高等流体力学-第五讲

D12 D22 D32
∂C D13 ∂x1 ∂C D23 ∂x 2 D33 ∂C ∂x 3
Dij应是空间坐标的函数，当选择坐标使其与二阶张量的主轴方向一致 应是空间坐标的函数， 九个量中仅有三个主值， 不为零。 时，九个量中仅有三个主值，即：D11，D22，D33不为零。当满足各向同性 条件下， 条件下，有：
∂C ∂ 2C = Dm 基本方程： 基本方程： ∂t ∂x 2
定解条件：由质量守恒，在任何时刻， 定解条件：由质量守恒，在任何时刻，有：∫ Cdx = M
或
+∞ −∞
C ( x ,0 ) = M δ ( x )
求解方法： 求解方法：
1）量纲分析相似解法 ； ）
第五讲 扩散理论
本讲主要内容
一、基本概念 二、描述扩散运动的基本运动方程 三、扩散系数及其分析确定方法 四、扩散运动的解析解 五、岸边排放与中心排放污染带的计算
北京工业大学市政学科部——马长明
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第五讲 扩散理论
一、基本概念
1、扩散现象 、
烟囱排烟；河流排污；水面蒸发；食糖与食盐的溶解等。 烟囱排烟；河流排污；水面蒸发；食糖与食盐的溶解等。
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第五讲 扩散理论
3、移流扩散方程（Advective Diffusion Equations） 、移流扩散方程（ ）
取控制体如图， 方向为例。 取控制体如图，以x1方向为例。 假设： 假设：层流运动时溶液的扩散与流体静止 时的分子扩散相同。 时的分子扩散相同。 由质量守恒定律，可得： 由质量守恒定律，可得：
2、传输过程 、
流体中所含有物质（如各种污染物，也包括动量、能量和热量） 流体中所含有物质（如各种污染物，也包括动量、能量和热量）在流场 中某一处到另一处转移的过程。 中某一处到另一处转移的过程。
3、扩散（Diffusion） 、扩散（ ）
是一类传输过程，指物质由含量高处向含量低处的传输过程。 是一类传输过程，指物质由含量高处向含量低处的传输过程。 （1）按扩散的机制可分为：分子扩散、对流传输扩散及紊动扩散。 ）按扩散的机制可分为：分子扩散、对流传输扩散及紊动扩散。 1）分子扩散（Molecular Diffusion）：由分子运动产生。 ）：由分子运动产生 ）分子扩散（ ）：由分子运动产生。 2）紊动扩散（Turbulent Diffusion）：由流体质点的紊动产生的扩散。 ）：由流体质点的紊动产生的扩散 ）紊动扩散（ ）：由流体质点的紊动产生的扩散。 3）移流传输（Advection）：扩散物随同流体质点的时均运动而转移。 ）：扩散物随同流体质点的时均运动而转移 ）移流传输（ ）：扩散物随同流体质点的时均运动而转移。
∂ 2C ∂ 2C ∂ 2C ∂C ∂(Cu1 ) ∂(Cu2 ) ∂(Cu3 ) 对三维流动： 对三维流动： + + + = Dm 2 + 2 + 2 ∂t ∂x1 ∂x2 ∂x3 ∂x1 ∂x2 ∂x3
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第五讲 扩散理论
5、扩散理论的基本假设 、
扩散质视为标志物质或称 （1）扩散质的存在不改变流体质点的流动特性。即将扩散质视为标志物质或称 ）扩散质的存在不改变流体质点的流动特性。即将扩散质视为标志物质 示踪剂（ 示踪剂（Tracer）。 ）。 （2）流体质点上所带的扩散质在运动过程中保持不变，即流体质点间不发生扩 ）流体质点上所带的扩散质在运动过程中保持不变， 扩散质在运动过程中保持不变 散质的转移（不计分子扩散）， ），扩散质的扩散完全是由于带有扩散质的流体质点发生 散质的转移（不计分子扩散），扩散质的扩散完全是由于带有扩散质的流体质点发生 掺混的结果。 掺混的结果。 （3）对不可压流体，携带扩散质流体质点的总体积在扩散过程中保持不变，扩 ）对不可压流体，携带扩散质流体质点的总体积在扩散过程中保持不变， 散结果反映在携带扩散质的流体质点所占空间位置和轮廓随时间而变化。 散结果反映在携带扩散质的流体质点所占空间位置和轮廓随时间而变化。
