已阅)线性系统理论
线性系统理论3线性系统的运动分析
THANKS
伯德图判据
通过观察系统开环伯德图（对数幅频特性和相频特性曲线）来判断系统的稳定性。若开环伯 德图在穿越频率处的相位裕度大于0，则系统是稳定的。
不稳定系统的分析与处理
不稳定原因分析
不稳定系统可能由于系统内部参数摄动、外部扰动或控 制器设计不当等原因导致。需要对系统进行详细分析， 找出不稳定的原因。
不稳定系统处理
线性微分方程
01
描述线性系统动态行为的数学工具，通过求解微分方程可以得
到系统的输出响应。
传递函数
02
在频域中描述线性系统输入输出关系的数学表达式，常用于控
制系统的分析和设计。
状态空间方程
03
描述线性系统状态变量和输入输出关系的数学方程组，适用于
多输入多输出系统和时变系统。
线性系统的建模方法
1 2
机理建模
运动方程的物理意义
描述系统运动状态
运动方程描述了线性系统的运动状态，包括位置、速度和 加速度等物理量。通过求解运动方程，可以得到这些物理 量的时域解和频域解。
预测系统响应
根据已知输入和初始条件，通过求解运动方程可以预测线 性系统的响应。这对于控制系统的设计和分析具有重要意 义。
分析系统稳定性
通过分析运动方程的解的性质，可以判断线性系统的稳定 性。例如，如果解是收敛的，则系统是稳定的；如果解是 发散的，则系统是不稳定的。
对求解结果进行可视化展示和数据分 析，研究电路系统的动态响应特性， 如谐振频率、阻尼振荡等。
建立模型
运动方程
求解方法
结果分析
根据电路元件的连接方式和电气特性， 建立电路系统的数学模型，如RLC串 联或并联电路。
采用解析法或数值法求解运动方程， 得到电路中各元件的电压、电流等电 气参数。
第5章 线性系统理论
2. 定理2 [秩判据]
线性定常系统状态完全能1 控的充要条件是： 能控性判别矩阵WC
W C [B, AB, A2 B, , An1 B]
为满秩。即 rankWC=n (A—nn，B—np，WC—nnp)
（该定理也适用于线性定常离散系统：
WC [H, GH, G2 H, , Gn1H] )
证明：a）充分性 已知rankWC = n 系统完全能控。
J1
J
J2
J
k
nn
J i1
Ji
Ji2
J i i
i i
B1
B
B2
Bk n p
Bi1
Bi
Bi
2
B
i
i
i p
i
J ij
1
1
i rijrij
Bij
B1ij
Байду номын сангаас
Brij rij p
i
rij i
j 1
则系统(A, B)完全能控的充要条件是：
证明：
Bii 0, (i 1,2,, k)
WCW [B , JB , J 2 B ,, J n1 B ]
T 1[B, AB, A2 B,, An1 B] T 1WCX
系 统[J , B] 完全能控
rankWCW = n rankWCX = n 系统(A, B)完全能控。
J
l 1
Jl
WC
[B AB A2 B]
1
1
2
2
4
4
1 1 2 2 4 4
2 1 3 2 5 4 行初等变换 1 1 2 2 4 4
0 0 0 0 0 0
rankWC = 2<3 (n=3) 系统不完全能控。 3．定理3 对状态变量x(t)进行非奇异线性变换， 即x(t) = PZ(t)（P为非奇异），不改变系统的能控性。 证明：已知 x(t) Ax(t) Bu(t)
线性系统理论
n
de s t IA BK f* s s si (5-4) i 1
§3 状态重构问题
3—1状态观测器的基本思想：
1) 状态观测器的基本思想
状态重构的可能性
x 所谓状态重构(估计)问题,
~x
即能否用系统的可量测参量(输
x 出和输入)来重新构造一个状态 , 使之在一定的指标下和
系统的真实状态等价.当线性定常系统的状态完全能观测时,
xABKxBu
yCDKxDu K
(5-3)
A-BK
所谓极点配置法, 就是通过状态反馈阵的选取,使以上闭环系统 的极点, 即特征值恰好处于所希望的一组极点的位置上.
§2 SISO状态反馈系统的极点配置
该定理即: SISO系统可通过状态反馈任意配置极点 的充要条件为该受控系统是状态完全能控的.
注1
注2
当原 n维系统的 n个状态中有l个可直接量测或通过输出的线性变
换可得到, 则只需为剩下的nl 个状态设计 nl 维的状态观测器,
这样的状态观测器称为降阶观测器.
