满秩分解
一种实现矩阵满秩分解的简单方法
Ｏ 引言
众 所周知 ， 一 个 矩 阵分 解 为两 个 低 阶 的 较 将 为简单 的 同秩 矩 阵的乘 积 ， 仅在理论 研究 上 ， 不 还
是 在实 际应用 （ 别 在 矩 阵广 义 逆 的计 算 ） ， 特 中 有
究．
维普资讯
第５ 期
郭 晓斌 等 ： 种 实现 矩 阵 满 秩 分 解 的 简 单 方 法 一
Ａ — ＢＤ 。
２ 方 法 的构 造
定 理 ３ 设 ∈ 是 Ａ∈ 的 Ｈｅｍｉ ｒ ｔ ｅ
其 中 Ｂ一 （ ｆ’ ２ … ， 为 Ａ∈ １ ＇ ∞ ） ｆ ｉ ｉ， ，， 向量构 成． ， … ｉ列 。
…
０
Ｏ １
Ｏ Βιβλιοθήκη Ｏ；Ｏ ０
・・ ・
０
显然 Ｒ ｎ ） ， ａ ｋ 一ｒ矩阵 有 —ｒ 为全零行． 行
即 Ｒａ ｋ Ａ ）一 ３ ｎ （ ，
其次 ， 分析 矩 阵 的 列 向 量 组 ， ， ， …
的线 性表 出关 系． 由引理 １ 在 的列 向量 组 中 ， ，
尽管利 用 ［ ］ 可 以将 求 初 等 变换 矩 阵 Ｐ， ３， Ｑ 的工作 简化 ． 其作 法是 直接 通过初 等变换
收 稿 日期 ：０ ８０—０ ２０ —５２ ．
的列 ｒ Ｎ量组 ，
一， 有完 全 相同 的线性关 系．
作 者 简 介 ： 晓 斌 （ ９ ２）男 ， 郭 １ ７一 ， 甘肃 武 都 人 ， 北 师 范 大 学 数 学 与信 息 科 学 学 院 讲 师 ， 西 主要 从 事 矩 阵理 论 及 其 应 用 研
Ｖｏ ． ２ Ｎｏ ５ Ｉ２ ．
第四章 矩阵分解
定理1.2：若 A BC B1C1 均为A的满秩分解，那么
(1)存在 CrrR , 使得B B1 , C 1C1 (2)C H (CC H )1 (BH B)1 BH C1H (C1C1H )1 (B1H B1 )1 B1H
4.2 矩阵的正交分解 （UR、QR分解）
证明：
AAH 是正规矩阵，所以存在酉矩阵使得
H U H AAH U 0
0 0
U U1 U2
U1 U mr
U2 U m( mr )
0 0
U1H H H H AA U1 U 2 0 U 2
U1H H H H AA U1 U 2 0 U 2
则称 i
i (i 1,2,, n) 为 A 的奇异值．
本书中只考虑i=1,3,…,r时非零奇异值
1 0 3 2 5 17 H A 1 1 例如，对于 ，A A 2 2 的特征值是 1 2 ， 1 1
A UR
U U rmr
R 是 r 阶正线上三角阵
推论2.2：设 A Crrn ， 则 A 可以唯一的分解为
A LU
U U rrn
L 是 r 阶正线下三角阵
mn A C 推论2.3：设 ， 则 A 可以分解为 r A U1R1L2U 2 R1 是 r 阶正线上三角阵 U1 Urmr L2 是 r 阶正线上三角阵 U U rn
nn 定理2.1：设 A Cn ， 则 A 可以唯一的分解为
A UR
A RU 1 1
nn
R 是正线上三角阵
U , U1 U
证明：
R1 是正线下三角阵
矩阵满秩分解的一些应用
矩阵满秩分解的一些应用第35卷第5期2005年9月中国海洋大学PERIoDICALoFoCEANUNIVERSITY oFCHINA35(5):761～762Sept.,2005矩阵满秩分解的一些应用姚增善,刘新国(中国海洋大学数学系,山东青岛266071)摘要:把矩阵的满秩分解用于分析广义投影矩阵及双曲广义投影矩阵,得到了新的特征刻画.关键词:广义投影矩阵;Moore-Penrose广义逆;Hermite矩阵中图法分类号:O172.1文献标识码:A文章编号:1672—5174(2005)05—761—020引言首先给出有关的定义.定义1设K为7/阶复方阵,记K为矩阵K的共轭转置.(1)如果K2=K=K,则称K为正交投影矩阵;(2)如果存在/./阶方阵K,使KK及KK都是Hermite矩阵,且满足KKK=K及KKK=K,则称K为矩阵K的Moore—Penrose广义逆.Moore-Penrose广义逆和正交投影矩阵都是代数学中的基本概念.前者在最zb--乘法等问题中有许多应用;而后者用来刻画子空间与投影矩阵的一一对应性,从而把有关子空间的定量研究转化为矩阵分析.1997年,Grofl和Trenkler[推广正交投影矩阵而引入了下面的广义投影矩阵及双曲广义投影矩阵.定义2设K为n阶复方阵,K和K分别为矩阵K的共轭转置及Moore—Penrose广义逆.(1)如果K2=K,则称K为广义投影矩阵;(2)如果K2=K,则称K为双曲广义投影矩阵.最近,Baksalary和Xiao—jiLiu等详细地讨论了定义2给出的这两类矩阵[2-3J.本文继续他们的讨论.但使用的方法不同,本文的基本工具是矩阵的满秩分解_4J:任何秩为r的m×7/矩阵A都可分解为A=BC其中,B和c分别为m×r和7/×r的列满秩矩阵.为了叙述方便,文中使用了下述记号:c表示7/阶复方阵所成的线性空间,矩阵A的列向量张成的线性空间记为R(A).上标及+分别表示共轭转置及Moore—Penrose广义逆,I表示适当阶数的单位阵.1主要结果及其证明设K是秩为r的n阶复方阵,本节考虑下述集合:收稿日期:2005.06.01;修订日期:2005.07.07作者简介:姚增善(1963.),男,硕士,副教授.Tel:(0532)85901953 c={KIK∈C,K:K);cP』={KiK∈c,K=K};c={KIK∈C,K:K);c={KIK∈C,KK=KK);c={KIK∈C,K=K);c={KIK∈c,KKKK=KKKK).显见,cGP为广义投影矩阵构成的集合,c为双曲广义投影矩阵构成的集合.易知cGPc,而且c口P还有下述重要的子集c={KIK∈C,K=K).同时,K为正交投影矩阵当且仅当K:K,K=K,还易知,K为正交投影矩阵的充要条件为K=K= K.因此,广义投影矩阵及双曲广义投影矩阵确实是正交投影矩阵的推广.