正交分解法整体法和隔离法 知识讲解 提高

物理总复习：正交分解法、整体法和隔离法【考纲要求】1、理解牛顿第二定律，并会解决应用问题；2、掌握应用整体法与隔离法解决牛顿第二定律问题的基本方法；3、掌握应用正交分解法解决牛顿第二定律问题的基本方法；4、掌握应用合成法解决牛顿第二定律问题的基本方法。

【考点梳理】要点一、整体法与隔离法1、连接体：由两个或两个以上的物体组成的物体系统称为连接体。

2、隔离体：把某个物体从系统中单独“隔离”出来，作为研究对象进行分析的方法叫做隔离法（称为“隔离审查对象”）。

3、整体法：把相互作用的多个物体视为一个系统、整体进行分析研究的方法称为整体法。

要点诠释： 处理连接体问题通常是整体法与隔离法配合使用。

作为连接体的整体，一般都是运动整体的加速度相同，可以由整体求解出加速度，然后应用于隔离后的每一部分；或者由隔离后的部分求解出加速度然后应用于整体。

处理连接体问题的关键是整体法与隔离法的配合使用。

隔离法和整体法是互相依存、互相补充的，两种方法互相配合交替使用，常能更有效地解决有关连接体问题。

要点二、正交分解法当物体受到两个以上的力作用而产生加速度时，常用正交分解法解题，多数情况下是把力正交分解在加速度方向和垂直加速度方向上，有：x F ma =（沿加速度方向） 0y F = (垂直于加速度方向）特殊情况下分解加速度比分解力更简单。

要点诠释：正确画出受力图；建立直角坐标系，特别要注意把力或加速度分解在x 轴和y 轴上；分别沿x 轴方向和y 轴方向应用牛顿第二定律列出方程。

一般沿x 轴方向（加速度方向）列出合外力等于ma 的方程，沿y 轴方向求出支持力，再列出f N μ=的方程，联立解这三个方程求出加速度。

要点三、合成法若物体只受两个力作用而产生加速度时，这是二力不平衡问题，通常应用合成法求解。

要点诠释：根据牛顿第二定律，利用平行四边形法则求出的两个力的合外力方向就是加速度方向。

特别是两个力相互垂直或相等时，应用力的合成法比较简单。

【典型例题】类型一、整体法和隔离法在牛顿第二定律中的应用【高清课堂：牛顿第二定律及其应用1例4】例1、（2014 河北衡水中学模拟）在水平地面上放一木板B ，重力为100N ，再在木板上放一货箱A ，重力为500N ，设货箱与木板、木板与地面间的动摩擦因数μ均为0.5，先用绳子把货箱与墙拉紧，如图示，已知sin θ＝3/5，cos θ=3/5，然后在木板B 上施一水平力F 。

要想把木板从货箱下抽出来，F 至少应为多大？【答案】850N【解析】分别对物体A 、B 或AB 整体：受力分析，如图所示，由受力平衡知：对A ：T cos θ–f 1=0 N 1–G 1–T sin θ又f 1=μN 1联立得到：T cos θ=μ（G 1+T sin θ） 即1cos sin G T μθμθ=- f 1= T cos θ N 1= G 1+T sin θ对B ：F –f 1′–f 2=0 N 2–N 1′–G 2=0又f 2=μN 2联立得到：F =f 1+μ（N 1+G 2）解得：F =850N（或者采用先整体后隔离）本题考查受力平衡的问题，分别以两个物体为研究对象，分析受力情况，建立直角坐标系后分解不在坐标轴上的力，列平衡式可得答案举一反三【变式1】如图所示，两个质量相同的物体A 和B 紧靠在一起放在光滑水平桌面上，如果它们分别受到水平推力1F 和2F ，且12F F >，则A 施于B 的作用力的大小为（ ）A ． 1FB ．2FC ．121()2F F +D ． 121()2F F - 【答案】 C【解析】设两物体的质量均为m ，这两物体在1F 和2F 的作用下，具有相同的加速度为122F F a m-=，方向与1F 相同。

