小学奥数培优等差数列含答案

第四讲等差数列（一）

解题方法

若干个数排成一列,称为数列。数列中的每一个数称为一项,其中第一项称为首项,最后一项称为末项,数列中数的个数称为项数。从第二项开始,后项与其相邻的前项之差都相等的数列称为等差数列,后项与前项的差称为公差。

【引例】:等差数列:3、6、9、…、96,这是一个首项为3,末项为96,项数为32,公差为3的数列。

计算等差数列的相关公式:

（1）通项公式:第几项=首项+(项数-1)×公差

（2）项数公式:项数=(末项-首项)÷公差+1

（3）求和公式:总和=(首项+末项)×项数÷2

注：在等差数列中,如果已知首项、末项、公差,求总和时,应先求出项数,然后再利用等差数列求和公式求和。

例题1 有一个数列：4、7、10、13、…、25，这个数列共有多少项

解：由等差数列的项数公式:项数=(末项-首项)÷公差+1,可得,项数=(25-4)÷

3+1=8,所以这个数列共有8项。

引申 1、有一个数列:2,6,10,14,…,106,这个数列共有多少项?。

答：这个数列共有27项

2、有一个数列:5,8,11,…,92,95,98,这个数列共有多少项?

答: 这个数列共有19项

3、在等差数列中,首项=1,末项=57,公差=2,这个等差数列共有多少项?

答：这个等差数列共有29项。

例题2 有一等差数列：2，7,12,17，…，这个等差数列的第100项是多少

解：由等差数列的通项公式:第几项=首项+(项数-1)×公差,可得,第100项=2+(1OO-1)×5=497,所以这个等差数列的第100项是497。

引申 1、求1,5,9,13,…,这个等差数列的第3O项。答案：第30项是117。

2、求等差数列2,5,8,11,…的第100项。答案: 第100项是299。

3、一等差数列,首项=7,公差=3,项数=15,它的末项是多少?答案：末项是49。

例题3 计算2+4+6+8+…+1990的和。

提示：仔细观察数列中的特点，相邻两个数都相差2，所以可以用等差数列的求和公式来求。

解：因为首项是2,末项是1990,公差是2,昕以,项数=(1990-2)÷2+1=995,再根据等差数列的求和公式:总和=(首项+末项)×项数÷2,解出2+4+6+8+…

+1990=(2+1990)×995÷2=991020。

计算1+2+3+4+…+53+54+55的和。 2、计算5+10+15+20+? +190+195+200的和。

3、计算100+99+98+…+61+60的和

例题4 计算（1+3+5+...+l99l)-（2+4+6+ (1990)

提示：仔细观察算式中的被减数与减数，可以发现它们都是等差数列相加，根据题意可以知道首项、末项和公差，但并没有给出项数，这需要我们求项数，按照这样的思路求得项数后，再运用求和公式即可解答。

解：被减数的项数=(1991-1)÷2+1=996，所以被减数的总和=(1+1991)×996÷2=992016;减数的项数=(l990-2)÷2+1=995,所以减数的总和=(2+1990)×995÷2=991020.所以原式=992016-991020=996。

引申

1、计算(1+3+5+7+…+2003)-(2+4+6+8+…+2002) 答案: 1002

2、计算(2+4+6+…+100)-(1+3+5+…+99) 答案：50

3、计算(2OO1+1999+1997+1995)-(2OOO+1998+1996+1994)。答案：4

例题5 已知一列数：2,5,8,11,14，…，80，…，求80是这列数中第几个数。

1、有一列数是这样排列的:3,11,19,27,35,43,51,…,求第12个数是多少。 91

2、有一列数是这样排列的:2,11,20,29,38,47,56,…,求785是第几个数。 88