高中数学青年教师基本功考核笔试试题(含答案)

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高中数学基本功大赛试题

数学试题一．填空题（共14小题，每题2分，共28分） 1.《普通高中数学课程标准（试验）》简称新课标中提出的三维目标是指：知识与技能、过程与方法、。

2.数学教育要使学生掌握数学的基本知识、、基本思想。

3.高中数学课程要求把数学探究、的思想以不同的形式渗透在各个模块和专题内容之中。

4.数学探究即数学探究性课题学习，是指学生围绕某个数学问题，的过程。

5.《高考说明》对数学基本能力的考查主要包括：空间想象、抽象概括、推理论证、运算求解、这五个能力。

6.学生的数学学习活动不应只限于接受、记忆、模仿和练习，高中数学课程还应倡导_ _、实践、___________、阅读自学等学习数学的方式。

7.数学是研究_________和________的科学，是刻画自然规律和社会规律的科学语言和有效工具。

8.设复数()2()2z a a ai a R =-+∈为纯虚数,则a = ．9.函数3213()2132f x x x x =-+-的单调增区间为。

10.已知y x ,满足条件⎪⎩⎪⎨⎧≤+≥≥12430y x x y x ，则132+++x y x 的取值范围是_______________．11.已知P 和Q 分别是函数1ln 2y x =和函数2x y e =上关于直线y x =对称的两点，则线段 PQ 长度的最小值为。

12.若不等式2)2(92-+≤-x k x 的解集为区间],[b a ，且2=-a b ，则=k 13. 设2=+b a ，0>b ，则当a = 时，ba a ||||21+取得最小值。

14.函数122-+=x x x y 的值域是二．解答题（共6题，每题10分，共60分）15.在等差数列{a n }中，已知,p q S q S p ==（p ≠q ），求p q S +的值．16.如图，正方形ABCD 的边长为4，PD ⊥平面ABCD ，PD ＝6，M 、N 分别是PB 、AB 的中点。

201410教师基本功比赛试题(笔试)及答案

2014年高中数学教师基本功比赛试题（笔试）用时：120分钟满分：140分一、填空题：本大题共12小题，每小题5分，共计60分．把答案填写在答题纸相应位置上． 1．奇函数()f x 的定义域为R ．若(2)f x +为偶函数，且(1)1f =，则(7)(8)f f += ▲ ．1- 大纲文改编2．设a ，b ∈R ，222=+b a ，则ab 的取值范围是 ▲ ．]1,1[-随意编的题222||a b ab +≥ 3．已知双曲线C 的离心率为2，焦点为1F ，2F ，点A 在C 上，若12||2||F A F A =，则12cos AF F ∠= ▲ ．78大纲理改编 4．若以直角坐标系的原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，则线段1(10)y x x =+-≤≤的极坐标方程为 ▲ ．1()sin cos 2πρθπθθ=≤≤-江西理改编5．已知||1a >，变量x ，y 满足约束条件,1,x y a x y +≥⎧⎨-≤-⎩且z x ay =-的最小值为5-，则a =▲ ．3-全Ⅰ文改编6．三棱锥P ABC -中，D ，E 为PB 的两个三等分点，F 为PC 的中点，记三棱锥E ADF -的体积为1V ，三棱锥P ABC -的体积为2V ，则12V V = ▲ ．16山东理改编7．正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为3，则该球的表面积为 ▲ ．16π大纲理改编8．若函数()cos 2sin f x x a x =+在区间(,)62ππ是减函数，则a 的取值范围是 ▲ ． (,2]-∞大纲理9．在ABC ∆中，a ，b ，c 分别表示角A ，B ，C 所对边的长．若2a =，且(2)(s i n s i n )()b A B c b C +-=-，则ABC ∆面积的最大值为 ▲．理10．已知2(),0,()1,0.x a x f x x a x x ⎧+≤⎪=⎨++>⎪⎩若)0(f 是)(x f 的最小值，则a 的取值范围为 ▲ ．[1,0]-上海理改编11．菱形ABCD 的边长为2，120BAD ∠=︒，点E ，F 分别在边BC ，DC 上，3BC BE =，DC DF λ=．若16AE AF ⋅=，则λ的值为 ▲ ．4天津文改编 12．已知F 为抛物线22y x =的焦点，点A ，B 在该抛物线上，1OA OB =-（O 为坐标原点），则ABO ∆与AFO ∆面积之和的最小值是 ▲．二、解答题：本大题共5小题，共计90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．13．（本小题满分16分）已知函数()f x =3231ax x -+，若()f x 存在唯一的零点0x ，且00x >，求实数a 的取值范围．全Ⅰ文理小题解：当0a =时，()f x =231x -+，由图象易知不合题意． ……2分当0a ≠时，2'()36f x ax x =-23()ax x a=-． ……4分当0a >时，()f x 在区间(,0)-∞上是增函数，且(1)20f a -=--<，(0)10f =>，()f x 在(1,0)-存在零点，不合题意． ……8分当0a <时，()f x 在(0,)+∞上是减函数，(0)10f =>，(1)20f a =-<，故()f x 在(0,)+∞上存在唯一的零点0x ； ……12分又()f x 在2(,)a -∞上是减函数，在2(,0)a上是增函数，为使()f x 在(,0)-∞上无零点，令2()0f a >得2281210a a-+>，解得2a <-．综上可知，满足题意的实数a 的取值范围是(,2)-∞-． ……16分解2：考察3()g x ax =，2()31h x x =-两个函数图象，当0a ≥时，由图象可知存在00x <使00()()g x h x =，不合题意；当0a <时，由图象可知存在00x >使00()()g x h x =，此时只需当0x <时，3231ax x >-，即2331(0)x a x x-<<，可得2a <-．或令1(0)t t x=<，应有33(0)a t t t <-+<，可得2a <-．解3：因0x =不是原方程的解，可将原方程变为2331x a x -=，存在唯一的解0x ，且00x >，由图象可得2a <-．或令1(0)t t x=≠，应有33t t a -+=，存在唯一的解0x ，且00x >，可得2a <-． 14．（本小题满分16分）如图，为保护河上古桥OA ，规划建一座新桥BC ，同时设立一个圆形保护区．规划要求：新桥BC 与河岸AB 垂直；保护区的边界为圆心M 在线段OA 上并与BC 相切的圆，且古桥两端O 和A 到该圆上任意一点的距离均不少于80m ．经测量，点A 位于点O 正北方向60m 处，点C 位于点O 正东方向170m 处（OC 为河岸），34tan =∠BCO ．（1）求新桥BC 的长；（2）当OM 多长时，圆形保护区的面积最大？解法一：江苏高考题（1）如图，以O 为坐标原点，OC 所在直线为x 轴，建立平面直角坐标系．由条件知)60,0(A ，)0,170(C ，直线BC 的斜率34tan -=∠-=BCO k BC．又因为BC AB ⊥，所以直线AB 的斜率43=AB k ．设点B 的坐标为),(b a ，则341700-=--=a b k BC ，43060=--=a b k AB ．解得80=a ，120=b ．所以150)1200()80170(22=-+-=BC ．因此新桥BC 的长为150m ．（2）设保护区的边界圆M 的半径为r m ，d OM =m )600(≤≤d ．由条件知，直线BC 的方程为)170(34--=x y ，即068034=-+y x ．由于圆M 与直线BC 相切，故点),0(d M 到直线BC 的距离是r ，即5368034|6803|22dd r -=+-=．