返回
§6 降维观测器的设计
6—1 分离出n-l个需要估计的状态变量设计观测器
x AxBv
y C x
CRln
若 ran(kC)l ,即有 l个状态可量测或通过线性变换得到. 则可
第五章 状态反馈和极点配置
第 15组 胡勇 富剑华 檀立欣 宁晨旭 李龙
秋记与你分享
静思笃行 持中秉正
第五章 状态反馈与状态观测器
主要内容：
§1
状态反馈与输出 反馈义
§2
SISO态反馈系统 的极点配置法
§3
状态重构问题
§4
状态观测器的极 点配置
§5
线性系统理论(第2章)2[1].1
![线性系统理论(第2章)2[1].1](https://img.taocdn.com/s3/m/21fd85f8700abb68a882fb01.png)
2、对于线性定常系统情况
系数矩阵 A 和 B 均为常阵，只要其元的值为有限值，则条件 满足，解存在且唯一。
3
2010-10-08
三、零输入响应和零状态响应
线性系统满足叠加原理。 即线性系统在初始状态和输入向量作用下的运动，可分解为两 个单独的分运动： 初始状态作用 → 自由运动 输入向量作用 → 强迫运动
Φ ( t ) = e A(t) , t 0 Φ (t t0 ) = e A(t t0 ) , t t0
则系统零输入响应可表达式为：
φ(t;0, x0 ,0) = Φ(t) x0 , t 0 φ (t; t0 , x0 ,0) = Φ(t t0) x0 , t t0
物理意义： Φ(t t0 ) 就是将时刻 t 0 之状态 x0 映射到时刻 t 之状态 x 的一个线性变换。
12 22
1n 1 e t 2n 1 e t
1 2
n2
n 1 n t n e
④ 对给定 n n 常阵 A ，先求出预解矩阵：
(sI - A)-1
则有
e At = L-1 (sI - A)-1
二、零状态响应
给定初始状态为零的线性定常系统的强迫方程：
& = Ax + Bu, x (0) = 0, t 0 x
其中，x 为 n 维状态向量，u为p 维输入向量，A和B 分别为 n ×n 和 n × p 常阵。
8
2010-10-08
结论 2 ： 零状态响应的表达式为：
(t;0,0, u) = e A(t ) Bu( )d ,
第2 章
线性系统的运动分析
2.1 引言
一、运动分析的实质
电子工程中的线性系统理论
电子工程中的线性系统理论线性系统理论是电子工程中非常重要的一部分内容。
其涉及到信号处理、控制系统、通信系统等多个领域。
本文将对线性系统理论的定义、特征、基本理论等方面进行简要介绍。
一、线性系统的定义线性系统是指其输入和输出具有线性关系的系统。
简单地说，就是许多输入信号叠加组成的输出信号，与单独输入信号的输出信号相加之和完全相同。
其中输入信号可以是电压、电流、功率等，输出信号也可以是同样的类型。
例如，如果一个系统的输入信号为 $x_1$ 和 $x_2$，对应的输出信号为 $y_1$ 和 $y_2$，则该系统是线性的，当且仅当：$$y_1 = ax_1 + bx_2 \\y_2 = cx_1 + dx_2$$其中 $a,b,c,d$ 均为常量。
二、线性系统的特征1. 叠加性：线性系统具有叠加性，即当系统中输入信号为$x_1$ 和 $x_2$ 时，对应的输出信号分别为 $y_1$ 和 $y_2$，则系统中同时输入 $x_1+x_2$ 时，输出信号为 $y_1+y_2$。
2. 抑制性：线性系统具有抑制性，即输入信号越大，输出信号越小。
如果输入信号的某一部分被视为噪声，则线性系统可以减小噪声的影响，同时保持信号的大部分原始信息。
3. 延时特性：线性系统具有延时特性，即在特定的时间段内输入信号可以得到响应。
例如，音频系统在接收到输入信号后需要一定时间来处理信号，并绘制出相应的声音波形。
三、线性系统的基本理论1. 系统函数和频率响应系统函数是将输入信号转换为输出信号的函数，通常用$H(s)$ 或 $H(jw)$ 表示，其中 $s$ 是连续时间变量，$jw$ 是离散时间变量，表示系统的频率响应。
频率响应是指系统在不同频率下的输出功率和输入功率之比，通常用 $H(jw)$ 表示。
2. 系统的稳定性稳定性是指系统在输入端输入有限信号时输出端不会产生无限响应的性质。
在线性系统中，通常采用相对稳定性来描述系统的稳定性，这意味着系统相对于任意有限的输入信号都稳定。
线性系统理论全
稳定性判据与判定方法
稳定性判据
在控制工程中，常用的稳定性判据有Routh判据、Nyquist判据、 Bode判据等。这些判据通过分析系统的特征方程或频率响应来判 断系统的稳定性。
