式名称公式表达式求逆公式加法公式条件概率公式乘法公式全概率公式贝叶斯公式（逆概率公式）伯努利概型公式两件事件相互独立相应公式)()()(BPAPABP=；)()(BPABP=；)()(ABPABP=；1)()(=+ABPABP；1)()(=+ABPABP二、随机变量及其分布1、分布函数性质2、离散型随机变量分布名称分布律0–1分布),1(pB二项分布),(p n B 泊松分布)(λP 几何分布)(p G超几何分布),,(n M N H3、连续型随机变量分布名称密度函数分布函数均匀分布),(b a U 指数分布)(λE 正态分布),(2σμN标准正态分布)1,0(N三、多维随机变量及其分布1、离散型二维随机变量边缘分布2、离散型二维随机变量条件分布3、连续型二维随机变量( X ,Y )的联合分布函数⎰⎰∞-∞-=x ydvdu v u f y x F ),(),( 4、连续型二维随机变量边缘分布函数与边缘密度函数边缘分布函数：⎰⎰∞-+∞∞-=xX dvdu v u f x F ),()( 边缘密度函数：⎰+∞∞-=dv v x f x f X ),()( 5、二维随机变量的条件分布四、随机变量的数字特征1、数学期望离散型随机变量：∑+∞==1)(k kk p x X E 连续型随机变量：⎰+∞∞-=dx x xf X E )()(2、数学期望的性质(1)为常数C ,)(C C E = )()]([X E X E E = )()(X CE CX E =(2))()()(Y E X E Y X E ±=± b X aE b aX E ±=±)()( )()()(1111n n n n X E C X E C X C X C E +=+ (3)若XY 相互独立则：)()()(Y E X E XY E = (4))()()]([222Y E X E XY E ≤3、方差：)()()(22X E X E X D -=4、方差的性质(1)0)(=C D 0)]([=X D D )()(2X D a b aX D =± 2)()(C X E X D -<(2)),(2)()()(Y X Cov Y D X D Y X D ±+=± 若XY 相互独立则：)()()(Y D X D Y X D +=± 5、协方差：)()(),(),(Y E X E Y X E Y X Cov -= 若XY 相互独立则：0),(=Y X Cov 6、相关系数：)()(),(),(Y D X D Y X Cov Y X XY==ρρ 若XY 相互独立则：0=XYρ即XY 不相关7、协方差和相关系数的性质 (1))(),(X D X X Cov = ),(),(X Y Cov Y X Cov =(2)),(),(),(2121Y X Cov Y X Cov Y X X Cov +=+ ),(),(Y X abCov d bY c aX Cov =++ 8、常见数学分布的期望和方差分布数学期望方差0-1分布),1(p B 二行分布),(p n B 泊松分布)(λP 几何分布)(p G超几何分布),,(n M N H均匀分布),(b a U 正态分布),(2σμN 指数分布)(λE五、大数定律和中心极限定理1、切比雪夫不等式若,)(,)(2σμ==X D X E 对于任意0>ξ有2)(})({ξξX D X E X P ≤≥-或2)(1})({ξξX D X E X P -≥<- 2、大数定律：若n X X 1相互独立且∞→n 时，∑∑==−→−ni iDni i X E nX n 11)(11(1)若n X X 1相互独立，2)(,)(i i i i X D X E σμ==且M i ≤2σ则：∑∑==∞→−→−ni iPni i n X E nX n11)(),(11(2)若n X X 1相互独立同分布，且i i X E μ=)(则当∞→n 时：μ−→−∑=Pn i i X n 11 3、中心极限定理(1)独立同分布的中心极限定理：均值为μ，方差为02>σ的独立同分布时，当n 充分大时有：(2)拉普拉斯定理：随机变量),(~)2,1(p n B n n =η则对任意x 有： (3)近似计算：)()()()(11σμσμσμσμσμn n a n n b n n b n n Xn n a P b X a P nk knk k -Φ--Φ≈-≤-≤-=≤≤∑∑==六、数理统计1、总体和样本总体X 的分布函数)(x F 样本),(21n X X X 的联合分布为)(),(121k nk n x F x x x F =∏=2、统计量(1)样本平均值：∑==ni i X n X 11(2)样本方差：∑∑==--=--=ni i ni i X n X n X X n S 122122)(11)(11(3)样本标准差：∑=--=ni i X X n S 12)(11(4)样本k 阶原点距： 2,1,11==∑=kXn A ni ki k(5)样本k 阶中心距：∑==-==ni k ik k k X XnM B 13,2,)(1(6)次序统计量：设样本),(21n X X X 的观察值),(21n x x x ，将n x x x 21,按照由小到大的次序重新排列，得到)()2()1(n x x x ≤≤≤ ，记取值为)(i x 的样本分量为)(i X ，则称)()2()1(n X X X ≤≤≤ 为样本),(21n X X X 的次序统计量。

