多采样率信号处理 信号的抽取与插值

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5
意义： 意义：
信号的多相表示
使用多相表示可在抽样率转换的过 程中去掉许多不必要的计算， 程中去掉许多不必要的计算，因而大大 提高运算速度。 提高运算速度。
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5
∞ n =0
信号的多相表示
给定序列h(n)，令 n = 0 ~ ∞ ，假定M=4 给定序列 ， 假定
H ( z ) = ∑ h( n) z − n = h0 + h4 z −4 + h8 z −8 + h12 z −12 + L
x ( n L) n = 0,± L,±2 L,L υ (n ) = 其它 0
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3.2 插零后的信号及其频谱
V (e jω ) =
即
n =−∞
υ (n)e − jω n = ∑
∞
n =−∞
∑
∞
x(n L)e − jω n =
jωL
k =−∞
∑
∞
x(k )e − jω kL
V (e ) = X (e
k = −∞
∑ x(k )h(n − kL)
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∞
插值时补进来的零，不再是零。 插值时补进来的零，不再是零。
4 抽取与插值相结合的抽样率转换
合理的方法是先对信号作插值， 合理的方法是先对信号作插值，然后再抽取
L 0 ≤| ω |≤ min( L , M ) jω H (e ) = 其它 0
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时域
2.2 先滤波再抽取
1 H (e ) = 0
jω
h(n)为一理想低通滤波器 为一理想低通滤波器: 为一理想低通滤波器
| ω |≤ π M else
∞
滤波后的输出为
υ (n) =
∞
k = −∞
∑ h(k ) x (n − k )
∞
抽取后的序列为y(n) : 对v(n)抽取后的序列为 抽取后的序列为
jω
)
插零后信号的频谱V(ejω)在(-π/L~π/L)内等于 jω),相 内等于X(e 相 插零后信号的频谱 在 内等于 当于将X(e 作了周期压缩 换句话说，就是V(e 在 作了周期压缩。 当于将 jω)作了周期压缩。换句话说，就是 jω)在 (-π~π)内包含了 个X(ejω)的压缩样本。 内包含了L个 的压缩样本。 内包含了 的压缩样本
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3.2 插零后的信号及其频谱
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频域
3.3 先插值再滤波
实际实现插值的方法是用v(n)和一低通滤波器 和一低通滤波器 实际实现插值的方法是用 作卷积 。 | ω |≤ π c jω L H (e ) = 其它 0
Y (e ) = H (e )V (e ) == cV (e ) = cX (e ) | ω |≤ π L 1 π y ( n) = Y (e jω )e jω n d ω 2π ∫−π n π π jω c c c n L jLω jω n jω L = ∫−π L X (e )e dω = 2π L ∫−π X (e )e dω = L x( L ) 2π
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1
1.3
引 言
研究内容
核心内容:信号抽样率的转换及滤波器组。 核心内容:信号抽样率的转换及滤波器组。
信号的“抽取 减少抽样率以 信号的“抽取(decimatiom) ” ：减少抽样率以 去掉过多数据 信号的“插值 增加抽样率以 信号的“插值(interpolation) ” :增加抽样率以 增加 增加数据 分析滤波器组和综合滤波器组 滤波器组:分析滤波器组和综合 滤波器组 分析滤波器组和综合滤波器组
π π
该滤波器既去除了 插值后的映像又防 止了抽取后的混迭
使用2 使用2个低通滤波器
使用1 使用1个低通滤波器
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时域上x(n)和y(n)的关系 4.1 时域上 和 的关系
y(n ) =
k = −∞
∑ x(k )h( Mn − Lk )
∞
y(n)正是单独抽取和单独插值时时域关系的结合 正是单独抽取和单独插值时时域关系的结合 因为h(n)是因果滤波器，所以 是因果滤波器， 因为 是因果滤波器 Mn − Lk ≥ 0 k ≤ ( M L) n 记
含意：将信号x(n)作M倍的抽取后，所得信号y(n) 含意：将信号 作 倍的抽取后，所得信号 倍的抽取后 的频谱等于原信号x(n)的频谱先作 倍的扩展， 的频谱先作M倍的扩展 的频谱等于原信号 的频谱先作 倍的扩展， 再在ω轴上每隔 再在 轴上每隔 2π 作移位后再迭加 。