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第五讲 扩散理论
（2）按研究问题的类型分： ）按研究问题的类型分：
1）剪切流中的离散（Dispersion）：由于剪切流中速度分布不均 ）剪切流中的离散（ ）：由于剪切流中速度分布不均 ）： 匀产生含有随流散开的作用，也称弥散。 匀产生含有随流散开的作用，也称弥散。 离散中包含有移流扩散和紊动扩散。 离散中包含有移流扩散和紊动扩散。 2）射流扩散：指从各种排泄口喷出流入周围另一流体域内运动的 ）射流扩散： 一股流体。包括移流扩散和紊动掺混扩散。 一股流体。包括移流扩散和紊动掺混扩散。 其中射入同种性质的流体内称淹没射流 淹没射流， 其中射入同种性质的流体内称淹没射流，射入不同性质的流体内 非淹没射流。 为非淹没射流。 按射流的原动力还可分为：动量射流、浮力羽流、浮射流。 按射流的原动力还可分为：动量射流、浮力羽流、浮射流。 动量射流（ 动量射流（Jets）：射流以出流的动量（Momentum）为原动力， ） 射流以出流的动量（ ）为原动力， 该动量对射流运动起主要作用。 该动量对射流运动起主要作用。 浮力羽流（ 浮力羽流（Plumes）：浮力（Bouyancy Forces）是原动力，产生 ） 浮力（ ）是原动力， 的运动形态呈羽毛状。如烟气，水体中泄入污染液体后的运动等。 的运动形态呈羽毛状。如烟气，水体中泄入污染液体后的运动等。 浮射流（ 浮射流（Buoyant Jets）：原动力既有动量又有浮力。 ） 原动力既有动量又有浮力。 3）分层流（Stratified Flowing）：在重力场中密度不均匀的流体 ）：在重力场中密度不均匀的流体 ）分层流（ ）： 形成有层次的流动。 形成有层次的流动。
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第五讲 扩散理论
紊动扩散质量通量与紊动扩散系数D 紊动扩散质量通量与紊动扩散系数 ij（Turbulent Diffusion Coefficients）可用矩阵表示为： ）可用矩阵表示为：
C ′u1′ D11 ′u′ = − D21 C 2 C ′u′ D ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ1 3
1、分子扩散系数与概率统计量间的关系 、
（1）分子扩散方程的基本解 ） 问题： 考虑一维问题） 时刻， 问题： （考虑一维问题）在t=0时刻，坐标原点处（x=0） 时刻 坐标原点处（ ） 放置质量为M的扩散质 确定浓度沿x轴的扩散过程 的扩散质， 轴的扩散过程。 放置质量为 的扩散质，确定浓度沿 轴的扩散过程。
∂ (C ∆x ⋅ 1) ∂q ⋅ dt = q ⋅ 1 ⋅ dt − (q + ∆x ) ⋅ 1 ⋅ dt ∂t ∂x
整理得： 整理得：
∂ C ∂q + =0 ∂t ∂x
或
将费克第一定律代入，可得： 将费克第一定律代入，可得：
∂C ∂ 2C = Dm ∂t ∂x 2
∂q ∂ 2q = Dm ∂t ∂x 2
∂(Cdx1dx2 dx3 ) ⋅ dt = qdx2 dx3dt − (q + ∆q)dx2 dx3 dt ∂t ∂q ∂C ∆q = ∆x1 及 q = Cu1 + − Dm ∂x1 ∂x
整理可得： 整理可得：
∂(Cu1 ) ∂C ∂ 2C =− + Dm 2 ∂t ∂x1 ∂x1
D11 = D22 = D33 = DT
分子扩散可忽略不计，紊动扩散方程为： 因为 DT >> Dm ，分子扩散可忽略不计，紊动扩散方程为：
∂C ∂C ∂ 2C + ui = DT ∂t ∂xi ∂xi ∂xi
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第五讲 扩散理论
三、扩散系数及其分析确定
− C ′u′ = Dij i
仿照分子扩散系数的表示形式，引入紊动扩散系数 仿照分子扩散系数的表示形式，引入紊动扩散系数Dij， 令： ∂C