首先给出c的特征.考虑K的满秩分解K=BC,那么K=K甘B(CB)0C=BC错(CB)0=I.命题1K∈c当且仅当K的满秩分解K=BC满足(CB).=I.接下来考虑cP』.记K=BC,则K=C(CC)I1(BB)I1B.从而K=K错CB=C(CC)(BB)B甘(BB)(CC)=I.再作B和C的极分解B=QlHl,C=Q2H2,这里Hl 和H2为Hermite正定矩阵,且QQl=QQ2=I.则BB=H},CC=H;.总结上述,有命题2cP』={QlQIQl,Q2为竹×r阵,QQl=QQ2=I}.再考虑cGP.考虑K的特殊满秩分解K=BC,cC=I,,那么中国海洋大学K2=K甘BCBC=CB,这说明R(B)=R(C).从而存在r阶可逆方阵G,使B=CG.且K2=K甘(CGC)(CGC)=CGC甘G=G.又由Schur分解,G可分解为G=Q0R0Q,Q0为酉阵,R.为上三角阵,而G=G甘R8=R甘R0=diag(dl,dE,…,d).其中,dj(j=1,2,…,r)为三次单位根,即d;=1,d=d.综上所述,有命题3c?e={QDQIQ为×r阵,QQ=J,D=diag(dI'2,…,d),d=1}.注:三次单位根集合为{?,一号一,/5吉+譬}o再讨论c.令K=BC为满秩分解,那么KK=KK甘BB=CC甘C=BG.这里G=BC为r×r可逆方阵.因此有命题4={QGQIQ为×r阵,QQ=I,G为r×r可逆阵}.再分析cW.考虑K的满秩分解变形K=QlGQ,其中,G为r×r可逆方阵,Ql,Q2为×r矩阵,QQl=QQ2=J.那么K=K甘QlGQQlGQ=Q2G-1Q,从而R(Q1)=R(Q2).因此,不妨取Ql=Q2,此时K=QlGQ.又K=K甘QlGQ=QlG一Q甘G=G一甘G.=J,而G.=J甘G=Q0diag(dl,2,…,d)Q,QQ0=J,d;=1.命题5cW={QDQIQ为×r阵,QQ=I,,D=diag(dI'2,…,d),d=1}.最后考虑cUe.令K=BC,记PK=KK,PK=KK,贝0有PK=BB,PK=CC.可见K∈cUe甘BBCC=CCBB.注意到,PK和PK?为正交投影矩阵且为Hermite阵,上式表明PK和PK.可交换,因而存在酉阵Q,使BB=Qdiag(aI'a2,…,a)Q,CC=Qdiag(卢l,卢2,…,卢)Q,这里ai和取0或1.取R(B)nR(C)的标准正交基(为列)构成矩阵Q,Q适当排列后可用分块阵表示为Q=[QI'Q')],这样BB=[QI'QB],CC=[Ql,Qc],而[Ql,QB,Qc]是列规范正交阵.这表明B=[Ql,QBJGB,C=【QI'QcJGc,其中GB,Gc为r阶可逆阵.从而K=[QI'QB]?G[Ql,Qc],G为可逆阵.易知K∈cW,故有下述结论:命题6cUe=I[QI'Q2]G[QI'Q3]_[QI'Q2,Q3]列规范正交,G为可逆阵}.本文得到的结果大部分是新的,使用的基本工具是矩阵的满秩分解.Baksalary等人使用Jordan分解或Schur分解以及奇异值分解,分析了G及G中矩阵的谱特征,得到的结果很有趣.不难看出,本文的结论可以很容易地导出他们得到的大部分结果.而且,作者认为,从应用的角度看这里得到的结论更便于应用.参考文献:Gro口J,TrenklerG.Generalizedandhypergeneralizedproiectors [J].LinAlgAppl,1997,264:463—474.BaksalaryJK.Baksalary0M.LIUXiao—ji.Furtherpropertiesof generalizedandhypergeneralizedprojectors[J].LinAlgAppl, 2004,389:295—303.BaksalaryJK,LIUXiao-Ji.Analternativecharacterizationofgener—alizedprojectors[J].LinAlgAppl.2004,388:61—65.北京大学数学系编.高等代数第二版[M].北京:高等教育出版社.1988.SomeApplicationsoftheFull-RankDecompositionofMatricesY AOZeng—Shan,LIUXin—Guo(DepartmentofMathematics,OceanUniversityofChina,Qingdao266071,China) Abstract:Inthispaper,thefull—rankdecompositionofmatricesisusedtoanalysegeneralizedprojectionma—tricesandhypergeneralizedprojectionmatrices,andsomenewcharacteristicdescriptionsar eobtained.Keywords:Orthogonalprojectionmatrix;Moore—Penrosegeneralizedinverse;HermitematrixAMSSubjectClassifications:15A23。
矩阵的满秩分解
§矩阵的满秩分解本节讨论一个n m ⨯复矩阵A 可以分解为两个与A 的秩相同的矩阵之积的问题。
定义设n m ⨯复矩阵A 的秩为r ，如果存在两个与A 的秩相同的复矩阵F 与G ，使得FG A =，则称此式为复矩阵A 的满秩分解。
当A 是满秩矩阵时（行满秩或列满秩）A 可以分解为单位矩阵与A 自身的乘积，这个满秩分解叫做平凡分解。
定理设n m ⨯复矩阵A 的秩为r 0>，则A 有满秩分解。
证：因为0>=r rankA ，对A 施行初等行变换，可得到阶梯形矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=0G B ， 其中G 为n r ⨯矩阵，并且0>=r rankG ；因此存在着有限个m 阶初等矩阵之积，记作P ，有B PA =，或者B P A 1-=，将矩阵1-P 分块为()S F P =-1 ，其中F 为r m ⨯矩阵，S 为)(r n m -⨯矩阵，并且r rankF =，r n rankS -=。
