类比探究专题

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八数类比探究专题

八数类比探究专题(人教）知识点睛1. 类比探究是一类共性条件与特殊条件相结合，由特殊情形到一般情形（或由简单到复杂）逐步深入，解决思想方法一脉相承的综合性题目，常以几何综合题为主——“条件类似、图形结构类似、问法类似”．2. 类比探究的处理思路：（1）类比是解决类比探究的第一原则，即类比上一问思路，迁移解决下一问；（2）对比前后条件变化，寻找并利用不变特征，考虑相关几何结构解决问题．①若属于类比探究常见结构，调用结构类比解决；②若不属于常见结构，依据不变特征大胆猜测、尝试、验证、构造． 3. 类比探究常见结构举例（1）中点结构直角+中点平行夹中点见中点，要倍长多个中点，斜边中线延长证全等倍长之后证全等考虑中位线（2）旋转结构常见模型1如图，△ABC ，△ADE 均为等边三角形，则出现了AB =AC ，AD =AE 等线段共端点的结构，所以连接BD ，CE ，可以证明△ABD ≌△ACE ，即把 △ABD 绕点A 逆时针旋转60°得到△ACE ．常见模型2CEDC B AEDC B A如图，正方形ABCD 中，点E ，F 分别在边BC ，CD 上，且∠EAF =45°，则EF =BE +DF ．思路提示：正方形四条边都相等，提供了等线段共端点，所以考虑构造旋转解决问题，即找到等线段AD =AB ，把线段AD 绕点A 顺时针旋转90°，与线段AB 重合，则AD 所在△ADF 绕着点A 顺时针旋转90°得到△ABG ．（3）直角结构直角结构——斜直角放正FEFG E B C ABCD E DECBA精讲精练【中点结构】1. 已知P 是Rt △ABC 的斜边AB 上一动点（不与点A ，B 重合），分别过点A ，B 向直线CP 作垂线，垂足分别为点E ，F ，Q 为斜边AB 的中点．（1）如图1，当点P 与点Q 重合时，AE 与BF 的位置关系是___________，QE 与QF 的数量关系是______________．（2）如图2，当点P 不与点Q 重合时，试判断QE 与QF 的数量关系，并给予证明．（3）如图3，当点P 在线段BA （或AB ）的延长线上时，（2）中的结论是否仍然成立？请画出图形并给予证明．2. 如图，四边形ABCD 和四边形CGEF 均为正方形，M 是线段AE 的中点．图1BCQ (P )EF A AFE PQCB 图2（1）如图1所示，点B ，C ，G 在同一条直线上，DM 的延长线交EF 于点N ，连接FM ，则DM 与FM 的数量关系为____________，位置关系为___________（直接写出答案，无需写证明过程）．（2）如图2，当点B ，C ，F 在同一条直线上，DM 的延长线交EG 于点N ，其余条件不变，试探究线段DM 与FM 有怎样的关系？请写出猜想，并给予证明．（3）如图3，当点E ，B ，C 在同一条直线上，DM 的延长线交CE 的延长线于点N ，若此时点A 恰好为CG 的中点，AB =1，其余条件不变，请直接写出FM 的长度．3. 已知等腰三角形ABC 中，∠ACB =90°，点E 在AC 的延长线上，且∠DEC =45°，M ，N 分别是DE ，AE 的中点，连接MN ，交直线BE 于点F ．当点D 在CB图1NMG FED CBA 图2N MG FEDCB A图3NMGFEDCBA的延长线上时，如图1所示，易证．（1）如图2，当点D 在CB 边上时，上述结论是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请写出你的猜想，并说明理由．（2）当点D 在BC 的延长线上时，如图3所示，请直接写出线段MF ，FN ，BE 之间的数量关系（不需要证明）．12MF FN BE +=图1ADBCNMEF 图2A DBCN M EF图3ADBC NMEF4. 已知点O 是△ABC 内任意一点，连接OA 并延长到点E ，使得AE =OA ，以OB ，OC 为邻边作□OBFC ，连接OF ，与BC 交于点H ，连接EF ．（1）问题发现如图1，若△ABC 为等边三角形，线段EF 与BC 的位置关系是________，数量关系为__________．（2）拓展探究如图2，若△ABC 为等腰直角三角形（BC 为斜边），（1）中的两个结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请写出正确结论再给予证明．（3）解决问题如图3，若△ABC 是等腰三角形，AB =AC =2，BC =3，请你直接写出线段EF 的长．ABCEF HO图1图2F BAOHCE图3F BHOCAE5. 操作与证明：如图1，把一个含45°角的直角三角板ECF 和一个正方形ABCD 摆放在一起，使三角形的直角顶点和正方形的顶点C 重合，点E ，F 分别在正方形的边CB ，CD 上，连接AF ，取AF 中点M ，EF 的中点N ，连接MD ，MN ．（1）连接AE ，求证：△AEF 是等腰三角形．猜想与发现：（2）在（1）的条件下，请判断MD ，MN 的数量关系和位置关系．（不需要证明）结论1：MD ，MN 的数量关系是____________________；结论2：MD ，MN 的位置关系是____________________．拓展与探究：（3）如图2，将图1中的直角三角板ECF 绕点C 顺时针旋转180°，其他条件不变，则（2）中的两个结论还成立吗？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由．图1AB CD EFM N 图2N M F EDCBA6.已知，在四边形ABCD中，点E，点F分别为AD，BC的中点，链接EF．（1）如图1，AB∥CD，连接AF并延长交DC的延长线于点G，则AB，CD，EF之间的数量关系为________________；（2）如图2，∠B=90°，∠C=150°，求AB，CD，EF之间的数量关系？AB C DEFG 图1AB CDEF图2图1ABDEFG图2ABCDEFG图3AB CD EFG 【旋转结构】7. 以四边形ABCD 的边AB ，AD 为边分别向外侧作等边△ABF 和等边△ADE ，连接EB ，FD ，交点为G ．（1）问题发现：当四边形ABCD 为正方形时（如图1），EB 和FD 的数量关系是___________．（2）拓展探究：当四边形ABCD 为矩形时（如图2），EB 和FD 具有怎样的数量关系？请加以证明．（3）问题解决：四边形ABCD 由正方形到矩形到一般平行四边形的变化过程中，∠EGD 是否发生变化？如果改变，请说明理由；如果不变，请在图3中求出∠EGD 的度数．图1A BCDE F图2AB EC FD图3B A DCEF8. 已知四边形ABCD 是菱形，AB =4，∠ABC =60°，∠EAF 的两边分别与射线CB ，DC 相交于点E ，F ，且∠EAF =60°．（1）如图1，当点E 是线段CB 的中点时，直接写出．．．．线段AE ，EF ，AF 之间的数量关系；（2）如图2，当点E 是线段CB 上任意一点时（点E 不与B ，C 重合），求证：BE =CF ；（3）如图3，当点E 在线段CB 的延长线上，且∠EAB =15°时，求点F 到BC 的距离．图1GF ED CBA 图2ED CB A图3GFED CBA9. 如图1，在正方形ABCD 中，点E ，F 分别为DC ，BC 边上的点，且满足∠EAF =45°，连接EF ，求证：DE +BF =EF ．小明是这样解决的：延长CB 到点G ，使BG =DE ，连接AG ，再证明△GAF ≌△EAF ，可证得结论．感悟小明的解题方法，运用你所积累的经验和知识，完成下题：（1）如图2，在四边形ABCD 中，AD ∥BC （AD ＞BC ），∠D =90°，AD =CD =10，E 是CD 上一点，且∠BAE =45°，DE =4，求BE 的长．（2）类比（1）证明思想完成下列问题：在同一平面内，将两个全等的等腰直角三角形ABC 和AFG 摆放在一起，A 为公共顶点，∠BAC =∠AGF =90°，若△ABC 固定不动，△AFG 绕点A 旋转，AF ，AG 与边BC 的交点分别为D ，E （点D 不与点B 重合，点E 不与点C 重合），在旋转过程中，等式 BD 2+CE 2=DE 2始终成立，请说明理由．G FEDCBA图1FED CBA图210. 问题背景如图1，在四边形ABCD 中，AB =AD ，∠BAD =120°，∠B =∠ADC =90°，EF 分别是BC ，CD 上的点，且∠EAF =60°，探究图中线段BE ，EF ，FD 之间的数量关系．小王同学探究此问题的方法是延长FD 到点G ，使DG =BE ，连接AG ，先证明△ABE ≌△ADG ，再证明△AEF ≌△AGF ，可得出结论，他的结论应是_______．（2）探索延伸如图2，在四边形ABCD 中，AB =AD ，∠B +∠D =180°，E ，F 分别是BC ，CD 上的点，且∠EAF =12∠BAD ，上述结论是否仍然成立，并说明理由．（3）结论应用如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O 处）北偏西30°的A 处，舰艇乙在指挥中心南偏东70°的B 处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等．接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以60海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东50°的方向以80海里/小时的速度前进，1.5小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E ，F 处，且两舰艇与指挥中心O 之间夹角∠EOF =70°，试求此时两舰艇之间的距离.【直角结构】11. （1）观察猜想如图1，点B ，A ，C 在同一条直线上，DB ⊥BC ，EC ⊥BC 且∠DAE =90°，AD =AE ，则BC ，BD ，CE 之间的数量关系为_______________；（2）问题解决如图2，在Rt △ABC 中，∠ABC =90°，CB =4，AB =2，以AC 为直角边向外作等腰Rt △DAC ，连接BD ，求BD 的长；图1 图2（3）拓展延伸如图3，在四边形ABCD 中，∠ABC =∠ADC =90°，CB =4，AB =2，DC =DA ，请直接写出BD 的长．EDCBADCB ADCBA12. 情境创设：如图1，两块全等的直角三角板，△ABC ≌△DEF ，且∠C =∠F =90°，现如图放置，则∠ABE =___________．问题探究：如图2，△ABC 中，AH ⊥BC 于点H ，以A 为直角顶点，分别以AB ，AC 为直角边，向△ABC 外作等腰直角△ABE 和等腰直角△ACF ，过点E ，F 作射线HA 的垂线，垂足分别为M ，N ，试探究线段EM 和FN 之间的数量关系，并说明理由．拓展延伸：如图，△ABC 中，AH ⊥BC 于点H ，以A 为直角顶点，分别以AB ，AC 为一边，向△ABC 外作正方形ABME 和正方形ACNF ，连接EF 交射线HA 于点G ，试探究线段EG 和FG 之间的数量关系，并说明理由．图1AB (D )CEF图2AB CEFHN M 图3M13.的正方形ABCD中，P是对角线AC上的一个动点（与点A，C不重合），过点P作PE⊥PB，PE交射线DC于点E，过点E作EF⊥AC，垂足为点F．（1）求证：PB=PE．（2）在点P的运动过程中，PF的长度是否发生变化？若不变，试求出这个不变的值，写出解答过程；若变化，试说明理由．（3）在点P的运动过程中，△PEC能否为等腰三角形？如果能，直接写出此时AP的长；如果不能，试说明理由．AB CDPEF备用图FEPDCBA【其他类型】14.如图1，点A(a，b)在平面直角坐标系xOy中，点A到坐标轴的垂线段AB，AC与坐标轴围成矩形OBAC，当这个矩形的一组邻边长的和与积相等时，点A称作“垂点”，矩形称作“垂点矩形”．（1）在点P(1，2)，Q(2，-2)，N(12，-1)中，是“垂点”的点为______；（2）点M(-4，m)是第三象限的“垂点”，直接写出m的值______；（3）如果“垂点矩形”的面积是163，且“垂点”位于第二象限，写出满足条件的“垂点”的坐标______；（4）如图2，平面直角坐标系的原点O是正方形DEFG的对角线的交点，当正方形DEFG的边上存在“垂点”时，GE的最小值为______．图1图215. 如图1，在正方形ABCD 中，P 是对角线BD 上的一点，点E 在AD 的延长线上，且PA =PE ，PE 交CD 于F ．（1）证明：PC =PE ；（2）求∠CPE 的度数；（3）如图2，把正方形ABCD 改为菱形ABCD ，其他条件不变，当∠ABC =120°时，连接CE ，试探究线段AP 与线段CE 的数量关系，并说明理由．图1ABC PD EF图2APDEFBC16. 如图，在等边三角形ABC 中，点D 在直线BC 上，连接AD ，作∠ADN =60°，直线DN 交射线AB 于点E ，过点C 作CF ∥AB ，交直线DN 于点F ．（1）当点D 在线段BC 上，∠NDB 为锐角时，如图1，求证：CF +BE =CD ．（提示：过点F 作FM ∥BC ，交射线AB 于点M ）（2）当点D 在线段BC 的延长线上，∠NDB 为锐角时，如图2；当点D 在线段CB 的延长线上，∠NDB 为钝角时，如图3．请分别写出线段CF ，BE ，CD 之间的数量关系，不需要证明．（3）在（2）的条件下，若∠ADC =30°，ABC S △，则BE =_________，CD =________．图1N MFEDC B ADCABFEN图2D CABFEN图3。