判定方法
除了使用稳定性判据外，还可以通过时域仿真、频域分析、根轨 迹法等方法来判定系统的稳定性。这些方法各有优缺点，适用于 不同类型的线性系统和不同的问题背景。
100%
线性偏差分方程
处理离散空间和时间的问题，如 数字滤波器和图像处理等。
80%
初始条件与边界条件
在差分方程中，初始条件确定系 统的起始状态。
状态空间模型
状态变量与状态方程
表示系统内部状态的变化规律 ，揭示系统动态特性。
输出方程
描述系统输出与状态变量和输 入的关系，反映系统对外部激 励的响应。
状态空间表达式的建立
复频域分析法
拉普拉斯变换
将时域信号转换为复频域信号，便于分析系统的稳定性和动态性 能。
系统函数
描述Байду номын сангаас统传递函数的复频域表示，反映系统的固有特性和对输入信 号的响应能力。
极点、零点与稳定性
通过分析系统函数的极点和零点分布，可以判断系统的稳定性以及 动态性能。
04
线性系统稳定性分析
BIBO稳定性
01
线性系统理论全
目
CONTENCT
录
• 线性系统基本概念 • 线性系统数学模型 • 线性系统分析方法 • 线性系统稳定性分析 • 线性系统能控性与能观性分析 • 线性系统优化与综合设计
01
线性系统基本概念
线性系统定义与性质
线性系统定义
满足叠加性与均匀性的系统。
线性系统性质
线性系统理论
线性系统理论线性系统理论是一个广泛应用的数学分支，该分支研究线性系统的性质、行为和解决方案。
线性系统可以描述很多现实世界中的问题，包括电子、机械、化学和经济系统等。
在这篇文章中，我们将探讨线性系统理论的基础、应用、稳定性和控制等不同方面。
一、线性系统基础线性系统是一种对于输入响应线性的系统。
当输入为零时，系统的响应为零，称之为零输入响应。
当没有外界干扰时，系统内部存在固有的动态响应，称之为自然响应。
当有外界输入时，系统将对输入做出响应，称之为强制响应。
线性系统具有很多性质，可以让我们更好地理解系统的行为。
其中一个重要的性质是线性可加性，就是说当输入是线性可加的时候，输出也是线性可加的。
换句话说，如果我们有两个输入信号，将它们分别输入到系统中，我们可以在系统的输出中将它们加起来，并得到对应的输出信号。
另外一个重要的性质是时不变性，就是说当输入信号的时间变化时，输出信号的时间变化也会随之发生。
这个性质告诉我们，系统的行为不随着时间的改变而改变。
除此之外，线性系统还有其他很多性质，比如可逆性、稳定性、因果性等等。
二、线性系统的应用线性系统有着广泛的应用，它们可以用来描述很多各种各样的问题，包括但不限于电子电路、航天控制、化学反应、经济系统等等。
下面我们来看看这些应用领域中的具体案例。
1. 电子电路线性系统在电子电路中有着广泛应用。
例如，如果我们想要设计一个低通滤波器，以使高频信号被抑制，我们可以使用线性系统来描述它的行为。
我们可以将电子电路看作一个输入信号到输出信号的转换器。
这个转换器的输出信号可以通过控制电子器件的电流、电压等参数来实现。
这种线性系统可以用来滤掉任何频率的信号，因此在广播和通信中也有广泛的应用。
2. 航天控制航天控制是线性系统理论的一个应用重点。
它包括控制飞行器姿态、轨道以及动力学行为。
在这些问题中，线性可变系统被广泛应用。
这种系统的输出信号是受到飞行器的控制和环境因素的影响。
控制器的任务是计算信号，以引导飞行员和总体系统实现期望的性能和特征。
线性系统理论
linearsystemstheory以状态空间法为主要工具研究多变量线性系统的理论。
20世纪50年代以后，随着航天等技术发展和控制理论应用范围的扩大，经典线性控制理论的局限性日趋明显，它既不能满足实际需要，也不能解决理论本身提出的一些问题，这就推动了线性系统的研究，于是在1960年以后从经典阶段发展到现阶段。
美国学者R.E.卡尔曼首先把状态空间法应用于多变量线性系统的研究，提出了能控性和能观测性两个基本概念。
20世纪60年代以后，现代线性系统理论又有了新发展，出现了线性系统几何理论、线性系统代数理论和多变量频域方法等研究多变量系统的新理论和新方法。
随着计算机技术的发展，以线性系统为对象的计算方法和计算辅助设计问题也受到普遍的重视。
与经典线性控制理论相比，现代线性系统主要特点是：研究对象一般是多变量线性系统，而经典线性理论则以单输入单输出系统为对象；除输入和输出变量外，还描述系统内部状态的变量；在分析和综合方面以时域方法为主而经典理论主要采用频域方法；使用更多数据工具。