则有()FG G S F B P A =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==-01 ，其中F 是列满秩矩阵，S 是行满秩矩阵。
▌但是，矩阵A 的满秩分解不唯一。
这是因为若取任意一个r 阶非奇异矩阵D ，则有G F G D FD FG A ~~))((1===-。
例1、 求矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=122211212101A 的满秩分解。
解：对矩阵A 进行初等行变换()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=0111000001130200012101100122201011210012101G B I A 其中⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=30202101G 所以⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=000030202101B ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=111011001P ；而()S F P =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-1120110011，其中⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=121101F 由此可见，所以有()⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--==⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==-12110101FG G S F B P A ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-30202101。
矩阵的满秩分解
为 r ( B), r (C ) ≤ r ，但若 r ( B) < r 或 r (C ) < r ，则 r ( A) = r ( BC ) ≤ min(r ( B), r (C )) < r ， 矛盾！ 从定理的证明可以看出， 可以通过对矩阵进行初等变换， 化为行阶梯形矩阵， 从而得到满秩分解。先求得可逆矩阵 P ，使得 PA 为行阶梯形矩阵，再求得 P −1 ， 而后分块即可。 P 的求得很容易，只要将 ( A, I ) 化为行阶梯形矩阵，则右边的一 块即为 P 。我们也可以通过矩阵的初等变换与初等矩阵之间的关系来直接求得 P −1 ，好处在于可以避免复杂的求逆运算。
⎛1 0 0⎞ ⎛ 1 −1 2 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟， ⎜ −1 0 1 ⎟ A = ⎜ 0 0 −1⎟ ⎜ 2 1 −3 ⎟ ⎜0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎛1 0 0⎞ ⎜ ⎟ A = ⎜ −1 0 1 ⎟ ⎜ 2 1 −3 ⎟ ⎝ ⎠
−1
⎛ 1 −1 2 ⎞ ⎛1 0 0 ⎞ ⎛ 1 −1 2 ⎞ ⎛ 1 0 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎛ 1 −1 2 ⎞ ⎜ 0 0 −1⎟ = ⎜1 3 1 ⎟ ⎜ 0 0 −1⎟ = ⎜ 1 3 ⎟ ⎜ 0 0 −1⎟ ⎠ ⎜ 0 0 0 ⎟ ⎜1 1 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 ⎟ ⎜1 1 ⎟ ⎝ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠
3
为满秩分解。
法二
⎛ 1 0 0⎞ ⎜ ⎟ ⎜ −1 1 0 ⎟× ⎜ −1 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 0 1 0 ⎟× ⎜ ⎟ ⎜ 0 −1 1⎟ ⎟ ⎜ 3 ⎝ ⎠
第二章矩阵分解3_矩阵的最大秩分解案例
G r n PA B , G C r O
把 P 1 改写为分块阵 P 1 F 则有 G 1
, 或者 A P 1 B
S , F C
m r r
,S C
m ( n r ) nr
A P B F
S O FG
1 0 0 2 0 1 0 1 A 行 B 0 0 1 1 0 0 0 0 j1 1, j 2 2, j 3 3 ,根据定理2.8, A
4 1 0 2 F 1 2 1 2 而B的前三个非零行组成矩阵
1 0 4 1
1 0 1 2 1 0 0 1 0 1 2 1 0 0 A E 1 2 1 1 0 1 0 0 2 0 3 1 1 0 2 2 2 1 0 0 1 0 0 0 0 1 1 1
.
最后有
1 0 1 0 1 2 A FG 1 1 0 2 0 3 2 1
于是, 的最大秩分解为
1 0 0 2 3 G 0 1 0 1 2 0 0 1 1 5
4 1 1 1 0 0 2 3 0 0 2 A FG 0 1 0 1 2 1 2 4 0 0 1 1 5 1 2 1
B12 AP1 P ( BP1 ) F F FB12 O 上式表明F是AP1的前r列构成的矩阵,即F是A的 j1 , j2 , , jr
列构成的矩阵. 证毕.
