多采样率信号处理 信号的抽取与插值
第六部分：多速率信号处理
12
n
X D (e ) =
jw
k =−∞
∑
+∞
xD [k ]e− jwk
1
X (e jw )
因为
xD [n] = x p [nD ]
X D (e jw ) =
k =−∞
∑ x [kD]e
p
+∞
− jwk
−2π
−π
−ωM ωM
1 D
π
2π
ω
X p (e jw )
如果令n=kD，上式等效为 ， 如果令
D为周期的 为周期的 脉冲串采样
D倍抽取 倍抽取 表示、传输和存储这 个已采样序列是很不 经济的，因为在采样 点之间明知都是零
脉冲串采样过程
p[n] =
k =−∞
∑ δ [n − kD]
xp[n]
+∞
x[n]
x p [n] = x[n] p[n]
=
k =−∞
∑ x[kD]δ [n − kD]
+∞
− DωM
DωM π
2π
ω
由上图可知，已采样序列xp[n] 和抽取序列xD[n] 的频谱差别只是频率尺度上的或归一化上 抽取的效果是将原来序列的频谱扩展到一个较宽 的频带部分，这也反映了频域和时域之间的关系。 抽取相当于时域压缩，故频域会扩展 同时可以看出，如果要避免混叠，则：
DωM < π
即
ωM < π / D
取样率变换的多级实现
前面所讨论的取样率变换（抽取和内插），都是按 单级实现考虑的，即内插和抽取都一次完成。但 是实际中，当抽取倍数D和内插倍数I很大时，所需 的低通滤波器h[n]的阶数将非常高，乃至无法实现。 所以一个简单的想法就是通过多次小倍数的抽取和 内插完成
数字信号处理知识点汇总
数字信号处理知识点汇总数字信号处理是一门涉及多个领域的重要学科，在通信、音频处理、图像处理、控制系统等众多领域都有着广泛的应用。
接下来，让我们一同深入了解数字信号处理的主要知识点。
一、数字信号的基本概念数字信号是在时间和幅度上都离散的信号。
与模拟信号相比，数字信号具有更强的抗干扰能力和便于处理、存储等优点。
在数字信号中，我们需要了解采样定理。
采样定理指出，为了能够从采样后的信号中完全恢复原始的连续信号，采样频率必须至少是原始信号最高频率的两倍。
这是保证数字信号处理准确性的关键原则。
二、离散时间信号与系统离散时间信号可以通过序列来表示，常见的有单位脉冲序列、单位阶跃序列等。
离散时间系统则是对输入的离散时间信号进行运算和处理，产生输出信号。
系统的特性可以通过线性、时不变性、因果性和稳定性等方面来描述。
线性系统满足叠加原理，即多个输入的线性组合产生的输出等于各个输入单独作用产生的输出的线性组合。
时不变系统的特性不随时间变化，输入的时移会导致输出的相同时移。
因果系统的输出只取决于当前和过去的输入，而稳定系统对于有界的输入会产生有界的输出。
三、Z 变换Z 变换是分析离散时间系统的重要工具。
它将离散时间信号从时域转换到复频域。
通过 Z 变换，可以方便地求解系统的差分方程，分析系统的频率特性和稳定性。
Z 变换的收敛域决定了其特性和应用范围。
逆 Z 变换则可以将复频域的函数转换回时域信号。
四、离散傅里叶变换（DFT）DFT 是数字信号处理中的核心算法之一。
它将有限长的离散时间信号转换到频域。
DFT 的快速算法——快速傅里叶变换（FFT）大大提高了计算效率，使得在实际应用中能够快速处理大量的数据。
通过 DFT，可以对信号进行频谱分析，了解信号的频率成分和能量分布。
五、数字滤波器数字滤波器用于对数字信号进行滤波处理，分为有限冲激响应（FIR）滤波器和无限冲激响应（IIR）滤波器。
FIR 滤波器具有线性相位特性，稳定性好，但设计相对复杂。
数字信号处理实验(民航无线电监测关键技术研究)
《数字信号处理》实验报告实验名称数字信号处理实验（民航无线电监测关键技术研究）实验时间一、实验目的：通过实验，理解和掌握民航无线电监测关键技术中调制解调、FIR 数字滤波器、多采样率数字信号处理、FFT、语音数字信号处理、静噪等技术，培养学生对数字信号处理技术的兴趣，并提高学生基于数字信号处理技术的工程应用能力。
二、实验环境：Matlab三、实验原理、内容与分析（包括实验内容、MATLAB程序、实验结果与分析）实验总体框图如上图所示，主要实现民航无线电监测关键技术中调制解调、FIR 数字滤波器、多采样率数字信号处理、FFT、语音数字信号处理、静噪等技术。
1．有限长单位脉冲（FIR）滤波器的设计FIR 数字滤波器是一种非递归系统，其冲激响应h(n)是有限长序列,其差分方程表达式为：系统传递函数可表达为：N-1 为FIR 滤波器的阶数。
在数字信号处理应用中往往需要设计线性相位的滤波器，FIR 滤波器在保证幅度特性满足技术要求的同时，很容易做到严格的线性相位特性。
为了使滤波器满足线性相位条件，要求其单位脉冲响应h(n)为实序列，且满足偶对称或奇对称条件，即h(n)=h(N-1-n)或h(n)=-h(N-1-n)。
这样，当N 为偶数时，偶对称线性相位FIR 滤波器的差分方程表达式为：由上可见FIR 滤波器不断地对输入样本x(n)延时后，再做乘法累加算法，将滤波器结果y(n)输出，因此，FIR 实际上是一种乘法累加运算。
而对于线性相位FIR 而言，利用线性相位FIR 滤波器系数的对称特性，可以采用结构精简的FIR 结构将乘法器数目减少一半。
2．AM 调制解调AM 调制解调过程如下：3．多采样率数字信号处理一般认为，在满足采样定理的前提下，首先将以采样率F1 采集的数字信号进行D/A 转换, 变成模拟信号，再按采样率F2 进行A/D 变换，从而实现从F1 到F2 的采样率转换。
但这样较麻烦，且易使信号受到损伤，所以实际上改变采样率是在数字域实现的。
数字信号处理综合实验