物体A 和B 之间存在着一对作用力和反作用力，设A 施于B 的作用力为N （方向与1F 方向相同）。

用隔离法分析物体B 在水平方向受力N 和2F ，根据牛顿第二定律有2N F ma -= 2121()2N ma F F F ∴=+=+ 故选项C 正确。

【变式2】 如图所示,光滑水平面上放置质量分别为m 和2m 的四个木块，其中两个质量为m 的木块间用可伸长的轻绳相连,木块间的最大静摩擦力是mg μ，现用水平拉力F 拉其中一个质量为2m 的木块，使四个木块以同一加速度运动,则轻绳对m 的最大拉力为 ( )A.35mg μ B.34mg μC. 32mg μD. 3mg μ 【答案】 B【解析】 以四个木块为研究对象,由牛顿第二定律得 6F m a =绳的拉力最大时,m 与2m 间的摩擦力刚好为最大静摩擦力mg μ, 以2m(右边的)为研究对象,则 2F m g m a μ-=, 对m 有 mg T ma μ-=,联立以上三式得 34T m g μ= B 正确。

例2、质量为M 的拖拉机拉着耙来耙地，由静止开始做匀加速直线运动，在时间t 内前进的距离为s 。

耙地时，拖拉机受到的牵引力恒为F ，受到地面的阻力为自重的k 倍，所受阻力恒定，连接杆质量不计且与水平面的夹角θ保持不变。

求：（1）拖拉机的加速度大小。

（2）拖拉机对连接杆的拉力大小。

（3）时间t 内拖拉机对耙做的功。

【答案】（1）22s t （2）212[()]cos s F M kg t θ-+ （3）22[()]s F M kg s t -+ 【解析】（1）拖拉机在时间t 内匀加速前进s ，根据位移公式 212s at = ① 变形得 22s a t= ②（2）要求拖拉机对连接杆的拉力，必须隔离拖拉机，对拖拉机进行受力分析，拖拉机受到牵引力、支持力、重力、地面阻力和连杆拉力T ，根据牛顿第二定律cos F kMg T Ma θ--= ③联立②③变形得 212[()]cos s T F M kg tθ=-+ ④ 根据牛顿第三定律连杆对耙的反作用力为212[()]cos s T T F M kg tθ'==-+ ⑤ 拖拉机对耙做的功：cos W T s θ'= ⑥ 联立④⑤解得22[()]s W F M kg s t =-+ ⑦ 【总结升华】本题不需要用整体法求解，但在求拖拉机对连接杆的拉力时，必须将拖拉机与耙隔离开来，先求出耙对连杆的拉力，再根据牛顿第三定律说明拖拉机对连接杆的拉力。

类型二、正交分解在牛顿二定律中应用物体在受到三个或三个以上不同方向的力的作用时，一般都要用正交分解法，在建立直角坐标系时，不管选哪个方向为x 轴的正方向，所得的结果都是一样的，但在选坐标系时，为使解题方便，应使尽量多的力在坐标轴上，以减少矢量个数的分解。

例3、（2015 全国Ⅱ卷）下暴雨时，有时会发生山体滑坡或泥石流等地质灾害。

某地有一倾角为θ=37°（sin37°=3/5）的山坡C ，上面有一质量为m 的石板B ，其上下表面与斜坡平行；B 上有一碎石堆A （含有大量泥土），A 和B 均处于静止状态，如图所示。

假设某次暴雨中，A 浸透雨水后总质量也为m （可视为质量不变的滑块），在极短时间内，A 、B 间的动摩擦因数μ1减小为3/8，B 、C 间的动摩擦因数μ2减小为0.5，A 、B 开始运动，此时刻为计时起点；在第2s 末，B 的上表面突然变为光滑，μ2保持不变。

已知A 开始运动时，A 离B 下边缘的距离l =27m ，C 足够长，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力。

