九年级数学下册 第26章 二次函数 26.2 二次函数的图象与性质 26.2.3 求二次函数的表达式
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C．y＝x2－2x＋2 D．y＝－x2－12x＋12 3．以(1，2)为顶点，经过点(－1，－2)的抛物线的表达式为( B ) A．y＝(x－1)2－2 B．y＝－(x－1)2＋2 C．y＝(x＋1)2－2 D．y＝－(x＋1)2＋2
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分层作业
1．[2017·贵港]将如图所示的抛物线向右平移 1 个单位长度，再向上平移 3 个单位长度后，得到的抛物线的解析式是( C )
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当堂测评
1．已知抛物线 y＝x2＋bx＋c 经过点(3，1)和(－1，1)，则此抛物线还经过( C ) A．(1，－2) B．(－2，0) C．(0，－2) D．(0，2)
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2．经过点(－3，1)，(1，1)，(0，－2)的抛物线的表达式为( A ) A．y＝x2＋2x－2 B．y＝x2－2x－2
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4
归类探究
类型之一 已知抛物线上任意三点，求函数表达式
已知二次函数的图象过(1，0)，(－1，－4)，(0，－3)三点，求这个二
次函数的表达式．
解：设所求二次函数的表达式为 y＝ax2＋bx＋c， 由已知，这个函数图象过(1，0)，(－1，－4)，(0，－3)三点，
则有aa＋－bb＋＋cc＝＝0－，4，解得ab＝＝12，，
理由．
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8
解：(1)因为铅球的路线最高处点 B 的坐标为(6，4)，即抛物线的顶点坐标为 (6，4)，
故设这个抛物线关系式为 y＝a(x－6)2＋4， 且当 x＝0 时，y＝2，
所以 2＝a·(－6)2＋4，解得 a＝－118，
所以这个抛物线的关系式为 y＝－118(x－6)2＋4(x≥0)．
c＝3， ∴－92＝－136×（－4）2－4b＋c.
解得 b＝89，c＝3.
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(2)由(1)知该二次函数为 y＝－136x2＋98x＋3.
在 y＝－136x2＋89x＋3 中，
当 y＝0 时，0＝－136x2＋98x＋3， 解得 x1＝－2，x2＝8. ∴二次函数 y＝－136x2＋bx＋c 的图象与 x 轴有两个公共点，分别为(－2， 0)，(8，0)．
解：设抛物线方程为顶点式 y＝ax－122－94(a≠0)．
将 M(2，0)代入可得 a2－122－94＝0， 解得 a＝1， ∴抛物线的解析式为 y＝x－122－49.
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7
类型之三 二次函数表达式的应用 在体育测试时，九年级某名男生推铅球，出手点 A 的坐标为(0，2)，
铅球路线最高处点 B 的坐标为(6，4)．(铅球的路线是抛物线的一部分) (1)求这个抛物线的关系式； (2)若他出手的位置距甬路 15 m，则他抛出的铅球是否落在甬路上？并说明
A．y＝x－12＋1 B．y＝x＋12＋1 C．y＝2x－12＋1 D．y＝2x＋12＋1
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2．若抛物线 y＝2x2＋bx＋c 的顶点坐标是(－2，3)，则 b＝__8__，c＝__1_1_. 3．如图，已知抛物线 y＝－x2＋bx＋c 的对称轴为直线 x＝1，且与 x 轴的一 个交点为(3，0)，那么它对应的函数表达式是___y_＝__－__x_2_＋__2_x_＋__3__．
第26章 二次函数
3. 求二次函数的表达式
学习指南 知识管理 归类探究 当堂测评 分层作业
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学习指南
★教学目标★ 1．让学生利用已知条件设恰当的函数解析式，用待定系数法求二次函数的 解析式； 2．指导学生利用二次函数的解析式和性质解决问题．
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2
★情景问题引百度文库★
如图，某建筑的屋顶设计成横截面为抛物线形(曲线 AOB)的薄壳屋顶．它的 拱宽 AB 为 4 m，拱高 CO 为 0.8 m．施工前要先制造建筑模板，怎样画出模板的 轮廓线呢？
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9
(2)当 y＝0 时，即－118(x－6)2＋4＝0， 解得 x1＝6 2＋6，x2＝－6 2＋6(不合题意，舍去)． 因为铅球推出的最远距离为 6 2＋6≈14.485 (m)＜15 (m)， 所以他推出的铅球不会落在甬路上．
【点悟】 抛物线型问题，通常根据“避繁就简”的原则，建立平面直角坐 标系，把实际问题中的数据用数对形式在直角坐标系中描出点，进而利用二次函 数的图象及性质解决．
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解：(1)依题意，得ca＝－1b，＋c＝－5，解得ab＝＝4－，2， 4a＋2b＋c＝1， c＝1，
∴二次函数的解析式为 y＝－2x2＋4x＋1. (2)当 x＝4 时，m＝－2×16＋16＋1＝－15， 由 y＝－2x2＋4x＋1＝－2(x－1)2＋3， 故其顶点坐标为(1，3)．
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5．[2018·云南]已知二次函数 y＝－136x2＋bx＋c 的图象经过 A(0，3)、B(－4，
－92)两点． (1)求 b、c 的值； (2)二次函数 y＝－136x2＋bx＋c 的图象与 x 轴是否存在公共点？若有，求公
共点的坐标；若没有，请说明理由．
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解：(1)∵二次函数 y＝－136x2＋bx＋c 的图象经过 A(0，3)、B(－4，－92)两 点，
c＝－3，
c＝－3.
