电子科技大学随机信号分析课件 第5章_功率谱分析及其应用
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功率谱分析ppt课件
以模下拟是信库号G利自x(-f谱杜) 的T开2 |X估法( 值f的)|计2估算值式计：算式：
功率谱的计算
数字信S x号(k自) 谱N1的| X估(值k)计|2算式：
G
(k
x
)
2 N
|X
(k )|2
其中k
0,1,2..... N 1
模拟信Sx号y( f互) 谱T1的X估 ( f值)Y计( f 算) 式：
为
S R e (f)
( ) j 2f d
xy
xy
（2.36）
R S e
( )
( f ) j 2 f df
其逆变换xy 为 xy
功由S率于( f )谱R()密与 度函的数傅里的叶定变换义对的S关( f )
系，两R()者是唯一对R应X (的) 。 S中x( f包) 含
dt
S x
T T 0
Sx( f )
（2.40）x2(t)
x2(t) T x2(t) T
上式表明： T 2(t)
x lim
dt
T T 0
曲线下的总面积与
曲线下的总面积相等，如图2.17所示
从物理意义讲， 是信号x（t）的能量，
这功一总率S功x(f) 率谱密度函数的物理意义
塞均法功P尔率av 定为Tlim理T1 ，0T x2在(t)d整t 个Tlim时 T1间|X轴( f )上|2df的信号平
（2.41）
S
x
lim
T
1 T
|
X
(
f
)|2
再由式（2.38）、（2.3(9,）) 、（2.41）得：
(,0)
功率谱的计算
数字信S x号(k自) 谱N1的| X估(值k)计|2算式：
G
(k
x
)
2 N
|X
(k )|2
其中k
0,1,2..... N 1
模拟信Sx号y( f互) 谱T1的X估 ( f值)Y计( f 算) 式：
为
S R e (f)
( ) j 2f d
xy
xy
（2.36）
R S e
( )
( f ) j 2 f df
其逆变换xy 为 xy
功由S率于( f )谱R()密与 度函的数傅里的叶定变换义对的S关( f )
系，两R()者是唯一对R应X (的) 。 S中x( f包) 含
dt
S x
T T 0
Sx( f )
（2.40）x2(t)
x2(t) T x2(t) T
上式表明： T 2(t)
x lim
dt
T T 0
曲线下的总面积与
曲线下的总面积相等，如图2.17所示
从物理意义讲， 是信号x（t）的能量，
这功一总率S功x(f) 率谱密度函数的物理意义
塞均法功P尔率av 定为Tlim理T1 ，0T x2在(t)d整t 个Tlim时 T1间|X轴( f )上|2df的信号平
（2.41）
S
x
lim
T
1 T
|
X
(
f
)|2
再由式（2.38）、（2.3(9,）) 、（2.41）得：
(,0)
06第5章_功率谱分析及其应用
随机信号的功率谱密度
谱相干函数(spectral coherence function)的定 义 评测输入、输出信号间的因果性，即输出信号 的功率谱中有多少是所测试输入量引起的响应。
xy
2
G xy
2
G x G y
随机信号的功率谱密度
频率响应函数(frequency response function) 的定义 G xy H G x 谱相干函数的性质 1 y(t)和x(t)完全相关 0 y(t)和x(t)完全无关 1 0 y(t)和x(t)部分相关
R xx 0
1 T
T
T 0
x t x t 0 dt
j 2 f 0
2 x
S ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱx
f e
df
S xx
f df
R xx 0
2 x
S xx
f df
随机信号的功率谱密度 Parseral定理 信号的能量在时域与频域是相等的。
x
Rxx ( )
x
2
Rxx ( )
RxT xT ( )
随机信号的功率谱密度 自功率谱密度函数(Auto-power spectral density function)定义 根据维纳—辛钦公式，平稳随机过程的功率谱 密度与自相关函数是一傅里叶变换偶对 (fourier transform dual pair)
S x R x
R x e
j
d
功率谱分析的原理及应用
功率谱分析的原理及应用1. 什么是功率谱分析功率谱分析是一种对信号进行频域分析的方法，它可以将信号在频域上表达出来。
通过功率谱分析，我们可以了解信号的频率分布，并从中提取出信号的特征。
功率谱分析广泛应用于信号处理、通信系统、声学分析等领域。
2. 功率谱分析的原理功率谱分析的原理基于傅里叶变换的思想，将时域上的信号转换为频域上的信号。
傅里叶变换可以将一个信号表示为多个不同频率的正弦波的叠加，而功率谱则表示不同频率正弦波的能量分布情况。
功率谱分析的具体步骤如下：- 第一步：将原始信号转换为时域上的离散信号。
- 第二步：对离散信号进行傅里叶变换，得到频域上的信号。
- 第三步：计算频域上信号的幅度谱，得到信号在不同频率上的能量分布。
- 第四步：对幅度谱进行平方处理，得到功率谱。
3. 功率谱分析的应用功率谱分析在许多领域中都有广泛的应用，以下列举了一些常见的应用场景。
3.1 信号处理功率谱分析在信号处理中具有重要的作用。
通过分析信号的功率谱，我们可以了解信号的频率特性，从而帮助我们对信号进行滤波、降噪等处理。
同时，功率谱分析还能够帮助我们检测信号中的周期性成分，并进行信号的识别和分类。
3.2 通信系统在通信系统中，功率谱分析可以用于频谱分析和带宽分配等任务。
通过对信号的功率谱进行分析，可以确定频率段的使用情况，从而辅助我们进行频谱规划和频率资源的分配。
此外，功率谱分析还可以帮助我们评估信道的质量，从而对通信系统进行优化。
3.3 声学分析声学分析是功率谱分析的另一个重要应用领域。
在声学分析中，功率谱分析可以用于声音信号的频谱分析和特征提取。
通过分析声音信号的功率谱，我们可以了解声音的频率成分和能量分布，进而帮助我们进行声音信号的分类、识别和音频处理等任务。
3.4 振动分析功率谱分析在振动分析中也得到了广泛的应用。