专题：动点引起的类比探究综合题

专题四十二：动点引起的类比探究综合题方法点睛解决动点引起的类比探究题的一般思路通常需要先分析点在线段上运动的情况，运用相关知识，得到相关结论，再将问题进行升华，探究点在线段延长线上或反向延长线上的情况，抓住运动过程中不变的量和探究对象之间的关系，通过研究基本图形，分析运动过程，从特殊再到一般来解决问题．典例分析例．（2022鄂尔多斯中考）（12分）在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，AD是△ABC的角平分线．（1）如图1，点E、F分别是线段BD、AD上的点，且DE＝DF，AE与CF的延长线交于点M，则AE与CF的数量关系是，位置关系是；（2）如图2，点E、F分别在DB和DA的延长线上，且DE＝DF，EA的延长线交CF于点M．①（1）中的结论还成立吗？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由；②连接DM，求∠EMD的度数；③若DM＝6，ED＝12，求EM的长．（1）如图1，在△ABC 中，AB ＝AC ．①BD ，CE 是△ABC 的角平分线．求证：BD ＝CE ．②点D ，E 分别是边AC ，AB 的中点，连接BD ，CE ．求证：BD ＝CE ．（从①②两题中选择一题加以证明）（2）猜想：用数学的眼光观察经过做题反思，小明同学认为：在△ABC 中，AB ＝AC ，D 为边AC 上一动点（不与点A ，C 重合）．对于点D 在边AC 上的任意位置，在另一边AB 上总能找到一个与其对应的点E ，使得BD ＝CE ．进而提出问题：若点D ，E 分别运动到边AC ，AB 的延长线上，BD 与CE 还相等吗？请解决下面的问题：如图2，在△ABC 中，AB ＝AC ，点D ，E 分别在边AC ，AB 的延长线上，请添加一个条件（不再添加新的字母），使得BD ＝CE ，并证明．（3）探究：用数学的语言表达如图3，在△ABC 中，AB ＝AC ＝2，∠A ＝36°，E 为边AB 上任意一点（不与点A ，B 重合），F 为边AC 延长线上一点．判断BF 与CE 能否相等．若能，求CF 的取值范围；若不能，说明理由．专题过关1.（2022威海中考）回顾：用数学的思维思考（1）如图1，当点G 在BC 边上时，写出PG 与PC 的数量关系．（不必证明）（2）如图2，当点F 在AB 的延长线上时，线段PC 、PG 有怎样的数量关系，写出你的猜想，并给予证明；（3）如图3，当点F 在CB 的延长线上时，线段PC 、PG 又有怎样的数量关系，写出你的猜想（不必证明）．2.（2022牡丹江中考）在菱形ABCD 和正三角形BGF 中，60ABC ∠=︒，P 是DF 的中点，连接PG 、PC ．点B C 、重合），过点D 作DE AD ⊥，交射线AB 于点E．（1）分别探索以下两种特殊情形时线段AE 与BE 的数量关系，并说明理由；①点E 在线段AB 的延长线上且BE BD =；②点E 在线段AB 上且EB ED =．（2）若6AB =．①当2DE AD =时，求AE 的长；②直接写出运动过程中线段AE 长度的最小值．3.（2022扬州中考）如图1，在ABC ∆中，90,60BAC C ∠=︒∠=︒，点D 在BC 边上由点C 向点B 运动（不与D 从O 点出发，沿OM 方向运动．当点D 不与点A 重合时，将线段CD 绕点C 逆时针方向旋转60°得到CE ．连接BE ，DE．（1）如图1，当点D 在线段OA 上运动时，线段BD 、BE 、BC 之间的数量关系是______，直线AD 和直线BE 所夹锐角的度数是______；（2）如图2，当点D 运动到线段AB （不与A 点重合）上时，（1）中的结论是否仍然成立，若成立，请说明理由；若不成立，请写出正确的结论并说明理由；（3）如图3，将ABC 改为等腰直角三角形，其中斜边6AB =，其它条件不变，以CD 为斜边在其右侧作等腰直角三角形CDE ，连接BE ，请问BE 是否存在最小值，若存在，直接写出答案；若不存在，说明理由．4.（2022河南西平一模）如图1，ABC 是边长为6cm 的等边三角形，边AB 在射线OM 上，且9OA =cm ．点BE 与CD 交于点P ．试判断：①∠BPD 的度数为______；②线段PB ，PD ，PE 之间的数量关系：PB______PD+PE ．（填写“>”或“<”或“=”）（2）若点E 是边AC 所在射线AC 上一动点（102CE AC <<）．按下列步骤画图：（ⅰ）连接BE ，作点A 关于BE 所在直线的对称点D ，连接BD ；（ⅱ）作射线DC ，交BE 所在直线于点P ．小明所做的图形如图2所示，他猜想：PB PD PC =+．下面是小明的思考过程：如图2，延长PD 到F ，使得DF PC =，连接BF ．发现BPC BFD △△≌，从而得到BP BF =，又因为60ABC ∠=︒所以可得60PBF ∠=︒，进而得到PBF △为等边三角形，从而得到线段PB ，PC ，PD 之间关系是PB PD PC =+．小华同学画图时，把点E 标在了边AC 的延长线上，请就图3按要求画出图形，猜想线段PB ，PC ，PD 之间的数量关系，并说明理由．（3）如图4，在ABC 中，若90ABC ∠=︒，AB BC =，点E 是射线AC 上一动点（102CE AC <<），连接BE ，作点A 关于直线BE 的对称点D ，连接DC ，射线DC 与射线BE 交于点P ，若PC m =，PB n =，请直接用m ，n 表示PD的长．5.（2022平顶山二模）（1）如图1，已知△ABC 是等边三角形，D ，E 分别为边AB ，AC 的中点，连接BE ，CD ，直线MN 上一点，连接AP ，将线段PA 绕点P 顺时针旋转90得到线段PQ ，连接AQ ，CQ．（1）【问题发现】如图1，当点P 与点M 重合时，线段CQ 与PN 的数量关系是，∠ACQ=°．（2）【探究证明】当点P 在射线MN 上运动时（不与点N 重合），（1）中结论是否一定成立？请利用图2中的情形给出证明．（3）连接PC ，当△PCQ 是等边三角形时，请直接写出AB PN的值．6.（2022郑州外国语三模）在△ABC 中，AB AC =，90BAC ∠=，点M ，N 分别是AC ，BC 的中点，点P 是一点，连接AP ，将线段PA 绕点P 顺时针旋转90°得到线段PM ，连接AM ，CM．（1）问题发现如图（1），当点P 与点D 重合时，线段CM 与PE 的数量关系是，∠ACM ＝°．（2）探究证明当点P 在射线ED 上运动时（不与点E 重合），（1）中结论是否一定成立？请仅就图（2）中的情形给出证明．（3）问题解决连接PC ，当△PCM 是等边三角形时，请直接写出AC PE 的值．7.（2022信阳三模）在△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，点D ，E 分别是AC ，BC 的中点，点P 是直线DE 上不与点A ，B 重合），以CD 为边作正方形CDEF ，连接AE ，AF．（1）观察猜想当点D 在线段AB 上时，线段BD 与AF 的数量关系是______，∠CAE 的度数是______．（2）探究证明当点D 不在线段AB 上时，（1）中的两个结论是否仍然成立？如果成立，请仅就图2的情形进行证明；如果不成立，请说明理由．（3）解决问题当BD AE 的长．8.（2022河南天一大联考）如图1，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ＝3，点D 是直线AB 上一动点（点D连接AD，把AD绕点A逆时针旋转90°得到AE，连接DE，F，G分别是DE，CD的中点，连接FG．【特例感知】（1）如图1，当点D是BC的中点时，FG与BD的数量关系是，FG与直线BC的位置关系是；【猜想论证】（2）当点D在线段BC上且不是BC的中点时，（1）中的结论是否仍然成立？①请在图2中补全图形；②若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．【拓展应用】（3）若AB＝AC=，其他条件不变，连接BF、CF．当△ACF是等边三角形时，请直接写出△BDF 的面积．9.（2022河南社旗一模）在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，动点D在直线BC上（不与点B，C重合），10.（2022三门峡一模）问题情境：如图1，M是线段AB上任意一点（不与点A，B重合），分别以AM和BM为斜边在AB同侧构造等腰直角三角形．AMC和等腰直角三角形BMD，连接CD，取AB中点E，CD中点F，连接EF（1）观察猜想：如图2，当点M与点E重合时，EF与CD之间的数量关系为______；（2）延伸探究：如图3，当点M与点E不重合时，问题（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由；AB ，线段EF是否存在最小值？若存在，请直接写出最小值；若不存在，请说（3）应用提升：如图3，若2cm明理由．线AD、EC上的动点，且AP，连结BP，PQ，过点B，Q分别作PQ，BP的平行线交于点F．（1）当点P在线段AE上（不包含端点）时，①求证：四边形BFQP是正方形；②若BC将四边形BFQP的面积分为1：3两部分，求AP的长；（2）如图2，连结PF，若点C在对角线PF上，求△BFC的面积（直接写出答案）11.（2022苏州中学三模）如图，在矩形ABCD中，AD=2AB=8，点E是边AD的中点.连结EC，P、Q分别是射点，连接BE ，过点C 作BE 的垂线交AD 于点F ，试猜想BE 与CF 的数量关系．【类比探究】（2）如图2，在矩形ABCD 中，4AB =，6BC =，G 为边AB 上的一个点，E 为边CD 延长线上的一个点，连接GE 交AD 于点H ，过点C 作GE 的垂线交AD 于点F ，试猜想GE 与CF 的数量关系并说明理由．【拓展延伸】（3）如图3，在正方形ABCD 中，点E 从点B 出发沿射线BC 运动，连接AE ，过点B 作AE 的垂线交射线CD 于点F ，过点E 作BF 的平行线，过点F 作BC 的平行线，两平行线交于点H ．当点E 运动的路程为8时，请直接写出点H运动的路径长度．12.（2022南阳淅川一模）【问题发现】（1）如图1，在矩形ABCD 中，4AB =，6BC =，E 为边DC 上的一个其中∠ECF ＝90°，过点F 作FG ⊥BC 交BC 的延长线于点G ，连接DF 交CG 于点H．（1）发现如图1，若AB ＝AD ，CE ＝CF ，猜想线段DH 与HF 的数量关系是______（2）探究如图2，若AB ＝nAD ，CF ＝nCE ，（1）中的猜想是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．（3）拓展在（2）的基础上，若FC 的延长线经过AD 的三等分点，且AD ＝3，AB ＝4，请直接写出线段EF 的值13.（2022平顶山一模）点E 是矩形ABCD 边AB 延长线上一动点（不与点B 重合），在矩形ABCD 外作Rt △ECF（1）如图1，当点E在边AB上时，DE⊥DF，且B，C，F三点共线．求证：AE＝CF；（2）如图2，当点E在正方形ABCD外部时，DE⊥DF，AE⊥EF，且E，C，F三点共线．猜想并证明线段AE，CE，DE之间的数量关系；（3）如图3，当点E在正方形ABCD外部时，AE⊥EC，AE⊥AF，DE⊥BE，且D，F，E三点共线，DE与AB交于G点．若DF＝3，AE，求CE的长．14.（2022驻马店六校联考二模）已知正方形ABCD，E，F为平面内两点．不与点B 、点C 重合），以AD 为边在AD 右侧作正方形ADEF ，连接CF．（1）观察发现：如图1，当点D 在线段BC 上时，①BC 、CF 的位置关系为___________；②BC 、CD 、CF 之间的数量关系为___________．（2）探究证明：如图2，当点D 在线段CB 的延长线上时，（1）中的两个结论是否仍然成立？请说明理由．（3）问题解决：如图3，当点D 在线段BC 的延长线上时，延长BA 交CF 于点G ，连接GE.若AB =，4BC CD =时，直接写出GE 的长．15.（2022河南新野一模）在ABC 中，22BAC ABC ACB ∠=∠=∠，D 是BC 所在直线上的一个动点（点D（1）△ABC 是边长为3的等边三角形，E 是边AC 上的一点，且AE=1，小亮以BE 为边作等边三角形BEF ，如图（1）所示．则CF 的长为．（直接写出结果，不说明理由）（2）△ABC 是边长为3的等边三角形，E 是边AC 上的一个动点，小亮以BE 为边作等边三角形BEF ，如图（2）所示．在点E 从点C 到点A 的运动过程中，求点F所经过的路径长．思路梳理并填空：当点E 不与点A 重合时，如图，连结CF ，∵△ABC 、△BEF 都是等边三角形∴BA=BC ，BE=BF ，∠ABC=∠EBF=60°∴①∠ABE+=∠CBF+；∴∠ABE=∠CBF∴△ABE ≌△CBF∴∠BAE=∠BCF=60°又∠ABC=60°∴∠BCF=∠ABC∴②______∥______；当点E 在点A 处时，点F 与点C 重合．当点E 在点C 处时，CF=CA ．∴③点F 所经过的路径长为．（3）△ABC 是边长为3的等边三角形，M 是高CD 上的一个动点，小亮以BM 为边作等边三角形BMN ，如图（3）所示．在点M 从点C 到点D 的运动过程中，求点N所经过的路径长．16.（2022河南方城一模）在数学兴趣小组活动中，小亮进行数学探究活动．作正方形BFGH ，其中点F ，G 都在直线AE 上，如图（4）．当点E 到达点B 时，点F ，G ，H 与点B 重合．则点H 所经过的路径长为．（直接写出结果，不说明理由）（4）正方形ABCD 的边长为3，E 是边CB 上的一个动点，在点E 从点C 到点B 的运动过程中，小亮以B 为顶点。

