全国高中数学联赛及山东省数学竞赛

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2023年山东高中数学竞赛成绩

2023年山东高中数学竞赛成绩一、背景介绍1.1 数学竞赛在高中生中的地位数学竞赛作为一项重要的学术竞赛活动，不仅能够激发学生学习数学的兴趣，还可以培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。

数学竞赛在高中生中占据着重要的地位。

1.2 山东高中数学竞赛的历史山东省作为我国人口大省之一，高中生数学竞赛一直备受关注。

每年举办的数学竞赛都能吸引众多学生的参与，也是对学生数学水平的一次检验。

二、2023年山东高中数学竞赛的举办情况2.1 竞赛时间和地点2023年山东高中数学竞赛于5月20日在济南举行，来自全省各地的参赛学生齐聚一堂，展开了一场激烈的角逐。

2.2 竞赛规模和分级本次竞赛根据年级分为初赛和决赛两个阶段，分为高一、高二、高三三个年级组别，共计有近千名学生参加了竞赛。

三、竞赛成绩的公布与分析3.1 成绩公布时间和方式竞赛后，主办单位迅速组织相关专家对试卷进行阅卷，并在6月初公布了初赛和决赛的成绩，成绩公布方式为冠方全球信息站和学校通知。

3.2 成绩分析通过对成绩的分析可以看出，本次竞赛的试题难度适中，大部分学生都能完成，但是其中也有一些难题，需要深入思考和灵活运用数学知识。

四、成绩优秀学生的表彰与展望4.1 优秀学生的表彰本次竞赛中，来自各年级的王小明、李小华、张小红等同学，凭借出色的数学天赋和扎实的基础知识，表现突出，取得了优异的成绩，获得了主办方颁发的奖状和奖品，受到了学校和家长的高度赞扬。

4.2 展望未来这些优秀的学生，不仅在竞赛中表现出色，更重要的是他们在日常的学习中能够持之以恒，埋头苦读，不断提升自己的数学水平，他们的成绩也为自己未来的学业和事业奠定了坚实的基础。

五、竞赛成绩的影响与启示5.1 对学生的影响参加数学竞赛对学生们有着深远的影响，既能够激发学生学习数学的兴趣，更能够培养他们的逻辑思维和解决问题的能力，有利于学生全面发展。

5.2 对教育的启示数学竞赛作为一种学术活动，对学校和教育部门也有一定的启示作用，可以借鉴竞赛中的优秀经验，引导学生更加关注数学学科，积极参与数学竞赛，提高我国整体的数学素质。

全国高中数学联赛竞赛大纲及全部定理内容

全国高中数学联赛竞赛大纲(修订稿)及全部定理内容(共4页)-本页仅作为预览文档封面，使用时请删除本页-全国高中数学联赛竞赛大纲及全部定理内容一、平面几何1、数学竞赛大纲所确定的所有内容。

补充要求：面积和面积方法。

2、几个重要定理：梅涅劳斯定理、塞瓦定理、托勒密定理、西姆松定理。

3、几个重要的极值：到三角形三顶点距离之和最小的点--费马点。

到三角形三顶点距离的平方和最小的点--重心。

三角形内到三边距离之积最大的点--重心。

4、几何不等式。

5、简单的等周问题。

了解下述定理：在周长一定的ｎ边形的集合中，正ｎ边形的面积最大。

在周长一定的简单闭曲线的集合中，圆的面积最大。

在面积一定的ｎ边形的集合中，正ｎ边形的周长最小。

在面积一定的简单闭曲线的集合中，圆的周长最小。

6、几何中的运动：反射、平移、旋转。

7、复数方法、向量方法。

平面凸集、凸包及应用。

二、代数1、在一试大纲的基础上另外要求的内容：周期函数与周期，带绝对值的函数的图像。

三倍角公式，三角形的一些简单的恒等式，三角不等式。

2、第二数学归纳法。

递归，一阶、二阶递归，特征方程法。

函数迭代，求ｎ次迭代，简单的函数方程。

3、ｎ个变元的平均不等式，柯西不等式，排序不等式及应用。

4、复数的指数形式，欧拉公式，棣美弗定理，单位根，单位根的应用。

5、圆排列，有重复的排列与组合，简单的组合恒等式。

6、一元n次方程（多项式）根的个数，根与系数的关系，实系数方程虚根成对定理。

7、简单的初等数论问题，除初中大纲中所包括的内容外，还应包括无穷递降法，同余，欧几里得除法，非负最小完全剩余类，高斯函数，费马小定理，欧拉函数，孙子定理，格点及其性质。

三、立体几何1、多面角，多面角的性质。

三面角、直三面角的基本性质。

2、正多面体，欧拉定理。

3、体积证法。

4、截面，会作截面、表面展开图。

四、平面解析几何1、直线的法线式，直线的极坐标方程，直线束及其应用。

2、二元一次不等式表示的区域。

3、三角形的面积公式。

全国高中数学联赛竞赛大纲(修订稿)及全部定理内容

全国高中数学联赛竞赛大纲及全部定理内容一、平面几何1、数学竞赛大纲所确定的所有内容。

补充要求：面积和面积方法。

2、几个重要定理：梅涅劳斯定理、塞瓦定理、托勒密定理、西姆松定理。

3、几个重要的极值：到三角形三顶点距离之和最小的点--费马点。

到三角形三顶点距离的平方和最小的点--重心。

三角形内到三边距离之积最大的点--重心。

4、几何不等式。

5、简单的等周问题。

了解下述定理：在周长一定的ｎ边形的集合中，正ｎ边形的面积最大。

在周长一定的简单闭曲线的集合中，圆的面积最大。

在面积一定的ｎ边形的集合中，正ｎ边形的周长最小。

在面积一定的简单闭曲线的集合中，圆的周长最小。

6、几何中的运动：反射、平移、旋转。

7、复数方法、向量方法。

平面凸集、凸包及应用。

二、代数1、在一试大纲的基础上另外要求的内容：周期函数与周期，带绝对值的函数的图像。

三倍角公式，三角形的一些简单的恒等式，三角不等式。

2、第二数学归纳法。

递归，一阶、二阶递归，特征方程法。

函数迭代，求ｎ次迭代，简单的函数方程。

3、ｎ个变元的平均不等式，柯西不等式，排序不等式及应用。

4、复数的指数形式，欧拉公式，棣美弗定理，单位根，单位根的应用。

5、圆排列，有重复的排列与组合，简单的组合恒等式。

6、一元n次方程（多项式）根的个数，根与系数的关系，实系数方程虚根成对定理。

三、立体几何1、多面角，多面角的性质。

三面角、直三面角的基本性质。

2、正多面体，欧拉定理。

3、体积证法。

4、截面，会作截面、表面展开图。

四、平面解析几何1、直线的法线式，直线的极坐标方程，直线束及其应用。

2、二元一次不等式表示的区域。

3、三角形的面积公式。

4、圆锥曲线的切线和法线。

5、圆的幂和根轴。

五、其它抽屉原理。

容斤原理。

极端原理。

集合的划分。

高中学科竞赛简介

题两部分，满分120分。其中填空题8道，0分。加试（二试）考试时间为9：40-12：10，共150分钟。试题为四道解
答题，前两道每题40分，后两道每题50分，满分180分。试题内容涵盖平
面几何、代数、数论、组合数学等。根据最新消息，2011年数学联赛的试题规则与2010年相同。
道题，每天三道，每个得分点三分，每题21分；第8天：阅卷（学生参观
考察），主试委员会根据分数确定一、二、三等奖获奖名单；前20至30 名选手进入国家集训队；第9天：闭幕式。国家集训队3、4月份集训，通过考试选出6人进入国家队，国家队的考试由平时测验和最后考试两部分组成；平时测验成绩和最后考试成绩各占一半。六月份进行为期3周的集训，7月份参加IMO，过程同CMO。中国数学奥林匹克（CMO）：省一和国家一二三等奖有保送高校资格。省二有自主招生资格，通过自主招生后自动保送。
中国西部数学奥林匹克概述
简介中国西部数学奥林匹克（Chinese Western Mathematical Olympiad，缩写为CWMO），是为位于中国西部省份（包括江西）的中学生举办的数学竞赛，由中国数学奥林匹克委员会举办，一般定于每年11月份举行。目的是为了鼓励西部地区中学生学习数学的兴趣。自从2001年举办第一届竞赛
东道主。按IMO的规定，每一届的东道主必须向上一届的所有参赛国发出
邀请，而新参加的国家则应当向东道主表明参加的意愿，再由东道主发出邀请。 1988年第29届，根据香港的建议，IMO首次设立了荣誉奖，奖给那些虽然未得金、银、铜牌，但至少有一道题得满分的选手。这一措施，大大调动了各参赛国及参赛选手的积极性。
三、国际数学奥林匹克（IMO）
（2）每个参赛团组织一个参赛队，成员不超过8人，其中队员不超