通过对振动信号进行功率谱分析，我们可以了解结构物的固有频率和振动模态，从而帮助我们识别结构物中存在的故障和缺陷。
功率谱分析及其应用
S x Rx e j d
Rx S x e j d
随机信号的功率谱密度
自功率谱密度函数(Auto-power spectral density function)的性质
自功率谱密度函数是实偶函数。 自功率谱密度函数是双边谱。
Cxy 2 R cos d 单边互谱密度函数 (One-sided cross-power spectrum) xy Qxy 2 Rxy sin d 其中 j
实部 Gxy Gxy e 虚部
单边功率谱(one-sided power spectrum)（非负频率 上的谱） G 2S
x x
2 Rx e j d
0
随机信号的功率谱密度
1 T 2 Rxx 0 lim x t x t 0 dt x T T 0
输入x(t)与输出y(t)的互相关函数(crosscorrelation function )为：
Rxy Rx ' x Rx 'n1 Rx 'n2 Rx 'n3
Rxy Rx ' x
S xy f
由于噪音与输入无关，所以后3项为零，于是有
可利用互谱求系统的
X(t)
系统1 系统2 可在强噪声背景下分析系统的传输特性
n1 t
n2 t
y(t)
n3 t
随机信号的功率谱密度 正弦加随机
随机信号
yt x ' t n1 ' t n2 ' t n3 ' t
随机信号第五章
RX ( v) h( v) h(v)dv RX ( ) h( ) h( ) RY
电子科技大学通信学院 12/65
RX
h
RYX
h
RY
定义系统（冲激响应）的相关函数为:
rh (t ) h(t )* h(t )
输入X(t)是零均值平稳高斯信号，自相关函数
RX ( ) e
2 X
a
, (a 0, a b)
。求输出信号
（1）Y(t)的功率谱与自相关函数； （2）Y(t)的一维概率密度函数； （3） P[Y (t )
0]
电子科技大学通信学院
17/65
e
a t
2a 2 a2
输出 Y(t) 的 RY(τ) 也是可测的
则，
RY ( ) RX ( ) rh ( )
rh ( ) H ( j )
F 2
功率谱传输函数
电子科技大学通信学院
13/65
电子科技大学通信学院
14/65
说明： 对于线性时不变系统 h(t)
X(t) h(t) Y(t)
（1）若X(t)是WSS.R.S, 则Y(t)也是WSS.R.S, 且X(t)、
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H
SY ( ) S X ( ) H ( )
2
2
1 1 2 R 2C 2
1 ( 2 f0 ) ( 2 f0 ) 2 (1 2 R ( 2 f 0 ) ( 2 f 0 ) 2 2 2 2 2(1 4 f 0 R C )
Y(t)还是JWSS。
（2）若X(t)是各态历经, 则Y(t)也是各态历经, 且X(t)、 Y(t)还是联合各态历经。（统计互相关等于时间互相关）
《随机信号分析》第五章-窄带随机过程
高斯 同一时刻不相关
独立
2020/10/24
06-9-27 28
5.3.2 结论1
对于均值为零的窄带平稳高斯过程
其同相分量和正交分量同样是平稳高斯过程， 而且均值都为零，方差也相同；
在同一时刻上的同相分量与正交分量是不相 关的或统计独立的。
2020/10/24
29
5.3.2
Rc Rs R cos 2 fc Rˆ sin 2 fc
15
2.随机信号的复信号表示
X (t) X (t) jXˆ (t)
R X
(
)
E
X
(t
)
X
*
(t)
E{[ X (t ) jXˆ (t )][ X (t) jXˆ (t)]}
RX ( ) RXˆ ( ) j[RXˆX ( ) RXXˆ ( )]
RX ( ) RXˆ ( ) RXˆX ( ) Rˆ X ( ) RXXˆ ( )
2020/10/24
2
希尔伯特变换 (Hilbert Transform)
1.定义
正变换定义：
H[x(t)] xˆ(t) 1 x( ) d
t
xˆ(t) x(t) 1
t
反变换：
H 1[xˆ(t)] x(t) 1 xˆ( ) d
t
H 1[xˆ(t)] xˆ(t) 1
第5章 窄带随机过程
Narrow-band Random Process
希尔伯特变换 信号的复信号表示 窄带随机过程的统计特性 窄带正态随机过程包络和相位的分布
2020/10/24
1
希尔伯特，D.(Hilbert,David，1862～ 1943)德国著名数学家。
希尔伯特领导的数学学派是19世纪末20 世纪初数学界的一面旗帜，希尔伯特被称 为“数学界的无冕之王”。
独立
2020/10/24
06-9-27 28
5.3.2 结论1
对于均值为零的窄带平稳高斯过程
其同相分量和正交分量同样是平稳高斯过程， 而且均值都为零，方差也相同；
在同一时刻上的同相分量与正交分量是不相 关的或统计独立的。
2020/10/24
29
5.3.2
Rc Rs R cos 2 fc Rˆ sin 2 fc
15
2.随机信号的复信号表示
X (t) X (t) jXˆ (t)
R X
(
)
E
X
(t
)
X
*
(t)
E{[ X (t ) jXˆ (t )][ X (t) jXˆ (t)]}
RX ( ) RXˆ ( ) j[RXˆX ( ) RXXˆ ( )]
RX ( ) RXˆ ( ) RXˆX ( ) Rˆ X ( ) RXXˆ ( )
2020/10/24
2
希尔伯特变换 (Hilbert Transform)
1.定义
正变换定义：
H[x(t)] xˆ(t) 1 x( ) d
t
xˆ(t) x(t) 1
t
反变换：
H 1[xˆ(t)] x(t) 1 xˆ( ) d
t
H 1[xˆ(t)] xˆ(t) 1
第5章 窄带随机过程
Narrow-band Random Process
希尔伯特变换 信号的复信号表示 窄带随机过程的统计特性 窄带正态随机过程包络和相位的分布
2020/10/24
1
希尔伯特，D.(Hilbert,David，1862～ 1943)德国著名数学家。