概率论与数理统计公式整理(超全免费版)

P(AB)=P(A)P(B)；P(BC)=P(B)P(C)；P(CA)=P(C)P(A)
并且同时满足 P(ABC)=P(A)P(B)P(C)
那么 A、B、C 相互独立。
对于 n 个事件类似。
设事件 B1, B2,, Bn 满足 1° B1, B2,, Bn 两两互不相容， P(Bi) 0(i 1,2,, n) ，

Pn(k
)

C
k n
pk qnk
，
q 1 p,0 p 1, k 0,1,2,, n ，
其中
则称随机变量 X 服从参数为 n ， p 的二项分布。记为
X ~ B(n, p) 。
当 n 1时， P( X k) pk q1k ， k 0.1 ，这就是（0-1）分
布，所以（0-1）分布是二项分布的特例。
P(A) P(A)
（14）独立性
（15）全概公式
（16）贝叶斯公式
若事件 A 、B 相互独立，则可得到 A 与 B 、 A 与 B 、 A 与 B 也都相互独
立。
必然事件和不可能事件 Ø 与任何事件都相互独立。
Ø 与任何事件都互斥。
②多个事件的独立性
设 ABC 是三个事件，如果满足两两独立的条件，
每次试验是独立的，即每次试验 A 发生与否与其他次试验 A 发生与
否是互不影响的。
这种试验称为伯努利概型，或称为 n 重伯努利试验。
用 p 表示每次试验 A 发生的概率，则 A 发生的概率为1 p q ，用 Pn(k) 表
示 n 重伯努利试验中 A 出现 k(0 k n) 次的概率，
一个事件就是由中的部分点（基本事件）组成的集合。通常用大写字母

概率论与数理统计公式大全

概率论与数理统计公式大全一、概率论公式1.概率的基本性质：-非负性：对于任意事件A，有P(A)>=0；-规范性：对于必然事件S，有P(S)=1；-可列可加性：对于互不相容的事件Ai（i=1,2,...），有P(A1∪A2∪...)=P(A1)+P(A2)+...。

2.条件概率：-事件B发生的条件下，事件A发生的概率：P(A，B)=P(A∩B)/P(B)；-乘法公式：P(A∩B)=P(A，B)*P(B)。

3.全概率公式：-事件A的概率：P(A)=ΣP(A，Bi)*P(Bi)，其中Bi为样本空间的一个划分。

4.贝叶斯公式：-事件Bi发生的条件下，事件A发生的概率：P(Bi，A)=P(A，Bi)*P(Bi)/ΣP(A，Bj)*P(Bj)，其中Bj为样本空间的一个划分。

5.独立性：-事件A与事件B相互独立的充要条件是P(A∩B)=P(A)*P(B)。

二、数理统计公式1.随机变量的概率分布：-离散型随机变量的概率分布函数：P(X=x)；-连续型随机变量的概率密度函数：f(x)。

2.数理统计的基本概念：-样本均值：X̄=ΣXi/n；-样本方差：s^2=Σ(Xi-X̄)^2/(n-1)；-样本标准差：s=√s^2；- 样本协方差：sxy = Σ(Xi-X̄)(Yi-Ȳ) / (n-1)。

3.大数定律：-样本均值的大数定律：当样本容量n趋向于无穷大时，样本均值X̄趋向于总体均值μ。

4.中心极限定理：-样本均值的中心极限定理：当样本容量n足够大时，样本均值X̄服从近似正态分布。

5.参数估计：-点估计：用样本统计量对总体参数进行估计；-置信区间估计：用样本统计量构造一个区间，以估计总体参数的范围。

6.假设检验：-假设检验的基本步骤：提出原假设H0和备择假设H1，选择适当的检验统计量，计算拒绝域，进行假设检验。

以上只是概率论与数理统计中的一些重要公式和定理，还有很多其他的公式和定理没有一一列举。

掌握这些公式和定理，可以帮助我们更好地理解和应用概率论与数理统计的知识。

概率论与数理统计公式整理

概率论与数理统计公式整理一、概率论公式：1.加法公式：P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)2.乘法公式：P(A∩B)=P(A)×P(B，A)其中，P(A)和P(B)表示事件A和B的概率，P(B，A)表示已知事件A发生的条件下事件B发生的概率。