2021年全国高中数学联赛试卷及答案

2021年全国高中数学联赛试卷及答案_年全国高中数学联合竞赛试卷得分评卷人一．选择题(本题满分36分,每小题6分)本题共有6小题,每题均给出A.B.C.D四个结论,其中有且仅有一个是正确的,请将正确答案的代表字母填在题后的括号内,每小题选对得6分;不选.选错或选出的代表字母超过一个(不论是否写在括号内),一律得0分).1．删去正整数数列1,2,3,……中的所有完全平方数,得到一个新数列,这个新数列的第_项是A．2046 B．2047 C．2048 D．2049 答( )2．设a,b∈R,ab≠0,那么直线a_－y＋b＝0和曲线b_2＋ay2＝ab的图形是ABCD答( )3．过抛物线y2＝8(_＋2)的焦点F作倾斜角为60o的直线,若此直线与抛物线交于A.B两点,弦AB的中垂线与_轴交于P点,则线段PF的长等于A． B．C． D．答( )4．若,则的最大值是A．B．C． D．答( )5.已知_,y都在区间(－2,2)内,且_y＝－1,则函数的最小值是A．B．C．D．答( )6.在四面体ABCD中,设AB＝1,CD＝,直线AB与CD的距离为2,夹角为,则四面体ABCD的体积等于A． B．C．D．答( )得分评卷人二．填空题(本题满分54分,每小题9分)本题共有6小题,要求直接将答案写在横线上.7．不等式 _ 3－2_2－4 _ ＋3 _lt; 0 的解集是____________________．8．设F1,F2是椭圆的两个焦点,P是椭圆上的点,且PF1 : PF2＝2 : 1,则三角形PF1F2的面积等于______________．9．已知A＝{_｜_2－4_＋3＜0,_∈R},B＝{_｜21－_＋a≤0,_2－2(a＋7)＋5≤0,_∈R},若AB,则实数a的取值范围是___________________．10．已知a,b,c,d均为正整数,且,若a－c＝9,则b－d＝．11．将8个半径都为1的球分两层放置在一个圆柱内,并使得每个球和其相邻的四个球相切,且与圆柱的一个底面及侧面都相切,则此圆柱的高等于______________．12．设M n ＝{(十进制)n位纯小数｜ai只取0或1(i＝1,2,…,n－1,an＝1},Tn 是Mn中元素的个数,Sn是Mn中所有元素的和,则＝_______．得分评卷人三．解答题(本题满分60分,每小题20分)13．设≤_≤5,证明不等式．14．设A,B,C分别是复数Z0＝ai,Z1＝＋bi,Z2＝1＋ci(其中a,b,c都是实数)对应的不共线的三点,证明:曲线Z＝Z0cos4t＋2Z1cos2t sin2t＋Z2sin4t (t∈R)与ABC中平行于AC的中位线只有一个公共点,并求出此点．15. 一张纸上画有半径为R的圆O和圆内一定点A,且OA＝a. 拆叠纸片,使圆周上某一点A/ 刚好与A点重合,这样的每一种拆法,都留下一条直线折痕,当A/取遍圆周上所有点时,求所有折痕所在直线上点的集合．_年全国高中数学联合竞赛加试试卷得分评卷人一．(本题满分50分)过圆外一点P作圆的两条切线和一条割线,切点为A,B所作割线交圆于C,D两点,C在P,D之间,在弦CD上取一点Q,使∠DAQ＝∠PBC．求证:∠DBQ＝∠PAC．得分评卷人二．(本题满分50分)设三角形的三边分别是整数l,m,n,且l＞m＞n,已知,其中{_}＝_－[_],而[_]表示不超过_的最大整数．求这种三角形周长的最小值．得分评卷人三．(本题满分50分)由n个点和这些点之间的t条连线段组成一个空间图形,其中n＝q2＋q＋1,t≥,q≥2,q∈N,已知此图中任圆点不共面,每点至少有一条连线段,存在一点至少有q＋2条连线段,证明:图中必存在一个空间四边形(即由四点A,B,C,D和四条连线段AB,BC,CD,DA组成的图形)．_年全国高中数学联合竞赛试卷试题参考答案及评分标准说明:1．评阅试卷时,请依据本评分标准．选择题只设6分和0分两档,填空题只设9分和0分两;其它各题的评阅,请严格按照本评分标准规定的评分档次给分,不要再增加其它中间档次．2．如果考生的解答方法和本解答不同,只要思路合理,步骤正确,在评卷时可参照本评分标准当划分档次评分,5分为一个档次.不要再增加其它中间档次．一．选择题:1．注意到452＝_,462＝2116,∴_＝a_—45＝a1981,2115＝a2115—45＝a2070．而且在从第1981项到第2070项之间的90项中没有完全平方数．又1981＋22＝_,∴a_＝a1981+22＝_＋22＝2048．故选(C)．2．题设方程可变形为y＝a_＋b和,则由观察可知应选(B)．3．易知此抛物线焦点F与坐标原点重合,故直线AB的方程为,因此,A,B两点的横坐标满足方程3_2－8_－16＝0,由此求得AB中点的横坐标,纵坐标,进而求得其中垂线方程为,令y＝0,得P点的横坐标_＝,即PF＝,故选(A)．因为_∈,∴,因此与在上同为增函数,故当时,y取最大值．故选(C)5．由已知得,故,而,故当时有最小值,故选(D)．6．如图,过C作CE∥AB且CE＝AB,以△CDE为底面,BC为侧棱作棱柱ABF—ECD,则所求四面体的体积V1等于上述棱柱体积V2的．而△CDE的面积S＝CE_CD_sin∠ECD,AB与CD的公垂线MN就是棱柱ABF－ECD)的高,故,因此,故选(B)．二．填空题:7．由原不等式分解可得( _ －3)(_2＋ _ －1)＜0,由此得所求不等式的解集为．8．设椭圆的长轴.短轴的长及焦矩分别为2a.2b.2c,则由其方程知a＝3,b＝2,c＝,故,PF1＋PF2＝2a＝6,又已知[PF1:PF2＝2:1,故可得PFl＝4,PF2＝2．在△PFlF2中,三边之长分别为2,4,2,而22＋42＝(2)2,可见△PFlF2是直角三角形,且两直角边的长为2和4,故△PFlF2的面积＝4．9．易得:A＝(1,3),设,要使,只需f (_).g (_)在(1,3)上的图象均在_轴下方,其充要条件是f (1)≤0,f (3)≤0,g (1)≤0,g (3)≤0,由此推出－4≤a≤－1．10．由已知可得:,从而,因此a｜b,c｜d．又由于a－c＝9,故,即,故得:,解得．故b－d＝93．11．如图,由已知,上下层四个球的球心A/,B/,C/,D/和A,B,C,D分别是上下两个边长为2的正方形的顶点,且以它们的外接圆⊙O/和⊙O为上下底面构成圆柱,同时,A/在下底面的射影必是弧AB的中点M．在△A/AB中,A/A＝A/B＝AB＝2．设AB的中点为N,则A/N＝．又OM＝OA＝,ON＝1,∴MN＝A/M＝,故所求原来圆柱的高为．12．∵Mn中小数的小数点后均有n位,而除最后一位上的数字必为1外,其余各位上的数字均有两种选择(0或1)方法,故．又因在这2n－1个数中,小数点后第n位上的数字全是1,而其余各位上数字是0或1,各有一半．故∴．三．解答题:13．解:∵(a＋b＋c＋d)2＝a2＋b2＋c2＋d2＋2(ab＋ac＋ad＋bc＋bd＋cd)≤4(a2＋b2＋c2＋d2)∴(当且仅当a＝b＝c＝d时取等号) 5分取,则15分∵不能同时相等∴20分14．解:设z＝_＋yi(_.y∈R),则∴∴y＝(a＋c－2b)_2＋2(b－a)_＋a,0≤_≤1①又∵A.B.C三点不共线,故a＋c－2b≠0,可见所给曲线是抛物线段(如图)5分AB.BC的中点分别是D(),E(),∴直线DE的方程是②10分由①②联立得:15分∵a＋c－2b≠0,∴由于,∴抛物线与△ABC中平行于AC的中位线有且仅有一个公共点,此点的坐标为,对应的复数为20分15．解:如图,以O为原点,OA所在直线为_轴建立直角坐标系,则有A(a,0)．设折叠时,⊙O上点A/()与点A重合,而折痕为直线MN,则 MN为线段AA/的中垂线．设P(_,y)为MN上任一点,则｜PA/｜＝｜PA｜5分∴即 10分∴可得:∴≤1(此不等式也可直接由柯西不等式得到)15分平方后可化为≥1,即所求点的集合为椭圆圆＝1外(含边界)的部分． 20分_年全国高中数学联合竞赛加试试题参考答案及评分标准说明:1．评阅试卷时,请严格按照本评分标准规定的评分档次给分．2．如果考生的解题方法和本解答不同,只要思路合理.步骤正确,在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分,10分为一个档次,不要再增加其它中间档次．一．证明:联结AB,在△ADQ与△ABC中,∠ADQ=∠ABC,∠DAQ=∠PBC=∠CAB故△ADQ∽△ABC,而有,即BC·AD＝AB·DQ10分又由切割线关系知△PCA∽△PAD得;同理由△PCB∽△PBD得20分又因PA＝PB,故,得AC·BD＝BC·AD＝AB·DQ 30分又由关于圆内接四边形ACBD的托勒密定理知AC·BD＋BC·AD＝A B·CD于是得:AB·CD＝2AB·DQ,故DQ＝CD,即CQ＝DQ40分在△CBQ与△ABD中,,∠BCQ＝∠BAD,于是△CBQ∽△ABD,故∠CBQ＝∠ABD,即得∠DBQ＝∠ABC∠PAC． 50分二．解:由题设可知于是3l≡3m≡3n(mod 104) _Ucirc; 10分由于(3,2)＝(3,5)＝1,∴由①可知3l－n≡3m－n≡1 (mod 24)．设u是满足3u≡1 (mod 24)的最小正整数,则对任意满足3v≡1 (mod 24)的正整数v,我们有u｜v．事实上若u不整除v,则由带余除法可知,存在非负整数a.b,使得v＝au＋b,其中0＜b≤u－1,从而可推出3b≡3b＋au≡3v≡1 (mod 24),而这显然与u的定义矛盾．注意到3≡3 (mod 24),32≡9 (mod 24),33≡27≡11 (mod 24),34≡1 (mod 24),从而可设m－n＝4k,其中k为正整数20分同理由②可推出3m－n≡1 (mod 25),故34k≡1 (mod 25)现在我们求34k≡1 (mod 25)满足的整数k．∵34＝1＋5_24,∴34k－1＝(1＋5_24)k－1≡0(mod 55)30分或即有k＝5t,并代入该式得t＋5t[3＋(5t－1)_27]≡0(mod 52)即k＝5t＝53s,其中s为整数,故m－n＝500s,s为正整数同理可得l－n＝500r,r为正整数40分由于l＞m＞n,∴r＞s这样三角形的三边为500r＋n.500s＋n和n,由于两边之差小于第三边,故n＞500(r－s),因此当s＝1,r＝2,n＝501时三角形的周长最小,其值为3003．50分三．证:设这n个点的集合V＝{A0,A1,A2,……,An－1}为全集,记Ai的所有邻点(与Ai有连线段的点)的集合为Bi,Bi中点的个数记为｜Bi｜＝bi,显然且bi≤(n－1) (i＝0,1,2,……,n－1)．若存在bi＝n－1时,只须取,则图中必存在四边形,因此下面只讨论bi＜n－1(i＝0,1,2,……,n－1)的情况． 10分不妨设q＋2≤b0＜n－1用反证法若图中不存在四边形,则当i≠j时,Bi与Bj无公共点对,即｜Bi∩Bj｜≤1(0≤i＜j≤n－1)因此(i＝0,1,2,……,n－1)故中点对的个数＝中点对的个数20分＝(当bi＝1或2时,令＝0)＝30分＝≥＝故(n－1)(n－b0)(n－b0－1)≥(nq－q＋2－b0)(nq－q－n＋3－b0)q(q＋1)(n－b0)(n－b0－1)≥(nq－q＋2－b0)(nq－q－n＋3－b0) ①40分但(nq－q－n＋3－b0)－q(n－b0－1)＝(q－1)b0－n＋3≥(q－1)(q＋2)－n ＋3＝0 ②及(nq－q＋2－b0)－(q＋1)(n－b0)＝qb0－q－n＋2≥q(q＋2)－q－n＋2＝1＞0③由②③及(n－b0) (q＋1).(n－b0－1) q皆是正整数,得(nq－q＋2－b0) (nq－q－n＋3－b0)＞q (q＋1) (n－b0) (n－b0－1)这与①式相矛盾,故原命题成立．50分。

全国高中数学联赛竞赛大纲稿及全部定理内容

全国高中数学联赛竞赛大纲及全部定理内容一、平面几何1、数学竞赛大纲所确定的所有内容; 补充要求：面积和面积方法;2、几个重要定理：梅涅劳斯定理、塞瓦定理、托勒密定理、西姆松定理;3、几个重要的极值：到三角形三顶点距离之和最小的点--费马点;到三角形三顶点距离的平方和最小的点--重心;三角形内到三边距离之积最大的点--重心;4、几何不等式;5、简单的等周问题;了解下述定理：在周长一定的ｎ边形的集合中,正ｎ边形的面积最大; 在周长一定的简单闭曲线的集合中,圆的面积最大;在面积一定的ｎ边形的集合中,正ｎ边形的周长最小; 在面积一定的简单闭曲线的集合中,圆的周长最小;6、几何中的运动：反射、平移、旋转;7、复数方法、向量方法; 平面凸集、凸包及应用;二、代数1、在一试大纲的基础上另外要求的内容：周期函数与周期,带绝对值的函数的图像;三倍角公式,三角形的一些简单的恒等式,三角不等式;2、第二数学归纳法;递归,一阶、二阶递归,特征方程法; 函数迭代,求ｎ次迭代,简单的函数方程;3、ｎ个变元的平均不等式,柯西不等式,排序不等式及应用;4、复数的指数形式,欧拉公式,棣美弗定理,单位根,单位根的应用;5、圆排列,有重复的排列与组合,简单的组合恒等式;6、一元n次方程多项式根的个数,根与系数的关系,实系数方程虚根成对定理;7、简单的初等数论问题,除初中大纲中所包括的内容外,还应包括无穷递降法,同余,欧几里得除法,非负最小完全剩余类,高斯函数,费马小定理,欧拉函数,孙子定理,格点及其性质;三、立体几何1、多面角,多面角的性质;三面角、直三面角的基本性质;2、正多面体,欧拉定理;3、体积证法;4、截面,会作截面、表面展开图;四、平面解析几何1、直线的法线式,直线的极坐标方程,直线束及其应用;2、二元一次不等式表示的区域;3、三角形的面积公式;4、圆锥曲线的切线和法线;5、圆的幂和根轴;五、其它抽屉原理; 容斤原理; 极端原理; 集合的划分; 覆盖;数学竞赛中涉及的重要定理1、第二数学归纳法：有一个与自然数n有关的命题,如果：1当n＝1时,命题成立；2假设当n≤k时命题成立,由此可推得当n＝k+1时,命题也成立;那么,命题对于一切自然数n来说都成立;2、棣美弗定理：设复数z=rcosθ+isinθ,其n次方z^n = r^n cosnθ+isinnθ,其中n为正整数;3、无穷递降法：证明方程无解的一种方法;其步骤为：假设方程有解,并设X为最小的解;从X推出一个更小的解Y;从而与X的最小性相矛盾;所以,方程无解;4、同余：两个整数a,b,若它们除以整数m所得的余数相等,则称a,b对于模m同余,记作a ≡ b mod m ,读作a同余于b模m,或读作a与b关于模m同余; 比如26 ≡ 14 mod 12定义设ｍ是大于1的正整数,a,b是整数,如果m|a-b,则称a与b关于模m同余,记作a≡bmod m,读作a同余于b模m.;有如下事实：1若a≡0mod m,则m|a；2a≡bmod m等价于a与b分别用m去除,余数相同.5、欧几里得除法：即辗转相除法; 详见高中数学课标人教B版必修三6、完全剩余类：从模n的每个剩余类中各取一个数,得到一个由n个数组成的集合,叫做模n的一个完全剩余系;例如,一个数除以4的余数只能是0,1,2,3,{0,1,2,3}和{4,5,-2,11}是模4的完全剩余系;可以看出0和4,1和5,2和-2,3和11关于模4同余,这4组数分别属于4个剩余类;7、高斯函数：fx=ae-x-b^2/c^2 其中a、b与c为实数常数 ,且a > 0.8、费马小定理：假如p是质数,且a,p=1,那么 a^p-1 ≡１mod p 假如p是质数,且a,p互质,那么 a的p-1次方除以p的余数恒等;9、欧拉函数：φ函数的值：通式：φx=x1-1/p11-1/p21-1/p31-1/p4…..1-1/pn,其中p1, p2…pn为x的所有质因数,x是不为0的整数;φ1=1唯一和1互质的数就是1本身;若n是质数p的k次幂,φn=p^k-p^k-1=p-1p^k-1,因为除了p的倍数外,其他数都跟n互质;欧拉函数是积性函数——若m,n互质,φmn=φmφn;特殊性质：当n为奇数时,φ2n=φn, 证明于上述类似;10、孙子定理：此定理的一般形式是设m = m1 ,… ,mk 为两两互素的正整数,m＝m1,…mk ,m＝miMi,i＝1,2,… ,k ;则同余式组x≡b1modm1,…,x≡bkmodmk的解为x≡M'1M1b1＋…＋M'kMkbk modm;式中M'iMi≡1 modmi,i＝1,2,…,k ;11、裴蜀定理：对任何整数a、b和它们的最大公约数d,关于未知数x和y的线性丢番图方程称为裴蜀等式：若a,b是整数,且a,b=d,那么对于任意的整数x,y,ax+by都一定是d的倍数,特别地,一定存在整数x,y,使ax+by=d成立;它的一个重要推论是：a,b互质的充要条件是存在整数x,y使ax+by=1.11、梅涅劳斯定理：如果在△ABC 的三边BC 、CA 、AB 或其延长线上有点D 、E 、F 且D 、E 、F 三点共线,则FB AF EA CE DC BD ••=1 12、梅涅劳斯定理的逆定理：如果在△ABC 的三边BC 、CA 、AB 或其延长线上有点D 、E 、F,且满足FB AF EA CE DC BD ••=1,则D 、E 、F 三点共线; 13、塞瓦定理：设O 是△ABC 内任意一点,AO 、BO 、CO 分别交对边于N 、P 、M,则1=••PA CP NC BN MB AM14、塞瓦定理的逆定理：设M 、N 、P 分别在△ABC 的边AB 、BC 、CA 上,且满足1=••PA CP NC BN MB AM ,则AN 、BP 、CM 相交于一点;15、广勾股定理的两个推论：推论1：平行四边形对角线的平方和等于四边平方和;推论2：设△ABC 三边长分别为a 、b 、c,对应边上中线长分别为m a 、m b 、m c则：m a =2222221a c b -+；m b =2222221b c a -+；m c =2222221c b a -+16、三角形内、外角平分线定理：内角平分线定理：如图：如果∠1=∠2,则有AC AB DCBD = 外角平分线定理：如图,AD 是△ABC 中∠A 的外角平分线交BC 的延长线与D,则有AC AB DC BD = 17、托勒密定理：四边形ABCD 是圆内接四边形,则有AB ·CD+AD ·BC=AC ·BD18、三角形位似心定理：如图,若△ABC 与△DEF 位似,则通过对应点的三直线AD 、BE 、CF 共点于P19、正弦定理、在△ABC 中有R C c B b A a 2sin sin sin ===R 为△ABC 外接圆半径余弦定理：a 、b 、c 为△ABC 的边,则有：a 2=b 2+c 2-2bc ·cosA; b 2=a 2+c 2-2ac ·cosB; c 2=a 2+b 2-2ab ·cosC;20、西姆松定理：点P 是△ABC 外接圆周上任意一点,PD ⊥BC,PE ⊥AC,PF ⊥AB,D 、E 、F 为垂足,则D 、E 、F 三点共线,此直线称为西姆松线;21、欧拉定理：△ABC 的外接圆圆心为O,半径为R,内切圆圆心为I,半径为r,记OI=d,则有：d 2=R 2-2Rr.22、巴斯加线定理：圆内接六边形ABCDEF不论其六顶点排列次序如何,其三组对边AB与DE、BC与EF、CD与FA的交点P、Q、R共线;。