希尔伯特领导的数学学派是19世纪末20 世纪初数学界的一面旗帜，希尔伯特被称 为“数学界的无冕之王”。
第五章功率谱估计12节ppt课件
20
第二节 经典谱估计方法
21
在整堂课的教学中，刘教师总是让学 生带着 问题来 学习， 而问题 的设置 具有一 定的梯 度，由 浅入深 ，所提 出的问 题也很 明确
一、相关图法
根 据 维 纳 -辛 欣 定 理 ， 1 9 5 8 年 B la c k m a n 和 T u k e y 给 出 了 相 关 图 法 的 具 体 实 现 。
19
在整堂课的教学中，刘教师总是让学 生带着 问题来 学习， 而问题 的设置 具有一 定的梯 度，由 浅入深 ，所提 出的问 题也很 明确
然而这些方法在信噪比（SNR）较低时 性能并不好，为此，1982年以来，人们 陆续提出了多种基于矩阵奇异值分解或 特征值分解的改进的谱估计方法，也叫 做超分辨方法。
随机信号能量无限，其功率未必无限， 因而常用功率谱来描述其频率特性。
随机信号自相关函数的傅里叶变换是 信号的功率谱密度。
7
在整堂课的教学中，刘教师总是让学 生带着 问题来 学习， 而问题 的设置 具有一 定的梯 度，由 浅入深 ，所提 出的问 题也很 明确
3、谱估计定义
谱估计或功率谱估值：根据有限个观测 数据，估计平稳随机信号的功率谱。
14
在整堂课的教学中，刘教师总是让学 生带着 问题来 学习， 而问题 的设置 具有一 定的梯 度，由 浅入深 ，所提 出的问 题也很 明确
（2）现代谱估计
其基本思想是根据已有的观测数据，建 立信号所服从的模型，从而在观测不到 的区间上，信号的取值服从模型的分布 情况，不再认为是零。
主要讨论参数模型（AR、MA、ARMA） 法。
8
在整堂课的教学中，刘教师总是让学 生带着 问题来 学习， 而问题 的设置 具有一 定的梯 度，由 浅入深 ，所提 出的问 题也很 明确
第二节 经典谱估计方法
21
在整堂课的教学中，刘教师总是让学 生带着 问题来 学习， 而问题 的设置 具有一 定的梯 度，由 浅入深 ，所提 出的问 题也很 明确
一、相关图法
根 据 维 纳 -辛 欣 定 理 ， 1 9 5 8 年 B la c k m a n 和 T u k e y 给 出 了 相 关 图 法 的 具 体 实 现 。
19
在整堂课的教学中，刘教师总是让学 生带着 问题来 学习， 而问题 的设置 具有一 定的梯 度，由 浅入深 ，所提 出的问 题也很 明确
然而这些方法在信噪比（SNR）较低时 性能并不好，为此，1982年以来，人们 陆续提出了多种基于矩阵奇异值分解或 特征值分解的改进的谱估计方法，也叫 做超分辨方法。
随机信号能量无限，其功率未必无限， 因而常用功率谱来描述其频率特性。
随机信号自相关函数的傅里叶变换是 信号的功率谱密度。
7
在整堂课的教学中，刘教师总是让学 生带着 问题来 学习， 而问题 的设置 具有一 定的梯 度，由 浅入深 ，所提 出的问 题也很 明确
3、谱估计定义
谱估计或功率谱估值：根据有限个观测 数据，估计平稳随机信号的功率谱。
14
在整堂课的教学中，刘教师总是让学 生带着 问题来 学习， 而问题 的设置 具有一 定的梯 度，由 浅入深 ，所提 出的问 题也很 明确
（2）现代谱估计
其基本思想是根据已有的观测数据，建 立信号所服从的模型，从而在观测不到 的区间上，信号的取值服从模型的分布 情况，不再认为是零。
主要讨论参数模型（AR、MA、ARMA） 法。
8
在整堂课的教学中，刘教师总是让学 生带着 问题来 学习， 而问题 的设置 具有一 定的梯 度，由 浅入深 ，所提 出的问 题也很 明确
信号分析3.05功率谱和能量谱
1
一．周期信号的功率谱 （离散谱）
第 页
描述功率信号在频域中随ω分布情况
瞬时功率
p(t)
Ri2 (t)
u2 (t) R
f
2 (t)
fT 2 (t)
平均功率
P
1 T
T
0
fT 2 (t) d t
1 T
T
0
fT
(t)(
Fne
jn1tn
[1 T
T
0
fT (t)e jn1t dt]
Fn
Fn
3) Fn 2 ~ 绘成的线状图形，表示 各次谐波的平均功 率随频率分布的情况，称为功率谱系数。离散谱。可
绘单边谱也可绘双边谱. 4)功率谱只与幅频谱有关，与相位无关，由于其收敛性，
能量主要集中在低频段 。
X
3
二．非周期信号的能量谱
第
（连续谱）页
时域中：E
f
2 (t)dt
f
(t)[ 1
2
F(
j)e jtd]dt
页
不同频率下信号的实际振幅为无穷小,能 量实际也为无穷小,为描述不同频率下能量的 分布情况,引入能量密度频谱函数G(w),
E
G
(
)d
G() 1 F 2 ( j) 2
说明： 表示单位频率下的信号能量。
1)能量是整个频域范围内能量谱曲线下的面积
2)能量谱只取决于信号的幅频特性,而与相位无关.
通过能量谱曲线可以了解信号能量在频域
1
2
F(
j
)[
f
(t)e jtdt]d
时域法
1
2
F
(
j )F (
j )d
1
一．周期信号的功率谱 （离散谱）
第 页
描述功率信号在频域中随ω分布情况
瞬时功率
p(t)
Ri2 (t)
u2 (t) R
f
2 (t)
fT 2 (t)
平均功率
P
1 T
T
0
fT 2 (t) d t
1 T
T
0
fT
(t)(
Fne
jn1tn
[1 T
T
0
fT (t)e jn1t dt]
Fn
Fn
3) Fn 2 ~ 绘成的线状图形，表示 各次谐波的平均功 率随频率分布的情况，称为功率谱系数。离散谱。可
绘单边谱也可绘双边谱. 4)功率谱只与幅频谱有关，与相位无关，由于其收敛性，
能量主要集中在低频段 。
X
3
二．非周期信号的能量谱
第
（连续谱）页
时域中：E
f
2 (t)dt
f
(t)[ 1
2
F(
j)e jtd]dt
页
不同频率下信号的实际振幅为无穷小,能 量实际也为无穷小,为描述不同频率下能量的 分布情况,引入能量密度频谱函数G(w),
E
G
(
)d
G() 1 F 2 ( j) 2
说明： 表示单位频率下的信号能量。
1)能量是整个频域范围内能量谱曲线下的面积
2)能量谱只取决于信号的幅频特性,而与相位无关.