Er S O
定理2.8所提供的求矩阵最大秩的方法,我们称为 准形法. 例:用 Hermite 行标准形法求矩阵 1
A P 1 B
满秩分解
例1
化矩阵A为Hermite 标准形
1 0 2i i 0 4 2i 2 A 0 0 0 3 6 3 3i , i 1 0 2 1 1 4 4i 1
i 0 1 2 i 0 1 1 2 2 i r1 ( 2 ) 0 0 0 3 6 3 3i 0 2 1 1 4 4i 1
i 0 1 2 i 0 1 1 2 2 r3 2r1 0 0 0 3 6 3 3i 0 0 0 1 2 1 i
i 0 1 2 i 0 1 1 2 2 r2 3r3 2 1 i H 0 0 0 1 r2 r3 0 0 0 0 0 0
y1 x1 0,0,2T ,
y 2 x2
y 3 x3
( x2 , y1 ) ( y1 , y1 )
T y1 x 2 1 y 3 , 4 , 0 2 1
( x3 , y2 ) ( y2 , y2 )
( x3 , y1 ) ( y1 , y1 )
y1
1 8 6 y 2 x3 y1 y 2 , ,0 5 5 5
矩阵QR分解是一种特殊的三角分解，在解决 矩阵特征值的计算、最小二乘法等问题中起到重 要作用。
主要内容： 1· 矩阵的QR分解-- Schmidt正交化方法 2· 矩阵的QR分解-- Householder变换、 Givens变换（略）
nn 如果存在n阶酉矩阵Q和n阶上三角矩阵 A C . 定义:设
满秩分解定理：设 A C rmn r 0, 且A的Hermite 标准形H为
k1 0 0 H 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 * 0 0 0 * 0 0 0 k2 0 1 0 0 0 * * * 0 * * 0 0 0 0 1 0 0 kr * * * 0 * * * 第r行 0 0 0
非负矩阵非负满秩分解的程序实现
与 Ｌｎｏ对算 法进 行程 序 实现 ， 以为非 负矩 阵分 解应 用研 究提 供 一些参 考 。 ｉｇ 可
关 键 词 ： 负矩 阵 ； 秩 分 解 ； 负矩 阵 非 负 满秩 分 解 ；ｉｇ ； Ｃ ． 非 满 非 Ｌｎｏ Ｖ ６０
中 图 分 类 号 ：Ｐ ０ ． Ｔ３１ ４ 文献标 识码 ： Ａ 文 章 编 号 ：６ ２ ７ ０ （０ ０ ０ — ０ ２ ０ １７ — ８ ０ ２ １ ） ２ ０ ３ — ２
２湖北水利 水 电职业技 术 学院 机 电工程 系 ， ． 湖北 武 汉 ４ ０ ７ ） ３ ０ ０
摘 要 ： 用 欧 几 里 得 距 离衡 量 非 负矩 阵 非 负 满 秩 分 解 的 近 似 度 ， 其 转 化 为 最 小 二 乘 法 求 最 优 问 题 。 并 用 Ｖ ６０ 利 将 Ｃ．
以 矩 阵 的 满 秩 分 解 理 论 为 基 础 ， 合 最 小 二 乘 法 提 出 了非 负 矩 结
阵 的非负 满秩 分解 方 法 ，实现 了 Ｌｎｏ与 Ｖ ６０的动态 链 接 ， ｉｇ Ｃ．
并 给 出 了 一 种 程 序 实 现 方 法 ， 成 了 图 形 界 面 的 设 计 ． 运 算 完 使 操作 简单 便 捷 ， 大减 少 了人 工 计算 量 ． 在 为一 些应 用 提供 大 旨 参 考
对 于非 负矩 阵 的非 负满 秩分解 ． 无论 是精 确分 解还是 近似 分 解 ， 可 以通过 控 制近 似度 来 实现 ， 文利 用欧 几里 得 距离 都 本
ｌ — ｃｌ 来衡量其近似度 ， Ｂ Ｉ Ａ ｌ 将其转化为利用最小二乘法求最
优 问题 ． 即
ｓ：ｍ
１ 非 负矩 阵的 非 负 满秩 分 解
２１ 利 用 Ｌｉｇ ． ｎ ｏ软 件 实 现 单 次 循 环
广义行_列_酉对称矩阵的满秩分解及其Moore_Penrose逆
=A .
+
1 广义行 ( 列 ) 酉对称矩阵的概念与性质
定义 1 设A C
m n
, Q 1, Q 2, !, Q k- 1 均为 m 阶酉矩阵, 则称 A A1 A k- 1 ( 其中 A i = Q iA, i = 1 , 2, !, k - 1 )
R (A; Q 1, !, Qk- 1 ) =
n n
2
广义行 ( 列 ) 酉对称矩阵的满秩分解
定理 1 (满秩分解 ) 设A Cr
m n
的满秩分解为 A = FG (F
Cr , G F Q 1F Q k- 1F
m r
G r ), 则广义行酉对称矩阵
r n
R (A; Q 1, !, Qk- 1 )
C
km n
的满秩分解为 R (A; Q 1, !, Q k- 1 ) =
H 1
C kn ,
kn kn
使得 GC (A; Q 1, !, Q k- 1 )F 1 = 证明
由条件有 | F 1 | = ( - 1)
| F | | Q 1 | ! | Qk- 1 | % 0 , 所以 F 1 可逆且
k H H H
GC (A; Q 1, !, Q k- 1 )F 1 = G (A, AQ 1, !, AQ k- 1 )F 1 = (GAF, ( GA - GAQ 1Q 1 )F, !, (GA - GAQ k- 1Q k- 1 )F ) = ( GAF, 0, !, 0) =
云 南 大 学 学 报 ( 自 然 科 学 版 ), Journal of Yunnan Un iversity
2009, 31 ( 5): 439~ 443
满秩分解与奇异值分解
第十二讲 满秩分解与奇异值分解一、矩阵的满秩分解1. 定义：设m n r A C (r 0)⨯∈>，若存在矩阵m r r F C ⨯∈及r nrG C ⨯∈，使得 A FG =，则称其为A 的一个满秩分解。
说明：（1）F 为列满秩矩阵，即列数等于秩；G 为行满秩矩阵，即行数等于秩。
（2）满秩分解不唯一。
r rrD C ⨯∀∈（r 阶可逆方阵），则 1111A FG F(DD )G (FD)(D G)F G --====，且m r r n1r 1rF C ,G C ⨯⨯∈∈ 2. 存在性定理：任何非零矩阵均存在满秩矩阵证明：采用构造性证明方法。