全国高中数学联赛竞赛大纲(修订稿)及全部定理内容

全国高中数学联赛竞赛大纲及全部定理内容一、平面几何1、数学竞赛大纲所确定的所有内容。

补充要求：面积和面积方法。

2、几个重要定理：梅涅劳斯定理、塞瓦定理、托勒密定理、西姆松定理。

3、几个重要的极值：到三角形三顶点距离之和最小的点--费马点。

到三角形三顶点距离的平方和最小的点--重心。

三角形内到三边距离之积最大的点--重心。

4、几何不等式。

5、简单的等周问题。

了解下述定理：在周长一定的ｎ边形的集合中，正ｎ边形的面积最大。

在周长一定的简单闭曲线的集合中，圆的面积最大。

在面积一定的ｎ边形的集合中，正ｎ边形的周长最小。

在面积一定的简单闭曲线的集合中，圆的周长最小。

6、几何中的运动：反射、平移、旋转。

7、复数方法、向量方法。

平面凸集、凸包及应用。

二、代数1、在一试大纲的基础上另外要求的内容：周期函数与周期，带绝对值的函数的图像。

三倍角公式，三角形的一些简单的恒等式，三角不等式。

2、第二数学归纳法。

递归，一阶、二阶递归，特征方程法。

函数迭代，求ｎ次迭代，简单的函数方程。

3、ｎ个变元的平均不等式，柯西不等式，排序不等式及应用。

4、复数的指数形式，欧拉公式，棣美弗定理，单位根，单位根的应用。

5、圆排列，有重复的排列与组合，简单的组合恒等式。

6、一元n次方程（多项式）根的个数，根与系数的关系，实系数方程虚根成对定理。

三、立体几何1、多面角，多面角的性质。

三面角、直三面角的基本性质。

2、正多面体，欧拉定理。

3、体积证法。

4、截面，会作截面、表面展开图。

四、平面解析几何1、直线的法线式，直线的极坐标方程，直线束及其应用。

2、二元一次不等式表示的区域。

3、三角形的面积公式。

4、圆锥曲线的切线和法线。

5、圆的幂和根轴。

五、其它抽屉原理。

容斤原理。

极端原理。

集合的划分。

2007年全国高中数学联赛及山东省数学竞赛_2

2007年全国高中数学联赛及山东省数学竞赛济南赛区通报2007年全国高中数学联赛预赛和决赛已分别于2007年9月16日上午和2007年10月14日上午分别进行.我市有11081人参加了预赛,有227人参加了决赛.在此次竞赛中，我市选手取得了十分优异成绩,获全国一等奖人数和全国一、二、三等奖人数均列全省各参赛单位前列,其中全省获全国一等奖的43人中就有我市的15人，达到全省的近30%.有4人进入全国冬令营，达到最高水平，现将此次竞赛的情况通报如下：一、全国奖(共63人)1.全国一等奖共15人韦东奕(240分,山师附中) 王颖婓（206分，实验中学）安传恺(201分,山师附中)王储(190分,实验中学) 刘青阳 (177分, 山师附中) 鲁悦(172分,山师附中)冯龙(152分,实验中学) 禹泽西(150分, 实验中学) 方延博(150分,实验中学)路若洲(143分,实验中学) 刘宁(141分, 实验中学) 高茉人(130分,实验中学)楚天翔(124分,实验中学) 孙晨正(123分, 山师附中) 姜晖(122分,山师附中)2.全国二等奖共 27人梅潇(119分, 实验中学) 隋春宁（117分，山师附中）贺兆印（116分，历城一中）丁寰宇（114分,实验中学）刘光强（110分，山师附中）王哲（110分,实验中学）王振中(105分,山师附中) 徐硕（105分，实验中学）申晓斌（104分，实验中学）丛亚（103分，实验中学）李凤麟 (103分,山师附中) 曲焜 (101分, 实验中学)宋超逸(101分, 实验中学) 窦欣元(101分, 实验中学) 韩谡越（ 99分，章丘四中）牟象禹（97分，山师附中）胡颖凯（96分，山师附中）马万里 ( 94分, 实验中学)王飞（94分，山师附中）孔陆洋（94分，山师附中）孟庆迪 ( 93分, 实验中学)丁晋（93分，实验中学）翟晓辉（138分，山师附中）张赛峥（92分，实验中学）顾然（92分，山师附中）刘筱宁（92分，外语学校）杨晓婉（92分，实验中学）3.全国三等奖共 21人孙振宇（91分，实验中学）陈邦锐（91分，实验中学）王越（91分，实验中学）李鑫业（89分，山师附中）秦立煜（88分，实验中学）刘毅（87分，实验中学）岑昊（86分，山师附中）栾义龙 (86分, 实验中学) 石敬玉（86分，章丘四中）张天宇（86分，实验中学）姜怡然（86分，山师附中）吕林超（85分，实验中学）陈诚（85分，济南中学）孙染（84分，实验中学）王元（84分，实验中学）张棋（84分，山师附中）郝克（83分，外语学校）黄杨（83分，山师附中）王雨（82分，外语学校）王梁（82分，实验中学）杨云钊（81分，山师附中）二、此次竞赛的预赛也是山东省数学竞赛,根据竞赛成绩,学生获奖情况如下:（注：根据济南市数学竞委会规定，获全国二等奖以上不在给予省级奖励）1.省一等奖共158人（排名不分先后）实验中学（6人）：夏靓116分王晓熙113分王冬雨111分刘毅110分钟睿106分梁健102分，山师附中（9人）：董跃振111分刘苏方108分李鑫业102分曲士眹 99分黄杨 96分韩蕾 94分刘海 93分罗荣钧 90分姜怡然90分济南一中（1 人）：陈双 94分济南二中（ 5人）：宫庆凯 76分于昌灏 70分郭晓宁 64分姜玉玺 63分李祺龙58分济南三中（ 6人）：蒋丽 84分孙新利 71分张虎 67分卫成林 66分商和宁 66分张婷婷 66分济南七中（2人）: 肖玉淼 49分陈晨 45分济南九中（2人）：鞠佳 69分王紫辉 66分济十一中（2人）：李中华 70分王春喜 63分济南52中（1人）：赵芳亮 57分济南中学（13人）：王瑞 90分邹世俊83分外语学校（ 2人）：杨金龙100分郝克 98分英才高中（ 6人）：孟宇 73分张译文 56分王路 54分高建辉50分陈徭 50分济钢中学（ 7人）：李泳江 90分陈琛 88分李霖 85分刘一畅 83分刘梦晨 82分马长琳 81分秦汉唐 79分三职高中（4人）：王阿冉53分李强51分徐桂亮 49分王珂 49分历城区（14人）：历城一中：曹芳106分贺兆印97分胡春晖93分王超 90分陈磊 90分历城二中：李双江102分高昊鸥99分张广乐96分刘红霞95分李延龙 93分历城四中：蔡荣峰 94分刘振83分历城五中：马业兴84分洪楼高中：张金花98分章丘市（32人）：章丘一中：赵蕾蕾87分徐帅 81分刘波80分章丘四中：李喆 140分马宪进104分王增辉97分陈成成96分朱福兴 94分索金召 93分党灿93分柏杨93分许昊93分章丘五中：郭乐田104分田春钊108分李虎100分刘杰100分张方瑞96分韩成龙 90分靳丰晨 89分刘洋槐84分王海景 83分郭红 80分郑伟 80分鲁家刚80分章丘七中：高兵孟娜袭苗苗姜树浩章丘中学：王俊荣99分宁纪森95分宋涛93分甄爱香93分平阴县（ 8人）：张文选119分刘聪102分许昌斌98分孙朝阳96分张明达96分张子键 93分路文高 93分马世杰81分，长清区（16人）：李娇102分安玮100分孟强97分钟涵94分朱有云93分焦裕龙 88分段学苇87分张越86分赵鹏85分朱存良85分段益雪100分张毓胜98分兰英新87分齐本明87分田德洲83分杨洪伟83分商河县（ 4人）：王光龙87分于和善86分李良金85分周祥政83分济阳县（18人）：王钊114分盛华英110分郭富明101分周亚凡 99分胥燕燕 95分菅秀峰 95分冯涛 93分李超119分齐震112分卢乾坤101分李国栋100分韩涛104分闫宁101分李晓阳106分菅庆圣102分崔月 98分霍纯森 96分华震 96分2.省二等奖共202人实验中学（13人）：祁海洋100分秦立煜101分李骥100分韩祥冬100分李文硕98分王越 98分栾义龙 98分李可扬96分孙棋 96分孙振宇96分叶梦醒 96分邹宗航 96分栗榛96分山师附中（13人）：杜宏 87分宋建浩 87分张志浩 86分付强 85分曹旭 85分赵玉祯 84分杨云钊 82分宋晓楠 81分刘青华 79分王聪 79分李丹蕾 78分陈飞 78分刘雯 78分济南二中（9人）：韩长龙 57分李丽丽 57分李征 56分丘化凯 55分姚运华 55分吕诚哲 54分杨霖 54分崔然旭 54分孙波 54分济南三中（4人）：孙志超 64分朱婷婷 60分王振坤 60分龙玉梅60分济南七中（ 3人）：胡勇超 44分崔燕 43分孙彬 43分济南九中（ 3人）：周淑灿 60分隋宏远 60分马宝强60分济十一中（ 2人）：唐智55分宋怀杰 54分济52中（ 2人）：王淑芬 53分朱婷婷53分济南中学（ 3人）：杨晓煜 82分吴凌雪81 分王芯 81分外语学校（ 5人）：万伟 90分宋瑞雪 89分袁心 88分罗丁 85分张庆辰 85分济钢高中（ 9人）：冯博宇 78分赵晓丹 78分朱鑫鹏 77分潘红 76分金岩76分王智飞 75分周婷婷75分李璐 75分宿波75分英才高中（ 8人）：韩晓松 48分肖剑辉 48分赵院 48分张天佑 48分薛桐 48分李晓 47分李晓明 44分苏志勇 44分三职高中（ 4人）：赵殿龙 48分毛文靓 45分季淑玉 45分王梅梅44分历城区（17人）：历城一中：金增奇89分陈荣荣89分柴柏晓87分杨小龙85分张强84分历城二中：颜庆87分杜文帅85分翟凤婷85分靳若安85分杨登平85分历城四中：孙光军64分李明64分钱宇63分历城五中：王兴英78分苏志南78分洪楼高中：赵志勇88分王金振78分章丘市（41人）：章丘一中：孙月红77分蒋全芝75分刘乃龙72分张永亮71分张强70分刘凤翔70分章丘四中：石敬玉92分张学超92分蔡云云92分陈龙桥92分李娜 88分李臣88分陈光鹏88分刘敏87分徐家昌86分董彤阳85分孙广帅85分高云逸85分章丘五中：冯业飞79分张瑞谦79分黄立臣78分胡继伟78分徐昭萌78分孙盟 78分于巍巍78分柳庆娓78分吴鹏77分韩福芸77分范士凯 76分韩春超76分刘延清76分章丘七中：程宗越孟超高玲刘娇龙杨兵贾超章丘中学：张硕90分董晓越90分曹林丽87分侯东明86分巩敏86分李鹏86分平阴县（8人）：乔珂欣91分王文华90分沙宗国90分张德水88分陈涛87分刘德福86分苏本民80分杜言铭75分长清区（26人）：王帅84分杜杰84分李君朋83分王华83分于晓菲82分卢婧82分王岩81分戴伟81分宋丙亮81分庄卫卫81分马晓81分杨仁俊80分韩传刚80分李珊80分邢庆涛80分孟维昌81分周恒80分王斌80分李修源78分孙传海78分段好新77分赵婷婷77分贾丹78分王倩74分蒋艳66分范升涛66分商河县（5人）：展长伟81分卢培义81分王伟81分孙发鲁79分张旭78分济阳县（27人）：罗宾甲 90分牛法富 90分牛佳瑞 90分裴建梁 89分张刚峰 89分李道通 87分艾杰 87分陈新斌 86分孙云飞 86分刘文静 95分王莉 93分刘超 93分杨骁 93分温明强 92分张元炜 91分李振 90分王彬 90分张蕊88分徐春花 88分李凯 88分吴鹏 87分张龙87分秦婷婷 87分张勇87分刘贵奇87分张滨 87分徐囡 87分3.省三等奖218人实验中学（5人）：孙染 95分王梁 95分李翔宇 94分陈邦锐 94分陈茜茜94分山师附中（13人）：杨晓星 76分翟毅 76分冯君淑 77分袁源 76分夏冰 75分孙晴川 75分张河慧 75分王睿 75分崔赛飞 75分陈琛 74分王尧 74分王迪 74分赵越 74分济南一中（ 1人）：李晨光 78分济南二中（5人）：陶然 51分赵元圆 50分孙吉隆 50分王越50分陈安 50分济南三中（ 6人）：崔丙伟 59分王官玲 57分李璐 57分刘海洋 57分商广义 57分杨润蕊56 分济南七中（ 2人）：胡尊飞 42分成龙 42分济南九中（ 5人）：史良 58分王明 58分刘讳58分刘帅帅 57分贾杰 57分济十一中（3人）：董丽君 51分牛邦龙 51分徐永龙 49分济南中学（2人）：陈栋 80分张望80分外语学校（5人）：于东宁 81分欧阳82分李千81分黄一成 81分郦龙 81分钢厂高中（13人）：彭高飞 74分赵冲 74分李辉73分耿浩 72分杨紫娇 71分李延文 71分张楠 72分柴宝臣 72分郭琦 72分林尧 72分刘爽 73分蒋薇 71分徐涛 70分英才高中（ 9人）：王华琳 42分金传铭 42分李超42分陈娜 42分李佳倩42分张鹏 42分王翰林 42分段晨彤42分玉叶 41分三职高中（5人）：付磊 43分于鸿 43分王硕 42分叶鑫42分宋晓艳 42分历城区（20人）：历城一中：王俊国83分刘丹82分张凤82分陈哲81分马超81分历城二中：张良82分韩豹81分杜磊81分李洪燕81分侯程广81分，李敏81分王曰儒81分历城四中：周晓琼59分彭延杰59分韩娟59分历城五中：陈世军76分赵成75分范圣男75分洪楼高中：刘玉娟70分卢长瑞68分章丘市（47人）：章丘一中：韩超69分张帅69分孙秀婷69分郭盼69分丁帅69分李豪杰69分宁建69分章丘四中：董道江84分李广84分马永岩84分鹿苗苗84分陈慧颖84分赵春雷84分程彬84分卢国华84分张晓彤84分韩继雷84分韩慧梅83分宁超众83分吕素华82章丘五中：王福荣75分牛凯峰75分韩强75分吕晓萌75分王沛阳75分孙方杰75分李中雨75分宋梅玲75分杨志敏75分李杰74分张运涛74分黄文娟74分郑兴花74分闫广霞74分冯业芝74分章丘七中：赵静刘群陈样高娟柏文王瑶章丘中学：党义鹏85分彭绍辉85分赵静84分郭嘉宾81分李跃81分刘元康80分平阴县（13人）：杨其资84分李霞84分丁姗姗84分李浩84分白哲84分刘兵83分高璇82分陈阳82分王蒙82分刘涛82分吴庆存82分王超82分王龙江72分长清区（28人）：于海龙78分苏军78分张晓旭78分刘天燕78分庄庆鹏78分田娜78分邵继美78分刘文雪78分李柱杰77分王佳77分韩聪77分李照垒76分张伟76分张其昌76分孔令燕76分杨崭76分薛德宝74分王东东74分李婷婷74分刘东73分孟凡荣73分赵双73分李善刚73分韩胜涛73分王元腾69分柴茂青72分张双双63分赵玉芹63分商河县（6人）：金冉78分芮法莹77分车召堂75分赵富燕75分赵华安75分徐超74分济阳县（30人）：王闯 85分高迪 85分呼燕 85分周讯 85分李三九 84分徐小青 84分孙志凌 84分李方吉 84分杜学知 84分王浩 84分刘志远 84分刘喆 84分袁新超 84分姚麒麟86分高帅 86分张强 86分杨吉伟 86分高扬 86分张震 84分高翠萍 85分王忠华 84分张传凯 84分朱学亮84分高荣祥 84分张红梅84分江继宽 84分李连玉84分陈国良84分常超 84分刘非84分注: 1.获山东省一、二、三等奖的学生如获全国奖的奖次高于或等于省奖,则不再发省奖。