取重力加速度大小g =10m/s 2。

求：（1）在0~2s 时间内A 和B 加速度的大小（2）A 在B 上总的运动时间【答案】（1）a1=3m/s2；a2 =1m/s2；（2）4s【解析】(1)在0~2s时间内，A和B的受力如图所示，其中f1、N1是A与B之间的摩擦力和正压力的大小，f2、N2是B与C之间的摩擦力和正压力的大小，方向如图所示。

由滑动摩擦力公式和力的平衡条件得f1=μ1N1 ⑴N1=mg cosθ ⑵f2=μ2N2 ⑶N2=N1+mg cosθ ⑷规定沿斜面向下为正方向。

设A和B的加速度分别为a1和a2，由牛顿第二定律得mg sinθ–f1=ma1 ⑸mg sinθ–f2+ f1=ma2 ⑹联立以上各式可得:a1=3m/s2⑺a2=1m/s2⑻(2)在t1=2s时，设A和B的速度分别为v1和v2，则v1=a1t1=6m/s ⑼v2=a2t2=2m/s ⑽t＞t1时，设A和B的加速度分别为a1′和a2′。

此时A与B之间的摩擦力为零，同理可得a1′=6m/s2 ⑾a2′=–2m/s2 ⑿即B做减速运动。

设经过时间t2，B的速度减为零，则有v2+a2′t2=0 ⒀联立⑽⑿⒀式得t2=1s ⒁在t1+t2时间内，A相对于B运动的距离为22221112122122221111()()22212m 227m s a t v t a t a t v t a t =++'-++'=＜ ⒂此后B 静止不动，A 继续在B 上滑动。

设再经过时间t 3后A 离开B ，则有21123131()2l s v a t t a t -=+'+' ⒃ 可得 t 3=1s(另一解不合题意，舍去) ⒄设A 再B 上总的运动时间为t 总，有t 总=t 2+t 2+t 3=4s ⒅(利用下面的速度图线求解，正确的，参考上述答案及评分参考给分)举一反三【变式1】质量为m 的物体放在倾角为α的斜面上，物体和斜面的动摩擦因数为μ，如沿水平方向加一个力F ，使物体沿斜面向上以加速度a 做匀加速直线运动（如图所示），则F 为多少？【答案】(sin cos )cos sin m a g g F αμααμα++=- 【解析】本题将力沿平行于斜面和垂直于斜面两个方向分解，分别利用两个方向的合力与加速度的关系列方程。

（1）受力分析：物体受四个力作用：推力F 、重力mg 、支持力N F ，摩擦力f F 。

（2）建立坐标：以加速度方向即沿斜向上为x 轴正向，分解F 和mg （如图所示）：（3）建立方程并求解x 方向： c o s s i n f F m g F ma αα--=y 方向： cos sin 0N F mg F αα--=f N F F μ=三式联立求解得 (sin cos )cos sin m a g g F αμααμα++=- 【变式2】如图(a)质量m ＝1kg 的物体沿倾角θ＝37︒的固定粗糙斜面由静止开始向下运动，风对物体的作用力沿水平方向向右，其大小与风速v 成正比，比例系数用k 表示，物体加速度a 与风速v 的关系如图(b)所示。

求：（1）物体与斜面间的动摩擦因数μ；（2）比例系数k 。

(210/g m s =sin 530.8=，cos530.6=）【答案】（1）0.25μ= （2）0.84/k kg s =【解析】 （1）对初始时刻：0sin cos mg mg ma θμθ-= ○1 由图读出204/a m s = 代入○1式， 解得：0sin 0.25cos g ma g θμθ-==； （2）对末时刻加速度为零： sin cos 0mg N kv θμθ--= ○2 又 cos sin N mg kv θθ=+ 由图得出此时5/v m s =代入○2式解得： k ＝mg （sin θ－μcos θ）v （μsin θ＋cos θ＝0.84kg/s 。