通过能量谱曲线可以了解信号能量在频域
1
2
F(
j
)[
f
(t)e jtdt]d
时域法
1
2
F
(
j )F (
j )d
1
《随机信号分析》课件
连续随机信号
连续时间和连续幅度的随机信号，如噪声信号。
高斯随机信号
服从高斯分布的随机信号，常用于描述自然界 的随机现象。
非高斯随机信号
不服从高斯分布的随机信号，如脉冲信号和干 扰信号。
常见的随机信号分析方法
自相关分析
用于分析信号的自身相关性和 平稳性。
频谱分析
通过对信号进行频域分析，得 到信号的频谱特性。
统计特性分析
对信号的均值、方差等统计特 性进行分析。
使用MATLAB进行随机信号分析的步骤
1
准备据
收集并整理所需信号的数据。
2
数据预处理
对数据进行去噪、归一化等预处理操作。
3
信号分析
运用MATLAB提供的工具进行信号分析和特征提取。
随机信号分析的应用领域
通信系统
用于优化信道传输和抗干扰能力的研究。
金融市场
用于分析股票价格、汇率等随机变动的特性。
生物医学
用于分析心电图、脑电图等生物信号。
气象预报
用于分析天气数据，提高气象预报的准确性。
总结
通过本课件，您了解了随机信号的定义、特性、分类以及分析方法，以及其在不同领域的应用。
《随机信号分析》PPT课 件
本课件将介绍随机信号分析的基本概念和方法，包括随机信号的定义、特性、 分类以及常见的分析方法。
分析随机信号的定义
1 随机信号
随机信号是不确定的信号，具有随机性和不可预测性。
2 随机过程
随机信号可以看作是随时间变化的随机过程。
3 概率论基础
随机信号的定义和性质可以通过概率论进行分析和描述。
随机信号的特性
1 均值和方差
随机信号的均值和方差是 表征其平均值和离散程度 的重要特性。
《随机信号的谱分析》课件
通过对地震数据的谱分析 ，可以生成地下结构的图 像，为地质研究和资源开 发提供依据。
01
谱分析的未来发展 与挑战
高阶谱分析
高阶谱分析
高阶谱分析是一种研究信号高阶统计特性的方法，可以提供更多的信息，如信号 的非高斯性和非线性。
挑战
高阶谱分析面临计算量大、算法复杂度高等挑战，需要进一步研究高效算法和优 化计算方法。
常见的参数模型包括 AR模型、MA模型和 ARMA模型等。
AR模型是一种自回归 模型，通过将信号表 示为一组自回归系数 的线性组合来描述信 号的动态特性。
MA模型是一种移动 平均模型，通过将信 号表示为一组白噪声 序列的线性组合来描 述信号的动态特性。
ARMA模型则是自回 归和移动平均模型的 结合，通过同时描述 信号的自回归和移动 平均特性来描述信号 的动态特性。
基于FFT的快速谱分析方法
基于FFT的快速谱分析方法是一种利用快 速傅里叶变换（FFT）算法来计算信号的 频谱的方法。
加窗技术则是通过在信号上加上特定的 窗函数来减小频谱泄漏效应，从而提高 频谱分析的精度。
STFT是一种将信号分成短时分析窗口并 计算每个窗口内的频谱的方法，可以提 供信号在不同时间点的频谱信息。
《随机信号的谱分析 》ppt课件
THE FIRST LESSON OF THE SCHOOL YEAR
目录CONTENTS
• 引言 • 随机信号的基本概念 • 谱分析的基本理论 • 谱分析的方法和技术 • 谱分析的应用实例 • 谱分析的未来发展与挑战
01
引言
背景介绍
随机信号的谱分析是信号处理领域的重要分支，主要研究随机信号的频域特性。
04
按空间分类
标量随机信号：只有幅度信息，没有方向 信息。
01
谱分析的未来发展 与挑战
高阶谱分析
高阶谱分析
高阶谱分析是一种研究信号高阶统计特性的方法，可以提供更多的信息，如信号 的非高斯性和非线性。
挑战
高阶谱分析面临计算量大、算法复杂度高等挑战，需要进一步研究高效算法和优 化计算方法。
常见的参数模型包括 AR模型、MA模型和 ARMA模型等。
AR模型是一种自回归 模型，通过将信号表 示为一组自回归系数 的线性组合来描述信 号的动态特性。
MA模型是一种移动 平均模型，通过将信 号表示为一组白噪声 序列的线性组合来描 述信号的动态特性。
ARMA模型则是自回 归和移动平均模型的 结合，通过同时描述 信号的自回归和移动 平均特性来描述信号 的动态特性。
基于FFT的快速谱分析方法
基于FFT的快速谱分析方法是一种利用快 速傅里叶变换（FFT）算法来计算信号的 频谱的方法。
加窗技术则是通过在信号上加上特定的 窗函数来减小频谱泄漏效应，从而提高 频谱分析的精度。
STFT是一种将信号分成短时分析窗口并 计算每个窗口内的频谱的方法，可以提 供信号在不同时间点的频谱信息。
《随机信号的谱分析 》ppt课件
THE FIRST LESSON OF THE SCHOOL YEAR
目录CONTENTS
• 引言 • 随机信号的基本概念 • 谱分析的基本理论 • 谱分析的方法和技术 • 谱分析的应用实例 • 谱分析的未来发展与挑战
01
引言
背景介绍
随机信号的谱分析是信号处理领域的重要分支，主要研究随机信号的频域特性。
04
按空间分类
标量随机信号：只有幅度信息，没有方向 信息。
随机信号分析基础(第5章习题讲解)
一个p阶递归滤波器
p
Y j a1Y j1 a2Y j2 a pY j p X j aiY ji X j
p
RY
(k)
i0 p
ai
RY
(k
i),
i0
ai
RY
(k
i)
2 i
,
i0
k 0
k 0
RY (0)
Y () X ()H()
传输函数的计算 稳定性与物理可实现性
随机信号通过线性系统
•系统输出的均值
mY
E[Y (t)] mX
h( )d
•系统输出的自相关函数
RY ( ) RX ( ) h( ) h( )
若随机输入过程X(t)是平稳的，那么线性时不变系 统的输出过程Y(t)也是宽平稳的随机过程。若输入是 各态经历过程，输出也将是各态经历过程。
白噪声通过线性系统
噪声带宽
随机序列通过线性系统
一个q阶非递归滤波器
q
Y j b0 X j b1 X j1 bq X jq bi X ji i0
输入白序列，输出的自相关函数
RY
(k)
2 X
qk i0
bi bi k
,
0,
k 0,1,, q k q
a
mY
(t )
5.11 解：先求出输入电压的自相关函数
RX ( ) E[ X (t) X (t )] E[(X0 cos(2 t ))( X0 cos(2 (t ) )] 1 1 cos 2
《随机信号的谱分析》课件
七、参考文献