因为O 和A 到圆M 上任意一点的距离均不少于80m ，所以⎩⎨⎧≥--≥-,80)60(,80d r d r 即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥---≥--,80)60(5680,8053680d d d d解得3510≤≤d ．故当10=d 时，53680dr -=最大，即圆面积最大．所以当OM =10 m 时，圆形保护区的面积最大．解法二：（1）如图，廷长OA ，CB 交于点F ．因为34tan =∠FCO ，所以54sin =∠FCO ，53cos =∠FCO ．因为OA =60，OC =170，所以3680tan =∠=FCO OC OF ，3850cos =∠=FCO OC CF ，从而3500=-=OA OF AF ．因为OC OA ⊥，所以54sin cos =∠=∠FCO AFB ．又因为BC AB ⊥，所以3400cos =∠=AFB AF BF ，从而150=-=BF CF BC ．因此新桥BC 的长为150m ．（2）设保护区的边界圆M 与BC 的切点为D ，连结MD ，则BC MD ⊥，且MD 是圆M 的半径，并设MD =r m ，OM =d m )600(≤≤d ．因为OC OA ⊥，所以FCO CFO ∠=∠cos sin ．故由（1）知533sin =-=-==∠d r OM OF MD MF MD CFO ，所以53680dr -=．因为O 和A 到圆M 上任意一点的距离均不少于80m ，所以⎩⎨⎧≥--≥-,80)60(,80d r d r 即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥---≥--,80)60(5680,8053680d d d d解得3510≤≤d ．故当10=d 时，53680dr -=最大，即圆面积最大．所以当OM =10 m 时，圆形保护区的面积最大．15．（本小题满分16分）已知甲盒中仅有1个球且为红球，乙盒中有m 个红球和n 个篮球()3,3m n ≥≥，从乙盒中随机抽取()1,2i i =个球放入甲盒中．浙江理小题（1）放入i 个球后，从甲盒中取1个球是红球的概率记为()1,2i p i =，比较1p ，2p 的大小；（2）放入i 个球后，甲盒中含有红球的个数记为i ξ，求i ξ的分布列及数学期望(1,2)i =．解：（1）p 1＝m m ＋n ×22＋n m ＋n ×12＝2m ＋n 2（m ＋n ）， ……2分p 2＝C 2m C 2m ＋n ×33＋112m n m nC C C+×23＋C 2nC 2m ＋n ×13＝33()m n m n ++， ……4分则p 1－p 2＝06()nm n >+，于是12p p >． ……6分（2）1ξ的分布列为 ……9分（第18题）2ξ的分布列为 ……12分E (ξ1)＝1×n m ＋n ＋2×mm ＋n ＝2m ＋n m ＋n， ……14分E (ξ2)＝1×C 2n C 2m ＋n ＋2×C 1m C 1n C 2m ＋n ＋3×C 2mC 2m ＋n ＝3m n m n++． ……16分16．（本小题满分16分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足21234n n S na n n +=--，n ∈N *，且315S =．（1）求1S ，2S 的值及n S 的表达式；广东文理合并改编（2）求证：对一切正整数n ，有()()()112211111113n n a a a a a a +++<---．解：（1）由21234n n S na n n +=--得212()34n n n S n S S n n +=---，整理得1213422n n n n S S n +++=+． ……2分由315S =可得28S =，进而得13S =． ……4分猜想一般结论为(2)n S n n =+(n ∈N *)． ……6分利用数学归纳法可以证明：①当1n =时，13S =1(12)=⨯+，等式成立．②假设当n k =时等式成立，即(2)k S k k =+，那么，当1n k =+时，有212134(2)43(1)[(1)2]22k k k S k k k k k k k +++=++=++=+++．这就是说当1n k =+时，等式也成立．由①②两步可知，对任意n ∈N *总有(2)n S n n =+． ……10分或：204153323-+=+=a a S a ，73=a ．于是72822122-+=+==a a S a S ，52=a ．31=S ．猜想21n a n =+(n ∈N *)．由21234n n S na n n +=--，得)1(4)1(3)1(221-----=-n n a n S n n （2≥n ），相减得16)12(21++-=+n a n na n n （2≥n ）．再利用数学归纳法证明：21n a n =+(n ∈N *)．31=a ，52=a ，成立．假设当)2(≥=k k n 时成立，…也可以验证16)12(21++-=+n a n na n n 对n ∈N *成立，假设当∈=k k n (N *)时成立，…（2）由（1）易得21n a n =+(n ∈N *)． ……12分k ∈N *，22242(33)(1)0k k k k k k k k +-+=-=-≥，224233k k k k ∴+≥+，221111111()(1)2(21)314233k k a a k k k k k k k k ∴==≤=--++++． ……14分∴1122111(1)(1)(1)n n a a a a a a ++⋅⋅⋅+---1111111111()(1)312231313n n n ≤-+-+⋅⋅⋅+-=-<++． ∴原不等式成立． ……16分或：3161)1(111<=-a a ．当2≥n 时，对k ∈N *，因为)121121(21)12)(12(1)12(21)1(1+--=+-<+=-k k k k k k a a k k ，所以)1(1)1(1)1(12211-++-+-n n a a a a a a )121121(21)7151(21)5131(2161+--++-+-+<n n 31)12(2131)12131(2161<+-=+-+=n n ． 17．（本小题满分16分）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：2224x y +=．若点A 在椭圆C 上，点B 在直线2y =上，且OA OB ⊥．北京文理揉合并改编（1）求线段AB 长度的最小值；（2）试判断是否存在常数λ使得||||||OA OB AB λ=成立，并证明你的结论．解：设点A ，B 的坐标分别为00(,)x y ，(,2)t ，其中00x ≠．因为OA OB ⊥，所以0OA OB ⋅=uu r uu u r ，即0020tx y +=，解得002yt x =-． ……2分（1）因为220024x y +=，所以22200||()(2)AB x t y =-+-=2200002()(2)y x y x ++-=2220002044y x y x +++ =2220002042(4)42x x x x --+++=2200284(04)2x x x ++<≤． ……6分因为22002084(04)2x x x +≥<≤，且当204x =时等号成立，所以2||8AB ≥，故线段AB长度的最小值为 ……8分（2）当0x t =时，220t y -=，代入椭圆C的方程得t =，故直线AB的方程为x =O 到直线AB的距离d = ……10分当0x t ≠时，直线AB 的方程为0022()y y x t x t--=--，即0000(2)()20y x x t y x ty ---+-=，点O 到直线AB的距离d =． ……12分又220024x y +=，02y t x =-，故d ==22168|4|20204020=+++xx x x x ．综上，点O 到直线AB的距离d =．因为在Rt AOB ∆中，||||||AB d OB OA =，所以存在常数2=λ使得||||||AB OB OA λ=成立． ……16分。