前言第1章线性系统的数学描述1.1 线性系统的输入.输出描述1.1.1 线性系统1.1.2 非零初始条件与冲激输入1.2 线性系统的状态空间1.2.1 输入.输出描述的局限性1.2.2 状态与状态空间1.2.3 线性系统的状态空间描述1.2.4 物理系统状态方程的建立1.2.5 传递函数矩阵的状态参数矩阵表示1.2.6 传递函数矩阵G(s)的实用计算方法1.2.7 离散系统状态空间的描述1.3 线性系统等价的状态空间描述1.3.1 坐标变换1.3.2 线性定常系统状态空间描述在坐标变换下的特性1.3.3 线性时变系统状态空间描述在坐标变换下的特性1.4 状态方程的对角线规范形与约当规范形1.4.1 状态方程的对角线规范形1.4.2 状态方程的约当规范形1.5 组合系统的状态空间描述和传递函数矩阵1.5.1 子系统的并联联接1.5.2 子系统的串联联接1.5.3 子系统的反馈联接1.6 习题第2章线性系统的运动分析2.1 线性系统运动分析的数学实质2.1.1 运动分析的数学实质2.1.2 状态方程解的存在性和唯一性条件2.1.3 零输入响应和零状态响应及全响应2.2 线性定常系统的运动分析2.2.1 线性定常系统的零输入响应2.2.2 矩阵指数函数的性质2.2.3 几种典型的矩阵指数函数2.2.4 矩阵指数函数的计算方法2.2.5 线性定常系统的零状态响应2.2.6 线性定常系统的全响应及输出响应2.3 线性时变系统的运动分析2.3.1 线性时变系统的零输入响应2.3.2 线性时变系统的零状态响应2.3.3 线性时变系统的全响应及输出响应2.4 状态转移矩阵2.4.1 线性时变系统的状态转移矩阵2.4.2 线性时变系统的状态转移矩阵的性质2.4.3 线性定常系统的状态转移矩阵2.4.4 线性定常系统的状态转移矩阵的性质2.4.5 基于状态转移矩阵表示的线性定常系统的运动规律2.5 线性连续时间系统的时间离散化2.5.1 数字控制系统的基本形式2.5.2 离散化的假设条件2.5.3 线性连续时变系统的离散化2.5.4 线性连续定常系统的离散化2.6 线性离散时间系统的运动分析2.6.1 迭代法求解线性离散系统的状态方程2.6.2 线性离散时间系统的状态转移矩阵2.6.3 线性离散时变系统的状态运动规律2.6.4 线性离散定常系统的状态运动规律2.7 习题第3章线性系统的能控性与能观测性3.1 能控性和能观测性的定义3.1.1 能控性和能观测性的直观讨论3.1.2 能控性的定义3.1.3 能观测性的定义3.2 线性连续时间系统的能控性判据3.2.1 线性定常系统的能控性判据3.2.2 能控性指数3.2.3 线性时变系统的能控性判据3.3 线性连续时间系统的能观测性判据3.3.1 线性定常系统的能观测性判据3.3.2 能观测性指数3.3.3 线性时变系统的能观测性判据3.4 对偶系统与对偶原理3.4.1 对偶系统3.4.2 对偶原理3.5 线性离散时间系统的能控性和能观测性3.5.1 线性离散时间系统的能控性和能达性3.5.2 线性离散时间系统的能控性判据3.5.3 线性离散时间系统的能观测性及其判据3.6 能控规范形和能观测规范形3.6.1 单输入一单输出系统的能控规范形3.6.2 单输入-单输出系统的能观测规范形3.6.3 多输入-多输出系统的能控规范形3.6.4 多输入-多输出系统的能观测规范形3.7 线性系统的结构分解3.7.1 能控性和能观测性在非奇异变换下的特性3.7.2 线性定常系统按能控性的结构分解3.7.3 线性定常系统按能观测性的结构分解3.7.4 线性定常系统的结构规范分解3.8 习题第4章传递函数矩阵的状态空间实现4.1 传递函数的能控和能观测规范形实现4.1.1 单输入-单输出系统传递函数的实现4.1.2 单输入一多输出系统传递函数的实现4.1.3 多输入.单输出系统传递函数的实现4.1.4 多输入.多输出系统传递函数的实现4.2 最小实现及其性质4.3 最小实现的解法4.3.1 降价法4.3.2 直接求取约当规范形的最小实现方法4.3.3 用汉克尔法直接求取传递函数矩阵的最小实现4.4 习题第5章系统运动的稳定性5.1 外部稳定性和内部稳定性5.1.1 外部稳定性5.1.2 内部稳定性j5.1.3 内部稳定性和外部稳定性的关系5.2 李亚普诺夫稳定性理论5.2.1 李亚普诺夫第一法和第二法5.2.2 自治系统、平衡系统和受扰系统5.2.3 李亚普诺夫意义下的稳定5.2.4 不稳定5.2.5 李亚普诺夫第二法的主要定理5.3 连续时间线性系统的状态运动稳定性判据5.3.1 线性时变系统的稳定性判据5.3.2 线性定常系统的稳定性判据5.4 