• 李子元（2008）《随机信号分析与处理》 • 谢钊勇、张晨（2013）《信号与系统》 • 陈红兵（2015）《谱分析与信号处理》
三、谱分析方法
周期图法
详细讲解周期图法的 原理和计算步骤，以 及其在周期信号谱分 析中的应用。
帕斯瓦尔定理
介绍帕斯瓦尔定理的 概念和推导过程，以 及在信号谱分析中的 应用。
窗函数法
讨论窗函数法的原理 和选择方法，以及窗 函数在谱分析中的作 用。
特征函数法
解释特征函数法的原 理和使用方法，以及 特征函数在信号谱估 计中的优点。
2
频率识别
讨论谱分析在频率识别与测量中的作用，如频谱分析、频率响应估计等。
3
信号分析
探讨谱分析在信号处理和系统分析中的重要性，如频率响应、滤波器设计等。
六、总结
谱分析的优缺点
归纳谱分析方法的优缺点，如计算复杂、频率 分辨率等方面的考量。
发展趋势
展望谱分析技术的发展方向，如自适应谱估计、 小波分析等新兴技术的应用。
四、谱线的特征
频率 幅值 相位
解释频率在信号谱分析中的含义和重要性，以及 频率对信号特征的影响。
探讨幅值在谱线中的意义和变化规律，以及幅值 与信号能量的关系。
讲解相位在谱线中的作用和计算方法，以及相位 对信号重构和滤波的影响。
五、应用
1
信号检测
介绍谱分析在信号检测与识别中的应用，如噪声分析、信号特征提取等。
《随机信号的谱分析》 PPT课件
随机信号的谱分析是一门重要的信号处理技术，通过研究信号在频率域的特 性，可以揭示信号的随机性质和展现信号的能量分布规律。
一、引言
随机信号的定义
介绍随机信号的基本概念和特性，以及与确定信号 的区别。
随机信号处理与功率谱分析
随机信号处理与功率谱分析随机信号处理是一门研究随机信号的产生、传输和处理的学科。
随机信号是指在时间上或空间上的某一特定区域内，其幅度和相位是随机变化的信号。
在现实生活中，我们经常遇到各种各样的随机信号，比如噪声、气象数据、金融市场的波动等等。
如何对这些随机信号进行分析和处理，就成为了随机信号处理的核心问题。
功率谱分析是随机信号处理的一个重要方法。
它通过将随机信号从时域转换到频域，来研究信号在不同频率上的能量分布情况。
功率谱分析可以帮助我们了解信号的频率特性，从而对信号进行更精确的分析和处理。
在进行功率谱分析之前，我们首先需要对信号进行采样。
采样是指将连续时间的信号转换为离散时间的信号。
通过采样，我们可以获得一系列离散时间点上的信号值，从而进行后续的分析。
采样定理告诉我们，为了保证采样信号的完整性，采样频率必须大于信号中最高频率的两倍。
否则，就会出现混叠现象，导致信号失真。
采样完成后，我们可以将信号转换到频域进行功率谱分析。
频域是指信号在不同频率上的能量分布情况。
通过对信号进行傅里叶变换，我们可以将信号从时域转换到频域。
傅里叶变换是一种将信号分解成不同频率分量的数学工具。
通过傅里叶变换，我们可以得到信号的频谱图，从而了解信号在不同频率上的能量分布情况。
功率谱是指信号在不同频率上的功率分布情况。
功率谱分析可以帮助我们了解信号的频率特性，从而对信号进行更精确的分析和处理。
在功率谱图中，横轴表示频率，纵轴表示功率。
通过观察功率谱图，我们可以得知信号的主要频率成分以及它们的功率大小。
这对于信号的特征提取和噪声去除等应用非常有帮助。
在实际应用中，功率谱分析被广泛应用于各个领域。
比如在通信领域，功率谱分析可以帮助我们了解信道的频率响应，从而优化通信系统的性能。
在音频处理中，功率谱分析可以帮助我们了解音频信号的频率分布情况，从而实现音频的均衡和滤波。
在金融领域，功率谱分析可以帮助我们了解股票价格的波动情况，从而进行风险评估和投资决策。
随机信号功率谱分析
实验五随机信号功率谱分析实验目的：
理解随机信号功率谱分析原理和方法。
实验要求：
(1) 生成信号，被淹没在在噪声中；
(2) 试用周期图法估计信号的功率谱；
(3) 选用不同窗，使用修正周期图法估计信号的功率谱；
(4) 对一段语音信号，使用LD算法估计其功率谱；
(5) 详细列出功率谱估计的步骤和原理。
实验内容：
(1)生成信号，被淹没在在噪声中
(查看源文件)
(2)试用周期图法估计信号的功率谱
（查看源文件）
(3)选用不同窗，使用修正周期图法估计信号的功率谱（查看源文件）
(4)对一段语音信号，使用LD算法估计其功率谱
（查看源文件）
思考题：
(1) 在周期图法中如何提高功率谱估计的精度？
周期图法是根据随机信号单一样本x[k]的N个观测值
[]
N
x k
的傅里叶变换来实现功率谱
估计。
周期图法改进的基本思想是减小估计的方差。
常用的方法有两种，一种是对自相关函数估计值加窗的方法——平滑周期图法；另一种是平均周期图法（Welch-Bartlett）法。
(2) 在LD算法中如何提高功率谱估计的精度？
LD算法中提高估计的精度的方法为：增加数据长度，模型阶次。
(3) LD算法功率谱估计的实际应用？
在语音信号编码中应用较多。
《随机信号分析基础》第5章 课件 _窄带随机过程
其中 N(t) 为窄带零均值高斯噪声， q 为在(0,2p) 上均匀分布的随机相位。 N(t) 可表示为
N (t) = Ac(t)cos w0t - As(t)sin w 0t
因此
X(t) = [acosq+Ac(t)]cosw0t -[asinq+As(t)] sinw0t = A(t)cos[w0t+F(t)]
Gx (w)
A
w 0
w0
W
解：（1）零均值平稳窄带高斯信号 X(t) 的正交表达式为
X(t) = Ac(t)cos w 0t - As (t)sin w 0t
ò 基于功率谱计算功率得 P
=
Rx (0)
=
s2
=
1 2p
¥
G X (w)dw
-¥
=
AW 2p
5‐ 6 / 7
X(t) 为 0 均值的高斯随机信号,所以 X(t) N (0, s 2)
Ps(w) = 2121p Pm(w) * p[d(w - wc ) + d(w + wc )]
=
1 4
[Pm
(w
-
wc)
+ Pmd(w
+
wc ]
功率
P
=
Rsm (0)
=
1 2
Rm
(0)
cos
0
=
1 2
或则
ò ò P
=
1 4
⋅
1 2p
¥ -¥
Ps
(w)d
w
=
1 2p
¥ -¥
[Pm
(w
-
wc )
+
Pm (w
fAcAs (ac,as ) = fAc(ac )fAs (a s ) =
N (t) = Ac(t)cos w0t - As(t)sin w 0t
因此