2024年全国中学生数学奥林匹克竞赛(预赛)暨2024年全国高中数学联赛一试(A卷)试题(含答案)

2024年全国中学生数学奥林匹克竞赛（预赛）暨2024年全国高中数学联合竞赛一试（A 卷）参考答案及评分标准说明：1. 评阅试卷时，请依据本评分标准. 填空题只设8分和0分两档；其他各题的评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不得增加其他中间档次.2. 如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，解答题中第9小题4分为一个档次，第10、11小题5分为一个档次，不得增加其他中间档次．一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，满分64分．1. 若实数1m 满足98log (log )2024m ，则32log (log )m 的值为．答案：4049．解：323898log (log )log (3log )12log (log )1220244049m m m ．2. 设无穷等比数列{}n a 的公比q 满足01q ．若{}n a 的各项和等于{}n a 各项的平方和，则2a 的取值范围是．答案：1,0(0,2)4．解：因为数列{}n a 的各项和为11a q，注意到{}n a 各项的平方依次构成首项为21a 、公比为2q 的等比数列，于是2{}n a 的各项和为2121a q．由条件知211211a a q q，化简得11a q ．当(1,0)(0,1)q 时，22111(1),0(0,2)244a q q q ． 3. 设实数,ab 满足：集合2{100}A x x x a R 与3{}B x bx b R 的交集为[4,9]，则a b 的值为．答案：7．解：由于2210(5)25x x a x a ，故A 是一个包含[4,9]且以5x 为中点的闭区间，而B 是至多有一个端点的区间，所以必有[1,9]A ，故9a ．进一步可知B 只能为[4,) ，故0b 且34b b ，得2b ．于是7a b ．4. 在三棱锥P ABC 中，若PA 底面ABC ，且棱,,,AB BP BC CP 的长分别为1,2,3,4，则该三棱锥的体积为．答案：34．解：由条件知PA AB ，PA AC ．因此PA AC ．在ABC 中，22219131cos 22132AB BC AC B AB BC ，故sin B ．所以1sin 2ABC S AB BC B 又该三棱锥的高为PA ，故其体积为1334ABC V S PA ． 5. 一个不均匀的骰子，掷出1,2,3,4,5,6点的概率依次成等差数列．独立地先后掷该骰子两次，所得的点数分别记为,a b ．若事件“7a b ”发生的概率为17，则事件“a b ”发生的概率为．答案：421．解：设掷出1,2,,6 点的概率分别为126,,,p p p ．由于126,,,p p p 成等差数列，且1261p p p ，故16253413p p p p p p ．事件“7a b ”发生的概率为1162561P p p p p p p ．事件“a b ”发生的概率为2222126P p p p ．于是22221216253411()()()333P P p p p p p p ．由于117P ，所以21143721P ． 6. 设()f x 是定义域为R 、最小正周期为5的函数．若函数()(2)x g x f 在区间[0,5)上的零点个数为25，则()g x 在区间[1,4)上的零点个数为．答案：11．解：记2x t ，则当[0,5)x 时，[1,32)t ，且t 随x 增大而严格增大．因此，()g x 在[0,5)上的零点个数等于()f t 在[1,32)上的零点个数．注意到()f t 有最小正周期5，设()f t 在一个最小正周期上有m 个零点，则()f t 在[2,32)上有6m 个零点，又设()f t 在[1,2)上有n 个零点，则625m n ，且0n m ，因此4,1m n ．从而()g x 在[1,4)上的零点个数等于()f t 在[2,16)[1,16)\[1,2) 上的零点个数，即311m n ．7. 设12,F F 为椭圆的焦点，在上取一点P （异于长轴端点），记O 为12PF F 的外心，若12122PO F F PF PF ，则的离心率的最小值为．答案解：取12F F 的中点M ，有12MO F F ，故120MO F F ．记1212,,PF u PF v F F d ，则121212PO F F PM F F MO F F 12211()()2PF PF PF PF 222v u ， 222121222cos PF PF uv F PF u v d ，故由条件知222222v u u v d ，即22232u v d ．由柯西不等式知222281(3)1()33d u v u v （当3v u 时等号成立）．所以的离心率d e u v ．当::u v d 时，的离心率e 取到最小值8. 若三个正整数,,a b c 的位数之和为8，且组成,,a b c 的8个数码能排列为2,0,2,4,0,9,0,8，则称(,,)a b c 为“幸运数组”，例如(9,8,202400)是一个幸运数组．满足10a b c 的幸运数组(,,)a b c 的个数为．答案：591．解：对于幸运数组(,,)a b c ，当10a b c 时，分两类情形讨论．情形1：a 是两位数，,b c 是三位数．暂不考虑,b c 的大小关系，先在,,a b c 的非最高位（五个位置）中选三个位置填0，剩下五个位置还未填，任选其中两个填2，最后三个位置填写4,8,9，这样的填法数为3255C C 3!600 ．再考虑其中,b c 的大小关系，由于不可能有b c ，因此b c 与b c 的填法各占一半，故有300个满足要求的幸运数组．情形2：,a b 是两位数，c 是四位数．暂不考虑,a b 的大小关系，类似于情形1，先在,,a b c 的非最高位（五个位置）中选三个位置填0，剩下五个位置填2,2,4,8,9，这样的填法数为600．再考虑其中,a b 的大小关系．若a b ，则必有20a b ，c 的四个数字是0,4,8,9的排列，且0不在首位，有33!18 种填法，除这些填法外，a b 与a b 的填法各占一半，故有600182912个满足要求的幸运数组．综上，所求幸运数组的个数为300291591 ．二、解答题：本大题共3小题，满分56分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．9. （本题满分16分）在ABC 中，已知sin cos sin cos cos 22A AB B C，求cos C 的值．解：由条件知cos 44C A B． …………4分假如44A B，则2C ，cos 0C ，但sin 04A ，矛盾．所以只可能44A B ．此时0,2A B ，2C A ． …………8分注意到cos 04C A ，故2C ，所以,42A B ，结合条件得cos cos 2sin 22sin cos 244C A A A A2C ，又cos 0C ，化简得28(12cos )1C ，解得cos C…………16分 10.（本题满分20分）在平面直角坐标系中，双曲线22:1x y 的右顶点为A ．将圆心在y 轴上，且与的两支各恰有一个公共点的圆称为“好圆”．若两个好圆外切于点P ，圆心距为d ，求d PA 的所有可能的值．解：考虑以0(0,)y 为圆心的好圆2220000:()(0)x y y r r ．由0 与的方程消去x ，得关于y 的二次方程2220002210y y y y r ．根据条件，该方程的判别式22200048(1)0y y r ，因此220022y r ．…………5分对于外切于点P 的两个好圆12, ，显然P 在y 轴上．设(0,)P h ，12, 的半径分别为12,r r ，不妨设12, 的圆心分别为12(0,),(0,)h r h r ，则有2211()22h r r ，2222()22h r r ．两式相减得2212122()h r r r r ，而120r r ，故化简得122r r h． …………10分进而221211222r r r r ，整理得 221122680r r r r ．① 由于12d r r ，(1,0)A ，22212()114r r PA h ，而①可等价地写为2212122()8()r r r r ，即228PA d ，所以d PA…………20分 11.（本题满分20分）设复数,z w 满足2z w ，求2222S z w w z 的最小可能值．解法1：设i (,)z a b a b R ，则2i w a b ，故2222242(1)i 642(3)i S a a b b a a a b b a ，22222464a a b a a b2222(1)5(3)5a b a b ． ①…………5分记1t a ．对固定的b ，记255B b ，求22()(4)f t t B t B 的最小值．由()(4)f t f t ，不妨设2t ．我们证明0()()f t f t ，其中0t ．当0[2,]t t 时，04[2,4]t t ，22200()()()((4))((4))f t f t B t B t B t2222220000(4)((4))(28)(28)t t t t t t t t0 （用到02t t 及228y x x 在[2,) 上单调增）． …………10分当0[,)t t 时，22200()()(4)(4)f t f t t B t B t B222200(4)(4)t t t t 000()8t t t t t t0 （用到04t t ）． …………15分所以200()(4)1616S f t B t ．当0b （①取到等号），011a t 时，S 取到最小值16．…………20分解法2：设1i,1i (,)R z x y w x y x y ，不妨设其中0x ．计算得2222(41)(24)i z w x x y x y ，2222(41)(24)i w z x x y x y ．所以22Re(2)Re(2)S z w w z 22224141x x y x x y ． …………5分利用a b a b ，可得8S x ，① 亦有22222212(1)2(1)S x y x y x ． ②…………10分注意到方程282(1)x x 2．当2x 时，由①得816S x ．当02x 时，由②得222(1)2(12))16S x ．因此当2,0x y 时，S 取到最小值16． …………20分解法3：因为2w z =−，所以我们有222(2)2411z z z z z22(2)26411z z z z z从而上两式最右边各项分别是z 到复平面中实轴上的点1−1−，33+的距离，所以把i z x y =+换成其实部x 时，都不会增大.因此只需考虑函数22()2464f x x x x x +−+−+在R 上的最小值.…………10分因为1313−−<<−+<，因此我们有以下几种情况：1.若1x≤−,则2()24f x x x=−,在这一区间上的最小值为(116f−=+；2.若(13x∈−−，则()88f x x=−+，在这一区间上的最小值为(316f=−+…………15分3.若31x∈−，则2()24f x x x=−+，在这一区间上的最小值为((3116f f=−+=−+；4.若13x∈− ，则()88f x x=−，在这一区间上的最小值为(116f−+=−+；5.若3x≥+，则2()24f x x x=−，在这一区间上的最小值为(316f=+.综上所述，所求最小值为((3116f f=−+=−.…………20分。

全国高中数学联赛竞赛大纲(修订稿)及全部定理内容

全国高中数学联赛竞赛大纲及全部定理内容一、平面几何1、数学竞赛大纲所确定的所有内容。

补充要求：面积和面积方法.2、几个重要定理：梅涅劳斯定理、塞瓦定理、托勒密定理、西姆松定理.3、几个重要的极值：到三角形三顶点距离之和最小的点——费马点。

到三角形三顶点距离的平方和最小的点—-重心。

三角形内到三边距离之积最大的点——重心.4、几何不等式。

5、简单的等周问题。

了解下述定理:在周长一定的ｎ边形的集合中，正ｎ边形的面积最大. 在周长一定的简单闭曲线的集合中，圆的面积最大。

在面积一定的ｎ边形的集合中，正ｎ边形的周长最小。

在面积一定的简单闭曲线的集合中，圆的周长最小.6、几何中的运动:反射、平移、旋转。

7、复数方法、向量方法。

平面凸集、凸包及应用。

二、代数1、在一试大纲的基础上另外要求的内容:周期函数与周期，带绝对值的函数的图像.三倍角公式,三角形的一些简单的恒等式，三角不等式。

2、第二数学归纳法。

递归，一阶、二阶递归，特征方程法。

函数迭代,求ｎ次迭代,简单的函数方程。

3、ｎ个变元的平均不等式,柯西不等式，排序不等式及应用.4、复数的指数形式,欧拉公式,棣美弗定理,单位根，单位根的应用。

5、圆排列，有重复的排列与组合,简单的组合恒等式。

6、一元n次方程（多项式）根的个数，根与系数的关系，实系数方程虚根成对定理.7、简单的初等数论问题，除初中大纲中所包括的内容外，还应包括无穷递降法，同余，欧几里得除法，非负最小完全剩余类，高斯函数，费马小定理，欧拉函数，孙子定理,格点及其性质.三、立体几何1、多面角，多面角的性质。

