电子科技大学随机信号分析课件 第5章_功率谱分析及其应用

S xy e
j
d
单边互谱密度函数(One-sided cross-power spectrum )
Gxy 2 Rxy e j d


0
随机信号的功率谱密度 单边互谱密度函数(One-sided cross-power spectrum) Gxy Cxy jQxy
单边功率谱(one-sided power spectrum)（非 负频率上的谱）
Gx 2S x 2 Rx e j d

0
随机信号的功率谱密度 物理意义 信号的能量在不同频率成分上的分布。
1 T 2 Rxx 0 lim x t x t 0 dt x T T 0
Y f H f Xf
H f H f H f
2
Sy f Yf Y f Yf 2 Xf X f Xf Sx f
2
测量中经常用这个公式计算频率响应函数 (frequency response function)的幅值，但无 法计算它的相位、实部和虚部。
S x Rx e j d

Rx S x e j d

随机信号的功率谱密度 自功率谱密度函数(Auto-power spectral density function)的性质 自功率谱密度函数是实偶函数。 自功率谱密度函数是双边谱。
H Gx
谱相干函数的性质 2 xy 1 y(t)和x(t)完全相关 2 xy 0 y(t)和x(t)完全无关 2 1 xy 0 y(t)和x(t)部分相关
测试中有外界干扰
输出y(t)是输入x(t)和其它输入的综合输出 联系x(t)与y(t)的系统是非线性(nonlinear)的
2


X f df
2
自功率谱密度函数(Auto-power spectral density function)与幅值谱(amplitude spectrum)的关系 1 T 2 Rxx 0 lim T x t dt S x f df T 2T 2 1 T 2 1 Rxx 0 lim T x t dt Tlim 2T X f df T 2T
Rxx 0 Sxx f e
2 x

j 2 f 0
df Sxx f df


Rxx 0 Sxx f df
随机信号的功率谱密度 Parseral定理 信号的能量在时域与频域是相等的。



x t dt
第五章 信号(signal)处理 初步
第四节 功率谱(power spectrum)分析及其应用
随机信号的功率谱密度
随机信号是时域无限信号，不具备可积分条件， 因此不能直接进行傅里叶变换。又因为随机信号 的频率、幅值、相位都是随机的，因此从理论上 讲，一般不作幅值谱和相位谱分析，而是用具有 统计特性的功率谱密度(power spectral density) 来作谱分析。 自功率谱密度函数(Auto-power spectral density function) 互功率谱密度函数(cross-power spectral density function) 相干函数(coherence function)与频率响应函 数(frequency response function)
Rxx ( )
x
2

Rxx ( )
RxT xT ( )
随机信号的功率谱密度 自功率谱密度函数(Auto-power spectral density function)定义 根据维纳—辛钦公式，平稳随机过程的功率谱 密度与自相关函数是一傅里叶变换偶对 (fourier transform dual pair)
随机信号的功率谱密度 工程应用 可利用互谱求系统的 H f H f
f
Y f Y f X f S xy f H f X f X f X f S x f
可在强噪声背景下分析系统的传输特性 X(t)
随机信号的功率谱密度
油压脉动自谱 船用柴油机润 滑油泵压油管 振动和压力脉 动间的相干分 析
油管振动自谱
2 1 S x f lim Xf T 2T
随机信号的功率谱密度 功率谱估计 1 2 Sx f X f T 1 2 S x k X k N

其中k 0,1,2 N 1
2 2 单边谱 Gx f X k N
随机信号的功率谱密度
设x(t)是零均值的随机信号，且x(t)中无周期性分 量，其自相关函数 Rx 0 ，自相关函数满足 富立叶变换条件 Rx d 0
工程中对信号进行隔直 处理，使 x 0。 对于含有周期成分的信 号，用窗函数(window function)截断，使 得 。
2
2
xy arctan
Qxy C xy
随机信号的功率谱密度 互谱分析的估计 离散点
1 S xy k X k i Y k i N 1 S xy k X k i Y k i N


对应于数字信号
1 S xy f i X f i Y f i T 1 S xy f i X f i Y f i T
Rxy Rx ' x Rx 'n1 Rx 'n2 Rx 'n3
Rxy Rx ' x
S xy f
由于噪音与输入无关，所以后3项为零，于是有
S xx ' f H f Sx f Sx f
其中 Cxy 2 Rxy cos d 实部 Q 2 R sin d xy xy 虚部 j Gxy Gxy e xy
Gxy C xy Qxy
系统1
系统2
y(t)
n3 t
n1 t
n2 t
随机信号的功率谱密度 正弦加随机
随机信号
随机信号的功率谱密度
yt x ' t n1 ' t n2 ' t n3 ' t

输入x(t)与输出y(t)的互相关函数(crosscorrelation function )为：
随机信号的功率谱密度
互功率谱密度函数(cross-power spectral density function)定义 Rxy d 如果互相关函数满足福氏变换条件
S xy Rxy e j d


1 Rxy 2
随机信号的功率谱密度
谱相干函数(spectral coherence function)的定 义 评测输入、输出信号间的因果性，即输出信号 的功率谱中有多少是所测试输入量引起的响应。

2 xy

Gx Gy
Gxy
2
随机信号的功率谱密度
频率响应函数(frequency response function) 的定义 Gxy
计算方法
xt xn X k X k
FFT
模平方
2
平均
1 2 X k N
S x k Rx r
IFFT
随机信号的功率谱密度 工程应用 1）功率谱在设备诊断中的应用
①汽车变速箱上加速度
信号的功率谱图
正常 异常
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
随机信号的功率谱密度 可分析系统的 H f