3.全概率公式：P(A)=∑[P(A，B(i))×P(B(i))]其中，B(i)表示互斥事件组，且它们的概率之和为14.贝叶斯公式：P(B(j)，A)=P(A，B(j))×P(B(j))/∑[P(A，B(i))×P(B(i))]其中，P(B(j)，A)表示已知事件A发生的条件下事件B(j)发生的概率。

5.期望值公式：E(X)=∑[x×P(X=x)]其中，X为一个随机变量，x为X的取值，P(X=x)为X等于x的概率。

6.方差公式：Var(X) = E[(X-E(X))^2]其中，Var(X)表示随机变量X的方差，E(X)表示X的期望值。

二、数理统计公式：1.样本均值公式：样本均值 = (x1 + x2 + ... + xn)/n其中，x1、x2、..、xn为样本中的观测值，n为样本容量。

2.样本方差公式（无偏估计）：样本方差 = [(x1-样本均值)^2 + (x2-样本均值)^2 + ... + (xn-样本均值)^2]/(n-1)3.样本标准差公式（无偏估计）：样本标准差=样本方差的平方根4.正态分布的标准化公式：Z=(X-μ)/σ其中，X为一个正态随机变量，μ为其均值，σ为其标准差，Z为标准正态分布的变量。

5.正态分布的累积分布函数：P(X≤x)=Φ((x-μ)/σ)其中，Φ表示标准正态分布的累积分布函数。

6.样本之间的协方差公式：Cov(X,Y) = ∑[(x(i)-X均值) × (y(i)-Y均值)]/(n-1)其中，X、Y为两个随机变量，x(i)、y(i)为X、Y的观测值，X均值、Y均值分别为X、Y的样本均值，n为样本容量。

概率论与数理统计(全部公式整理)

2°
P(1 )

P( 2
)

P( n
)

1 n
。
设任一事件 A ，它是由1, 2 m 组成的，则有
P(A)=(1 ) (2 ) (m ) = P(1 ) P(2 ) P(m )

m n

A所包含的基本事件数基本事件总数
（9）几何概型
的事件。互斥未必对立。 ②运算：
结合率：A(BC)=(AB)C A∪(B∪C)=(A∪B)∪C 分配率：(AB)∪C=(A∪C)∩(B∪C) (A∪B)∩C=(AC)∪(BC)

Ai Ai
德摩根率： i1
i 1
AB AB，AB AB
（7）概率的公理化定义
设为样本空间， A 为事件，对每一个事件 A 都有一个实数 P(A)，若满
1° 0 F(x) 1, x ；
2° F(x) 是单调不减的函数，即 x1 x2 时，有 F(x1) F (x2) ；
3° F() lim F(x) 0， F() lim F(x) 1；
x
x
4° F(x 0) F(x) ，即 F(x) 是右连续的；
（5）基本事件、样本空间和事件
（6）事件的关系与运算
加法原理（两种方法均能完成此事）：m+n 某件事由两种方法来完成，第一种方法可由 m 种方法完成，第二种方法可由 n 种方法来完成，则这件事可由 m+n 种方法来完成。乘法原理（两个步骤分别不能完成这件事）：m×n 某件事由两个步骤来完成，第一个步骤可由 m 种方法完成，第二个步骤可由 n 种方法来完成，则这件事可由 m×n 种方法来完成。

概率论与数理统计公式超全版

所谓自由度是指独立正态随机变量的个数，它是随机变量分布中的一个重要参数。
分布满足可加性：设
则
t分布
设X，Y是两个相互独立的随机变量，且
可以证明函数
的概率密度为
我们称随机变量T服从自由度为n的t分布，记为T～t(n)。
F分布
设，且X与Y独立，可以证明的概率密度函数为
我们称随机变量F服从第一个自由度为n1，第二个自由度为n2的F分布，记为F～f(n1, n2).
一个事件就是由中的部分点（基本事件）组成的集合。通常用大写字母A，B，C，…表示事件，它们是的子集。
为必然事件，?为不可能事件。
不可能事件（?）的概率为零，而概率为零的事件不一定是不可能事件；同理，必然事件（Ω）的概率为1，而概率为1的事件也不一定是必然事件。
（6）事件的关系与运算
①关系：
如果事件A的组成部分也是事件B的组成部分，（A发生必有事件B发生）：
几何分布
，其中p≥0，q=1-p。
随机变量X服从参数为p的几何分布，记为G(p)。
均匀分布
设随机变量的值只落在[a，b]内，其密度函数在[a，b]上为常数，即
a≤x≤b
其他，
则称随机变量在[a，b]上服从均匀分布，记为X~U(a，b)。
分布函数为
a≤x≤b
0，x<a，
?
1，x>b。
当a≤x1<x2≤b时，X落在区间（）内的概率为
在已知X=xi的条件下，Y取值的条件分布为
在已知Y=yj的条件下，X取值的条件分布为
连续型
在已知Y=y的条件下，X的条件分布密度为
；
在已知X=x的条件下，Y的条件分布密度为
（7）独立性