设m nr A C ⨯∈，则存在初等变换矩阵m mmE C ⨯∈， 使 G r EA B .......O (m r)⎡⎤⎢⎥==⎢⎥-⎢⎥⎣⎦行行， 其中r nr G C ⨯∈ 将A 写成1A E B -=，并把1E -分块成[]1r (m r)E F |S --=列列，其中m rrF C ⨯∈ .G A F .S ....FG .O ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥∴==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦是满秩分解。
3. Hermite 标准形（行阶梯标准形）设m nr B C (r 0)⨯∈>，且满足（1） B 的前r 行中每一行至少含一个非零元素（称为非零行），且第一个非零元素为1，而后(m r)-行的元素全为零（称为零行）；（2） 若B 中第i 行的第一个非零元素（即1）在第i j 列(i 1,2,...,r)=，则12r j j ...j <<<;（3） 矩阵B 的第1j 列，第2j 列，…,第r j 列合起来恰为m 阶单位方阵m I 的前r 列（即12r j ,j ,...,j 列上除了前述的1外全为0）则称B 为Hermite 标准形。
例1 561356120013001022B C 000111000000000000⨯⨯-⎡⎤⎢⎥⎢⎥=∈-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 为Hermite 标准形452245010200013B C 0000000000⨯⨯⎡⎤⎢⎥⎢⎥=∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 也是Hermite 标准形4. 满秩分解的一种求法设m nr A C ⨯∈，（1） 采用行初等变换将A 化成Hermite 标准形，其矩阵形式为EA B =，其中B 为Hermite 标准形定义中给出的形状；（2） 选取置换矩阵1 P 的第i 列为i j e ，即该列向量除第i j 个元素为1外，其余元素全为零(i 1,2,...,r)=,其中i j 为Hermite 标准形中每行第一个非零元素（即1）所在的列数；2 其它(n r)-列只需确保P 为置换矩阵即可（P 的每一行，每一列均只有一个非零元素，且为1）；3 用P 右乘任何矩阵（可乘性得到满足时），即可将该矩阵的第i j 列置换到新矩阵（即乘积矩阵）的第i 列 4 令[]1r (n r)P P |*-=列列，即12r n r1j j j rn rP e e ...e C ⨯⨯⎡⎤=∈⎣⎦（3）令G B =的前r 行r nnC ⨯∈，m r 1r F AP C ⨯=∈则A FG = 证明：G EA B O ⎡⎤==⎢⎥⎣⎦，[]1G A E B F |S FG O -⎡⎤===⎢⎥⎣⎦则m r r F C ⨯∈，r n rG C ⨯∈，G 已知，但F ?=，当然可以通过求出1E,E -再将1E -分块得到，但这样G 就没必要采用Hermite 标准形形式，注意到r 1I BP O ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，则[]1r 11I AP E BP F |S F O -⎡⎤===⎢⎥⎣⎦证毕例2 1230A 02111021⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦求其满秩分解解：（1）首先求出A 的秩。
广义延拓矩阵的满秩分解和广义逆
应用 问题等 领 域 不 仅有 广 泛 的实 际 应 用 ，而 且 也 有重要 的理 论 研 究价 值 ．文 献针 对 工 程 应 用 领 域 中大量 出现 的对 称 图像 ，给 出 了延 拓矩 阵 （ 或 行 列对称 矩阵 ） 的概 念 ，本 文在 文 献 ［ ４ 的 基 １～ ］ 础上给 出 了广 义延 拓 矩 阵 的满 秩 分 解 、秩分 解 和 广 义逆 的公 式及快 速算法 ，从而拓 宽 了文 献 ［ １— ４ 的理论应 用范 围． ］
广 义延拓 矩 阵 的满 秩 分 解 和 广 义 逆 米
简芳 洪 伍 亚魁 董永红 许 成锋 刘 智 秉
（ 江学院理 学院 江西九江 九 ３２ ０ ） ３０ ５
摘 要 ：本文研 究 了广 义延拓 矩 阵的性 质 ，利 用分块 矩 阵理论 获得 了许 多新 的 结果 ，给
出 了广义延拓 矩 阵的满秩分 解 、秩 分解和 广 义逆 的公 式及 快 速算 法． 它们 可极 大地 减 少广 义延拓 矩 阵的满秩 分解 、秩 分解 和广 义逆 的计 算 量与存储 量 ，并且 不会 丧失数 值精度 ．
关键词 ：广义延拓矩阵；满秩分解 ；广义逆 中图分类 号 ： ５ ． １ 文献标 识码 ：Ａ 文章编号：１７ — ５５（００ ３ ０３ （３ ０ １ １２ ６４ ９４ ２ １）０ — ０４一 ０ ）
满秩 分解 是 矩 阵 的基 本 分 解 方法 之一 ，在 求
Ｃ Ａ； Ｐ ， ， ）＝［ 。 （ Ｐ ，ｚ… Ｐ一 ，Ｐ ， ， ， 一］∈ …
１广义延 拓矩阵 的概念
阵）时 ， （ ； Ｐ ， Ｐ ） Ｒ Ａ Ｐ ， …， ¨ 为文献 ［ ５—６ ］的第
一
类ｋ 次行延拓．当 Ｐ ＝Ｐ ２＝… ＝ 一 （ ，＝ 单
第十六讲 矩阵的满秩分解与奇异值分解
AH A（或 AAH ）的非零特征值的重数大于 1 时，调整V 或（和 U ）的列向量使得
U
0
0 0
V
H
A 是十分困难的。
二、 矩阵的奇异值分解
1 0 0
例
6、仍求例
4
中
A
0
1
0
0 0 0
奇异值分解。
2 1 0
解：
AAH
1
2
0
的
特
征
值
为
0 0 0
1 1 ，2 3 ，3 0（非零特征值应与 AH A
一、 矩阵的满秩分解
0 1 1 1 1
例
1、求矩阵
0
2
2
2
6
的满
0 1 1 2 3
秩分解。
1 1
A
FG
2
1
2 2
0 0
1 0
1 0
0 1
1
2
一、 矩阵的满秩分解
4、应用
例 2、设 A1 与 A2 都是 m n 矩阵，证明 rank( A1 A2 ) rankA1 rankA2 。
定理
3、设
A
C mn r