通信与信息工程学院数字信号处理课程设计班级：电子信息工程13级03班姓名：学号：指导教师：张释如、李国民、张龙妹、王瑜设计时间：2015.12.28 --- 2016.1.8成绩：评语：通信与信息工程学院二〇一五年数字信号处理课程设计报告一、课程设计时间2015年12月28日至2016年1月8日二、课程设计目的数字信号处理主要研究如何对信号进行分析、变换、综合、估计与识别等加工处理的基本理论和方法。
通过课程设计，使学生巩固所学基本理论，掌握最基本的数字信号处理的理论和方法，提高综合运用所学知识，提高计算机编程的能力。
进一步加强学生独立分析问题、解决问题的能力、综合设计及创新能力的培养，同时注意培养学生实事求是、严肃认真的科学作风和良好的实验习惯，为今后的工作打下良好的基础。
三、课程设计任务及要求1、掌握数字信号处理IIR滤波器设计及FIR滤波器设计原理和实现，能根据不同的应用设计合理的滤波器；2、掌握多频率采样的原理，并能分析其频谱特性；3、了解语音信号处理的原理，并能根据实际情况设计合理的滤波器进行除燥处理；3、编程实现以下实验内容：（1）数字信号的基本运算（2）多采样率数字信号处理（3）数字滤波器的设计及仿真（4）语音信号滤波处理。
一、数字信号的基本运算一、实验目的：(1) 掌握数字信号的时间翻转、上采样、下采样等基本运算；(2) 学会用MATLAB对数字信号进行时间翻转、上采样、下采样等运算；二、设计内容：(1) 利用Windows下的录音机以采样频率8000Hz录制语音“新年好”和“好”，在Matlab 软件平台下，利用wavread函数得到两个语音数据（信号长度不够时信号补零使其长度为8000）；(2) 对采样得到的语音数据x(k)分别进行处理模仿回音效果，演示回声的效果，数据处理如下式：x(k)=x(k)+a*x(k-d)其中d为时延，a为时延信号的衰减幅度。
(参数：时延d=0.4秒，衰减幅度a=0.5 对上述语音信号进行时间反转x(-k)、上采样x(k/2)、下采样x(2k)操作，并演示运算效果。
插值fir滤波器工作原理
插值fir滤波器工作原理
插值FIR滤波器是一种数字滤波器，它通过插入零值来增加输入信号的采样率，并且以此增加输出信号的频率分辨率。
它的工作原理如下：
1. 零值插入：首先，插值FIR滤波器会将输入信号的每个采样值之间插入多个零值，以增加采样率。
这样可以在频域中扩展输入信号，使其能够更好地与滤波器的频域响应匹配。
2. 频域响应设计：根据所需的滤波特性，设计一个合适的频域响应，例如低通、带通、高通或带阻滤波器等。
这通常通过选择合适的滤波器系数来实现。
3. 卷积运算：将插值后的输入信号序列与滤波器的系数序列进行卷积运算，得到输出信号序列。
4. 采样返回：最后，将输出信号进行抽取，以还原到原始的采样率，得到插值FIR滤波器的输出信号。
总的来说，插值FIR滤波器通过零值插入、频域响应设计、卷积运算和采样返回等步骤，实现对输入信号的插值和滤波处理。
它可以用于信号重构、频率转换、滤波等应用。
[离散时间信号处理学习笔记]14.多采样率信号处理
![[离散时间信号处理学习笔记]14.多采样率信号处理](https://img.taocdn.com/s3/m/201a0352a9956bec0975f46527d3240c8447a1a2.png)
[离散时间信号处理学习笔记]14.多采样率信号处理多采样率信号处理⼀般是指利⽤增采样、减采样、压缩器和扩展器等⽅式来提⾼信号处理系统效率的技术（These multirate techniques refer in general to utilizing upsampling, downsampling, compressors, and expanders in a variety of ways to increase the efficiency of signal-processing systems. ）本⽂章主要讨论多采样率技术中的两个研究成果：滤波与压缩器/扩展器的互换；多相分解。
尽管上⼀篇⽂章中已经讨论过这部分内容，不过由于这部分是理解本⽂所必须的关键知识点，这⾥将在时域与频域展开更详细的分析。
压缩器假设压缩器的压缩率为M，那么压缩器在时域上的表⽰为x_d[n] = x[nM]x[n]的采样频率为T，那么x_d[n]的采样频率为T_d = MT，按照，有\begin{align*} X(e^{j\omega}) &= \frac{1}{T}\sum_{k=-\infty}^{\infty}X_c\left[ j\left(\frac{\omega}{T}-\frac{2\pi k}{T}\right)\right ]\\ X_d(e^{j\omega}) &= \frac{1}{MT}\sum_{r=-\infty}^{\infty}X_c\left[ j\left(\frac{\omega}{MT}-\frac{2\pi r}{MT}\right)\right ] \end{align*}压缩前的序列频谱X(e^{j\omega})与压缩后的序列频谱X_d(e^{j\omega})之间有如下关系\begin{align*} X_d(e^{j\omega}) &= \frac{1}{MT}\sum_{r=-\infty}^{\infty}X_c\left[ j\left(\frac{\omega}{MT}-\frac{2\pi r}{MT}\right)\right ] \\ & = \frac{1}{MT}\left\{\cdot\cdot\cdot+X_c\left[j\left(\frac{\omega}{MT}-\frac{-2\pi}{MT} \right ) \right ] +X_c\left[ j\left(\frac{\omega}{MT}-\frac{0} {MT}\right)\right ] + X_c\left[j\left(\frac{\omega}{MT}-\frac{2\pi}{MT} \right ) \right ]+\cdot\cdot\cdot \right \}\\ & = \frac{1}{MT}\left\{\cdot\cdot\cdot+X_c\left[j\left(\frac{\omega}{MT}-\frac{0}{MT} \right ) \right ]+\cdot\cdot\cdot +X_c\left[ j\left(\frac{\omega}{MT}-\frac{2(M-1)\pi} {MT}\right)\right ]\right.