构造李亚普诺夫函数的规则化方法5.4.1 变量梯度法5.4.2 克拉索夫斯基方法5.5 离散时间系统状态运动的稳定性5.5.1 离散时间非线性定常系统的李亚普诺夫稳定性定理5.5.2 离散时间线性定常系统的稳定性定理5.6 李亚普诺夫直接法在系统综合方面的应用5.6.1 连续时间线性定常系统稳定自d运动的衰减性能的估计5.6.2 平均积分值的计算5.7 习题第6章状态反馈6.1 状态反馈与输出反馈的概念6.2 状态反馈与输出反馈对系统能控性和能观测性的影响6.2.1 状态反馈和输出反馈对系统能控性的影响6.2.2 状态反馈对系统能观测性的影响6.2.3 输出反馈对系统能观测性的影响6.2.4 多输入能控系统转变为单输人能控系统6.3 系统的极点配置6.3.1 极点配置的概念6.3.2 极点配置的条件6.3.3 单输入系统极点配置反馈矩阵的计算方法6.3.4 多输入系统极点配置反馈矩阵的计算方法6.3.5 状态反馈对传递函数的影响6.4 输出反馈极点配置6.5 不完全能控系统状态反馈的极点配置和镇定6.5.1 不完全能控系统状态反馈的极点配置6.5.2 不完全能控系统状态反馈的镇定6.6 状态反馈解耦6.6.1 解耦问题的提法和结构假设6.6.2 系统结构特征量6.6.3 可解耦条件与解耦算法6.7 习题第7章状态观测器7.1 状态观测器的基本概念7.2 全维闭环状态观测器7.3 降维状态观测器7.4 基于观测器的状态反馈系统7.5 Rz函数观测器7.6 习题。
线性系统理论
线性系统理论：
系统控制的理论与实践被认为是20世纪中对人类生产和社会生活活动产生重大影响的科学领域之一。
其中，线性系统理论是系统控制理论的一个最为基本的与成熟发展的分支。
系统存在于自然界和人类社会的一切领域，从系统控制理论的角度，通常将其定义为是由相关联和相制约的若干部分所组成的具有特定功能的一个整体。
系统的状态由描述系统行为特征的变量来表示。
它具有整体性、抽象性与相对性的特点。
概述：
线性系统科学技术是一门应用性很强的学科，面对着各种各样错综错杂的系统，控制对象可能是确定性的，也可能是随机性的，控制方法可能是常规控制，也可能需要最优化控制。
控制理论和社会生产及科学技术的发展密切相关，近代得到极为迅速的发展。
线性系统理论是现代控制理论中最基础、最成熟的分支，是控制科学重要课程之一。
线性系统理论内容丰富、思想深刻、方法多样、充满美感，不仅提供了对线性控制系统进行建模、分析、综合系统完整的理论，而且其中蕴涵着许多处理复杂问题的方法，这些方法使系统的建模、分析、综合得以简化，为系统控制理论的其它分支乃至其它学科提供了可借鉴的思路，它们是解决复杂问题的一条有效途径。
主要特点：
与经典线性控制理论相比，现代线性系统理论的主要特点是：研究对象一般是多变量线性系统；除输入变量和输出变量外，还着重考虑描述系统内部状态的状态变量；在分析和综合方法方面以时域方法为主，兼而采用频域方法；使用更多的数学工具，除经典理论中使用的拉普拉斯变换外，现代线性系统理论大量使用线性代数、矩阵理论和微分方程理论等。
线性系统理论
线性系统理论一、主要内容本课程是一门信息科学的专业基础课程，阐述分析和综合线性多变量系统的理论、方法和工程上的实用性，本理论在控制技术、计算方法和信号处理等领域有着广泛的应用。
1、系统、系统模型，线性系统理论基本内容2、状态、状态空间，状态和状态空间的数学描述，连续变量动态的状态空间描述，系统输入输出描述与状态空间描述的关系，LTI系统的特征结构，状态方程的约当规范型，系统状态方程与传递函数矩阵的关系，组合系统的状态空间描述3、连续时间LTI系统的运动分析，状态转移矩阵和脉冲响应矩阵，连续时间LTV系统的运动分析，连续时间LTI系统的时间离散化，离散时间线性系统的运动分析4、线性系统的能控性和能观测性，连续时间LTI系统的能控性和能观测性判据，离散时间线性系统的能控性和能观测性判据5、对偶系统和对偶性原理，时间离散化线性系统保持能控性和能观测性的条件，能控和能观测规范型，连续时间LTI系统的结构分解6、系统外部和内部稳定性，李亚普诺夫稳定的基本概念，李亚普诺夫第二方法的主要定理，连续时间线性系统的状态运动稳定性判据，离散时间线性系统的状态运动稳定性判据7、系统综合问题，状态反馈和输出反馈，状态重构和状态观测器，降维状态观测器，状态观测器状态反馈系统的等价性问题二、线性系统及其研究的对象一般说来，许多物理系统在其工作点的附近都可以近似地用一个有限维的线性系统来描述，这不仅是由于线性系统便于从数学上进行处理，更为重要的，它可以在相当广泛的范围内反映系统在工作点附近的本质。