三面角、直三面角的基本性质。

2、正多面体，欧拉定理。

3、体积证法。

4、截面，会作截面、表面展开图.四、平面解析几何1、直线的法线式,直线的极坐标方程,直线束及其应用。

2、二元一次不等式表示的区域。

3、三角形的面积公式。

4、圆锥曲线的切线和法线。

5、圆的幂和根轴.五、其它抽屉原理。

容斤原理。

极端原理. 集合的划分。

2022_年全国高中数学联赛山东赛区预赛试题与解析

２０２２年全国高中数学联赛山东赛区预赛试题与解析张志刚(山东省宁阳县复圣中学ꎬ山东泰安２７１４００)摘㊀要:文章给出２０２２年全国高中数学联赛山东赛区预赛试题及其解析ꎬ部分试题从多个视角尝试解答ꎬ启迪学生敏锐捕捉解题灵感ꎬ多方位搭建解题思路ꎬ从而提高解题效益.关键词:竞赛数学ꎻ试题解析ꎻ极值问题中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０２３)１６－００４９－０４收稿日期:２０２３－０３－０５作者简介:张志刚(１９８３－)ꎬ男ꎬ山东省宁阳人ꎬ中学一级教师ꎬ从事高中数学教学研究.㊀㊀２０２２年全国高中数学联赛山东赛区预赛试题共１４道题目ꎬ包括１０道填空题和４道解答题.考查内容主要有代数运算(第１㊁２题)㊁数列(第４㊁９题)㊁函数与不等式(第３㊁６㊁１１㊁１３题)㊁三角函数(第１０题)㊁平面解析几何(第８㊁１２题)㊁概率(第８题)㊁平面几何图形(第５题)㊁立体几何(第７题)㊁组合数学(第１４题)等.该套试卷设计简洁清新ꎬ构思别具匠心ꎬ解法灵活多变ꎬ饱含数学思想ꎬ凝聚教学智慧ꎬ富有较高的研究价值.与高考试题相比ꎬ竞赛试题综合性更强ꎬ思维跨度更大ꎬ需要考生具备较高的数学抽象㊁逻辑推理㊁数学运算等核心素养ꎬ以及转化与化归㊁函数与方程㊁分类讨论㊁换元法㊁配方法等数学思想方法ꎬ颇具挑战性和选拔性.命题组只给出了填空题的结果ꎬ未给出具体的解答过程ꎬ解答题也只提供了一种解法供阅卷参考.为此ꎬ笔者尝试对每道试题剖析解答ꎬ部分试题给出了有别于参考答案的精彩解法.题１㊀用ｘ[]表示不超过ｘ的最大整数ꎬ则方程２２ｘ－１[]２＋２ｘ－１[]－１＝０的解集是.解析㊀解方程２２ｘ－１[]２＋２ｘ－１[]－１＝０ꎬ得２ｘ－１[]＝－１(２ｘ－１[]＝１２舍)ꎬ则－１ɤ２ｘ－１<０ꎬ解得０ɤｘ<１２ꎬ故解集是０ꎬ１２[öø÷.题２㊀设ａꎬｂꎬｃɪＲꎬａ㊁ｃʂ０ꎬ方程ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ＝０的两个虚根ｘ１ꎬｘ２满足ｘ２１ｘ２ɪＲꎬ则ð２０２２ｋ＝０ｘ１ｘ２æèçöø÷ｋ＝.解析㊀由于ｘ１ꎬｘ２是方程ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ＝０的两个虚根ꎬ所以ｘ２＝ｘ－１ꎬｘ２１ｘ２＝ｘ２１ｘ－１ɪＲꎬｘ２１ｘ１－＝ｘ－２１ｘ１ꎬ即ｘ３１－ｘ－３１＝０ꎬ从而ｘ２１＋ｘ１ｘ－１＋ｘ－２１＝０ꎬ即ｘ１ｘ－１＝ωꎬ故ð２０２２ｋ＝０ｘ１ｘ２æèçöø÷ｋ＝ð２０２２ｋ＝０ωｋ＝１－ω２０２３１－ω＝１.题３㊀已知ｆｘ()是－ɕꎬ＋ɕ()上单调递增的奇函数ꎬ满足对一切实数θ恒有ｆａ－ｃｏｓ２θ()＋ｆａ＋ｓｉｎθ()ȡ０.则实数ａ的取值范围是.解析㊀对一切实数θ恒有ｆａ＋ｓｉｎθ()ȡｆｃｏｓ２θ－ａ()ꎬ则ａ＋ｓｉｎθȡｃｏｓ２θ－ａ.从而２ａȡ－２ｓｉｎ２θ－ｓｉｎθ＋１＝－２ｓｉｎθ＋１４æèçöø÷２＋９８.从而２ａȡ９８ꎬ解得ａȡ９１６.题４㊀数列ａｎ{}共１００项ꎬａ１＝０ꎬａ１００＝４７５ꎬ且ａｋ＋１－ａｋ＝５ꎬｋ＝１ꎬ２ꎬ ꎬ９９.则满足这种条件的不同数列的个数为.解析㊀由题意得ａｋ＋１－ａｋ＝ʃ５ꎬａ１００＝ａ１００－ａ９９()＋ａ９９－ａ９８()＋＋ａ２－ａ１()＝４７５ꎬ设９９个差ａｋ＋１－ａｋ中有ｘ个５和ｙ个－５ꎬ则有５ｘ－ｙ()＝４７５ꎬｘ＋ｙ＝９９ꎬ{解得ｘ＝９７ꎬｙ＝２.{所以９９个差ａｋ＋１－ａｋ中ꎬ有９７个取５和２个取－５.这９７个５和２个－５的每一个排列都唯一对应一个满足条件的数列ꎬ故满足这种条件的不同数列的个数为９９!９７!ˑ２!＝９９ˑ４９＝４８５１个.题５㊀单位圆内接四边形对角线互相垂直ꎬ则该四边形四条边平方和是.解析㊀如图１示ꎬ设四边形ＡＢＣＤ的边ａꎬｂꎬｃꎬｄꎬ对角线ＡＣꎬＢＤ的中点分别是Ｏ１ꎬＯ２ꎬ交点为Ｉꎬ记ＩＡ＝ｘꎬＩＢ＝ｙꎬＩＣ＝ｚꎬＩＤ＝ｗꎬＯＯ１＝ｆꎬＯＯ２＝ｅꎬ则ａ２＋ｂ２＋ｃ２＋ｄ２＝２ｘ２＋ｙ２＋ｚ２＋ｗ２()＝２[(Ｏ１Ａ＋ｅ)２＋(Ｏ２Ｂ－ｆ)２＋(Ｏ１Ａ－ｅ)２＋(Ｏ２Ｂ＋ｆ)２]＝４Ｏ１Ａ２＋Ｏ２Ｂ２＋ｅ２＋ｆ２()＝４ˑ１＋１()＝８.所以该四边形四条边平方和是８.图１题６㊀已知０<ａ<ｂ<１ｅꎬ则ａａꎬｂｂꎬａｂꎬｂａ从小到大排列为.解析㊀易知ａｂ<ａａꎬｂｂ<ｂａꎬａａ<ｂａꎬａｂ<ｂｂꎬ即有ａｂ<ａａ<ｂａꎬａｂ<ｂｂ<ｂａ.下面比较ａａ与ｂｂ的大小.设ｆｘ()＝ｘｌｎｘ０<ｘ<１ｅæèçöø÷ꎬ则ｆᶄｘ()＝ｌｎｘ＋１<０ꎬ所以ｆｘ()在０ꎬ１ｅæèçöø÷上单调递减.又０<ａ<ｂ<１ｅꎬ所以ｆａ()>ｆｂ().即ａｌｎａ>ｂｌｎｂ.即ｌｎａａ>ｌｎｂｂ.从而ａａ>ｂｂ.综上ꎬａｂ<ｂｂ<ａａ<ｂａ.题７㊀将３个１２ˑ１２的正方形沿邻边的中点剪开分成两部分(如图２)ꎻ将这６部分接于一个边长为６２的正六边形上(图３)ꎬ若拼接后的图形是一个多面体的表面展开图ꎬ则该多面体的体积是.图２㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀图３解析㊀折成的多面体如图４所示ꎬ将其补形为正方体(如图５)ꎬ所求多面体体积为正方体体积的一半ꎬ即Ｖ＝１２ˑ１２３＝８６４.图４㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀图５题８㊀设ａꎬｂ是从集合１ꎬ２ꎬ３ꎬ４ꎬ５{}中随机选取的数ꎬ则直线ｙ＝ａｘ＋ｂ与圆ｘ２＋ｙ２＝２有公共点的概率是.解析㊀易知ｙ＝ａｘ＋ｂꎬｘ２＋ｙ２＝２{即ａ２＋１()ｘ２＋２ａｂｘ＋ｂ２－２＝０有实根ꎬ则Δ＝２ａｂ()２－４ａ２＋１()ｂ２－２()ȡ０ꎬ解得ｂ２ɤ２ａ２＋１().当ｂ＝１ꎬ２时ꎬａ＝１ꎬ２ꎬ３ꎬ４ꎬ５ꎻ当ｂ＝３时ꎬａ＝２ꎬ３ꎬ４ꎬ５ꎻ当ｂ＝４时ꎬａ＝３ꎬ４ꎬ５ꎻ当ｂ＝５时ꎬａ＝４ꎬ５.所以使得ｂ２ɤ２ａ２＋１()的ａꎬｂ()共有１９个ꎬ所求概率为１９２５.题９㊀已知正数列ａｎ{}满足对∀ｎɪＮ∗ꎬðｎｉ＝１ａ３ｉ＝ðｎｉ＝１ａｉ()２ꎬ则ａｎ＝.解析㊀由ａ３１＝ａ２１得ａ１＝１.由１＋ａ３２＝１＋ａ２()２得ａ２＝２.设当ｎɤｋ时ꎬａｋ＝ｋꎬ则当ｎ＝ｋ＋１时ꎬðｋ＋１ｉ＝１ａ３ｉ＝ðｋ＋１ｉ＝１ａｉ()２ꎬａ３ｋ＋１＋ðｋｉ＝１ａ３ｉ＝ａｋ＋１＋ðｋｉ＝１ａｉ()２ꎬａ３ｋ＋１＝ａ２ｋ＋１＋２ａｋ＋１ðｋｉ＝１ａｉꎬ从而ａ２ｋ＋１＝ａｋ＋１＋ｋｋ＋１()ꎬ解得ａｋ＋１＝ｋ＋１ꎬ故ａｎ＝ｎ.题１０㊀已知０<ｘꎬｙ<π２ꎬ则ｆ＝１ｃｏｓｘｃｏｓ２ｙｓｉｎ２ｙ＋９ｓｉｎ２ｘ的最小值是.解法１㊀(柯西不等式法)ｆ＝９ｓｉｎ２ｘ＋ｓｉｎ２ｙ＋ｃｏｓ２ｙｃｏｓｘｃｏｓ２ｙｓｉｎ２ｙ＝９ｓｉｎ２ｘ＋１ｃｏｓｘｃｏｓ２ｙ＋１ｃｏｓｘｓｉｎ２ｙꎬ解析式ｆ中三个分式分母之和ｓｉｎ２ｘ＋ｃｏｓｘｃｏｓ２ｙ＋ｃｏｓｘｓｉｎ２ｙ＝１－ｃｏｓ２ｘ＋ｃｏｓｘ＝－ｃｏｓｘ－１２æèçöø÷２＋５４ɤ５４.由柯西不等式ꎬ得５４ｆȡ(ｓｉｎ２ｘ＋ｃｏｓｘｃｏｓ２ｙ＋ｃｏｓｘｓｉｎ２ｙ)[９ｓｉｎ２ｘ＋１ｃｏｓｘｃｏｓ２ｙ＋１ｃｏｓｘｓｉｎ２ｙ]ȡ３＋１＋１()２＝２５ꎬ当ｘ＝π３ꎬｙ＝π４时取等号.所以ｆ的最小值是２０.解法２㊀(基本不等式＋柯西不等式法)ｆ＝９ｓｉｎ２ｘ＋１ｃｏｓｘｃｏｓ２ｙｓｉｎ２ｙȡ９ｓｉｎ２ｘ＋１ｃｏｓｘ[(ｃｏｓ２ｙ＋ｓｉｎ２ｙ)/２]２ȡ９ｓｉｎ２ｘ＋４ｃｏｓｘȡ３＋２()２ｓｉｎ２ｘ＋ｃｏｓｘ＝２５１－ｃｏｓ２ｘ＋ｃｏｓｘ＝２５－ｃｏｓｘ－１/２()２＋５/４ȡ２５５/４＝２０ꎬ当且仅当ｘ＝π３时取等号ꎬ所以ｆ的最小值是２０.题１１㊀已知函数ｆｘ()满足对任意实数ｘꎬｙ有ｆｘｙ()＋ｆｙ－ｘ()ȡｆｘ＋ｙ().求证:对于任意实数ｘ均有ｆｘ()ȡ０.证明㊀取实数ｘꎬｙ满足ｘｙ＝ｘ＋ｙꎬ即ｘ－１()ｙ－１()＝１.令ｙ－１＝ｔｔʂ０()ꎬ则ｙ＝ｔ＋１ꎬｘ＝１ｔ＋１ꎬ则ｆｔ－１ｔæèçöø÷ȡ０ꎬ对于任意ｕɪＲꎬ令ｕ＝ｔ－１ｔꎬ则ｔ２－ｕｔ－１＝０.由Δ＝ｕ２＋４>０得ꎬ存在实数ｔꎬ使得ｕ＝ｔ－１ｔꎬｆｕ()ȡ０ꎬ即对于任意实数ｘꎬ均有ｆｘ()ȡ０.题１２㊀已知椭圆Ｃ:ｘ２ａ２＋ｙ２ｂ２＝１ａ>ｂ>０()ꎬ证明:存在圆心在原点的定圆ꎬ使该圆上任一点的切线与椭圆Ｃ恒有两个交点ＡꎬＢ且ＯＡң ＯＢң＝０.证法１㊀(命题组提供)当ＡꎬＢ分别为椭圆Ｃ的长㊁短轴端点时ꎬ原点到直线ＡＢ的距离为ａｂａ２＋ｂ２.下面证明圆ｘ２＋ｙ２＝ｒ２(其中ｒ＝ａｂａ２＋ｂ２)上任意一点处的切线与椭圆Ｃ恒交于两点ꎬ且满足ＯＡң ＯＢң＝０.由ｒ＝ａｂａ２＋ｂ２<ｂ知圆ｘ２＋ｙ２＝ｒ２在椭圆Ｃ内部ꎬ故该圆上任意一点处的切线与椭圆Ｃ恒交于两点.易得该圆上任意一点ｘ０ꎬｙ０()处的切线为ｘ０ｘ＋ｙ０ｙ＝ｒ２ꎬ代入ｘ２ａ２＋ｙ２ｂ２＝１ꎬ得ｂ２ｘ２０＋ａ２ｙ２０()ｘ２－２ａ２ｒ２ｘ０ｘ＋ａ２ｒ４－ｂ２ｙ２０()＝０ꎬ消去ｘꎬ得ｂ２ｘ２０＋ａ２ｙ２０()ｙ２－２ｂ２ｒ２ｙ０ｙ＋ｂ２ｒ４－ａ２ｘ２０()＝０.设Ａｘ１ꎬｙ１()ꎬＢｘ２ꎬｙ２()ꎬ则ｘ１ｘ２＋ｙ１ｙ２＝ｒ４ａ２＋ｂ２()－ａ２ｂ２ｘ２０＋ｙ２０()ｂ２ｘ２０＋ａ２ｙ２０＝ｒ４ａ２＋ｂ２()－ａ２ｂ２ｒ２ｂ２ｘ２０＋ａ２ｙ２０＝ａｂ()４－ａｂ()４ｂ２ｘ２０＋ａ２ｙ２０()ａ２＋ｂ２()＝０.即ＯＡң ＯＢң＝０.故圆ｘ２＋ｙ２＝ａｂ()２ａ２＋ｂ２满足条件.证法２㊀(极坐标法)设Ａρ１ｃｏｓθꎬρ１ｓｉｎθ()ꎬＢρ２ｃｏｓθ＋π２æèçöø÷ꎬρ２ｓｉｎθ＋π２æèçöø÷æèçöø÷ꎬ即Ｂ－ρ２ｓｉｎθꎬρ２ｃｏｓθ().代入ｘ２ａ２＋ｙ２ｂ２＝１ꎬ得ρ２１ｃｏｓ２θａ２＋ρ２１ｓｉｎ２θｂ２＝１ꎬρ２２ｓｉｎ２θａ２＋ρ２２ｃｏｓ２θｂ２＝１.故１ρ２１＋１ρ２２＝１ａ２＋１ｂ２＝ａ２＋ｂ２ａ２ｂ２.在ＲｔәＡＯＢ中ꎬＯＭʅＡＢꎬ故ＡＢＯＭ＝ＯＡＯＢꎬ１ＯＭ２＝ＡＢ２ＯＡ２ＯＢ２＝ＯＡ２＋ＯＢ２ＯＡ２ＯＢ２＝１ＯＡ２＋１ＯＢ２＝１ρ２１＋１ρ２２＝ａ２＋ｂ２ａ２ｂ２.所以ｒ２＝ａ２ｂ２ａ２＋ｂ２是定值ꎬ即存在圆ｘ２＋ｙ２＝ａｂ()２ａ２＋ｂ２满足条件.题１３㊀设ａꎬｂꎬｃ>０且ａ２＋ｂ＋ｃ＝５３ꎬａｂｃ＝２８.求ｆ＝ａ＋ｂ＋２ｂ＋ｃ＋ｃ＋ａ的最小值.解析㊀设ａ＝７ｘꎬｂ＝２ｙꎬｃ＝２ｚꎬ则ｘｙｚ＝１ꎬ４９ｘ２＋２ｙ＋２ｚ＝５３ꎬ即２ｙ＋ｚ()＝５３－４９ｘ２.①由１＝ｘｙｚɤｘ＋ｙ＋ｚ３æèçöø÷３得ｘ＋ｙ＋ｚȡ３ꎬ即２ｘ＋５３－４９ｘ２ȡ６ꎬ即０<ｘɤ１.由１＝ｘｙｚɤｙｚɤｙ＋ｚ２æèçöø÷２ꎬ得ｙ＋ｚȡ２ꎬｙｚȡ１.②故ｂ＋ｃ＝２ｙ＋２ｚȡ２.由①②ꎬ得ａ＋ｂ＋ｃ＋ａ＝７ｘ＋２ｙ＋２ｚ＋７ｘ＝７ｘ＋２ｙ＋２ｚ＋７ｘ()２＝１４ｘ＋２ｙ＋ｚ()＋２４９ｘ２＋１４ｘｙ＋ｚ()＋４ｙｚȡ１４ｘ＋５３－４９ｘ２＋２４９ｘ２＋２８ｘ＋４＝－４９ｘ２＋２８ｘ＋５７.因为ｙ＝－４９ｘ２＋２８ｘ＋５７０<ｘɤ１()的图象的对称轴为ｘ＝２７ꎬ所以当ｘ＝１时ꎬｙ取得最小值３６ꎬ从而ａ＋ｂ＋ｃ＋ａȡ６ꎬｆȡ１０ꎬ显然ꎬ当且仅当ｘ＝ｙ＝ｚ＝１ꎬａ＝７ꎬｂ＝ｃ＝２时等号成立ꎬ故ｆ的最小值为１０.题１４㊀把集合Ａ＝１０１１ꎬ１０１２ꎬ ꎬ２０２２{}任意划分为两个不交的非空子集.证明:至少有一个子集中包含两个数ꎬ这两个数之和为完全平方数.证明㊀先找三个正整数ｘ<ｙ<ｚ使得两两之和为完全平方数ꎬ令ｘ＋ｙ＝ｍ２ꎬｘ＋ｚ＝ｍ＋１()２ꎬｙ＋ｚ＝ｍ＋２()２ꎬ则ｍ为奇数(否则ꎬｘ㊁ｙ同奇偶ꎬｙ㊁ｚ同奇偶ꎬ得ｘ㊁ｙ㊁ｚ同奇偶ꎬ故ｘ＋ｚ＝ｍ＋１()２为偶数ꎬ矛盾).令ｍ＝２ｋ－１ｋɪＮ∗()ꎬ解ｘ＋ｙ＝２ｋ－１()２ꎬｘ＋ｚ＝４ｋ２ｙ＋ｚ＝２ｋ＋１()２ìîíïïïï得ｘ＝２ｋ２－４ｋꎬｙ＝２ｋ２＋１ꎬｚ＝２ｋ２＋４ｋ.{由ｘ＝２ｋ２－４ｋȡ１０１１ꎬ得ｋȡ２４.当ｋ＝２４时ꎬｘ＝１０５６ꎬｚ＝１２４８<２０２２.由ｘ＝２ｋ２－４ｋɤ２０２２得ｋɤ３０ꎬ故当２４ɤｋɤ３０时ꎬ１０１１ɤｘ<ｙ<ｚɤ２０２２.将Ａ中１０１２个数任意划分成两不交的非空子集时ꎬ对２４ɤｋɤ３０中的任一整数ｋ对应的ｘꎬｙꎬｚ中必有两个属于同一子集ꎬ这两个数之和为完全平方数.参考文献:[１]张志刚.一道联考试题命制背景与破解研究[Ｊ].数理化学习(高中版)ꎬ２０２２(０３):３－６.[责任编辑:李㊀璟]。