2016年佛山市普通高中数学青年教师基本功试题参考答案(定稿)

2016年佛山市普通高中数学青年教师基本功解题能力展示试题参考答案13． 1- 14．19 15．12π16．三、解答题：本大题共6小题，满分70分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤．17. 解：(Ⅰ)因为22222112322cos 2224a c ac ac aca cb B ac ac ac +--+-==≥= 所以3cos 4B ≥……………………4分 (Ⅱ)因为()()()cos cos cos cos 2sin sin 1A C B A C A C A C -+=--+==，所以1sin sin 2A C =……………………6分又由22b ac =，得211sin sin sin 24B AC ==，又()0,B π∈，且3cos 04B ≥>,知B 为锐角故1sin 2B =，得6B π= ……………………10分 18. 解：（Ⅰ）依题意可知，该地区吸烟者人数占总人数的18． ……………………2分所以抽取的3个人中至少1人吸烟的概率为0033171()()88p C =- ……………………4分169512=． ……………………5分（Ⅱ）由频率分布直方图可知，吸烟者烟草消费支出的平均数为0.150.10.250.30.350.30.450.10.550.10.650.1⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯0.36=（万元）． ……………………8分又该地区吸烟者人数为11008⨯万， ……………………9分所以该地区年均烟草消费税为41100100.40.36180008⨯⨯⨯⨯=（万元）．……………………11分又由于该地区因吸烟导致的疾病治疗等各种费用约为18800万元，它超过了当地烟草消费税，所以当地的烟草消费税不足以支付当地居民因吸烟导致的疾病治疗等各种费用．……………………12分19.解：（1）证明：在直角PBC ∆中，4=PC ，3=BC ，3:5:=DC PD ．∴5=PB ，25=PD ，23=DC ． ……………………………………1分又︒=∠=∠90C PAD ，P P ∠=∠． ∴PAD ∆∽∆PCB ，即BCADPB PD PC PA ==． ∴5()4225PD PC PA PB ⋅⋅===，3=-=PA PB AB ，5()33252PD BC AD PB ⋅⋅===．而∆SAB 中，2==PA SA ，13=SB ． ……………………………………3分∴222SB AB SA =+，即AB SA ⊥． ……………………………………4分由翻折不变性知，AD SA ⊥，又A AD AB = ，∴⊥SA 平面ABCD ． ……………………………………6分（2）解法1（综合法）：在图2中，延长BA 、DC 相交于点P ．连接SP ，取SP 中点M ，连接MD MA 、，如图． ……………………………………6分由翻折不变性知，SA PA =，SD PD =． ∴SP MA ⊥，SP MD ⊥．∴AMD ∠为所求二面角的平面角． ……………………………………8分又AD SA ⊥，PB AD ⊥，A PB SA = ， ∴⊥AD 平面SPB ，又⊂MA 平面SPB ，∴MA AD ⊥． ……………………………………10分在直角SPA ∆中，2==SA PA ，M 为SP 中点． ∴22=SP ，2=MA ．在SPD ∆中，由（1）知25==SD PD ，M 为SP 中点．∴2MD ==． ∴cos MA AMP MD ∠==即平面SAB 与平面SCD 所成二面角的余弦值为17342． ……………………………………12分 BDA SPM（注：若不利用MA AD ⊥这一结论，也可以利用余弦定理求出AMP ∠cos ．）解法2（坐标法）：以A 为坐标原点建立如图的空间直角坐标系． ………………………………6分由（1）知，2=PA ，3=AB ，23=AD ，2=SA ． ∴(0,0,0)A 、)0,0,23(D 、)2,0,0(S 、126(,,0)55C ．∴3(,0,2)2SD =- ，126(,,2)55SC =- ， (8)∵AD SA ⊥，PB AD ⊥，A PB SA = ，∴⊥AD 平面SAB ，∴平面SAB 的法向量为3(,0,0)2AD = ． …………9分设平面SCD 的法向量为(,,)n x y z =，则有n SD n SC⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩ ，即32021262055x z x y z ⎧-=⎪⎪⎨⎪+-=⎪⎩，令1z =得，43x =，1y =-． ∴4(,1,1)3n =- ． ………………10分设平面SAB 与平面SCD 所成二面角的平面角为θ，则cos ||||AD n AD n θ⋅===⋅ ． ………………11分即平面SAB 与平面SCD 所成二面角的余弦值为17342． ………………12分 20. 【解析】(Ⅰ)方法一：当2n ≥时，()21(1)n n n S n S S n n -=---，整理得()2211(1)n n nS n S n n --=+-，即()1111n n n S nS nn -+-=- ……………………………………………2分所以数列()1n n S n +⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为1,公差为1的等差数列. ……………………………………………3分所以()1nn S n n +=，即21n n S n =+ ……………………………………………4分代入2(1)n n S n a n n =--中可得()111n a n n =-+. ……………………………………………5分方法二：易知知:1231511,,2612a a a ===,猜想()111n a n n =-+,…………………………………3分下面用数学归纳法证明:①当1n =时，()1112111n a ==-⨯+，猜想成立； ……………………………………………5分 ②假设()*n k k =∈N,猜想也成立,即()111kak k =-+,则当1n k =+时,有()()()22111111k k k k k a S S k a k k k a k k +++=-=+-+-+- 整理得()122k k k a ka ++=+，从而()()1112212211k k k a ka k k k k k +⎛⎫+=+=-+=+- ⎪ ⎪++⎝⎭，于是()()11112k a k k +=-++ 即1n k =+时猜想也成立.所以对于任意的正整数n ,均有()111n a n n =-+. ……………………………………………7分(Ⅱ)由(Ⅰ)得21n n S n =+,()221n n b n n +=+, …………………………………………8分当2k ≥时，()2221121121(1)(1)(1)1k k k k k b k k k k k k k k k k k k +++⎛⎫==⋅≤⋅==- ⎪+++++⎝⎭………9分当1=n 时,13522T =<成立； …………………………………………………11分当2n ≥时,所以31111115252223341212n T n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫<+-+-++-=-< ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 综上所述,命题得证. ………………………………………………………………………………12分方法三、（1）由1n n n S S a +-=求得1(2)2n n n a na ++=+，即1(2)(1)(1)n n n a n a ++-=-，令1n n b a =-，则1(2)n n n c nc ++=，即12n n c nc n +=+，所以3241123112342112234561(1)(1)n n n c c c c c n n c c c c c n n n n n n ---⨯=⋅⋅=⋅⋅⋅⋅==+++ ，而11112c a =-=-，1(1)n c n n =-+，所以11(1)n a n n =-+. （2）当2n ≥时，211n nn n +<+-， 2222121111(1)11(1)1n n n n b n n n n n n n n n n++∴==⋅<⋅==-++---，当1n =时，不等式成立；当2n ≥时，3111113151112223122n T n n n n<+-+-++-=+-=-- ，所以，当*n N ∈时，不等式成立.21. 解：函数f (x )的定义域为(0，+∞)． …………………………………………………………1分（Ⅰ）因为f´(x )=e x -t 1x-， …………………………………………………………2分因为x =1是f (x )的极值点，所以f´(1)=e 1-t －1=0，所以t =1． ………………………3分所以f´(x )=e x -11x-，由12''()0x f x e x --=+>，所以'()f x 在区间(0，+∞)上单调递增，所以x >1时，f´(x )>0；0<x <1时，f´(x )<0．此时，f (x )的减区间为(0，1)，增区间为(1，+∞)． …………………………………………5分（Ⅱ）当2t ≤时，2()e ln e ln x t x f x x x --=-≥-， ………………………6分设2()e ln x g x x -=-，则21'()e x g x x-=-，因为22''()e 0x g x x --=+>，所以'()g x 在(0,)+∞上单调递增， …………………………………………7分因为1'(1)10e g =-<，1'(2)102g =->， …………………………………………8分所以存在0(1,2)x ∈使得0'()0g x =，所以在0(0,)x 上'()0g x <，在0(,)x +∞上'()0g x >，所以()g x 在0(0,)x 上递减，在0(,)x +∞上递增，…………………………………………10分所以0()()g x g x ≥，因为0'()0g x =，即0201e x x -=，所以00ln 2x x =-，所以0200001()ln 2x g x e x x x -=-=+-…………………………………………11分因为0(1,2)x ∈，所以0001()2220g x x x =+->-=，所以()0f x >. …………………………………………12分22.题1统一结论：①定理1过有心二次曲线外一点P 引任一直线交曲线与,C D 两点，点Q 在此直线上，且满足=CP QD PD CQ ，则Q 的轨迹为点P 对曲线的切点弦AB .（如图6）反之：过有心二次曲线外一点P 引任一直线交曲线与,C D 两点，交切点弦于点Q ，则⎩（Ⅱ）方法一：设点Q 、A 、B 的坐标分别为1122(,),(,),(,)x y x y x y .由题设知,,,AP PB AQ QB均不为零，记AP AQ PB QB λ==,则0λ>且1λ≠又A ，P ，B ，Q 四点共线，从而,AP PB AQ QB λλ=-=于是 1241x x λλ-=-， 1211y y λλ-=-121x x x λλ+=+， 121y y y λλ+=+从而 22212241x x x λλ-=-， ① 2221221y y y λλ-=-， ② 又点A 、B 在椭圆C 上，即221124x y +=……………③ 222224x y +=……………④（1）+（2）×2并结合（3），（4）得424x y += 即点(,)Q x y 总在定直线220x y +-=上方法二：设点1122(,),(,),(,)Q x y A x y B x y ，由题设，,,,PA PB AQ QB均不为零。

2019年佛山市普通高中数学青年教师基本功试题参考答案(定稿)