\\ &\quad\qquad\qquad\left.+ X_c\left[j\left(\frac{\omega}{MT}-\frac{2M\pi}{MT} \right ) \right ]+\cdot\cdot\cdot+X_c\left[j\left(\frac{\omega}{MT}-\frac{2M\pi}{MT} -\frac{2(M-1)\pi}{MT}\right ) \right ]+\cdot\cdot\cdot \right \}\\ \end{align*} \begin{align*} \qquad\quad\ &= \frac{1}{MT}\left\{\cdot\cdot\cdot+\sum_{i=0}^{M-1}X_c\left[j\left(\frac{\omega}{MT}-\frac{2i\pi}{MT} \right ) \right ]+\sum_{i=0}^{M-1}X_c\left[j\left(\frac{\omega}{MT}-\frac{2i\pi}{MT}-\frac{2\pi}{T} \right ) \right ]+\cdot\cdot\cdot\right\}\\ &= \frac{1} {MT}\sum_{k=-\infty}^{\infty} \sum_{i=0}^{M-1}X_c\left[j\left(\frac{\omega}{MT}-\frac{2\pi i}{MT}-\frac{2\pi k}{T} \right ) \right ] \\ &=\frac{1} {M}\sum_{i=0}^{M-1}\left\{\frac{1}{T}\sum_{k=-\infty}^{\infty}X_c\left[j\left(\frac{\omega-2\pi i}{MT}-\frac{2\pi k}{T} \right ) \right ]\right\}\\&=\frac{1}{M}\sum_{i=0}^{M-1}X(e^{j(\omega-2\pi i)/M}) \end{align*}如下图所⽰扩展器假设扩展器的扩展率为L，那么扩展器在时域上的表⽰为x_e[n] = \left\{\begin{matrix} x[n/L], &n=0,\pm L,\pm 2L,\cdot\cdot\cdot \\ 0, &else \end{matrix}\right.扩展前的序列频谱X(e^{j\omega})与扩展后的序列频谱X_e(e^{j\omega})之间有如下关系\begin{align*} X_e(e^{j\omega}) &= \sum_{n=-\infty}^{\infty}x_e[n]e^{-j\omega n}\\ &=\sum_{n=-\infty}^{\infty}x[n/L]e^{-j\omega n}\quad n=0,\pm L,\pm 2L,\cdot\cdot\cdot\\ &=\sum_{k=-\infty}^{\infty}x[k]e^{-j\omega kL}\quad letting\ n=kL\\ &=X(e^{j\omega L}) \end{align*}如下图所⽰滤波器与压缩器互换如上⼀篇⽂章所描述的减采样就是⼀个滤波器与压缩器的级联系统。
数字信号处理的常见问题及解决方法总结
数字信号处理的常见问题及解决方法总结数字信号处理在科学、工程领域中的应用越来越广泛。
在实际应用过程中，我们常常会遇到一些问题。
本文总结了一些常见的问题及其解决方法，以帮助读者更好地理解和应用数字信号处理技术。
问题一：信号滤波数字信号往往包含噪声和干扰，需要进行滤波处理以提取有效信息。
常见的信号滤波问题包括滞后滤波器、移动平均滤波器、低通滤波器等。
解决这些问题的方法通常包括设计合适的滤波器参数、选择适当的滤波器类型，并进行滤波器性能评估。
问题二：信号采样率选择在数字信号处理中，采样率的选择对信号重构和频谱分析等方面具有重要影响。
选择过低的采样率会导致信号失真，选择过高的采样率会浪费存储和计算资源。
解决这个问题的方法包括根据信号的带宽和特性选择合适的采样率，并根据需要进行抽取或插值处理。
问题三：频谱分析频谱分析是数字信号处理中的重要步骤，用于研究信号的频域特性。
常见的频谱分析问题包括功率谱密度估计、傅里叶变换等。
解决这些问题的方法包括选择合适的频谱分析方法（如快速傅里叶变换）、处理频谱分辨率问题，并进行频谱分析结果的解释和应用。
问题四：数字滤波器设计数字滤波器的设计是数字信号处理领域的关键问题之一。
常见的数字滤波器设计问题包括低通滤波器设计、高通滤波器设计、带通滤波器设计等。
解决这些问题需要根据滤波器的要求和性能指标，选择适当的设计方法（如窗函数法、频率抽样法），并进行滤波器参数调整和性能评估。
问题五：数字信号压缩数字信号压缩是在保证信号质量的前提下，减少信号数据量的一种技术。
常见的数字信号压缩问题包括有损压缩和无损压缩。