类比探究专题(四)——中点结构(含答案)

学生做题前请先回答以下问题问题1：类比探究问题的处理思路是什么？以下是问题及答案，请对比参考:问题1：类比探究问题的处理思路是什么？答：类比探究问题的处理思路为：（1）类比探究往往会围绕一个不变结构进行考查．类比探究中常见的不变结构有：中点结构、直角结构、旋转结构、平行结构．（2）若不属于常见结构类型，则需要我们尝试着去寻找不变结构解决问题．①根据题干条件，结合支干条件先解决第一问．②类比解决下一问．如果不能，分析条件变化，寻找不变特征．③结合所求目标，依据不变特征尝试找不变结构，大胆猜测、尝试、验证．若属于类比探究常见的结构类型，调用结构类比解决．类比探究专题（四）——中点结构一、单选题(共4道，每道25分)1.如图1，在△ABC中，P为BC边的中点，直线a绕顶点A旋转，若B，P在直线a的异侧，BM⊥直线a于点M，CN⊥直线a于点N，连接PM，PN．要证PM=PN，只需延长MP交CN 于点E，通过说明某对三角形全等就可以证明此结论．此时，证明结论成立的理论基础是( )A.全等三角形的对应边相等B.直角三角形斜边中线等于斜边一半C.等腰三角形等角对等边D.等量代换答案：B解题思路：如图，延长MP交CN于点E.此时可证△MBP≌△ECP，∴MP=EP，∵∠MNE=90°，∴PN=PM=PE，即利用的是直角三角形斜边上中线等于斜边一半．故选B试题难度：三颗星知识点：中点结构2.（上接第1题）若直线a绕点A旋转到图2的位置时，点B，P在直线a的同侧，其他条件不变，要证明PM=PN，我们可以进行和上题一样的操作，则需要证明的全等三角形是( )A.△APB≌△APEB.△CAN≌△ABMC.△NPB≌△NPED.△MBP≌△ECP答案：D解题思路：按照要求，作出符合题意的辅助线：延长MP交NC的延长线于点E．则△MBP≌△ECP，∴PM=PE，则在Rt△NME中，PM=PN，∴要证明PM=PN需要证明△MBP≌△ECP．故选D试题难度：三颗星知识点：中点结构3.如图，直线AM∥BN，∠MAB与∠NBA的平分线交于点C，过点C作一条直线与两条直线MA，NB分别相交于点D，E．如图1所示，当直线与直线MA垂直时，则线段AD，BE，AB之间的数量关系是( )A. B.C. D.答案：C解题思路：如图，延长AC交BN于点F．∵AM∥BN，∴∠DAB+∠EBA=180°，∵∠MAB与∠NBA的平分线交于点C，∴∠CAB+∠CBA=90°，∴∠ACB=90°，∵∠BAC=∠DAC=∠BFC，∴AB=BF，∵BC⊥AF，∴AC=FC，∵∠DCA=∠ECF，∴△DCA≌△ECF，∴AD=FE，∴AB=BF=BE+FE=BE+AD．故选C试题难度：三颗星知识点：中点结构4.（上接第3题）如图2所示，当直线与直线MA不垂直，且交点D，E在AB的异侧时，则线段AD，BE，AB之间的数量关系是( )A. B.C. D.答案：D解题思路：如图，延长AC交BN于点F．∵AM∥BN，∴∠DAB+∠NBA=180°，∵∠MAB与∠NBA的平分线交于点C，∴∠CAB+∠CBA=90°，∴∠ACB=90°，∵∠BAC=∠DAC=∠BFC，∴AB=BF，∵BC⊥AF，∴AC=FC，∵∠DCA=∠ECF，∴△DCA≌△ECF，∴AD=FE，∴AB=BF=FE-BE=AD-BE．故选D试题难度：三颗星知识点：中点结构。

类比探究问题

（3）解决问题
如图3，在正方形ABCD中，CD= 2．若点P满足PD=1，且∠BPD=90°，
请直接写出点A到BP的距离．
C
A
D
E
B
C
图3
M D
A
B
图2
3．（3）解决问题如图3，在正方形ABCD中，CD= 2．若点P满足PD=1，且∠BPD=90°，请直接写出点A到BP的距离．
图3
图2
3．（3）解决问题如图3，在正方形ABCD中，CD= 2．若点P满足PD=1，且∠BPD=90°，请直接写出点A到BP的距离．
（2）问题解决
A
保持（1）中条件不变，若DC=2DF，
AD
求 AB 的值；（3）类比探求
2
保持（1）中条件不变，若DC=nDF，
求 AD 的值．
AB
B
E
D
1
1 F2
2G
1
C
中考类比探究出题历史
【2010年河南中考试题】
（1）操作发现
如图，矩形ABCD中，E是AD的中点，将△ABE沿BE折叠后得到△GBE，且点G在矩形ABCD内部．小明将BG延长交DC于点F，认为GF=DF，你同意吗？说明理由．
BD
BD
A
A
E
B
D
C
B
图1
C
D
E
中考类比探究出题历史
【2015年河南中考试题】
如图1，在Rt△ABC中，∠B=90°，BC=2AB=8，点D，E分别是边BC，
AC的中点，连接DE．将△EDC绕点C按顺时针方向旋转，记旋转角为α．
（1）问题发现
①当α=0°时，AE ______；②当α=180°时， AE ______．