M
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P412 图9.1.2
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1
1.2
应用举例： 应用举例：
引 言
研究目的
既可传输一般的语音信号， 既可传输一般的语音信号，也可传输播视频信 号的数字传输系统； 号的数字传输系统； 在音频世界，存在着多种抽样频率； 在音频世界，存在着多种抽样频率； 当需要将数字信号在两个具有独立时钟的数字 系统之间传递时； 系统之间传递时； 对信号（如语音，图象）作谱分析或编码时； 对信号（如语音，图象）作谱分析或编码时； 对一个信号抽样时，若抽样率过高， 对一个信号抽样时，若抽样率过高，必然会造 成数据的冗余； 成数据的冗余；
Ql ( z ) = ∑ h ( Mn − l ) z −n
n =0
∞
H ( z) =
显然
M −1 l =0
∑ z Q (z
l l
M
)
Ql ( z ) = z E M −l ( z )
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−1
类 型 III 多 相 表 示
6
几个重要的恒等关系
y (n) = υ ( Mn) =
k =−∞
∑ h(k ) x( Mn − k ) = ∑ x(k )h( Mn − k )
k =−∞
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2.2 先滤波再抽取
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频域
2.2 先滤波再抽取
M −1 k =0
1 jω Y (e ) = M
∑ X (e
j ( ω − 2 πk )
M
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2
信号的抽取
• 抽取对信号频谱的影响 • 先滤波再抽取
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2.1 抽取对信号频谱的影响
中每M个点中抽取一个 设 x (n) = x (t ) |t = nTs ，将x(n)中每 个点中抽取一个， 中每 个点中抽取一个， 依次组成一个新的序列y(n)，即 ， 依次组成一个新的序列
多采样率信号 处理
——信号的抽取与插值
孙正 2007.9
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主要内容
• • • • • • • • 引言 信号的抽取 信号的插值 抽取与插值相结合的抽样率转换 信号的多相表示 几个重要的恒等关系 抽取和插值的滤波器实现 抽取与插值的编程实现
学习要求：掌握数字域升、降采样的基本原理， 学习要求：掌握数字域升、降采样的基本原理， 降采样过程中滤波器的设计、特性和作用， 升、降采样过程中滤波器的设计、特性和作用， 以及插值和抽取前后信号频谱变化。 以及插值和抽取前后信号频谱变化。
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2.1 抽取对信号频谱的影响
x (t )
x (n )
抽样
x (n ) y ( n)
保证 f s ≥ 2 f c 不会发生频谱的混迭
M倍抽取 倍抽取
保证 f s ≥ 2 Mf c 不会发生频谱的混迭
是可变的， 出现混迭， 若M是可变的，为防止抽取后在Y (e jω )出现混迭，应对 是可变的 x(n)抽取前先作低通滤波，压缩其频带。 抽取前先作低通滤波 抽取前先作低通滤波，压缩其频带。
M −1 l =0
z −l E l ( z M ) ∑
el ( n ) = h( Mn + l )
E l ( z ) = ∑ el ( n ) z
n =0 ∞ −n
类 型 -I 多 相 表 示
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5
信号的多相表示
代替类型I中的 用M-1-l代替类型 中的 ，则有 代替类型 中的l，
H ( z) =
k = [ Mn L] − m
取整
Mn − [ Mn L]L = Mn mod L = Mn
L
则
y (n) = ∑ x([ Mn L] − m)h(mL + Mn L )
m =0
∞
Mn对模 求余 对模L求余 对模
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时域上x(n)和y(n)的关系 4.1 时域上 和 的关系
y(n)可以看作是将 可以看作是将x(n)通过一个时变滤波器所 通过一个时变滤波器 可以看作是将 通过一个时变滤波器所 得到的输出。 得到的输出。记该时变系统的单位抽样响应为
jω jω jω jω jω L
所以应取c=L以保证 以保证y(n)=x(n/L) 所以应取 以保证
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时域