2019年佛山市普通高中数学青年教师基本功解题能力展示试题参考答案13．79−14．31115． 16．4π 三、解答题：本大题共6小题，满分70分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 【解析】(Ⅰ)由1122b a a =+，可得211224a b a =−=.由2212a b b =，可得222136a b b ==. 因为n a 、n b 、1n a +成等差数列，所以12n n n b a a +=+…①.………………………………………2分因为n b 、1n a +、1n b +成等比数列，所以211n n n a b b ++=，因为数列{}n a 、{}n b 的每一项都是正数，所以1n a +=.…………………………………3分于是当2n ≥时，n a =.将②、③代入①式，可得，因此数列是首项为4，公差为2的等差数列，()122n d n −=+，于是()241n b n =+. ………………………………………………4分由③式，可得当2n ≥时，()41n a n n =+. ………………………………5分当1n =时，18a =，满足该式子，所以对一切正整数n ，都有()41n a n n =+.………………………6分（Ⅱ）由（Ⅱ）可知，所证明的不等式为211112723474417n n ++++<+−.………………………8分方法一:首先证明2121144171n n n n ⎛⎫<− ⎪+−+⎝⎭（2n ≥）. 因为22222121112778824417144177n n n n n n n n n n n n⎛⎫<−⇔<⇔+<+− ⎪+−++−+⎝⎭ ()()220120n n n n ⇔+−>⇔−+>, 所以当2n ≥时，21111211111212723441772317727n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+++<+−++−<+⨯= ⎪ ⎪⎢⎥+−+⎝⎭⎝⎭⎣⎦. …10分当1n =时，1277<.…………………………………………………………………11分综上所述，对一切正整数n ，有7211...111111321<−++−+−+−n a a a a …………………………12分方法二:()()22111111441443212342123n n n n n n n n ⎛⎫<==− ⎪+−+−−+−+⎝⎭.当3n ≥时，2111723441n n ++++−zF1111111111172345971123212123n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫<++−+−++−+− ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥−+−+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦111111112723457714147⎛⎫<+++<++= ⎪⎝⎭. …………………………………………………10分当1n =时，1277<；当2n =时，11112723777+<+=. ………………………………………11分综上所述，对一切正整数n ，有7211...111111321<−++−+−+−n a a a a …………………………12分方法三:()()2211111144141212122121n n n n n n n ⎛⎫<==− ⎪+−−−+−+⎝⎭. 当4n ≥时,2111723441n n ++++−1111111111117234727991123212121n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫<+++−+−++−+− ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥−−−+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦1111272347147<+++<. …………………………………………………10分当1n =时，1277<；当2n =时，11112723777+<+=；当3n =时，111111272347714147++<++=. ……11分综上所述，对一切正整数n ，有7211...111111321<−++−+−+−n a a a a ……………………………12分 18. 【解析】(Ⅰ)因为//BC AD ,BC ⊄平面ADE ,AD ⊂平面ADE ,所以//BC 平面ADE , 同理//CF 平面ADE , 又BCCF C =,所以平面//BCF 平面ADE ,又BF ⊂平面BCF ,所以//BF 平面ADE . …………………………………………4分 (Ⅱ)以A 为原点,建立空间直角坐标系A xyz −如图所示, 则()()()()()0,0,0,1,0,0,1,2,0,0,1,0,0,0,2A B C D E ,设()0CF h h =>,则()1,2,F h ,()1,1,0BD =−,()1,0,2BE =−,(1,2,2CE =−−设平面BDE 的法向量为(),,x y z =n ,则00BD BE ⎧⋅=⎨⋅=⎩n n ,即020x y x z −+=⎧⎨−+=⎩,解得22x zy z=⎧⎨=⎩,令1z =,得()2,2,1=n ,设直线CE 与平面BDE 所成角为θ,则sin θ=4cos ,9CE CE CE ⋅<>==nn n ,所以直线CE 与平面BDE 所成角的正弦值为49. ……………………9分(Ⅲ)设(),,x y z =m 为平面BDF 的法向量,则00BD BF ⎧⋅=⎨⋅=⎩m m ,即020x y y hz −+=⎧⎨+=⎩,解得2x yy z h =⎧⎪⎨=−⎪⎩,令y h =,得(),,2h h =−m ,依题意,1cos ,3⋅===⨯m n m n m n,解得87h =.所以线段CF 的长为87. …………………………………………12分 19. 解：（Ⅰ）由题意得222212.a c a abc =⎧⎪⎪=⎨⎪⎪=+⎩，，解得b =所以椭圆C 的方程为22143x y +=． ……………………………5分（Ⅱ）设112233(,),(,),(,)A x y B x y Q x y ．因为点P 在直线AO 上且满足||3||PO OA =，所以11(3,3)P x y ．因为,,B Q P 三点共线，所以BP BQ λ=．所以12123232(3,3)(,)x x y y x x y y λ−−=−−，123212323(),3().x x x x y y y y λλ−=−⎧⎨−=−⎩解得31231231,31.x x x y y y λλλλλλ−⎧=+⎪⎪⎨−⎪=+⎪⎩ 因为点Q 在椭圆C 上，所以2233143x y +=．所以2212123131()()143x x y y λλλλλλ−−+++=．即22222112212122296(1)()()()()1434343x y x y x x y y λλλλλ−−+++−+=1，因为,A B 在椭圆C 上，所以2211143x y +=，2222143x y +=．因为直线,OA OB 的斜率之积为34−，所以121234y y x x ⋅=−，即1212043x x y y +=．所以2291()1λλλ−+=，解得5λ=．所以||||5||BP BQ λ==． ……………………………12分20. 【解析】(Ⅰ)方法1:设方案一中每组的化验次数为X ,则X 的取值为1,6．………………………1分所以()510.990.951P X ===,()5610.990.049P X ==−=, ……………………………………2分所以X 的分布列为所以1EX =⨯分故方案一的化验总次数的期望为:1111 1.24513.695EX ⨯=⨯=次． ………………………………4分设方案二中每组的化验次数为Y ,则Y 的取值为1,12,所以()1110.990.895P Y ===,()111210.990.105P Y ==−=,……………………………………5分所以Y 的分布列为所以1EY =⨯分故方案二的化验总次数的期望为:55 2.15510.775EX ⨯=⨯=次． …………………………………7分因13.69510.775>,所以方案二工作量更少．……………………………………………………………8分方法2:也可设方案一中每个人的化验次数为X ,则X 的取值为15,65．方案二中每个人的化验次数为Y ,则Y 的取值为111,1211．同方法一可计算得0.249EX =,0.196EY =,因EX EY >,所以方案二工作量更少.(Ⅱ)设事件A :血检呈阳性；事件B :患疾病．…………………………………………………………9分则由题意有()0.01P A =,()0.004P B =,()0.99P A B =,…………………………………………10分由条件概率公式()()()P AB P A B P B =,得()()()0.0040.99P AB P B P A B ==⨯, ………………11分故()()()0.0040.990.3960.01P AB P B A P A ⨯===,所以血检呈阳性的人确实患病的概率为39.6%.…12分21. 【解析】（I ）当0a =时，()sin cos f x x x x =+，[,]x ππ∈−.'()sin cos sin cos f x x x x x x x =+−=.当x 在区间[,]ππ−上变化时，'()f x ，()f x 的变化如下表所以()f x 的单调增区间为(,)2ππ−−，(0,)2π；()f x 的单调减区间为(,0)2π−， (,)2ππ.……………………………………………………………………………4分（II ）任取[,]x ππ∈−.2211()()sin()cos()()sin cos ()22f x x x x a x x x x ax f x −=−−+−+−=++=，所以()f x 是偶函数.'()cos (cos )f x ax x x x a x =+=+.当1a ≥时，cos 0a x +≥在[0,)π上恒成立，所以[0,)x π∈时，'()0f x ≥. 所以()f x 在[0,]π上单调递增.又因为(0)1f =，所以()f x 在[0,]π上有0个零点. 又因为()f x 是偶函数，所以()f x 在[,]ππ−上有0个零点. 当01a <<时，令'()0f x =，得cos x a =−. 由10a −<−<可知存在唯一0(,)2x ππ∈使得0cos x a =−.所以当0[0,)x x ∈时，'()0f x ≥，()f x 单调递增；当0(,)x x π∈时，'()0f x <，()f x 单调递减. 因为(0)1f =，0()1f x >，21()12f a ππ=−. ①当21102a π−>，即221a π<<时，()f x 在[0,]π上有0个零点. 由()f x 是偶函数知()f x 在[,]ππ−上有0个零点. ②当21102a π−≤，即220a π<≤时，()f x 在[0,]π上有1个零点. 由()f x 是偶函数知()f x 在[,]ππ−上有2个零点. 综上，当220a π<≤时，()f x 有2个零点；当22a π>时，()f x 有0个零点.………………………………………………………………………………………12分22.写出来，谈的有想法就给分，采取加分原则.。

