数列极限的运算法则

数列极限的运算法则

(上海教育出版社高中课本数学高二第一学期第二课时)

一．教学目标：

掌握数列极限的运算法则，并会利用这些法则求简单的数列的极限。

二．教学重点：运用数列极限的运算法则求极限

教学难点：无限个数列极限的运算

教学过程：

1. 引入：

今天的主角是古希腊著名的数学家、物理学家阿基米德。他提出了三次方程的几何解法，发现了以他的名字命名的螺线，他曾求出许多图形的面积和体积，极限的思想能够帮助我们解决很多几何图形面积体积的问题，今天我们也来做一次数学家，研究重现一下他这一贡献的过程。我们来看这个例子，要计算由抛物线2y x =、x 轴以及直线x=1所围成的区域的面积S ，这是一个曲边三角形，不能用三角形的面积公式来计算，阿基米德是如何计算的呢首先把区间[0，1]分为两部分，那么作出的这一个矩形的面积必然小于曲边三角形面积，之后我们再尝试继续一分为二，那么作出这三个矩形，其面积比我们刚才计算的要大，但仍小于曲边三角形的面积，继续采取这种方法，增大区间段，不妨设把区间[0，1]分成n 个小区间，即用x 轴上的分点0,1231,,,.....,,n n n n n n

- 分隔;那么在每个小区间上作一个小矩形，使矩形的左上端点在抛物线上，这些矩形的高对应就是

222212310,(),(),(),.....,()n n n n n

-，我们来考虑这些矩形面积的总和： 2222222332

1112111123...(1)(1)(21)(1)(21)0()()....()66n n n n n n n n S n n n n n n n n n n -++++-----=⋅+⋅+⋅+⋅===我们不妨考察n S 与S 之间有何关系，我们尝试使n 越来越大，也就使分的每段区间越来越小，那么矩形可以要多窄有多窄，我们是不是就可以把n S 近似看作S 了呢，n 无限增大，矩形面积的和就可以无限逼近曲边三角形的面积~这就是一种极限的思想，当n 无限增大时，矩形面积的总和n S 可以近似等于曲边三角形的面积，它们之间的差极其小。那么这个极限我们上节课已经学过了，结果是多少哇（1/3）非常好，这是大学中非常重要的一种积分的思想，我们看到了极限的重要性，那么大家更要认真学习，积极理解。那么我们就来回顾一下上节课介绍的常见的三种数列极限。（提问）不错，功课做的很足~我们上节课呢，介绍的f(n)/g(n)模型是常考点，但除此之外还有很多复杂的数列，他们的极限比较复杂，那么应该如何求呢我们学过实数的四则运算，今天我们就来探讨一下数列极限的四则运算性质：

揭示主题：数列极限的四则运算性质。

2. 概念详细讲解：

如果数列}{},{n n b a 极限存在，记作A ，B ，,lim ,lim B b A a n n n n ==∞

→∞→那么 B A b a n n n ±=±∞→)(lim B A b a n n n ⋅=⋅∞→)(lim )0(lim ≠=∞→B B A b a n

n n 特别地，如果当C b n =，C 是常数时，那么CA a C a C n n n n n =⋅=⋅∞→∞→∞

→lim lim )(lim 。 我们可以发现，和的极限可以转化成极限的和，加法运算与极限运算可以交换等等，但一定要注意必须保证}{},{n n b a 极限存在才能运用性质。

我们来看一下,lim ,lim B b A a n n n n ==∞→∞→是B A b a n n n ±=±∞

→)(lim 的什么条件 充分条件显然，非必要条件，举反例：n b n a n n -==,

那么如果把B A b a n n n ±=±∞→)(lim 换成B A b a n n n ⋅=⋅∞

→)(lim 呢 n b n a n n 1

,==

最后注意，运算法则可以推广到有限个数列的情况，比如,lim ,lim ,lim C C B b A a n n n n n n ===∞→∞→∞→那么

C B A C b a n n n n ±±=±±∞

→)(lim ，这里要注意必须要推广的话保证数列个数有限~ 那么我们来用今天的运算法则证明一下昨天我们所学的()()n g n a f n =

型极限的计算方法，由于分子分母()f n 、()g n 为n 的多项式，由于分子分母单独分离看极限都不存在，所以数列极限的运算性质不能直接利用，要想让它通过变形变化成我们前面熟悉的极限，不妨考虑1lim

0n n →∞=的类型，将分子分母同除以n 的最高次幂，那么发现分子分母每项的极限都存在了，这时就可以运用运算性质，直接根据系数比也可以得到这个结果，如果大家一时忘记了结论的话，可以采取分子分母同除以n 的最高次幂的方法，将分子分母转化成极限存在的形式，之后再利用性质求得极限值。

3. 巩固练习，在题目中强调几点注意点，接下来我们来做几个练习：

)43(lim n n -∞→ 已知,5lim =∞→n n a 3lim =∞→n n b ，求)43(lim n n n b a -∞→和n

n n n n b a b a +-∞→lim 。 )3

21(lim +-∞→n n n 13

23

443lim +++∞→+-n n n n n 求解指数型极限时，分子、分母同时除以分子、分母各项中底数绝对值最大的项的一个最高次幂，使得分子、分母中能出现n q （|q|<1）从而利用)1|(|0lim <=∞→q q n

n 求解。 讨论无限问题：

判断43页2.

)23741(lim 2222n

n n n n n -++++∞→K 是不是和上题相同，结果也是0呢 请做44页练习。

括号内每一项虽然都有极限，但括号内有有n 项，当n 趋向于无穷大时，括号内的项数不是有限的，因此不能直接利用和的极限性质，而应先求出括号内n 项的和，使其变成一个式子，再用性质求极限。

4. 最后我们来小结一下今天的内容：运算性质必须满足极限都存在、有限项；