解决这些问题的方法通常包括选择适当的压缩算法（如哈夫曼编码、小波变换压缩），根据压缩效率和信号质量要求进行参数调整。
以上是数字信号处理中常见问题的一些总结及解决方法。
希望能够帮助读者更好地应用数字信号处理技术，解决实际应用中的问题。
采样率转换程序
采样率转换程序采样率是指在数字信号处理中，对模拟信号进行采样的频率。
它是一个非常重要的参数，决定了数字信号的质量和精度。
在实际应用中，我们经常需要对采样率进行转换，以适应不同的需求和系统要求。
本文将介绍采样率转换程序的原理和实现方法。
一、采样率转换的原理采样率转换主要是通过插值和抽取的方式实现的。
插值是指在已有的采样点之间插入新的采样点，从而增加采样率；抽取是指在已有的采样点之间舍弃部分采样点，从而降低采样率。
这样就可以通过插值和抽取的组合，实现不同采样率之间的转换。
二、采样率转换的实现方法1. 线性插值法：线性插值法是最简单的插值方法之一。
它通过连接相邻的采样点，按照一定的比例插入新的采样点。
这种方法简单易懂，计算量小，但是会引入一定的误差。
2. 多项式插值法：多项式插值法是一种更精确的插值方法。
它通过拟合已有的采样点，构造一个多项式函数，并在函数中插入新的采样点。
这种方法计算量较大，但精度更高。
3. 快速傅里叶变换（FFT）：FFT是一种高效的频域分析方法，也可以用于采样率转换。
它将信号从时域转换到频域，然后通过修改频域上的采样点，再通过反变换将信号恢复到时域。
这种方法计算量较大，但可以实现高质量的采样率转换。
三、采样率转换程序的实现采样率转换程序的实现需要根据具体的需求选择合适的算法和方法。
一般情况下，我们可以使用现成的信号处理库或软件包来实现采样率转换。
这些库和软件包中已经实现了各种采样率转换算法，并提供了相应的接口和函数，方便我们进行调用和使用。
在使用采样率转换程序时，我们需要提供两个参数：输入信号的采样率和目标采样率。
程序会根据这两个参数，选择合适的算法和方法进行转换。
转换后的信号可以保存到文件中，或者直接输出到音频设备中。
四、采样率转换的应用采样率转换在很多领域都有广泛的应用。
例如，在音频处理中，我们经常需要将不同采样率的音频进行转换，以适应不同的播放设备或系统要求。
在图像处理中，采样率转换可以用于图像的放大和缩小，以及图像的压缩和解压缩等。
多抽样率信号处理
L↑
H1( e ) =
j
h1(n)
L,
Y(n)
[− L
, L ]
0， 其他
设输入信号x（n）为一频带受限的实信号， 其频谱如图：
L=2内插后的频谱
L=4内插后的频谱
Matlab程序
clear; %清空工作间 N=100; %原采样时间，假设为100s n=0:1:N-1; %采样率为1s，即每隔1s采一个样 xn=sin(n*pi*0.2);%建立等待内插的函数 subplot(2,1,1) %画图 stem(n,xn);xlabel('t');title('x(t)');%画原函数图 yn=interp(xn,3); %直接用MATLAB内插函数进行 内插 t=0:1/3:N-1/3; %内插后的采样率，每隔1/3s采 一个样 subplot(2,1,2) stem(t,yn);xlabel('t');title('y(t)');%画内插后函数 图
j
X (e
j ( 2k ) / M )
)
Yd( e )是先将X(e )扩展M倍，幅度变为原 来的1/M，分别以2π，4π，6π，….，2kπ移 位叠加得到。
原信号
M=2抽取
原信号频谱图
M=2抽取信号频谱图
要避免抽取后的混叠，原信号带宽必须限 制在[- ， ]
M M
因此，必须在抽取之前经过一个低通（抗 混叠）滤波器,带有抗混叠滤波器框图如图 所示
L倍内插的分析
整数倍内插(Interpolation)是在已知的相邻抽 样点之间插入(L-1)个抽样值的点。
在已知抽样序列x(n1T1)的相邻两抽样点之间 等间距地插入(L-1)个0值点，然后进行低通滤 波，即可求得L倍内插的结果。(称为零值内插)
多采样率信号处理
另一类似的恒等关系：
x[n] H ( z ) L y[n]
xa [ n ]
（a）
x[n] L H ( z L ) y[n]
xb [ n ]
（b）
根据图（a）有：
Y ( e j ) X a ( e j L )
X (e jL ) H (e jL )
hM 1[n]
z ( M 1)
利用 ek [n] 分量和延迟链的滤波器h[n]的多相分解
h[n]
h[n]
Hale Waihona Puke e [ n] 0 M e [ n] 1
M h [ n] 0 M
z 1
h[n]
z
h[n 1]
h1[n]
z 1
z
h[n 2]
M e [ n] M 2
M 1 k 0
, n M的整数倍 其他
h[n] hk [n k ]
hk 是插0值的序列，例如上图中：
序列 h0 ，即序列①为：0 0 0 3 0 0 6 0 0…… 序列 h1 ，即序列②为：0 1 0 0 4 0 0 7 0…… 序列 h2 ，即序列③为：0 0 2 0 0 5 0 0 8……
因此，对于某些L和N值来说，图（b）相当于图（a）可能在计算 量上有明显的节约。
谢谢观赏
多采样率信号处理
多采样率技术一般指的是利用增采样，减采样，压缩器和扩展器等各种方式 来提高信号处理系统的效率。
多采样率信号处理
多相分解
多采样率信号处理的应用
1、多采样率信号处理
对于系统
x ( n) 100 H (e j ) 101 y (n)
信号分析与处理重要知识点
信号分析与处理重要知识点信号分析与处理是一门研究信号的产生、传输、采集、处理、分析及其应用的学科。
随着现代科学技术的快速发展，信号分析与处理在工程技术、通信技术、医学影像、机器学习等领域得到了广泛应用。