高中数学教师应聘考核试题(附答案解析).doc

高中应聘考核试题第I 卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1・若复数（/—3Q + 2） + （Q -1）7是纯虚数，则实数Q 的值为（）C.充分而不必要条件D.既不充分也不必要条件3. 甲、乙、丙3人分配到7个实验室准备实验，若每个实验室最多分配2人,则不同分配方案共有（）A. 336B. 306C. 258D. 2964. 执行右边的程序框图，若P = 0.8,则输出的“二（）力.3 5.4 C.5 D.62.“兀>1”是“丄vl”的（)A.充要条件B.必要而不充分条件 A A5.2 C.1 或2D.-\5.函数尸=型（0<^< 1）的图象的大致形状是（）1^16.将函数y=sin（2x+（p）（0<（p<7u）的图象沿x轴向右平移三个单位后，得到的图象关8丁丁轴对称，则卩的一个可能的值为（）D.7若卜+日的展开式中前三项的系数成等差数列，则展开式X项的系数为8.给出下列命题:① 函数/任）=绎沖的定义域是（-3,1 ）;Vl-2r② 在区间（0,1）中随机地取出两个数，则两数之和小于1的概率是丄“2③ 如果数据X1、X2、…、x n 的平均值为X,方差为S 2，则3X I +5、3X2+5、…、3Xn+5的方差为9S 2；④ 直线ax —y +2a = Q 与圆x 2 +y 2= 9相交；其中真命题个数是（）A. 1B. 2 C ・ 3D ・ 49. 已知点M 是AABC 的重心，若A=60°f AB AC = 3f 则|而|的最小值为A. V3B. 41C.少D. 2310. 数列｛%｝满足q=2, %=仏二1,其前n 项积为7；则瞌4=（）% +1 _ A.- B. —丄C ・ 6D ・一66 611. 若抛物线y 2=2x 上两点A （xi, yi ）、B （X2, yi ）关于直线y 二x+b 对称，且yiy2=-l,则实数b 的值为（）（A ）— （B ）— （C ）— （D ）—2 2 2 212. 设奇函数/⑴在［T,l ］上是增函数，且_/（-1）=-1,当兀［—1,1］时，-2at+\对所有的炸［一1,1］恒成立，则/的取值范围是（・）A. &2 或/W —2 或 f=0 B ・ &2 或/W —2B. 7C. 14D. 28C . f>2 或 tv —2 或 r=0 D. —2EW2第II卷二•填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷中的指定位置）13. __________________________________________________ 如下左图所示，曲线y=x2-l及x轴围成图形的面积S为___________________________ ・14. 如上右图，己知四棱锥的底面是边长为Q 的正方形，顶点在底面的射影是底面的中心，侧棱长为迈7则它的外接球的半径为 _________x>0 °15•设变量x,丿满足约束条件：2兀+川3则"十+尸的最大值为 _____________ .x + 2y>316. 对于数列｛如｝,定义数列｛a n+-a n ｝为数列｛如｝的“差数列”,若Q 】=2, ｛如的“差数列”的通项公式为2",则数列⑺”｝的前〃项和S”= ________ .三、解答题：（本大题共5小题，共60分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.请将答题的过程写在答题卷中指定的位置）• • •17. （本小题满分12分）在厶ABC 中，角4，B,C 的对边分别为a,b ，c ,且方vc, V^7 = 2bsin/ • （ I ）求角B 的大小；（II ）若a = 2, b = * ,求c 边的长和△MC 的面积y \ O亍-\18.（木小题满分12分）某分公司有甲、乙、丙三个项目向总公司中报，总公司有I、II、III三个部门进行评估审批，已知这三个部门的审批通过率分别为丄、22 2兰、兰.只要有两个部门通过就能立项，立项的每个项目能获得总公司100万的3 3投资.⑴求甲项目能立项的概率；（2）设该分公司这次申报的三个项目获得的总投资额为X,求X的概率分布列及数学期望.19.（本小题满分12分）如图，在棱长为1的正方体ABCD- A1B1C1D1中，点E 是棱AB上的动点.（I ）求证：DA】丄ED［；（II）若直线DA|与平面CED］成角为45。

2023年下半年教师资格证考试《高中数学》题(含答案)

2023年下半年教师资格证考试《高中数学》题（含答案）一、单项选择题。

本大题共8小题，每小题5分，共40分。

1极限的值是（）。

A、-1B、0C、1D、22在平面直角坐标系中，圆围成的面积可以用定积分表示为（）。

A、B、C、D、3平面x=2与双曲面的交线是（）。

A、两条直线B、椭圆C、抛物线D、双曲线4已知向量a=(1,2,1)，b=(t,3,0)，c=(2,t,1)线性相关，则t的取值是（）。

A、-3或-1B、-3或1C、-1或3D、1或35矩阵是可逆矩阵，E是二阶单位矩阵，则下列叙述不正确的是（）。

A、行列式B、a=c=0C、向量与向量线性无关D、存在N，使得MN=E6若同一样本空间中的随机事件A，B满足P(A)+P(B)=1.2，则下列叙述一定正确的是（）。

A、P(A)=P(B)=0.6B、A与B相互独立C、D、A与B互不相容7贯穿普通高中数学课程内容的四条主线之一是（）。

A、三角函数B、几何与代数C、频率与概率D、应用统计8南北朝科学家祖暅在实践基础上提出了体积计算原理“幂势既同，则积不容异”，这一原理也常常被称为祖暅原理，其中“幂”和“势”的含义分别是（）。

A、乘方、高B、乘方、宽C、面积、高D、面积、宽二、简答题。

本大题共5小题，每小题7分，共35分。

9已知实系齐次线性方程组有无穷多个解。

根据以上材料回答问题：（1）求k的值。

（3分）（2）求此时方程组的通解。

（4分）10在空间直角坐标系中，直线过点P(4,0,2)且与直线：垂直相交。

根据以上材料回答问题：（1）求两条直线的交点坐标。

（4分）（2）求直线的标准方程。

（3分）11某设备由甲、乙两名工人同时操作，两人的操作相互独立，每名工人出现操作失误的次数只能是0、1、2，对应的概率分别是0.7、0.2、0.1，将两名工人操作失误的总数记为X，若X2，则该设备不能正常工作。

根据以上材料回答问题：（1）求该设备正常工作的概率。

（3分）（2）求X的分布列与数学期望。

高中青年教师教学基本功竞赛数学试卷及参考答案

高中青年教师教学基本功竞赛数学试卷及参考答案江苏省兴化市周庄高级中学教育教学研究室江苏省兴化市教育局教研室数学试卷(考试时间为150分钟，满分150分．)本卷由三部分组成；解题研究；试题命制；教学设计．1．解题研究本题满分40分(问题1为必答题，问题2、问题3两题任选一题做答，每题满分20分)．1．1．错因分析学生在学习中，总会产生错误，错误往往是正确认知的前兆，这正是失败乃成功之母，所以教师要珍视学生学习中的错误，并以此为契机，培养学生的批判性思维，发展思维能力．写出学生解决下面问题有可能出现的典型错误，并分析产生错误的根本原因(至少分析两个典型错误)，最后请您给出本题的正确解答．问题1：求函数y＝sin（-3x+π/4）(x∈的单调递减区间．1．2．总结策略教学目的之一是为了让学生掌握思考问题和解决问题的方法，当学生面临一个新的情境下的问题时总要联想，把以往获得的方法再加工迁移到新的问题上，因此有教育家提出了为“迁移而教”的口号，为了实现“迁移”就必须对学习加以总结概括，总结概括得越精当，越有利于“迁移”的产生，从而能够迅速地解决新问题．解下列问题，完成后请您总结解决该类“恒成立”问题的解题策略．问题2：已知c>0，设P：函数y=Cx在R上单调递减；Q：不等式x+∣x-2c∣>1的解集为R．如果P和Q有且仅有一个正确，求C的取值范围。

1．3 探究拓展著名数学家、教育家波利亚说过，解题就像采蘑菇一样，当我们发现一个蘑菇时，它的周围可能有一个蘑菇圈．在解题中，当您解完了一道题，可以借助如，类比，(1)类比推理：根据两种事物在某些方面属性的相似，推想此两种事物在其他一些方面的属性也相似；(2)方法类比：将处理某种事物卓有成效的经验或方法移植到处理与其相似的另一事物上，以及其他一些科学思维策略和数学思想方法，对问题进行探索与拓展，从而解决一类问题，发展思维能力。

完成下面一道题后，根据探索的要求进行探索与拓展。

高中数学青年教师基本功大赛(笔试)试题

（考试时间120分钟满分200分）姜堰市教研室命制一、基础知识（30分）1、在创建解析几何学的过程中，法国数学家和费马做出了最重要的贡献，成为解析几何学的创立者。

2、我国齐梁时代的数学家祖冲之的儿子提出一条原理：“幂势既同，则积不容异”这句话的大致意思是。

3、在物理学中利用了三角函数“任意的正弦函数与余弦函数的函数()f x 都可以化成sin()a x θ+或者cos()a x θ+的形式，而且周期不变”的结论，可以解释声波的共振现象。

4、《江苏省20XX 年高考说明》对数学基本能力的考查主要包括：空间想象、抽象概括、推理论证、运算求解、这五个能力。

5、《江苏省20XX 年高考说明》对知识的考查要求依次为了解、理解、三个层次（分别对应A 、B 、C ）6、《普通高中数学课程标准（试验）》简称新课标中提出的三维目标是指：知识与技能、过程与方法、。