则所求的二次函数的表达式是 y＝x2＋2x－3.
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5
【点悟】 知道抛物线上的三点，通常用一般式建立方程组求待定系数 a、b、 c.有时需要仔细分析，发现所给出的点的特征与联系，也可采用简捷灵活的方法．
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6
类型之二 已知抛物线的顶点和另一点，求函数关系式 顶点为12，－94的抛物线过点 M(2，0)，求抛物线的解析式．
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4. [2016·杨浦区一模]已知二次函数 y＝ax2＋bx＋c 的图象上部分点的横坐标 x 与纵坐标 y 的对应值如下表所示：
x … －1 0 2 4 … y … －5 1 1 m … 求：(1)这个二次函数的解析式； (2)这个二次函数图象的顶点坐标及上表中 m 的值．
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3
知识管理
用待定系数法求二次函数的表达式 一般式：已知抛物线上任意三点求函数表达式，可设一般式 y＝ax2＋bx＋c(a ≠0)． 顶点式：已知抛物线的顶点和抛物线另一点求函数表达式，可设顶点式 y＝ a(x－h)2＋k(a≠0)． 交点式：已知抛物线与 x 轴的交点或交点的横坐标求函数表达式，可设交点 式 y＝a(x－x1)(x－x2)．
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分层作业
1．[2017·贵港]将如图所示的抛物线向右平移 1 个单位长度，再向上平移 3 个单位长度后，得到的抛物线的解析式是( C )
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当堂测评
1．已知抛物线 y＝x2＋bx＋c 经过点(3，1)和(－1，1)，则此抛物线还经过( C ) A．(1，－2) B．(－2，0) C．(0，－2) D．(0，2)
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2．经过点(－3，1)，(1，1)，(0，－2)的抛物线的表达式为( A ) A．y＝x2＋2x－2 B．y＝x2－2x－2
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归类探究
类型之一 已知抛物线上任意三点，求函数表达式
已知二次函数的图象过(1，0)，(－1，－4)，(0，－3)三点，求这个二
次函数的表达式．
解：设所求二次函数的表达式为 y＝ax2＋bx＋c， 由已知，这个函数图象过(1，0)，(－1，－4)，(0，－3)三点，
则有aa＋－bb＋＋cc＝＝0－，4，解得ab＝＝12，，
理由．
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解：(1)因为铅球的路线最高处点 B 的坐标为(6，4)，即抛物线的顶点坐标为 (6，4)，
故设这个抛物线关系式为 y＝a(x－6)2＋4， 且当 x＝0 时，y＝2，
所以 2＝a·(－6)2＋4，解得 a＝－118，
所以这个抛物线的关系式为 y＝－118(x－6)2＋4(x≥0)．
c＝3， ∴－92＝－136×（－4）2－4b＋c.
解得 b＝89，c＝3.
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(2)由(1)知该二次函数为 y＝－136x2＋98x＋3.
在 y＝－136x2＋89x＋3 中，
当 y＝0 时，0＝－136x2＋98x＋3， 解得 x1＝－2，x2＝8. ∴二次函数 y＝－136x2＋bx＋c 的图象与 x 轴有两个公共点，分别为(－2， 0)，(8，0)．
解：设抛物线方程为顶点式 y＝ax－122－94(a≠0)．
将 M(2，0)代入可得 a2－122－94＝0， 解得 a＝1， ∴抛物线的解析式为 y＝x－122－49.