2021年全国高中数学联赛试卷及答案(Word可编辑版)

2021年全国高中数学联赛试卷及答案（最新版）-Word文档，下载后可任意编辑和处理-2021年全国高中数学联合竞赛试卷得分评卷人一．选择题（本题满分36分，每小题6分）本题共有6小题，每题均给出A、B、C、D四个结论，其中有且仅有一个是正确的，请将正确答案的代表字母填在题后的括号内，每小题选对得6分；不选、选错或选出的代表字母超过一个（不论是否写在括号内），一律得0分)。

1．删去正整数数列1，2，3，……中的所有完全平方数，得到一个新数列，这个新数列的第2021项是A．2046B．2047 C．2048 D．2049 答（）2．设a，b∈R，ab≠0，那么直线ax－y＋b＝0和曲线bx2＋ay2＝ab 的图形是A B C D答（）3．过抛物线y2＝8(x＋2)的焦点F作倾斜角为60o的直线，若此直线与抛物线交于A、B两点，弦AB的中垂线与x轴交于P点，则线段PF的长等于A．B．C． D．答（）4．若，则的最大值是A．B．C． D．答（）5.已知x，y都在区间(－2，2)内，且xy＝－1，则函数的最小值是A．B．C． D．答（）6.在四面体ABCD中，设AB＝1，CD＝，直线AB与CD的距离为2，夹角为，则四面体ABCD的体积等于A． B．C．D．答（）得分评卷人二．填空题（本题满分54分，每小题9分）本题共有6小题，要求直接将答案写在横线上。

7．不等式 x 3－2x2－4 x ＋3 < 0 的解集是____________________．8．设F1，F2是椭圆的两个焦点，P是椭圆上的点，且PF1 : PF2＝2 : 1，则三角形PF1F2的面积等于______________．9．已知A＝{x｜x2－4x＋3＜0，x∈R}，B＝{x｜21－x＋a≤0，x2－2(a＋7)＋5≤0，x∈R}，若AB，则实数a的取值范围是___________________．10．已知a，b，c，d均为正整数，且，若a－c＝9，则b－d ＝________．11．将8个半径都为1的球分两层放置在一个圆柱内，并使得每个球和其相邻的四个球相切，且与圆柱的一个底面及侧面都相切，则此圆柱的高等于______________．12．设M n ＝{(十进制)n位纯小数｜ai只取0或1（i＝1，2，…，n－1，an＝1}，Tn是Mn中元素的个数，Sn是Mn中所有元素的和，则＝_______．得分评卷人三．解答题（本题满分60分，每小题20分）13．设≤x≤5，证明不等式．14．设A，B，C分别是复数Z0＝ai，Z1＝＋bi，Z2＝1＋ci（其中a，b，c都是实数）对应的不共线的三点，证明：曲线Z＝Z0cos4t＋2Z1cos2t sin2t＋Z2sin4t （t∈R）与ABC中平行于AC的中位线只有一个公共点，并求出此点．15. 一张纸上画有半径为R的圆O和圆内一定点A，且OA＝a. 拆叠纸片，使圆周上某一点A/ 刚好与A点重合，这样的每一种拆法，都留下一条直线折痕，当A/取遍圆周上所有点时，求所有折痕所在直线上点的集合．2021年全国高中数学联合竞赛加试试卷得分评卷人一．（本题满分50分）过圆外一点P作圆的两条切线和一条割线，切点为A，B所作割线交圆于C，D两点，C在P，D之间，在弦CD上取一点Q，使∠DAQ＝∠PBC．求证：∠DBQ＝∠PAC．得分评卷人二．（本题满分50分）设三角形的三边分别是整数l，m，n，且l ＞m＞n，已知，其中{x}＝x－[x]，而[x]表示不超过x的最大整数．求这种三角形周长的最小值．得分评卷人三．（本题满分50分）由n个点和这些点之间的t条连线段组成一个空间图形，其中n＝q2＋q＋1，t≥，q≥2，q∈N，已知此图中任圆点不共面，每点至少有一条连线段，存在一点至少有q＋2条连线段，证明：图中必存在一个空间四边形(即由四点A，B，C，D和四条连线段AB，BC，CD，DA组成的图形）．2021年全国高中数学联合竞赛试卷试题参考答案及评分标准说明：1．评阅试卷时，请依据本评分标准．选择题只设6分和0分两档，填空题只设9分和0分两；其它各题的评阅，请严格按照本评分标准规定的评分档次给分，不要再增加其它中间档次．2．如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理，步骤正确，在评卷时可参照本评分标准当划分档次评分，5分为一个档次。