因此，线性系统理论研究对象是 (线性的)模型系统，不是物理系统。
控制理论发展到今天，包括了众多的分支，如最优控制，鲁棒控制，自适应控制等。
但可以毫不夸张地说，线性系统的理论几乎是所有现代控制理论分支的基础，也是其它相关学科如通讯理论等的基础。
三、研究线性系统的基本工具研究有限维线性系统的基本工具是线性代数或矩阵论。
用线性代数的基本理论来处理系统与控制理论中的问题，往往易于把握住问题的核心而得到理论上深刻的结果。
线性系统理论全PPT课件
稳定性是线性系统的一个重要性质，它决定了系统在受到外部干扰后能否恢复到原始状态。如果一个系统是稳定 的，那么当外部干扰消失后，系统将逐渐恢复到原始状态。而不稳定的系统则会持续偏离原始状态。
03
线性系统的数学描述
状态空间模型
01
定义
状态空间模型是一种描述线性动态系统的方法，它通过状态变量和输入
航空航天控制系统的线性化分析
线性化分析
在航空航天控制系统中，由于非线性特性较强，通常需要进行线性化分析以简化系统模 型。通过线性化分析，可以近似描述系统的动态行为，为控制系统设计提供基础。
线性化方法
常用的线性化方法包括泰勒级数展开、状态空间平均法和庞德里亚金方法等。这些方法 可以将非线性系统转化为线性系统，以便于应用线性系统理论进行控制设计。
线性系统理论全ppt课件
• 线性系统理论概述 • 线性系统的基本性质 • 线性系统的数学描述 • 线性系统的分析方法 • 线性系统的设计方法 • 线性系统的应用实例
01
线性系统理论概述
定义与特点
定义
线性系统理论是研究线性系统的 数学分支，主要研究线性系统的 动态行为和性能。
特点
线性系统具有叠加性、时不变性 和因果性等特性，这些特性使得 线性系统理论在控制工程、信号 处理等领域具有广泛的应用。
线性系统的动态性能分析
动态性能指标
描述线性系统动态特性的性能指 标，如超调量、调节时间、振荡
频率等。
状态空间分析法
通过建立和解决线性系统的状态方 程来分析系统的动态性能，可以得 到系统的状态轨迹和响应曲线。
频率域分析法
通过分析线性系统的频率特性来描 述系统的动态性能，可以得到系统 的频率响应曲线和稳定性边界。
线性系统理论ppt课件
第一节 线性关系
数学模型是由描述系统的变量和常量 构成的数学表达式，建立数学模型后，首 先要区分系统是线性还是非线性的。
以前的科学研究主要对象是线性系统， 而今正转向非线性系统，并且未来科学的 本质上是非线性科学
线性与非线性原本就是一对数学关系，用以区 分不同变量之间的两种基本的相互关系。
a11x1+a12x2+a13x3≤b1 a21x1+a22x2+a23x3≤b2
…… 它表示变量x1，x2，x3只能在给定的若干个代数 关系内变化，并且每个变量的变化都影响另 外两个变量的变化。
以上所讲的变量之间的关系都是静态相互 关系，都是用函数和代数方程进行描述。
实际上的动态过程中的诸变量的相互依存关 系要丰富的多。其数学表达式中将出现微分、 差分、积分等描述动态特性的项，反映这些 动态量对各个变量的依存关系。
xn
对于变系统系统，系统的系数为t的函数aij(t),系数矩阵为 A(t)
因此，对于最简单的一维系统就有：
x=ax
对于二维系统，有：
x=a11 x+a12 y y=a21 x+a22 y
以此类推至多维线性系统。
矩阵式描述对象整体特性的数学工具之一，方程给定后，借助代数 方法，通过分析系数矩阵，可以全面的了解系统的动态行为。
∇= a11a22 − a12a21
"鞍点"在三维空间中定义（图中的坐标原点），经过"鞍 点"平行于z轴的平面束代表无穷多个发展方向，每个平 面与曲面相交得到对应的曲线，代表该方向的发展轨迹。 不同的方向有的上升，有的下降。影射汽车市场，诸如 二手车置换的兴旺、汽车金融的产生、弱者被淘汰出局、 汽车出口呈上升态势、自主品牌的崛起、技术创新成企 业竞争王牌……不同的方面将有不同的发展。
线性系统理论04共26页
0L
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新 的 反 馈 阵 ： K I k 0 k1 L k n 1
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状态反馈与极点配置
0
0
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0
(a0 k0)
1 0 M 0 (a1 k1)
x&
1 0
0 0
x
1 1
u
y 2 1 x