(完整版)大学概率论与数理统计公式全集

大学概率论与数理统计公式全集一、随机事件和概率1、随机事件及其概率运算律名称交换律结合律分配律德摩根律2、概率的定义及其计算公式名称求逆公式加法公式条件概率公式乘法公式全概率公式贝叶斯公式（逆概率公式）伯努利概型公式两件事件相互独立相应公式P(AB)=P(A)P(B)表达式A+B=B+A(A+B)+C=A+(B+C)=A+B+CA(B±C)=AB±ACA+B=ABAB=BA(AB)C=A(BC)=ABCA+(BC)=(A+B)(A+C)AB=A+B公式表达式P(A)=1-P(A)P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)P(B A)=P(AB)P(A)P(AB)=P(A)P(B A)nP(AB)=P(B)P(A B)i iP(B)=∑P(A)P(B A)i=1P(AjB)=P(Aj)P(B Aj)∑P(A)P(B A)j ii=1∞k kPn(k)=Cnp(1-p)n-k,k=0,1,Λn；P(B A)=P(B)；P(B A)=P(B A)；P(B A)+P(B A)=1；P(B A)+P(B A)=1二、随机变量及其分布1、分布函数性质P(X≤b)=F(b)P(a<X≤b)=F(b)-F(a)2、离散型随机变量分布名称0–1分布B(1,p)二项分布B(n,p)泊松分布P(λ)几何分布G(p)超几何分布H(N,M,n)3、连续型随机变量分布名称均匀分布U(a,b)密度函数⎧1⎪b-a,f(x)=⎨⎪0,⎩a<x<b其他分布律P(X=k)=p k(1-p)1-k,k=0,1k kP(X=k)=Cnp(1-p)n-k,k=0,1,Λ,nP(X=k)=e-λλkk!,k=0,1,2,ΛP(X=k)=(1-p)k-1p,P(X=k)=k n-kCMCN-MnCN,k=l,l+1,Λ,min(n,M)k=0,1,2,Λ分布函数0,x<a⎧⎪⎪x-aF(x)=⎨,a≤x<bb-a⎪1,x≥b⎪⎩指数分布E(λ)正态分布N(μ,σ2)标准正态分布N(0,1)f(x)=-λx⎧⎪λe,x>0f(x)=⎨⎪其他⎩0,x<0⎧0,F(x)=⎨-λx1-e,x≥0⎩2πσ⎰2πσ⎰11x12πσe-(x-μ)22σ2-∞<x<+∞F(x)=-∞e-(t-μ)22σ2d tϕ(x)=12πe-x22-∞<x<+∞F(x)=x-∞e-(t-μ)22σ2d t三、多维随机变量及其分布1、离散型二维随机变量边缘分布p i⋅=P(X=xi)=∑P(X=x,Y=y)=∑pi jj jijp⋅j=P(Y=yj)=∑P(X=x,Y=y)=∑pi ji iij2、离散型二维随机变量条件分布p i j =P(X=xiY=yj)=P(X=xi,Y=yj)P(Y=yj)=pijP⋅j,i=1,2Λx yp j i =P(Y=yjX=xi)=P(X=xi,Y=yj)P(X=xi)=pijPi⋅,j=1,2Λ3、连续型二维随机变量(X ,Y)的联合分布函数F(x,y)=⎰-∞⎰-∞f(u,v)dvdu4、连续型二维随机变量边缘分布函数与边缘密度函数边缘分布函数：FX (x)=⎰-∞⎰-∞f(u,v)dvdu边缘密度函数：fX(x)=⎰-∞f(x,v)dvF Y (y)=x+∞+∞⎰⎰y+∞-∞-∞f(u,v)dudv fY(y)=⎰+∞-∞f(u,y)du5、二维随机变量的条件分布fY X (y x)=f(x,y)f(x,y),-∞<y<+∞fX Y(x y)=,-∞<x<+∞fX(x)fY(y)四、随机变量的数字特征1、数学期望离散型随机变量：E(X)=∑xk pk连续型随机变量：E(X)=⎰-∞xf(x)dxk=1+∞+∞2、数学期望的性质(1)E(C)=C,C为常数E[E(X)]=E(X)E(CX)=CE(X)(2)E(X±Y)=E(X)±E(Y)E(aX±b)=aE(X)±b