二、解题能力（90分）1、函数3213()2132f x x x x =-+-的单调增区间为。

2、设复数()2()2z a a ai a R =-+∈为纯虚数,则a = ．3、已知y x ,满足条件⎪⎩⎪⎨⎧≤+≥≥12430y x x y x ，则132+++x y x 的取值范围是_______________．4、1200辆汽车通过某一段公路时的时速频率分布直方图如图所示，则时速在[50,60)的汽车大约有辆．5、已知某算法的流程图如下图所示，则输出的结果是．6、已知P 和Q 分别是函数1ln 2y x =和函数2x y e =上关于直线y x =对称的两点，则线段PQ 长度的最小值为7、(本题满分15分) 试证明定理：在空间，如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等。

频率第4图第5图8、(本题满分15分)△ABC 中，BC=10，AB=c ，AC=b ，∠ABC=θ，()tan ,1m B =，()1tan ,1tan n C C =-+ 且m n ⊥（Ⅰ）求角A ；（Ⅱ）①试用θ（不含b ，c ）表示△ABC 的面积()fθ；②试用b ，c （不含θ）表示△ABC 的面积(),g b c ；（Ⅲ）求△ABC 面积的最大值．9、(本题满分15分)某建筑公司要在一块宽大的矩形地面(如图所示)上进行开发建设,阴影部分为一公共设施建设不能开发,且要求用栏栅隔开(栏栅要求在一直线上),公共设施边界为曲线f (x )=1-ax 2 (a >0)的一部分,栏栅与矩形区域的边界交于点M 、N ，交曲线切于点P ，设(,())P t f t （Ⅰ）将OMN ∆（O 为坐标原点）的面积S 表示成t 的函数()S t ；（Ⅱ）若在12t =处，()S t 取得最小值，求此时a 的值及()S t10、(本题满分15分)将曲线xy C 1:=绕原点逆时针旋转45得曲线'C ，分别运用中学选修4-2矩阵变换、选修4-4坐标系与参数方程的知识，求曲线C '的方程。

教师资格考试高中数学学科知识与教学能力测试试题与参考答案

教师资格考试高中数学学科知识与教学能力测试试题与参考答案一、单项选择题（本大题有8小题，每小题5分，共40分）1.题目：下列关于实数的说法中，正确的是（）A. 实数都可以表示在数轴上B. 无理数都是无限小数C. 无限小数都是无理数D. 带根号的数都是无理数答案：B解析：A. 实数包括有理数和无理数，它们都可以在数轴上找到对应的点，所以A选项正确，但题目要求选择“正确”且“唯一正确”的选项，由于B选项也是正确的，且更具体，故A选项虽然正确但不是本题的最佳答案。

B. 无理数不能表示为两个整数的比，且其小数部分是无限不循环的，即都是无限小数。

所以B选项正确。

C. 无限小数包括无限循环小数和无限不循环小数，其中无限循环小数是有理数，无限不循环小数才是无理数。

所以C选项错误。

D. 带根号的数不一定都是无理数，例如√4=2，2是一个有理数。

所以D选项错误。

2.题目：在平面直角坐标系中，已知点A(2,3)，若点B与点A关于x轴对称，则点B的坐标为（）A.(2,−3)B.(−2,3)C.(−2,−3)D.(3,2)答案：A解析：关于x轴对称的两点，其横坐标相同，纵坐标互为相反数。

设点B的坐标为(x,y)，由于点B与点A关于x轴对称，且点A的坐标为(2,3)，则有x=2，y=−3。

所以点B的坐标为(2,−3)。

3.题目：已知一次函数y=kx+b（k≠0）的图象经过点(1,2)和点(−1,−4)，则k+b=____.答案：0解析：将点(1,2)代入y=kx+b得：2=k×1+b，即k+b=2①；将点(−1,−4)代入y=kx+b得：−4=k×(−1)+b，即−k+b=−4②；① + ②得：2b=−2，解得b=−1；将b=−1代入①得：k=3；所以k+b=3−1=0。

4.题目：下列运算正确的是( )A.a6÷a2=a3B.3a−2=19a2C.(a3)2=a5D.(a−b)2=a2−b2答案：B解析：A. 根据同底数幂的除法法则，有a m÷a n=a m−n，所以a6÷a2=a6−2=a4，与选项A的a3不符，故A错误。

高中数学青年教师解题比赛试卷(附答案)

