满秩分解

设A是一个实满秩矩阵, A的n个列向量为 x 1,x 2, …,x n 由于x 1,x 2, …,x n 线性无关，将它们用Schmidt正交
化方法得标准正交向量e 1,e 2, …,e n
x1 b11e1 x2 b12e1 b22e2
其中 bii 0 , i 1,2, , n
xn b1ne1 b2ne2 bnnen
化为Hermite 标准形H，且H的前r行线性无关。
采用矩阵的说法就是，存在 S Cmmm,
使得 SA H.
例1 化矩阵A为Hermite 标准形
0 2i i 0 4 2i 1
A 0 0 0 3 6 3 3i, i2 1
0 2 1 1 4 4i 1
0
1
1 2
0
1 2i
i 2
r1
即有：
k1
k2
kr
0 0 1 * * 0 * * 0 * 0 0 0 0 0 1 * * 0 *
H 0 0 0 0 0 0 * 0 1 *
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
* *
* 第r行
0
0
定理：任何一个非零矩阵都可通过初等行变换
第四节 满秩分解
本节讨论将一个非零矩阵（长方形）分解成一 个列满秩矩阵与一个行满秩矩阵的乘积问题. 主要内容： 1·矩阵的Hermite标准型 2·利用Hermite标准型进行矩阵的满秩分解
满秩分解定理
设A Crmn r 0,则存在B Crmr ,C Crrn，使
A BC
(1)
（1）式称为矩阵A的满秩分解.
2 A 1
1
4 2 2
1 1 2
1
2 1
r1 r2
1 2 1
2 4 2
1 1 2
2 1 1
r2 2r1
r3 r1
1 0
2 0
1 3
2
r2
1 3
1
3 0
2 0
1 1
2 1
1 0
2 0
0 1
1 1 H
0 0 3 3 r3r2 0 0 0 0 0 0 0 0
2·矩阵的QR分解-- Householder变换、 Givens变换（略）
定义:设ACnn. 如果存在n阶酉矩阵Q和n阶上三角矩阵 R，使得 A QR 则称之为A的QR分解或酉三角分 当 A Rnn 时，则解称为A的正交三角分解
QR分解定理 •任意一个满秩实(复）矩阵A，都可唯一地分解A = QR ，其中Q为正交（酉）矩阵，R是具有正对角元的上三角矩 阵 证。明
1 2 0 1 0 0 1 1 H 0 0 0 0
可见 k1 1, k2 3 故A的满秩分解为
2 A 1
1
1 1 2
1 0
2 0
0 1
11
注1、 矩阵A的满秩分解是不唯一的
设 A BC, B Crmr , D Crrn
则
D Crrr ,
A (BD)(D1C) B1C1
例1：利用Schmidt正交化方法求矩阵的QR分解A
0 0
3 4
1 2
2 1 2
设 x1 0,0,2T , x2 3,4,1T , x3 1,2,2T , 则 x1, x2 , x3
线性无关，首先将它们正交化得：
y1 x1 0,0,2T ,
y2
x2
(x2 , y1) ( y1, y1)
(
i 2
)
0
0
0
3
6
3 3i
0
2
1
1
4 4i
1
0
1
1 2
0 1 2i
i 2
r3 2r1 0 0 0 3 6 3 3i
0
0
0
1
2
1 i
r2
3r3
0 0
1 0
1 2
0
0 1
1 2i 2
i 2
1i H
r2
r3
0
0
0
0
0
0
满秩分解定理：设 ACrmn r 0, 且A的Hermite 标准形H为
y1
x2
1 2
y1
3,4,0T
y3
x3
(x3, y1) ( y1, y1)
y1
(x3, y2 ) ( y2 , y2 )
y2
x3
y1
1 5
y2
8 , 6 ,0T 5 5
再单位化：e1
1 2
y1
0,0,1T
,
e2
1 5
y2
3 5
,
4 5
,0T
,
e3
1 2
y3
4 5
,
3 ,0T 5
,
于是： x1 y1 2e1
注2、 矩阵A的满秩分解虽然不唯一的，但对不同的 分解：A=BC，乘积C H (CC H )1(BH 保B)持1 B不H 变。
第五节 QR分解
QR分解也称为正交三角分解
矩阵QR分解是一种特殊的三角分解，在解决 矩阵特征值的计算、最小二乘法等问题中起到重 要作用。
主要内容：
1·矩阵的QR分解-- Schmidt正交化方法
从而有
b11 b12 b1n
x1 x2 xn e1 e2 en
b22 b2n bnn
b11 b12 b1n
令Q e1 e2
则QTQ I
en
,
R
b22 b2n bnn
唯一性略
说明：该定理的证明过程给出了利用Schmidt正交化方法求可 逆矩阵QR分解的方法。
k1
k2
kr
0 0 1 * * 0 * * 0 *
0 0 0 0 0 1 * * 0 *
H 0 0 0 0 0 0 * 0 1 *
0
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
* *
* 第r行
0
0
则取A的第 k1, k2 , , kr 列构成矩阵B，取H的前r行构成矩阵
e1
1 2
y1
0,0,1T
C，则A=BC即为矩阵A的满秩分解
满秩分解的步骤
1）求矩阵A的Hermite 标准形H； 2）取矩阵C为H的前r个非0行； 3）取矩阵B为A的对应于H的r个单位向量的列； 则A=BC
例：求矩阵
2 A 1
4 2
1 1
1 2
的满秩分解
1 2 2 1
首先利用行初等变换求A的Hermite 标准形H：
说明：当A为满秩矩阵（列满秩或行满秩），A可分 解为一个因子为单位矩阵，另一个因子为A本身，称 此满秩分解为平凡分解。
为了说明矩阵满秩分解定理以及满秩分解方法， 先介绍Hermite 标准形（或行最简形）。
定义矩阵 AC的rmHn ermite 标准形H为
1)前r行中，每行至少有一个非0元，且第一个非 零元为1，而后m-r行全为0； 2）若H中第i行的第一个非零元1位于第ki （i=1,2,…,r)列,则有k 1<k 2< …<k r; 3) k 1,k 2, …,k r列为单位矩阵I m的前r列.