X(t) = [acosq+Ac(t)]cosw0t -[asinq+As(t)] sinw0t = A(t)cos[w0t+F(t)]
Gx (w)
A
w 0
w0
W
解：（1）零均值平稳窄带高斯信号 X(t) 的正交表达式为
X(t) = Ac(t)cos w 0t - As (t)sin w 0t
ò 基于功率谱计算功率得 P
=
Rx (0)
=
s2
=
1 2p
¥
G X (w)dw
-¥
=
AW 2p
5‐ 6 / 7
X(t) 为 0 均值的高斯随机信号,所以 X(t) N (0, s 2)
Ps(w) = 2121p Pm(w) * p[d(w - wc ) + d(w + wc )]
=
1 4
[Pm
(w
-
wc)
+ Pmd(w
+
wc ]
功率
P
=
Rsm (0)
=
1 2
Rm
(0)
cos
0
=
1 2
或则
ò ò P
=
1 4
⋅
1 2p
¥ -¥
Ps
(w)d
w
=
1 2p
¥ -¥
[Pm
(w
-
wc )
+
Pm (w
fAcAs (ac,as ) = fAc(ac )fAs (a s ) =
电子科大随机信号分析教学课件平稳性与功率谱密度
电子科大随机信号分 析教学课件ppt平稳
性与功率谱密度
目录
• 平稳性与功率谱密度概述 • 平稳随机信号的性质 • 随机信号的功率谱分析 • 随机信号的平稳性检验 • 平稳随机信号的生成方法 • 平稳随机信号的应用场景
01 平稳性与功率谱密度概述
平稳性定义
平稳性是指随机信号的统计特性不随时间的推移而改变的性 质。具体来说，如果一个随机信号的均值和方差在时间上保 持恒定，并且在不同的时间点上具有相同的概率密度函数或 概率质量函数，则该信号被认为是平稳的。
B
生物医学工程
在生物医学工程领域，心电图、脑电图等信 号的功率谱分析可以用于诊断和治疗各种疾 病。
D
04 随机信号的平稳性检验
样本自相关函数检验
总结词
样本自相关函数是检验随机信号平稳性的重要方法之一。
详细描述
通过计算信号的自相关函数，可以判断信号的自相关系数是否随时间的推移而显著变化。如果自相关系数保持相 对稳定，则认为信号具有平稳性；反之，如果自相关系数随时间变化较大，则认为信号是非平稳的。
在实际应用中，许多自然界的随机信号都具有平稳性，如噪声、地震信号、心电 图等。因此，研究这些信号的功率谱密度对于信号处理、通信、地球物理学等领 域具有重要的意义。
02 平稳随机信号的性质
均值与方差
均值
对于平稳随机信号，其均值是常 数，不随时间变化。
方差
平稳随机信号的方差是常数，表 示信号的波动程度。
功率谱密度是频率的函数，表示随机信号在不同频率下的 功率分布情况。在功率谱密度函数中，峰值对应的频率代 表了信号的主要成分，而谱线的形状则反映了信号的频谱 特性。
平稳性与功率谱密度的关系
平稳性是功率谱密度的前提条件。如果一个随机信号是平稳的，那么它的功率谱 密度函数将只与频率有关，而与时间无关。这意味着，对于平稳信号，我们只需 要分析其在某一时刻的功率谱密度，即可了解整个信号的频谱特性。
性与功率谱密度
目录
• 平稳性与功率谱密度概述 • 平稳随机信号的性质 • 随机信号的功率谱分析 • 随机信号的平稳性检验 • 平稳随机信号的生成方法 • 平稳随机信号的应用场景
01 平稳性与功率谱密度概述
平稳性定义
平稳性是指随机信号的统计特性不随时间的推移而改变的性 质。具体来说，如果一个随机信号的均值和方差在时间上保 持恒定，并且在不同的时间点上具有相同的概率密度函数或 概率质量函数，则该信号被认为是平稳的。
B
生物医学工程
在生物医学工程领域，心电图、脑电图等信 号的功率谱分析可以用于诊断和治疗各种疾 病。
D
04 随机信号的平稳性检验
样本自相关函数检验
总结词
样本自相关函数是检验随机信号平稳性的重要方法之一。
详细描述
通过计算信号的自相关函数，可以判断信号的自相关系数是否随时间的推移而显著变化。如果自相关系数保持相 对稳定，则认为信号具有平稳性；反之，如果自相关系数随时间变化较大，则认为信号是非平稳的。
在实际应用中，许多自然界的随机信号都具有平稳性，如噪声、地震信号、心电 图等。因此，研究这些信号的功率谱密度对于信号处理、通信、地球物理学等领 域具有重要的意义。
02 平稳随机信号的性质
均值与方差
均值
对于平稳随机信号，其均值是常 数，不随时间变化。
方差
平稳随机信号的方差是常数，表 示信号的波动程度。
功率谱密度是频率的函数，表示随机信号在不同频率下的 功率分布情况。在功率谱密度函数中，峰值对应的频率代 表了信号的主要成分，而谱线的形状则反映了信号的频谱 特性。
平稳性与功率谱密度的关系
平稳性是功率谱密度的前提条件。如果一个随机信号是平稳的，那么它的功率谱 密度函数将只与频率有关，而与时间无关。这意味着，对于平稳信号，我们只需 要分析其在某一时刻的功率谱密度，即可了解整个信号的频谱特性。
随机信号分析课件
5.1.2 包络和相位的概率密度 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
5.2 正弦波加窄带高斯过程 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
- II -
课程简介与教学要求
1.6.2 性质 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
第 2 章 随机过程
21
2.1 随机过程概念 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
第 5 章 窄带随机过程
45
5.1 窄带平稳随机过程 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
5.1.1 统计特性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
第 4 章 随机信号通过线性系统
39
4.1 线性时不变系统 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
4.1.1 基本理论 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.3.2 均方与方差 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