设计状态观测器，使其极点为－10，－10。
状态观测器：实现－全维状态观测器
检测系统的能观性：
因为L
c cA
2 2
1 0
满秩，系统能观，可构造观测器。
A
Gc
1 0
0 0
g1 g2
2
1
1 2g1
2g2
g1
g2
f
()
det[ I
(A
Gc)]
det
(1 2g1 2g2
)
2 (2g1 g2 1) g2
g1
g2
状态观测器：实现－全维状态观测器
与期望值比较，得
2g1 g2 1 20
g2 100
因此，G
g1
g
2
60.5 1 0 0
所 以 ： x&ˆ ( A G c ) xˆ b u G y
120 2 0 0
➢ 降维状态观测器：估计不能由输出计算得到的其他状态变量
x & A x B u x R n ， u R r yCx yRm
若系统是完全能观的，C的秩是m，m个完全状态变 量可以直接计算出来，而只需构造一个状态观测器估 计出其他 (n-m)各状态变量。
线性系统理论(第一章)
duC R2 R1R2 R2 uR2 = R2iC = R2C = uC iL + e(t ) dt R1 + R2 R1 + R2 R1 + R2
R2 uR2 = R1 + R2
R1R2 uC R2 i + e(t ) R1 + R2 L R1 + R2
duC dt
和
d i L d t 为变量， 为变量，
duC 1 1 R1 = uC iL + e(t ) dt ( R1 + R2 )C ( R1 + R2 )C (R1 + R2 )C
diL R1 R1R2 R2 uC iL + e(t ) = dt L( R1 + R2 ) L( R1 + R2 ) L( R1 + R2 )
c11 (t ) L c1n (t ) C (t ) = M M cq1 (t ) L cqn (t )
b11 (t ) L b1 p (t ) B (t ) = M M bn1 (t ) L bnp (t )
d11 (t ) L d1 p (t ) D (t ) = M M d q1 (t ) L d qp +
∫
A(t )
C (t )
+ +
y
第一章
若向量函数中 f 为变量
( x,u ,t)
和
g ( x, u , t ) 至少包含一个元
的非线性函数， x1 , L , x n和 u1 ,L, u p的非线性函数，则为非
线性系统。 线性系统。
& x = f ( x, u , t ) y = g ( x, u , t )
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第五章 线性系统的能控性和能观测性
§5-1 引言
§5-2 能控性
D(t)dd1q11((tt)),,......,,dd1qpp((tt))∈ Rqp (输入输出联系的系数阵)
对于线性定常系统， A、B、C、D为常数阵。
•故
x(t)Ax(t)Bu(t) y(t)Cx(t)Du(t)
第七章* 传递函数距阵的状态空间实现
§7-1 实现的基本概念
§7-7 传递函数的最小实现 §7-3 SIMO系统传递函数距阵的最小实现 §7-4 MISO系统传递函数距阵的最小实现 §7-5 *传递函数距阵的Jordan最小实现
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4
➢参考教材：
1．线性系统理论(第二版) 郑大钟，清华大学出版社，2002.10
引入了状态空间法（卡尔曼），提出了能控性和能观测性 的概念（卡尔曼），由“外部研究”深入到“内部研究”；
发展了多变量频域理论，利用计算机进行辅助设计与分析，
等。
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7
第一章 线性连续系统的 状态空间描述
§1-1 系统的状态空间描述
建模实例
建立图示电路的数学模型。
uc
(t)
1 c
i(t)dt
x 1 (t)uc(t),x2 (t)i(t)
及 d xi(t)x i,)
dt
iቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
则 有 x x 1 2 ( (tt) ) 1 0L 1 R C L x x 1 2( (tt) ) 1 0 L u r(t)
状态空间的描述方程
u1 (t ) u p(t)
10
y1(t)g1 x1,...x,n;u1...u ,p;t
yq(t)gq x1,...x,n;u1,...u,p;t