下面是信号分析与处理的重要知识点。
1.傅里叶变换傅里叶变换是信号处理中最为常用的数学工具之一、它将一个信号分解成多个基频的正弦和余弦波，便于对信号的频谱进行分析。
傅里叶变换有很多应用场景，比如音频、图像、视频信号处理等。
2.时频分析时频分析是一种将时间和频率两个维度结合的信号分析方法。
它通过对信号在时间和频率上的变化进行分析，能够得到信号的瞬时频率、能量集中区域等特征。
时频分析常见的方法有短时傅里叶变换(STFT)、连续小波变换(CWT)、希尔伯特-黄变换(HHT)等。
3.数字滤波器设计数字滤波器是指能够对数字信号进行滤波处理的系统，通常由差分方程、频率响应函数等方式描述。
数字滤波器设计是信号处理中的核心内容之一，常见的数字滤波器有低通滤波器、高通滤波器、带通滤波器等。
常用的滤波器设计方法有窗函数、零相位滤波器设计、最小相位滤波器设计等。
4.信号重构与插值信号重构与插值是对信号进行采样、压缩、恢复的过程。
在信号处理中，经常会遇到信号采样率不匹配、信号数据损失等情况，需要通过信号重构与插值的方法进行恢复。
常见的信号重构与插值方法有线性插值、多项式插值、样条插值等。
5.自适应信号处理自适应信号处理是指信号处理系统能够根据信号的特征，自动地调整处理参数，以适应信号的变化。
自适应信号处理常用的方法有LMS算法、RLS算法、神经网络等。
自适应信号处理广泛应用于通信系统、自动控制系统、智能系统等领域。
6.非平稳信号分析非平稳信号是指信号的统计特性随时间变化的信号。
非平稳信号分析是指对非平稳信号进行特性提取和分析的过程。
常见的非平稳信号分析方法有小波变换、时频分析、奇异谱分析、经验模态分解等。
7.高维信号处理高维信号是指在高维空间中描述的信号，如多维图像、多通道信号等。
程佩青《数字信号处理教程》(第4版)(名校考研真题详解 序列的抽取与插值——多抽样率数字信号处理基础
9.3 名校考研真题详解1．以20kHz 的采样率对最高频率为l0kHz 的带限信号采样，然后计算x（n ）的N ＝1000个采样点的DFT ，即：（1）求k ＝150对应的模拟频率是多少？k ＝800呢？（2）求频谱采样点之间的间隔为多少？[华南理工大学2007研]解：（1）根据数字频率与模拟频率的关系得：N 点的离散傅里叶变换DFT 是对离散信号的傅里叶变换DFT 在N 个频率点上的采样，即：所以，X （k ）对应的模拟频率为：所以，当N ＝1000时，序号k ＝150对应的模拟频率是f ＝3kHz 。
当k ＝800时，当N ＝1000时，，此时对应的模拟频率为：（2）由N 可得频谱采样点之间的间隔为：2．用DFT 对模拟信号进行谱分析，设模拟信号的最高频率为200Hz ，其频谱如图所示。
现以奈奎斯特频率采样得到时域离散序列，要求频率分辨率为10Hz 。
（1）求离散序列x （n ）的傅里叶变换，并画出其幅度频谱示意图；（2）求，并画出其谱线示意图；（3）求每个k值所对应的数字频率和模拟频率的取值，并在图中标出。
[中南大学2007研]解：（1）由题意知，最高频率，频率分辨率，所以采样频率为：所以：记录时间为：则采样点数为：对采样得：x （n）的傅里叶变换为：其幅度频谱示意图：（2）由（1）得：谱线示意图为：（3）的图示如下；由上分析可得：当时，对应的，由于得当时，对应的数字频率，与的对应关系为，其中。
3．已知连续时间信号为对该信号进行抽样，抽样频率为4kHz ，得到抽样序列x[n]，求x[nJ 的表达式。
[北京大学2005研]解：已知连续时间信号为：抽样频率后，直接令t ＝n ，代入x a （t ）得x （n ），即：s T4．利用数字系统处理模拟信号的框图如图所示，其中X （jw ）为连续信号x （t ）的频谱，是离散系统h[k]的频率响应。
当抽样间隔时，试画出信号x[k]、)(Ωj e H s T 401=y[k]、y （t ）的频谱。
数字信号处理中的多速率信号处理理论
数字信号处理中的多速率信号处理理论数字信号处理是数字信号处理理论及其在实践中的应用领域之一。
多速率信号处理又是数字信号处理中的一个重要领域，它广泛应用于数字通信、图像处理、音频处理、雷达信号处理等领域。
多速率信号处理（Multirate Signal Processing）指的是在数字信号处理中，采用不同的采样速率和插值方法对信号进行处理的技术。
一、多速率信号处理基础知识在数字信号处理中，多速率信号处理是一种重要的信号处理技术，该技术的核心思想是对于同一信号可以采用不同的采样频率和升降采样技术进行处理，从而得到更加复杂和精细的信号。
多速率信号处理的主要内容包括：抽取（Interpolation）、插值（Decimation），以及滤波器设计等方面内容。
其中，抽取（Interpolation）可以将输入的低采样率信号（Low-Sampling-Rate Signal）提高到高采样率信号（High-Sampling-Rate Signal）；插值（Decimation）可以将输入的高采样率信号（High-Sampling-Rate Signal）降低到低采样率信号（Low-Sampling-Rate Signal）；滤波器设计则是根据信号的特点和需要，设计出适合需求的低通、高通、带通、带阻滤波器。
多速率信号处理中的关键问题是如何处理采样率不一致的信号及其相应的傅里叶变换。
在这方面，z 变换和多项式插值方法是常用的处理手段。
二、多速率信号处理的应用多速率信号处理技术具有广泛的应用领域。