类比探究专题训练

类比探究专题训练1. 已知OM 是∠AOB 的平分线，点P 是射线OM 上一点，点C ，D 分别在射线OA ，OB 上，连接PC ，PD ．（1）发现问题如图1，当PC ⊥OA ，PD ⊥OB 时，则PC 与PD 的数量关系是_________．（2）探究问题如图2，点C ，D 在射线OA ，OB 上滑动，且∠AOB =90°，当PC ⊥PD 时，PC 与PD 在（1）中的数量关系还成立吗？说明理由．图1CBA ODM P图2D OBPM A C2. 如图，AD ∥BC ，若∠ADP =∠α，∠BCP =∠β，射线OM 上有一动点P ．（1）当点P 在A ，B 两点之间运动时，∠CPD 与∠α，∠β之间有何数量关系？请说明理由．（2）如果点P 在A ，B 两点外侧运动时（点P 与点A ，B ，O 三点不重合），请你直接写出∠CPD 与∠α，∠β之间的数量关系．备用图ON MD CBA3. 已知：如图，直线a ∥b ，直线c 与直线a ，b 分别相交于C ，D 两点，直线d与直线a ，b 分别相交于A ，B 两点，点P 在直线AB 上运动（不与A ，B 两点重合）．（1）如图1，当点P 在线段AB 上运动时，总有：∠CPD =∠PCA +∠PDB ，请说明理由；（2）如图2，当点P 在线段AB 的延长线上运动时，∠CPD ，∠PCA ，∠PDB 之间有怎样的数量关系，并说明理由；（3）如图3，当点P 在线段BA 的延长线上运动时，∠CPD ，∠PCA ，∠PDB 之间又有怎样的数量关系（只需直接给出结论）？图1d DC B AP abc 图2c baP A B C Dd 图3c baP A BC Dd4. 综合与实践：（1）如图，已知：在等腰直角△ABC 中，∠BAC =90°，AB =AC ，直线m 经过点A ，BD ⊥直线m ，CE ⊥直线m ，垂足分别为点D ，E ．小明观察图形特征后猜想线段DE ，BD 和CE 之间存在DE =BD +CE 的数量关系，请你判断他的猜想是否正确，并说明理由．（2）如图，将（1）中的条件改为：△ABC 为等边三角形，D ，A ，E 三点都在直线m 上，并且有∠BDA =∠AEC =∠BAC =60°，请问结论DE =BD +CE 是否成立？并说明理由．（3）如图，若将（1）中的三角形变形为一般的等腰三角形，△ABC 中，AB =AC ，∠BAC =α，其中α为任意锐角或钝角，D ，A ，E 三点都在直线m 上．问：满足什么条件时，结论DE =BD +CE 仍成立？直接写出条件即可．EDCBAm图1BD A CEm图2mA BCDE图35. 在△ABC 中，∠ACB =90°，AC =BC ，直线MN 经过点C ，且AD ⊥MN 于D ，BE ⊥MN 于E ．（1）当直线MN 绕点C 旋转到图1的位置时，△ADC 和△CEB 全等吗？请说明理由．（2）聪明小亮发现，当直线MN 绕点C 旋转到图1的位置时，可得DE =AD +BE ，请你说明其中的理由．（3）小亮将直线MN 绕点C 旋转到图2的位置，线段DE ，AD ，BE 之间存在着什么的数量关系，请写出这一关系，并说明理由．的图1EDCBAMN 图2EDC BAMN6. 阅读理解：如图1，在△ABC 中，若AB =10，BC =8．求AC 边上的中线BD的取值范围．小聪同学是这样思考的：延长BD 至E ，使DE =BD ，连接CE ．利用全等将边AB 转化到CE ，在△BCE 中利用三角形三边关系即可求出中线BD 的取值范围．在这个过程中小聪同学证三角形全等用到的判定方法是______________；中线BD 的取值范围是_______________．（2）问题解决：如图2，在△ABC 中，点D 是AC 的中点，点M 在AB 边上，点N 在BC 边上，若DM ⊥DN ．求证：AM +CN ＞MN ．（3）问题拓展：如图3，在△ABC 中，点D 是AC 的中点，分别以AB ，BC 为直角边向△ABC 外作等腰直角三角形ABM 和等腰直角三角形BCN ，其中∠ABM =NBC =∠90°，连接MN ，探索BD 与MN 的关系，并说明理由．图1ED C BANM图2ABC D 图3NMD C BA7. 乐乐和数学小组的同学们研究了如下问题，请你也来试一下吧！点C 是直线l 1上一点，在同一平面内，乐乐他们把一个等腰直角三角板ABC 任意摆放，其中直角顶点C 与点C 重合，过点A 作直线l 2⊥l 1，垂足为点M ，过点B 作l 3⊥l 1垂足为N ．（1）如图1时，线段BN ，AM 与MN 之间的数量关系是__________________（不必说明理由）；（2）当直线l 2，l 3，位于点C 的右侧时，如图2，判断线段BN ，AM 与MN 之间的数量关系，并说明理由；（3）当直线l 2，l 3，位于点C 的左侧时，如图3，请你补全图形，并直接写出线段BN ，AM ，MN 之间的数量关系．图1图2图3l 3NMl 1l 2ABCl 3C BAl 2l 1MNl 3l 2l 1MN8. （1）如图1，在四边形ABCD 中，AB =AD ，∠B =∠D =90°，E ，F 分别是边BC ，CD 上的点，且∠EAF =12∠BAD ．请直接写出线段EF ，BE ，FD 之间的数量关系：____________；（2）如图2，在四边形ABCD 中，AB =AD ，∠B +∠D =180°，E ，F 分别是边BC ，CD 上的点，且∠EAF =12∠BAD ，（1）中的结论是否仍然成立？请写出证明过程；（3）在四边形ABCD 中，AB =AD ，∠B +∠D =180°，E ，F 分别是边BC ，CD所在直线上的点，且∠EAF =12∠BAD ．请直接写出线段EF ，BE ，FD 之间的数量关系：______________．图1FE D CBAABCD E F图2ABCD备用图ABCD备用图9.认真阅读下面关于三角形内外角平分线所夹的探究片段，完成所提出的问题．探究1：如图1，在△ABC中，O是∠ABC与∠ACB的平分线BO和CO的交点，通过分析发现∠BOC=90°+12∠A，理由如下：∵BO和CO分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，∴∠1=12∠ABC，∠2=12∠ACB，∴∠1+∠2=12(∠ABC+∠ACB)=12(180°-∠A)=90°-12∠A，∴∠BOC=180°-(∠1+∠2)=180°-(90°-12∠A)=90°+12∠A．（1）探究2：如图2中，O是∠ABC与外角∠ACD的平分线BO和CO的交点，试分析∠BOC与∠A有怎样的关系？请说明理由．（2）探究3：如图3中，O是外角∠DBC与外角∠ECB的平分线BO和CO 的交点，则∠BOC与∠A有怎样的关系？（直接写出结论）（3）拓展：如图4，在四边形ABCD中，O是∠ABC与∠DCB的平分线BO 和CO的交点，则∠BOC与∠A+∠D有怎样的关系？（直接写出结论）图1CBAO12图2CBAOD 图3EDOAB C图4DCBAO10. （1）如图1，已知四边形ABCD 为长方形，∠CAB 和∠ABD 的平分线恰好交于CD 边上的点E ，试判断：AB ___________AC +BD （填﹥，﹤或=）；（2）如图2，已知AC ∥BD ，EA ，EB 分别平分∠CAB 和∠ABD ，CD 过点E ，且CD ⊥AC 试探究AB ，AC 与BD 之间的数量关系，并说明理由；（3）如图3，在（2）题中，如果没有“CD ⊥AC ”这个条件，（2）题的结论还成立吗，请说明理由．图1EDCBAEDCBA图2图3ABCDE11. 已知：如图所示，直线MN ∥GH ，另一直线交GH 于A ，交MN 于B ，且∠MBA =80°，点C 为直线GH 上一动点，过点C 的直线交MN 于点D ，且∠GCD =50°．（1）如图1，当点C 在点A 右边且点D 在点B 左边时，∠DBA 的平分线与∠DCA 的平分线交于点P ，求∠BOC 的度数；（2）如图2，当点C 在点A 右边且点D 在点B 右边时，∠DBA 的平分线与∠DCA 的平分线交于点P ，求∠BPC 的度数；（3）当点C 在点C 左边且点D 在点B 左边时，∠DBA 的平分线与∠DCA 的平分线所在直线交于点P ，请直接写出∠BPC 的度数，不说明理由．图1图2图3DCBAMNGHP PH GNMABCDHGNMAB12. 如图1，在△ABC 中，∠ACB 为锐角，点D 为射线BC 上一动点，连接AD ，以AD 为直角边且在AD 的上方作等腰直角三角形ADF ，连接CF ．（1）若AB =AC ，∠BAC =90°．①当点D 在线段BC 上时（与点B 不重合），试探究CF 与BD 的数量关系和位置关系，并说明理由．②当点D 在线段BC 的延长线上时，①中的结论是否仍然成立，请在图2中画出相应图形并直接写出你的猜想．（2）如图3，若AB ≠AC ，∠BAC ≠90°，∠BCA =45°，点D 在线段BC 上运动，试探究CF 与BC 的位置关系，并说明理由．图1DC BAF图2ABC图3DC BAF13. 已知△ABC 是直角三角形，∠BAC =90°，AB =AC ，直线l 经过点A ，分别过点B ，C 向直线l 作垂线，垂足分别为D ，E ．（1）如图1，当点B ，C 位于直线l 同侧时，证明：△ABD ≌△CAE ．（2）如图2，若点B ，C 在直线l 的异侧，其他条件不变，△ABD ≌△CAE 是否依然成立？请说明理由．（3）图形变式：如图3，锐角△ABC 中，AB =AC ，直线l 经过点A ，点D ，E 分别在直线l 上，点B ，C 位于l 的同一侧，如果∠CEA =∠ADB = ∠BAC ，请找到图中的全等三角形，并直接写出线段ED ，EC ，DB 的数量关系．的图1lA BCDE图2ED CBA ll图3ECA DB14. 平面内的两条直线有相交和平行两种位置关系．（1）观察与思考：如图1，若AB ∥CD ，点P 在AB ，CD 外部，∠BPD ，∠B ，∠D 之间的数量关系为__________________．（2）猜想与证明：①将点P 移到AB ，CD 内部，如图2，则∠BPD ，∠B ，∠D 之间有何数量关系？请证明你的结论；②在图2中，将直线AB 绕点B 逆时针方向旋转一定角度交直线CD 于点Q ，如图3，则∠BPD ，∠B ，∠PDQ ，∠BQD 之间有何数量关系？请证明你的结论．（3）拓展与应用：在图4中，∠A +∠B +∠C +∠D +∠E +∠F =___________．图1A B CDOPABCD P图2AB C DP Q图3AB CDEF 图415. 已知直线AB ∥CD ，点M ，N 分别在直线AB ，CD 上，点E 为平面内一点．（1）如图1，∠BME ，∠E ，∠END 的数量关系为______（直接写出答案）；（2）如图2，∠BME =m °，EF 平分∠MEN ，NP 平分∠END ，EQ ∥NP ，求 ∠FEQ 的度数（用含m 的式子表示）；（3）如图3，点G 为CD 上一点，∠BMN =n ∠EMN ，∠GEK =n ∠GEM ，EH ∥MN 交AB 于点H ，探究∠GEK ，∠BMN ，∠GEH 之间的数量关系（用含n 的式子表示）．图1图2图3A BC DMENFQ PNME DCBA KH GA BCDE N M。

专题7 类比探究—图形旋转中三角形相似题型(学生版)

专题7类比探究—图形旋转中三角形相似题型知识归纳图形的类比探究常以三角形、四边形为背景，与翻折、旋转相结合，考查三角形全等或相似的性质与判定，难度较大．此类题目第一问相对简单，后面的问题需要结合第一问的方法进行类比解答．根据其特征大致可分为：几何变换类比探究问题、旋转综合问题、翻折类问题等。

本专题主要对类比探究—图形旋转中三角形相似题型进行总结，对其解法进行归纳总结，所选题型为近几年期末考试中的常考题型。

知识点睛（1）类比探究属于几何综合题，类比（类比字母，类比辅助线，类比思路）是解决此问题的主要方法，做好类比需要把握变化过程中的不变特征．（2）类比探究问题中常见结构举例①旋转结构②中点结构（类）倍长中线平行夹中点中位线方法总结（1）类比探究是一类共性条件与特殊条件相结合，由特殊情形到一般情形（或由简单情形到复杂情形）逐步深入，解决思想方法一脉相承的综合性题目，常以几何综合题为主．（2）解决类比探究问题的一般方法：①根据题干条件，结合分支条件先解决第一问；②用解决第一问的方法类比解决下一问，整体框架照搬．整体框架照搬包括照搬字母，照搬辅助线，照搬思路。

（3）用铅笔做讲义第1，2题，并将计算、演草保留在讲义上，先看知识点睛，再做题，思路受阻时（某个点做了2~3分钟）重复上述动作，若仍无法解决，课堂重点听．常考题型专练一、解答题1.在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α，点P为线段CA延长线上一动点，连接PB，将线段PB绕点P逆时针旋转，旋转角为α，得到线段PD，连接DB，DC．（1）如图1，当α＝60°时，①求证：PA＝DC；②求∠DCP的度数；（2）如图2，当α＝120°时，请直接写出PA和DC的数量关系．（3）当α＝120°时，若AB＝6，BP=31，请直接写出点D到CP的距离为．2.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝2，Rt△ABC绕点C按顺时针方向旋转得到Rt△A′B′C，A′C与AB交于点D．（1）如图1，当A′B′∥AC时，过点B作BE⊥A′C，垂足为E，连接AE．①求证：AD＝BD；②求S△ACE S△ABE的值；（2）如图2，当A′C⊥AB时，过点D作DM∥A′B′，交B′C于点N，交AC的延长线于点M，求DN NM的值．3.（1）问题发现如图1，在△OAB和△OCD中，OA=OB，OC=OD，∠AOB=∠COD=40°，连接AC，BD交于点M．填空：①的值为；②∠AMB的度数为．（2）类比探究如图2，在△OAB和△OCD中，∠AOB=∠COD=90°，∠OAB=∠OCD=30°，连接AC交BD的延长线于点M．请判断的值及∠AMB的度数，并说明理由；（3）拓展延伸在（2）的条件下，将△OCD绕点O在平面内旋转，AC，BD所在直线交于点M，若OD=1，OB=，请直接写出当点C与点M重合时AC的长．4．在△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝α．点P是平面内不与点A，C重合的任意一点．连接AP，将线段AP绕点P逆时针旋转α得到线段DP，连接AD，BD，CP．（1）观察猜想如图1，当α＝60°时，的值是，直线BD与直线CP相交所成的较小角的度数是．（2）类比探究如图2，当α＝90°时，请写出的值及直线BD与直线CP相交所成的小角的度数，并就图2的情形说明理由．（3）解决问题当α＝90°时，若点E，F分别是CA，CB的中点，点P在直线EF上，请直接写出点C，P，D在同一直线上时的值．5.已知，ABC中，AB＝AC，∠BAC＝2α°，点D为BC边中点，连接AD，点E为线段AD上一动点，把线段CE 绕点E顺时针旋转2α°得到线段EF，连接FG，FD．（1）如图1，当∠BAC＝60°时，请直接写出BFAE的值；（2）如图2，当∠BAC＝90°时，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请写出正确的结论，并说明理由；（3）如图3，当点E在AD上移动时，请直接写出点E运动到什么位置时DFDC的值最小．最小值是多少？（用含α的三角函数表示）6．在ABC ∆中，CA CB =，(0180)ACB αα∠=<<．点P 是平面内不与A ，C 重合的任意一点，连接AP ，将线段AP 绕点P 逆时针旋转α得到线段DP ，连接AD ，CP 点M 是AB 的中点，点N 是AD 的中点．（1）问题发现,如图1，当60α=时，MN PC 的值是，直线MN 与直线PC 相交所成的较小角的度数是；（2）类比探究，如图2，当120α=时，请写出MN PC的值及直线MN 与直线PC 相交所成的较小角的度数，并就图2的情形说明理由；（3）解决问题，如图3，当90α=时，若点E 是CB 的中点，点P 在直线ME 上，MN =请直接写出点B ，P ，D 在同一条直线上时PD 的长．7.如图(1)，在矩形ABCD中，AD＝nAB，点M，P分别在边AB，AD上(均不与端点重合)，且AP＝nAM，以AP和AM为邻边作矩形AMNP，连接AN，CN.【问题发现】（1）如图(2)，当n＝1时，BM与PD的数量关系为，CN与PD的数量关系为.【类比探究】（2）如图(3)，当n＝2时，矩形AMNP绕点A顺时针旋转，连接PD，则CN与PD之间的数量关系是否发生变化？若不变，请就图(3)给出证明；若变化，请写出数量关系，并就图(3)说明理由.【拓展延伸】（3）在(2)的条件下，已知AD＝4，AP＝2，当矩形AMVP旋转至C，N，M三点共线时，请直接写出线段CN的长8.(1)问题发现如图1，在Rt△ABC和Rt△CDE中，∠ACB=∠DCE=90°，∠CAB=∠CDE=45°，点D是线段AB上一动点，连接BE.填空:①BEAD的值为；②∠DBE的度数为.(2)类比探究如图2，在Rt△ABC和Rt△CDE中，∠ACB=∠DCE=90°，∠CAB=∠CDE=60°，点D是线段AB上一动点，连接BE.请判断BEAD的值及∠DBE的度数，并说明理由.(3)拓展延伸如面3，在(2)的条件下，将点D改为直线AB上一动点，其余条件不变，取线段DE的中点M，连接BM、CM，若AC=2，则当△CBM是直角三角形时，线段BE的长是多少?请直接写出答案.。