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计算方法
xt xn X k X k
FFT
模平方
2
平均
1 2 X k N
S x k Rx r
IFFT
随机信号的功率谱密度 工程应用 1）功率谱在设备诊断中的应用
①汽车变速箱上加速度
信号的功率谱图
正常 异常
随机信号的功率谱密度 可分析系统的 H f
随机信号的功率谱密度
油压脉动自谱 船用柴油机润 滑油泵压油管 振动和压力脉 动间的相干分 析
油管振动自谱
S xy e
j
d
单边互谱密度函数(One-sided cross-power spectrum )
Gxy 2 Rxy e j d
0
随机信号的功率谱密度 单边互谱密度函数(One-sided cross-power spectrum) Gxy Cxy jQxy
第五章 信号(signal)处理 初步
第四节 功率谱(power spectrum)分析及其应用
随机信号的功率谱密度
随机信号是时域无限信号，不具备可积分条件， 因此不能直接进行傅里叶变换。又因为随机信号 的频率、幅值、相位都是随机的，因此从理论上 讲，一般不作幅值谱和相位谱分析，而是用具有 统计特性的功率谱密度(power spectral density) 来作谱分析。 自功率谱密度函数(Auto-power spectral density function) 互功率谱密度函数(cross-power spectral density function) 相干函数(coherence function)与频率响应函 数(frequency response function)
2 1 S x f lim Xf T 2T
随机信号的功率谱密度 功率谱估计 1 2 Sx f X f T 1 2 S x k X k N
其中k 0,1,2 N 1
2 2 单边谱 Gx f X k N
随机信号的功率谱密度
设x(t)是零均值的随机信号，且x(t)中无周期性分 量，其自相关函数 Rx 0 ，自相关函数满足 富立叶变换条件 Rx d 0
工程中对信号进行隔直 处理，使 x 0。 对于含有周期成分的信 号，用窗函Байду номын сангаас(window function)截断，使 得 。
2
2
xy arctan
Qxy C xy
随机信号的功率谱密度 互谱分析的估计 离散点
1 S xy k X k i Y k i N 1 S xy k X k i Y k i N
对应于数字信号
1 S xy f i X f i Y f i T 1 S xy f i X f i Y f i T
其中 Cxy 2 Rxy cos d 实部 Q 2 R sin d xy xy 虚部 j Gxy Gxy e xy
Gxy C xy Qxy
H Gx
谱相干函数的性质 2 xy 1 y(t)和x(t)完全相关 2 xy 0 y(t)和x(t)完全无关 2 1 xy 0 y(t)和x(t)部分相关
测试中有外界干扰
输出y(t)是输入x(t)和其它输入的综合输出 联系x(t)与y(t)的系统是非线性(nonlinear)的
随机信号的功率谱密度 工程应用 可利用互谱求系统的 H f H f
f
Y f Y f X f S xy f H f X f X f X f S x f
可在强噪声背景下分析系统的传输特性 X(t)
Rxy Rx ' x Rx 'n1 Rx 'n2 Rx 'n3
Rxy Rx ' x
S xy f
由于噪音与输入无关，所以后3项为零，于是有
S xx ' f H f Sx f Sx f
随机信号的功率谱密度
谱相干函数(spectral coherence function)的定 义 评测输入、输出信号间的因果性，即输出信号 的功率谱中有多少是所测试输入量引起的响应。
2 xy
Gx Gy
Gxy
2
随机信号的功率谱密度
频率响应函数(frequency response function) 的定义 Gxy
S x Rx e j d
Rx S x e j d
随机信号的功率谱密度 自功率谱密度函数(Auto-power spectral density function)的性质 自功率谱密度函数是实偶函数。 自功率谱密度函数是双边谱。
系统1
系统2
y(t)
n3 t
n1 t
n2 t
随机信号的功率谱密度 正弦加随机
随机信号
随机信号的功率谱密度
yt x ' t n1 ' t n2 ' t n3 ' t
输入x(t)与输出y(t)的互相关函数(crosscorrelation function )为：
Rxx 0 Sxx f e
2 x
j 2 f 0
df Sxx f df
Rxx 0 Sxx f df
随机信号的功率谱密度 Parseral定理 信号的能量在时域与频域是相等的。
x t dt
单边功率谱(one-sided power spectrum)（非 负频率上的谱）
Gx 2S x 2 Rx e j d
0
随机信号的功率谱密度 物理意义 信号的能量在不同频率成分上的分布。
1 T 2 Rxx 0 lim x t x t 0 dt x T T 0
2
X f df
2
自功率谱密度函数(Auto-power spectral density function)与幅值谱(amplitude spectrum)的关系 1 T 2 Rxx 0 lim T x t dt S x f df T 2T 2 1 T 2 1 Rxx 0 lim T x t dt Tlim 2T X f df T 2T
随机信号的功率谱密度
互功率谱密度函数(cross-power spectral density function)定义 Rxy d 如果互相关函数满足福氏变换条件
S xy Rxy e j d
1 Rxy 2
Y f H f Xf
H f H f H f
2
Sy f Yf Y f Yf 2 Xf X f Xf Sx f
2
测量中经常用这个公式计算频率响应函数 (frequency response function)的幅值，但无 法计算它的相位、实部和虚部。
Rxx ( )
x
2
Rxx ( )
RxT xT ( )
随机信号的功率谱密度 自功率谱密度函数(Auto-power spectral density function)定义 根据维纳—辛钦公式，平稳随机过程的功率谱 密度与自相关函数是一傅里叶变换偶对 (fourier transform dual pair)