在数字通信中，多速率信号处理技术可以用来提高传输速率和传输质量，增强抗干扰能力，从而使通信更加稳定和可靠；在图像处理和视频编码中，多速率信号处理技术可以用来降低数据传输量，减少存储空间，实现更加高效的图像处理和压缩编码；在雷达信号和语音信号处理中，多速率信号处理技术可以用来提高信号分辨率，提高自适应性能，提高抗干扰能力等。
数字信号处理难点解析
数字信号处理难点解析数字信号处理是一门涉及众多领域的学科，在通信、音频处理、图像处理、控制系统等方面都有着广泛的应用。
然而，对于学习者和从业者来说，数字信号处理中存在着一些难点，这些难点可能会让人感到困惑和棘手。
接下来，让我们深入探讨一下数字信号处理中的几个主要难点。
一、数学基础要求高数字信号处理涉及到大量的数学知识，如高等数学、线性代数、概率论、傅里叶变换、拉普拉斯变换等。
其中，傅里叶变换是数字信号处理的核心概念之一，但它的理解和应用并不容易。
傅里叶变换将时域信号转换为频域信号，这对于分析信号的频率成分非常重要。
然而，傅里叶变换的数学表达式较为复杂，需要对复数运算有深入的理解。
而且，在实际应用中，还需要掌握快速傅里叶变换（FFT）算法来提高计算效率。
线性代数中的矩阵运算在数字信号处理中也经常用到，例如在滤波器设计、系统状态空间描述等方面。
概率论则在信号的随机特性分析和估计中发挥着关键作用。
对于初学者来说，这些数学知识的综合运用是一个巨大的挑战。
如果数学基础不够扎实，很容易在学习过程中遇到障碍，难以理解和掌握数字信号处理的基本原理和方法。
二、系统概念的理解数字信号处理中的系统概念包括线性时不变系统（LTI）、因果系统、稳定系统等。
理解这些系统的特性和行为对于分析和设计数字信号处理系统至关重要。
线性时不变系统是数字信号处理中最常见的系统类型。
线性意味着系统满足叠加原理，时不变表示系统的特性不随时间变化。
理解这两个特性对于分析系统对输入信号的响应非常重要。
因果系统要求系统的输出只取决于当前和过去的输入，而不依赖于未来的输入。
稳定系统则要求系统的输出在有界输入下也是有界的。
判断一个系统是否因果和稳定，需要运用数学方法进行分析，这对于初学者来说可能较为困难。
此外，系统的频率响应也是一个重要的概念。
通过分析系统的频率响应，可以了解系统对不同频率成分的衰减和增益情况，从而评估系统的性能。
三、滤波器设计滤波器设计是数字信号处理中的一个重要应用领域，也是一个难点。
数字信号处理课程设计题目_12级
数字信号处理课程设计题⽬_12级数字信号处理课程设计选题本次课程设计共有六组选题，每组选题每班可有4-5⼈选择，组内同学独⽴完成课程设计选题⼀：⼀、⼀个连续信号含两个频率分量，经采样得()=sin(2*0.125*n)+cos(2*(0.125+f)*n),0,1,,1x n n N ππ?=-当N=16，Δf 分别为1/16和1/64时，观察其频谱；当N=128时，Δf 不变，其结果有何不同，为什么？绘出相应的时域与频域特性曲线，分析说明如何选择DFT 参数才能在频谱分析中分辨出两个不同的频率分量。
⼆、对周期⽅波信号进⾏滤波1）⽣成⼀个基频为10Hz 的周期⽅波信号。
2）选择适当的DFT 参数，对其进⾏DFT ，分析其频谱特性，并绘出相应曲线。
3）设计⼀个滤波器，滤除该周期信号中40Hz 以后的频率分量，观察滤波前后信号的时域和频域波形变化4）如果该信号淹没在噪声中，试滤除噪声信号。
三、⾳乐信号处理：1）获取⼀段⾳乐或语⾳信号，设计单回声滤波器，实现信号的单回声产⽣。
给出单回声滤波器的单位脉冲响应及幅频特性，给出加⼊单回声前后的信号频谱。
2）设计多重回声滤波器，实现多重回声效果。
给出多回声滤波器的单位脉冲响应及幅频特性，给出加⼊多重回声后的信号频谱。
3）设计全通混响器，实现⾃然声⾳混响效果。
给出混响器的单位脉冲响应及幅频特性，给出混响后的信号频谱。
4）设计均衡器，使得不同频率的混合⾳频信号，通过⼀个均衡器后，增强或削减某些频率分量**。
（**可选做）课程设计选题⼆：⼀、已知序列1）为了克服频谱泄露现象，试确定DFT 计算所需要的信号数据长度N 。
2）求()x n 的N 点DFT ，画出信号的幅频特性。
3）改变信号数据长度，使其⼤于或⼩于计算出的N 值，观察此时幅频特性的变化。
分析说明变化原因。
791()=cos()0.5cos()0.75cos()16162x n n n n πππ++⼆、多采样率语⾳信号处理 1）读取⼀段语⾳信号2）按抽取因⼦D=2进⾏抽取，降低信号采样率，使得数据量减少。
信号的抽取与插值
n
xD (m)
xin(D t )zn n
xin(n t)zn/D
n
n 是 D 的 整 数 倍
...
...
由于n不是D的整数倍时xint (n) =0
-3 -2 -1 0 1 2 3
m
X D (z)
x in (n t)z n /D
n
x (.n )D (n )zD
n
n
D 1D r 0 1W D n r 1 0
niD niD D (n )
X D (z)n x(n)D 1D r 0 1W D nzrD n
D 1D r 0 1n x (n )W [D rzD 1] nD 1D r 0 1X (W D rzD 1)
XD(ej)D 1D r 0 1
j2r
X(e D )
可见，抽取序列的频谱 XD(ej) 是原序列频谱D倍展宽后 按（2）的整数倍位移并叠加而成
4π
33
X (ej / 3 )
1
6π
π 0 π X (e j( 2π)/ 3 )
1
6π
6π 4π
0
2π
X (e j( 4π)/ 3 )
1
6π
6π
2π
0
X D (ej / 3 ) 1 3
4π
6π
6π
π 0 π .
6π
2 整数因子插值
x(n)
fs
x(n)
↑I
xI (m)
xI (m)
n
D (n)
其中
D(n)(niD) i
xD (m )xin (D t ) m x(D)m
...
...