高中数学青年教师解题比赛试卷本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分．全卷共5页，满分为150分．考试时间120分钟．第I 卷（选择题共60分）参考公式：三角函数和差化积公式正棱台、圆台的侧面积公式 2c o s2s i n2s i n s i n φθφθφθ-+=+ ()l c c S +'=21台侧其中c '、c 分别表示 2sin2cos2sin sin φθφθφθ-+=- 上、下底面周长，l 表示斜高或母线长2c o s2c o s2c o s c o s φθφθφθ-+=+ 台体的体积公式：()h S S S S V +'+'=31台体 2sin2sin2cos cos φθφθφθ-+-=- 其中S '、S 分别表示上、下底面积，h 表示高一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．每小题选出答案后，请填下表中.区（县级市）学校考生号姓名密封线内不要答题（1）常数T 满足()x x T cos sin -=+ 和()x x T g ctg t =-,则T 的一个值是（）．（A ）π- （B ）π （C ）2π-（D ）2π（2）在等差数列{}n a 中，12031581=++a a a ,则1092a a - 的值为（）．（A ）24 （B ）22 （C ）20 （D ）8-（3）设点P 对应复数是i 33+,以原点为极点，实轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，则点P 的极坐标为（）．（A）34π⎛⎫ ⎪⎝⎭ （B）54π⎛⎫- ⎪⎝⎭ （C ）53,4π⎛⎫ ⎪⎝⎭ （D ）33,4π⎛⎫-⎪⎝⎭（4）设A 、B 是两个非空集合，若规定：{}B x A x x B A ∉∈=-且,则()B A A --等于（）．（A ）B （B ）B A （C ）B A （D ）A （5）函数()x f y =的图象与直线1=x 的交点个数为（）．（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）0或1（6）设函数()()ϕω+=x A x f sin （其中R x A ∈>>,0,0ω）,则()00=f 是()x f 为奇函数的（）．（A ）充分不必要条件（B ）必要不充分条件（C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件（7）如图，在斜三棱柱111C B A ABC -中，∠BAC ＝90°，AC BC ⊥1，过1C 作⊥H C 1底面ABC ，垂足为H ，则（）．（A ）H 在直线AC 上（B ）H 在直线AB 上（C ）H 在直线BC 上（D ）H 在△ABC 内（8）电讯资费调整后，市话费标准为：通话时间不超过3分钟收费0.2元；超1C 1B 1A AB C过3分钟，以后每增加1分钟收费0.1元，不足1分钟以1分钟收费.则通话收S （元）与通话时间t （分钟）的函数图象可表示为（）．（A ）（B ）（C ）（D ）（9）以椭圆114416922=+y x 的右焦点为圆心，且与双曲线116922=-y x 的渐近线相切的圆的方程为（）．（A ）091022=+-+x y x （B ）091022=--+x y x （C ）091022=-++x y x （D ）091022=+++x y x（10）已知()nx 21+的展开式中所有项系数之和为729，则这个展开式中含3x 项的系数是（）．（A ）56 （B ）80 （C ）160 （D ）180（11）AB 是过圆锥曲线焦点F 的弦，l 是与点F 对应的准线，则以弦AB 为直径的圆与直线l 的位置关系（）．（A ）相切（B ）相交（C ）相离（D ）由离心率e 决定（12）定义在R 上的函数()x f y -=的反函数为()x fy 1-=，则()x f y =是（）．（A ）奇函数（B ）偶函数（C ）非奇非偶函数（D ）满足题设的函数()x f 不存在第II 卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中的横线上．（13）函数)23(sin ππ≤≤=x x y 的反函数是．（14）已知抛物线的焦点坐标为()12，，准线方程为02=+y x ,则其顶点坐标为．（15）如图，在棱长都相等的四面体A —BCD 中，E 、F 分别为棱AD 、BC 的中点，则直线 AF 、CE 所成角的余弦值为．（16）甲、乙、丙、丁、戊共5人参加某项技术比赛，决出了第1名到第5名的名次. 甲、乙两名参赛者去询问成绩，回答者对甲说：“很遗憾，你和乙都没拿冠军”，对乙说：“你当然不是最差的.”请从这个回答分析， 5人的名次排列共可能有种不同情况（用数字作答）.三、解答题：本大题共6小题，满分74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．（17）（本小题满分10分）已知复数2cos 2cos 2Ci A u +=，其中A 、C 为△ABC 的内角，且三个内角满足2B ＝A ﹢C .试求i u -的取值范围.封线内不要答题ABCDEF（18）（本小题满分12分）已知曲线C上的任一点M()y x,（其中0≥x）,到点()02，A的距离减去它到y轴的距离的差是2，过点A的一条直线与曲线C交于P、Q两点，通过点P和坐标原点的直线交直线02=x于N.+（I）求曲线C的方程；（II）求证：N Q平行于x轴.（19）（本小题满分12分）是否存在一个等差数列{}n a ,使对任意的自然数n ，都有212a a n ⋅…n n n P a 2=.（20）（本小题满分12分）南北方向的两定点，正西方向射出的太阳（用点O表示）光线OCD与地面成锐角θ.（I）遮阳棚与地面成多少度的二面角时，才能使遮影△ABD面积最大？（II）当AC＝3，BC＝4，AB＝5，θ＝30°时，试求出遮影△ABD的最大面积.（21）（本小题满分14分）名姓甲、乙、丙三种食物维生素A 、B 含量及成本如下表：千克丙种食物配成100千克混合物，并使混合物至少含有56000单位维生素A 和63000 单位维生素B .试用x 、y 表示混合物的成本M （元）；并确定x 、y 、z 的值，使成本最低.（22）（本小题满分14分）定义在()1,1-上的函数()x f 满足：①对任意x 、()1,1-∈y ,都有()+x f ()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=xy y x f y f 1；②当()0,1-∈x 时，有()0>x f .证明：（I ）函数()x f 在()1,1-上的图象关于原点对称；（II ）函数()x f 在()0,1-上是单调减函数；（III ）⎪⎭⎫ ⎝⎛>⎪⎭⎫ ⎝⎛++++⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛21331131712f n n f f f .()z n ∈高中数学青年教师解题比赛试卷参考答案一、选择题：二、填空题：（13）[]0,1,arcsin -∈-=x x y π （14）⎪⎭⎫⎝⎛2,1 （15）3 （16）54三、解答题：（17）（本小题满分10分）解：由△ABC 的内角关系2602C A B C B A CA B +=︒=⇒⎭⎬⎫=+++=π，又()C i A Ci A u cos 1cos 2cos 2cos 2++=+=则22cos 122cos 1cos cos 22CA C A i u +++=+=- ()C A 2cos 2cos 211++= ()C A --=cos 211由()︒<-<︒-⇒⎭⎬⎫︒︒∈-︒=-⇒︒=+12012012002120120C A ，C ，A C C A C A()1cos 21≤-<-⇒C A 从而2522<-≤i u 为所求. （18）（本小题满分12分）（I ）解：由题设知：曲线C 上任意一点M ()y x ,到定点()0,2A 距离等于它到直线2-=x 的距离.由抛物线定义知：曲线C 的方程为x y 82=…（注：若不限制0≥x ，抛物线C 还可为()00<=x y ,即x 轴负半轴）（II ）证明：①当过点A 的直线P Q 不与x 轴垂直时，斜率PQ K 存在，设P Q 方程为()2-=x k y由()01682822=--⇒⎩⎨⎧-==y k y x k y x y16-=⇒Q P y y又直线OP 方程为x x y y PP⋅=而点N 在直线OP 上，也在直线2-=x 上()P PP y y y 16282-=-⋅=⎭⎬⎫-=⋅-=⋅1616Q P N P y y y yQ N y y =⇒故NO// x 轴②当过点A 的直线P Q 与x 轴垂直时，结论显然成立（19）（本小题满分12分）解：若存在一个等差数列{}n a 满足题设，则 1=n 时，有121121=⇒=a P a ；2=n 时，有32224212=⇒=a P a a ； 3=n 时，有523363213=⇒=a P a a a .()2-=⇒PPN x y y（证Q 、N 点纵坐标相等）∴猜想存在这样的一个数列{}n a 的通项为()N n n a n ∈-=12以下用数学归纳法证明：（1）当1=n 时， 11=a 满足12-=n a n （2）假设()N k k n ∈=满足题设，即k k k k P a a a 22112=+ 成立当1+=k n 时 , 12121122+++⋅=⋅k k k n k k a P a a a a()k k P k 2122⋅+=即()()()()()12125321221212532121+-⋅⋅⋅⋅=+-⋅⋅⋅⋅+k k k k k k ()()()()12212+⋅+++=k k k k k()()()()()21132++++⋅+++=k k k k k k k()112++=k k P则1+=k n 也成立.综上（1）、（2）知12-=n a n 对N n ∈都有n n k n P a a a 2212= 成立.（20）（本小题满分12分）（I ）解：设H 为点O 在地面的射影，连结HD 交AB 于E . 则θ=∠CDE ，且OH ⊥平面ABDAB ⊂平面ABD又AB 是南北方向，CD 是西东方向，则CD ⊥AB⎩⎨⎧⊥⇒⊥⇒CE AB DE AB 在△ABD 中，要使面积最大，只须DE 最大而△CDE 中，由正弦定理DCE CEDE ∠⋅=sin sin θ.（目标函数中CE ,sin θ均为定值）所以，当∠DCE ＝90°时DCE ∠sin 最大，则DE 最大，从而θ-︒=∠90CED 时，遮影△ABD 面积最大.（II ）解：当AC ＝3，BC ＝4，AB ＝5，θ＝30°时，AB OH ⊥⇒OHD AB 平面⊥⇒DE 是△ABD 中AB 边上的高且∠CED 是C —AB —D 的平面角.()1252452121max =⋅⋅=⋅⋅=∆DE AB S ABD 为所求. （21）（本小题满分14分）（I ）依题设知：z y x M 4911++= 又y x z z y x --=⇒=++100100代入上式则y x M 57400++=为所求.（II ）由题设得⎩⎨⎧≥++≥++6300050040080056000400700600z y x z y x将y x z --=100分别代入①、②得：⎩⎨⎧≥-≥+130316032y x y x 此时y x M 57400++= ()()y x y x -+++=33224001301602400+⋅+≥850=当且仅当⎩⎨⎧=-=+130316032y x y x 即⎩⎨⎧==2050y x 时取等号答：当50=x 千克，20=y 千克，30=z 千克成本最低为850元.（22）（本小题满分14分）证明：（I ）由条件①可取(),1,1-∈-=x y 则()()()0f x f x f =-+再取(),1,10-∈=y 则()()()x f f x f =+0 ()()0=-+⇒x f x f()x f ⇒在()1,1-上图象关于原点对称（II ）令0121<<<-x x由于()()()()⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-=-+=-212121211x x x x f x f x f x f x f .1121<-<-x x 且()10102121<-<-⇒<-x x x x 及()2211102121<+<⇒<<x x x x则由（1）（2）得0112121<--<-x x x x①② ⇒⇒<<<-01又21x x由条件②知012121>⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-x x x x f ,从而()()21x f x f >，故()x f 在()0,1-上单调递减函数.（III ）由奇函数的对称性知：()x f 在()1,0上仍是减函数，且()0<x f ※对()()()()()()⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+++++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++=⎪⎭⎫⎝⎛++211121112113312n n n n f n n f n n f⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⋅+-+-+=21112111211112111n f n f n f n f n n n n f 则有⎪⎭⎫ ⎝⎛++++⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛331131712n n f f f⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+++⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=211141313121n f n f f f f f⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛=2121n f f . 由※式知：1210<+<n 时有⎪⎭⎫ ⎝⎛>⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛⇒<⎪⎭⎫ ⎝⎛+212121021f n f f n f 故⎪⎭⎫⎝⎛>⎪⎭⎫ ⎝⎛++++⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛21331131712f n n f f f .条件①。

数学高中老师试题及答案

数学高中老师试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 若函数f(x)=x^2-4x+3，求f(2)的值为：A. 1B. -1C. 3D. 52. 已知集合A={1,2,3}，B={2,3,4}，则A∩B为：A. {1}B. {1,2}C. {2,3}D. {3,4}3. 函数y=x^3-3x^2+4x-5的导数为：A. 3x^2-6x+4B. x^2-6x+4C. 3x^2-9x+4D. x^3-6x+44. 若sinθ=1/2，则cosθ的值为：A. √3/2B. -√3/2C. 1/2D. -1/25. 已知等差数列{an}的首项a1=2，公差d=3，则a5的值为：A. 17C. 11D. 86. 圆的方程x^2+y^2-6x-8y+25=0表示的圆心坐标为：A. (3,4)B. (-3,-4)C. (3,-4)D. (-3,4)7. 函数y=ln(x)的定义域为：A. (0,+∞)B. (-∞,0)C. (-∞,+∞)D. (0,-∞)8. 已知向量a=(3,-4)，b=(2,1)，则a·b的值为：A. -2B. 2C. -10D. 109. 函数y=x/(x+1)的反函数为：A. y=x/(1-x)B. y=x+1/xC. y=x-1/xD. y=1/(x-1)10. 已知等比数列{bn}的首项b1=2，公比q=2，则b4的值为：A. 32B. 16D. 4二、填空题（每题4分，共20分）11. 已知函数f(x)=x^2-6x+8，求f(x)的最小值。