中考数学类比探究

中考数学类比探究著名物理学家牛顿说过：“没有大胆而放肆的猜想，就不可能有伟大发现。

”这句至理名言道出了猜想的重要性。

综观近几年中考命题，命题者在猜想方面进行了有益而大胆的探索，为推动素质教育，培养同学们的创新能力起到良好导向作用。

1、数与式规律问题的探究通过对一列有序数、式的特点与结构的分析与研究，找出共性规律，进而归纳猜想出隐含的一般规律，然后再探索出问题的答案。

这种思维策略体现了从特殊到一般，再到特殊的思想方法，能够有效检测同学们的观察、分析、推理、猜想能力。

例1（2007年陕西省考题）小说《达芬奇密码》中出现了一串神秘排列的数，将这串令人费解的数按从小到大的顺序排列为：1，1，2，3，5，8，…，则这列数的第8个数是．分析：欲求第8个数，首先必须揭开这串数的排列规律。

观察数的大小，我们可以发现从第3个数起，每一个数都等于它前面相邻的两个数的和，因此第8个数应等于第6个数（8）与第7个数（13）之和即8+13=21、事实上这列数就是我们常说的著名的“斐菠那挈数列”。

例2（2007年河池市考题）古希腊数学家把1，3，6，10，15，21，…，叫做三角形数，根据它的规律，则第100个三角形数与第98个三角形数的差为．分析：先观察分析第2个数与第1个数的差，发现是2，接着探索第3个数与第2个数的差，发现是3，这样我们又得出第4个数与第3个数的差是4，由此我们不难发现第n个数与第n-1个数的差为n，从而得到结论：第100个三角形数与第98个三角形数的差为100+99=199。

2、从对图表的探究过程中发现、归纳、猜想规律解决图形规律问题应充分发挥数形结合的指导思想，从分析图形结构入手，从简单到复杂进行归纳猜想从而获得隐含的数学规律，并用代数式描述出来，进而解决相关的问题。

例3（2007年陇南市考题）如图1，用灰白两色正方形瓷砖铺地，第6个图案中灰色瓷砖块数为_______．分析：方法（1），从横的角度观察，每个图案中灰色瓷砖都是2行，第1个图案中每行中有2个灰色瓷砖，共有22块灰色瓷砖；第2个图案中每行中有3个灰色瓷砖，共有23=2（2+1）块灰色瓷砖；第3个图案中每行中有4个灰色瓷砖，共有24=2（3+1）块灰色瓷砖；…由此可推出第n个图案中每行中有n+1个灰色瓷砖，共有2（n+1）=2n+2块灰色瓷砖。

类比探究专题(五)——探究应用(含答案)

学生做题前请先回答以下问题问题1：类比探究往往会围绕一个不变结构进行考查．类比探究中常见的不变结构有哪些？问题2：处理类比探究问题时，若属于常见结构，则________．问题3：处理类比探究问题时，若不属于常见结构类型，则需要我们尝试着去寻找不变结构解决问题．此时常见的处理思路是什么？以下是问题及答案，请对比参考:问题1：类比探究往往会围绕一个不变结构进行考查．类比探究中常见的不变结构有哪些？答：类比探究中常见的不变结构有：①中点结构，常考虑平行夹中点，构造中位线等；②旋转结构，特征：等线段共点③平行结构，常考虑作平行，造相似④直角结构．常考虑斜直角放正问题2：处理类比探究问题时，若属于常见结构，则．答：调用结构类比解决．问题3：处理类比探究问题时，若不属于常见结构类型，则需要我们尝试着去寻找不变结构解决问题．此时常见的处理思路是什么？答：①根据题干条件，结合支干条件先解决第一问．②类比解决下一问．如果不能，分析条件变化，寻找不变特征．③结合所求目标，依据不变特征尝试找不变结构，大胆猜测、尝试、验证．类比探究专题（五）——探究应用一、单选题(共3道，每道33分)1.如图1，将两个完全相同的三角形纸片ABC和DEC重合放置，其中∠C=90°，∠B=∠E=30°．（1）操作发现如图2，固定△ABC，使△DEC绕点C旋转，当点D恰好落在AB边上时，填空：①线段DE与AC的位置关系是_________；②设△BDC的面积为，△AEC的面积为，则与之间的数量关系是_______．( )A.DE=2AC；B.DE⊥AC；C.DE∥AC；D.DE∥AC；答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：探究应用2.（上接第1题）（2）猜想论证当△DEC绕点C旋转到如图3所示的位置时，△BDC的面积与△AEC的面积之间的数量关系是( )A. B. C. D.答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：探究应用3.（上接第1，2题）（3）拓展探究如图4，已知∠ABC=60°，D是角平分线上一点，BD=CD=4，DE∥AB，交BC于点E．若在射线BA上存在点F，使，则BF的长为( )A. B.C. D.答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：探究应用。

八年级数学勾股定理的应用——类比探究(专题)(含答案)

勾股定理的应用——类比探究（专题）一、单选题(共7道，每道14分)1.如图，△ABC和△DBE都是等腰直角三角形，点D在AC上，其中∠ABC=∠DBE=90°，则∠DCE 的度数( )A.60°B.70°C.90°D.100°答案：C解题思路：∵△ABC和△DBE都是等腰直角三角形，∠ABC=∠DBE=90°∴AB=BC，BD=BE，∠A=∠ACB=45°，∴∠ABD=∠CBE，∴△ABD≌△CBE（SAS），∴∠A=∠BCE=45°，∴∠DCE=∠ACB+∠BCE=90°，故选C．试题难度：三颗星知识点：略2.（上接第1题）（2）若AD=5，CD=12，则CE的长为_______，DE的长为_______．( )A.5，12B.3，17C.5，17D.5，13答案：D解题思路：∵△ABC和△DBE都是等腰直角三角形，∠ABC=∠DBE=90°∴AB=BC，BD=BE，∠A=∠ACB=45°，∴∠ABD=∠CBE，∴△ABD≌△CBE（SAS），∴∠A=∠BCE=45°，AD=CE，∴∠DCE=∠ACB+∠BCE=90°，∵AD=5，∴CE=5，在Rt△CDE中，∠DCE=90°，CD=12，CE=5，由勾股定理得，，∴∴DE=13，故选D．试题难度：三颗星知识点：略3.（上接第1，2题）（3）当点D在线段AC上运动时（D不与A重合），则AD，CD，DE之间的数量关系为( )A. B.C. D.答案：A解题思路：∵△ABC和△DBE都是等腰直角三角形，∠ABC=∠DBE=90°∴AB=BC，BD=BE，∠A=∠ACB=45°，∴∠ABD=∠CBE，∴△ABD≌△CBE（SAS），∴∠A=∠BCE=45°，AD=CE，∴∠DCE=∠ACB+∠BCE=90°，在Rt△CDE中，∠DCE=90°，由勾股定理得，，∵AD=CE，∴，故选A．试题难度：三颗星知识点：略4.如图1，点Q是等边△ABC的边AB上的一点，以CQ为边作等边△CPQ，连接AP，则∠PAQ 的度数为_______，线段AP，BQ之间的数量关系为_______．( )A.60°，AP=BQB.120°，AP=BQC.90°，AP=BQD.140°，AP=BQ答案：B解题思路：∵△ABC和△CPQ都是等边三角形，∴AC=BC，CP=CQ，∠CAB=∠B=60°，∠PCQ=∠ACB=60°，∴∠ACP=∠BCQ，∴△ACP≌△BCQ（SAS），∴∠PAC=∠B=60°，AP=BQ，∴∠PAQ=∠PAC+∠CAB=120°，故选B．试题难度：三颗星知识点：略5.（上接第4题）（2）如图2，△ABC是等腰直角三角形，点Q在斜边AB上，以CQ为直角边作等腰直角△PCQ，其中∠PCQ=∠ACB=90°．则AQ，BQ，PQ之间的数量关系为( )A. B.C. D.答案：B解题思路：如图，连接AP，∵△ABC和△CPQ都是等腰直角三角形，∠PCQ=∠ACB=90°，∴AC=BC，CP=CQ，∠CAB=∠B=45°，∴∠ACP=∠BCQ，∴△ACP≌△BCQ（SAS），∴∠PAC=∠B=45°，AP=BQ，∴∠PAQ=∠PAC+∠CAB=90°，在Rt△APQ中，∠PAQ=90°，由勾股定理得，，∵AP=BQ，∴，故选B．试题难度：三颗星知识点：略6.（上接第4，5题）在（2）的条件下，则CQ，AQ，BQ三者之间的数量关系为( )A. B.C. D.答案：D解题思路：如图，连接AP，∵△ABC和△CPQ都是等腰直角三角形，∠PCQ=∠ACB=90°∴AC=BC，CP=CQ，∠CAB=∠B=45°，∴∠ACP=∠BCQ，∴△ACP≌△BCQ（SAS），∴∠PAC=∠B=45°，AP=BQ，∴∠PAQ=∠PAC+∠CAB=90°，在Rt△APQ中，∠PAQ=90°，由勾股定理得，，∵AP=BQ，∴，∵△CPQ是等腰直角三角形，PQ为斜边∴故选D．试题难度：三颗星知识点：略7.如图，在Rt△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，D，E为BC上两点，∠DAE=45°，F为△ABC 外一点，且FB⊥BC，FA⊥AE，则下列结论：①CE=BF；②；③，其中正确的是( )A.①②③B.①②C.②③D.①③答案：A解题思路：①由题意可得，∠BAC=∠EAF=90°，∴∠CAE+∠BAE=∠BAF+∠BAE=90°∴∠CAE=∠BAF在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°∴∠C=∠ABC=45°∵FB⊥BC∴∠FBE=90°∴∠ABF=45°=∠C∴△ABF≌△ACE（ASA）∴CE=BF，故①正确②如图，连接DF，由①可知，AF=AE，∵∠EAF=90°，∠DAE=45°，∴∠DAF=45°=∠DAE又AD=AD∴△ADF≌△ADE（SAS）∴DF=DE在Rt△BDF中，∠DBF=90°根据勾股定理得，，∴，故②正确；③在Rt△BEF中，∠EBF=90°由勾股定理可得，，在等腰直角△AEF中，，∴，故③正确；综上，①②③均正确，故选A试题难度：三颗星知识点：略。