-9 -8 -7-6-5-4-3 -2-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
多抽样率数字信号处理
Z
-1
E1(z )
M
M点 IDFT
…
↓M
↓M
↓M
x[n]
Z
-1
E0(z)
EM-1(z)
Z
-1
E1(z)
M点 IDFT
均匀DFT分解滤波器
均匀DFT合成滤波器
L
…
↓M
↓M
↓M
x[n]
Z
-1
F0(z )
M
FM-1(z )
M
Z
-1
F1(z )
M
M点 IDFT
均匀DFT分解滤波器
特例：M=2
…
↓M
R0(z)
R1(z)
RL-1(z)
↑L
↑L
↑L
Z
-1
↓M
Z
-(L-1)
↓M
↓M
…
↑L
H(z)
↓M
任意因子采样率转换器
理想采样率转换器
数字→模拟→重采样
内插函数
线性插值
内插函数
2点连续不可导，3点连续可导 边界条件
拉格朗日内插算法：离散→连续
k=r时采样点值精确相等
例：3/2内插
输入 输出
样条内插
↓M
↓M
xn
Z
E0(z)
E(z)
Z
E(z)
M点 IDFT
分组滤波
合成滤波
2点DFT
特例：M=2
双通道正交镜像滤波器(QMF)组
分组滤波
合成滤波
R1(z)
R2(z)
频谱混叠
-π
π
信号频谱
-π
π
π/2
滤波器组
多采样率信号处理
图6.3.1 插值和抽取的级联实现 （a）使用2个低通滤波器 （b）使用1个低通滤波器
图中插值和抽取工作在级联状态。图（a）中
滤波器 h1(n),h2 (n) 所处理的信号的采样率都是 Lfs， 因此可以将它们合起来变成一个滤波器，如图 (b)
M k0
（6.9）
式中，若 y ，则 x / M ，这也正是（6.4）式
所给出的关系。
但在该式中，由于有 H (e j ) 的存在，其频谱被限制在
x / M 内，所以，可仅考虑 y 的一个周期，故上式 可简化为
Y (e jy ) 1 X (e jy / M ) 1 X (e jx )
所以，建立在采样率转换理论基础上的 “多采样率数字信号处理”已成为数字信号 处理这一学科中的重要内容。
实现采样率转换的方法有三个： • 一 是 若 原 模 拟 信 号x(t) 可 以 再
生，或是已记录下来，那么可重 新抽样；
• 二是将xn 通过 D/A 变成模拟信
号 x(t) 后，对x(t) 经 A/D 再抽样； • 三是发展一套算法，对抽样后的
W (e jy ) 在 ( / L ~ / L) 内等于 X (e j ) ,相当于将 X (e j ) 作
了周期压缩。如图 6.2.2。
图 6.2.2 信号的插值 （a）原信号的谱 （b）插零后的谱
实际上W (e jy ) 除在( / L ~ / L) 内等于X (e j ) ,
还有周期延拓部分（即多余的映像部分），为此，我
y(m) w(Mm) w(m) p(m)
h(k)x(Mm k)
h(Mm
k)x(k)
（6.6）
k
k
该式实际将低通滤波和抽取两个过程统一起来处理，因
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5
H ( z) =
记 则 若再记 则
l =0
信号的多相表示
M −1
给定序列h(n)，令 n = 0 ~ ∞ ，有 给定序列 ，
z −l ∑ h ( Mn + l ) z − Mn ∑
∞
n =0
∞
E l ( z ) = ∑ h ( Mn + l ) z − n
n =0 =0
H ( z) =
NCEPUBD
时域
2.2 先滤波再抽取
1 H (e ) = 0
jω
h(n)为一理想低通滤波器 为一理想低通滤波器: 为一理想低通滤波器
| ω |≤ π M else
∞
滤波后的输出为
υ (n) =
∞
k = −∞
∑ h(k ) x (n − k )
∞
抽取后的序列为y(n) : 对v(n)抽取后的序列为 抽取后的序列为
NCEPUBD
1
1.3
引 言
研究内容
核心内容:信号抽样率的转换及滤波器组。 核心内容:信号抽样率的转换及滤波器组。
信号的“抽取 减少抽样率以 信号的“抽取(decimatiom) ” ：减少抽样率以 去掉过多数据 信号的“插值 增加抽样率以 信号的“插值(interpolation) ” :增加抽样率以 增加 增加数据 分析滤波器组和综合滤波器组 滤波器组:分析滤波器组和综合 滤波器组 分析滤波器组和综合滤波器组
jω jω jω jω jω L
所以应取c=L以保证 以保证y(n)=x(n/L) 所以应取 以保证
NCEPUBD
时域
3.3 先插值再滤波
y ( n) = υ ( n) * h( n) = ∑ υ ( k ) h( n − k )
k
= ∑ x ( k L ) h( n − k )
k
即
y (n) =
Ql ( z ) = ∑ h ( Mn − l ) z −n
n =0
∞
H ( z) =
显然
M −1 l =0
∑ z Q (z
l l
M
)
Ql ( z ) = z E M −l ( z )
NCEPUBD
−1
类 型 III 多 相 表 示
6
几个重要的恒等关系
多采样率信号 处理
——信号的抽取与插值
孙正 2007.9
NCEPUBD
主要内容
• • • • • • • • 引言 信号的抽取 信号的插值 抽取与插值相结合的抽样率转换 信号的多相表示 几个重要的恒等关系 抽取和插值的滤波器实现 抽取与插值的编程实现
学习要求：掌握数字域升、降采样的基本原理， 学习要求：掌握数字域升、降采样的基本原理， 降采样过程中滤波器的设计、特性和作用， 升、降采样过程中滤波器的设计、特性和作用， 以及插值和抽取前后信号频谱变化。 以及插值和抽取前后信号频谱变化。
j ( ω − 2 πk )
) H (e
M
)
在(-π/M～π/M)内, 抽取后信号的频谱与原信号频 ～ 内 谱只是幅度相差M倍 谱只是幅度相差 倍。
NCEPUBD
3
• 插值的概念
信号的插值
• 插零后的信号及其频谱 • 先插值再滤波
NCEPUBD
3.1 插值的概念
设 x(n) = x(t ) |t = nTs ，将x(n)中每两个点之中补 中每两个点之中补 L-1个0，组成一个新的序列 个 ，组成一个新的序列v(n)，即 ，