xt xn X k X k
FFT
模平方
2
平均
1 2 X k N
S x k Rx r
IFFT
随机信号的功率谱密度 工程应用 1）功率谱在设备诊断中的应用
①汽车变速箱上加速度
信号的功率谱图
正常 异常
随机信号的功率谱密度 可分析系统的 H f
随机信号的功率谱密度
油压脉动自谱 船用柴油机润 滑油泵压油管 振动和压力脉 动间的相干分 析
油管振动自谱
S xy e
j
d
单边互谱密度函数(One-sided cross-power spectrum )
Gxy 2 Rxy e j d
0
随机信号的功率谱密度 单边互谱密度函数(One-sided cross-power spectrum) Gxy Cxy jQxy
第五章 信号(signal)处理 初步
第四节 功率谱(power spectrum)分析及其应用
随机信号的功率谱密度
随机信号是时域无限信号，不具备可积分条件， 因此不能直接进行傅里叶变换。又因为随机信号 的频率、幅值、相位都是随机的，因此从理论上 讲，一般不作幅值谱和相位谱分析，而是用具有 统计特性的功率谱密度(power spectral density) 来作谱分析。 自功率谱密度函数(Auto-power spectral density function) 互功率谱密度函数(cross-power spectral density function) 相干函数(coherence function)与频率响应函 数(frequency response function)
2 1 S x f lim Xf T 2T
随机信号的功率谱密度 功率谱估计 1 2 Sx f X f T 1 2 S x k X k N
其中k 0,1,2 N 1
2 2 单边谱 Gx f X k N
随机信号的功率谱密度
设x(t)是零均值的随机信号，且x(t)中无周期性分 量，其自相关函数 Rx 0 ，自相关函数满足 富立叶变换条件 Rx d 0
工程中对信号进行隔直 处理，使 x 0。 对于含有周期成分的信 号，用窗函Байду номын сангаас(window function)截断，使 得 。
2
2
xy arctan
Qxy C xy
随机信号的功率谱密度 互谱分析的估计 离散点
1 S xy k X k i Y k i N 1 S xy k X k i Y k i N
对应于数字信号
1 S xy f i X f i Y f i T 1 S xy f i X f i Y f i T
其中 Cxy 2 Rxy cos d 实部 Q 2 R sin d xy xy 虚部 j Gxy Gxy e xy
Gxy C xy Qxy
H Gx
谱相干函数的性质 2 xy 1 y(t)和x(t)完全相关 2 xy 0 y(t)和x(t)完全无关 2 1 xy 0 y(t)和x(t)部分相关
测试中有外界干扰
输出y(t)是输入x(t)和其它输入的综合输出 联系x(t)与y(t)的系统是非线性(nonlinear)的
随机信号的功率谱密度 工程应用 可利用互谱求系统的 H f H f
f
Y f Y f X f S xy f H f X f X f X f S x f
可在强噪声背景下分析系统的传输特性 X(t)
Rxy Rx ' x Rx 'n1 Rx 'n2 Rx 'n3
Rxy Rx ' x
S xy f
由于噪音与输入无关，所以后3项为零，于是有
S xx ' f H f Sx f Sx f
随机信号的功率谱密度
谱相干函数(spectral coherence function)的定 义 评测输入、输出信号间的因果性，即输出信号 的功率谱中有多少是所测试输入量引起的响应。
2 xy
Gx Gy
Gxy
2
随机信号的功率谱密度
频率响应函数(frequency response function) 的定义 Gxy
S x Rx e j d
Rx S x e j d
随机信号的功率谱密度 自功率谱密度函数(Auto-power spectral density function)的性质 自功率谱密度函数是实偶函数。 自功率谱密度函数是双边谱。
系统1
系统2
y(t)
n3 t
n1 t
n2 t
随机信号的功率谱密度 正弦加随机
随机信号
随机信号的功率谱密度
yt x ' t n1 ' t n2 ' t n3 ' t
输入x(t)与输出y(t)的互相关函数(crosscorrelation function )为：
Rxx 0 Sxx f e
2 x
j 2 f 0
df Sxx f df
Rxx 0 Sxx f df
随机信号的功率谱密度 Parseral定理 信号的能量在时域与频域是相等的。
x t dt
单边功率谱(one-sided power spectrum)（非 负频率上的谱）
Gx 2S x 2 Rx e j d
0
随机信号的功率谱密度 物理意义 信号的能量在不同频率成分上的分布。
1 T 2 Rxx 0 lim x t x t 0 dt x T T 0
2
X f df
2
自功率谱密度函数(Auto-power spectral density function)与幅值谱(amplitude spectrum)的关系 1 T 2 Rxx 0 lim T x t dt S x f df T 2T 2 1 T 2 1 Rxx 0 lim T x t dt Tlim 2T X f df T 2T
随机信号的功率谱密度
互功率谱密度函数(cross-power spectral density function)定义 Rxy d 如果互相关函数满足福氏变换条件
S xy Rxy e j d
1 Rxy 2
Y f H f Xf
H f H f H f
2
Sy f Yf Y f Yf 2 Xf X f Xf Sx f
2
测量中经常用这个公式计算频率响应函数 (frequency response function)的幅值，但无 法计算它的相位、实部和虚部。
Rxx ( )
x
2
Rxx ( )
RxT xT ( )
随机信号的功率谱密度 自功率谱密度函数(Auto-power spectral density function)定义 根据维纳—辛钦公式，平稳随机过程的功率谱 密度与自相关函数是一傅里叶变换偶对 (fourier transform dual pair)