概率论与数学建模

概率论与数学建模

概率论与数学建模

基础知识部分 一、概率论：

1、概率：刻化某一事件在一次试验中发生的可能性大小的数。 注：事件指随机事件（可重复、可预测、结果明确） 例如抛骰子，抛一枚硬币。

2、常见的随机变量：X （1）离散型：

泊松分布：k e P X k k k λ

λ-（=）=

，=0、1、2、、、！

实际应用：时间t 内到达的次数；

（小概率事件）一本书中一页中的印刷错误数； 某地区在一天内邮件遗失的信件数； 某一天内医院的急症病人数；

某一地区一个时间间隔内发生交通事故的次数； 一个时间间隔内某种放射性物质发出的经过计数器的α粒子数等等……

（2）连续型：

指数分布：x e x>0

f X λλ⎧⎨⎩-，（）=0，其它

其中>0λ为常数 ，记为)(~λExp X

特点:无记忆性。即是P(/)()X s t X s P X t >+>=>

一个元件已经使用了s 小时，在此情形下，它总共能使用至少s+t 小时的概率，与开始使用时算起它至少能使用t 小时的概率相等，即元件对已使用过s 小时无记忆。

实际应用：（可靠性理论、排队论）许多“等待时间”都服从指数分布；一些没有明显“衰老”迹象的机械元器件（如半导体元件）的寿命也可也用指数分布来描述……

正态分布：x e

f X

∞∞2

2

（-）-2（）=

- 记为2X ~N(,)μσ

标准正态分布：X~N(0,1)

正态分布标准化：若),(~2σμN Y ,则)1,0(~N X Y σ

μ

-=，标准化的目

的在于能够方便查阅书后的标准正态分布表。

“3σ“原则：

“3σ“原则被实际工作者发现,工业生产上用的控制图和一

些产品质量指数都是根据3σ原则制定。

3、随机变量的特征数（数字特征）：

均值（期望）：k k k x p E X xf x dx ∞

∞

∞

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩∑⎰=1

+-，（离散型）（）=（），（连续型）

方差：22

D X =

E X E X ()(())E X E X =-2（）（-（））

中心极限定理：n X X ,,1 是独立同分布的随机变量序列，且

22(),(),0i i E X D X μσσ==>

则有：)(}{lim 1t t n

n X X P n n Φ=≤-+∞

→σμ

模型一、轧钢中的浪费模型：

问题：将粗大的钢坯制成合格的钢材需要两道工序：粗轧（热轧），形成刚才的雏形；精轧（冷轧），得到规定长度的成品材料。由于受到环境、技术等因素的影响，得到钢材的长度是随机的，大体上呈正态分布，其均值可以通过调整轧机设定，而均方差是由设备的精度决定，不能随意改变。如果粗轧后的钢材长度大于规定长度，精轧时要把多余的部分切除，造成浪费；

而如果粗轧后的钢材长度小于规定长

2σ

x

99.7%

6σ

4σ

（1）

（2）

（3）

μ

度，则造成整根钢材浪费。如何调整轧机使得最终的浪费最小。 （1） 问题概述：成品材料的规定长度已知为l ，粗轧后的钢材长度的

标准差为σ，粗轧后的钢材长度的均值m ，使得当轧钢机调整到m 进行粗轧，然后通过精轧以得到成品材时总的浪费最少。 （2） 问题分析：精轧后的钢材长度记为X ，X 的均值记为m ，X 的

方差为σ，按照题意，),(~2σm N X 。概率密度函数记为f （x ），

当成品钢材的规定长度l 给定后，记x ≥

ι的概率为p '， p '=p （x ≥ι）。在轧钢过程中产生的浪费由两种情况构成：若l X >，则浪费量为l X -；若l X <，则浪费量为X 。注意到当m 很大时，l X >的可能性增加，浪费量同时增加；而当m 很小时，l X <的可能性增加，浪费量也增加，因此需要确定一个合适的m 使得总的浪费量最小。 （3） 模型建立与求解：

这是一个优化模型，建模的关键是选择合适的目标函数，并用 l ，σ，m 把目标函数表示出来。根据前面的分析，粗轧一根钢材平均浪费长度为：

W (x-)f(x)dx+

xf(x)d(x), (1)ι

ι

ι∞

-∞

=⎰⎰

利用

f(x)dx 1+∞

-∞

=⎰，xf(x)d(x)m +∞

-∞

=⎰，和f(x)dx p ι

+∞

'=⎰ 由（1）得：W=m-l p '

以W 为目标函数是否合适？

由于轧钢的最终产品是成品材，浪费的多少不应以每粗轧一根钢材的平均浪费量为标准，而应该用每得到一根成品材浪费的平均长度来衡量。因此目标函数为：

W m

J P P ι=

=-''

因为ι

是已知的常数，所以目标函数可以等价的取为：

m

J(m),(2)P (m)='

其中P (m)=p(x)dx ι

∞

'⎰

，22

(x-m)-

2e

P(X)=

σ

易见J(m)平均每得到一根成品钢材所需要的刚才长度，问题就转化为求m 使J(m)达到最小。

令x m

m

y ,,,ι

μλσ

σσ

-=

==则(2)式可表为：

(-Z)J()J(Z),(Z=-)(-)(Z)

σμσλμλμφλμφ-===

其中：2y -

2

z

(Z)=(y)dy,(y)=

2φφ∞

ψ⎰π

可用微分法解J (Z)-

的极值问题。不难推出最优值Z 应满足方程： (Z)Z (Z)

φλ=-ψ （*）

记(Z)F(Z)=(Z), φψ)(Z F 可根据标准正态分布的函数值φ和ψ制成表格式给出图形。

由上表可得方程（*）的根Z*

注：当给定λ>F （0）=1.253时，方程（*）不止一个根，但是可以证得，只有唯一负根Z*<0，才使J (Z)-

取得极小值。