π π
该滤波器既去除了 插值后的映像又防 止了抽取后的混迭
使用2 使用2个低通滤波器
使用1 使用1个低通滤波器
NCEPUBD
时域上x(n)和y(n)的关系 4.1 时域上 和 的关系
y(n ) =
k = −∞
∑ x(k )h( Mn − Lk )
∞
y(n)正是单独抽取和单独插值时时域关系的结合 正是单独抽取和单独插值时时域关系的结合 因为h(n)是因果滤波器，所以 是因果滤波器， 因为 是因果滤波器 Mn − Lk ≥ 0 k ≤ ( M L) n 记
g (n, m) = h(nL + < Mm > L )
因为
−∞ < n, m < ∞
g (n, m + kL) = h(nL + < Mm + kML > L ) = h(nL + < Mm > L )
所以g(n,m)是变量 的周期函数，周期为 。 是变量m的周期函数 周期为L。 所以 是变量 的周期函数，
jω
)
插零后信号的频谱V(ejω)在(-π/L~π/L)内等于 jω),相 内等于X(e 相 插零后信号的频谱 在 内等于 当于将X(e 作了周期压缩 换句话说，就是V(e 在 作了周期压缩。 当于将 jω)作了周期压缩。换句话说，就是 jω)在 (-π~π)内包含了 个X(ejω)的压缩样本。 内包含了L个 的压缩样本。 内包含了 的压缩样本
M −1 l =0
∑z
− ( M −1− l )
Rl ( z )
M
式中 Rl ( z ) = E M −1−l ( z ) = ∑ h ( Mn + M − 1 − l ) z − n
n =0
∞
类 型 II 多 相 表 示
NCEPUBD
5
信号的多相表示
代替类型I中的 用-l代替类型 中的 ，则有 代替类型 中的l，
NCEPUBD
频域上x(n)和y(n)的关系 4.2 频域上 和 的关系
L M −1 1 Y (e jω ) = U (e j ( ω − 2π k ) M ) = M ∑ M k =0
M −1
X (e j (ω L − 2π k ) M ) | ω |≤ min( π , π ) ∑ k =0 M L 其它 0
NCEPUBD
1
1.2
应用举例： 应用举例：
引 言
研究目的
既可传输一般的语音信号， 既可传输一般的语音信号，也可传输播视频信 号的数字传输系统； 号的数字传输系统； 在音频世界，存在着多种抽样频率； 在音频世界，存在着多种抽样频率； 当需要将数字信号在两个具有独立时钟的数字 系统之间传递时； 系统之间传递时； 对信号（如语音，图象）作谱分析或编码时； 对信号（如语音，图象）作谱分析或编码时； 对一个信号抽样时，若抽样率过高， 对一个信号抽样时，若抽样率过高，必然会造 成数据的冗余； 成数据的冗余；
k = [ Mn L] − m
取整
Mn − [ Mn L]L = Mn mod L = Mn
L
则
y (n) = ∑ x([ Mn L] − m)h(mL + Mn L )
m =0
∞
Mn对模 求余 对模L求余 对模
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时域上x(n)和y(n)的关系 4.1 时域上 和 的关系
y(n)可以看作是将 可以看作是将x(n)通过一个时变滤波器所 通过一个时变滤波器 可以看作是将 通过一个时变滤波器所 得到的输出。 得到的输出。记该时变系统的单位抽样响应为
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1
• 研究背景 • 研究目的 • 研究内容
引
言
NCEPUBD
1
1.1
引 言
研究背景
至今， 至今，我们讨论的数字系统中只有一个 抽样率。 抽样率。 但是，在实际应用中， 但是，在实际应用中，各系统之间的采 样率往往是不同的
NCEPUBD
1
1.2
引 言
研究目的
要求一个数字系统能工作在“ 要求一个数字系统能工作在“多抽样率 （multirate）”状态，以适应不同抽样 ） 状态， 信号的需要。 信号的需要。 对一个数字信号， 对一个数字信号，能在一个系统中以不 同的抽样频率出现。 同的抽样频率出现。
NCEPUBD
2
信号的抽取
• 抽取对信号频谱的影响 • 先滤波再抽取
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2.1 抽取对信号频谱的影响
中每M个点中抽取一个 设 x (n) = x (t ) |t = nTs ，将x(n)中每 个点中抽取一个， 中每 个点中抽取一个， 依次组成一个新的序列y(n)，即 ， 依次组成一个新的序列
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5
意义： 意义：
信号的多相表示
使用多相表示可在抽样率转换的过 程中去掉许多不必要的计算， 程中去掉许多不必要的计算，因而大大 提高运算速度。 提高运算速度。
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5
∞ n =0
信号的多相表示
给定序列h(n)，令 n = 0 ~ ∞ ，假定M=4 给定序列 ， 假定
H ( z ) = ∑ h( n) z − n = h0 + h4 z −4 + h8 z −8 + h12 z −12 + L
NCEPUBD
2.1 抽取对信号频谱的影响
x (t )
x (n )
抽样
x (n ) y ( n)
保证 f s ≥ 2 f c 不会发生频谱的混迭
M倍抽取 倍抽取
保证 f s ≥ 2 Mf c 不会发生频谱的混迭
是可变的， 出现混迭， 若M是可变的，为防止抽取后在Y (e jω )出现混迭，应对 是可变的 x(n)抽取前先作低通滤波，压缩其频带。 抽取前先作低通滤波 抽取前先作低通滤波，压缩其频带。
y (n) = υ ( Mn) =
k =−∞
∑ h(k ) x( Mn − k ) = ∑ x(k )h( Mn − k )
k =−∞
NCEPUBD
2.2 先滤波再抽取
NCEPUBD
频域
2.2 先滤波再抽取
M −1 k =0