中考数学专题复习-常用辅助线截长补短

2.截长补短

1.已知ACB ∆，B ACB ∠=∠，D ，E 分别是AB 及AC 延长线上的一点，且BD CE =，连接DE 交底BC 于G ，求证GD GE =．

答案：见解析 解析： 解法1：

过E 作EF AB ∥，交BC 的延长线于F ，则=B F ∠∠ ∵3=4∠∠，3=B ∠∠，4B ∴∠=∠ ∴4=F ∠∠，∴CE =CF ， 在GEF ∆与GDB ∆中，

12DB CE EF B F ∠=∠⎧⎪

==⎨⎪∠=∠⎩

∴GFE GBD ∆∆≌AAS （）

G

E

D C B

A

1

2

43

F

K C G

E D B

A

∴G DG =E 解法2：

过D 点作DK AC ∥交BC 于K ， 过D 点作DF BC ∥交AC 于F ， ∴四边形DKCF 是平行四边形， ∴DK =FC ，1ACB ∠=∠， ∵B ACB ∠=∠，∴1B ∠=∠， ∴DB =DK =CE =CF ， ∴C 是EF 中点，又∵BC DF ∥， ∴G 是DE 中点，∴DG =EG

2.如图所示，在ABC △中，100A ∠=︒，40ABC ∠=︒，BD 是ABC ∠的平分线，延长

BD 至E ，使DE AD =．求证：BC AB CE =+

答案：见解析

1F K

C

G

E

D B

A

E

D

C

A

解析：

在BC 上取一点F ，使得BF

BA =，连接DF ，

∵BD 是ABC ∠的平分线，∴ABD FBD ∠=∠， 在ADB △与FDB △中，

ABD FB BF BA BD BD D =⎧=∠=∠⎪

⎨⎪⎩

∴ADB FDB △≌△(SAS)， ∴DF

AD =，

又∵DA DE =， ∴DF DE =

∵100A ∠=︒，AB AC = ∴40ABC ∠=︒

∵BD 是ABC ∠的平分线， ∴20ABD ∠=︒

∴60ADB FDB ∠=∠=︒, ∵60CDE ADB ∠=∠=︒, ∴60FDC EDC ∠=∠=︒, 在DCF △与DCE △中，

F E

D

C

A

FDC ED CD CD C =∠=∠⎪

⎨⎪⎩

， ∴DCF DCE △≌△(SAS)， ∴FC EC =

∴BC BF FC AB EC =+=+

3.如图，在ABC △中，2B C ∠=∠，BAC ∠的平分线

AD 交BC 与D ．求证：

AB BD AC +=．

答案：见解析 解析：

在AC 上取一点E ，使得AB AE =

连结DE ．

AD 平分BAC ∠，∴BAD EAD =∠∠，

在ABD △和AED △中

D

C B A

E

D

C B A

BAD EAD ∠=∠, AD AD =

∴ABD AED △≌△SAS （）， ∴BD ED =，B AED ∠=∠

又∵2AED EDC C B C ∠=∠+∠=∠=∠

EDC C ∴∠=∠，ED EC =，

BD EC =∴，AC AE EC AB BD ∴=+=+

∴AB BD AC +=．

方法二：在AB 的延长线上取一点E

使得AC AE =，连结DE ． 在AED △和ACD △中，AC AE =

EAD CAD ∠=∠，AD AD =，

∴AED ACD △≌△，∴C E ∠=∠， 又∵22ABC E BDE C BDE ∠=∠+∠=∠=∠ ∴E BDE ∠=∠∴BE BD =， ∴AB BD AE AC +== ∴AB BD AC +=．

A

B

C

D

E

4.如图所示，在ABC △中，AD BC ⊥于点D ，2B C ∠=∠．求证：AB BD CD +=．

答案：见解析 解析：

如图，在CD 上截取DE DB =，连接AE ． ∵AD BC ⊥，DE DB =， ∴AE AB =

，于是B AEB ∠=∠，

又∵AEB C CAE ∠=∠+∠，2B C ∠=∠， ∴CAE C ∠=∠， 于是AE EC =，

故AB BD AE ED EC ED CD +=+=+=．

5.如图，正方形ABCD 的边长为1，点F 在线段CD 上运动，AE 平分BAF ∠交BC 边于点E ．求证：AF

DF BE =+．

C D B

A

A

B

D E C

答案：见解析 解析：

证明：如图，延长CB 至点G ，使得BG DF =，连结AG ． ∵ABCD 是正方形， ∴在ADF ∆和ABG ∆中，

AD AB =

90ADF ABG ∠=∠=°， DF BG =．

∴Rt Rt (SAS)ADF ABG ∆∆≌， ∴AF AG =，DAF BAG ∠=∠． 又∵AE 是BAF ∠的平分线． ∴EAF

BAE ∠=∠，

∴DAF EAF BAG BAE ∠+∠=∠+∠． 即EAD GAE ∠=∠．

∵AD BC ∥，∴GEA EAD ∠=∠， ∴GEA GAE ∠=∠，∴AG GE =．

F

E

D

C B

A

G

F

E D

C

B

A