E(C1X1+ΛCnXn)=C1E(X1)+ΛCnE(Xn)(3)若XY相互独立则：E(XY)=E(X)E(Y)(4)[E(XY)]2≤E2(X)E2(Y)3、方差：D(X)=E(X2)-E2(X)4、方差的性质(1)D(C)=0D[D(X)]=0D(aX±b)=a2D(X)D(X)<E(X-C)2(2)D(X±Y)=D(X)+D(Y)±2Cov(X,Y)若XY相互独立则：D(X±Y)=D(X)+D(Y)5、协方差：Cov(X,Y)=E(X,Y)-E(X)E(Y)若XY相互独立则：Cov(X,Y)=06、相关系数：ρXY =ρ(X,Y)=Cov(X,Y)D(X)D(Y)若XY相互独立则：ρXY=0即XY不相关7、协方差和相关系数的性质(1)Cov(X,X)=D(X)Cov(X,Y)=Cov(Y,X)(2)Cov(X1+X2,Y)=Cov(X1,Y)+Cov(X2,Y)Cov(aX+c,bY+d)=abCov(X,Y)8、常见数学分布的期望和方差分布0-1分布B(1,p)二行分布B(n,p)泊松分布P(λ)几何分布G(p)超几何分布H(N,M,n)均匀分布U(a,b)正态分布N(μ,σ2)指数分布E(λ)数学期望p方差p(1-p)np(1-p)npλ1pλ1-ppn2nMNM M N-m(1-)N N N-1 a+b2(b-a)212σ2μ1λ1λ2五、大数定律和中心极限定理1、切比雪夫不等式)D (X )若E (X )=μ,D (X )=σ2,对于任意ξ>0有P {X -E (X )≥ξ}≤D (X 或P {X -E (X )<ξ}≥1-22ξξ2、大数定律：若X1ΛXn相互独立且n →∞时，1n(1)若X 1ΛX n 相互独立，E (X i )=μi ,D (X i )=σi 2∑i =1n1Xi−−→nD n∑E (X )ii =1n且σi 21≤M 则：n ∑i =11Xi−−→nP ∑E (X ),(n →∞)ii =1n1nP −→μ(2)若X1ΛXn相互独立同分布，且E (Xi )=μi则当n →∞时：∑X i−ni =13、中心极限定理(1)独立同分布的中心极限定理：均值为μ，方差为σ2>0的独立同分布时，当n 充分大时有：∑X Y n=k =1nk -n μ~−−→N (0,1)n σ(2)拉普拉斯定理：随机变量ηn(n =1,2Λ)~B (n ,p )则对任意x 有：x →+∞lim P {ηn-npnp (1-p )≤x }=⎰x 12π-∞e-t 22dt=Φ(x )n(3)近似计算：P (a ≤∑Xk≤b )=P (a -n μ≤k =1n∑Xk =1k-n μ≤b -n μn σn σn σ)≈Φ(b -n μn σ)-Φ(a -n μn σ)六、数理统计1、总体和样本总体X 的分布函数F (x )样本(X 1,X 2Λ2、统计量(1)样本平均值：X =1n(3)样本标准差：S =Xn)的联合分布为F (x 1,x2Λx n)=∏F (x k)k =1n∑i =1n1X i(2)样本方差：S =n -12∑1(Xi-X )=n -1i =12nn ∑i =1n (Xi2-nX )21n -1∑1(X i -X ) (4)样本k 阶原点距：Ak=ni =12n ∑Xi =1k i,k =1,2Λ(5)样本k 阶中心距：Bk=M k =1n∑(Xi =1n i-X )k ,k =2,3Λ(6)次序统计量：设样本(X 1,X 2Λ序重新排列，得到x (1)≤x(2)≤Λ为样本(X 1,X 2ΛX n)X n)的观察值(x 1,x 2Λx n)，将x 1,x 2Λxn按照由小到大的次≤x(n )，记取值为x (i )的样本分量为X (i )，则称X(1)≤X(2)≤Λ≤X(n )的次序统计量。