(r 0) ，则存在 m
阶酉矩阵U 和 n 阶酉矩阵V ，使得
UH
AV
0
0 0
，
其中 diag(1, 2 ,L , r ) ， i (i 1,L , r)
为矩阵 A 的全部非零奇异值。
二、 矩阵的奇异值分解
设
A
C
mn r
(r 0)
的非零奇异值为
1,L , r ， 对 角 阵 diag(1, 2 ,L , r ) ，
15 矩阵的满秩分解
即存在可逆矩阵P2，使得 P2 A B
1
(2)
由(1)式和(2)式得到 B P2 A P2 PH 1 A
令P P2 P 1 ，则有
PB H A
B的Hermite标准形也是H A .
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理学院 杨文强
第四章矩阵分解及其应用
§3 矩阵的Hermite标准形及满秩分解
第四章矩阵分析及其应用
§3 矩阵的Hermite标准形及满秩分解 一、矩阵的Hermite标准形：
矩阵行的初等变换：
(1)交换矩阵的任意两行；
(2)对矩阵的某一行乘以一非零的任意常数；
(3)矩阵的某一行乘以一个常数加到另一行.
注：
矩阵的行初等变换等价于矩阵左乘一相应的初等矩阵；
矩阵的列初等变换等价于矩阵右乘一相应的初等矩阵；
即 PAi Bi，i 1 ， 2， ，n.
Ai P1Bi，i 1 ， 2， ，n.
若矩阵A的列向量Ai1， Ai2， ， Aik 有线性关系：
x1 Ai1 x2 Ai2
则有 P x1 Ai1 x2 Ai2
为Hermite标准形H，即存在可逆方阵P，使得 PA H H 称为A的Hermite标准形 . 高等工程数学
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第四章矩阵分解及其应用
§3 矩阵的Hermite标准形及满秩分解
例2：求矩阵A的Hermite标准形及变换矩阵P，其中
1 2 1 2 1 A 2 4 1 2 3 3 6 3 6 3
单形式是什么矩阵？
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第四章矩阵分解及其应用
放映：《矩阵论及其应用》第4章§3矩阵的Hermite标准形及满秩分解
？
A C mn , rankA r 0，对 A 进行行初等变换 a11 a12 a1n 1 a1 2 a1n A a21 a22 a2 n 0 a2 2 a2 n H am1 am 2 amn 0 am 2 amn 其中 H 为Hermite 标准形. 首个非零列 P 使得 从而存在满秩方阵 相同处理 PA H 称 H为 A 的 Hermite 标准形，P称为变换矩阵.
指出下列矩阵哪些为 Hermite 标准形
1 1 0 0 2 0 0 1 0 4 , 0 0 0 1 1 0 2 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 2 1 , 5 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 2 1 , 5 0 1 0 0 0 2 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 2 1 5 0
则
设 A, B C mn ,若存在 m 阶可逆阵 P 使得 PA B
Ax0 0 PAx0 0 Bx0 0
即 A, B 的列向量之间具有相同的线性组合关系。 对 A 施行行初等变换不会改变 A的列向量之 间的线性组合关系。
设
2 A 1 1
4 6 30 2 1 7 [ A1 2 4 19
0 4 , G 1 0 0 5
1
3
0 2 0 0
1 4 1 1
3 12 3 3
2 13 2 2
5 2 0 0
则 A 有满秩分解
7 F 1 3 2
2 0 0 5 0 1 3 2
A FG
矩阵的满秩分解是否唯一？ 设 A 的满秩分解为 任取 r 阶满秩阵 D，则
满秩矩阵及满秩矩阵的应用
满秩矩阵及满秩矩阵的应用专业：通信与信息系统姓名：李娜学号：6120140151目录一、满秩矩阵及满秩矩阵在矩阵分解方面的应用 (2)1.1矩阵的秩 (2)1.2满秩矩阵 (2)1.3满秩矩阵的性质 (3)1.3.1行(列)矩阵的一些性质 (4)1.4 行(列) 满秩矩阵在矩阵分解方面的应用 (6)二、满秩矩阵在保密通信中的应用 (8)2.1 基于满秩矩阵的保密通信模型 (8)2.1.1加密保密通信模型 (8)2.2.2满秩矩阵的应用 (8)2.2密钥的生成 (10)2.2.1加密密钥的生成 (10)2.2.2解密密钥的生成 (10)2.3其它问题 (10)2.3.1明文矩阵的选择 (10)2.3.2加密矩阵的选择 (11)2.3.3算法优化 (11)一、满秩矩阵及满秩矩阵在矩阵分解方面的应用引言矩阵是数学中的一个重要的基本概念，是现代数学的一个主要研究对象，也是数学研究和应用的一个重要工具。
“矩阵”这个词是由西尔维斯特首先使用的，他是为了将数学的矩形阵列区别于行列式而发明了这个述语，而实际上，矩阵这个课题在诞生之前就已经发展的很好了。
1.1矩阵的秩设A是一组向量，定义A的最大无关组中向量的个数为A的秩。
定义1 在m n矩阵A中，任意决定k行和k列交叉点上的元素构成A的一个k阶子矩阵，此子矩阵的行列式，称为A的一个k阶子式。
例如，在阶梯形矩阵中，选定1，3行和3，4列，它们交叉点上的元素所组成的2阶子矩阵的行列式就是矩阵A的一个2阶子式。
定义2 A=(a ij)m×n的不为零的子式的最大阶数称为矩阵A的秩，记作r(A），或rank（A）或R(A)。
特别规定零矩阵的秩为零。
显R（A）≤min(m,n)易得：若A中至少有一个r阶子式不等于零，且在R(A)<min(m,n)时，A中所有的r+1阶子式全为零，则A的秩为r。
由定义直接可得n阶可逆矩阵的秩为n，通常又将可逆矩阵称为满秩矩阵,不满秩矩阵就是奇异矩阵，det(A)=0。
矩阵论-满秩分解
D 0
或A=P-1
Ir 0
D 0
=P-1
Ir 0
Ir
D =BC
其中B=P-1
Ir 0
Cmr r
,
C
Ir
D
Crn r
.