• 对于线性系统，f(·)、g(·)具有线性关系。
线性系统的状态空间描述
x(t)A(t)x(t)B(t)u(t) y(t)C(t)x(t)D(t)u(t)
d(it) Ldtuc(t)R(ti)ur(t)
duc(t) dt
1 i(t) C
di(t) dt
1 Luc
Ri(t) L
1 Lur(t编) 辑ppt
i(t) R ur(t)
L C uc(t)
8
在已知ur(t)的情况下，只要知道 uc(t)和i(t)的变化特性， 则其他变量的变化均可知道。
故uc(t)和i(t)称为“状态变量”。记
2．线性系统理论和设计 仝茂达，中国科技大学出版社，1998.8
3．自动控制原理 吴麒，清华大学出版社
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5
❖ 系统分类
线 性 系 统
时 变 系 统
连 续 系 统
非 线 性 系 统 时不变系统 离散系统
LTI——linear time invariant:
线性时不变（状态空间）系统
❖研究对象 线性系统
u(t)Rp y(t)Rq
外部变量
x(t) d x(t)
dt
f(·)、g(·)——向量函数
状态
y1(t)
y(t)
y q ( t )
定义为完全表征系统时间域行为的一个最小内部变量组。
x1 f1 x1,...,xn;u1,...,up;t
xn fn x1,...,xn编;辑up1pt,...,up;t
线性系统理论
❖ 课程概况
★绪论
➢本课程的性质和作用 ➢教 学 安 排 及 要 求 ➢主 要 教 学 内 容
第一章 线性连续系统的状态空间描述
§1-1 系统的状态空间描述
§1-2 由系统模拟图求状态空间方程
§1-3 化输入—输出描述为状态变量描述
§1-4 传递函数矩阵
§1-5 组合系统的状态编空辑p间pt 描述
6
❖ 课程的主要任务
• 研究线性的状态和运动规律 • 系统分析——系统运动规律 • 综合问题——改变运动规律的可能性和方法 • 理论分支：状态空间法、多变量输入
几何空间、代数空间
❖发展过程
二十世纪50年代中期，经典线性系统理论发展成熟和完备， 并在不少工程技术领域得到了成功的应用。
在50年代后期蓬勃兴起的航天技术的推动下，线性系统理 论开始了从经典阶段到现代阶段的过度。其重要标志有：
x1(t),,xn(t)
y1 (t) yq (t)
x (t)f(x (t)u ,(t)t) ,——状态方程
y(t)g (x (t)u ,(编t辑)pptt,)——输出方程
9
其 中,
x1(t) x(t) ,
xn(t)
u(t)
x(t)Rn 内部变量
u1(
t
)
u p ( t )
,
A(t)aa1n11((tt)),,......,,aa1nnn((tt))∈ Rnn (系统矩阵)
B(t)b b1n11((tt)),,.....,.,bb1npp((tt))∈ Rnp (输入矩阵)
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11
C(t)cc1q11((tt)),,......,,cc1qnn((tt))∈ Rqn (输出矩阵)
❖基本特征 满足叠加原理
LL —( c —1 u 数1 学c 描2 u 述2 ) c 1 L ( u 1 ) c 2 L ( u 2 )可齐
加 次
性 性
u1, u2——任意两个输入变量 c1, c2——任意两个有限常数
可加性 :
齐
次性
:
L (u 1 u 2 ) L (u 1 ) L (u 2 ) L(cu )c编L (辑up)pt
1
第二章 线性连续系统的运动分析
§2-1 线性系统的运动分析
§2-2 eAt的计算方法 §2-3 Jordan规范形
§2-4 模式激励与抑制 §2-5 线性时变系统的运动分析
第三章 线性离散系统
§3-1 离散系统概述 §3-2 线性连续系统的时间离散化 §3-3 离散系统的时域解
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2
第四章 线性系统的稳定性
§5-3 能控标准形(规范形、典范形)
§5-4 能观测性
§5-5 能观测标准形(规范形)
§5-6 能控与能观测典范分解
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3
第六章 线性系统时间域综合问题 §6-1 状态反馈和输出反馈 §6-2 特征值（极点）配置 §6-3 镇定问题 §6-4 状态观测器 §6-5 离散系统的极点配置和状态观测器