12. 集合{1,3,5,7,9}的补集在全集U={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}中为________。

13. 函数y=x^2-2x+3的对称轴方程为________。

14. 已知复数z=2+3i，求z的模长。

15. 已知等差数列{an}的前n项和Sn=n^2，求a1+a2+...+a10的值。

三、解答题（每题10分，共50分）16. 已知函数f(x)=x^3-3x^2+2，求f(x)的极值点。

2023年教师资格(高级中学)-数学知识与教学能力(高中)考试备考题库附带答案10

2023年教师资格（高级中学）-数学知识与教学能力（高中）考试备考题库附带答案第1卷一.全考点押密题库(共60题)1.(单项选择题)(每题 5.00 分) 中学数学中的基本思想方法不包括（）。

A. 函数与方程的思想方法B. 集合与对应的思想方法C. 数形结合的思想方法D. 实践与概括的思想方法正确答案：D,2.(单项选择题)(每题 5.00 分) 投掷两枚均匀的骰子，己知点数之和是偶数，则点数之和为6的概率为（）。

A. 5/18B. 1/3C. 1/2D. 以上都不对正确答案：A,3.(单项选择题)(每题 5.00 分) 《普通高中数学课程标准（实验）》提出五种基本能力，没有包含在其中的是（）。

A. 推理论证能力B. 运算求解能力C. 数据处理能力D. 几何作图能力正确答案：D,4.(单项选择题)(每题5.00 分) 中学数学基本思想方法教学原则不包括（）。

A. 目标性原则B. 渗透性原则C. 层次性原则D. 理论性原则正确答案：D,5.(单项选择题)(每题 5.00 分) 下列陈述可以作为数学定义的有（）。

① 不同在任何一个平面内的两条直线叫异面直线② 无穷小量是无限趋向于0的量③ 渐近线是与曲线很接近的直线A. ①B. ②C. ①②D. ①②③正确答案：A,6.(单项选择题)(每题 5.00 分) 下列关于高中数学内容设置的说法不正确的是（）。

A. 算法是高中数学课程的新增内容，算法是贯穿高中数学课程的一条主线B. 框图是高中数学课程中的新增内容，框图是几何直观的一种体现C. 高中数学课程中的向量既是几何的研究对象，也是代数的研究对象D. 高中数学课程中，只在选修1-2中介绍了统计案例正确答案：D,7.(单项选择题)(每题 5.00 分) “|x-1正确答案：B,8.(单项选择题)(每题 5.00 分) 设A是n阶可逆矩阵，则(-A)等于（）。

A. -AB. A*C. (-1)nA*D. (-1)n-1A*正确答案：D,9.(单项选择题)(每题 5.00 分) 《普通高中数学课程标准（实验）》提出了五种基本能力，其中不包括（）。

高中数学教招试题及答案

高中数学教招试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 函数y=f(x)=x^2-4x+3的零点个数是（）。

A. 0B. 1C. 2D. 32. 已知函数f(x)=2x-1，g(x)=x^2+1，求f(g(x))的表达式是（）。

A. 2x^2-1B. 2x^2+2x-1C. 2x^2+1D. 2x^2+2x+13. 以下哪个函数是奇函数（）。

A. f(x)=x^2B. f(x)=x^3C. f(x)=x^2+1D. f(x)=x^3+14. 已知等差数列{an}的首项a1=1，公差d=2，求第10项a10的值是（）。

A. 19B. 20C. 21D. 225. 以下哪个选项是正确的二项式定理展开式（）。

A. (x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2B. (x+y)^3 = x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3C. (x+y)^4 = x^4 + 4x^3y + 6x^2y^2 + 4xy^3 + y^4D. (x+y)^5 = x^5 + 5x^4y + 10x^3y^2 + 10x^2y^3 + 5xy^4 + y^56. 已知双曲线方程为x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1，其中a>0，b>0，求其渐近线方程是（）。

A. y = ±(b/a)xB. y = ±(a/b)xC. y = ±(a/b)x^2D. y = ±(b/a)x^27. 已知三角形ABC的三边长分别为a、b、c，且满足a^2 + b^2 = c^2，求三角形ABC的形状是（）。

A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 不能确定8. 已知函数f(x)=x^2-4x+3，求其对称轴方程是（）。

A. x=2B. x=-2C. x=4D. x=-49. 已知函数f(x)=x^3-3x^2+2，求其导数f'(x)是（）。

A. 3x^2-6xB. 3x^2-6x+2C. 3x^2-6x+1D. 3x^2-6x-210. 已知函数f(x)=sin(x)，求其周期T是（）。

2017年佛山市普通高中数学青年教师基本功试题参考答案(定稿)

(
y0
4 x0 8 y0 2 (4 x0 2 4 x0 8) 2 2 4 y0 x0
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y0
8 y0 2 4 x0 2 8 4(2 y0 2 x0 2 ) 8 4 2 8 y y0 2 0． 0 2 2 2 2 2 4 y0 x0 4 y0 x0 4 y0 x0
2017 年佛山市普通高中数学青年教师基本功解题能力展示试题参考答案
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分．题号答案 1 B 2 D 3 D 4 C 5 D 6 C 7 C 8 A 9 B 10 C 11 B 12 D
二、填空题：本大共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分． 13．
所以 S OAB
当且仅当
x0 2 2 时， OAB 面积的最小值为 2 ． … 7 分 y0 2 ，即 x0 1, y0 2 2
（Ⅲ）①当 x0 0 时， P(0, 1) ．当直线 l : y 1 时，易得 Q(1, 2) ，此时 kF2 P 1 ， kF2Q 1 ．因为 k F2Q k F2 P ，所以三点 Q, P, F2 共线．同理，当直线 l : y 1 时，三点 Q, P, F2 共线． ②当 x0 0 时，设点 Q(m, n) ，因为点 Q 与点 F1 关于直线 l 对称，
3 1 < b6 ， 32 64 3 ． 64 3 ， ) ．…………………………………………10 分 64
0.3y，……………………1 分
∴ bn 的最大值是 b6
∴ 实数 k 的取值范围是 [
18. 解：（Ⅰ）随机变量的可能取值为 0.6y，0，随机变量的分布列为

江门市2011年普通高中青年教师基本功比赛数学初赛试卷与评分参考

AD EF 江门市2011年普通高中青年教师基本功比赛初赛数学科试题本试卷共4页，21小题，满分150分。

答卷用时120分钟。

参考公式：独立性检验临界值表一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设集合{}21|<<-=x x A ，集合{}31|<<=x x B ，则=B A （必1P8例5） A ．{}21|<<x x B ．{}11|<<-x x C ．{}31|<<-x x D ．{}32|<<x x 2．i 是虚数单位，则=+-+)23)(23(i iA ．1B ．1-C ．5D ．5-（选2-2P111练习2） 3．已知0>a 且1≠a ，下列不等式恒成立的是A ．5.8log 4.3log 22<B ．7.2log 8.1log 3.03.0<C ．9.5log 1.5log a a <D ．9.5log 1.5log a a >（必1P72例8） 4．记等差数列{}n a 的前n 项和为n S 。

若211=a ，204=S ，则=6S A ．16 B ．24 C ．36 D ．48（2008广东理数2） 5．“41<m ”是“一元二次方程02=++m x x 有实数解”的（2010广东理数5） A ．充分非必要条件 B ．充分必要条件 C ．必要非充分条件 D ．非充分非必要条件 6．如图1，ABC ∆是边长为1的正三角形，D 、E 、F 是各边中点，将ABC ∆沿DE 、EF 、FA 折叠，使A 、B 、C 重合为一点，得到一个正三棱锥，这个正三棱锥的体积=V A ．322 B ．962 C ．326 D ．966（必2P9A5）7．随机抽检某熟食10件，图2是其热含量的茎叶统计图。

则这10件熟食热含量的中位数和平均数分别是 A ．122和129 B ．124和129 C ．122和130 D ．124和1308．已知甲、乙两车由同一起点同时出发，并沿同一路线（假定为直线）行驶。