2007年全国高中数学联赛与山东省数学竞赛

2007 年全国高中数学联赛及山东省数学竞赛济南赛区通报2007 年全国高中数学联赛预赛和决赛已分别于2007 年 9 月 16 日上午和2007 年 10 月 14 日上午分别进行 . 我市有 11081 人参加了预赛 , 有 227 人参加了决赛 . 在此次竞赛中，我市选手取得了十分优异成绩, 获全国一等奖人数和全国一、二、三等奖人数均列全省各参赛单位前列, 其中全省获全国一等奖的43 人中就有我市的15 人，达到全省的近30%.有 4 人进入全国冬令营，达到最高水平，现将此次竞赛的情况通报如下：一、全国奖 ( 共 63 人 )1.全国一等奖共 15 人韦东奕 (240 分 , 山师附中 ) 王颖婓（ 206 分，实验中学）安传恺 (201 分 , 山师附中 )王储(190分 , 实验中学 )刘青阳(177分, 山师附中 ) 鲁悦(172分 , 山师附中 )冯龙(152分 , 实验中学 )禹泽西(150 分 , 实验中学 ) 方延博 (150分 , 实验中学 )路若洲(143分 , 实验中学 )刘宁(141 分 , 实验中学 ) 高茉人 (130分 , 实验中学 )楚天翔(124分 , 实验中学 )孙晨正(123 分 , 山师附中 ) 姜晖(122分 , 山师附中 )2.全国二等奖共 27 人梅潇(119分 , 实验中学 )隋春宁（ 117 分，山师附中）贺兆印（ 116分，历城一中）丁寰宇（ 114 分 , 实验中学）刘光强（ 110分，山师附中）王哲（ 110 分 , 实验中学）王振中(105 分 , 山师附中 ) 徐硕（ 105分，实验中学）申晓斌（ 104分，实验中学）丛亚（ 103 分，实验中学）李凤麟(103 分, 山师附中 ) 曲焜 (101分 , 实验中学 )宋超逸(101 分 , 实验中学 )窦欣元(101 分 , 实验中学 ) 韩谡越（99分，章丘四中）牟象禹（ 97 分，山师附中）胡颖凯（ 96 分，山师附中）马万里( 94分, 实验中学 )王飞（ 94分，山师附中）孔陆洋（ 94 分，山师附中）孟庆迪( 93分, 实验中学 )丁晋（ 93分，实验中学）翟晓辉（ 138分，山师附中）张赛峥（ 92 分，实验中学）顾然（ 92分，山师附中）刘筱宁（ 92 分，外语学校）杨晓婉（ 92 分，实验中学）3.全国三等奖共 21 人孙振宇（ 91 分，实验中学）陈邦锐（ 91分，实验中学）王越（ 91 分，实验中学）李鑫业（ 89 分，山师附中）秦立煜（ 88分，实验中学）刘毅（ 87 分，实验中学）岑昊（ 86 分，山师附中）栾义龙(86分 , 实验中学 )石敬玉（ 86 分，章丘四中）张天宇（ 86 分，实验中学）姜怡然（ 86分，山师附中）吕林超（ 85分，实验中学）陈诚（ 85分，济南中学）孙染（ 84分，实验中学）王元（ 84分，实验中学）张棋（ 84分，山师附中）郝克（ 83分，外语学校）黄杨（ 83分，山师附中）王雨（ 82 分，外语学校）王梁（ 82 分，实验中学）杨云钊（ 81 分，山师附中）二、此次竞赛的预赛也是山东省数学竞赛 , 根据竞赛成绩 , 学生获奖情况如下 : （注：根据济南市数学竞委会规定，获全国二等奖以上不在给予省级奖励） 1. 省一等奖共 158 人（排名不分先后）实验中学（ 6人）：夏靓 116 分王晓熙 113 分王冬雨 111 分刘毅 110 分钟睿 106 分梁健 102分，山师附中（9 人）：董跃振 111 分刘苏方 108 分李鑫业 102分曲士眹 99 分黄杨 96 分韩蕾 94 分刘海 93 分罗荣钧 90 分姜怡然 90 分济南一中（1 人）：陈双 94 分济南二中（ 5 人）：宫庆凯76 分于昌灏 70 分郭晓宁 64 分姜玉玺 63 分李祺龙 58 分济南三中（ 6 人）：蒋丽84 分孙新利 71 分张虎 67 分卫成林 66 分商和宁66 分张婷婷66 分济南七中（2人） :肖玉淼49 分陈晨 45分济南九中（2 人）：鞠佳 69 分王紫辉66分济十一中（2 人）：李中华70 分王春喜63分济南52 中（ 1 人）：赵芳亮 57 分济南中学（13 人）：王瑞 90 分邹世俊83分外语学校（ 2 人）：杨金龙 100分郝克 98分英才高中（ 6 人）：孟宇 73 分张译文56分王路54 分高建辉50 分陈徭50 分济钢中学（ 7 人）：李泳江90分陈琛 88 分李霖85 分刘一畅83 分刘梦晨82 分马长琳81 分秦汉唐79 分三职高中（4 人）：王阿冉 53分李强 51 分徐桂亮49 分王珂 49 分历城区（ 14人）：历城一中：曹芳 106分贺兆印 97 分胡春晖93分王超90 分陈磊 90 分历城二中：李双江102分高昊鸥 99 分张广乐96分刘红霞95 分李延龙 93 分历城四中：蔡荣峰94分刘振83 分历城五中：马业兴84 分洪楼高中：张金花98 分章丘市（ 32人）：章丘一中：赵蕾蕾87 分徐帅 81 分刘波 80分章丘四中：李喆 140 分马宪进 104分王增辉 97分陈成成 96分朱福兴 94分索金召 93 分党灿 93 分柏杨 93 分许昊 93分章丘五中：郭乐田104分田春钊108分李虎 100 分刘杰 100 分张方瑞96分韩成龙90 分靳丰晨 89 分刘洋槐 84分王海景83 分郭红 80 分郑伟 80 分鲁家刚80 分章丘七中：高兵孟娜袭苗苗姜树浩章丘中学：王俊荣99分宁纪森 95分宋涛 93分甄爱香93分平阴县（ 8 人）：张文选119分刘聪 102分许昌斌98分孙朝阳96分张明达 96 分张子键93 分路文高93 分马世杰81分，长清区（ 16人）：李娇 102 分安玮 100分孟强 97 分钟涵 94分朱有云93 分焦裕龙 88分段学苇87 分张越86 分赵鹏 85分朱存良85 分段益雪100分张毓胜98分兰英新 87分齐本明87 分田德83 分杨洪83 分洲伟商河县（ 4 人）：王光龙87 分于和善86 分李良金85 分周祥政83分济阳县（ 18人）：王钊 114 分盛华英110分郭富明101分周亚凡 99 分胥燕燕95 分菅秀峰 95 分冯涛 93 分李超 119 分齐震 112 分卢乾坤101分李国栋100分韩涛 104 分闫宁 101 分李晓阳106分菅庆圣102分崔月 98分霍纯森96 分华震96 分2.省二等奖共 202 人实验中学（ 13 人）：祁海洋100 分秦立煜 101分李骥 100分韩祥冬 100分李文硕 98分王越 98 分栾义龙98 分李可扬96 分孙棋 96分孙振宇 96 分叶梦醒96 分邹宗航 96 分栗榛 96 分山师附中（ 13 人）：杜宏87分宋建浩87 分张志浩 86分付强 85 分曹旭85 分赵玉祯84 分杨云钊82 分宋晓楠81 分刘青华 79 分王聪79 分李丹蕾78 分陈飞78 分刘雯78分济南二中（ 9 人）：韩长龙57 分李丽丽 57 分李征 56 分丘化凯 55 分姚运华 55 分吕诚哲 54 分杨霖 54 分崔然旭54 分孙波 54 分济南三中（ 4 人）：孙志超64 分朱婷婷 60 分王振坤 60 分龙玉梅 60 分济南七中（ 3 人）：胡勇超 44 分崔燕 43 分孙彬43 分济南九中（ 3 人）：周淑灿 60 分隋宏远 60 分马宝强 60分济十一中（ 2 人）：唐智 55 分宋怀杰 54 分济 52 中（ 2 人）：王淑芬 53 分朱婷婷53分济南中学（ 3 人）：杨晓煜 82 分吴凌雪 81 分王芯81 分外语学校（ 5 人）：万伟 90 分宋瑞雪 89 分袁心 88 分罗丁 85 分张庆辰85 分济钢高中（ 9 人）：冯博宇 78 分赵晓丹 78 分朱鑫鹏77 分潘红 76 分金岩 76 分王智飞 75 分周婷婷 75 分李璐 75 分宿波 75 分英才高中（ 8 人）：韩晓松 48 分肖剑辉 48 分赵院 48 分张天佑48 分薛桐 48 分李晓 47 分李晓明44 分苏志勇44 分三职高中（ 4 人）：赵殿龙 48 分毛文靓 45 分季淑玉 45 分王梅梅44分历城区（ 17人）：历城一中：金增奇 89 分陈荣荣 89 分柴柏晓 87 分杨小龙 85分张强 84 分历城二中：颜庆 87 分杜文帅 85 分翟凤婷 85 分靳若安 85 分杨登平85 分历城四中：孙光军 64 分李明 64 分钱宇 63 分历城五中：王兴英78 分苏志南 78分洪楼高中：赵志勇88 分王金振 78分章丘市（ 41人）：章丘一中：孙月红 77 分蒋全芝 75 分刘乃龙 72 分张永亮 71分张强 70 分刘凤翔 70 分章丘四中：石敬玉 92 分张学超 92 分蔡云云92 分陈龙桥 92 分李娜 88 分李臣 88 分陈光鹏 88 分刘敏 87 分徐家昌 86 分董彤阳 85分孙广帅 85 分高云逸 85分章丘五中：冯业飞 79 分张瑞谦 79 分黄立臣78 分胡继伟 78 分徐昭萌 78分孙盟 78 分于巍巍 78 分柳庆娓 78分吴鹏 77 分韩福芸 77 分范士凯76分韩春超 76 分刘延清 76分章丘七中：程宗越孟超高玲刘娇龙杨兵贾超章丘中学：张硕 90 分董晓越 90 分曹林丽87 分侯东明 86 分巩敏 86 分李鹏 86 分平阴县（ 8 人）：乔珂欣91 分王文华90分沙宗国90分张德水88 分陈涛87 分刘德福86 分苏本民80 分杜言铭75 分长清区（ 26 人）：王帅 84分杜杰 84 分李君朋83 分王华 83 分于晓菲82 分卢婧 82 分王岩 81分戴伟 81分宋丙亮81分庄卫卫 81 分马晓81 分杨仁俊80 分韩传刚80分李珊 80分邢庆涛80分孟维昌 81 分周恒80 分王斌 80 分李修源78分孙传海78分段好新77分赵婷婷 77 分贾丹78 分王倩 74 分蒋艳 66分范升涛66分商河县（ 5 人）：展长伟81 分卢培义81分王伟 81分孙发鲁79 分张旭 78分济阳县（ 27 人）：罗宾甲 90 分牛法富90 分牛佳瑞90 分裴建梁89 分张刚峰89 分李道通87 分艾杰87 分陈新斌86 分孙云飞86 分刘文静95 分王莉93 分刘超 93 分杨骁93 分温明强92 分张元炜91 分李振90 分王彬 90 分张蕊 88 分徐春花88 分李凯 88 分吴鹏 87 分张龙 87 分秦婷婷 87 分张勇 87分刘贵奇 87 分张滨87 分徐囡 87 分3. 省三等奖 218 人实验中学（ 5 人）：孙染 95 分王梁 95 分李翔宇 94 分陈邦锐 94 分陈茜茜 94 分山师附中（ 13 人）：杨晓星 76 分翟毅 76 分冯君淑 77 分袁源 76 分夏冰 75 分孙晴川 75 分张河慧 75 分王睿 75 分崔赛飞75 分陈琛 74 分王尧 74分王迪 74 分赵越 74 分济南一中（ 1 人）：李晨光 78 分济南二中（ 5 人）：陶然 51 分赵元圆 50 分孙吉隆 50 分王越 50 分陈安 50分济南三中（ 6 人）：崔丙伟 59 分王官玲 57 分李璐 57 分刘海洋 57 分商广义 57分杨润蕊 56 分济南七中（2 人）：胡尊飞 42 分成龙 42 分济南九中（ 5 人）：史良 58 分王明 58 分刘讳 58 分刘帅帅 57 分贾杰 57分济十一中（3 人）：董丽君51 分牛邦龙 51 分徐永龙 49 分济南中学（ 2 人）：陈栋 80 分张望 80 分外语学校（ 5 人）：于东宁81 分欧阳 82 分李千 81 分黄一成 81 分郦龙 81 分钢厂高中（13 人）：彭高飞74 分赵冲 74 分李辉 73 分耿浩 72 分杨紫娇 71 分李延文 71 分张楠 72分柴宝臣 72 分郭琦72 分林尧 72 分刘爽 73 分蒋薇 71 分徐涛 70 分英才高中（ 9 人）：王华琳 42 分金传铭 42 分李超 42 分陈娜 42 分李佳倩 42 分张鹏 42 分王翰林 42 分段晨彤 42 分玉叶41 分三职高中（ 5 人）：付磊 43 分于鸿 43 分王硕 42 分叶鑫 42 分宋晓艳 42分历城区（ 20 人）：历城一中：王俊国 83 分刘丹 82 分张凤 82 分陈哲 81 分马超 81 分历城二中：张良 82 分韩豹 81 分杜磊 81 分李洪燕 81 分侯程广 81 分，李敏 81 分王曰儒81 分历城四中：周晓琼 59 分彭延杰 59 分韩娟 59 分历城五中：陈世军76 分赵成 75 分范圣男 75 分洪楼高中：刘玉娟70 卢长瑞 68分分章丘市（ 47 人）：章丘一中：韩超 69 分张帅 69 分孙秀婷 69 分郭盼 69 分丁帅 69 分李豪杰 69 分宁建 69 分章丘四中：董道江 84 分李广 84 分马永岩 84 分鹿苗苗 84 分陈慧颖84 分赵春雷 84 分程彬 84 分卢国华 84 分张晓彤 84分韩继雷 84 分韩慧梅 83 分宁超众83 分吕素华 82章丘五中：王福荣 75 分牛凯峰 75 分韩强 75 分吕晓萌 75 分王沛阳 75 分孙方杰 75 分李中雨 75 分宋梅玲 75 分杨志敏 75 分李杰 74 分张运涛 74 分黄文娟 74 分郑兴花 74 分闫广霞 74 分冯业芝 74 分章丘七中：赵静刘群陈样高娟柏文王瑶章丘中学：党义鹏 85 分彭绍辉 85 分赵静 84 分郭嘉宾 81 分李跃 81 分刘元康80 分平阴县（ 13 人）：杨其资84 分李霞 84分丁姗姗 84分李浩 84 分白哲 84 分刘兵83 分高璇 82 分陈阳 82 分王蒙 82 分刘涛 82 分吴庆存 82 分王超82分王龙江 72分长清区（ 28 人）：于海龙78 分苏军 78分张晓旭 78分刘天燕 78分庄庆鹏78 分田娜78分邵继美78 分刘文雪78 分李柱杰 77分王佳 77 分韩聪 77 分李照垒76分张伟76 分张其昌76 分孔令燕 76分杨崭 76 分薛德宝 74 分王东东 74 分李婷婷 74分刘东 73 分孟凡荣 73分赵双73 分李善刚73分韩胜涛 73 分王元腾 69分柴茂青 72分张双双 63分赵玉芹 63 分商河县（ 6 人）：金冉 78分芮法莹77分车召堂 75分赵富燕 75分赵华安75分徐超 74 分济阳县（ 30 人）：王闯 85 分高迪 85 分呼燕85 分周讯85 分李三九84 分徐小青84 分孙志凌84 分李方吉84 分杜学知84 分王浩84 分刘志远84 分刘喆 84 分袁新超84 分姚麒麟 86分高帅 86分张强 86 分杨吉伟86 分高扬86 分张震84 分高翠萍85 分王忠华84 分张传凯84 分朱学亮 84分高荣祥84 分张红梅 84分江继宽84 分李连玉84 分陈国良 84分常超84 分刘非 84分注 : 1. 获山东省一、二、三等奖的学生如获全国奖的奖次高于或等于省奖, 则不再发省奖。