紊动扩散方程可表示为（考虑源、汇项后）： 紊动扩散方程可表示为（考虑源、汇项后）：
∂x j
∂C ∂C ∂ ∂C ∂C + ui = Dm ∂x + Dij ∂x + Fc ∂t ∂xi ∂xi i j
q = −D
m
∂C ∂x i
其中： C — 扩散液的浓度；量纲： ML−3 其中： 扩散液的浓度；量纲： q — 在xi方向的单位面积的扩散质量通量；量纲：ML−2T −1 方向的单位面积的扩散质量通量；量纲： Dm — 分子扩散系数；量纲： L2T −1 分子扩散系数；量纲： 对三维情况，以矢量表示： 对三维情况，以矢量表示： q = − Dm ∇C 费克定律说明：在扩散溶液浓度场中的时空点上， 费克定律说明：在扩散溶液浓度场中的时空点上，单位时间内通过单位 面积的扩散质的质量与该点处扩散溶液浓度的梯度成正比， 面积的扩散质的质量与该点处扩散溶液浓度的梯度成正比，比例系数为该种 扩散溶液的分子扩散系数；方向与浓度梯度方向相反。 扩散溶液的分子扩散系数；方向与浓度梯度方向相反。 分子扩散系数由扩散质及溶解质的种类、温度、压强决定，与溶液的运 分子扩散系数由扩散质及溶解质的种类、温度、压强决定， 动形态无关，是物性参数。 动形态无关，是物性参数。 常见扩散质在水中的扩散系数表
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第五讲 扩散理论
4、污水泄入河道中问题研究的阶段划分 、
第一阶段：污水离开排污口与周围水体掺混，以射流和浮力羽流形式扩散，一 第一阶段：污水离开排污口与周围水体掺混，以射流和浮力羽流形式扩散， 般按三维运动问题处理； 般按三维运动问题处理； 第二阶段：污水还没有扩展到河流全断面，污水随河水一起运动， 第二阶段：污水还没有扩展到河流全断面，污水随河水一起运动，按二维紊动 离散问题研究； 离散问题研究； 第三阶段：污水已扩展到河流全断面，并且全断面完全混合， 第三阶段：污水已扩展到河流全断面，并且全断面完全混合，污水沿纵向继续 离散，可按一维纵向离散问题分析。 离散，可按一维纵向离散问题分析。
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第五讲 扩散理论
2、分子扩散方程（费克第二定律） 、分子扩散方程（费克第二定律）
分析分子扩散应满足的控制方程，以一维情况为例，流体静止。 分析分子扩散应满足的控制方程，以一维情况为例，流体静止。 取控制体如图，由质量守恒定律，可得： 取控制体如图，由质量守恒定律，可得：
4、紊动扩散方程 、
对紊动扩散，瞬时浓度和流速都可分解时均值与脉动值之和， 对紊动扩散，瞬时浓度和流速都可分解时均值与脉动值之和，即： 和 代入移流扩散方程后取时均值， 代入移流扩散方程后取时均值，有：
u = u + u′
C = C + C′
其中： 其中：
∂C ∂C ∂ ∂C Dm + ui = i ∂x − C ′u′ ∂t ∂xi ∂xi i 是由紊动脉动量产生的沿i方向的质量扩散通量 方向的质量扩散通量。 − C ′u′ 是由紊动脉动量产生的沿 方向的质量扩散通量。 i
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第五讲 扩散理论
二、描述扩散运动的基本方程
1、分子扩散的费克定律 （第一定律） 、 第一定律）
费克（ Fick，1855）提出假设： 费克（Adolph Fick，1855）提出假设：盐分在其溶液中扩散的物理定 律应等同于傅立叶（Fourier，1822）提出的热传导定律相同， 律应等同于傅立叶（Fourier，1822）提出的热传导定律相同，即：
∂C ∂ 2C ∂ 2C ∂ 2C 对三维情况： 对三维情况： = Dm + + = D m ∇ 2C 2 ∂t ∂y 2 ∂z 2 ∂x
）。 上述方程称之为分子扩散方程（Diffusion Equations）。 上述方程称之为分子扩散方程（ 分子扩散方程
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