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类型之三 二次函数表达式的应用 在体育测试时，九年级某名男生推铅球，出手点 A 的坐标为(0，2)，
铅球路线最高处点 B 的坐标为(6，4)．(铅球的路线是抛物线的一部分) (1)求这个抛物线的关系式； (2)若他出手的位置距甬路 15 m，则他抛出的铅球是否落在甬路上？并说明
A．y＝x－12＋1 B．y＝x＋12＋1 C．y＝2x－12＋1 D．y＝2x＋12＋1
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2．若抛物线 y＝2x2＋bx＋c 的顶点坐标是(－2，3)，则 b＝__8__，c＝__1_1_. 3．如图，已知抛物线 y＝－x2＋bx＋c 的对称轴为直线 x＝1，且与 x 轴的一 个交点为(3，0)，那么它对应的函数表达式是___y_＝__－__x_2_＋__2_x_＋__3__．
第26章 二次函数
3. 求二次函数的表达式
学习指南 知识管理 归类探究 当堂测评 分层作业
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学习指南
★教学目标★ 1．让学生利用已知条件设恰当的函数解析式，用待定系数法求二次函数的 解析式； 2．指导学生利用二次函数的解析式和性质解决问题．
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★情景问题引百度文库★
如图，某建筑的屋顶设计成横截面为抛物线形(曲线 AOB)的薄壳屋顶．它的 拱宽 AB 为 4 m，拱高 CO 为 0.8 m．施工前要先制造建筑模板，怎样画出模板的 轮廓线呢？
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(2)当 y＝0 时，即－118(x－6)2＋4＝0， 解得 x1＝6 2＋6，x2＝－6 2＋6(不合题意，舍去)． 因为铅球推出的最远距离为 6 2＋6≈14.485 (m)＜15 (m)， 所以他推出的铅球不会落在甬路上．
【点悟】 抛物线型问题，通常根据“避繁就简”的原则，建立平面直角坐 标系，把实际问题中的数据用数对形式在直角坐标系中描出点，进而利用二次函 数的图象及性质解决．
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解：(1)依题意，得ca＝－1b，＋c＝－5，解得ab＝＝4－，2， 4a＋2b＋c＝1， c＝1，
∴二次函数的解析式为 y＝－2x2＋4x＋1. (2)当 x＝4 时，m＝－2×16＋16＋1＝－15， 由 y＝－2x2＋4x＋1＝－2(x－1)2＋3， 故其顶点坐标为(1，3)．
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5．[2018·云南]已知二次函数 y＝－136x2＋bx＋c 的图象经过 A(0，3)、B(－4，
－92)两点． (1)求 b、c 的值； (2)二次函数 y＝－136x2＋bx＋c 的图象与 x 轴是否存在公共点？若有，求公
共点的坐标；若没有，请说明理由．
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解：(1)∵二次函数 y＝－136x2＋bx＋c 的图象经过 A(0，3)、B(－4，－92)两 点，
c＝－3，
c＝－3.
则所求的二次函数的表达式是 y＝x2＋2x－3.
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【点悟】 知道抛物线上的三点，通常用一般式建立方程组求待定系数 a、b、 c.有时需要仔细分析，发现所给出的点的特征与联系，也可采用简捷灵活的方法．
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类型之二 已知抛物线的顶点和另一点，求函数关系式 顶点为12，－94的抛物线过点 M(2，0)，求抛物线的解析式．
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4. [2016·杨浦区一模]已知二次函数 y＝ax2＋bx＋c 的图象上部分点的横坐标 x 与纵坐标 y 的对应值如下表所示：
x … －1 0 2 4 … y … －5 1 1 m … 求：(1)这个二次函数的解析式； (2)这个二次函数图象的顶点坐标及上表中 m 的值．
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知识管理
用待定系数法求二次函数的表达式 一般式：已知抛物线上任意三点求函数表达式，可设一般式 y＝ax2＋bx＋c(a ≠0)． 顶点式：已知抛物线的顶点和抛物线另一点求函数表达式，可设顶点式 y＝ a(x－h)2＋k(a≠0)． 交点式：已知抛物线与 x 轴的交点或交点的横坐标求函数表达式，可设交点 式 y＝a(x－x1)(x－x2)．