矩阵论研究报告

矩阵论在方程解耦及最小二乘法中的应用摘要：模态（也称为固有振动模态，或主模态）是多自由度线性系统的一种固有属性，可由系统的特征值（也称为固有值）与系统的特征矢量（也称为固有矢量，或者主振型）二者共同来表示的；它们分别从时空两个方面来刻画系统的振动特性。模态是机械结构的固有振动特性，每一个模态具有特定的固有频率、阻尼比和模态振型，其可以使得耦合方程组解耦。作用于一个n维自由度系统，可以转换到模态坐标下来解耦，确定在模态坐标下响应，然后通过线性变换得到物理坐标下的响应。惯常使用中，将线性定常系统振动微分方程组中的物理坐标变换为模态坐标，使方程组解耦，成为一组以模态坐标及模态参数描述的独立方程，以便求出系统的模态参数[1]。

在科学实验和工程计算中，我们希望从给定的数据出发,构造一个近似函数，使数据点均在离曲线的上方或下方不远处，所求的曲线称为拟合曲线，它既能反映数据的总体分布，又不至于出现局部较大的波动，更能反映被逼近函数的特性，使求得的逼近函数与已知函数从总体上来说其偏差按某种方法度量达到最小，这就是最小二乘法。最小二乘法（又称最小平方法）是一种数学优化技术，它通过最小化误差的平方和寻找数据的最佳函数匹配，使这些求得的数据与实际数据之间误差的平方和为最小[2]，则需要范数的知识。

关键字：模态，方程解耦，最小二乘

一、引言

数学中解耦是指使含有多个变量的数学方程变成能够用单个变量表示的方程组，即变量不再同时共同直接影响一个方程的结果，从而简化分析计算。通过适当的控制量的选取，坐标变换等手段将一个多变量系统化为多个独立的单变量系统的数学模型，即解除各个变量之间的耦合。

对离散型函数(即数表形式的函数)考虑数据较多的情况.若将每个点都当作插值节点，则插值函数是一个次数很高的多项式，比较复杂，而且由于龙格振荡现象，这个高次的插值多项式可能并不接近原函数。最小二乘法在实际工程数据处理中应用广泛，在工程问题中，使用最小二乘法根据两个变量的几组实验数据可

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2

以轻松的找出这两个变量的函数关系的近似表达式,拟合成一条曲线来反映所给数据点总趋势[5]。 二、预备知识 2.1 坐标变换

设

Θ是线性空间上的线性变换，（1

ε，…，n

ε

）和（1ε*，…，n ε*）是Θ的

两组基，Θ在这两个基下的表示矩阵分别为A ，B 则：

Θ（1

ε

，…，n ε）=（1ε，…，n ε）A ；Θ（1ε*，…，n ε*）=（1ε*，…，n ε*）B

设基变换公式为（1ε*，…，n ε*）=（1ε，…，n ε）C ，C 为变换矩阵 则 B=1C AC - 2.2 范数

如果V 是数域K 上的线性空间，且对于V 的任以向量χ，对应于一个实数函数

χ

，它满足如下三个条件。

i. 非负性 当0χ≠时0χ>；当0χ=时，0

χ=；

ii. 齐次性

,a a V

χχχ=∈；

iii.

三角不等式

,,V

χζχζχζ+≤+∈；则称

χ

为V 上χ的范数。

可以证明对于向量12(,,,)

n χξξξ=的长度

2

n

χξ=++是一种

范数，我们称为2-范数，记为

2

χ

。

三、坐标变换和2-范数在工程实践中运用 3.1 坐标变换在多自由度振动系统解耦中的运用

3

3.1.1 多自由度系统运动方程描述

多自由度系统一般运动方程0KX X

M =+ n R ∈X ,M 为质量矩阵，K 为刚度矩阵，M 、K n n R ⨯∈且都为正定矩阵。

振动响应：)sin(ϕω+=t φX 代入运动方程：0)

(2=-φM K ω φ有非零解的充分必要条件： 0M K =-2ω

（3-1）

得到特征多项式22(1)2110n n n n a a a ωωω--++

++=

得出每一阶固有圆频率i ω i=1,2…..n

其中：ω为特征值（固有频率）， φ为特征向量（模态）。

推出2()()

i i ω-=K M 0φ （3-2） ()i φ描述了系统做第i 阶主振动时具有的振动形态，称为第i 阶主振型，或第i 阶

模态。

3.1.2 模态关于质量矩阵和刚度矩阵的正交性 由（3-2）式，得：

转置后右乘()j φ ()()i T j K φφ=2

()()i T i i ωM φφ 左乘()i T φ ()()i T j K φφ=2()()i T i j

ωM φφ 两式相减：（2i ω-2j ω）

()()i T i M φφ=0 恒成立 （3-3）

当i j ≠时， i j ωω≠

()()0i T j =M φφ 模态关于质量矩阵正交，()()0i T j =K φφ 模态关于刚度矩阵正交

当i ＝j 时

()()i T i pi m =M φφ pi m 第i 阶模态主质量，()()i T i pi k =K φφ pi k 第i 阶模态主刚

度，其中()i φ为第i 阶主模态。

()

2

()

()2()i i i

j j j ωω⎧=⎪⎨=⎪⎩K M K M φφ

φφ

3.1.3 运动方程的解耦

将()(1~)i i n =φ组成矩阵(1)()[]n =Φφφn n R ⨯∈, Φ称为模态矩阵。分别对

M 、K 处理，得以下等式

(1)()(1)()[][]

T n T n =ΦM ΦM φφφφ(1)(1)()()[]T n n T ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦M φφφφ(1)(1)()()[]T n n T ⎡⎤

⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦M M φφφφ(1)(1)(1)()()(1)()()T T n n T n T n ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦M M M M φφφφφφφφ100

p pn m m ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦ （3-4）

(1)

()(1)()[]K[]

T n T n K =ΦΦφφφφ(1)(1)()()[]T n n T K ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦φφφφ(1)(1)()()[]T n n T K K ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦φφφφ(1)(1)(1)()()(1)()()T T n n T n T n ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦φK φφK φφK φφK φ100

p pn k k ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦ （3-5）

即11(,,)(,,)T p pn p T p pn p diag m m diag k k ⎧==⎪⎨==⎪⎩

ΦM ΦM ΦK ΦK p M 为主质量矩阵，p K 为主刚度矩阵

坐标变换：Y =X Φ 则运动方程0KX X

M =+ 变为 0T T +=ΦM ΦY ΦK ΦY

（3-6）

0P P +=M Y K Y （3-7）