下设A的前r个列向量线性相关,只需先做列变换，变成
线性无关，
因此存在P
Cmmm，Q
Cnn n
,
满足
PAQ=
Ir 0
D 0
或A=P-1
Ir 0
D 0
A
0
0
-3
-2
-1
0
0
1
2/3
1/
3
0 0 -3 -2 -1 0 0 0 0
0
1 2
令B=
2
3
1 ，C= 3
1 0
3 0
0 1
1/ 3 2/3
10 / 3 1/ 3
或
3 2
令B=
6
9
1 3
，C=
1/ 3
0
1 0
0 1
1/ 9 2/3
10 / 9 1/ 3
,易证A=BC
0 2 1 1 4 4i 1
满秩分解方法： 1）只做行变换，将A变成书上Hermite标准型; 2)令C为前r行，（非0行） 3)取A中对应Hermite标准型中1对应的列,组成B.
1 3 2 1 4
例：求A=
2
6
1
0
7 的满秩分解.
3 9 3 1 11
1 3 2 1 4 1 3 0 1/ 3 10 / 3
Q-1
=P-1
Ir 0
I
r
=Байду номын сангаасC
[指南]且谈矩阵的rank
![[指南]且谈矩阵的rank](https://img.taocdn.com/s3/m/792657edfbb069dc5022aaea998fcc22bcd1430e.png)
且谈矩阵的RankGM0732130 钟小兵矩阵的Rank是反映矩阵固有特性的一个重要概念。
在本文中，作者介绍了Rank的定义和计算方法；并结合自己的学习和认识，解释了Rank与行列式、向量组、线形方程组、线性空间、向量系之间千丝万缕的关系。
一、矩阵的秩1.1 定义矩阵A mxn的不为零的子式的最大阶数称为矩阵A的秩，记作r(A)，或rank(A)。
显然, 矩阵A的秩是唯一确定的,并且,r(A)≤min(m,n), r(A)=r(A T), 零矩阵的秩等于 0。
根据定义，矩阵A的秩等于r的充分必要条件是A中至少有一个r阶子式D r r+1阶子式(若存在)D r+1=0。
换个说法，矩阵A中有一个r阶子≠0 , 并且所有的式不为0，则r(A)≥r；矩阵A中所有r阶子式全为0, 则r(A)<r。
1.2 性质1)r(AB) ≤r(A),r(AB)≤r(B)。
2)任何矩阵经过矩阵初等变换后其秩不变。
3)设A是m×n矩阵，P是m阶满秩方阵，Q是n阶满秩方阵，则r(A)=r(PA)=r(AQ)。
可以理解为：A左乘P，相当于矩阵A经过一些行的初等变换；A右乘Q，相当于矩阵A经过一些列的初等变换，由前一性质可知矩阵的秩不变。
4)同型矩阵Am×n与Bm×n等价的二种充分必要条件分别为：●Am×n与Bm×n的秩相等。
●存在m阶可逆阵p与n阶可逆阵Q，使PAQ=B。
5)对于任意一个矩阵A，A的秩，A的行秩和A的列秩三者都相等，称为矩阵三秩相等。
当rA＝r时，A中非零的r阶子式所在的行（列）正好构成A的行（列）向量组的一个最大无关组。
矩阵三秩相等，反映了矩阵内在的重要性质，也是线性代数中非常重要的一个结论。
n维向量空间的n个线性无关的向量构成的矩阵A，一定是满秩的，r(A)=n。
1.3 满秩矩阵的特性1)满秩矩阵的所有行（列）向量是线性无关的。
2)如果A是满秩方阵，则行列式|A|≠0。
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定义:设ACnn. 如果存在n阶酉矩阵Q和n阶上三角矩阵 R，使得 A QR 则称之为A的QR分解或酉三角分 当 A Rnn 时，则解称为A的正交三角分解
QR分解定理 •任意一个满秩实(复）矩阵A，都可唯一地分解A = QR ，其中Q为正交（酉）矩阵，R是具有正对角元的上三角矩 阵 证。明
第四节 满秩分解
本节讨论将一个非零矩阵（长方形）分解成一 个列满秩矩阵与一个行满秩矩阵的乘积问题. 主要内容： 1·矩阵的Hermite标准型 2·利用Hermite标准型进行矩阵的满秩分解
满秩分解定理
设A Crmn r 0,则存在B Crmr ,C Crrn，使
A BC
(1)
（1）式称为矩阵A的满秩分解.