3.3 先插值再滤波
y ( n) = υ ( n) * h( n) = ∑ υ ( k ) h( n − k )
k
= ∑ x ( k L ) h( n − k )
k
即
y (n) =
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频域上x(n)和y(n)的关系 4.2 频域上 和 的关系
L M −1 1 Y (e jω ) = U (e j ( ω − 2π k ) M ) = M ∑ M k =0
M −1
X (e j (ω L − 2π k ) M ) | ω |≤ min( π , π ) ∑ k =0 M L 其它 0
y ( n ) = x ( Mn )
x(n)
n=-∞∼ ∞ ∞∼+∞ ∞∼
↓M
y(n)
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2.1 抽取对信号频谱的影响
y(n)和x(n)的DTFT有如下关系： 和 有如下关系： 的 有如下关系
1 Y (e ) = M
jω
M −1 k =0
∑ X (e
j ( ω − 2 πk ) / M
)
+ h1 z + h5 z + h9 z
−1 −5 −9
+ h13 z
−13
+L
+ h2 z −2 + h6 z −6 + h10 z −10 + h14 z −14 + L + h3 z −3 + h7 z −7 + h11 z −11 + h15 z −15 + L
= z 0 [h0 + h4 z −4 + h8 z −8 + h12 z −12 + L] + z −1[h1 + h5 z −4 + h9 z −8 + h13 z −12 + L] + z −2 [h2 + h6 z −4 + h10 z −8 + h14 z −12 + L] + z −3 [h3 + h7 z −4 + h11 z −8 + h15 z −12 + L]
j ( ω − 2 πk )
) H (e
M
)
在(-π/M～π/M)内, 抽取后信号的频谱与原信号频 ～ 内 谱只是幅度相差M倍 谱只是幅度相差 倍。
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3
• 插值的概念
信号的插值
• 插零后的信号及其频谱 • 先插值再滤波
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3.1 插值的概念
设 x(n) = x(t ) |t = nTs ，将x(n)中每两个点之中补 中每两个点之中补 L-1个0，组成一个新的序列 个 ，组成一个新的序列v(n)，即 ，
g (n, m) = h(nL + < Mm > L )
因为
−∞ < n, m < ∞
g (n, m + kL) = h(nL + < Mm + kML > L ) = h(nL + < Mm > L )
所以g(n,m)是变量 的周期函数，周期为 。 是变量m的周期函数 周期为L。 所以 是变量 的周期函数，
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5
H ( z) =
记 则 若再记 则
l =0
信号的多相表示
M −1
给定序列h(n)，令 n = 0 ~ ∞ ，有 给定序列 ，
z −l ∑ h ( Mn + l ) z − Mn ∑
∞
n =0
∞
E l ( z ) = ∑ h ( Mn + l ) z − n
n =0 =0
H ( z) =
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1
• 研究背景 • 研究目的 • 研究内容
引
言
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1
1.1
引 言
研究背景
至今， 至今，我们讨论的数字系统中只有一个 抽样率。 抽样率。 但是，在实际应用中， 但是，在实际应用中，各系统之间的采 样率往往是不同的
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1
1.2
引 言
研究目的
要求一个数字系统能工作在“ 要求一个数字系统能工作在“多抽样率 （multirate）”状态，以适应不同抽样 ） 状态， 信号的需要。 信号的需要。 对一个数字信号， 对一个数字信号，能在一个系统中以不 同的抽样频率出现。 同的抽样频率出现。
M −1 l =0
∑z
− ( M −1− l )
Rl ( z )
M
式中 Rl ( z ) = E M −1−l ( z ) = ∑ h ( Mn + M − 1 − l ) z − n
n =0
∞
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类 型 II 多 相 表 示
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信号的多相表示
代替类型I中的 用-l代替类型 中的 ，则有 代替类型 中的l，