初等几何研究习题2(李长明版)

汕头职业技术学院

初等几何研究

习题课

数学教育（师范类）

1. I是△ABC的内心，AI、BI、CI的延长线分别交△ABC的外接圆于D、E、F

求证：EF⊥AD。

D A

B C E

F

I 五、关于平行与垂直

2. A、B、C、D在圆周上相继的四点，P、Q、R、S分别是弧AB、BC、、CD、DA的中点，

求证：PR⊥QS。

A

C

B

P Q

D

R

S

3. 凸四边形ABCD的每条对角线皆平分它的面积，求证：ABCD是平行四边形。

A B

D

C

4. 已知：△BCX 和△DAY 是□ABCD 外的等边三角形，E 、F 、G 、H 是YA 、AB 、XC 、CD 的中点。求证：EFGH 是平行四边形。

A

B

X

D C Y

E F G

H

5. 在△ABC的各边上向外作正方形BCDE、CAFG、ABHI，其中心依次为O1、O2、O3

求证：AO1⊥O2O3。

A

O1O2

B

C

O3

6. 在正方形ABCD 内任取一点E ，连接AE 、BE ，在△ABE 外以AE 、BE 为边作正方形AEMN 和EBFG ，连NC 、AF 。

求证：NC

∥AF 。

A B

C

D E M

N

F

G

7. 以□ABCD的对角线AC为一边的两侧各作一个正三角形ACP、ACQ。

求证：BPDQ是□。

A

B

P

D

C

Q

8. 已知：凸五边形的四条边平行于所对的对角线。求证：第五边也平行于所对的对角线。

C

A B D

E

9.在△ABC中，∠B≠90°，BC边的垂直平分线交AB于D，△ABC的外接圆在A、C两点之切线交于E.

求证：DE∥BC.

A

D E

B C

10.P 是正方形ABCD 的边CD 上的一点,过D 作AP 的垂线分别交AP 、BC 于Q 、R ，O 是正方形的中心.求证:OP ⊥OR.

A

B

C

D

O

P

R

12. 给定正方形ABCD ，P 、Q 分别人为AB 、BC 上的点，满足BP=BQ ，自B 作BH ⊥PC 于H ，求证:∠DHQ=900.

A

B

C

D

O P

H

Q

13. 在△ABC中，AB=AC，O为外心，D为AB的中点，E是△ACD的重心。

证明：OE⊥CD.

B

A

C D E

F

14. 在△ABC中，∠A=90o，D在BC上且AD⊥BC.，求证：∠BAC的平分线垂直于△ACD与△ABD的内心之连线.

A

J

I

B C

D

15. 考虑△ABC 的三个旁切圆，每一对圆恰有一条与△ABC 的边不同的公切线，这三条线组成一个三角形T ，O 是△ABC 的外心.证明：OA 与T 的一边垂直。

B

A

B'

C

C'

I C

I B

2.已知：E 、F 分别在正方形ABCD 的两边BC 、CD 上，使∠EAF=450，但AC 不是∠EAF 的角平分线，自E 、F 作AC 的垂线，垂足分别是P 、Q.求证：△BPQ 的外心与B 、C 共线.

A

D

B

C

E

F

P Q

六、关于共线点与共点线

3.在Rt △ABC 中AB 为斜边，CH 为斜边上的高，以AC 为半径作⊙A ，过B 作⊙A 的任一割线交⊙A 于D 、E ，交CH 于F （D 在B 、F 之间），又作∠ABG=∠ABD ，G 与D 在AB 异侧.求证:（1）A 、H 、D 、E 共圆； （2）E 、H 、G 共线；

（3）FD 、FE 、BD 、BE 四线段成比例.

A

B

C

D

H

E

F G

4.设P 是正方形ABCD 内的一点,使PA:PB:PC=1:2:3,将BP 绕B 点朝BC 旋转900至BQ 。求证：A 、P 、Q 共线.

A

D

B

C

E

Q

P

2

1

3

1

5. 在△ABC中，D、E、F分别在AB、BC、CA上，使得DE=BE，FE=CE.

求证：△ADF的外心在∠DEF的平分线上.

A

F

D

B C

E

6. 在△ABC 中，∠A 、∠B 的平分线分别交对边于D 、E ，∠C 的外角平分线交对边延长线于F.求证：D 、E 、F 共线.

A

B

C

D E

F

9. □EFGH的顶点在□ABCD的各边上.求证：对角线AC、BD、EG、FH共点.

A

B C D

E

F

G

H

O