变分法简介

xB
L
xA
1


dy dx
2

dx
y=y(x)不同，曲线的长度就会不同，也就是说L是曲线y=y(x)的 函数，这就是泛函。
下面不加证明的给出泛函问题的一些定义:
一、泛函 其值由一个或几个函数确定的函数称为泛函。简单记： 泛函-函数的函数。 对前述例题，记为:
xB
L y x
4.3 泛函与变分的基本概念
在工程中常常遇到 z=f(x)
类型的函数，这时因变量z的值由自变量x的值来确定。 但有时我们还会遇到另外一种特殊类型的函数，它的因变量的值 是由一个函数y=y(x)或几个函数(y1(x)，y2(x)，…)来确定。 例如，求平面上任意给定的两点A和B之间曲线的长度L，由数学 分析知识，有
分原理，从而建立定解问题的泛函变分提法； (3)基于势能变分原理推导位移有限单元法的普遍公式，并对 位移有限元解的性质和收敛性作简要说明；
4.1微分方程提法 在物理或工程问题中，位移、应力、温度、电流等物
理量称为场变量，它们在一定区域内满足某些控制方程； 在域边界上满足给定的边界条件，有时还有初始条件，它们统 称为定解条件； 控制方程和定解条件构成所谓定解问题的微分方程或数学模型， 这种以微分方程形式提出问题的方法称为定解问题的微分方程提法。
所示一维泛函实现极值的条件，即：
F d (F ) 0 y dx y
七、变分原理
变分原理是说明求某泛函的极值与求解特定的微分方程及其边界
条件等价的原理。
上面证明一维泛函取极值条件时已经体现了变分原理：
一维泛函式：
x2
I[ y(x)] F[x, y(x), y(x)]dx x1
不难证明，式(a)是与微分方程组:
A1 u
A

u


A2

u


0
M

在 内
完全等效的积分形式，即式(a)成立，则A(u)式成立。假设A(u)在 内 不处处为零，则由于可以任意选择，我们选为处处与A(u)同号的函数，
于是 T Au在 域内恒正。可见，要满足式(a)，必须 Au 0
函数 F(x, y认, y为) 是三阶可微的。根据变分定义，因为:
x2
I[ y y] F[x, y y, y y]dx x1
所以有:
I


I[ y
y]

x2
x2
[
y
F(x, y
y, y
y)]
y [ F(x, y y, y y

0 x1 y
y
根据泛函取极值的必要条件，有：
I
x2 F [

d
(F )] ydx 0
x1 y dx y
由于上式中 y是任意选定的函数，且满足一般性条件，所以
由变分法基本预备定理便可得式：
x2
I[ y(x)] F[x, y(x), y(x)]dx x1
d
F
x2
( )dx
d
(F ) ydx
x1 y
x1 dx y
x1 dx y
将式
x2 x1
F y

ydx


x2 x1

y
d dx
(
F y
)dx代 入xx12式ddx：(Fy
)
ydx
I I [ y y] x2 [F， y可 得F y]dx
四、变分 研究函数y=f(x)在一点的性态用的是微分。其中包括 自变量的微分dx和函数的微分dy，函数的微分可写为:
dy f (x xg )

0
其中 为任意小的正数。 类似地，研究泛函在一点的性态用变分。自变函数y=y(x)的 变分记为 y ，泛函的变分记为 I 。 I 的定义为:
取极值的条件就是微分方程式：
F d (F ) 0 y dx y
及其边界给定条件。
换句话说，满足微分方程式：
F y

d dx
(Fy（) 欧0 拉方程）
及其给定边界条件的函数y(x)一定使泛函式：
x2
I[ y(x)] 取F[极x, y值(x。), y(x)]dx x1
下面举一个历史上著名的变分命题的例子，以帮助对泛函和变分等概念的理解。 [例] 最速降线问题
在铅垂平面上有A、B两点，它们不在同一水平线和同一铅垂线上。如图所示。 设有一重物在重力作用下从A点沿某一曲面下滑到B点，不计重物与曲面间摩擦力。 显然，从A点到B点的下滑时间随下滑曲面的不同而不同。曲面与铅垂平面的交线
就 是下滑曲线。所要求解的下滑时间最短的曲线就是最速降线。
解：设A点与坐标原点重合，B点的坐标为(x1，y1)。
重物下滑到任一点P (x，y )时的速度为v，则 重物从A点到P点失去的位能为mgy，获得的动能为1 mv2 。
2
由能量守恒定律，有：
mgy 1 mv2 2
或
v 2gy
从另一方面看，若A点到任意一点(x，y)的曲线 弧长为s，则弧长对时间的导数即为速度。有：
y)] ydx
若令 ，0 则：
I I [ y y] x2 [F y F y]dx

0 x1 y
y
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在上式右端，因为：
x2
F

ydx
x2

F
d (
y)
x1 y
x1 y
所以，利用分步积分公式有：
x2
六、变分法基本预备定理
如果函数F(x)在线段(x1，x2)上连续，且对于只满足某 些一般性条件的任意选定的函数 y(有x)
x2
F(x) y(x)dy 0
x1
则在线段 x1 x上 Fx2(x)=0。 其中， y所(x满) 足的一般性条件是：
一阶或若干阶可微; 在线段端点处为零;
I I y(x) g y

0
其中 为任意小的正数。
五、泛函取极值的条件
从数学分析中可知，可微函数y=f(x)在x=x0处取极值的必要 条件是该点处dy=0，即:

f
x0 gx
0
0
对于有变分的泛函I=I[y(x)]来说，在 y y上0(x达) 到极值的必要
条件是在该曲线上有 I ，0 即:

I[ y0 (x) g
y]
0
0
可见泛函取极值的条件与函数取极值的条件是类似的，但它们之间有本 质的差别。函数的极值条件为自变量在某点处的增量 x 时0 函数将 以一定的方式趋于零，即 y f (x0 x) ； f而(x0泛) 函0取极值的条件 为y=y(x)在某处的变分 y 时0，泛函以某种方式趋于零。
ds 2gy dt
而
ds
1


dy dx
2
dx
所以：
dt ds ds dt
1


dy dx
2

dx
2gy
于是从A点到B点积分便得下滑所需时间：
x1
t 0
1


dy dx
2
dx
2 gy
可见下滑时间t是函数y(x)的泛函，记作T[y(x)]，即：
其中，C，D，E，F是微分算子。通常上式称为微分方程的弱形式(weakform)， 相对而言，定解问题的微分方程称为强形式(strong form)。
由于分部积分的缘故，场函数u的导数的阶次在弱形式中比在等效积分形 式中为低。这样，使用弱形式时对场函数便只要求较低阶的连续性。当然，
降低对u的连续性要求是以提高 v和 v的连续性要求为代价的。不过，由 于原来对 v和 并v 无连续性要求，故适当提高其连续性并不困难。
同理，假如边界条件:
B1 u
B

u


B2

u


0
M

在 内
在边界上每点都得到满足，对于一组任意可积(在 上)函数
应v 当成立:
T Bud
v1B1 u v2B2 u L d 0
(b)
这样，就可得到与控制方程和边界条件等效的积分形式 :
F
d (
y)
[ F

x2
y]

x2

yd ( F )
x1 y
y
x1
x1
y
由固定边界条件可知 y(x1) y,(即x2 ) 0
又因：
d (F ) d (F )dx y dx y

F y

y
x2 x1
0
故得：
x2 F ydx x2 y
在 内 在 内
本待求解的未知函数u可以是标量场(例如温度)，也可以是 若干变量组成的向量场(例如位移、应力)。A和B为对于独立变 量(例如空间坐标)的微分算子。
上述微分方程可以是单个方程，也可以是一组方程。 如直角坐标系下弹性静力问题的控制方程和边界条件，其建立 方法可参考弹性力学教科书。
4．2 泛函变分提法
从本质上讲，有限单元法是求解微分方程的数值方法，即 在物理或工程问题的数学模型之基础上进行近似计算。因此， 有限元计算的精度并不意味着实际问题求解的精度。在采用有 限单元法解题时，必须时刻牢记：问题的分析模型具有根本的 重要性。
4．1．2 微分方程的形式 连续介质问题的分析方法是：首先从介质中取微元进行分析，
y(x)或 及 y(x) 等。 y(x)
利用变分法基本预备定理，可证明一维泛函(只与一个函数y(x) 有关的泛函取极值的条件。
设泛函
x2
I[ y(x)] F[x, y(x), y(x)]dx x1
其中，确定泛函的曲线的边界点是已知的，即
y(x1) y1, y(x2 ) y2
xA
1


dy dx
2
dx
图 两点间的曲线长度
二、泛函的极值 我们知道函数有极值问题，同样道理泛函也有极植问题。 泛函的极值问题就是要求出使泛函取得最大值或最小值的函数
y=y(x)(或y1(x)，y2(x)，…) 因此，泛函极值即求使泛函取最大(小)值的函数。
三、变分法 研究函数的极值问题用的是微分学，研究泛函极值的方 法是变分法。因此，变分法即研究泛函极值的方法。
4．2．1 等效积分形式
现在来研究微分方程的等效积分形式。由于控制方程在域内每一
点都必须为零，因此有:
T
A u d

v1A1 u(av)2 A2
u L
d

0
其中， v v1 v2是L函T数向量，它是一组同微分方程个数相等的任意 可积(在 内)函数。
建立控制方程；然后结合具体的定解条件(边界条件和初始条件)求 解控制方程。显然，问题的物理实质不同，控制方程和定解条件也 就不同。然而，它们可被一般地表示为(图2．2)
A1 u
A

u


A2

u



0
M

B1 u
B

u


B2

u



0
M

T Au d v T B u d 0
统称为微分方程的等效积分形式。
4．2．1 微分方程弱形式
通常情况下，可以对式
T Au d v T B u d 0
进行分部积分，从而得到:
CT vD(u)d ET v F u d 0
x1
T[ y x] 0
1
为了获得数学模型，必须引入某些前提假设以建构几何模 型、物理模型或力学模型等，它们统称为分析模型。
4．1．1 结构分析模型 对任何复杂事物的研究，出发点都是对事物进行逼真而又可行的理想
化以建构分析模型；而结果的可靠性和实用价值主要取决于确立模型时对各 种控制条件和参数的正确反映。
何谓模型? 待分析的事物称为原型，其理想化的替代物就是模型。 任何模型都是为了某种特定目的而将原型的某些特征信息简缩、提炼而构造 出来的。 原型有各方面的因素和各种层次的特征，而模型只要求反映与某种目的有关 的那些因素和层次。模型成功的关键是必须反映原型事物的主要属性和特 征，而什么是主要属性和特征则与我们所关注的问题有关。
结构分析是有限单元法最早、也是最广泛应用的领 域。 前面以弹性力学平面问题为例，阐释了有限单元法的 基本内容。这样的介绍具有直观性，但缺乏系统性和深刻 性。为加深对有限单元法的理解，本章将系统而深入地阐述 有限单元法的基本原理，
内容包括： (1)介绍定解问题的微分方程提法； (2)根据微分方程的等效积分形式，推导虚位移原理及势能变