八下类比探究专题训练

八下类比探究专题【旋转结构】1.如图1，已知△ABC是等边三角形，∠DAC=90°，点P为射线AD上任意一点（点P与点A不重合），连接CP，将线段CP绕点C顺时针旋转60°得到线段CQ，连接QB 并延长交直线AD于点E．（1）如图1，∠QEP的度数为_________；（2）如图2，当0°<∠DAC<60°时，其他条件不变，猜想∠QEP的度数，并证明你的猜想；（3）如图3，若∠DAC=135°，∠ACP=15°，AC=4，其他条件不变，请直接写出线段BQ的长．2.已知：点D是等腰直角三角形ABC斜边BC所在直线上一点（不与点B重合），连接AD．（1）如图1，当点D在线段BC上时，将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到线段AE，连接CE．求证：BD=CE，BD⊥CE；（2）如图2，当点D在线段BC延长线上时，探究AD，BD，CD三条线段之间的数量关系，写出结论并说明理由；（3）若BD CD，直接写出∠BAD的度数．图1图2备用图3.如图，在△ABC中，∠ABC为锐角，点M为射线BA上一点，连接CM，以CM为直角边且在CM的下方（沿CM顺时针方向）作等腰直角三角形CMN，∠MCN=90°，连接BN．（1）若AC=BC，∠ACB=90°．①如图1，当点M在线段AB上（与点A不重合）时，则BN与AM的数量关系为__________，位置关系为_________；②当点M在线段BA的延长线上时，①的结论是否仍然成立，请在图2中画出相应图形并说明理由．（2）如图3，若AC≠BC，∠ACB≠90°，∠ABC=45°，点M在线段AB上运动，请判断BN与AB的位置关系，并说明理由．4.如图1，在△ABC中，AB=AC，射线BP从BA所在位置开始绕点B顺时针旋转，旋转角为α（其中α<∠ABC）．（1）当∠BAC=60°时，将BP旋转到图2位置，点D在射线BP上，若∠CDP=120°，则∠ACD_____∠ABD（填“>”、“=”、“<”），线段BD，CD 与AD之间的数量关系是____________；（2）当∠BAC=90°时，将BP旋转到图3位置，点D在射线BP上，若∠CDP=90°，求证：BD-CD AD；（3）当∠BAC=120°时，将BP旋转到图4位置，点D在射线BP上，若∠CDP=60°，请直接写出线段BD，CD与AD之间的数量关系（不必证明）．图1图2图3图45.发现：如图1，点B是线段AD上的一点，分别以AB，BD为边向外作等边三角形ABC和等边三角形BDE，连接AE，CD，相交于点O．①线段AE与CD的数量关系为_________；∠AOC的度数为___________．②△CBD可看作△ABE经过怎样的变换得到的？________________．（2）应用：如图2，若点A，B，D不在一条直线上，（1）中的结论①还成立吗？请说明理由；（3）拓展：在四边形ABCD中，AB=AC，∠BAC=90°，∠ADC=45°，若AD=8，CD=6，请直接写出B，D两点之间的距离．6.已知：△ABC 是等腰直角三角形，动点P 在斜边AB 所在的直线上，以PC 为直角边作等腰直角三角形PCQ ，其中∠PCQ =90°，探究并解决下列问题：（1）如图1，若点P 在线段AB 上，且AC =1+3，PA =2，则：①线段PB =_________，PC =_________；②猜想：PA 2，PB 2，PQ 2三者之间的数量关系为__________；（2）如图2，若点P 在AB 的延长线上，在（1）中所猜想的结论仍然成立，请你利用图2给出证明过程；（3）若动点P 满足13PA PB ，求PCAC 的值．（提示：请利用备用图进行探求）7.（1）如图1，O是等边△ABC内一点，连接OA，OB，OC，且OA=3，OB=4，OC=5，将△BAO绕点B顺时针旋转后得到△BCD，连接OD．求：①旋转角是__________度；②线段OD的长为__________；③求∠BDC的度数．（2）如图2所示，O是等腰直角△ABC（∠ABC=90°）内一点，连接OA，OB，OC，∠AOB=135°，OA=1，OB=2，求OC的长．小明同学借用了图1的方法，将△BAO绕点B顺时针旋转后得到△BCD，请你继续用小明的思路解答，或是选择自己的方法求解．8.已知，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D为直线BC上一动点（点D不与B，C重合），以AD 为边作正方形ADEF，连接CF．（1）观察猜想如图1，当点D在线段BC上时可以证明△ABD≌△ACF，则①BC与CF的位置关系为______________；②BC，DC，CF之间的数量关系为______________．（2）类比探究如图2，当点D在线段BC的延长线上时，其他条件不变，（1）中①②结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请你写出正确结论再给予证明．（3）拓展延伸如图3，当点D在线段BC的反向延长线上时，且点A，F分别在直线BC的两侧，其他条件不变．①BC，DC，CF之间的数量关系为_______________；②若正方形ADEF的边长为3，对角线AE，DF相交于点O，连接OC，则OC的长度为___________．1.（1）阅读理解：如图1，在△ABC中，若AB=10，AC=6，求BC边上的中线AD的取值范围．解决此问题可以用如下方法：延长AD到点E使DE=AD，再连接BE（或将△ACD绕着点D逆时针旋转180°得到△EBD），把AB，AC，2AD集中在△ABE中，利用三角形三边的关系即可判断．中线AD的取值范围是__________．（2）问题解决：如图2，在△ABC中，D是BC边上的中点，DE⊥DF于点D，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF，求证：BE+CF＞EF．（3）问题拓展：如图3，在四边形ABCD中，∠B+∠D=180°，CB=CD，∠BCD=140°，以C为顶点作一个70°角，角的两边分别交AB，AD于E，F两点，连接EF，探索线段BE，DF，EF之间的数量关系，并加以证明．1.数学课上，张老师出示了问题：如图1，四边形ABCD是正方形，∠DAB=∠ABC=∠BCD=∠CDA=90°，AB=BC=CD=DA，AB∥CD，AD∥BC，点E是边BC的中点，∠AEF=90°，且EF交正方形外角∠DCG的平分线CF于点F，求证：AE=EF．经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：取AB的中点M，连接ME，则AM=EC，易证△AME≌△ECF，所以AE=EF．在此基础上，同学们作了进一步的研究：（1）小颖提出：如图2，如果把“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC上（除B，C外）的任意一点”，其他条件不变，那么结论“AE=EF”仍然成立，你认为小颖的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由．（2）小华提出：如图3，点E是BC的延长线上（除C点外）的任意一点，其他条件不变，结论“AE=EF”仍然成立．你认为小华的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由．2.提出问题：如图1，将三角板放在正方形ABCD上，使三角板的直角顶点P在对角线AC上，一条直角边经过点B，另一条直角边交边DC于点E，求证：PB=PE．分析问题：学生甲：如图1，过点P作PM⊥BC，PN⊥CD，垂足分别为M，N．通过证明两三角形全等，进而证明两条线段相等．学生乙：连接DP，如图2，很容易证明PD=PB，然后再通过“等角对等边”证明PE=PD，就可以证明PB=PE了．解决问题：请你选择上述一种方法给予证明．问题延伸：如图3，移动三角板，使三角板的直角顶点P 在对角线AC上，一条直角边经过点B，另一条直角边交DC的延长线于点E，PB=PE还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．【新定义】1.联想三角形外心（外心是三角形三条边的垂直平分线的交点，即三角形外接圆的圆心）的概念，我们可引入如下概念．定义：到三角形的两个顶点距离相等的点，叫做此三角形的准外心．举例：如图1，若PA =PB ，则点P 为△ABC 的准外心．应用：如图2，CD 为等边三角形ABC 的高，准外心P 在高CD 上，且12PD AB ，求∠APB 的度数．探究：已知△ABC 为直角三角形，斜边BC =5，AB =3，准外心P 在AC 边上，试探究P A 的长．2.定义：我们把三角形被一边中线分成的两个三角形叫做“朋友三角形”．性质：“朋友三角形”的面积相等．如图1，在△ABC 中，CD 是AB 边上的中线，那么△ACD和△BCD 是“朋友三角形”，并且ACD BCD S S △△．应用：如图2，在直角梯形ABCD 中，∠ABC =90°，AD ∥BC ，AB=AD =4，BC =6，点E 在BC 上，点F 在AD 上，BE=AF ，AE 与BF 交于点O ．（1）求证：△AOB 和△AOF 是“朋友三角形”；（2）连接OD ，若△AOF 和△DOF 是“朋友三角形”，求四边形CDOE 的面积．拓展：如图3，在△ABC 中，∠A =30°，AB =8，点D 在线段AB 上，连接CD ，△ACD 和△BCD 是“朋友三角形”，将△ACD 沿CD 所在直线翻折，得到△A'CD ，若△A'CD与△ABC 重合部分的面积等于△ABC 面积的14，则△ABC 的面积是__________（请直接写出答案）．3.如图1，我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．（1）概念理解：如图2，在四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，问四边形ABCD是垂美四边形吗？请说明理由．（2）性质探究：试探索垂美四边形ABCD两组对边AB2，CD2与BC2，AD2之间的数量关系．猜想结论：（要求用文字语言叙述）_____________________，写出证明过程（先画出图形，写出已知、求证）．（3）问题解决：如图3，分别以Rt△ACB的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE，连接CE，BG，GE，已知AC=4，AB=5，求GE的长．4.我们定义：在△ABC 中，把AB 绕点A 顺时针旋转α（0°＜α＜180°）得到AB′，把AC 绕点A 逆时针旋转β得到AC′，连接B′C′．当α+β=180°时，我们称△AB′C′叫△ABC 的“旋补三角形”，△AB′C′的边B′C′上的中线AD 叫做△ABC 的“旋补中线”．下面各图中，△AB′C′均是△ABC 的“旋补三角形”，AD 均是△ABC 的“旋补中线”．（1）如图1，若△ABC 为等边三角形，BC =8，则AD 的长等于________；（2）如图2，若∠BAC =90°，求证：AD =12BC ；（3）如图3，若△ABC 为任意三角形，（2）中结论还成立吗？如果成立，给予证明；如果不成立，说明理由．5.我们把两条中线互相垂直的三角形称为“中垂三角形”．例如图1、图2、图3中，AF，BE是△ABC的中线，AF⊥BE，垂足为P，像这样的三角形均为“中垂三角形”．设BC=a，AC=b，AB=c．特例探索（1）如图1，当∠ABE=45°，c=a=_____，b=_____；如图2，当∠ABE=30°，c=4时，a=________，b=________．归纳证明（2）请你观察（1）中的计算结果，猜想a2，b2，c2三者之间的关系，用等式表示出来，并利用图3证明你发现的结论．拓展应用（3）如图4，在□ABCD中，点E，F分别是AD，BC的中点，BE⊥AC于点H，若AD=AB=3，求AF的长．。