例1：利用Schmidt正交化方法求矩阵的QR分解A
0 0
3 4
1 2
2 1 2
设 x1 0,0,2T , x2 3,4,1T , x3 1,2,2T , 则 x1, x2 , x3
线性无关，首先将它们正交化得：
y1 x1 0,0,2T ,
y2
x2
(x2 , y1) ( y1, y1)
2 A 1
1
4 2 2
1 1 2
1
2 1
r1 r2
1 2 1
2 4 2
1 1 2
2 1 1
r2 2r1
r3 r1
1 0
2 0
1 3
2
r2
1 3
1
3 0
2 0
1 1
2 1
1 0
2 0
0 1
1 1 H
0 0 3 3 r3r2 0 0 0 0 0 0 0 0
(
i 2
)
0
0
0
3
6
3 3i
0
2
1
1
4 4i
1
0
1
1 2
0 1 2i
i 2
r3 2r1 0 0 0 3 6 3 3i
0
0
0
1
2
1 i
r2
3r3
0 0
1 0
1 2
0
0 1
1 2i 2
i 2
1i H
r2
r3
0
0
0
0
0
0
满秩分解定理：设 ACrmn r 0, 且A的Hermite 标准形H为
设A是一个实满秩矩阵, A的n个列向量为 x 1,x 2, …,x n 由于x 1,x 2, …,x n 线性无关，将它们用Schmidt正交
化方法得标准正交向量e 1,e 2, …,e n
x1 b11e1 x2 b12e1 b22e2
其中 bii 0 , i 1,2, , n
xn b1ne1 b2ne2 bnnen
1 2 0 1 0 0 1 1 H 0 0 0 0
可见 k1 1, k2 3 故A的满秩分解为
2 A 1
1
1 1 2
1 0
2 0
0 1
11
注1、 矩阵A的满秩分解是不唯一的
设 A BC, B Crmr , D Crrn
则
D Crrr ,
A (BD)(D1C) B1C1
k1
k2
kr
0 0 1 * * 0 * * 0 *
0 0 0 0 0 1 * * 0 *
H 0 0 0 0 0 0 * 0 1 *
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
* *
* 第r行
0
0
则取A的第 k1, k2 , , kr 列构成矩阵B，取H的前r行构成矩阵
说明：当A为满秩矩阵（列满秩或行满秩），A可分 解为一个因子为单位矩阵，另一个因子为A本身，称 此满秩分解为平凡分解。
为了说明矩阵满秩分解定理以及满秩分解方法， 先介绍Hermite 标准形（或行最简形）。
定义矩阵 AC的rmHn ermite 标准形H为
1)前r行中，每行至少有一个非0元，且第一个非 零元为1，而后m-r行全为0； 2）若H中第i行的第一个非零元1位于第ki （i=1,2,…,r)列,则有k 1<k 2< …<k r; 3) k 1,k 2, …,k r列为单位矩阵I m的前r列.
化为Hermite 标准形H，且H的前r行线性无关。
采用矩阵的说法就是，存在 S Cmmm,
使得 SA H.
例1 化矩阵A为Hermite 标准形
0 2i i 0 4 2i 1
A 0 0 0 3 6 3 3i, i2 1
0 2 1 1 4 4i 1
0
1
1 2
0
1 2i
i 2
r1
即有：
k1
k2
kr
0 0 1 * * 0 * * 0 * 0 0 0 0 0 1 * * 0 *
H 0 0 0 0 0 0 * 0 1 *
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
* *
* 第r行
0
0
定理：任何一个非零矩阵都可通过初等行变换
从而有
b11 b12 b1n
x1 x2 xn e1 e2 en
b22 b2n bnn
b11 b12 b1n
令Q e1 e2
则QTQ I
en
,
R
b22 b2n bnn
唯一性略
说明：该定理的证明过程给出了利用Schmidt正交化方法求可 逆矩阵QR分解的方法。
C，则A=BC即为矩阵A的满秩分解
满秩分解的步骤
1）求矩阵A的Hermite 标准形H； 2）取矩阵C为H的前r个非0行； 3）取矩阵B为A的对应于H的r个单位向量的列； 则A=BC
例：求矩阵
2 A 1
4 2
பைடு நூலகம்
1 1
1 2
的满秩分解
1 2 2 1
首先利用行初等变换求A的Hermite 标准形H：
e1
1 2
y1
0,0,1T
注2、 矩阵A的满秩分解虽然不唯一的，但对不同的 分解：A=BC，乘积C H (CC H )1(BH 保B)持1 B不H 变。
第五节 QR分解
QR分解也称为正交三角分解
矩阵QR分解是一种特殊的三角分解，在解决 矩阵特征值的计算、最小二乘法等问题中起到重 要作用。
主要内容：
1·矩阵的QR分解-- Schmidt正交化方法
y1
x2
1 2
y1
3,4,0T
y3
x3
(x3, y1) ( y1, y1)
y1
(x3, y2 ) ( y2 , y2 )
y2
x3
y1
1 5
y2
8 , 6 ,0T 5 5
再单位化：e1
1 2
y1
0,0,1T
,
e2
1 5
y2
3 5
,
4 5
,0T
,
e3
1 2
y3
4 5
,
3 ,0T 5
,
于是： x1 y1 2e1