2021全国高中数学联赛山东赛区预选试题0

2021年全国高中数学联赛赛区预赛试题参考答案一. 填空题(本题共12道小题,每小题5分,共60分) 二.1.设集合A={a 1,a 2,a 3,a 4}所有三元子集的三数之积构成集合B={24,30,40,60} .则A=_________;解:因所有三元子集的元素之积(a 1a 2a 3a 4)3=24×30×40×60=1728000=1203, 所以a 1a 2a 3a 4=120,分别除以B 中元素即得A={2,3,4,5}.2.已知Rt ΔABC 的三个顶点A,B,C 均在抛物线y=x 2上,并且斜边AB 平行 x 轴,则斜边AB 上的高CD 等于 _________. 解:设A(-a ,a 2),B(a ,a 2),C(c ,c 2),则ac a c a c a c K K BCAC --⋅+-=⋅2222 122-=-=a c 即122=-c a ,所以|CD|2=|AD||BD|=))((c a c a -+122=-=c a ,故|CD|=1.3.若非零实数a ,b ,c 分别是一等差数列的第m,n,p 项,也是一等比数列的第 m,n,p 项.则b a a c c b c b a ---的值是__________________.解:设等差数列首项A 公差d ,等比数列首项B 公比q ,则有d m A a )1(-+==111)1(,)1(,---=-+==-+==p n m Bq d p A c Bq d n A b Bq ,所以=--=-a c d p n c b ,)( d n m b a Bq d m p n )(,)(1-=-=--,故=---b a a c cb c b ad n m d m p d p n c b a )()()(---100))(1())(1())(1()()()(==⋅=--+--+---+-+-q B q B d n m p d m p n d p n m d n m d m p d p n .4.过椭圆1422=+y x 上点P 做圆x 2+y 2=4的两条切线,切点弦所在直线与x,y 轴分别交于E,F.则ΔEOF 面积最小值是___________.OyEFP(x 0,y 0)AB CD xyO解:设P(x 0,y 0),则切点弦为400=+y y x x ,E(0,40x ),F(04,0y ),由 ||||4100202y x y x ≥+=即1||||00≤y x ,得8||||800≥=∆y x S EOF , 当2||,21||00==y x 等号成立,故ΔEOF 面积最小值是8.5.已知直三棱柱ABC -A 1B 1C 1的底面为直角三角形,∠ACB=90o ，AC=6, BC=CC 1=2,P 是BC 1上一动点。

全国高中数学联赛为什么有AB卷_全国高中数学联赛的含金量怎么样

全国⾼中数学联赛为什么有AB卷_全国⾼中数学联赛的含⾦量怎么样全国⾼中数学联赛的考试已经结束了，今年照样是分为AB卷考试，很多家长和考⽣就有疑问了，为什么都是考⾼中数学，是全国联赛还需要分为AB卷呢?这两个类型的卷⼦有哪些不⼀样呢?下⾯是⼩编为⼤家带来的全国⾼中数学联赛为什么有AB卷，希望能帮到⼤家！全国⾼中数学联赛为什么有AB卷⾼中数学联赛分AB两套试卷，⼀般A卷较难，B卷较容易。

B卷偏重对计算能⼒的考察，对思维⽅⾯的考察略低。

浙江、江苏、河北、湖南、湖北、北京、上海、⼴东等绝⼤数省份使⽤A卷;内蒙古、贵州、宁夏、等少数地区使⽤B卷。

2019全国⾼中数学联赛试卷题型本次数学联赛由全国⾼中数学联赛组委会统⼀命题，共分为⼀试和⼆试。

⼀试间为80分钟，包括8道填空题(每题8分)和3道解答题(分别为16分、20分、20分)，满分120分。

⼆试时间为共170分钟，包括4道解答题，涉及平⾯⼏何、代数、数论、组合四个⽅⾯。

前两题每题40分，后两题每题50分，满分180分。

参加全国⾼中数学联赛的学⽣可以⾃愿选择是否参加“全国⾼中数学联赛加试”;有意获得赛区⼀等奖和有意参加全国中学⽣数学冬令营的学⽣必须参加联赛⼀试及联赛⼆试(加试)，并以两试的总分作为确定赛区⼀等奖、冬令营营员的标准。

全国⾼中数学联赛的含⾦量怎么样 1980年，在⼤连召开的第⼀届全国数学普及⼯作会议上，确定将数学竞赛作为中国数学会及各省、市、⾃治区数学会的⼀项经常性⼯作，每年9⽉第⼆个星期⽇举⾏“全国⾼中数学联合竞赛”。

全国⾼中数学联合竞赛是中国⾼中数学学科的较⾼等级的数学竞赛，其地位远⾼于各省⾃⾏组织的数学竞赛。

在这项竞赛中取得优异成绩的全国约400名学⽣有资格参加由中国数学会主办的中国数学奥林匹克(CMO)。

在CMO中成绩优异的60名左右的学⽣可以进⼊国家集训队。

经过集训队的选拔，将有6名表现最顶尖的选⼿进⼊中国国家代表队，参加国际数学奥林匹克(IMO)。

2024年全国中学生数学奥林匹克竞赛(预赛)暨2024年全国高中数学联赛加试(A卷)试题(含答案)

2024年全国中学生数学奥林匹克竞赛（预赛）暨2024年全国高中数学联合竞赛加试（A 卷）参考答案及评分标准说明：1．评阅试卷时，请严格按照本评分标准的评分档次给分．2．如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，10分为一个档次，不得增加其他中间档次．一．（本题满分40分）给定正整数r ．求最大的实数C ，使得存在一个公比为r 的实数等比数列1{}n n a ，满足n a C 对所有正整数n 成立．（x 表示实数x 到与它最近整数的距离．）解：情形1：r 为奇数．对任意实数x ，显然有12x ，故满足要求的C 不超过12．又取{}n a 的首项112a ，注意到对任意正整数n ，均有1n r 为奇数，因此1122n n r a ．这意味着12C 满足要求．从而满足要求的C 的最大值为12． …………10分情形2：r 为偶数．设*2()r m m N ．对任意实数，我们证明1a 与2a 中必有一数不超过21m m ，从而21m C m ．事实上，设1a k ，其中k 是与1a 最近的整数（之一），且102．注意到，对任意实数x 及任意整数k ，均有x k x ，以及x x ．若021m m ，则121m a k m ．若1212m m ，则22221m m m m ，即21m m r m m ，此时 2121m a a r kr r r m ． …………30分另一方面，取121m a m ，则对任意正整数n ，有1(2)21n n m a m m ，由二项式展开可知11(211)(1)2121n n n m m a m K m m ，其中K 为整数，故21n m a m ．这意味着21m C m 满足要求．从而满足要求的C 的最大值为212(1)m r m r ．综上，当r 为奇数时，所求C 的最大值为12；当r 为偶数时，所求C 的最大值为2(1)r r ． …………40分二．（本题满分40分）如图，在凸四边形ABCD 中，AC 平分BAD ，点,E F 分别在边,BC CD 上，满足||EF BD ．分别延长,FA EA 至点,P Q ，使得过点,,A B P 的圆1 及过点,,A D Q 的圆2 均与直线AC 相切．证明：,,,B P Q D 四点共圆．（答题时请将图画在答卷纸上）证明：由圆1 与AC 相切知180BPA BAC CAD CAF PAC ，故,BP CA 的延长线相交，记交点为L ．由||EF BD 知CE CF CB CD．在线段AC 上取点K ，使得CK CE CF CA CB CD ，则||,||KE AB KF AD ． …………10分由ABL PAL KAF ，180180BAL BAC CAD AKF ，可知ABL KAF ∽，所以KF AB AL KA． …………20分同理，记,DQ CA 的延长线交于点L ，则KE AD AL KA．又由||,||KE AB KF AD 知KE CK KF AB CA AD，即KE AD KF AB ．所以AL AL ，即L 与L 重合．由切割线定理知2LP LB LA LQ LD ，所以,,,B P Q D 四点共圆．…………40分三．（本题满分50分）给定正整数n .在一个3n ×的方格表上，由一些方格构成的集合S 称为“连通的”，如果对S 中任意两个不同的小方格,A B ，存在整数2l ≥及S 中l 个方格12,,,lA C C CB ==，满足iC 与1i C +有公共边(1,2,,1i l −).求具有下述性质的最大整数K ：若将该方格表的每个小方格任意染为黑色或白色，总存在一个连通的集合S ，使得S 中的黑格个数与白格个数之差的绝对值不小于K .解：所求最大的K n =.对一个由小方格构成的集合S ，记b S 是S 中的黑格个数，w S 是S 中的白格个数. 用[,]i j 表示第i 行第j 列处的方格，这里13i ≤≤,1j n ≤≤.对于两个方格[,]A i j =，[,]B i j ′′=, 定义它们之间的距离为(,)||||d A B i i j j ′′=−+−.首先，如果将方格表按国际象棋棋盘一样黑白间隔染色，我们证明对任意连通的集合S ，均有||b w S S n −≤，这表明K n ≤.设[1,1]是黑格，并记{0,1}ε∈，满足(mod 2)n ε≡.先证b w S S n −≤.可不妨设S 包含所有黑格，这是因为若S 不包含所有黑格，取不属于S 的黑格A 满足(,)d A S 最小，这里(,)min (,)B Sd A S d A B ∈=.易知(,)1d A S =或2.若(,)1d A S =，取{}S S A ′=，则S 仍是连通的，且b w S S ′′−更大. 若(,)2d A S =，则存在与A 相邻的白格C ，而C 与S 中某个方格B 相邻，取{,}S S A B ′= ，则S 仍是连通的，且bw S S ′′−不变. 因而可逐步扩充S ，使得S 包含所有黑格，保持S 的连通性，且b w S S −不减.考虑白格集合{[,]|}k W i j i j k =+=，3,5,,1k n ε++，每个k W 中至少有一个方格属于S ，否则不存在从黑格[1,1]A S =∈到黑格[3,1]B n ε=−+的S 中路径.故1()2w S n ε≥+，而1(3)2b S n ε=+，故b w S S n −≤. …………10分类似可证w b S S n −≤.同上，可不妨设S 包含所有白格, 从而1(3)2w S n ε=−. 再考虑黑格集合{[,]|}k B i j i j k =+=, 4,6,,2k n ε+−，每个k B 中至少有一个黑格属于S ，否则不存在从白格[1,2]A =到白格[3,]B n ε=−的S 中路径. 从而1()2b S n ε≥−，故w b S S n −≤. …………20分下面证明K n =具有题述性质，即对任意的染色方案，总存在连通的集合S ，使得b w S S n −≥.设表格中共有X 个黑格和Y 个白格，在第二行中有x 个黑格和y 个白格. 于是3X Y n +=, x y n +=.故()()()()2X y Y x X Y x y n −+−=+−+=.由平均值原理可知max{,}X y Y x n −−≥.不妨设X y n −≥.取S 为第二行中的y 个白格以及所有X 个黑格.由于S 包含第二行中所有方格，因而S 是连通的. 而b S X =，w S y =，b w S S X y n −=−≥.综上所述，max K n =. …………50分四．（本题满分50分）设,A B 为正整数，S 是一些正整数构成的一个集合，具有下述性质：(1) 对任意非负整数k ，有k A S ；(2) 若正整数n S ，则n 的每个正约数均属于S ；(3) 若,m n S ，且,m n 互素，则mn S ；(4) 若n S ，则An B S ．证明：与B 互素的所有正整数均属于S ．证明：先证明下述引理．引理：若n S ，则n B S ．引理的证明：对n S ，设1n 是n 的与A 互素的最大约数，并设12n n n ，则2n 的素因子均整除A ，从而12(,)1n n ．由条件(1)及(2)知，对任意素数|p A 及任意正整数k ，有k p S ．因此，将11k A n 作标准分解，并利用(3)知11k A n S ．又2|n n ，而n S ，故由(2)知2n S ．因112(,)1k A n n ，故由(3)知112k A n n S ，即1k A n S ．再由(4)知k A n B S （对任意正整数k ）． ① …………10分设n B C D ，这里正整数C 的所有素因子均整除A ，正整数D 与A 互素，从而(,)1C D ．由(1)及(2)知C S （见上面1k A n S 的证明）．另一方面，因(,)1D A ，故由欧拉定理知()1D D A ．因此()()(1)()0(mod )D D A n B A n n B D ，但由①知()D A n B S ，故由(2)知D S ．结合C S 及(,)1C D 知CD S ，即n B S ．引理证毕． …………40分回到原问题．由(1)，取0k 知1S ，故反复用引理知对任意正整数y ，有1By S ．对任意*,(,)1n n B N ，存在正整数,x y 使得1nx By ，因此nx S ，因|n nx ，故n S ．证毕． …………50分。

全国高中数学联赛及山东省数学竞赛

一、全国奖(共63人)
1.全国一等奖共15人
韦东奕(240分,山师附中)王颖婓（206分，实验中学）安传恺(201分,山师附中)
王储(190分,实验中学)刘青阳(177分,山师附中)鲁悦(172分,山师附中)
冯龙(152分,实验中学)禹泽西(150分,实验中学)方延博(150分,实验中学)
路若洲(143分,实验中学)刘宁(141分,实验中学)高茉人(130分,实验中学)
黄杨96分韩蕾94分刘海93分罗荣钧90分姜怡然90分
济南一中（1人）：陈双94分
济南二中（5人）：宫庆凯76分于昌灏70分郭晓宁64分姜玉玺63分
李祺龙58分
济南三中（6人）：蒋丽84分孙新利71分张虎67分卫成林66分
商和宁66分张婷婷66分
济南七中（2人）:肖玉淼49分陈晨45分
济南九中（2人）：鞠佳69分王紫辉66分
闫宁101分李晓阳106分菅庆圣102分崔月98分霍纯森96分
华震96分
2.省二等奖共202人
实验中学（13人）：祁海洋100分秦立煜101分李骥100分韩祥冬100分
李文硕98分王越98分栾义龙98分李可扬96分孙棋96分
孙振宇96分叶梦醒96分邹宗航96分栗榛96分
山师附中（13人）：杜宏87分宋建浩87分张志浩86分付强85分
章丘一中：赵蕾蕾87分徐帅81分刘波80分
章丘四中：李喆140分马宪进104分王增辉97分陈成成96分朱福兴94分索金召93分党灿93分柏杨93分许昊93分
章丘五中：郭乐田104分田春钊108分李虎100分刘杰100分张方瑞96分
韩成龙90分靳丰晨89分刘洋槐84分王海景83分郭红80分
郑伟80分鲁家刚80分
曹旭85分赵玉祯84分杨云钊82分宋晓楠81分刘青华79分