小专题12_相似三角形的类比探究问题

小专题12相似三角形的类比探究问题1.（驻马店期末）如图1，矩形ABCD中，AB=2，BC=5，BP=1，∠MPN=90°，将∠MPN绕点P从PB处开始按顺时针方向旋转，PM交边AB（或AD）于点E，PN交边AD（或CD）于点F，当PN旋转至PC处时，∠MPN的旋转随即停止.（1）特殊情形：如图2，发现当PM过点A时，PN也恰巧过点D，此时，△ABP △PCD（填“≌”或“∽”）；（2）类比探究：如图3，在旋转过程中，PEPF的值是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由.2.（周口期末）类比、转化、从特殊到一般等思想方法在数学学习和研究中经常用到，如下是一个案例，请补充完整.原题：如图1，在△ABC中，点D、E、Q分别在AB、AC、BC上，且DE∥BC，AQ交DE于点P，求证DP PEBQ QC=.（1）尝试探究：在图1中，由DP∥BQ，得△ADP△ABQ（填“≌”或“∽”），则DPBQ= ,同理可得PE APQC AQ=，从而得到DP PEBQ QC=；（2）类比延伸：如图2，在△ABC中，∠BAC=90°，正方形DEFG的四个顶点在△ABC的边上，连接AG、AF分别交DE于M、N两点，若AB=AC=1，则MN的长为；（3）拓展迁移：如图3，在△ABC中，∠BAC=90°，正方形DEFG的四个顶点在△ABC的边上，连接AG、AF分别交DE于M、N两点，AB＜AC，求证：MN2=DM·EN.3.（许昌一模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC mAC n=，CD⊥AB于点D，点E是直线AC上一动点，连接DE，过点D作FD⊥ED，交直线BC于点F .（1）探究发现如图1，若m n=，点E在线段AC上，则DEDF= .（2）数学思考①如图2，若点E在线段AC上，则DEDF= .（用含,m n的代数式表示）；②当点E在直线AC上运动时，①中的结论是否仍然成立？请仅就图3的情形给出证明；（3）拓展应用若AC，BC=，DF=，请直接写出CE的长.4.（南阳期末）已知等腰△ABC中，AB=AC=8，∠BAC=120°，P为BC的中点，小慧拿着含30°角的透明三角板，使30°角的顶点落在点P处，三角板绕P点旋转. （1）如图1，当三角板的两边分别交AB、AC于点E、F时.求证：△BPE∽△CFP；（2）操作：将三角板绕点P旋转到图2情形时，三角板的两边分别交BA的延长线、边AC于点E、F.①探究1：△BPE与△CFP还相似吗？（只需写出结论）②探究2：连接EF，△BPE与△PFE是否相似？请说明理由；③设EF=m，△EPF的面积为S，试用含m的代数式表示S.参考答案1.解:（1）∽（2）在旋转过程中，PEPF的值为定值.理由如下:过点F作FG⊥BC于点G，则∠B=∠FGP. ∵∠MPN=90°，∠B=90°，∴∠BEP+∠EPB=∠GPF+∠EPB=90°.∴∠BEP=∠GPF.∴△EBP∽△PGF.∴PE PBPF FG=.∵矩形ABGF中，FG=AB=2，而PB=1，∴1=2 PBFG.∴1=2PEPF，即PEPF的值为定值12.2.解:（1）∽AP AQ（2（3）证明: ∵∠B+∠C=90°，∠CEF+∠C=90°，∴∠B=∠CEF.又∵∠BGD=∠EFC，∴△BGD∽△EFC.∴DG BGCF EF=，即DG·EF=CF·BG.又∵DG=GF=EF，∴GF2=CF·BG，由（1），得DM MN EN BG GF FC==.∴MN DM EN GF FM GF BG C N =••. ∴2()MN DM EN GF BG CF =•. ∵2GF CF BG =•，∴2MN DM EN =•.3.解:（1）1（2）①n m②结论=DE n DF m 成立. 证明:∵∠ACB =90°. ∴∠A +∠ABC =90°.又∵CD ⊥AB ，∴∠DCB +∠ABC =90°. ∴∠A =∠DCB .∵∠FDE =∠ADC =90°，∴∠FDE +∠CDE =∠ADC +∠CDE ，即∠ADE =∠CDF .∴△ADE ∽△CDF . ∴DF AD DF DC=. ∵∠A =∠DCB ，∠ADC =∠BDC =90°，∴△ADC ∽△CDB . ∴=AD AC n DC BC m =，∴=DE n DF m.（3）CE 的长为54.解:（1）证明: ∵在△ABC 中，∠BAC =120°，AB =AC ，∴∠B =∠C =30°. ∵∠B +∠BPE +∠BEP =180°，∴BPE +∠BEP =150°.又∵∠EPF =30°，且∠BPE +∠EPF +∠CPF =180°，∴∠BPE +∠CPF =150°，∴∠BEP =∠CPF .∴△BPE ∽△CFP .（2）①△BPE ∽△CFP . ②△BPE ∽△PFE .理由如下:同（1），可证△BPE ∽△CFP ，得CP PF BE PE =，而CP =BP ，因此BP BE PF PE=.又∵∠EBP =∠EPF ，∴△BPE ∽△PFE .③由②得，△BPE ∽△PFE ，∴∠BEP =∠PEF ，分别过点P 作PM ⊥BE ，PN ⊥EF ，垂足分别为M 、N ，则PM =PN . 连接AP . ∵AB =AC ，BP =CP ，∴AP ⊥BC .在Rt △ABP 中，由∠B =30°，AB =8，可得AP =4. ∴PM =∴PN =∴S =12PN ·EF .。

专题6 类比探究—图形旋转中三角形全等题型(学生版)

专题6类比探究—图形旋转中三角形全等题型知识归纳几何类比探究题是近几年中招考试的必考题型，目前位于解答题的最后一题，分值为11分或12分．主要考查方式有求线段长，求角度，判断图形形状，判断两条线段的数量关系和位置关系并证明，考查知识点主要涉及特殊三角形，勾股定理，四边形的判定与性质，全等、相似三角形的判定及性质，二次函数等，综合性较强。

本专题主要对类比探究—图形旋转中三角形全等题型进行总结，对其解法进行归纳总结，所选题型为近几年期末考试中的常考题型。

解题思路总结图形的类比探究常以三角形、四边形为背景，与翻折、旋转相结合，考查三角形全等或相似的性质与判定，难度较大．此类题目第一问相对简单，后面的问题需要结合第一问的方法进行类比解答．根据其特征大致可分为：几何变换类比探究问题、旋转综合问题、翻折类问题等。

解决此类问题要善于将复杂图象分解为几个基本图形，通过添加副主席补全或构造基本图形，借助转化、方程、数形结合、分类讨论等数学思想解决几何证明问题，计算则把几何与代数知识综合起来，渗透数形结合思想，考查学生分析问题的能力、逻辑思维和推理能力.常考题型专练一、解答题1.如图1，△ABC和△DCE都是等边三角形．探究发现（1）△BCD与△ACE是否全等？若全等，加以证明；若不全等，请说明理由．拓展运用（2）若B、C、E三点不在一条直线上，∠ADC＝30°，AD＝3，CD＝2，求BD的长．（3）若B、C、E三点在一条直线上（如图2），且△ABC和△DCE的边长分别为1和2，求△ACD的面积及AD 的长．2.在△ABC中，∠BAC＝90°，点O是斜边BC上的一点，连接AO，点D是AO上一点，过点D分别作DE AB∥，DF AC∥，交BC于点E、F．（1）如图1，若点O为斜边BC的中点，求证：点O是线段EF的中点．（2）如图2，在（1）的条件下，将△DEF绕点O顺时针旋转任意一个角度，连接AD，CF，请写出线段AD和线段CF的数量关系，并说明理由．（3）如图3，若点O是斜边BC的三等分点，且靠近点B，当∠ABC＝30°时，将△DEF绕点O顺时针旋转任意一个角度，连接AD、BE、CF，请求出BEAD的值．3.在等腰直角三角形ABC中,∠ACB＝90°,AC＝BC,D是AB边上的中点，Rt△EFG的直角顶点E在AB边上移动.(1)如图1，若点D与点E重合且EG⊥AC、DF⊥BC，分别交AC、BC于点M、N，易证EM＝EN；如图2，若点D与点E重合，将△EFG绕点D旋转，则线段EM与EN的长度还相等吗?若相等请给出证明，不相等请说明理由；(2)将图1中的Rt△EGF绕点O顺时针旋转角度α(0∘＜α＜45∘).如图2，在旋转过程中,当∠MDC＝15∘时，连接MN，若AC＝BC＝2，请求出写出线段MN的长；(3)图3,旋转后,若Rt△EGF的顶点E在线段AB上移动(不与点D、B重合)，当AB＝3AE时，线段EM与EN 的数量关系是________；当AB＝m·AE时，线段EM与EN的数量关系是__________.4.(1)问题发现：如图1，在等边ABC ∆中，点D 为BC 边上一动点，//DE AB 交AC 于点E ，将AD 绕点D 顺时针旋转60︒得到DF ，连接CF ．则AE 与FC 的数量关系是_____，ACF ∠的度数为______．(2)拓展探究：如图2，在 Rt ABC ∆中，90ABC ∠=︒，60ACB ∠=︒，点D 为BC 边上一动点，//DE AB 交AC 于点E ，当∠ADF=∠ACF=90°时，求AE FC 的值．(3)解决问题：如图3，在ABC ∆中，:BC AB m =，点D 为BC 的延长线上一点，过点D 作//DE AB 交AC 的延长线于点E ，直接写出当ADF ACF ABC ∠=∠=∠时AE FC 的值．5.在等边△ABC 中，点D 是BC 边上一点，点E 是直线AB 上一动点，连接DE，将射线DE 绕点D 顺时针旋转120°，与直线AC 相交于点F ．（1）若点D 为BC 边中点．①如图1，当点E 在AB 边上，且DE AB ⊥时，请直接写出线段DE 与DF 的数量关系________；②如图2，当点E 落在AB 边上，点F 落在AC 边的延长线上时，①中的结论是否仍然成立？请结合图2说明理由；（2）如图3，点D 为BC 边上靠近点C 的三等分点．当:3:2AE BE =时，直接写出CF AF 的值．6.在ABCD 中，BAD ∠=α，以点D 为圆心，适当的长度为半径画弧，分别交边AD 、CD 于点M 、N ，再分别以M 、N 为圆心，大于 MN 的长为半径画弧，两弧交于点K ，作射线DK ，交对角线AC 于点G ，交射线AB 于点E ，将线段EB 绕点E 顺时针旋转α得线段EP ．（1）如图1，当120α=︒时，连接AP ，线段AP 和线段AC 的数量关系为；（2）如图2，当90α=︒时，过点B 作BF EP ⊥于点F ，连接AF ，请求出∠FAC 的度数，以及AF ，AB ，AD 之间的数量关系，并说明理由；（3）当120α=︒时，连接AP ，若13BE AB =，请直接写出线段AP 与线段DG 的比值．7.在数学兴趣小组活动中，小亮进行数学探究活动．（1）△ABC是边长为3的等边三角形，E是边AC上的一点，且AE=1，小亮以BE为边作等边三角形BEF，如图（1）所示．则CF的长为．（直接写出结果，不说明理由）（2）△ABC是边长为3的等边三角形，E是边AC上的一个动点，小亮以BE为边作等边三角形BEF，如图（2）所示．在点E从点C到点A的运动过程中，求点F所经过的路径长．思路梳理并填空：当点E不与点A重合时，如图，连结CF，∵△ABC、△BEF都是等边三角形∴BA=BC，BE=BF，∠ABC=∠EBF=60°∴①∠ABE+=∠CBF+；∴∠ABE=∠CBF∴△ABE≌△CBF∴∠BAE=∠BCF=60°又∠ABC=60°∴∠BCF=∠ABC∴②______∥______；当点E在点A处时，点F与点C重合．当点E在点C处时，CF=CA．∴③点F所经过的路径长为．（3）△ABC是边长为3的等边三角形，M是高CD上的一个动点，小亮以BM为边作等边三角形BMN，如图（3）所示．在点M从点C到点D的运动过程中，求点N所经过的路径长．（4）正方形ABCD的边长为3，E是边CB上的一个动点，在点E从点C到点B的运动过程中，小亮以B为顶点作正方形BFGH，其中点F，G都在直线AE上，如图（4）．当点E到达点B时，点F，G，H与点B重合．则点H所经过的路径长为．（直接写出结果，不说明理由）8．如图1，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=AC，点D，E分别在边AB，AC上，AD=AE，连接DC，点M，P，N分别为DE，DC，BC的中点．（1）观察猜想图1中，线段PM与PN的数量关系是，位置关系是；（2）探究证明把△ADE绕点A逆时针方向旋转到图2的位置，连接MN，BD，CE，判断△PMN的形状，并说明理由；（3）拓展延伸把△ADE绕点A在平面内自由旋转，若AD=4，AB=10，请直接写出△PMN面积的最大值．。

类比探究问题(讲义及答案)

类比探究问题（讲义）➢ 课前预习1. 类比探究是一类共性条件与特殊条件相结合，由特殊情形到一般情形（或由简单情形到复杂情形）逐步深入，解决思想方法一脉相承的综合性题目，常以几何综合题为主．2. 解决类比探究问题的一般方法：（1）根据题干条件，结合_______________先解决第一问；（2）用解决_______的方法类比解决下一问，整体框架照搬．整体框架照搬包括_________________，________________， _________________．3. 用铅笔做讲义第1，2题，并将计算、演草保留在讲义上，先看知识点睛，再做题，思路受阻时（某个点做了2~3分钟）重复上述动作，若仍无法解决，课堂重点听．➢ 知识点睛1. 类比探究属于几何综合题，类比（__________，___________，___________）是解决此问题的主要方法，做好类比需要把握变化过程中的____________． 2. 类比探究问题中常见结构举例①旋转结构AB=AC DCD'A②中点结构ABCE MDA BMCNM A（类）倍长中线平行夹中点中位线➢ 精讲精练1. 原题：如图1，点E ，F 分别在正方形ABCD 的边BC ，CD 上，∠EAF =45°，连接EF ，易证EF =BE +DF ．图1B CDEFA（1）类比引申：如图2，在四边形ABCD 中，AB =AD ，∠BAD =90°，∠B +∠D =180°，点E ，F 分别在边BC ，CD 上，∠EAF =45°，连接EF ，则原题中的结论是否仍然成立？请说明理由．AF E DCB 图2（2）联想拓展：如图3，在△ABD 中，∠BAD =90°，AB =AD ，点E ，F 均在边BD 上，且∠EAF =45°．猜想EF ，BE ，DF 之间满足的数量关系，并写出推理过程．图3B DEF A2. 在△ABC 中，∠ACB =90°，∠A < 45°，O 为AB 的中点，一个足够大的三角板的直角顶点与点O 重合，一边OE 经过点C ，另一边OD 与AC 交于点M ．（1）如图1，当∠A =30°时，求证：222MC AM BC =+．（2）如图2，当∠A ≠30°时，（1）中的结论是否仍然成立？如果成立，请说明理由；如果不成立，请写出你认为正确的结论，并说明理由．（3）如图3，将三角板ODE 绕点O 旋转，若直线OD 与线段AC 的延长线相交于点M ，直线OE 与线段CB 的延长线相交于点N ，连接MN ，则MN 2=AM 2+BN 2成立吗？请说明理由．N 图3E B C O MD A图1EBCOMD AADMO CBE图23.已知P是Rt△ABC的斜边AB上一动点（不与点A，B重合），分别过点A，B向直线C P作垂线，垂足分别为点E，F，Q为斜边AB的中点．（1）如图1，当点P与点Q重合时，AE与BF的位置关系是___________，QE与QF的数量关系是______________．图1B CQ(P)EFA（2）如图2，当点P不与点Q重合时，试判断QE与QF的数量关系，并给予证明．A FEPQCB 图2（3）如图3，当点P在线段BA（或AB）的延长线上时，（2）中的结论是否仍然成立？请画出图形并给予证明．4.某校活动小组在作三角形的拓展图形，研究其性质时，经历了如下过程．（1）操作发现：在等腰△ABC中，AB=AC，分别以AB和AC为斜边，向△ABC的外侧作等腰直角三角形，如图1所示，其中DF⊥AB于点F，EG⊥AC于点G，M是BC的中点，连接MD和ME，则下列结论正确的是___________．（填写序号）①12AF BA AG==；②MD=ME；③MD⊥ME．（2）数学思考：在任意△ABC中，分别以AB和AC为斜边，向△ABC的外侧作等腰直角三角形，如图2所示，M是BC的中点，连接MD和ME，则MD与ME具有怎样的数量关系和位置关系？请给出证明．（3）类比探究：在任意△ABC中，仍分别以AB和AC为斜边，向△ABC的内侧作等腰直角三角形，如图3所示，M是BC的中点，连接MD和ME，则△MED是_____________三角形．【参考答案】➢课前预习图1CD EF GMBA图2C DEMA图3AB CME2.（1）分支条件（2）第一问；照搬字母，照搬辅助线，照搬思路➢知识点睛1.类比字母，类比辅助线，类比思路，不变特征➢精讲精练1.（1）原题中的结论仍成立，理由略提示：延长CD到点G，使DG=BE，证明△ABE≌△ADG（SAS）；再证明△AEF≌△AGF（SAS），得EF=FG=BE+DG。

类比探究(教师用)

类比探究(教师用)类比探究一）直角结构问题1：类比探究是几何综合题，类比（相似、全等、等腰）是解决此问题的主要方法，做好类比需要把握变化过程中的不变量。

若属于类比探究常见的结构类型，可以调用结构类比解决。

若不属于常见结构类型，可以先根据题干条件，结合已知条件先解决第一问，然后类比解决下一问。

如果不能，可以分析条件变化，寻找不变量。

结合所求目标，依据猜想、尝试、验证的思路大胆猜测，尝试，验证。

问题2：类比探究问题常见的不变结构有：勾股定理、直角三角形两锐角互余、直角边看成高（等面积结构）、直角+中点、直角+特殊角、直角+角平分线、斜直角放正、弦图结构、三等角模型、母子型相似、射影定理、函数背景下考虑、圆背景下考虑等。

处理方式是根据所求目标和已知条件，结合不变结构进行类比，寻找解题思路。

问题3：直角结构的思考角度有：1.边：勾股定理；2.角：直角三角形两锐角互余；3.面积：直角边看成高（等面积结构）；4.固定模型和用法：直角+中点、直角+特殊角、直角+角平分线、斜直角放正、弦图结构、三等角模型、母子型相似、射影定理；5.函数背景下考虑；6.圆背景下考虑：直径所对的圆周角是直角，垂径定理。

在类比探究之直角结构中，常用的结构有勾股定理、直角三角形两锐角互余、直角边看成高（等面积结构）、直角+中点、直角+特殊角、直角+角平分线、斜直角放正等。

例如，对于Rt△ABC中，∠B=90°，∠A=30°，将一块三角板的直角顶点放在△ABC斜边AC的中点P处，将三角板绕点P旋转，可以利用不变结构进行类比解题。

为折痕EF上的任一点P，作PG⊥BE，PH⊥BC，垂足分别为G，H。

已知AD=8，CF=3，求PG+PH的值。

解题思路：根据垂足定理，PG=PE-EG，PH=PF-FH。

由于EF是折痕，所以PE=PF，EG=FC，FH=AD。

因此，PG+PH=PE+FC-AD=PE+CF-AD=PE-ED+CF。

专题5四边形之类比探究(教案)

举例：矩形性质的应用——证明矩形的对角线互相平分。
（2）四边形面积计算方法的掌握：掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形的面积计算方法是本节课的重点。教师应通过实例讲解、练习巩固等方式，使学生熟练掌握这些四边形的面积计算方法。
举例：平行四边形面积计算——底乘以高。
2.教学难点
（1）四边形性质的类比推理：对于四边形性质的类比推理是本节课的一大难点。学生需要从特殊四边形的性质出发，通过类比推理，归纳出一般四边形的性质。
6.整体而言，本次教学达到了预期的效果，但也暴露出一些问题。在今后的教学中，我需要关注以下几个方面：
-加强课堂互动，提高学生的参与度；
-注重直观演示，让学生更直观地理解四边形的性质；
-引导学生独立思考，培养他们解决问题的能力；
-加强课后辅导，确保每个学生都能掌握所学知识点。
3.四边形的面积计算：平行四边形、矩形、菱形、正方形的面积计算方法。
4.类比推理：通过对四边形性质的探究，培养学生运用类比推理解决数学问题的能力。
本节课旨在帮助学生构建完整的四边形知识体系，提高学生的空间想象能力、逻辑推理能力和解决问题的能力。
二、核心素养目标
《专题5四边形之类比探究》的教学旨在培养学生以下核心素养：
五、教学反思
在本次《专题5四边形之类比探究》的教学中，我采用了导入新课、新课讲授、实践活动、小组讨论和总结回顾等环节，尽量让课堂氛围活跃，让学生充分参与其中。以下是我对这次教学的一些反思：
1.关于导入新课：我发现通过提问与生活密切相关的问题，能够迅速吸引学生的注意力，激发他们的学习兴趣。但在实际操作中，可能需要进一步引导学生思考，让他们更主动地参与到课堂讨论中来。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调四边形的基本性质和面积计算这两个重点。对于难点部分，如类比推理，我会通过举例和比较来帮助大家理解。

专题13几何类比探究题型-2024年中考数学答题技巧与模板构建(解析版)

专题13几何类比探究题型题型解读｜模型构建｜通关试练几何的类比探究题型是近年中招解答题的必考题型，该题型往往以压轴题的形式出现，有一定的难度。

探究型问题是指命题中缺少一定的条件或无明确的结论，需要经过推断，补充并加以证明的一类问题．根据其特征大致可分为：条件探究型、结论探究型、规律探究型和存在性探究型等四类。

由于探究型试题的知识覆盖面较大，综合性较强，灵活选择方法的要求较高，再加上题意新颖，构思精巧，具有相当的深度和难度，所以要求同学们在复习时，首先对于基础知识一定要复习全面，并力求扎实牢靠；其次是要加强对解答这类试题的练习，注意各知识点之间的因果联系，选择合适的解题途径完成最后的解答．模型01图形旋转模型模型一、A字形（手拉手）及其旋转D模型二、K字型及其旋转CC手拉手模型是有两个等腰的三角形或者两个等边的三角形，他们有一个共同的顶点，且两个等腰三角形的顶角是相等的，那么就可以用角的和差求得共顶点的另外两个角相等等，然后利用等腰的边对应相等，可证明两个三角形全等（边角边）组成这样的图形模样的我们就说他是手拉手模型。

在类比探究题型中，往往会对等腰三角形或者等边三角形进行演变，变成一般三角形进行旋转，通常全等三角形变为相似三角形。

模型特征：双等腰；共顶点；顶点相等；绕着顶点作旋转解题依据：等腰共顶手拉手，旋转全等马上有；左手拉左手，右手拉右手，两根拉线抖一抖，它们相等不用愁；拉线夹角与顶角，相等互补答案有。

模型02图形平移模型探究1.四边形平移变换四边形的平移变换题型中主要考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，平移几何性质、三角形内角和定理的应用，勾股定理，解题的关键是熟练掌握三角形全等或相似的判定方法，画出相应的图形，注意分类讨论．2.三角形平移变换三角形平移变换主要利用三角形全等和三角形相似的判定和性质，勾股定理，矩形的判定和性质，平移性质、平行线的判定和性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握三角形相似的判定方法.3.其它图形平移类比探究问题综合考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，三角形内角和定理的应用，勾股定理，解题的关键是熟练掌握三角形相似的判定方法，画出相应的图形，注意分类讨论.模型03动点引起的题型探究动点型问题是指题设中的图形中存在一个或多个动点，它们在线段、射线、直线、抛物线、双曲线、弧线等上运动的一类非常具有开放性的题目。